MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC VI PHÂN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Năm mươi bài tập hình học vi phân có lời giải rõ ràng chi tiết, phù hợp với giáo trình hình học vi phân của Đoàn Quỳnh. Một tài liệu hữu ích cho các bạn sinh viên ngành sư phạm Toán năm thứ 4 tại các trường đại học sư phạm.

Chứng minh rằng nếu f X* là ảnh của trường vectơ X∈Vec U( ) qua vi phôi f:

U →V thì với mọi hàm số ϕ trên V ta có

( ) 1

* [ ] [ f ]

Bài 1.4

+) D X(Z +T)=D Z X +D T X

+) D ZϕX =ϕD Z X

+) D X Y+ Z =D Z X +D Z Y

+) D (ϕZ)=X[ ]ϕ Z +ϕD Z

Cho ,X Y∈Vec U( ), U là tập mở trong n

E Chứng minh rằng nếu X[ ]ϕ =Y[ ]ϕ với mọi ϕ∈ F(U) thì X=Y

(u, v) ֏ (x=u2−v2, y=2uv)

1) Phác hoạ ảnh của f bởi các tập ñiểm B={(u , )0 v v∈R} (u0 là hằng số)

Trong trường hợp f là một vi phôi, biểu diễn ảnh bởi f* của các trường vectơ

Xét toạ ñộ afin (x,y,z) trên tập mở U trong 3

E và các dạng vi phân sau trên U: , =dx-cos

Hãy tính dθ θ θ, ∧ , dθ ∧µ θ, ∧µ

BÀI TẬP CHƯƠNG 2

Bài 2.1

a) Tìm cung chính quy trong 2

E không ñi qua O mà tiếp tuyến tại mọi ñiểm ñều ñi qua O

b) Cung chính quy trong 2

E không ñi qua O mà pháp tuyến tại mọi ñiểm ñều qua

O

Bài 2.2

Xét mặt phẳng Oxy trong E2, cung Γ trong E2 xác ñịnh bởi tham số

( )

t ֏ρ t , ( ) ( ( ), ( ))ρ t = x t y t và giả sử Γ có tiếp tuyến tại mọi ñiểm ðặt M =ρ( )t ,

P là hình chiếu vuông góc của M xuống Ox, T và N theo thứ tự là giao ñiểm của Ox với tiếp tuyến và pháp tuyến của Γ tại M

a) Tính PT (tiếp ảnh), PN (pháp ảnh) tính ñộ dài các ñoạn MT, MN

b) Tìm Γ sao cho pháp ảnh tại mọi ñiểm bằng a 0≠ (const)

c) Tìm Γ sao cho tiếp ảnh tại mọi ñiểm bằng a 0≠ (const)

d) Tìm Γ sao cho ñộ dài MN=a>0 (const)

e) Tìm Γ sao cho ñộ dài MT=a>0 (const)

Bài 2.3

Xét cung trong E2 xác ñịnh bởi t ֏ (t) = (x = x(t), y = y(t)) ρ trong toạ ñộ

Descartes vuông góc Oxy Hãy tính ñộ dài của cung ñoạn xác ñịnh bởi

Xác ñịnh hàm số khả vi f: R→ R ñể cung xác ñịnh bởi tham số hóa

t → (x=acost;y=asint;z= f (t)) trong E3 là cung phẳng

Bài 2.6

Gọi {T N B, , }là trường mục tiêu Frenet dọc cung song chính quy ñịnh hướngΓ trong E3, chứng minh rằng trường vectơ duy nhất X dọc Γ thoả mãn

X ∧ T=DT

ds ; X ∧N =DN

ds ; X ∧B =DB

ds là X=τT+kB (X là trường vectơ ðacbu dọc Γ )

Bài 2.7

Chứng minh rằng các tính chất sau của một cung song chính quy ñịnh hướng trong

E3 với ñộ xoắn khác 0 tại mọi ñiểm là tương ñương:

a) Tiếp tuyến tao một góc không ñổi với một phương cố ñịnh

b) Pháp tuyến chính song song với một mặt phẳng cố ñịnh;

c) Trùng pháp tuyến tạo một góc không ñổi với một phương cố ñịnh;

d) Tỉ số giữa ñộ xoắn và ñộ cong là hàm hằng;

e, (DT D T22 ) D T33 = 0

ds ∧ ds ds (trong ñú T là trường vectơ tiếp xúc ñơn vị dọc Γ, còn

1 1

Tìm quỹ tích tâm các mặt cầu mật tiếp của cung ñinh ốc tròn trong E3

ρlà cung tham số bất kì của cung ñinh ốc tròn Γ

Bài 2.14

Hãy xác ñịnh cung túc bế của các cung xác ñịnh bởi tham số hoá

(t) = (x(t), y(t))

t ֏ ρ sau trong toạ ñộ Descartes vuông góc Oxyz của E2

a) ( ) = a (ln tg + cos ), y(t) = a sin

Xét toạ ñộ cực (r, ϕ) trong E2\{0} và cung chính quy ñịnh hướng xác ñịnh bởi

t ֏ ρ(t)=(r(t), ϕ(t)) (trong ñó t֏ r(t) là một hàm số cho trước, r(t)>0 với mọi t).Hãy tính ñộ cong của cung ñó

Bài 2.19

Cho cung ñinh ốc tròn Γ xác ñịnh bởi t→ (t) ρ = (acost, asint, bt) (a>0) trong toạ ñộ

Descartes vuông góc Oxyz của E3

a) Hãy viết phương trình tiếp tuyến, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến, mặt phẳng mật tiếp, pháp diện, mặt phẳng trực ñạc của nó tại mỗi ñiểm

b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến của nó nghiêng một góc không ñổi với mặt

phẳng Oxyz còn các pháp tuyến chính luôn cắt trục Oz

PHẦN THỨ 2 LỜI GIẢI CÁC BÀI TẬP -

f(t) là hàm số trên J, a là vectơ hằng trong n

'

2

( ) ( ) ( ) ( )( )

 

và l, X không cùng phương Trong 3

i i i

osbt+ osbt dt= osbt+ sin sin

asin osbt- sin

k k

0 0

2u

u v

f không là vi phôi vì f không là ñơn ánh

Thật vậy: A=( ,0); B=(-a,0); a có ( )f A = f B( ) nhưng A B≠

1( )

∂ ∂ ∂ ∂ ñều tồn tại và liên tục

Do ñó các hàm toạ ñộ x, y ñều khả vi theo u và v

Bài 1.30

a) Giả sử ρ( ) ( ( ), ( ))t0 = x t0 y t0 là ñiểm chính quy bất kỳ của Γ

Phương trình tiếp tuyến tại ρ( )t0 là 0 0

( ) ( )( ) ( )

Hoành ñộ của ñiểm N là: '( ).( ( )) '( ).( ( )) 0

'( )'( )

' ( ) ( )

( )' ( )

y t

2 2

2

' ( )( ).( 1)' ( )

y t

2 2

' ( ) ( )

( )' ( )

Vậy y2 = 2a.x + c do ñó Γ là một parabol thì pháp ảnh là một số không ñổi

− +

⇒y=ke

1

x a

−

(k=ec)

d, 2 2 2

2

' ( ) ( )

( )' ( )

' ( ) ( )

( )' ( )

sin ( )

t t

ϕϕ ⇒ x(t)=a

2 2

cos ( )'( ) .sin ( )

t

t

ϕϕ

2sin ( )

⇒ DB

ds =0 mà DB

ds =- τN

Do N là trường véc tơ tiếp xúc ñơn vị nên N ≠ 0⇒τ=0

( ⇐ )τ=0 tại mọi ñiểm

Gọi r(s) là tham số hóa tự nhiên của Γ

ρ’ ∧ρ’’=(a[f’’(t)cost+ sintf’(t)];- a[f’(t)cost+f’’(t) sint];a2)

(ρ’ ∧ ρ’’) ρ’’’=a2[f’’(t)sint.cost+sin2t.f’(t)]+a2f’(t)cos2t –

Giả sử a là vectơ không ñổi luôn làm với tiếp tuyến của cung Γ một góc không ñổi

Ta có X'= nên X là trường vectơ song song dọc Γ xác ñịnh bởi a0

, khi ñó T luôn

làm với X một góc không ñổi θ mà cot

0

B = mà B' = −τN do ñó τN = mặt khác N là trường 0

vectơ pháp tuyến chính ñơn vị nên N ≠ suy ra 0 τ = , do ñó cung Γ là cung phẳng 0

có tham số hó t֏ρ( ) ( ( ), ( ), )t = x t y t k là tham số hoá của cung

b) Giả sử ñường thẳng ∆ có vectơ ñơn vị chỉ phương là a, mặt phẳng mật tiếp của

Γ tại mọi ñiểm song song với ∆ có nghĩa là

VËy M thuéc mÆt trô

V× M lµ ®iÓm bÊt k× trªn Viviani nªn mäi ®-êng th¼ng trªn Viviani n»m trªn giao cña mÆt cÇu vµ mÆt trô

§¶o: Giao cña mÆt cÇu vµ m¨t trô lµ ®-êng Viviani

Th¹t vËy: Ph-¬ng tr×nh tham sè cña mÆt cÇu lµ:

⇒ cosu=cost ⇒ sinu=sint

⇒

2

cossin cossin

2

2( )t ( )t 4

t

3 3

2

1( )t 4 4t

24

t t

( )

2( ) ( ) 4

t

125 25sin cos( ) sin 2

225 25sin cos( ) ( ) sin 2

'( )t ''( ) ( asint, cos ,1)t a t '( )t ''( )t a2 1

(ρ'( )t ∧ρ''( ) ( )t ) ρ''' t =asin 2t +acos2t = a

ds = r’’(s)= 2 2

1( acos s ; asin s ;0)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

ρ(t)=(r (t), ϕ(t)) ñối với toạ ñộ cực trong E2

Chuyển sang toạ ñộ trực chuẩn

ρ(t)=(x (t), y(t)), trong ñó x(t)=r(t).cos ϕ(t); y(t)= r(t)sin ϕ(t)

Thay vào công thức tính ñộ cong k

2 2( 1)

DN ds



= ( )T s



=(ksins;-kcoss;c) ( )r s

ðể viết ñược các phương trình ta tìm B(s); T(s); N(s)

+) Tìm tham số hoá tự nhiên r