MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP hình học xạ ảnh và các phương pháp giải trong P2

Trong Pn tập hợp 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trong một mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng được gọi là hình 4 đỉnh toàn phần.. Siêu phẳng đối cực, điểm kì dị Nếu tập hợp

Mét sè d¹ng bµi tËp h×nh häc x¹ ¶nh vµ c¸c ph−¬ng

Mục lục

Trang

Mục lục 1

Lời nói đầu 3

Chương 1: Những kiến thức cơ sở của không gian pn 5

1.1 Không gian xạ ảnh 5

1.2 ánh xạ xạ ảnh và biến đổi xạ ảnh 11

1.3 Siêu mặt bậc hai trong Pn 13

1.4 Các định lý cơ bản 17

Chương 2 các dạng toán cơ bản và phương pháp giải trong P2 22

2.1 Chứng minh đồng quy, thẳng hàng 22

2.2 Các bài toán quỹ tích 40

2.3 Các bài toán dựng hình 51

2.4 Các bài toán dạng chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định, điểm nằm trên đường thẳng cố định 56

Chương 3.mối liên hệ giữa An và Pn 61

3.1 Mối liên hệ giữa không gian afin của không gian xạ ảnh thể hiện trên mô hình 61

3.2 Mối liên hệ giữa không gian xạ ảnh và không gian afin thể hiện qua các ứng dụng cụ thể .66

Kết luận 75

Tài liệu tham khảo 76

Lời nói đầu

Hình học xạ ảnh là một học phần quan trọng của bộ môn hình học cao cấp trong trường đại học Việc vận dụng kiến thức lý thuyết vào giải các bài toán xạ ảnh là một trong những nhiệm vụ quan trọng của sinh viên khi nghiên cứu hình học xạ ảnh

Để giải toán ngoài việc nắm vững kiến thức người làm toán cần có khả năng phân tích, tổng hợp các dữ kiện của bài toán và vận dụng các kiến thức liên quan Một bài toán xạ ảnh có thể có nhiều hướng giải quyết khác nhau (nhiều con đường để đi đến kết quả) nhưng để chọn được một phương pháp giải đúng, ngắn gọn phải nhờ khả năng tư duy sáng tạo linh hoạt của người làm toán

Với mong muốn được nâng cao kiến thức của bản thân và giúp cho các bạn sinh viên năm thứ 3 học tập tốt hơn, có tầm nhìn sâu rộng hơn về bộ môn hình học xạ ảnh, tôi đã lựa chọn đề tài “Một số dạng bài tập hình học xạ ảnh

và các phương pháp giải trong P2 .’’

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 Những kiến thức cơ sở của không gian Pn

Chương này đưa ra những kiến thức cơ bản của không gian Pn phục vụ cho việc đưa ra những phương pháp và tiến hành giải các bài tập ở chương 2

và chương 3

Chương 2 Các dạng toán cơ bản và phương pháp giải trong P2

Chương này đưa ra các dạng toán cơ bản và các phương pháp giải các dạng toán đó trong P2 Bao gồm:

- Bài toán chứng minh đồng quy, thẳng hàng

- Bài toán quỹ tích

- Bài toán dựng hình

- Bài toán chứng minh điểm nằm trên đường thẳng cố định, đường

Chương 3 Mối liên hệ giữa không gian Pn và An

Chương này trình bày mối liên hệ giữa không gian Pn và An thể hiện qua mô hình và qua các ứng dụng cụ thể trong P2 và A2

Luận văn tốt nghiệp của em được hoàn thành ngoài sự cố gắng của bản thân còn được sự giúp đỡ chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo, thạc sĩ Nguyễn Đức Ninh người đã hướng dẫn em trong suốt quá trình làm luận văn vừa qua

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong tổ Hình học và các thầy cô giáo trong Ban chủ nhiệm khoa Toán đã giúp đỡ em hoàn thành luận văn

Tôi xin cảm ơn các bạn sinh viên trong tập thể lớp Toán A – K38 và người thân đã động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm nghiên cứu

Cuối cùng luận văn chắc chắn không tránh khỏi những khiếm khuyết, sai sót Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để luận văn được hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2007

Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Hòa

Chương 1

Những kiến thức cơ sở của không gian pn 1.1 Không gian xạ ảnh

1.1.1 Định nghĩa không gian xạ ảnh

Cho một tập hợp P ≠ ∅ và một K – không gian vectơ n+1 chiều

Vn+1 và một song ánh p: [Vn+1] → P Khi đó bộ ba (Pn, p, Vn+1) được gọi là không gian xạ ảnh n chiều trên trường K, liên kết với K – không gian vectơ Vn+1 bởi song ánh p

+ Mỗi phần tử của Pn được gọi là một điểm của không gian xạ ảnh Pn

+ Gọi u
là vectơ khác 0
 của Vn+1 và <

u> là không gian vectơ con một chiều sinh bởi

u thì p(<

u>)= U là một điểm nào đó của Pn Khi đó ta nói rằng

u

là đại diện của điểm U

Hai vectơ

u và

u’ (khác 0
) cùng đại diện cho một điểm khi và chỉ khi

chúng phụ thuộc tuyến tính:

u’= k

u (k ≠ 0)

1.1.2 Định nghĩa phẳng

Cho không gian xạ ảnh (Pn, p, Vn+1) Gọi W là không gian vectơ con m+1 chiều của Vn+1 (m ≥ 0) Khi đó tập hợp P([W]) được gọi là cái phẳng m chiều (hoặc là m - phẳng) của Pn

1.1.3 Định nghĩa hệ điểm độc lập

Hệ r điểm(r≥ 1) của không gian xạ ảnh Pn gọi là hệ điểm độc lập nếu r vectơ đại diện cho chúng là hệ vectơ độc lập tuyến tính trong Vn+1 Hệ điểm

1.1.4 Mục tiêu xạ ảnh

Cho không gian xạ ảnh Pn liên kết với K -không gian vectơ Vn+1 Một tập hợp có thứ tự gồm (n+2) điểm của Pn {S0, S1…Sn; E} được gọi là mục tiêu xạ ảnh nếu bất kì n+1 điểm trong n+2 điểm đó đều độc lập

Các điểm Si gọi là các đỉnh của mục tiêu xạ ảnh

Điểm E được gọi là điểm đơn vị

Các m- phẳng (m< n) đi qua m+1 đỉnh gọi là các m- phẳng toạ độ Đặc biệt các đường thẳng SiSj với i ≠ j gọi là các trục toạ độ

1.1.5 Toạ độ của điểm đối với mục tiêu xạ ảnh

Trong K không gian xạ ảnh Pn liên kết với Vn+1, cho mục tiêu xạ ảnh {Si; E} có đại diện là cơ sở {

ei} của Vn+1 Với mỗi điểm X bất kì của Pn ta lấy x



đại diện cho X Khi đó tọa độ (x0, x1, …, xn) của vectơ x
 đối với cơ sở {

ei} cũng được gọi là toạ độ của điểm X đới với mục tiêu {Si; E} và viết X= (x0: x1: …: xn)

1.1.6 Đổi mục tiêu xạ ảnh

Trong Pn cho hai mục tiêu xạ ảnh {Si; E} và {Si’; E’}

Gọi {

ei}; {

ei’} lần lượt là hai cơ sở đại diện cho hai mục tiêu đó ta có:

Toạ độ của điểm X đối với hai mục tiêu đó lần lượt là (x0: x1: …: xn)

Hệ (*) được gọi là công thức đổi mục tiêu xạ ảnh

Ma trận A= (aij), i,j= 0,n chính là ma trận chuyển từ cơ sở {

ei} sang cơ sở {

ei’} Nó cũng được gọi là ma trận chuyển từ mục tiêu {Si, E} sang mục tiêu {Si’, E’}

Trong đó: Ai có toạ độ Ai= (ai0, ai1…, ain)

Hệ (*) là phương trình trên gọi là phương trình tham số của m phẳng U với m+1 tham ssó t1, t2 tm không đồng thời bằng o

1.1.7.2 Phương trình tổng quát của m- phẳng

Hệ (*)gồm (n+1) phương trình với m+1 tham số: Vì ma trận (aij) có hạng m+1 nên ta có thể khử m+1 tham số từ hệ phương trình trên, ta làm như sau:

Chọn m+1 phương trình độc lập trong (*) rồi giải hệ phương trình vừa chọn để tìm các ti theo aij Thay các giá trị đó của tham số vào n- m phương trình còn lại của hệ (*) ta đựơc hệ gồm n-m phương trình tuyến tính thuần nhất

1.1.8 Toạ độ của siêu phẳng

Trong Pn với mục tiêu đã chọn cho siêu phẳng U có phương trình tổng quát: u0x0+ u1x1+…+unxn= 0

b,
c,
d là các vectơ lần lượt đại diện cho các điểm A, B, C, D thì các vectơ

đó thuộc một không gian hai chiều Trong đó
a và
b độc lập tuyến tính Ta

b l a k c

2 2

1 1

≠

=

l l

1.1.10 Tỉ số kép tính theo tọa độ các điểm

Giả sử trong Pn đã chọn mục tiêu xạ ảnh {Si; E}

Cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ

1.1.11 Hàng điểm điều hoà

Nếu tỉ số kép : [A, B, C, D]= -1 thì ta nói rằng: Cặp C, D chia điều hoà

điểm A, B Khi đó: [C, D, A, B]= -1 nên cặp điểm A, B cũng chia điều hoà cặp

điểm C, D Bởi vậy ta còn nói cặp điểm A, B và cặp điểm C, D liên hiệp điều hoà hay còn nói A, B, C, D là một hàng điểm điều hoà

Trong Pn tập hợp 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trong một mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng được gọi là hình 4 đỉnh toàn phần Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh Mỗi đường thẳng đi qua hai đỉnh gọi là một cạnh (có 6 cạnh), hai cạnh không cùng đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh

đối diện Giao điểm của hai cạnh đối diện gọi là điểm chéo Đường thẳng đi qua hai điểm chéo gọi là đường chéo

1.1.12 Tỉ số kép của chùm bốn siêu phẳng

1.1.12.1 Định nghĩa chùm siêu phẳng

Trong không gian xạ ảnh Pn, tập hợp các siêu phẳng cùng đi qua (n-2)- phẳng

được gọi là chùm siêu phẳng với giá là (n-2)- phẳng

1.1.12.2 Tỉ số kép của chùm bốn siêu phẳng thuộc chùm

Định lý: Cho bốn siêu phẳng U, V, W, Z thuộc một chùm, trong đó U, V, W,

Z đôi một phân biệt Nếu d là đường thẳng cắt bốn siêu phẳng đó lần lượt tại các điểm A, B, C, D thì tỉ số kép của bốn điểm đó không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d

Tỉ số kép nói trên được gọi là tỉ số kép của chùm bốn siêu phẳng

Kí hiệu [U, V, W, Z]

1.1.13 Chùm bốn siêu phẳng điều hoà

Bốn siêu phẳng U, V, W, Z thuộc một chùm được gọi là chùm bốn siêu phẳng điều hoà nếu [U, V, W, Z]= -1

1.1.14 Hình 4 cạnh toàn phần

Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 hình gồm bốn đường thẳng trong đó không

có ba đường thẳng nào đồng quy được gọi là hình 4 cạnh toàn phần

p

Hình 1.1

Mỗi đường thẳng đó được gọi là một cạnh Giao điểm của hai cạnh được gọi là một đỉnh Hai đỉnh không nằm trên một cạnh gọi là hai đỉnh đối diện Đường thẳng nối hai đỉnh đối diện được gọi là đường chéo Giao điểm của hai đường chéo gọi là điểm chéo

1.2 ánh xạ xạ ảnh và biến đổi xạ ảnh

1.2.1 Định nghĩa

Cho các K-không gian xạ ảnh (P, p, V) và (P’, p’, V’)

Một ánh xạ: f: P→ P’ gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có một ánh xạ tuyến tính

ϕ: V→ V’ sao cho vectơ ∈
x V là đại diện của điểm X∈ P thì ϕ(
x)∈ V’ là đại diện của điểm f(X) ∈ P’ Nói cách khác, nếu p(<
x>) = X thì p’(ϕ(
x)) = f(x)

Khi đó ta nói rằng ánh xạ tuyến tính ϕ là đại diện của ánh xạ xạ ảnh f 1.2.2 Đẳng cấu xạ ảnh, hình học xạ ảnh

+ ánh xạ xạ ảnh f: P → P’ là một song ánh khi và chỉ khi P và P’ có cùng số chiều Khi đó f là một đẳng cấu và hai không gian P và P’gọi là đẳng cấu + Một đẳng cấu xạ ảnh f: P → P của không gian xạ ảnh P lên chính nó được gọi là phép biến đổi xạ ảnh của P

+ Tập hợp các biến đổi xạ ảnh của P làm thành một nhóm, nó được gọi là nhóm xạ ảnh của không gian xạ ảnh P

+ Mỗi tập con H của Pn gọi là một hình Hình H được gọi là tương đương xạ

ảnh với hình H’ nếu có một phép biến đổi xạ ảnh f biến H thành H’

+ Một tính chất của hình H gọi là tính chất xạ ảnh (hay bất biến xạ ảnh) nếu mọi hình H’ tương đương với hình H đều có tính chất đó Như vậy, hai hình tương đương xạ ảnh đều có tính chất xạ ảnh giống nhau

Tập hợp các tính chất xạ ảnh của các hình của Pn gọi là hình học xạ ảnh trên Pn

1.2.3 Các phép thấu xạ trong Pn

1.2.3.1 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa: Trong Pn cho r- phẳng U và (n-r-1) -phẳng V không có điểm chung Khi đó cặp (U, V) sẽ gọi là một r- cặp: cặp (V, U) sẽ gọi là (n-r-1)-cặp

Cho r- cặp (U, V) và cho phép biến đổi xạ ảnh f: Pn → Pn sao cho mọi

điểm nằm trên U hoặc V đều bất động Khi đó f được gọi là phép thấu xạ r- cặp với cơ sở là r- cặp (U, V)

Tính chất của phép thấu xạ

Nếu điểm M không bất động thì đường thẳng nối M và ảnh M’ của nó luôn luôn cắt U, V Giả sử hai giao điểm đó là A, B thì: [M, M’, A, B] không phụ thuộc vào M Tỉ số kép được gọi là tỉ số thấu xạ của phép thấu xạ f

Trong P2, ta có các phép thấu xạ khác phép đồng nhất sau đây

+ Phép 0- thấu xạ có cơ sở là 0- cặp (O, V) trong đó O là một điểm, còn V là một đường thẳng không đi qua O

Với mỗi điểm M không trùng với O và không nằm trên V, đường thẳng OM cắt V tại B và nếu M’= f(M) thì M, M’, O, B thẳng hàng và [M, M’, O, B]= k (Tỉ số thấu xạ) (Hình 1.2)

m

o

+ Phép thấu xạ đơn đặc biệt có tâm O và cơ sở là đường thẳng V đi qua O Nếu ta biết một cặp điểm M và M’= f(M) thì ảnh N’= f(N) được xác định bởi các điều kiện:

i O, N, N’ thẳng hàng

ii Đường thẳng MN cắt đường thẳng M’N’ tại một điểm nằm trên V

1.3 Siêu mặt bậc hai trong Pn

A= (aij) i, j = 0,n thì A là ma trận vuông đối xứng cấp n+1 có hạng ít

nhất bằng 1 Ta kí hiệu: x=

0 1

n

xxx

Phương trình (1) được gọi là phương trình của siêu mặt bậc hai (S) đối với mục tiêu đã cho

Siêu mặt bậc hai (S) được gọi là suy biến hay không suy biến nếu det A = 0 hoặc det A ≠ 0

Hai siêu mặt bậc hai (S) và (S’) với các ma trận tương ứng là A và A’

đựơc xem là trùng nhau khi và chỉ khi có số k∈ K \ {0} sao cho: A = k A’ 1.3.2 Điểm liên hợp

Trong Pn với mục tiêu đã chọn cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình:

xt.A.x= 0 và hai điểm Y= (y0: y1: … : yn), Z= (z0: z1: …: zn)

Hai điểm Y và Z được gọi là liên hợp với nhau nếu ytAz= 0

Trong đó: y, z lần lượt là ma trận cột tọa độ của Y, Z

+ Định lý: Trong K- không gian xạ ảnh Pn cho siêu mặt bậc hai (S) và điểm Y Tập hợp tất cả những điểm liên hợp với Y đối với (S) hoặc là một siêu phẳng trong Pn hoặc là toàn bộ Pn

1.3.3 Siêu phẳng đối cực, điểm kì dị

Nếu tập hợp các điểm liên hợp với điểm Y đối với siêu mặt bậc hai (S)

là một siêu phẳng thì siêu phẳng đó được gọi là siêu phẳng đối cực của điểm Yđối với (S) kí hiệu là: Y* Ngựơc lại điểm Y gọi là điểm đối cực của siêu phẳng Y*đối với (S)

Điểm Y được gọi là điểm kì dị của siêu mặt bậc hai (S) nếu Y liên hợp với mọi điểm của Pn đối với (S)

1.3.4 Siêu phẳng tiếp xúc của siêu mặt bậc hai

Nếu điểm Y nằm trên siêu mặt bậc hai (S) nhưng không phải là điểm kì

dị của (S) thì siêu phẳng đối cực Y* của Y đối với (S) được gọi là siêu phẳng tiếp xúc của (S) tại Y hay còn gọi là siêu tiếp diện của (S) tại Y Điểm Y gọi là tiếp điểm

1.3.5 Siêu phẳng liên hợp đối với siêu mặt bậc hai không suy biến

Trước hết ta cần chú ý rằng: Nếu siêu mặt bậc hai (S) không suy biến thì mỗi siêu phẳng bất kì đều có một điểm đối cực duy nhất

Định nghĩa: Hai siêu phẳng U và V được gọi là liên hợp với nhau đối với siêu mặt bậc hai không suy biến (S) khi 2 điểm đối cực của chúng liên hợp với nhau đối với (S)

1.3.6 ánh xạ xạ ảnh giữa các đường thẳng và chùm đường thẳng trong P2 + ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm

Trong P2 cho 2 đường thẳng phân biệt s và s’ và một ánh xạ f: s → s’ từ hàng điểm s đến hàng điểm s’ Theo định lý cơ bản của ánh xạ xạ ảnh thì song

ánh f: s→ s’ là một ánh xạ xạ ảnh khi và chỉ khi nó bảo toàn tỉ số kép của 4

điểm bất kì trên s

ánh xạ xạ ảnh f sẽ hoàn toàn được xác định nếu cho biết 3 điểm phân biệt A, B, C trên s và ảnh của chúng: A’= f(A); B’= f(B); C’= f(C) trên s’ Khi

đó mỗi điểm M∈s sẽ có ảnh là M’∈ s’ sao cho [A, B, C, M] = [A’, B’, C’, M’]

Định nghĩa : Trong P2 cho hai đường thẳng phân biệt s và s’ và một điểm P không thuộc chúng ánh xạ f: s → s’ biến mỗi điểm M∈ s thành điểm M’= s’∩ PM gọi là phép chiếu xuyên tâm từ s→ s’ Điểm P được gọi là tâm của phép f

Dễ thấy phép chiếu xuyên tâm f là một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm

s ∩s’= Q => f(Q)= Q; Q là điểm tự ứng phép chiếu xuyên tâm f

Hình 1.4

m p

+ ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng:

Định nghĩa 1: Cho hai chùm đường thẳng phân biệt {S} và {S’} trong P2 Một

ánh xạ f:{S}→ {S’} biến một đường thẳng của {S} thành một đường thẳng của {S’} được gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu nó bảo toàn tỉ số kép của bốn đường thẳng bất kì

Định nghĩa 2: Cho P2 cho hai chùm đường thẳng phân biệt {S} và {S’} và một

đường thẳng p không thuộc chúng (có nghĩa là p không đi qua S ; p cũng không đi qua S’) ánh xạ xạ ảnh f: {S}→ {S’} biến mỗi đường thẳng m∈{S} thành đường thẳng m’ đi qua S’ và m∩ p được gọi là phép chiếu xuyên trục,

đường thẳng p được gọi là trục của phép chiếu f

Phép chiếu xuyên trục là khái niệm đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm Phép chiếu xuyên trục cũng là một ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng Nếu f: {S}→ {S’} là phép chiếu xuyên trục thì đường thẳng q= SS’ biến thành chính nó; q là đường thẳng tự ứng

Định nghĩa 3: Trong P2 cho một điểm O Ký hiệu B là tập hợp tất cả các

đường thẳng của P2 đi qua O (Gọi B là bó đường thẳng tâm O hoặc chùm

Các điểm Ai được gọi là các đỉnh của hình 6 cạnh đó

Các đường thẳng A1A 2, A2A3, A3A4, A4A5, A5A6, A6A1 gọi là các cạnh của hình 6 đỉnh Các cặp cạnh A1A 2 và A4A 5; A2A3 và A5A6; A3A4 và A6A1gọi là các cặp cạnh đối diện

1.4 Các định lý cơ bản

1.4.1 Định lý Đờ Giác thứ nhất

Trong không gian xạ ảnh cho 6 điểm A, B, C, A’, B’, C’ Trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Khi đó hai mệnh đề sau đây tương đương:

a Ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy

b Giao điểm của các cặp đường thẳng AB và A’B’; BC và B’C’; CA và C’A’ là ba điểm thẳng hàng

e Nếu A, B, C, D, E là 5 điểm thẳng hàng phân biệt thì

[A, B, C, D] [A, B, D, E] = [A, B, C, E]

1.4.3 Định lý về hình 4 đỉnh toàn phần

Trong một hình 4 đỉnh toàn phần hai điểm chéo nằm trên đường chéo chia

điều hoà cặp giao điểm của đường chéo đó với cặp cạnh đi qua điểm chéo thứ ba 1.4.4 Định lý về hình 4 cạnh toàn phần

Trong hình 4 cạnh toàn phần hai đường chéo cùng đi qua một điểm chéo nào đó chia điều hòa hai đường thẳng nối điểm chéo đó với hai đỉnh nằm trên đường chéo thứ ba

1.4.5 Định lý về điểm liên hợp

Giả sử Y và Z liên hợp với nhau đối với (S) trong Pn Khi đó:

Nếu YZ cắt (S) tại hai điểm phân biệt M, N thì [Y, Z, M, N] = -1

Nếu YZ cắt (S) tại một điểm duy nhất thì điểm đó là Y hoặc Z

1.4.6 Các tính chất của siêu phẳng liên hợp

Hai siêu phẳng liên hợp với nhau đối với siêu mặt bậc hai không suy biến (S) khi và chỉ khi siêu phẳng này đi qua điểm đối cực của siêu phẳng kia Siêu phẳng U liên hợp với chính nó đối với siêu mặt bậc hai (S) khi và chỉ khi U tiếp xúc với (S) (Tại điểm U* là điểm đối cực của U)

Cho hai siêu phẳng phân biệt U và V liên hợp với nhau đối với siêu mặt bậc hai không suy biến (S) Nếu qua U∩V có hai siêu phẳng phân biệt P, Q cùng tiếp xúc với (S) thì [U, V, P, Q] = -1

1.4.7 Định lý về phép chiếu xuyên tâm

ánh xạ xạ ảnh f: s→s’ giữa hai hàng điểm s và s’ là phép chiếu xuyên tâm khi và chỉ khi giao điểm của s và s’ là điểm tự ứng

1.4.8 Định lý xác định phép chiếu xuyên trục

ánh xạ xạ ảnh f: {S} →{S’} giữa hai chùm {S} và {S’} là phép chiếu xuyên trục khi và chỉ khi đường thẳng SS’ tự ứng

b Ngược lại: Cho ánh xạ xạ ảnh f: {S1} → {S2} giữa hai chùm phân biệt {S1}

và {S2} Nếu f không phải là phép chiếu xuyên trục thì tập hợp các giao điểm của các đường thẳng tương ứng là một đường ovan tiếp với các tia tương ứng

1.4.10 Định lý đối ngẫu của định lý Steiner

b Ngược lại nếu f: s1→ s2 là ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm s1 và s2 Khi

đó nếu f không phải là phép chiếu xuyên tâm thì các đường thẳng nối hai điểm tương ứng sẽ tiếp với một đường ovan Đường ovan đó tiếp với s1, s2 lần lượt tại f-1(Q) và f(Q) với Q = s1 ∩ s2

1.4.11 Các định lý về sự xác định của một đường ovan trong P2(R)

Định lý 1: Cho năm điểm A, B, C, D, E trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng khi dó luôn luôn có một đường ovan duy nhất đi qua chúng

Hệ quả 1: Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và một dường thẳng a đi qua A nhưng không đi qua các điểm còn lại Khi đó có đường ovan duy nhất đi qua B, C, D và tiếp với đường thẳng a tại A

Hệ quả 2: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng đường thẳng a đi qua A nhưng không đi qua B, C; đường thẳng b đi qua B nhưng không đi qua A, C Khi đó có một đường ovan duy nhất đi qua C và tiếp với đường thẳng a và b lần lượt tại điểm A và B

Đối ngẫu của định lý trên:

Định lý 2: Cho năm đường thẳng a, b, c, d, e Trong đó không có ba đường nào đồng quy Khi đó có một đường ovan duy nhất tiếp với chúng

Hệ quả 3: Cho bốn đường thẳng a, b, c, d Trong đó không có ba đường nào

đồng quy và một điểm A nằm trên a nhưng không nằm trên các đường còn lại Khi đó có một đường ovan duy nhất tiếp với các đường thẳng b, c, d và tiếp với đường thẳng a tại điểm A

Hệ quả 4: Cho ba đường thẳng a, b, c không đồng quy và một điểm A nằm trên a nhưng không nằm trên b, c Một điểm B nằm trên b nhưng không nằm trên a, c Khi đó có một đường ovan duy nhất tiếp với đường thẳng a tại điểm

A, tiếp với đường thẳng b tại B và tiếp với đường thẳng c

1.4.12 Định lý Pascal

Cho một hình 6 đỉnh có 6 đỉnh nằm trên một đường ovan (còn gọi là hình 6 đỉnh nội tiếp đường ovan đó) thì giao điểm của các cặp cạnh đối diện nằm trên một đường thẳng

1.4.13 Định lý Briăngsông

Nếu cho một hình 6 cạnh phân biệt cung tiếp với một đường ovan (còn gọi là hình lục giác ngoại tiếp ovan đó) thì các đường thẳng nối các đỉnh đối diện đồng quy

1.4.14 Định lý về phép biến đổi xạ ảnh của một đường ovan

Cho f: (S) → (S) là phép biến đổi xạ ảnh khác phép đồng nhất của

đường ovan (S) Khi đó với bất kì hai điểm M, N phân biệt của (S) và ảnh của chúng M’= f(M); N’= f(N) thì giao điểm của MN’ và M’N luôn nằm trên một

Cho một điểm F cố định không nằm trên ovan (S) Với mỗi điểm M∈

(S) ta lấy M’∈(S) sao cho: F, M, M’ thẳng hàng Khi đó ánh xạ f: (S) → (S’)

mà f(M)= M’ là một phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của (S)

1.4.17 Đối ngẫu của định lý Frêgiê

Định lý thuận: Nếu ánh xạ F: (S*)→ (S*) là đối hợp (F2 = Ids*) thì giao điểm các đường thẳng tương ứng nằm trên một đường thẳng cố định (gọi là đường thẳng Frêgiê của F)

Định lý đảo: Cho một đường thẳng cố định d không thuộc (S*) với mỗi đường thẳng a tiếp với (S) cho tương ứng đường thẳng F(a) tiếp với (S) sao cho đường thẳng a và F(a) cắt nhau trên d thì ta được ánh xạ F: (S*)→ (S*) là phép xạ ảnh

đối hợp

1.4.18 Định lý về phép ánh xạ xạ ảnh của đường thẳng

Cho s là đường thẳng trong Pn Phép biến đổi xạ ảnh khác đồng nhất f: s → s là phép đối hợp của s khi và chỉ khi có hai điểm phân biệt M và M’ sao cho: M=f(M’); M’= f(M)

1.4.19 Định lý về điểm bất động của phép đối hợp

Cho phép đối hợp f: s → s của đường thẳng s khác với phép đồng nhất Nếu f có điểm bất động P thì nó còn có một và chỉ một điểm bất động nữa

Q ≠ P và nếu điểm M của (S) có ảnh M’ ≠ M thì [P, Q, M, M’]= -1

Hệ quả: Nếu f: s → s là phép đối hợp khác đồng nhất của đường thẳng thì hoặc f không có điểm bất động nào hoặc có đúng hai điểm bất động

1.4.20 Định lý xác định một phép đối hợp

Một phép đối hợp f khác phép đồng nhất của đường thẳng s được xác định nếu

cho hai điểm phân biệt A, B thuộc s và ảnh A’, B’ của chúng

Chương 2

các dạng toán cơ bản

và phương pháp giải trong P22.1 Chứng minh đồng quy, thẳng hàng

2.1.1 Phương pháp tọa độ

Các bài toán có thể làm theo phương pháp toạ độ là

+ Bài toán cho phép chọn được một hệ toạ độ xạ ảnh thích hợp (chọn

được 4 điểm là một mục tiêu thích hợp) Với mục tiêu đã chọn, ta tính được toạ độ của các đối tượng trong bài toán một cách đơn giản, không cồng kềnh

và chứa nhiều tham số

+ Các bài toán liên quan đến siêu mặt bậc hai thì không nên sử dụng phương pháp toạ độ

Lưu ý các bài toán giải theo phương pháp toạ độ có thể không cần vẽ hình Các bước giải:

+ Chọn một hệ tọa độ xạ ảnh thích hợp và chuyển yêu cầu bài toán sang ngôn ngữ toạ độ

+ Tính tọa độ của các đối tượng trong bài toán

+ áp dụng các định lý, mệnh đề và kết quả đã biết để giải bài toán trong hệ tọa độ đó

+ Trả lời yêu cầu bài toán dưới dạng ngôn ngữ hình học

Mệnh đề 2: Trong P2 cho ba điểm A, B, C có tọa độ A(a0:a1:a2) B(b0:b1:b2); C(c0:c1:c2) Khi đó điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là:

đối với mục tiêu {A0, A1,A2, E} có phương trình: x0+x1+x2=0

Mệnh đề 5: Trong P2 phương trình đường thẳng đi qua A(a0: a1: a2)

Bài tập minh họa:

Bài 2.1.1.1 Chứng minh định lý Papuýt:

Trong P2 cho ba điểm A, B, C nằm trên đường thẳng ∆ và ba điểm A’, B’, C’ cùng nằm trên đường thẳng ∆’ Khi đó ba giao điểm AB’∩A’B; AC’∩A’C; BC’∩B’C đều nằm trên một đường thẳng

Bài giải

Chọn mục tiêu xạ ảnh {E0, E1, E2; E} như sau: E0= ∆∩∆’ E1∈∆ nhưng không trùng với A, B, C

2 1 0

b a

x x x

=0 ⇔ x0-ax1-b’x2= 0

Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng A’B:

01

10'

2 1 0

b a

x x x

e1

a

H×nh 2.1

Bài giải

Ta chọn mục tiêu xạ ảnh {A, B, C; E}

Khi đó với mục tiêu đã chọn: A1= (0: a: 1); B1= (b: 0: 1); C1= (c: 1: 0)

Từ (1) và (2): Các đường thẳng AA2, BB2, CC2 đồng quy

Bài 2.1.1.3 Trong P2 cho mục tiêu xạ ảnh (So, S1, S2; E) Đặt E0=S0E ∩ S1S2,

E1 = S1E ∩ S2S0, E2 = S2E ∩ SOS1 Lấy các điểm M0, M1, M2 lần lượt nằm trên các đường thẳng E1E2, E2E0, E0E1 và các điểm

Do đó E0 = (0:1: 1); E1= (1: 0:1);E2 = (1:1: 0); Vì M0∈E E1 2 nên toạ độ của

M0 thoả mãn phương trình của E E1 2 là : -x0+x1+x2=0 Do đó toạ độ của M0 có

Tương tự: M1(b1: a1+b1: a1); M2(a2: b2: a2+b2);

Suy ra E0M0=(b0-a0: a0+b0: -a0-b0)

Bài 2.1.1.4 Chứng minh định lý Menelauýt dưới dạng xạ ảnh

Trong P2 cho ba điểm độc lập A1, A2, A3 và một đường thẳng d không đi qua các đỉnh A1, A2, A3 Gọi K1= d∩A2A3; K2 = d∩A1A3; K3 = d∩A1A2 Giả sử

L1, L2, L3 là ba điểm lần lượt nằm trên ba đường thẳng A2A3; A3A1; A1A2 khác

với các đỉnh A1, A2, A3 Chứng minh rằng: ba điểm L1, L2, L3 thẳng hàng khi

và chỉ khi [A2, A3, K1, L1][A3, A1, K2, L2][A1, A2, K3, L3] = 1

Bài giải

Ta chọn mục tiêu {A1, A2, A3; E} trong P2 sao cho d có phương trình:

x+y + z= 0 => d(1:1:1)

Khi đó trong mục tiêu này ta có:

Đường thẳng A2A3 có toạ độ (1: 0: 0)

Ta lại có: L1, L2, L3 thẳng hàng khi và chỉ khi : = + =

Để giải được bài toán bằng phương pháp tỉ số kép chúng ta cần phải nắm

được các tính chất của tỉ số kép, của bốn điểm thẳng hàng cũng như của chùm bốn đường thẳng, tính chất của hình 4 đỉnh toàn phần và hình 4 cạnh toàn phần

và vận dụng khéo léo các tính chất ấy

Phương pháp này thường được sử dụng khi bài toán đã cho các tỉ số kép hoặc thoả mãn các tỉ số kép nào đó

Ngoài các tính chất này chúng ta còn sử dụng các kết quả sau:

+ Cho năm điểm thẳng hàng A, B, C, D, E Nếu có đẳng thức:

[A, B, C, D] = [A, B, C, E] thì D ≡ E

+ Cho năm đường thẳng u, v, w, z, t cùng thuộc một chùm Nếu ta có

đẳng thức: [u, v, w, z]= [u, v, w, t] thì z ≡ t

Bài tập minh hoạ:

Bài 2.1.2.1 Trong P2 cho hai đường thẳng phân biệt d và d’ cắt nhau tại A Trên d lấy 3 điểm phân biệt B, C, D khác với A; trên d’ lấy 3 diểm phân biệt B’, C’, D’ khác A

Chứng minh rằng 3 đường thẳng BB’, CC’, DD’ đồng quy khi và chỉ khi

Vậy điều kiện để DC’, BB’, CD’ đồng quy là [A, B, C, D] = -1

Bài 2.1.2.2 Chứng minh định lý Papuýt bằng tỉ số kép

N

d' D' B'

C'

K

d

M

Bài 2.1.2.3 Chứng minh định lý Menelauýt

[A3, A1, K2, L2] = [A3, A1, K2, L2’][A3, A1, L2’, L2]

Suy ra: L1, L2, L3 thẳng hàng khi và chỉ khi :

[A2, A3, K1, L1][A3, A1, K2, L2] = [A2, A3, K1, L1][A3, A1, K2, L2’][A3, A1, L2’, L2]

= [A2, A1, K3, L3] [A2, A3, K1, L1][A3, A1, K2, L2][A1, A2, K3, L3] = 1

2.1.3 Phương pháp dùng tính chất của phép chiếu xuyên tâm, xuyên trục

Ta xuất phát từ định nghĩa của phép chiếu xuyên tâm giữa hai hàng

điểm Ta sẽ có các tính chất sau:

Giả sử f: m→m’ là phép chiếu xuyên tâm O Nếu f(M)=M’; f(N)=N’; f(P)=P’ Khi đó:

Để chứng minh bài toán đồng quy, thẳng hàng bằng phương pháp sử dụng phép chiếu xuyên tâm, xuyên trục chúng ta cần phải xây dựng được một tương ứng giữa hai hàng điểm (hai chùm) Sau đó chứng minh tương ứng đó là

ánh xạ xạ ảnh và là phép chiếu xuyên tâm (xuyên trục) bằng cách chứng minh giao hai hàng (đường nối hai tâm) tự ứng Vận dụng các tính chất trên rồi đưa

ra kết luận của bài toán

Bài toán minh hoạ:

Bài 2.1.3.1 Chứng minh định lý Papuýt

f(B) = g0h(B) = g(E0) = B => f là phép chiếu xuyên tâm

f(A’) = g0h(A’) = g(A’) = N

f(M) = g0h(M) = g(C’) = C’

Q = A’N∩MC’ là tâm chiếu của f

Mặt khác ta lại có f(R) = g.h(R) = g(B’) = P

Suy ra: P,R,Q thẳng hàng

Bài 2.1.3.2 Chứng minh định lý Pascal

Nếu một hình 6 đỉnh có 6 đỉnh nằm trên ovan (còn gọi là hình 6 đỉnh nội

p

qr

Bài giải

Giả sử hình 6 đỉnh A1A2A3A4A5A6 nội tiếp đường ovan (S) Ta kí hiệu:

P = A1A2∩A4A5; Q = A2A3∩A5A6; R = A3A4∩A6A1; M = A1A2∩A3A4, N= A2A3∩A4A5 (Hình 2.7)

Xét hai chùm {A1} và {A5}

Theo định lý Stayne thuận ta suy ra:

[A1A2, A1A3, A1A4, A1A6] = [A5A2, A5A3, A5A4, A5A6]

Ngoài ra để chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc ba đường thẳng đồng quy trong P2 ta phải sử dụng kết quả sau:

+ Cho đường bậc hai (S) và ba điểm A, B, C có đường đối cực lần lượt là ba

đường thẳng a, b, c Khi đó A, B, C thẳng hàng <=> a, b, c đồng quy

+ Cho đường bậc hai (S) không suy biến, A là liên hợp với B, C đối với (S) Khi đó: A có đường đối cực là đường thẳng BC đối với (S)

Để sử dụng được phương pháp cực đối cực vào bài toán chứng minh ba

điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy, nhất thiết trong bài toán phải có dữ kiện đường bậc hai, điểm liên hợp, siêu phẳng liên hợp

Bài tập minh hoạ:

Bài 2.1.4.1 Trong P2 cho đường bậc hai (S) không suy biến, ba điểm A, B, C không thẳng hàng và đôi một liên hợp với nhau đối với (S) Một đường thẳng

m cắt các đường thẳng AB, BC, CA lần lượt tại P, Q, R Gọi P’, Q’, R’ là các

điểm trên AB, BC, CA và lần lượt liên hợp với P, Q, R đối với (S)

Chứng minh rằng: AQ’, BR’, CP’ đồng quy

Bài giải

Vì (S) không suy biến và A, B, C là ba điểm phân biệt không thẳng hàng đôi một liên hợp với nhau đối với (S) nên A, B, C∈P2 \ (S)

Vì A liên hợp với B đối với (S) và A liên hợp với C đối với (S) Suy ra đường

đối cực của A đối với (S) là BC

Tương tự: Đường đối cực của B đối với (S) là AC

Đường đối cực của C đối với (S) là AB

Vì P∈AB suy ra P liên hợp với C đối với (S) Mặt khác P liên hợp với P’ đối với (S) (theo giả thiết)

Suy ra đường đối cực của P đối với (S) là P’C

Tương tự như vậy: Đường đối cực của Q đối với (S) là Q’A

Đường đối cực của R đối với (S) là R’B

Vì P, Q, R thẳng hàng (theo giả thiết) Suy ra: P’C, Q’A, R’B đồng quy

Bài 2.1.4.2 Trong P2 cho đường bậc hai (S) không suy biến, cho hai bộ điểm

độc lập (A, B, C) và(A’, B’, C’) sao cho các đường thẳng B’C’, C’A’, A’B’ lần lượt là đường đối cực của A, B, C đối với (S)

Chứng minh:

a Các đường thẳng AB, BC, CA lần lượt la đối cực của C’, A’, B’ đối với (S)

Bài giải

a Ta có theo giả thiết

B’C’ là đường đối cực của A đối với (S)

Suy ra C’ liên hợp với A đối với (S) (1)

Mặt khác ta lại có: A’C’ là đường

đối cực với của B đối với (S)

Suy ra C’ liên hợp với B đối với (S) (2)

Từ (1), (2) suy ra: AB là đường đối cực của C’

đối với (S)

Tương tự: AC là đường đối cực của B’ đối với (S)

BC là đường đối cực của A’ đối với (S)

b Ta áp dụng định lý Staud như sau:

Trong P2 cho một đường bậc hai không suy biến (S) Chứng minh rằng: Nếu có hai cặp đỉnh đối diện của một hình 4 cạnh toàn phần liên hợp với nhau

đối với (S) thì cặp đỉnh đối diện còn lại cũng liên hợp với nhau đối với (S)

Để chứng minh AA’, BB’, CC’ đồng quy ta sử dụng định lý Staud

Gọi P=AA’∩BB’; E=AB∩A’B’; F=BC∩B’C’; I=AC∩A’C’ (Hình 2.8) Xét hình bốn cạnh toàn phần có các cặp đỉnh đối diện là (A, B’);

(A’, B); (P, E)

Theo giả thiết ta có B’C’ là đường đối cực của A, A’C’ là đường đối cực B Suy ra A liên hợp với B’ đối với (S); B liên hợp với A’ đối với (S)

Theo bổ đề ta có: P liên hợp với E (1)

Theo giả thiết: B’C’ là đối cực của A

BC là đối cực của A’ (theo chứng minh câu a)

Suy ra: F = BC∩B’C’ là cực của AA’

P liên hợp với F đối với (S)

Tương tự như vậy ta có: P liên hợp với I đối với (S)

P là cực của FI đối với (S) (2)

e

a

p b

Hình 2.8

b Chứng minh rằng: Các đường thẳng AC, BD, PL, QM đồng quy

Suy ra (PH, PE), (LH, LE) là hai

cặp đường thẳng liên hợp với (G) Vì PE ≡LE≡EF nên PH và LH cùng liên hợp với FE đối với (G)

Vậy PH và LH cùng đi qua cực

của FE Nói cách khác PH ∩LH = H là cực của FE

Tương tự F là cực của EH, E là cực của HF

b Ta có N là cực của AC và K là cực của BD vậy AC ∩BD là cực của NK nhưng NK ≡HF và theo câu a ta có E là cực của HF do đó E≡AC∩BD nói cách khác AC, BD, PL, QM đồng quy tại E

p

be

cl

n

a

md

f

Hình 2.9

2.1.5 Phương pháp sử dụng các định lý cổ điển

Chúng ta thường sử dụng các định lý sau: Định lý Ceva, định lý Menelauyt,

định lý Đơgiac, định lý Papuýt, các định lý về đường bậc hai, định lý Đogiac 2,…

Tuỳ vào từng bài toán mà chúng ta nhận biết và vận dụng một cách khéo léo các định lý để giải, cùng một bài toán cũng có thể vận dụng nhiều

đường thẳng AA2, BB2,CC2 đồng quy

Bµi 2.1.5.2 Trong P2 cho ®−êng bËc hai kh«ng suy biÕn (G) vµ bèn ®iÓm ph©n biÖt A, B, C, D trªn (G) §iÓm P∉(G), c¸c ®−êng th¼ng PA, PB, PC c¾t (G) t¹i A’, B’, C’ C¸c ®−êng th¼ng DA, DB, DC c¾t B’C’, C’A’ A’B’ t¹i A”, B”, C” Chøng minh r»ng: A”, B”, C” th¼ng hµng

VËy PA” chøa C” vµ B” NghÜa lµ: A”, B”, C” th¼ng hµng

Bµi 2.1.5.3 Trong P2 cho ba ®iÓm ph©n biÖt kh«ng th¼ng hµng O1, O2, O3 vµ E

a

H×nh 2.11

Bài giải

Gọi E1’ = E2E3∩O2O3 (Hình 2.12)

áp dụng định lý Ceva dưới dạng xạ ảnh ta có: O1a1, O2A2, O3A3 đồng quy

⇔ [O2, O3, E1’, A1][O3, O1, E2, A2][O1,O3, E3, A3] = -1

Mặt khác theo định lý Ceva ta có: O1E1, O2E2, O3E3 đồng quy tại E (gt)

=> [O2, O3, E1’, E1][O3, O1, E2, E2][O1, O2, E3, E3] = -1 (1)

[O2, O3, E1’, E1] = -1

Mặt khác ta lại có: [O2, O3, E1’, A1] = [O2, O3, E1’, E1][O2, O3, E1, A1]

[O2, O3, E1’, A1]=-[O2, O3, E1, A1] (2)

Thay (2) vào (1) ta có: O1A1, O2A2, O3A3 đồng quy

⇔ [O2, O3, E1, A1][O3, O1, E2, A2][O1, O2, E3, A3] =1 (được điều phải chứng minh)

Bài 2.1.5.4 Trong P2 cho đường bậc hai không suy biến (G) và bốn điểm A,

B, C, D trên (G) Gọi P là giao hai tiếp tuyến tại A và D Gọi Q là giao điểm của hai tiếp tuyến tại B và C Đặt M=AC∩DP; N=BD∩CQ