MỘT SỐ ðỀ THI HỌC PHẦN HÌNH HỌC VI PHÂN THAM KHẢO ðỀ THI SỐ 1 (Thời gian làm bài 90 phút) _________________ Câu I : (3ñ) Trong không gian R 3 cho ñường cong (C) xác ñịnh bởi phép tham số hóa C(t)= (2t,lnt,t 2 ); t ∈ (0,+ ∞ ) a) Chứng minh rằng (C) là ñường song chính quy. Lập phương trình mặt phẳng pháp diện của (C) tại ñiểm P(2, 0, 1). b) Tính ñộ cong và ñộ xoắn của (C) tại một ñiểm tuỳ ý. Câu II (2ñ) Tính ñộ dài của ñường cong (D) trong R 3 xác ñịnh bởi phép tham số hóa D(t) = (3cost, 3sint, 4t) ; t ∈ [0, 2π]. Câu III (2.5 ñ) Chứng minh rằng ñường cong (E) trong R 3 xác ñịnh bởi phép tham số hóa E(t) = ( t 2 + 2t -1, -t 2 + t +2, 3t 2 + 4t + 5 ) ; t ∈ R. là ñường cong phẳng . Câu IV : (2.5ñ) Trong không gian R 3 cho ñường cong (C) xác ñịnh bởi phép tham số hóa C(t) = (e t , e −t , t 2 ); t ∈ R Chứng minh rằng (C) là ñường song chính quy. Lập phương trình mặt phẳng trực ñạc của (C) tại ñiểm P(1, 1, 0). Ghi Chú : Sinh viên không ñược dùng tài liệu trong giờ làm bài. ðỀ THI SỐ 2 (Thời gian làm bài 90 phút) _________________ Câu I : (3ñ) Trong R 3 cho cung (Γ) có tham số hóa : ρ(t) = (cost, sint, f(t)) với f : R → →→ → R là hàm số có ñạo hàm mọi cấp. a) Tính ñộ xoắn của (Γ) tại 1 ñiểm tùy ý. b) Với ñiều kiện nào của hàm f(t) ñể (Γ) là 1 cung phẳng? Câu II (2ñ) Trong R 3 cho cung (Γ) có tham số hóa: ρ(t) = (t 2 , t −1, t 3 ) Viết phương trình của pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến của (Γ) tại ñiểm M = ρ(1). Câu III (2 ñ) Trong R 3 cho cung (Γ) có tham số hóa : ρ(t) = (acost, asint, bt) với a, b ∈ R và a ≠ 0) Tìm các véctơ T, N, B trong tam diện Frenet tại một ñiểm tùy ý của (Γ). Câu IV : (3ñ) Trong R 3 chứng minh rằng : a) Nếu các tiếp tuyến của cung chính quy (Γ) cùng song song với một mặt phẳng cố ñịnh thì (Γ) là một cung phẳng. b) Nếu các pháp diện của cung chính quy (Γ) cùng ñi qua 1 ñiểm cố ñịnh thì (Γ) nằm trên một mặt cầu (Pháp diện của cung (Γ) tại ñiểm M = ρ(t) là mặt phẳng ñi qua M và vuông góc với ρ’(t)). Ghi Chú : Sinh viên không ñược dùng tài liệu trong giờ làm bài. ðỀ THI SỐ 3 (Thời gian làm bài 90 phút) _________________ Câu I : (4ñ) Trong R 3 cho cung (Γ) có tham số hóa : ρ(t) = (e t , e −t , t 2 ) a) Tính ñộ cong, ñộ xoắn của (Γ) tại 1 ñiểm tùy ý. b) Viết phương trình mặt phẳng mật tiếp, trùng pháp tuyến của (Γ) tại ñiểm M = ρ(0). c) Tìm một tham số hóa tự nhiên của cung (Γ). Câu II (2ñ) Trong R 3 cho cung (Γ) có tham số hóa : ρ(t) = (at 2 − 2t 2 + 1, t 2 + 2t + 2, bt 3 + 4t + 5) với a, b là các số thực vào ñó. Tìm ñiều kiện của a và b ñể (Γ) là 1 cung phẳng. Câu III (2 ñ) Chứng minh rằng nếu các tiếp tuyến của một cung chính quy (γ) trong R 3 cùng song song với một ñường thẳng cố ñịnh thì (γ) là một cung thẳng. Câu IV : (2ñ) Ánh xạ sau f : 2 2 → ℝ ℝ , ( , ) ( 1, 2 4) u v x u v y u v = − + = − + + ֏ có phải là một vi phôi không? Trong trường hợp f là một vi phôi, biểu diễn ảnh bởi f * của các trường vectơ u ∂ ∂ , v ∂ ∂ qua các trường vectơ x ∂ ∂ , y ∂ ∂ . Ghi Chú : Sinh viên không ñược dùng tài liệu trong giờ làm bài. ðỀ THI SỐ 4 (Thời gian làm bài 90 phút) _________________ Câu I : (2ñ) Cho ñường C : t ֏ r(t) = (x(t) ; y(t) ; z(t)) Với ( ) ln sin 1 ( ) 3ln 4sin 5 ( ) 4sin 7ln 2 x t t t y t t t z t t t = + + = − + = + + Chứng minh rằng (C ) là ñường cong phẳng. Câu II (3ñ) Trong R 3 cho cung (Γ) có tham số hóa : ρ(t) = (e t cost, e t sint, e t ) a) Viết phương trình mặt phẳng mật tiếp, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến của (Γ) tại ñiểm M 0 = ρ(0) b) Tính ñộ cong, ñộ xoắn của (Γ) tại ñiểm M 0 = ρ(0). Câu III (3 ñ) Trong R 3 cho cung chính quy (Γ) có tham số hóa : ρ : J → R 3 Chứng minh rằng nếu ∀t ∈ J véctơ ρ’(t) luôn song song với 1 véc tơ cố ñịnh khác không thì (Γ) là 1 cung phẳng. Câu IV : (2ñ) Xét trường mục tiêu song song { } 1 2 3 , , E E E ứ ng v ớ i m ụ c tiêu afin { } 1 2 3 , , , O e e e c ủ a 3 E v ớ i to ạ ñộ (x,y,z) cho tr ườ ng vect ơ 2 1 1 3 2 1 3 +x X x E x E x E = − 1 2 3 1 3 2 1 2 2 3 , , =x Y x x x E x E x x x ϕ = + − . Tính [ ], , ( ) X Y X D Y D X ϕ ϕ . Ghi Chú : Sinh viên không ñượ c dùng tài li ệ u trong gi ờ làm bài. ðỀ THI SỐ 5 (Th ờ i gian làm bài 90 phút) _________________ Câu I : (3ñ) Trong R 3 cho cung ( Γ ) có tham s ố hóa : ρ (t) = (e t cost, e t sint, e t ) a) Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng m ậ t ti ế p, pháp tuy ế n chính, trùng pháp tuy ế n c ủ a ( Γ ) t ạ i ñ i ể m M 0 = ρ (0) b) Tính ñộ cong, ñộ xo ắ n c ủ a ( Γ ) t ạ i ñ i ể m M 0 = ρ (0). Câu II (2 ñ ) Trong R 3 cho cung ( Γ ) có tham s ố hóa : ρ (t) = (t 2 + at − 1, at 2 + 2t − 1, 2t 2 − t + 2) v ớ i a là 1 s ố th ự c nào ñ ó. a) Xét xem ( Γ ) có là cung song chính quy hay không? b) Ch ứ ng minh r ằ ng ( Γ ) là 1 cung ph ẳ ng Câu III (3 ñ ) Xét tr ườ ng m ụ c tiêu song song { } 1 2 3 , , E E E ứ ng v ớ i m ụ c tiêu afin { } 1 2 3 , , , O e e e c ủ a 3 E v ớ i to ạ ñộ (x,y,z) cho tr ườ ng vect ơ 2 1 2 3 X x E yzE yE = + − .Tính [ + ], X[ . ], X[X[ ]], X[ ] [ ] X X ϕ ψ ϕ ψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ − trong ñ ó 2 2 , . x y yz ϕ ψ = = Câu IV : (2ñ) Kí hi ệ u { } 1 2 3 , , E E E là tr ườ ng m ụ c tiêu song song ứ ng v ớ i h ệ to ạ ñộ afin { } 1 2 3 , , , O e e e c ủ a 3 E v ớ i to ạ ñộ (x,y,z). Cho các tr ườ ng vect ơ trên 3 E X = 2 1 2 3 z xyzE e E y zE + − ; 1 2 Y xyE xE = + . Tính ( ), ( ) X X X D D Y D X xY + . Ghi Chú : Sinh viên không ñượ c dùng tài li ệ u trong gi ờ làm bài. . MỘT SỐ ðỀ THI HỌC PHẦN HÌNH HỌC VI PHÂN THAM KHẢO ðỀ THI SỐ 1 (Thời gian làm bài 90 phút) _________________ Câu I : . ý. b) Vi t phương trình mặt phẳng mật tiếp, trùng pháp tuyến của (Γ) tại ñiểm M = ρ(0). c) Tìm một tham số hóa tự nhiên của cung (Γ). Câu II (2ñ) Trong R 3 cho cung (Γ) có tham số hóa. Chú : Sinh vi n không ñược dùng tài liệu trong giờ làm bài. ðỀ THI SỐ 2 (Thời gian làm bài 90 phút) _________________ Câu I : (3ñ) Trong R 3 cho cung (Γ) có tham số hóa : ρ(t)