Vận dụng tính chất số phức vào giải một số đề thi học sinh giỏi toán (Phần hình học) (LV thạc sĩ)

Vận dụng tính chất số phức vào giải một số đề thi học sinh giỏi toán (Phần hình học) (LV thạc sĩ)Vận dụng tính chất số phức vào giải một số đề thi học sinh giỏi toán (Phần hình học) (LV thạc sĩ)Vận dụng tính chất số phức vào giải một số đề thi học sinh giỏi toán (Phần hình học) (LV thạc sĩ)Vận dụng tính chất số phức vào giải một số đề thi học sinh giỏi toán (Phần hình học) (LV thạc sĩ)Vận dụng tính chất số phức vào giải một số đề thi học sinh giỏi toán (Phần hình học) (LV thạc sĩ)Vận dụng tính chất số phức vào giải một số đề thi học sinh giỏi toán (Phần hình học) (LV thạc sĩ)Vận dụng tính chất số phức vào giải một số đề thi học sinh giỏi toán (Phần hình học) (LV thạc sĩ)Vận dụng tính chất số phức vào giải một số đề thi học sinh giỏi toán (Phần hình học) (LV thạc sĩ)Vận dụng tính chất số phức vào giải một số đề thi học sinh giỏi toán (Phần hình học) (LV thạc sĩ)Vận dụng tính chất số phức vào giải một số đề thi học sinh giỏi toán (Phần hình học) (LV thạc sĩ)Vận dụng tính chất số phức vào giải một số đề thi học sinh giỏi toán (Phần hình học) (LV thạc sĩ)Vận dụng tính chất số phức vào giải một số đề thi học sinh giỏi toán (Phần hình học) (LV thạc sĩ)Vận dụng tính chất số phức vào giải một số đề thi học sinh giỏi toán (Phần hình học) (LV thạc sĩ)

LƯƠNG THỊ THANH NGÀ

VẬN DỤNG TÍNH CHẤT SỐ PHỨC

VÀO GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI

HỌC SINH GIỎI TOÁN (PHẦN HÌNH HỌC)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯƠNG THỊ THANH NGÀ

VẬN DỤNG TÍNH CHẤT SỐ PHỨC

VÀO GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI

HỌC SINH GIỎI TOÁN (PHẦN HÌNH HỌC)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TRỊNH THANH HẢI

THÁI NGUYÊN - 2016

Mục lục

1.1 Sơ lược về số phức 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Biểu diễn đại số của số phức 4

1.1.3 Biểu diễn hình học của số phức 5

1.1.4 Dạng lượng giác của số phức 6

1.2 Sơ lược về các phép biến hình phức 8

1.2.1 Phép tịnh tiến 8

1.2.2 Phép quay 9

1.2.3 Phép vị tự 10

1.2.4 Phép đối xứng trục 10

1.2.5 Phép nghịch đảo 11

1.2.6 Tích của các phép biến hình 12

1.3 Biểu diễn dạng phức của một số yếu tố hình học 14

1.3.1 Phương trình tổng quát của đường tròn 14

1.3.2 Hai đoạn thẳng vuông góc và hai đoạn thẳng song song 16

1.3.3 Chân đường vuông góc ở dây cung 16

1.3.4 Tọa độ phức của những điểm đặc biệt trong tam giác 17

1.3.5 Điều kiện các tam giác đồng dạng 18

1.3.6 Khoảng cách giữa hai điểm 19

1.3.7 Công thức tính diện tích 19

2 Vận dụng tính chất của số phức vào giải một số bài tập hình học 21 2.1 Dạng bài toán liên quan đến quỹ tích 21

2.2 Dạng bài toán liên quan đến đường tròn 23

2.3 Dạng bài toán liên quan đến đa giác 27

2.4 Dạng bài toán tính diện tích 39

2.5 Dạng bài toán xác định khoảng cách 43

Danh sách hình vẽ

1.1 Điểm M(a; b) biểu diễn số phức z = a + bi. 5

1.2 Điểm M biểu diễn số phức z = z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 , b 1 + b 2 ) 6

1.3 Dạng lượng giác của số phức z 7

1.4 Phép tịnh tiến 9

1.5 Phép quay 9

1.6 Phép vị tự 10

1.7 Phép đối xứng trục 11

1.8 Phép nghịch đảo 11

1.9 Tích của hai phép tịnh tiến 12

1.10 Tích của hai phép quay 13

1.11 Phương trình tổng quát của đường tròn 14

1.12 Chân đường vuông góc ở dây cung 17

1.13 Tọa độ phức của trực tâm tam giác ABC 18

2.1 Bài toán 2.1.1 21

2.2 Bài toán 2.1.2 22

2.3 Bài toán 2.2.1 23

2.4 Bài toán 2.2.2 24

2.5 Bài toán 2.2.3 25

2.6 Bài toán 2.2.4 26

2.7 Bài toán 2.2.5 27

2.8 Bài toán 2.3.1 28

2.9 Bài toán 2.3.2 29

2.10 Bài toán 2.3.4 30

2.11 Bài toán 2.3.5 31

2.12 Bài toán 2.3.6 32

2.13 Bài toán 2.3.7 33

2.14 Bài toán 2.3.8 34

2.15 Bài toán 2.3.9 35

2.16 Bài toán 2.3.10 36

2.17 Bài toán 2.3.11 38

2.18 Bài toán 2.3.12 39

2.19 Bài toán 2.4.1 40

2.20 Bài toán 2.4.2 41

2.21 Bài toán 2.4.3 41

2.22 Bài toán 2.4.4 42

2.23 Bài toán 2.4.5 43

2.24 Bài toán 2.5.1 44

2.25 Bài toán 2.5.2 44

2.26 Bài toán 2.5.3 45

Mở đầu

Từ các thế kỷ trước do nhu cầu phát triển của toán học về giải phương trìnhđại số mà số phức đã xuất hiện Đã có nhiều nhà nghiên cứu về số phức và tìmcách biểu diễn hình học cho số phức, điển hình là Gauss, Hamilton, Số phứcđược ứng dụng rộng rãi trong hình học, vật lý và nhiều ngành kĩ thuật khác.Nhiều vấn đề của Hình học được đơn giản hóa một cách kì diệu khi nhìndưới góc độ của số phức và việc ứng dụng số phức vào nghiên cứu Toán học nóichung và Hình học nói riêng đã được tiến hành từ lâu và đã thu được nhiều kếtquả quan trọng Đối với học sinh bậc THPT thì số phức là một nội dung cònmới mẻ, với thời lượng không nhiều, học sinh mới chỉ biết được những kiến thứcrất cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế,đặc biệt là việc sử dụng số phức như một phương tiện để giải các bài toán Hìnhhọc phẳng là một vấn đề khó, chỉ xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi Tuynhiên dạy cho học sinh khá giỏi biết ứng dụng số phức vào việc giải các bài toánHình học phẳng có tác dụng lớn trong việc bồi dưỡng năng lực giải toán chohọc sinh, đồng thời giúp học sinh khắc sâu, tổng hợp, hệ thống hóa được kiếnthức cơ bản, dạng toán quen thuộc, giải quyết được một số bài toán khó, phứctạp chưa có thuật toán Để đáp ứng được điều đó cũng đòi hỏi giáo viên phải

có hiểu biết cần thiết, có cách nhìn sâu sắc hơn về các ứng dụng của Số phức.Dưới sự hướng dẫn của PGS TS Trịnh Thanh Hải cùng với mong muốnnghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về ứng dụng của số phức trong hình học,tôi đã chọn đề tài “Vận dụng tính chất số phức vào giải một số đề thihọc sinh giỏi toán (phần hình học)” làm luận văn thạc sĩ

Mục đích nghiên cứu: Vận dụng các tính chất của số phức vào giải quyết một

số bài toán học sinh giỏi thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi phổ thông.Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Tìm hiểu những tính chất của số phức có thể vận dụng vào các bài tập hìnhhọc

- Sưu tầm các đề thi học sinh giỏi, bài toán dành cho học sinh khá giỏi vàđưa ra lời giải theo hướng ứng dụng các tính chất của số phức.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về số phức, các phépbiến hình, Những kiến thức này được sử dụng để giải các bài tập hình họcphẳng Các nội dung này ta có thể tìm thấy trong [1-5]

1.1 Sơ lược về số phức

Nhà toán học Italia R Bombelli (1526-1573) đã đưa ra định nghĩa đầu tiên

về số phức, lúc đó được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo" trong công trìnhĐại số (Bologne, 1572) công bố ít lâu trước khi ông mất Ông đã định nghĩa các

số đó (số phức) khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã đưa ra căn bậchai của −1

Nhà toán học Pháp D’Alembert vào năm 1746 đã xác định được dạng tổngquát "a + bi" của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm củamột phương trình bậc n Nhà toán học Thụy Sĩ L Euler (1707-1783) đã đưa ra

ký hiệu "i" để chỉ căn bậc hai của −1 và đến năm 1801 Gauss đã dùng lại kýhiệu này Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép chứng minh chính xác đầutiên đối với Định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng trong trường số phức Cmọi phương trình đa thức đều có nghiệm

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1 (Xem [1], tr 19) Một cặp số thực có thứ tự(a, b) vớia, b ∈Rđược gọi là một số phức nếu trên tập hợp các cặp số đó có quan hệ bằng nhau,phép cộng và phép nhân được đưa vào theo các định nghĩa (tiên đề) sau đây.i) Quan hệ đồng nhất trong tập số phức: (a; b) = (c; d) khi và chỉ khi a = c và

b = d.

ii) Phép cộng trong tập số phức:(a; b) + (c; d) := (a + c; b + d)và cặp số(a + c; b + d)

được gọi là tổng của các cặp số (a; b) và (c; d)

iii) Phép nhân trong tập số phức: (a; b)(c; d) := (ac − bd; ad + bc) và cặp (ac − bd; ad + bc) được gọi là tích của các cặp (a; b) và (c; d)

iv) Số thực trong tập số phức: Cặp số (a; 0)được đồng nhất với số thực a, nghĩalà

(a; 0) := a hay là (a; 0) ≡ a.

Tập hợp các số phức được kí hiệu là C và quy ước C∗=C\(0, 0)

Như vậy, mọi phần của định nghĩa số phức đều được phát biểu bằng ngônngữ số thực và các phép toán trên chúng

1.1.2 Biểu diễn đại số của số phức

Một số phức viết dưới dạng z = a + bi với a, b ∈R gọi là dạng đại số của sốphức Số thực a được gọi là phần thực của z, kí hiệu là Re(z), số thực b đượcgọi là phần ảo của z, kí hiệu là Im(z) và thành phần i được gọi là đơn vị ảo vớiquy ước i 2 = −1

Các phép cộng, trừ, nhân, chia những số phức viết dưới dạng biểu diễn đại

số được định nghĩa như sau

i) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

ii) (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d),

iii) (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i,

Để thuận tiện thực hiện các phép tính và biến đổi số phức người ta đưa vào

kí hiệu z = a − ib và gọi là liên hợp của z = a + ib Những tính chất sau đâythường dùng đối với số phức liên hợp

v) Nếu z = −z thì z là số thuần ảo

1.1.3 Biểu diễn hình học của số phức

Ta biết rằng giữa tập hợp mọi cặp số thực có thứ tự và tập hợp mọi điểm củamặt phẳng Euclide với các tọa độ Descartes vuông góc R2 có thể xác lập phéptương ứng đơn trị một-một Bởi vì mỗi số phức được định nghĩa như là một cặp

số thực có thứ tự nên mỗi số phức (a; b) = a + bi có thể đặt tương ứng với điểmM(a; b) và ngược lại, mỗi điểm M(a; b) của mặt phẳng sẽ tương ứng với số phức

(a; b) = a + bi (xem Hình 1.1) Ta cũng gọi z = (a, b)là tọa độ phức của điểm M.Định nghĩa 1.1.2 (Xem [1], tr 23) Mặt phẳng tọa độ với phép tương ứng đơntrị một-một

M (a, b)

x

y

O

Hình 1.1: Điểm M(a; b) biểu diễn số phức z = a + bi.

Với cách biểu diễn số phức dưới dạng vectơ đi từ gốc tọa độ, các phép cộng

và trừ các số phức được thực hiện theo các quy tắc cộng và trừ các vectơ Cụthể như sau:

Cho hai số phức dạng đại số là z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i được biểu diễn bởihai điểm M 1 , M 2 trong hệ tọa độ vuông góc Ta nối điểm M 1 , M 2 với gốc tọa

độ O và xác định vectơ −−−→

OM 1 , −−−→

OM 2 Gọi M là đỉnh thứ tư của hình bình hành

M 1 OM 2 M, khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có −−−→

OM 1 + −−−→

OM 2 = −−→

OM Nhưvậy, điểm M biểu diễn cho số phứcz = z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 , b 1 + b 2 ) (xem Hình 1.2)

Hình 1.2: Điểm M biểu diễn số phức z = z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 , b 1 + b 2 ).

Tương tự như vậy, phép trừ các số phức cũng được thực hiện theo các quytắc trừ các vectơ Tuy nhiên phép nhân và phép chia vẫn cần thực hiện theoquy tắc trong đại số vì vectơ không có các quy tắc tương tự trực tiếp như vậy

1.1.4 Dạng lượng giác của số phức

Như đã biết ở trên, một số phức xác định như là một điểm trong mặt phẳng,một điểm trong mặt phẳng cũng hoàn toàn xác định với hệ tọa độ cực trên mặtphẳng phức C Thật vậy choz = a + ib 6= 0 thì số phức này ứng với vectơ−−→OM, ta

kí hiệu r là độ dài bán kính vectơ này, còn ϕlà độ lớn của góc định hướng giữatrục hoành và vectơ−−→

OM Nếu điểm z nằm trên trục hoành thìr chính là môđuncủa số thực tương ứng, vì vậy cho số phức z ta cũng định nghĩa r là môđun của

z và kí hiệu là |z| Do đó r = |z| = √a 2 + b 2 hay r2 = a2+ b2 = z.z Góc ϕ đượcgọi là một argument của số phức z, kí hiệu là arg z Khi đó ta có dạng lượnggiác của số phức là

Hình 1.3: Dạng lượng giác của số phức z.

Cho hai số phức dưới dạng lượng giác

z 1 = r 1 cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 , z 2 = r 2 cos ϕ 2 + i sin ϕ 2

Để đơn giản cách viết các số phức ta có thể đặt

cos ϕ ± i sin ϕ = e±iϕ.

Khi đó dạng lượng giác (1.1) của số phức z có thể được viết gọn về dạng mũnhư sau

z = reiϕ.

Với dạng số mũ ta cũng có các phép toán nhân chia tương ứng cho hai số phứcbất kỳ z 1 = re iϕ 1 , z 2 = re iϕ 2 như sau

1.2 Sơ lược về các phép biến hình phức

Phép đặt tương ứng với mỗi điểm M cho duy nhất một điểm M0 trong mặtphẳng được gọi là một phép biến hình trong mặt phẳng và được kí hiệu là w

Ta chỉ xét đến một phép biến hình mà trong đó

1 Với mỗi điểm M có tương ứng một điểm duy nhất M0;

2 Mỗi điểm M0 là sự tương ứng của một điểm M

Như vậy phép biến hình w là tương ứng một − một; điểm M0 là tương ứngcủa điểm M Phép đặt tương ứng mỗi điểm M0 với điểm M được gọi là phépbiến hình ngược củaw, kí hiệu w−1.Phương trình của một phép biến hình phức

w là sự liên hệ giữa tọa độ phức z của điểm M tùy ý trong mặt phẳng và tọa độphức z0 của điểm M0 tương ứng với M

AZ0 thu được từ −→

AZ bằng phép quay đỉnh

A với góc α (xem Hình (1.5)), nhờ hệ thức ba điểm (1.2) ta có

z0− a = (z − a)e iα

Khi đó, phương trình của phép quay góc α quanh điểm có tọa độ phức a là

z0= zeiα+ a(1 − eiα).

xO

Z

Z0

αy

A

Hình 1.5: Phép quay.

Nhận xét 1.2.1 Với phép quay một góc α = π (hoặc α = −π) quanh A thì ta

có phép đối xứng tâm A, khi đó

eiπ = cos π + i sin π = −1

và

e−iπ = cos( −π) + i sin(−π) = −1.

Nên phương trình của phép đối xứng tâm là z0= −z + 2a

1.2.3 Phép vị tự

Cho trước một điểmA có tọa độ phứcavà một số thựck 6= 0, âm hoặc dương.Đặt một trục tùy ý trên đường thẳng chứa điểm A và một điểm Z bất kì Lấyđiểm Z0 trên trục sao cho AZ 0

AZ = k (xem Hình 1.6) thì Z

0 gọi là ảnh của Z quaphép vị tự tâm A tỉ số k Gọi z và z0 lần lượt là tọa độ phức của Z và Z0, khi đóphương trình của phép vị tự tâm A tỉ số k là

z0= kz + a(1 − k).

xO

BZ

x O

và phương trình của phép nghịch đảo cực M phương tích p là

Xét phép biến hình ω 1 biến điểm Z thành điểm Z 1, ta viết Z 1 = ω 1 [Z], phépbiến hình ω 2 biến điểm Z 1 thành một điểm Z 2 ta viết Z 2 = ω 2 [Z 1 ] Khi đó ta có

Z 2 = ω 2 ω 1 [Z]. (1.3)Phép biến hình ω cho phép ta biến trực tiếp điểm Z thành điểm Z 2 được gọi làtích các phép biến hình ω 1 , ω 2 Phương trình (1.3) trên và Z 2 = ω(Z) cho phép

Hình 1.9: Tích của hai phép tịnh tiến.

biến thành Z 1 qua ω 1 và Z 1 biến thành điểm Z 2 qua ω 2, tức là

z 1 = z + a 1 ,

thì phương trình của phép biến hình ω = ω 2 ω 1 biến điểm Z thành điểm Z 2 là

z 2 = zei(α1 +α 2 ) + a 1 (1 − eiα1 )eiα2 + a 2 (1 − eiα2 ). (1.4)

Hình 1.10: Tích của hai phép quay.

• Trường hợp các phép quay ω 1 và ω 2 có cùng tâm nghĩa là A 1 ≡ A 2 ≡ A hay

a 1 ≡ a 2 ≡ a (a là tọa độ phức của A) thì (1.4) biểu diễn một phép quay tâm A,góc quay là α 1 + α 2

• Trường hợp các phép quay khác tâm:

* Nếu e i(α 1 +α 2 ) = 1 hay α 1 + α 2 = 2kπ (k ∈ Z) thì (1.4) biểu diễn một phéptịnh tiến

* Nếu α 1 + α 2 6= 2kπ (k ∈ Z) thì (1.4) biểu diễn một phép quay tâm A, gócquay là α = α 1 + α 2, trong đó

a = a1(1− e iα 1 )e iα 2 + a 2 (1 − e iα 2 )

1 − e i(α 1 +α 2 )

1.3 Biểu diễn dạng phức của một số yếu tố hình học

1.3.1 Phương trình tổng quát của đường tròn

Ta sẽ tìm hiểu điều kiện cần và đủ để 4 điểm Z 0 , Z 1 , Z 2 , Z 3, với các tọa độphức lần lượt là z 0 , z 1 , z 2 , z 3, nằm trên một đường tròn Trước hết ta kí hiệu

V (z 2 , z 1 , z 0 ) = z2− z 0

z 1 − z 0

là tỉ số đơn của các số phức z 2 , z 1 , z 0 theo thứ tự đó Khi đó argument của

V (z 2 , z 1 , z 0 ) chính là góc định hướng của các vectơ −−−→

Z 0 Z 1 và −−−→

Z 0 Z 2 Vì vậy điềukiện cần và đủ để Z 0 , Z 1 , Z 2 thẳng hàng là góc định hướng của các vectơ −−−→

Hình 1.11: Phương trình tổng quát của đường tròn.

Nếu Z 0 , Z 1 , Z 2 , Z 3 nằm trên một đường tròn thì hiệu giữa góc định hướng

Từ phương trình trên để một điểm Z nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác

Z 1 Z 2 Z 3 là phương trình sau thỏa mãn

1.3.2 Hai đoạn thẳng vuông góc và hai đoạn thẳng song song

Có rất nhiều bài toán liên quan đến đường tròn khi ta chọn tọa độ vuông gócvới gốc chính là tâm đường tròn và coi đường tròn đó là đường tròn đơn vị thìviệc tính toán trở nên đơn giản, dễ nhớ và áp dụng được trong các bài toán cụthể

Như ta đã biết sự vuông góc hoặc song song của hai đoạn thẳngZ 1 Z 2 và U 1 U 2

được biểu diễn bằng công thức

Suy ra Z 1 Z 2 và U 1 U 2 vuông góc với nhau khi và chỉ khi z 1 z 2 + u 1 u 2 = 0

Tương tự, Z 1 Z 2 và U 1 U 2 song song với nhau khi và chỉ khi z 1 z 2 = u 1 u 2

1.3.3 Chân đường vuông góc ở dây cung

Ta đi tìm công thức cho tọa độ phức của chân đường vuông góc S hạ từ mộtđiểm M xuống đường AB mà hai điểm A, B nằm trên đường tròn đơn vị (xemHình 1.12) Ta có S thuộc đoạn AB thì

Hình 1.12: Chân đường vuông góc ở dây cung.

Thế s vào a + b = s + abs ta tính được tọa độ phức s của chân đường vuông góc

hạ từ M xuống dây AB

s = 1

2(a + b + m− abm).

1.3.4 Tọa độ phức của những điểm đặc biệt trong tam giác

Khi giải các bài toán nếu ta chọn hệ tọa độ vuông góc thích hợp thì côngviệc giải sau đó rất đơn giản Tất nhiên việc chọn như vậy không mất tính tổngquát hay tính tự nhiên của bài toán Việc nghiên cứu các tính chất hình học cóliên quan đến tam giác người ta thường lấy tọa độ vuông góc có gốc tại tâmđường tròn ngoại tiếp tam giác và chính đường tròn đó làm đường tròn đơn vị.Cho tam giác ABC đường tròn ngoại tiếp tâm O, tọa độ phức của tâm O là

o, tọa độ phức a, b, c của các đỉnh của tam giác ABC có tính chất

|a| = |b| = |c| = 1, aa = 1, bb = 1, cc = 1.

Bài toán đặt ra là hãy biểu diễn tọa độ phức của những điểm đặc biệt của tamgiác ABC theo a, b, c với cách chọn tọa độ trên

Ở đây, ta tìm tọa độ phức của trọng tâm và trực tâm tam giác GọiB 1 , B 2 , B 3

lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB Ta có

h = h 3 + c = a + b + c Do CH song song với OH 3 , suy ra H nằm trên đườngcao hạ từ C của tam giác ABC (xem Hình 1.13) Do tính đối xứng của hđối với

a, b, c dễ dàng thấy rằng H nằm trên đường cao hạ từ A và B Như vậy điểm H

có tọa độ phức h = a + b + c và là trực tâm của tam giác ABC

B

x

y A

H3

C O

H

Hình 1.13: Tọa độ phức của trực tâm tam giác ABC.

1.3.5 Điều kiện các tam giác đồng dạng

Điều kiện tam giác đồng dạng

Định nghĩa 1.3.1 Cho sáu điểm A 1, A 2 , A 3 , B 1, B 2 , B 3 trong mặt phẳngphức Ta nói rằng các tam giác A 1 A 2 A 3 và B 1 B 2 B 3 đồng dạng với nhau nếu góc

Điều kiện tam giác đều

Mệnh đề 1.3.3 Giả sử z 1 , z 2 , z 3 là các tọa độ phức của các đỉnh của tam giác

Z 1 Z 2 Z 3 Khi đó, các phát biểu sau đây là tương đương:

a) Z 1 Z 2 Z 3 là tam giác đều;

b) |z 1 − z 2 | = |z 2 − z 3 | − |z 3 − z 1 |;

c) z12+ z22+ z32= z 1 z 2 + z 2 z 3 + z 3 z 4;

đó, các phát biểu sau đây là tương đương

a) Z 1 Z 2 Z 3 là tam giác đều;

Giả sử M 1 , M 2 có tọa độ phức là z 1 , z 2 Khi đó khoảng cách giữa hai điểm nàyđược xác định bởi

Kí hiệu τ (ba) = R a Rb sin (β − α) (phần ảo của số phức) Suy ra diện tích địnhhướng của tam giác OAB là

S = 1

2τ (ba).

Tổng quát hơn người đã ta chứng minh Định lý (1.3.6) dưới đây để tính diệntích định hướng cho một đa giác lồi định hướng dương bất ký trong mặt phức.Trước tiên ta định nghĩa một đa giác lồi định hướng dương như sau

Định nghĩa 1.3.5 Một đa giác lồi định hướng dương A 1 A 2 A n , (n ≥ 3) là đagiác mà với mỗi điểm O nằm trong đa giác đó thì mỗi tam giác OAkAk+1 với

k = 1, 2, , n − 1 đều là các tam giác có định hướng dương

Định lý 1.3.6 Cho một đa giác lồi định hướng dương A 1 A 2 A n , (n ≥ 3) trongmặt phẳng và ký hiệu S là diện tích định hướng của đa giác đó, khi đó

Chú ý rằng, trong công thức trên A n+1 = A 1

Đặc biệt với tam giác A 1 A 2 A 3 ta có

S = 1

2τ (a2a1+ a3a2+ a1a3)

và S = 0 khi và chỉ khi ba điểm thẳng hàng

Chương 2

Vận dụng tính chất của số phức vào giải một số bài tập hình học

Quy ước: Để không lặp lại, chương 2 quy ước số phức sẽ tương ứng với điểm

sẽ đặt tên trùng với tên điểm Ví dụ: Điểm A tương ứng với số phức a, điểm Q

tương ứng với số phức q, Ta cũng kí hiệu A(a) để chỉ rằng điểm A có tọa độphức là a

Các bài tập trong chương này chủ yếu được trích dẫn, tham khảo chủ yếu từ[1], [3] và [5]

2.1 Dạng bài toán liên quan đến quỹ tích

Bài toán 2.1.1 (Italy MO 1996) Cho đường tròn (O) và điểm A ở ngoài (O).Với mỗi điểm P trên đường tròn, dựng hình vuông APQR, với các đỉnh theongược chiều kim đồng hồ Tìm quỹ tích điểm Q khi P chạy khắp trên (O)

y

Q R

Hình 2.1: Bài toán 2.1.1.

Lời giải Chọn đường tròn (O) có tâm tại gốc tọa độ và có bán kính bằng 1,gọi x, a, p, q lần lượt là tọa độ phức của điểm X, A, P, Q trên mặt phẳng Khi đó