Ứng dụng tính chất của tập lồi giải một số bài toán hình học tổ hợp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN... HµNéi,th¸ng05n¨m2012S inhviªn NguyÔnThÞHoa... Nónlồi...5 Chơng2:Mộtsốvấnđềcủahìnhhọctổhợp...7 2.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

HµNéi,th¸ng05n¨m2012S in

hviªn

NguyÔnThÞHoa

Mởđầu 1

Chương1:Hìnhlồi 2

1.1 Cácđịnhnghĩa 2

1.2 Baolồivàbaolồiđóng 3

1.3 Nónlồi 5

Chơng2:Mộtsốvấnđềcủahìnhhọctổhợp 7

2.1 ĐịnhlíKelli trongkhônggianmộtchiềuR1 7

2.2 ĐịnhlíKelli trongkhônggianhaichiềuR2 8

2.3 Vídụ 10

Chương3:Mộtsốbàitoáncủahìnhhọctổhợp 13

3.1 Mộtsốphơngphápgiảithông thờng 13

3.1.1 Phơng phápsửdụngđịnhlíKelli 13

3.1.2.Phơng pháplấybaolồi 16

3.2 Mộtsố bàitoán thờng gặp 28

Kếtluận 39

Tàiliệuthamkhảo 40

tợngt-ờngg ặ p trongc á c kìt h i chọnhọcsinhgiỏitoántrongn-

ớcvàquốctế.Tronghìnhh ọ c t ổhợpcórấtnhiềukết quảnghiêncứuđ -

ợ c c á c n h à toánh ọ c cácngànhkhácquantâm

Vớ i mongm u ố n ợcnghiêncứusâuhơnvềhìnhh ọ c tổh ợ p vàt ì mhiểuđ ợ c nhiềuph-

đ-ơngphápgiảitoánhìnhh ọ c tổhợphayh ơ n , cụt h

ể h ơ n , trựcquanhơn,nhằmchuẩnbịchomìnhkiếnthứctốtchocôngviệcgiảngdạysaunày,emđã

c h ọ n đềtài“ứngdụngtínhchấtcủatậplồigiả imộtsốbàitoánhìnhhọct ổ hợp”đểlàmđềtà

ikhóaluậntốtnghiệp

2 Mụcđíchnghiêncứu

- Tìmhiểusâuhơncáckiếnthứcvềtậplồi.

uviệtcủaviệcứngdụngtínhchấtcủatậplồigiảimộtsốb à i toánhìnhhọctổhợp

a(a 1 ,a 2 ,…,a n ),b(b 1 ,b 2 ,… ,b n );O(0,0 , … ,0 ) th×®o¹nnèia b lµt Ë p hîpc ¸ c

®iÓmy(y 1 ,y 2 ,…,y n)tháam·n:

VÝdô1.1.2:§o¹nth¼nga;blµtËplåi

§ÞnhlÝ1.1.1:Giaocñac¸ct Ë p l å i bÊtk × l µ tËplåi,t ø c : NÕuP i

X(i

I)lµc¸ctËplåi,víiIlµtËpchØsèbÊtk×th×

bK VậyKlà

nónlồicóđỉnhtạiO.

TathÊyh×nhlåitrªn®-êngth¼ngchØcãthÓl µ ®o¹nth¼ng[ a;b ],kho¶ng(a;b),hay[a;b),(a;b]

(뮩yacãthÓlµ-∞,cßnbcãthÓlµ+∞).

Tac h Ø x Ð t víic ¸ c h × n h låil µ c¸c®o¹nt h ¼ n g , c ¸ c

tr-êngh î p c ß n l¹ic h ø n g minhhoµntoµnt¬ngtù

Gi¶söcãn®o¹nth¼ng[a i ;b i ],i= 1,n c ã tÝnhchÊtsau:BÊtk×giaocñah a i ®o¹n

b. A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 l à bốnđiểmphânbiệt.Khiđócó2khảnăng:b1)Baol

ồicủaA 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 c h í n h làtứgiáclồiA 1 A 2 A 3 A 4 Giả sửOlàgiaocủ

ahaiđờngchéoA 1 A 2 ,A 3 A 4

 

F F

F n-1

’ n-1

VÝdô2.3.2:Cho nh×nhtrßn( n≥4 )trªnmÆtph¼ng.BiÕtr»ngc ø víimçi3 h×nhtrßntuúý ,

lu«nt å n t¹iméth×nht r ß n b¸nkÝnhR chøac ¶ 3 h×nhtrßn.Chøngminhr»ngtånt¹iméth

nªnO i O i,j,k R-R i hay(O i ;R-R i )chøaO i,j,k.

kho¶ngb»ngR.T©mc¸c®-êngtrßnb¸nkÝnhR mµc¾td it h × ph¶in»mtrongF i RârµngF il µh×nhlåivíimäii1,n.

[c i ;d i ].



n i



1

1 3

1

1 3

3

2 3

1 3

Giảibàitoánhìnhhọctổhợpbằngph-ơngpháplấybaolồitứclàtasẽb a o mộtsốhữuhạnđiểmbởimộtđagiác,gọilàđagiácbao,đócũngchínhlàb a o lồicủahọhữuhạnđiểmđó.Tr-

ớckhixétmộtsốvídụcụthểtasẽchứngminhbổđềsau:

Bổđề(về đagiácbao):“Trongmặtphẳng,baolồicủanđiểmtuỳýlàmộtđag i á c lồi(ho ặclàđoạnthẳng)vớiđỉnhlàmộtsốđiểm trongcácđiểmđãcho”.Chứngminh:

Nếuc ả h ệ điểmthẳnghàngthìhiểnnhiênb a o lồicủachúngl à một

đoạnthẳng

Nếuhệđiểmkhôngthẳnghàng,khinốicácđiểmcủahệvớinhaubằngc á c đoạnthẳngtasẽthuđ-

ợcmộtđagiáclồichứacácđiểmcònlạibêntrong.D ễ dàngthấyrằngđóchínhlàbaolồicủahệđiểm

Chứngminhbổđề:

D H

á c

đỉnhcủatamgiácABC.TứgiáccầnchọncóthểlàtứgiácBDEC.

Dos ố điểmđãc h o làhữuhạnn ê n

tồntạiđ-ờngthẳngd khôngsongs o n g vớibấtk ì mộtđoạnthẳngnàonốiha i điểmtrong2001đi

ểmđ ã cho,vìthếcóthểgiảthiếtthêmlàcả2001điểmnằmhoàntoànvềmộtphíabênphả

ic ủ a d.

Dịchchuyểndsongsongvớichínhnó.Khiđódlầnlợtgặpcácđiểm

đãc h o (mỗilầng ặ p m ộ t điểm).Đờngthẳngsongsongvớid khig ặ p điểm

đầutiênsẽkíhiệulàd 1 ,gặpđiểmthứhailàd 2 ,…,vàd 2001 l à đờngthẳngqua

A 2 B 1

B 2

A 1

Theob ổ đềcót h ể chọnr a b ố n điểm(giảs ử làA 3 ,B 3 ,A 4 ,B 4)s a o c h o

A 3 B 3 A 4 B 4 = C 2

KhiđótacóA 1 ,A 2 ,B 1 ,B 2 ,C 1 n ằ m trongdải1,cònC 2 n ằ m trongdải2(vìí t nhất

mộttronghaiđoạnA 3 B 3 ,A 4 B 4 nằmtrọntrongdải2).L ú c nàyvẫnc ò n lạimộtđiểm“tự do”.

Kếthợp4điểmởdải3vớiđiểm“tựdo”cònlạisauhaibớclàmnh-trên,lạitheobổđềtrêntồntại4điểm(giảsửlàA 5 ,B 5 ,A 6 ,B 6 )saochoA 5 B 5 A 6 B 6

điểm“tựdo”.Cứlàmnhvậychođếndải500,tathuđợc500cặp.

A 1 B 1A

2 B 2 =C 1 A 3 B 3

A 4 B 4 =C 2 ….

ờit a nhậnthấyrằngtậphợpcácđỉnhhìnhvuôngbằngnhựahoàntoàntrùngvớit ậ p hợp

đỉnhhìnhvuôngbằngcáttông

Chứngminhrằngcáchìnhvuôngbằngcáttôngvàcáchìnhvuôngbằngnhựa

đợcxếphoàntoàntrùngnhau



( m2 )

m ≥n( n2)

Giải:

Bổđề:Nếu cho5điểmtrongđókhôngcó3điểmnàothẳnghàng,thìtồntạiítnhấtbatam giáckhôngnhọncóđỉnhlànhữngđiểmnày.

VìthếtrongbatamgiácAEC,BEC,AEBcóítnhấthaitamgiáckhôngnhọn.T-ơngtựtrongb a tamgiácDAB,DBC,DCAcũngc ó ítn h ấ t haitamg i á c khôngnhọn.V

ậys ố tamgiáckhôngnhọnchọnđợct ừ 5 đ i ể m trongt r ờ n g h ợ p nàyítnhấtlà4

trongbống ó c BAD,ADC,DCB,CBAk h ô n g phảil à gócn h ọ n

Nh-vậyítnhấtmộttrongb ố n tamgiácDBA,ADC,DCB,CBAkhôngphảil à tamg i á c nhọn.

ĐiểmthứnămEphảinằmhẳntrongtứgiácABCD(dokhôngcó3điểm

a) Haiđỉnhcủahaigóckhôngnhọnlàkềnhau(giảsử

đólàcácđỉnhA,B).K h i đótathấyngayEAB,ABClàcáctamgiáckhôngnhọn XéttiếptứgiácAEDC.RõràngítnhấtmộttrongbốngócEAC,ACD,CDE,DEAl

5 10 02 97

.VËy

3

100

10 02 97

Gäik l µ tØsèg i ÷ a sèt a m g i ¸ c nhänvµtoµnthÓc¸ct a m gi¸c.Tõl Ë p l u Ë n trªn

suyra:

C C

2 3

97100 = 13.100.99.98.97.96.1.2.3.1.213 7

1.2.3.4.5.97.96.100.99.98 10 10

Tõ(1)tacã

7 10

(O *; r).HìnhtrònnàyrõràngcắtS ivới m ọ i i= 1,n.Đólàđiềuphảichứngminh.

Bài2 : C h o mộth ọ n c á c đ a giáclồi(n≥ 3)đôimộtc ắ t nhau.Chứngminhrằngtồntại

mộtđờngthẳngcắttấtcảcácđagiácnày

Giải:

Xéttấtc ả cácđagiácP i ,i = 1,n, đ ã chotrongh ệ trụct o ạ độĐêcacv u ô n g góc.

V ớ i mỗiđ a g i á c P i ,t a chiếun ó lêntrụchoànhvàt a đợcđoạn[a i ;b i

].Nhvậytacót-ơngứng1-1

P i[a i ;b i ],i= 1,n

Tõg i ¶ thiÕtsuyraA 6k h « n gthuécc¸cc¹nhcñangòg i ¸ c , còngnhkh«ngt h u é c

hai®-êngchÐoA 2 A 5 ,A 2 A 4 V×thÕA 6ph¶i thuécvµophÇntrongméttrongbat a m gi¸c:A 1 A 2 A 5 ,A 5

A 2 A 4 ,A 4 A 2 A 3 Cãt h Ó c h o lµA 6t h u é c vµophÇntrongcñatamgi¸cA 2 A 5 A 4

hîp2

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

B A

Rõràngđờngthẳngq u a A,B đặt2003điểmcònlạivềmộtp h í a củ a

cóđúngmộtđờngkínhAA 3 NếuBlàđiểmtuỳýcủahệthìdoABdnênB

nằmtronghìnhtròn(A;d).

đóhoặcA 3 BcắtAA1hoặcA 3 BcắtAA 2

ABA 3 A 2 gọiO=BA 2AA 3 thì

Quayd 1quanh d 2nh

cáchlàmtrên,tađợcđ-ờngthẳngd 2 ,gặpđiểmA 3.T i ế p t ụ c q u á trìnhnhvậychođếnk h i đ ợ c

đ-ờngthẳngq u a A 1 ,gọil à d m TanhậnđợcđagiáclồiA 1 A 2 …A mt h ỏ amãnđềbài

Bài7: Ngờit a cắtmộtđag iac lồi10cạnhrathànhcá c hì nh tamgiác.Hỏit h u

đ-ợcítnhấtbaonhiêutamgiác?Nếuđagiáckhônglồithìsốtamgiácthu

đợcítnhấtlàbaonhiêu?

Giải:

Khichiamộtđ a giáclồithànhn t a m

giác(bằngđờngchéohoặckhôngphảiđ-ờngchéo)t h ì d o mọig ó c củađ a giácl ồ i đềunhỏhơn ,nênkhôngcóđỉnhnàocủa

đagiácnằmtrêncạnhcủamộttamgiác,màmỗiđỉnhcủađagiácphảilàđỉnhcủaítnhất

mộttamgiác.Vìvậytổngcácgóccủatấtcảm tamg i á c khôngthểnhỏhơntổngcácg ó c

củađagiácđacho.Trong

A jA i A i1.(gi¶söA 1 ,A 2 ,…,A m

Hìnhhọctổh ợ p làm ộ t nhánhcủahìnhh ọ c m à chúngt a

th-

ờnggặptrongcáckìthichọnhọcsinhgiỏitoántrongn-ớcvàquốctế.Bảnkhoáluậnnàytrìnhb à y mộts ố k ế t q u ả nghiêncứuvềtậpl ồ i , mộtsốtínhchấtcơbảnc ủ a tậplồivàứngdụngcá c tínhchấtc ơ bảncủatậplồiđểgiảicác b à

i toánhìnhhọctổhợp

Sauq u á trìnhn g h i ê n cứu,emđãtìmhiểut h ê m ợcnhiềukiếnthứcm ớ i , đúcrútchomìnhmộtsốkiếnthứccơbảnvềvấnđềđãnghiêncứu.Emc ũ n g h i vọngnhữngđ i ề u emt r ì n h bàytrongkhóaluậnnàycóthểg i ú p chovi ệ

đ-c nghiênđ-cứuđ-cáđ-cvấnđềkháđ-cđ-cóliênquanđ-củahìnhhọđ-cđợđ-cthuậnlợihơn.Tuynhiêndolầnđầulàmquenvớicôngtácnghiêncứukhoahọc,mặcdùc ó nhiềucốgắngxongkhôngtránhkhỏin h ữ n g thiếus ó t V ì vậye m rấtm o n g nhậnđ-ợcnhữngýkiếnđónggópquýbáucủacácthầycôgiáovàcácbạnsinhviêntrongtr-ờngđểbảnkhoáluậnđợchoànthiệnhơn