Ứng dụng nguyên lí cực hạn và nguyên lí lân cận giải một số bài toán hình học tổ hợp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ----NGÔ THỊ CHÂU ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ CỰC HẠN VÀ NGUYÊN LÍ LÂN CẬN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngà

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

 NGÔ THỊ CHÂU

ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ CỰC HẠN VÀ NGUYÊN LÍ LÂN CẬN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

 NGÔ THỊ CHÂU

ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ CỰC HẠN VÀ NGUYÊN LÍ LÂN CẬN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: hình học

Người hướng dẫn khoa học Th.S - GVC PHAN HỒNG TRƯỜNG

HÀ NỘI 2012

Emxinchânthànhcảmơncácthầy,giáocôgiáovàcácbạnsinhviênkhoaToántrườngđạihọcsưphạmHàNội2đãđộngviên,giúpđỡđểemcóđiềukiệnt ố t nhấttrongsuốtquátrìnhthựchiệnkhoáluậntốtnghiệp.Đặcbiệt,emxinbàytỏlòngcảmơnsâusắctớ

ithầyPhanHồngTrườngđãđịnhhướngchọnđềtàivàtậntìnhchỉbảo,giúpđỡemhoà

nthànhtốtkhoáluậnnày

Dothờigianv à kiếnthứcc ó hạnnênkhoál u ậ n khôngtránhkhỏinhữnghạnchếvàcòncónhữngthiếusótnhấtđịnh.Emx i n chânthànhc ả m ơnvàtiếpthuýkiếnđónggópcủacácthầygiáo,côgiáovàcácbạnsinhviên

HàNội,tháng05năm2012

Sinhviên

NgôThịChâu

Sinhviên

NgôThịChâu

MỞĐẦU 1

CHƯƠNG1:NGUYÊNLÍCỰCHẠNVỚICÁCBÀITOÁNHÌNHHỌCTỔHỢ P 2

1 NGUYÊNLÍ 2

1.1 Nộidungnguyênlí 2

1.1.1 Nguyênlí1 2

1.1.2 Nguyênlí2 2

1.2 Ứngdụng 2

1.2.1 Tổngquát 2

1.2.2 Ứngdụnggiảibàitoánhình họctổhợp 2

2 ỨNGD Ụ N G NGUYÊNLÍCỰCHẠNVÀOGIẢICÁCBÀITOÁNHÌNHHỌC TỔHỢP 3

2.1 Bàitoánvàlờigiải 3

2.2 Mộtsốbàitoánthamkhảo 21

CHƯƠNG2:NGUYÊNLÍLÂNCẬNGIẢICÁCBÀITOÁNHÌNHHỌCTỔH ỢP 23

1 NGUYÊNLÍ 23

1.1 Cáckháiniệm 23

1.1.1 Địnhnghĩa1 23

1.1.2 Địnhnghĩa2 23

1.2 Nguyênlí 25

1.2.1 Nguyênlí1 25

1.2.2 Nguyênlí2 25

2 ỨNGDỤNGNGUYÊNLÍLÂNC Ậ N VÀOGIẢICÁCBÀITOÁNHÌNHHỌC TỔHỢP 25

KẾTLUẬN 47

TÀILIỆUTHAMKHẢO 48

MỞĐẦU

1 Lídochọnđềtài

Nguyênlícựchạnvànguyênlílâncậnlàhainguyênlírấthữuíchvàthườngđượcvậndụngchonhiềulớpbàitoánkhácnhau,đặcbiệtnócóíchkhigiảicácbàitoántổhợpnóichungvàhìnhhọctổhợpnóiriêng.Vậndụngnguyênlícựchạnvànguyênlílâncậnvàogiảicácbàitoántốhợpkhiếnchobàitoántrởnênđơngiảnhơn,đặcbiệtlà việcgiảmbớtsốlượngđốitượngkhổnglồtrongcácbàitoántổhợp.Nhờtínhchấtriêngcủanómànguyênlíc ự c hạnvànguyênlílâncận đặcbiệthữuíchkhiá p dụnggiảic á c bàitoánhìnhhọct ổ hợp,màđặcbiệtđâyl ại l à nhómk i ế n t h ứ c mớirấtquantrọngtrongtrươngtrìnhtoánởbậctrunghọcphổthông.Đểtiếpcậnvớikiếnthứcnày,đượcs ự địnhhướ

5 Cácphươngphápnghiêncứu

- Nghiêncứusửdụngcáclíluận,cáccôngcụtoánhọc

- Nghiêncứusáchthamkhảo,cáctàiliệuliênquan

CHƯƠNG1: NGUYÊNLÍCỰCHẠN VỚI CÁCBÀI

Nguyêntắcnàydùngđểgiảinhữngbàitoánmàtrongtậphợpnhữngđốitượngphảixétcủanótồntạicácđốitượngcógiátrịlớnnhất,giátrịnhỏnhấttheomộtnghĩanàođó

Nguyênlícựchạnthườngđượcsửdụngkếthơpvớicácphươngphápkhác,đặcbiệtlàphươngphápphảnchứng.Nguyênlínàyđượcvậndụngtrongtrườnghợpnhững

t ậ p giátrịcầnkhảos á t chỉl à tậphợph ữ u hạn(nguyênlí1)hoặccóthểlàvôhạnnhưngtồntạimộtphầntửlớnnhấthoặcnhỏnhất(nguyênlí2)

1.2.2 ỨngdụnggiảibàitoánhìnhhọctổhợpLượ

cđồgiải

- Đưabàitoánđangxétvềdạngc ó thểs ử dụngnguyênl í 1(hoặcnguyênlí2)đểchứngtỏrằngtrongtấtcảcácgiátrịcầnkhảosátcủabàitoán

2 NếuMnằmbêntrongtứgiáclồiABCD.Khiđótacó:

□AMBB□MCC□MDD□MA360 0

1 NếuAA 3 ,khiđóA 1 ,A 2, A 3 làbađỉnhliêntiếpcầntìm.

2. NếuAkhôngtrùngvớiA 3 ,khiđógọiA 3 làđỉnhkềvớiA 2 (A 3A 1).

Bài3:TrênmộtđườngthẳngđánhdấunđiểmkhácnhauA 1,A2 , A ntheothứtựtừtr

áiquaphải( n4).Mỗiđ i ể m đượct ô bằngmộttrongb ố n màukhácnhauvàcảbốnmàuđềuđượcdùng.Chứngminhrằngtồntạimộtđoạnthẳngchứađúnghaiđiểmcủahaimàuvàítnhấthaiđiểmcủahaimàucònlại

mA is ẽ khácvớimàucủatấtcảcácđiểmA 1 ,A 2 , A i-1

ChúýrằngbâygiờtrongdãyA 1 ,A 2 ,…A i lạicóđủbốnmàu.

Xéttiếptậphợpsau:

B={k|1kivàgiữacácđiểmA k ,A k+1 , A i c ó mặtđủbốnmàu}.

Xétđoạn[A j A i].Khiđóđoạnthẳngnàyc h ứ a đúnghaiđ i ể m củahaimàu(đólà

A jvà A i )vàítnhấthaiđiểmcủahaimàucònlạiA j+1 , ,A i-1.bàitoánđượcgiảihoàntoàn

Bài4:Trênmặtphẳngvôhạnđượckẻôvuông,ngườitađiềncácsốtựnhiênvàoc

ácô vuôngsaochomỗisốtuỳýluônbằngtrungbìnhcộngcủabốnsốtựnhiêntrongbốnôvuôngcóchungcạnhvớinó.Chứngminhrằngkhiđótấtcảcácsốđượcđiềnđềubằngnhau

Bài5:Trênmặtphẳngchobảyđườngthẳng,trongđókhôngcóhai

I

B HA

ngcáccạnhkháccủađagiác.

BM

HA

TachứngminhrằnghìnhchiếuHcủaMxuốngđườngthẳngchứacạnh

ABsẽnằmtrongcạnhAB.

Giảsửkếtluậncủabàitoánkhôngđúng,tứclàHnằmởphầnngoàicạnhAB.K

Bài8 :Trênmặtp h ẳ n g chon điểm,trongđókhôngcóbađiểmnàothẳnghàng.B

12 3

12 3

1,nêntừ(1)tađiđến

(1)

n)màA j khôngthuộctamgiácKHM.

PhầnngoàicủatamgiácKHMđượcchiathành6phần1,2,3,4,5,6.Chỉcầnxét2tr

ườnghợpđạidiện:

1K

1 NếuA jthuộcmiền1,khiđó:

d(A j ,A3A2)d(K,A3A2)d(A1,A3A2).

Dễthấy,doalàcạnhcủangũgiácđều.Vớicácđỉnhnguyên,nêna 2l às ố nguyêndương.

,điềunày

Tậpcácsốtựnhiên,khácrỗng,nêntheonguyênlýcựchạnsuyrat

ya*làcạnhcủangũgiácđềunày.DễthấyABCB ’ ,BCDC ’ ,DEAE ’ ,vàEABA ’ đềulà

Bấtđẳngthức(2)mâuthuẫnvớit í n h nhỏnhấtcủaa*.Vậygiảthiếtphảnchứngl à

s a i Nhưthếkhôngtồnt ạ i mộtngũgiácđềuv ớ i c á c đỉnhl à “điểmnguyên”.Đólàđiềuphảichứngminh

ượcvàngũgiácđềubanđầuđươngnhiênđồngdạngvớinhautheotỉsốq<1.

Theolậpluậntrên,mỗiđiểmgiaocủahaiđườngchéolàđỉnhthứthứt ư củahìnhbìnhhànhcó haicạnhlà haiđườngchéonày vàhaicạnhsong

n ằ m t r ê n mộtđườngthẳngsongsongcủahệ.Vìvậynămđỉnhcủahìnhngũgiácmớicũngnằmtrongtrêncácđườngthẳngsongsongc á c h đềunhaucủahệđãcho.Theong

uyênlícựchạn,gọihlàkhoảngcáchnhỏnhấtgiữacácđườngthẳngsongsongcách

đềunhaunày(nóicáchkhác,khoảngcáchgiữahaiđườngthẳngsongsongbấtkìcủahệ

đãcholàmộtbộis ố nguyêncủasốh).Gọialàcạnhcủangũgiácđềubanđầu(theogiảthi ếtphảnchứngnótồntại).Cạnhcủahìnhngũgiácđềuthuđượclàaq.

Vớihìnhngũgiácđềumớithuđược,talạitiếptụcnốicácđườngchéocủangũgiácđềunày,khiđótasẽthuđượcmộtngũgiácđềuđồngdạngvớingũgiácđềubanđầutheotỉs

ặcbằngh.

ThếnênAB<h(giảsửhaiđỉnhđólàAvàB).Đóchínhlàđiềuvôlí.Vậygiả

thiếtphảnchứnglàsai,tứclàkhôngtồntạingũ giác theoyêucầuđềbài

nguyênlícựchạn,tồntạimộtgiátrịnhỏnhấth *

B,C(ởđâyM,B,Cthuộcvàosốcácđiểmđãcho).

EF

Giải

ngthẳnglàba,vàkếtluậncủabàitoánhiểnnhiênđúng

 Giảsửkếtluậncủabàitoánđãchođúngđếnn=k,tứclànếutrênmặtphẳngch

gnốihaiđiểmtrongcácđiểmđãchotạorasốđường

Vìt h ế đườngthẳngnốiAi,Aj(1i,jk)khácđườngthẳngnốiA k, A k

 1.Vậyt a cũngc ó khôngí t hơnk+1đườngthẳngkhácnhautrongtrườnghợpnày.

Dođókếtluậncủabàitoáncũngđúngvớin=k+1.Theonguyênlíquynạpsuyrakếtlu

Giảs ử tráilại,kếtluậncủabàitoánkhôngđúng,tứcl à c á c đườngthẳngnàykhôngđồngquytạimộtđiểm

Xéttậphợpcáckhoảngcáchtừmộtgiaođiểmcủahaiđườngxuốngcác đườngthẳngkhôngđiquagiaođiểmấy.Tậphợpnàylàkhácrỗngdogiảthiếtphảnchứngcácđườngcủahệđãchokhôngđồngquy.Tậphợpnàyhữuhạndosốđườngthẳng,đãcholàhữuhạn.Theonguyênlícựchạn,tồntạigiátr ị bénhất.Giảsửđólàkhoảngcáchtừgiaođiểm

Acủahaiđườngthẳngd1,d2xuốngmộtđườngthẳngdkhôngquaA.



d2

còncómộtđườngthẳngd3.Lạitheogiả

CKHEAHd

C,d2d A,d (1)

Đểý rằngC làgiaođ i ể m củad vàd3.Nhưv ậ y (1)chứngt ỏ rằngkhoảngcácht

âuthuẫnvớiv i ệ c xácđịnhAHở trên.Vậygiảthiếtphảnchứnglàsai.

Nhưthếtấtcảcácđườngthẳngcủahệđồngquy.Đóchínhl

àđiềuphảichứngminh

Nhưthếtấtcảcácđườngthẳngcủahệđồngquy.Đóchínhlàđiềuphảichứngminh

Bài16:Tìmtấtcảcácgiátrịnguyênn>2saochotrênmặtphẳngcóthểchọnnđi

ểm đểbấtkìhaiđiểmtrongchúnglàđỉnhcủatamgiácđều,đỉnh

thứbacũnglàmộtđiểm trongnhữngđiểmchọnra.

Bài17:Cho997điểmkhácnhautrênmặtphẳng.Chứngminhrằngtồnt ạ i í t nhấ

t1991trungđiểmkhácnhaut ừ c á c cặpđiểmnày.Khinàothìc ó đúng1991trungđiểmkhácnhau

Bài18:Cón ngườiở trongmộtkhuvườn,saochokhoảngc á c h từngườinàyđế

nn g ư ờ i kial à khácnhau.Mỗingườic ó mộtkhẩusúngphunnước.Khipháttínhiệumỗingườibắntrúngvàongườigầnmìnhnhất

1 Chứngminhrằngkhinlẻ,cóítnhấtmộtngườikhôngbịướt.

2 Kếtluậnởcâu1cócònđúngkhông,nếunlàsốchẵn.

Bài19:Chứngminhrằngmọitamgiácvớichuvi12cmvàdiệntích6cm2cóthểch

iathành100tamgiác,màmỗitamgiácchianàycóchuvilớnhơn6cm,vàítnhấtcómộttr ongc á c tamgiácn à y đặtđượcvàobêntrongmộthìnhchữnhậtvớichiềudài6cmvàchiề urộng0,06cm.

Bài20:Trongphònghọpc ó nngười( n3)saochomỗingườiquenvớiítnhấthaingườikhác.Chứngminhrằngcóthểchọnratrongđómộtsốngườiđểxếpngồiquanhbàntrònsaochomỗingườiđềungồigiữahaingườiquen

Bài21:T ì m tấtc ả cács ố tự nhiên n3thoảmãntínhchất:trênmặt

phẳngtồntạitậphợpgồmnđiểm,vớimỗiđiểmthuộccókhoản

gcáchbằng1,hơnnữakhoảngcáchgiữahaiđiểmbấtkìcủakhôngvượtquá1

Mộtvàithídụ

Thídụ1:LâncậnbánkínhrcủamộtđiểmOlàhìnhtròntâmObánkínhr.

rr

O1

5016

O1,O2cùngthuộcmộthìnhvuôngnhỏcắtratừhìnhvuông

Giải

Hìnhtrònbánkính1cmnằmtrọntronghìnhvuôngcạnh38cmkhitâmcủanóphải nằmtronghìnhvuôngcạnh36cm(hìnhvuôngcótâmtrùngvới

Đểhìnhtrònbánkính1cmkhôngcắtđagiácnào,thìtâmcủanóphảinằmngoàicá clâncậnbánkính1cmcủatấtcảcácđagiác.

2 củahìnhvuôngấy

12

10 5

Đólàđiềuphảichứngminh

Bài5:Trongmộth ì n h vuông7171 ngườit a đặtbahìnhchữnhật

2010;2515;3030vàhaihìnhtrònbánkính5.Chứngminhrằngtronghìnhvuônglớncòncóthểđặtthêmđượcmộthìnhtrònbánkính5mànókhôngcắtbấtkìhìnhchữnhậthoặchìnhtrònnàođãđặttừtrước

Giảsử M1,M 2 , ,M 650 là650điểmnằmtronghìnhtrònbánkính16

VớimỗiđiểmM ii1,650,gọiS ilà hìnhvànhkhuyêntâmM i,bán

121

Xétcáclâncậnbánkính1

2

Giải

củamỗiđoạnthẳng.Diệntíchcủamỗilâncậnnàybằngdiệntíchcủahìnhvuôngcạnh1cộngvớidiệntíchmộthìnhtròn

2 của132đoạnthẳngđềunằmtrọntronghìnhchữnhật1121(đólàhìnhchữnhậtc ó cáccạnhlầ nlượt songsongvàcách đềucác

2M

H

BA

C

- Nếuc ó mộtvếtmựcở cáct ờ hìnhvuôngphíadưới,thìnóđềubịthấmlêntờgiấ

ytrêncùng.Vìthế,nếucómộtđiểmAtrênhìnhvuôngbên

Cácl ỗ thủngn à y t ạ o thànhmộtmạnglướihìnhvuôngđơnv ị , màkhôngc óđỉnhn à o củahìnhvuôngr ơ i vàov ế t mực.Đ ó l à điềuphảichứngminh.

Bài9:Trongmộttờgiấykẻmạnglướihìnhvuôngđơnvị,cómộtsốvếtmực.Tổng

diệntíchcácvếtmựclớnhơn1.Chứngminhrằngtồntạihaiđiểm

cón hìnhvuông đơn vị và S1,S2, ,S n tươngứngl à diệntíchvếtmực

Nhưvậyứngvới,cộtcungđỏtacómộtcung(vàgọilàcungxanh)có

cùngđộdàivớicungđỏ.D ĩ nhiêntheoq u y tắc t ô màuxanh,thìphầncủacungxanhđượctômàuxanhcùnglắmcóđộdàibằngcungđỏ

Nhưthếcáccungđượctômàuxanhcótổngđộdàibéhơnhoặcbằngtổngđộdàicáccungmàuđỏ

Vìlẽđó,tổngcáccungxanhvàcungđỏnhỏhơnchuviđườngtròn.Theonguyênlí1(vềmặthìnhthức,vìởđâythaytừdiệntíchbằngchu

vi) tồntạiđiểm N 'không

’

Vìtổngđộdàicủacungmàuxanhlớnhơn,nêntổngđộdàicáccungcủahệtrênlớnhơn2.Hệcáccungnàyđềulàcáccungcủađườngtrònđãcho(vớichuvi2).Vìthếtheonguyênl í 2 (vềmặthìnhthức,thaytừdiệntíchbằngđộdài)cóítnhấthaicungtronghệnàycóđiểmchung.

M’

A’3

GọiảnhcủaP1quaphépvịtựnàylàP.KíhiệuX l à thểtíchcủakhốiđadiệnX,tacó:

PP1. (1)

1 Trướchếttôin ê u nộidungc á c nguyênlí:nguyênl í c ự c hạnvànguyênlílâncận

2 Hướngdẫnhọcsinhứngdụngnguyênlícựchạnvànguyênlílâncậnvàogiảicácbàitoánhìnhhọctổhợp

Dob ư ớ c đầul à m quencôngtácnghiênc ứ u khoahọcnênkhoáluậnkhôngtránhkhỏithiếuxót.Rấtmongđượcsựghópýcủathầycôcũngnhưc á c bạnđộcgiảđểkhoáluậnđượchoànthiệnhơn

MộtlầnnữatôixingửilờicámơnsâusắcđếnthầyPhanHồngTrường,cũngnhưsựquantâm,chỉbảocủacácthầycôtrongkhoatoánđãgiúpđỡtôihoànthànhkhoáluận

1 PhanHuyKhải(2007),Chuyênđềbồidưỡnghọcsinhgiỏitoántrunghọcphổthông

-cácbàitoánhìnhhọctổhợp,NXBgiáodục.

2 NguyễnHữuĐiền(2005),Mộtsốchuyênđềhìnhhọctổhợp,NXBgiáodục.