Ứng dụng của bất đẳng thức vào giải một số bài toán và sáng tạo một số dạng toán đại số sơ cấp

MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn phổ thơng, tốn liên quan đến bất đẳng thức ln tốn hấp dẫn, lơi tất người học Toán làm toán Các tốn phong phú đa dạng toán bất đẳng thức thường xuyên có mặt kỳ thi phổ thơng trung học, kỳ thi học sinh giỏi kì thi đại học, cao đẳng Để giải đòi hỏi người học Tốn làm tốn phải linh hoạt vận dụng cách hợp lý toán Tất nhiên đứng trước toán bất đẳng thức người có xu hướng phát triển riêng cuả Nói có nghĩa có nhiều cách để dến kết cuối toán Điều quan trọng ta phải lựa chọn phương pháp cho lời giải tối ưu tốn Thật khó thật thú vị ta tìm đường lối đắn để giải Với lý với đam mê thân với hướng dẫn tận tình thầy giáo - Thạc sỹ Phạm Lương Bằng, em mạnh dạn thực khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Ứng dụng bất đẳng thức vào giải số toán sáng tạo số dạng toán đại số sơ cấp ” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng bất đẳng thức vào giải số bất đẳng thức sáng tạo bất đẳng thức Đối tượng nghiên cứu Các toán liên quan đến bất đẳng thức Dương Thị Phúc Phương pháp nghiên cứu Đọc, nghiên cứu tài liệu So sánh, phân loại, tổng hợp kiến thức Tổng hợp, xếp, giải tập CHƯƠNG 1: BẤT ĐẲNG THỨC ỨNG DỤNG VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN 1.1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Bunhiacopxki toán cực trị hàm số 1.1.1 Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacopxki - Bất đẳng thức Cauchy: cho a1 , a2 , , an  , ta có: a1  a2   an  n n a1.a2 an (1) Dấu xảy a1  a2   an - Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho hai dãy số a1; a2 ; ; an  b1; b2 ; ; bn  Khi ta có: a  a   a  b  b   b   a b  a b   a b  2 2 n 2 n 1 Đẳng thức xảy a1 a2  b1 2 an   b2 n n (2) , b  0, i  1, n bn i Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho dãy số: a ; a2 ; ;   b  an   b ; b ; ; b  n  bn   b2 Ta bất đẳng thức:  a2   b1 2 a   a1  a2   an n b2 bn  a    (3)  n,b  0, i  1, i b1  b2   bn Đẳng thức (3) xảy a1 a2    an b bnên n (3) btương đương với a2 Đặt n bi  ci , i  1, a2 a   1 b1 ci i ci a1  c1 a   an c2 cn a1  a2    an  a1c1  a2c2   ancn aici 1.1.2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Bài 1.1.1: Cho hàm số f  x; y; z    , với  0, i  1, n 2 x y z   xy  yz (4)  xác định zx D   x; y; z  : x  0, y  0, z  x  y  z  1 Tìm giá trị bé f  x; y; z  D Lời giải: Với  x; y; z   theo bất đẳng thức Cauchy ta có: D  xy  yz  zx Hay  1 1  9    x z zx y    1 xy yz  zx xy  yz  zx Suy :   x; y; z   D ta có: 2 x y z Hay   x; y; z   D  xy  1   2  yz zx x  y  z xy  yz  zx f  x; y; z   x2  y  z  xy  yz  zx (5) Lại theo bất đẳng thức Cauchy   x; y; z   D ta có: 2 x y z   xy  yz  zx  xy  yz  zx 3 x (6)  y2  z2   xy  yz  zx Từ (5) (6) ta suy ra: f  x; y; z   3  x  y  z   xy  yz  zx 2  (7) 21  xy  yz  zx  Theo bất đẳng thức Cauchy ta có   x; y; z   D x  y2  z2   xy  yz  zx2 2 x  y  z  2 xy  yz  zx   xyz 3  Và 3 xy  yz  zx   x  y  z  (9) Từ (7), (8), (9) suy f  x; y; z    21 hay f x; y; z  30  x; y; z  D ,      1 1 ; ; D    333  f 1 1 ; ;  30  f  x; y; z   30   333   D Bài 1.1.2: Tìm giá trị lớn shàm số f  x; y; z   xyz   D  x  0; y  0; z  0; 1 y 11 z  1    1 x    Lời giải: (8) Lấy  x; y; z  tùy ý D Khi từ định nghĩa D ta có: 1 x  1   1    1 1 y 1 z     Theo bất đẳng thức Cauchy 1 y  z 1 z  1x Lập luận tương tự ta có: y  1 1 y  1y 1 z   1z  xz 1 x  1 z  xy 1 x 1 y  yz 1 y  1 z  (10) (11) (12) Nhân vế (10), (11), (12) suy ra: hay xyz   8xyz 1 x 1 y  1 z  1 x 1 y  1 z  Vậy f  x; y; z   ,  x; y; z   D Mặt khác 1 mà  ; ;   1 1 f1 ; ;  D     2  2   nên max f  x; y; z   D  Nhận xét: tốn phát biểu dạng tổng quát hóa Chứng minh rằng: max f  x1; x2 ; ; xn   ,  x ; x ; ;  n 1   n xn  D đó: f  x1 ; x2 ; ; xn   x1.x2 xn D x  x ; x ; ;   n i  , : x  i  1, n   x1     n 1 x2 xn    Bài 1.1.3: Tìm giá trị lớn hàm số: f  x; y; z   z x y  1 x 1 y  1 z    x  y 1 y  z 1 x  z  D   x; y; z  :  x  1,  y  1,  z  1 Lời giải: miền Lấy tùy ý  x; y; z   D Khi ta có:  x  1,  y  1,  z  Do x; y; z giữ vai trò nên ta giả sử x  y  z Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1  y     z     y  z   1  y  1 z   y  z  (13)  1 y  z  1 y  1 z  Do 1  x   nên từ (13) suy ra: 1x  y   1  x   y   z  z (14) Vì x  y  z x  0, y  0, z  nên ta có: y 1 y  z z 1yz y  1 z  x (15) z  1 y  x (16) Cộng vế (14), (15), (16) ta có:   1 x  y  1 z   x 1y z y z  1 z  x  1 x  y Hay f  x; y; z   1,   x; y; z   D Do 1;1;1  D mà f 1;1;1  nên ta có max f  x; y; z   D Bài 1.1.4: Tìm giá trị nhỏ hàm số: (17) f  x; y; z   2   z  x  y x  y  z  y  z  x miền D   x; y; z  : x  0, y  0, z  0; xyz  1 Lời giải: Đặt X  ,Y  , Z  Khi đó: x y z YZ x yz  y  z  x  z 2X   xy YZ  2Y XZ XZ 2Z XY  Mặt khác: xyz  nên XYZ  Vì ta có: f x; y; z     x; y;zD F  X ;Y; Z   X ;Y ;Z D 2 Với F  X ;Y ; Z    X  Y  Z    YZ  XY  ZX D '   X ;Y ; Z  : X  0,Y  0, Z  0; XYZ  1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:   X ;Y ; Z   D ' thì: X2  YZ X Y ZX ZY2  Y ZX Z XY  XY Z Cộng vế ba bất đẳng thức ta được: XY F  X ;Y ; Z   XYZ  XYZ 2  F  X ;Y ; Z   3,   X ;Y ; Z   D ' Mặt khác F 1;1;1  1;1;1  D '  F  X ;Y; Z    X ;Y ;Z D ' Vậy f  x; y; z   x; y;zD Bài 1.1.5: Cho hàm số f  x; y; z   x2  y  z xét miền D   x; y; z  : x  0, y  0, z  x 2002 y 2002 z 2002  3 Tìm giá trị lớn f  x; y; z  miền D Lời giải: Lấy  x; y; z   D Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2000 số x2002 ta số có:  1  1 x 2002 2002 Hay 2000  2002 2.x x x 2002  2002 x2002 x2002 (18) 2002 Tương tự ta có: 2000  2.y 2002 2002 2000  2.z 2002 2002 y z Cộng vế (18), (19), (20) ta có: (19) (20) y2002  z2002  Bài 10: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ của:  a  T    bc   b     ca   c     ab  Hướng dẫn: ● Bổ đề: a b c    bc ca ab ● Áp dụng: Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có:  2a     b  c     2b   ca      2c     ab    a  2 2     2a  2  bc  2b  2   ca   2c  2   ab  1  1  1   c  2  b 2     b  c     ca    a     ab   b   3  c  T    b  c  2 1 3   2   ca    ab  1     2 Với a  b  c  ABC Bài 11: Giải phương trình sau:  1    2 b c      ac ca ab  2 233   MinT    a 1 2 Hướng dẫn: x   x 1  x   x 1  (1) Biến đổi 1   x 1x 1 22 x 1x31 1 3  (2) Xét khả sau: Nếu x 1    x  10  Khi đó: (2)  x 1    x 1   x 1   x  10 ● Nếu x 1   (thỏa mãn) x 1    x   x 1   Khi đó: (2)   x 1    x 1  x 1  x5 (thỏa mãn)  x 1   ● Nếu    x  10  x 1   Khi đó:  2  x 1    x 1  11   x  10 thỏa mãn (2) Vậy nghiệm phương trình  x  10 Bài 12: Giải phương trình: 2 x  x 1   x  x   x  x  Hướng dẫn:  x2  x 1  Điều kiện:   1  x  1 (2) (1) 2 x  x 1  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:         x  x 1   x x 2 x  x 1    2  x   x 1  1 x  x  2   x  x    2  2 x  x 1   x  x   x  (3) Mặt khác: x  x 1  x  x 1   x 1  x  2x 1 1  2 (4) Từ (3) suy VT    0;VP  4    x 1   x 1   Vậy  4   2x  x 1  x  x  2x 1  x1 Vậy nghiệm (1) x1 Bài 13: Giải phương trình: 5x3  3x2  3x   x2  3x  2 (1) Hướng dẫn: Điều kiện: x    x  x 1    x   x  x 1  5x  2   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy   ta có: VT  2  x2  x 1  5x  2  VP  2 Từ suy    x2  x   5x  2  x  4x    x1 x3 Vậy phương trình có nghiệm x  1; x  Bài 14: Giải bất phương trình sau: x x2 1  x  x2 1  (2) (1) Hướng dẫn: Điều kiện: x2  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm x  x x2 1 x2 1 ta được: VT 1  x  x2 1 x  x2 1  x2  x2 1  Bài 15: Giải bất phương trình sau: x 1x x x1 Hướng dẫn: Điều kiện:  x  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được: x 1x  x 1 2 x   x  1  x 2   1 x  x   2x  2x   Bài 16: Giải bất phương trình sau: cos x  x 1 Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp đánh giá: cos x    x    bất phương trình tương đương với: cos x   x0 x     Vậy bất phương trình có nghiệm x0 Bài 17: Giải hệ phương trình sau:  x  y   2 y2  x (1) Hướng dẫn: 2  x  y  x  y  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho phương trình (1): (2) 2 x2  y  2 y2  x   11  x2  y  y2  x  Vậy (1) tương đương với: x2  y  y2  x   x  y  x  y  1   x  y  y  x 1 Với x  y hệ có dạng: x  y   x 2 x  x  x xy 1 Với y  x 1 hệ có dạng:  y  x 1  2  x   x 1  x   x 1   x   y  1      x  1    y  Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm Bài 18: Giải hệ bất phương trình: 4x  –x x2  4x  x 4x  Hướng dẫn: x  Điều kiện:  x  Ta có: x  (1) 4x    4x   x   x  2  Hệ bất phương trình tương đương với: x2  4x   x  4x   2x 4x    8x (2) ● Với x  ,(2)   1 Vậy x  nghiệm ● Với x  3, VP  2  , (2) Vậy x  nghiệm Vậy x  x  nghiệm hệ bất phương trình KẾT LUẬN Trong chương trình tốn phổ thơng, tốn bất đẳng thức phần hấp dẫn, lơi tất người học Tốn làm Tốn Trong khóa luận em trình bày ứng dụng bất đẳng thức vào giải số toán sáng tạo bất đẳng thức Em thực khóa luận với mong muốn đóng góp kinh nghiệm việc nghiên cứu học tập mơn tốn Từ khóa luận giúp bạn đọc biết thêm số ứng dụng bất đẳng thức vào giải số toán sáng tạo số toán sơ cấp Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian lực thân hạn chế cố gắng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận bảo thầy giáo, giáo khoa tốn với đóng góp bạn sinh viên để khóa luận em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Dương Thị Phúc 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Phương, Những viên kim cương bất đẳng thức toán học, NXB Tri thức Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri thức 2006 Phan Huy Khải, 500 toán bất đẳng thức, NXB Hà Nội 1994 Tạp chí tốn học tuổi trẻ, NXB Giáo dục LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu với hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo, thạc sĩ Phạm Lương Bằng, khóa luận em đến hồn thành Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Phạm Lương Bằng, người trực tiếp hướng dẫn bảo cho em thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy cô giáo khoa toán tạo điều kiện tốt cho em thời gian em làm khóa luận Do lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian lực hạn chế nên có nhiều cố gắng song khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy, giáo bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà nội, tháng năm 2013 Sinh viên Dương Thị Phúc MỞ ĐẦU CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC ỨNG DỤNG VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN .3 1.1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Bunhiacopxki toán cực trị hàm số 1.1.1 Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacopxki .3 1.1.2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 1.1.3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 13 1.2 Ứng dụng bất đẳng thức giải phương trình, bất phương trình hệ 19 1.2.1 Tính chất bất đẳng thức 19 1.2.2 Bất đẳng thức liên quan đến trị tuyệt đối 20 1.2.Bài tập rèn luyện 21 1.3 Ứng dụng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức 35 1.3.1 bất đẳng thức Chebyshev 35 1.3.2 Bất đẳng thức Bernoulli 36 1.3.3 Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev 36 1.3.4 Áp dụng bất đẳng thức bernoulli 43 1.4 Ứng dụng bất đẳng thức hình học 49 CHƯƠNG 2: SÁNG TẠO RA MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ SƠ CẤP 58 KẾT LUẬN 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 s Dương Thị Phúc 74 ... thức Tổng hợp, xếp, giải tập CHƯƠNG 1: BẤT ĐẲNG THỨC ỨNG DỤNG VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN 1.1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Bunhiacopxki toán cực trị hàm số 1.1.1 Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức. .. 1,  n  xn x1  2x2    n 1 xn1 1.2 Ứng dụng bất đẳng thức giải phương trình, bất phương trình hệ 1.2.1 Tính chất bất đẳng thức Với a, b, c, d số thực ta ln có: Tính chất 1: Nếu a  b ... Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho dãy số   x; y ; z 1;1;1 ta có: f  x   y  z   x; y; z   3 x y x  y z z  (33) Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai dãy số 