Ứng dụng của bất đẳng thức tổ hợp vào bài toán nội suy largrange

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ BẢO TOÀN ỨNG DỤNG CỦA ĐANG THỨC Tổ HỢP VÀO BÀI TOÁN NỘI SUY LAGRANGE LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN Bình Định - Năm 2020 LÊ BẢO TỒN ỨNG DỤNG CỦA BAT ĐANG THỨC Tổ HỢP VÀO BÀI TỐN NỘI SUY LAGRANGE Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 8460113 Người hướng dẫn khoa học TS TRỊNH ĐÀO CHIEN LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan viết luận văn tìm tòi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy TS Trịnh Đào Chiến Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác có trích dẫn cụ thể Luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Bình Định, ngày 30 tháng năm 2020 Tác giả luận văn Lê Bảo Tồn LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy TS Trịnh Đào Chiến, người trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình tơi q trình hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến quí thầy giáo, giáo cơng tác khoa Tốn Thống Kê,q thầy,cơ giáo nhân viên công tác trường đại học Qui Nhơn, tạo điều kiện nhiệt tình giúp đỡ tơi xun suốt q trình học tập lớp Cao học khóa 21 Tôi chân thành cảm ơn đến Ban giám hiệu, q thầy giáo, giáo tồn thể anh,chị, em đồng nghiệp trường Trung Học Phổ Thông Nguyễn Trãi, Thị xã An Khê, Tỉnh Gia Lai, bạn gia đình, người ln ln bên cạnh hỗ trợ động viên suốt thời gian hoc tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng nhiều kiến thức thân hạn chế luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến thầy cô, bạn bè để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Bình Định, ngày 30 tháng năm 2020 Tác giả luận văn Lê Bảo Toàn Muc luc TÀI LIÊU THAM KHẢO 51 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong q trình tính tốn, nhiều ta cần phải xác định giá trị hàm số f (x) điểm tùy ý cho trước, điều kiện cho biết số giá trị rời rạc hàm số đạo hàm hàm số đến cấp số điểm xi,X2, ,x cho trước Với trường hợp vậy, người ta thường tìm cách xây dựng hàm số P(x) dạng đơn giản hơn, thường đa thức đại số, thỏa mãn điều kiện cho Ngoài ra, giá trị x G R mà x không trùng với xi,x , ,Xk P(x) « f (x) (xấp xỉ theo độ xác đó) Hàm số P(x) xây dựng theo cách vừa mô tả gọi hàm nội suy f (x) Các điểm xi,x , ,Xk thường gọi nút nội suy Bài toán xây dựng hàm P(x) gọi toán nội suy Các toán nội suy vấn đề liên quan đến phần quan trọng đại số giải tích tốn học Chúng không đối tượng nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực mơ hình liên tục mơ hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, Các toán nội suy cổ điển Giải tích xuất cách kỷ, khởi đầu cơng trình khoa học nhà toán học lỗi lạc Lagrange, Hermite, Newton, tìm thấy nhiều ứng dụng lý thuyết toán biên toán Vật lý Tốn, Kỹ thuật Có thể kể đến số toán nội suy cổ điển như: Bài toán nội suy Taylor, Bài toán nội suy Lagrange, Bài toán nội suy Newton, Bài toán nội suy Hermite, k 2 Trong toán nội suy, Bài tốn nội suy Lagrange có nhiều ứng dụng chương trình Tốn bậc Trung học phổ thơng, chủ yếu giả thiết tốn chưa có yếu tố đạo hàm, đặc biệt đạo hàm cấp cao Nhiều tốn khó đề thi chọn học sinh giỏi nước Olympic Toán quốc tế giải cách thuân lợi nhờ vào ứng dụng Đathức nội suy Lagrange Trong Bài toán nội suy Lagrange thường xuất dạng tổng, chẳng hạng sau n nx E I aj n j=1 x i ,-j x i=1,i=j j —‘í -x , Bài tốn nội suy Lagrange; i a j i a n j V 7—\, (x — Xị) 1, Bài toán nội suy Taylor; j=1 (n 1)! Do đó, tốn nội suy cổ điển thường liên quan chặt chẽ đến đẳng thức tổ hợp, chẳng hạn đẳng thức sau k- n 11 n„ —i ) , ft n + i i=1,i=k —i k = n.(—1) n! = (—I)n kC,k 1; ki — k - k.cn; - i=1,i=k n+1 i E C,k+2-bk = (1 + b)n+2 — bn+2 — 1; E ((-1)""k.Cỉ= ”• (n2+ 1)! k=0 Điều địi hỏi, trước nghiên cứu toán nội suy cổ điển, cần xác định đẳng thức tổ hợp cách có hệ thống Đây vấn đề cần thiết, có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp mà học viên chủ yếu giáo viên cấp Trung học phổ thông Mục tiêu nghiên cứu Luận văn đề cập đến ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào Bài toán nội suy Lagrange Từ đó, số kiến thức chương trình Tốn cấp Trung học phổ thông soi sáng qua lăng kính Tốn cao cấp Luận văn đề cập đến ứng dụng lý thuyết nghiên cứu vào việc giải đề xuất số tốn khó cấp Trung học phổ thơng, đề thi kỳ thi chọn học sinh giỏi nước Olympic Toán quốc tế Nội dung luận văn nghiên cứu tiếp nối nội dung tài liệu [1] Đối tương phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các đẳng thức tổ hợp Bài toán nội suy Lagrange Phạm vi nghiên cứu: Toán cao cấp (chủ yếu thuộc lĩnh vực Giải tích) ứng dụng vào chương trình Tốn cấp Trung học phổ thơng Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm, tổng hợp số nội dung từ tài liệu hình thành luận văn, hướng dẫn người hướng dẫn khoa học Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn có ý nghĩa khoa học áp dụng kiến thức toán cao cấp để thiết lập tốn dãy số phổ thơng Cấu trúc luận văn Ngoài nội dung quy định cấu trúc luận văn Thạc sĩ, nội dung luân văn chia thành hai chương: Chương Công thức nôi suy Lagrange biểu diễn liên quan đến số tổ hợp Chương trình bày ngắn gọn Công thức nội suy Lagrange, ý nghĩa hình học Cơng thức nội suy Lagrange đồng thức cảm sinh từ Công thức nội suy Lagrange Đồng thời chương giới thiệu biểu diễn tích qua số tổ hợp khai triển nhị thức Newton Chương ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào tốn nơi suy Lagrange Chương trình bày ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào tốn nội suy Lagrange có yếu tố Giải tích Hình học đề cập cách giải số tốn khó cấp Trung học phổ thông, đề thi kỳ thi chọn học sinh giỏi nước Olympic Toán quốc tế Chương CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE VÀ CÁC BIỂU DIEN LIÊN QUAN ĐẾN Số Tổ HƠP 1.1Công thức nội suy Lagange Nội dung mục tham khảo [3] Định lý 1.1 Cho n số x , x , , x phân biệt n số a , a , , a tùy ý Thế tồn đa thức P (x) với bậc không n — 1, thỏa mãn i n P (x i ) j n = aj;-j =1 , n (1.1) n jn i=1,i=j (1.2) Đa thức có dạng E j=1 a Đa thức (1.2) gọi đa thức nội suy Lagrange công thức nội suy Lagrange Các số x , x , , x gọi nút nội suy - Với n = 2, đa thức i n x x1 + a (x) = — x2 — x1 x1 — x2 Ký hiệu deg P (x) bậc P (x) Thế deg P (x) < P (x ) = a ; P (x ) = a - Với n = 3, đa thức P (x) = a (x — X2) (x — X3) + a (x — X3) (x — xi) x (xi — x2) (xi — x3) a2 (x — x3) (x2 — xi) x — x2 (1.3) i i 2 (x — xi) (x — x2) +a3 (x3 — xi) (x3 — x ) Rõ ràng deg P (x) < P (x ) = a ; P (x ) = a ; P (x ) = a 1 2 3 (1.4) Hệ 1.2 Cho n số x , x , , x phân biệt Thế đa thức P (x) với bậc khơng q n — 1, viết dạng n n n xx P (x) = g P (Xj) n, xx i=1,i=j xj j=1 —x (1.5) i Nhận xét Vế phải (1.5) đa thức với bậc n — 1, hệ số số hạng xn-1 A P (xj) n j=1 —x) n (xj i i=1,i=j 1.2Ý nghĩa hình học cơng thức nội suy Lagrange Nội dung mục tham khảo [3] Các đa thức (1.3) (1.4) quen thuộc chương trình tốn phổ thơng Xét đa thức (1.4) chẳng hạn Giả sử rằng, mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (x ; y ), B (x ; y ), C (x ; y ), với x , x , x khác đôi Thế thì, theo (1.1) (1.2), tồn đường cong y = P (x), P (x) đa thức với deg P (x) < 2, thỏa mãn: 1 2 3 Hơn nữa, đường cong cịn có phương trình cụ thể y = P (x), P (x) có dạng (1.4) số aj yj ; j = 1, 2, - Với deg P (x) = 2, đồ thị hàm số y = P (x) parabol qua điểm A, B, C - Với deg P (x) = 1, đồ thị hàm số y = P (x) đường thẳng qua điểm A, B, C không phương với trục hoành - Với deg P (x) = 0, đồ thị hàm số y = P (x) đường thẳng qua điểm A, B, C phương với trục hoành fi(x)=(x—b0) (x—bi-1)(x—bi+1) (x—bn) Sử dụng công thức nội suy Lagrange với mốc nội suy b , b , , b , ta có n P( ) x Ị (-f Để ý với x G [0; 2] với k G {0; 1; ; n}, ta có |x - bk| < |2 - bk| Do n f | a 2m Với số nguyên dương M, xét số nguyên dương m chọn Xét đa thức Q (x) tùy ý, với hệ số thực, có bậc d > m có hệ số cao Khi đó, (2.31) với d +1 số nguyên tùy ý x , x , , x thỏa mãn x < x1 < < x , ta có d d m+ m! m! '—.^— > ^— > a d! max |Q (x)|> dd= 0 9abc + a3 + b3 + c3 Trong Bài toán 1, P trùng với tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta có hệ thức sau PA = sin — B PC = ÌJC sin — 222 EA' PB sin — Khi đó, bất đẳng thức 2.14 tương đương với a ■2 A b c abc C -2 • — r2 sin — sin — sin — 222 B Từ đó, ta có hệ sau Hệ 2.3 Ta có hệ thức sau a ■2 A sin — b B -2 sin — 222 c abc C • — r2 sin — Bài toán 2.29 Gọi P điểm tùy ý mặt phẳng chứa tam giác ABC Chứng minh a.PA3 + b.PB3 + c.PC3 > 3abc.PG, (2.17) với G trọng tâm tam giác ABC Lời giải Tương tự phương pháp tốn trên, ta chứng minh đồng thức sau x3 (y - z ) + y (z - x) + z (x - y ) = (x - y ) (y - z ) (z - x) (x + y + z ) (2 18) với số phức x, y, z Từ (2.18), ta có bất đẳng thức mô-đun sau |x|3|y -z|+ |y|3|z -x|+ |z|3|x -y| > |x -y||y-z||z -x||x + y + z| (2.19) Bây giờ, xét mặt phẳng (ABC) mặt phẳng phức, với gốc tọa độ G gọi a, ft, Y số phức tương ứng với đỉnh A, B, C tam giác z số phức ứng với điểm P Trong (2.19) đặt x = z — a, y = z — ft, z = z — Y ta có bất đẳng thức cần chứng minh Bài toán 2.30 Gọi a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Chứng minh p p p p R4 + 4r2 a2 + b2 + c2 > 36r2R2 (2.20) Lời giải Nếu P trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp O tam giác ABC, Bất đẳng thức trở thành (a + b + c) R3 > 3abcOG (2.21) Sử dụng mối quan hệ a+ b+ c abc r SAABC = = 4R sau số biến đổi bản, bất đẳng thức (2.21) tương đương với (2.22) Bình phương hai vế (2.22), ta có R2 36r2.OG2 (2.23) Áp dụng hệ thức OG2 = R2 - (a2 + b2 + c2) , bất đẳng thức 2.20 tương đương với bất đẳng thức cần chứng minh Bài toán 2.31 (Bất đẳng thức Ptolemy) Với điểm D thuộc mặt phẳng chứa tam giác ABC, ta có AB.CD + BC.AD > AC.BD (2.24) Đẳng thức xảy A, B, C, D theo thứ tự thuộc đường tròn thẳng hàng Lời giải Với bốn số phức z , z , z , z mặt phẳng phức, tương tự phương pháp nêu trên, áp dụng Công thức nội suy Lagrange, ta có kết sau (z2 - z1) (z4 - z3) + (z3 - z2) (z4 - z1) = (z3 - z1) (z4 - z2) Suy bất đẳng thức sau |z2-z1||z4-z3|+|z3-z2||z4-z1|>|z3-z1||z4-z2| (2.25) Đẳng thức xảy |z — zi|.|z4 — z | |z — z |.|z — z | dấu |z2 — z |.|z4 — z | |z3 — z |.|z4 — z | trái dấu Khi 3 1 (z2 — z1) (z4 — z3) — — z4 n Sz2—.4—z1)=n o arg (z2 zi) + arg ) = (z4 — z1) (z2 — z3) o z , z , z , z thẳng hàng thuộc đường tròn Giả sử z ,z ,z ,z lần lươt số phức tương ứng điểm A,B,C,D Rõ ràng |z2—z1|=AB, |z4—z3|=CD, |z3—z2|=BC, (2.26) |z4—z1|=AD, |z3—z1|=AC, |z4—z2|=BD (2.27) Từ (2.26) đến (2.27), ta thu Bất đẳng thức cần chứng minh Kết luận Luận văn đạt kết sau: - Hệ thống hóa chứng minh chặt chẽ số đẳng thức tổ hợp thường gặp Bài toán nội suy Lagrange ứngHình dụng đẳng thứctổ tổ hợp BàiBài tốntốn nội suynội Lagrange có yếu tố Giải ứng- tố dụng đẳng thức hợpvào vào suy Lagrange có tích yếu học Tài liệu tham khảo [1] Trịnh Đào Chiến, Huỳnh minh Thuận, Một số ứng dụng Công thức nội suy Lagrange, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Quy Nhơn, tập II, số 3, 2008 [2] Trịnh Đào Chiến, Đẳng thức tổ hợp qua tốn Olympic, Tạp chí Epsilon số 16, 2019, file pdf, đường link : https : // www facebook com /TapchiEpsilon/ [3] Nguyễn Văn Mậu, Các toán nội suy áp dụng, Nhà xuất Giáo dục, 2008 [4] Một số đề thi chọn học sinh giỏi nước, sưu tầm số trang internet V f (ak+no+2 _ ổk+no+2) n° (no + 1) i A ổ _5 k=oV i=0 i=k k - i ) ... số toán nội suy cổ điển như: Bài toán nội suy Taylor, Bài toán nội suy Lagrange, Bài toán nội suy Newton, Bài toán nội suy Hermite, k 2 Trong tốn nội suy, Bài tốn nội suy Lagrange có nhiều ứng. .. biểu diễn tích qua số tổ hợp khai triển nhị thức Newton Chương ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào tốn nơi suy Lagrange Chương trình bày ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào toán nội suy Lagrange có yếu tố... chứng minh Vậy, với cách xác định R”m toán trên, ta có kết sau Đẳng thức 1.15 R R n n-m+1 m =R =R n Chương ỨNG DỤNG ĐẲNG THỨC Tổ HỢP VÀO CÁC BÀI TOÁN NỘI SUY LAGRANGE 2.1 Ứng dụng đẳng thức tổ