SKKN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI

Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi. MT S NG DNG CA BT NG THC Cễ SI ứNG DụNG 1: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán số 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng ( ) 1 1 1 9.a b c a b c + + + + ữ *Phân tích: Vế trái chứa a, b, c > 0 và các nghịch đảo của chúng. Vì vậy ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức Côsi. Lời giải: Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các bộ số a, b, c và 1 1 1 , , a b c ta có: 3 3 3 1 1 1 1 3 a b c abc a b c abc + + + + Nhân từng vế của hai bất đẳng thức trên ta đợc: ( ) 1 1 1 9a b c a b c + + + + ữ (đpcm). Cách 2: ( ) 1 1 1 3 3 2 2 2 9 b a c a b c a b c a b c a b a c c b + + + + = + + + + + + + + + = ữ ữ ữ ữ Dấu "=" xảy ra a b c = = Bài toán số 1.1 Chứng minh các bất đẳng thức: a. 3 a b c b c a + + (a, b, c > 0) b. 2 2 2 a b c ab bc ca+ + + + Bài toán số 1.2 Chứng minh rằng: a. 2 2 2 2 1 x x + + x R áp dụng BĐT Côsi cho 2 số x 2 +1 và 1. b. 8 6 1 x x + x > 1. áp dụng BĐT Côsi cho 2 số x - 1 và 9. c. ( ) ( ) 1 4a b ab ab+ + , 0a b Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi. áp dụng BĐT Côsi ta có 2 1 2 a b ab ab ab + + Nhân từng vế của 2 BĐT trên ta suy đợc đpcm. Bài toán số 1.3 Chứng minh rằng: a. ( ) ( ) ( ) 8a b b c c a abc+ + + , , 0a b c b. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 6a b b c c a a bc + + + + + áp dụng BĐT Côsi cho 6 số 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , , ,a a b b b c c c a . Bài toán số 1.4 a. n số dơng a 1 , a 2 , , a n . Chứng minh rằng: 1 2 1 2 1 1 1 n n n n a a a a a a + + +L b.Nếu a 1 , a 2 , , a n dơng và a 1 a 2 a n = 1 thì a 1 + a 2 + + a n n áp dụng BĐT Côsi cho n số dơng trên) Bài toán số 2 . Chứng minh bất đẳng Netbit 3 2 a b c b c a c a b + + + + + , ,a b c > 0. Giải. Đặt x= b + c, y = a + c, z = a +b Khi đó x, y, z > 0 và , , 2 2 2 y z x x z y x y z a b c + + + = = = Ta có: ( ) 1 2 2 2 2 1 1 3 3 2 2 2 3 . 2 2 2 a b c y z x x z y x y z b c a c a b x y x z y z y x z x z x + + + + + = + + ữ + + + = + + + + + + + = ữ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x= y= z. Cách khác: ( ) ( ) 1 6 2 1 1 1 1 1 3 6 9 6 2 2 2 a b c x y z x y z x y z b c a c a b x y z x y z x y z + + + + + + + + = + + ữ + + + = + + + + = ữ Khai thác bài toán: Bằng cách tơng tự, ta có thể chứng minh đợc các bất đẳng thức sau: với a, b, c dơng ta có: Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi. 2 .2 9222 .1 222 cba ba c ac b cb a cbabaaccb ++ + + + + + ++ + + + + + Bài toán số 2.2. Cho x, y > 0. Chứng minh rằng yxyx + + 411 (1) Phân tích: Do x, y > 0 nên BĐT (1) có thể suy ra từ BĐT Côsi hoặc xét hiệu. Giải Cách 1: Sử dụng BĐT Côsic cho 2 số dơng x, y: ( ) yxyx yxxy yx xyyx xyyx + + + + + + 411 4 4 2 2 Cách 2. Xét hiệu của 2 vế: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 4 0 411 1 2 + + +++ + + yxxy yx yxxy xyyxxyxy yxyx (2) Do x > 0, y > 0 nên BĐT (2) luôn đúng. Vậy (1) luôn đúng. (đpcm) Khai thác bài toán: Ta thấy BĐT trên có liên quan đến việc cộng mẫu nên có thể sử dụng để chứng minh BĐT sau: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng: ++ + + cbacpbpap 111 2 111 trong đó 2 cba p ++ = Bài tập tơng tự: Bài 1. Chứng minh rằng: ++ ++ + + + + + + + + cba cba ca ca bc cb ba ba 222222222 3 Bài 2. Cho a, b, c, d là các số dơng. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 22 2 22 4 22 4 22 4 dcba adad d dcdc c cbcb b baba a +++ ++ + ++ + ++ + ++ Bài 3. Cho 1,,0 cba . Chứng minh rằng: Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi. accbbacba 222222 1 +++++ Bài 4. Cho a > 0, b > 0, c > 0. Chứng minh: +++ cbaab c ac b bc a 111 2 Bài 5. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng: x zy zy x + + + 4 2 Bài 6. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: a b ba b a Bài 7. Cho x, y > 0. Chứng minh rằng: 3 2 22 3 yx yxyx x ++ Bài 8. Cho x, y 0. Chứng minh rằng: 2 6 2 6 44 x y y x yx ++ Bài 9. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 4 2 ab ba ab + áp dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh BĐT trong tam giác Bài toán số 3 . Cho a, b, c là độ dài cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: .3 + + + + + cba c bca b acb a Giải: Cách 1. đặt x = b + c a; y = a + c - b; z = a + b c. Khi đó x, y, z > 0 và . 2 , 2 , 2 zy c zx b yx a + = + = + = Vế trái: ( ) 3222 2 1 2 1 2 1 =++ +++++= + + + + + = + + + + + y z z y x z z x x y y x y xz x zy z yx cba c bca b acb a Dấu bằng xảy ra Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi. . 2 2 2 cbazyx y z z y x z z x x y y x ==== =+ =+ =+ Cách 2. Nhận xét: Do a, b, c, là độ dài 3 cạnh của tam giác nên ta có: a + b - c > 0; a + c b > 0; b + c - a > 0 áp dụng BĐT Côsi cho các cặp số dơng: ( )( ) ( )( ) ( ) bcbaacb cacbbca a bcacba bcacba ++ ++ = +++ ++ )( 2 Nhận thấy các vế của BĐT trên là các số dơng và 3 BĐT này cùng chiều, nhân từng vế của chúng ta đợc: ( )( )( ) .abcacbbcacba +++ Ta có: ( )( )( ) 33 3 3 3 = +++ + + + + + abc abc cbabcaacb abc cba c bca b acb a Bài tập 3.1 . Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác ABC, .cba Chứng minh rằng: ( ) .9 2 bccba ++ (*) Giải Vì ( ) ( ) ( ) .2 222 cbcbbcbaba +=++++ để chứng minh (*) ta cần chứng minh: ( ) .92 2 bccb + (1) Thật vậy: ( ) ( ) bccb bccbcb bccbcb bccb + ++ + 2 22 22 2 2 44 944 92 Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi. Ta có: ( ) bccb ccccb bbbcb =< =< 2 2 220 220 (đpcm) Bài tập 3.2 . Chứng minh rằng 3 3 223 223 22 4.2 < + + + + + ba c ac b cb a (*) Trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Giải Ta có ( ) 2 33 4 1 cbcb ++ Thật vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 3341 2 22 22 2233 223333 + + ++++ cbcb cbcb cbccbb bccbcb bccbcbcb Luôn đúng suy ra (1) đúng Tơng tự: ( ) 2 33 4 1 caca ++ ( ) 2 33 4 1 baba ++ Do đó: )3(4 3 3 22 3 22 3 22 + + + + + < + + + + + ba c ca b cb a ba c ac b cb a Mà: 2 222 )(2 2 )(2 2 )(2 2 = ++ + ++ + ++ < < + + + + + = + + + + + cba c cba b cab a ba c ca b cb a ba c ca b cb a (4) Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi. Do: >+ >+ >+ bca acb cba Từ (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh. Các bài tập khác: Bài tập 3.3 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và có chu vi là 2. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + 2abc < 2. Bài tập 3.4 Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) abccbacbcabacba 3 222 +++++ Bài tập 3.5 Giả sử a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng: ( ) 6 111 3333 333 ++ ++++ abc cba cba cba Bài tập 3.6 Giả sử a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng ( ) ( )( )( ) 9 3111 + ++++ abc accbba cba cba Bài tập 3.7. Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1 Chứng minh rằng: 32+++++++++++ adcadbdcbcba ứNG DụNG 2: ứng dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị * Với a 0, b 0 ta có 2a b ab + , dấu = xảy ra a = b * Với n số không âm: a 1 , a 2 , , a n ta có: 1 2 1 2 n n n a a a n a a a + + + Dấu = xảy ra a 1 = = a n * Từ BĐT trên ta suy ra: + Nếu a.b = k (const) thì min(a + b) = 2 k a = b + Nếu a + b = k (const) thì max(a.b) = 2 4 k a = b * Mở rộng đối với n số không âm: + Nếu a 1 .a 2 a n = k (const) thì min(a 1 + a 2 + + a n ) = n n k a 1 = a 2 = = a n + Nếu a 1 + a 2 + + a n = k (const) thì max(a 1 .a 2 a n ) = n k n ữ a 1 = a 2 = = a n Ví dụ: Cho x > 0, y > 0 thoả mãn: 1 1 1 2x y + = Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi. Tìm GTNN của A = x y + Bài làm: Vì x > 0, y > 0 nên 1 x > 0, 1 y > 0, x > 0, y > 0 . Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 . 2 4 4 2 2 4 4 Cs x y x y xy xy A x y x y + ữ = + + = Vậy min A = 4 x = y = 4 Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng BĐT Côsi theo 2 chiều ngợc nhau: + Dùng 2 a b ab + để dùng điều kiện tổng 1 1 1 2x y + = từ đó đợc 4xy + Dùng 2a b ab + làm giảm tổng x y + để dùng kết quả 4xy Không phải lúc nào ta cũng có thể dùng trực tiếp BĐT Côsi đối với các số trong đề bài. Ta có một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thể vận dụng BĐT Côsi rồi tìm cực trị của nó: * Cách 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình ph- ơng biểu thức đó. Ví dụ: Tìm GTNN của A = 3 5 7 3x x + Bài giải Điều kiện: 5 7 3 3 x Ta có: A 2 = ( 3x 5 ) + ( 7 3x ) + 2 ( ) ( ) 3 5 7 3x x A 2 ( 3x 5 + 7 3x ) + 2 = 4 Dấu = xảy ra 3x 5 = 7 3x x = 2 Vậy max A 2 = 4 max A = 2 x = 2 Ta thấy A đợc cho dới dạng tổng của 2 căn thức. Hai biểu thức lấy căn có tổng không đổi (bằng 2). Vì vây, nếu bình phơng A sẽ xuất hiện hạng tử là 2 lần tích của 2 căn thức. Đến đây có thể vận dụng BĐT Côsi 2 ab a b + * Cách 2: Nhân và chia biểu thức với cùng một số khác 0 Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi. Ví dụ: Tìm GTLN của A = 9 5 x x Bài giải: Điều kiện: x 9. Ta có: 1 9 9 9 9 3 .3 9 1 2 3 3 3 5 5 5 10 30 x x x x A x x x x + + ữ = = = = Dấu = xảy ra 9 3 18 3 x x = = Vậy max A = 1 18 30 x = Trong cách giải trên, x 9 đợc biểu diễn thành 9 .3 3 x khi vận dụng BĐT Côsi tích này trở thành nửa tổng: 9 1 3 3 3 x x + = có dạng kx có thể rút gọn cho x ở mẫu. ( số 3 đợc tìm bằng cách lấy 9 , số 9 có trong đề bài) * Cách 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số. Ví dụ 1: ( Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau) Cho x > 0, tìm GTNN của A = 4 3 3 16x x + Bài giải A = 4 3 3 16x x + = 4 3 3 3 16 16 16 3 4 . . .x x x x x x x x x x + = + + + A 4.2 = 8 ( dấu = xảy ra 3 16 2x x x = = ) Vậy min A = 8 khi x = 2 Ví dụ 2: (Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của một hạng tử khác có trong biểu thức đã cho) Cho 0 < x < 2, tìm GTNN của A = 9 2 2 x x x + Bài giải 9 2 9 2 1 2 . 1 2 9 1 7 2 2 x x x x A x x x x = + + + = + = Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi. Dấu = xảy ra 9 2 1 2 2 x x x x x = = Vậy min A = 7 1 2 x = Trong cách giải trên ta đã tách 2 x thành tổng 2 1 x x + . Hạng tử 2 x x nghịch đảo với 2 x x nên khi vận dụng BĐT Côsi ta đợc tích của chúng là một hằng số. * Cách 4: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho Ví dụ: Cho x, y, z > 0 thoả mãn: x + y + z = 2 Tìm GTNN của P = 2 2 2 x y z y z z x x y + + + + + Bài giải Vì x, y, z > 0 ta có: áp dụng BĐT Côsi đối với 2 số dơng 2 x y z+ và 4 y z + ta đợc: 2 2 2 . 2. 4 4 2 x y z x y z x x y z y z + + + = = + + (1) . Tơng tự ta có: 2 2 (2) 4 (3) 4 y x z y x z z x y z x y + + + + + + Cộng (1) + (2) + (3) ta đợc: ( ) 2 2 2 2 1 2 x y z x y x x y z y z z x x y x y z P x xy z + + + + + + + ữ + + + + + + + = Dấu = xảy ra 2 3 x y z = = = Vậy min P = 1 2 3 x y z = = = Nhận xét: Ta đã thêm 4 y z + vào hạng tử thứ nhất 2 x y z + có trong đề bài, để khi vận dụng BĐT Côsi có thể khử đợc (y + z). Cũng nh vậy đối với 2 Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng [...].. .Một số ứng dụng của bất đẳng thức C si hạng tử còn lại của đề bài Dấu đẳng thức xảy ra đồng thời trong (1), (2), 2 (3) x = y = z = 3 x2 y2 z2 Nếu ta lần lợt thêm (y + z), (x + z), (x + y) vào thì ta ; ; y+ z x+z x+ y cũng khử đợc (y + z), (x + z), (x + y) nhng điều quan trọng là không tìm đợc các giá trị của x, y, z để dấu của các đẳng thức đồng thời xảy ra, do đó không tìm đợc GTNN của P áp dụng. .. + zx = 100 Tìm GTNN của A = xyz Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng Một số ứng dụng của bất đẳng thức C si BT 13: Với giá trị nào của a thì tích xy nhận GTLN nếu x, y, a là các số x = a2 thực thoả mãn 1 4 y =a +4 x8 + a biết a > 0, x > 0 BT 14: Tìm GTNN của A = x BT 15: Với giá trị nào của số dơng a thì biểu thức D đạt GTNN ? A = a1000 + a 900 + a 90 + a 5 + 1995 a BT 16: Tìm GTNN của C = x100 10 x10... x H= ; x 0) 2 ( x + 2000 ) ( BT 3: Cho a, b, c > 0 thoả mãn 1 1 1 + + = 2 Tìm GTLN của 1+ a 1+ b 1+ c biểu thức Q = abc BT 4: Cho x, y > 0 thoả mãn x + y = 1 Tìm GTNN của biểu thức 1 1 P = 1 + ữ1 + ữ x y BT 5: Tìm GTNN của các biểu thức sau: Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng Một số ứng dụng của bất đẳng thức C si x2 + 4x + 4 ; ( x > 0) x x2 B= ; ( x > 1) x 1 x2 + x + 2 C= x2 + x + 1 1 D = ( 1... + 356 x + 2x + 5 Bài giải Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng Một số ứng dụng của bất đẳng thức C si 4 x 4 + 16 x 3 + 56 x 2 + 80 x + 356 Ta có: P = x2 + 2 x + 5 CS 256 2 = 4 ( x + 2 x + 5) + 2 64 x + 2x + 5 Suy ra min P = 64 x = 1 hoặc x = - 3 Bài tập tơng tự BT 1: Cho x, y > 0 thoả mãn x y = 1 Tìm GTLN của A = BT 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau: x y + 2 2 x +y x + y4 4 A = x 1 x2 B= yz x 1 + xz y... Vậy min P = 64 Cách 2: Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng Một số ứng dụng của bất đẳng thức C si a +1 b +1 c +1 1 = ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) a b c abc 1 P= ( a + a + b + c) ( b + a + b + c) ( c + a + b + c) abc 43 4 4 4 4 P a b c = 43 = 64 abc P= Tổng quát: cho S = a + b + c 1 1 1 tìm GTLN của P = 1 + 1 + 1 + ữ ữ ữ a x 1 + x VD 2: Tìm GTLN của B = b c y2 y Bài giải 1.( x 1) 1 + x 1 1 x 1 =... 1+ y 1+ z 1+ y 1+ z Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng yz ( 1+ y) (1+ z ) Một số ứng dụng của bất đẳng thức C si 1 2 1+ y zx ( 1+ x) ( 1+ z) Tơng tự: 1 xy 2 1+ z ( 1+ x ) ( 1+ y ) Vậy max P = P = xyz 1 8 1 1 x= y=z= 8 2 VD 5: Cho M = 3x2 2x + 3y2 2y + 6 |x| + 1 Tính giá trị của M biết x, y là 2 số thoả mãn x.y = 1 và biểu thức |x + y| đạt GTNN Bài giải: CS Ta có: ( x + y ) 2 4 xy = 4 x + y 2 xy... 0 VD 7: Cho a, b > 0 Tìm GTNN của A = Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng ( x + a) ( x + b) x ( x > 0) Một số ứng dụng của bất đẳng thức C si ( x + a) ( x + b) A= x Bài giải x 2 + ax + bx + ab ab = = a +b + x + x x A a + b + 2 ab min A = a + b + 2 ab ab Dấu = xảy ra x = x = ab x 2 1 VD 8: Tìm GTNN của hàm y = + với 0 < x < 1 1 x x Bài giải 2 1 2 2 x +2 x 1 x +x + = + Ta có: y = 1 x x ( 0 < x < 1)... GTNN của P áp dụng các cách trên cùng với việc sử dụng BĐT C si ta có các ví dụ khác nh sau: VD 1: Cho a, b, c > 0 thoả mãn: a + b + c = 1 1 1 1 Tìm GTLN của P = 1 + 1 + 1 + ữ ữ ữ a b c 1 1 3 3 3 abc Do đó có thể khai triển P rồi ớc lợng theo BĐT C si Bài giải 1 1 1 1 1 1 1 Cách 1: P = 1 + + + + + + + a b c ab bc ac abc áp dụng BĐT C si cho 3 số dơng ta có: 1 a + b + c 3 3 abc 1 3 3 abc abc... x 2 + y 2 = 4 Tìm GTNN của biểu thức 2 2 E = x+ 1 + y+ 1 ữ ữ y x BT 7: Tìm GTLN và GTNN của A = 3 + x + 6 x ; ( 3 x 6 ) BT 8: Tìm GTLN của A = x, y 1 x + 1 + y + 1 biết x + y = 2 BT 9: Cho a, b > 0 thoả mãn a b = 216 Tìm GTNN của S = 6a + 4b 1 BT 10: Cho a, b > 0 thoả mãn a + 1 b a b Tìm GTNN của A = + b a a 3 BT 11: Cho a, b > 0 thoả mãn ab 6 2 Tìm GTNN của S = a + b 2 BT 12: Cho... x10 + 2004 x 2 + xy + y 2 BT 17: Tìm GTLN của E = 2 ; ( x > 0, y > 0 ) x xy + y 2 BT 18: Tìm GTLN của tích x1 x2 xn ; ( n 2 ) 1 2 2 Biết xi ; i = 1, n và x12 + x2 + + xn = 1 n BT 19: Tìm GTLN của B = x ( x + 1995 ) BT 20: Tìm GTNN của N = x + 2 ; ( x > 0) 5 biết rằng x, y > 0 x y( x y) 2 BT 21: Tìm GTLN của H = x 1 x 2 với 1 x 1 BT 22: Tìm GTLN của biểu thức: P= x y z + + + ( 1 x) ( 1 y) ( 1 z . Một số ứng dụng của bất đẳng thức C si. MT S NG DNG CA BT NG THC Cễ SI ứNG DụNG 1: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán số 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng ( ) 1 1. bài, để khi vận dụng BĐT C si có thể khử đợc (y + z). Cũng nh vậy đối với 2 Nguyễn Thị Hạt SVCĐSP Hải Dơng Một số ứng dụng của bất đẳng thức C si. hạng tử còn lại của đề bài. Dấu đẳng thức xảy ra. C si đối với các số trong đề bài. Ta có một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thể vận dụng BĐT C si rồi tìm cực trị của nó: * Cách 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của