Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi

LỜI MỞ ĐẦUBất đẳng thức Cô –si có rất nhiều ứng dụng và được sử dụng khá phổ biến để chứng minh bất đẳng thức, đánh giá biểu thức và từ đó giải quyết được nhiều bài toán khác nhau, là một chủ đề hay, chủ chốt trong chương trình toán đại số đối với cả người dạy và người học. Vì vậy trong báo cáo tham luận này tôi đã chọn chuyên đề: “ Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi ”

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI NỘI DUNG ỨNG DỤNG 1: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán Cho a, b, c > Chứng minh ( a + b + c )  1 1 + + ÷≥ a b c *Phân tích: Vế trái chứa a, b, c > nghịch đảo chúng Vì ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức Cô-si Lời giải: Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số a, b, c 1 ; ; ta có: a b c a + b + c ≥ 3 abc 1 1 + + ≥ 33 a b c abc Nhân vế hai bất đẳng thức ta được: ( a + b + c )  1 1 + + ÷ ≥ (đpcm) a b c 1 1 b a c a Cách 2: ( a + b + c )  + + ÷= 3+  + ÷ +  + ÷ + a b c a b a c ⇔ Dấu "=" xảy a=b=c Bài toán số 1.1: Chứng minh bất đẳng thức: a b c + + ≥ (a, b, c > 0) b c a b a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca a Bài toán số 1.2: Chứng minh rằng: a x2 + x2 + ∀x ∈ R ≥2 Hướng dẫn: áp dụng BĐT Cô-si cho số x2 +1 b x+8 ≥6 x −1 ∀x > Hướng dẫn: áp dụng BĐT Cô-si cho số x - c ( a + b) ( ab + 1) ≥ 4ab ∀ a, b ≥ Hướng dẫn: áp dụng BĐT Cơ-si ta có a + b ≥ ab ab + ≥ ab Nhân vế BĐT ta suy đpcm Bài toán số 1.3 : Chứng minh rằng: a ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8abc ∀a, b, c ≥ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 b a + b + b + c + c + a ≥ 6abc b c  + ÷ ≥ 3+ 2+ 2+ = c b Hướng dẫn: áp dụng BĐT Cô-si cho số a , a 2b , b , b 2c , c , c a Bài toán số 1.4: a n số dương a1, a2, , an Chứng minh rằng: n 1 + +L + a1 a2 an ≤ n a1a2 an b.Nếu a1, a2, , an dương a1a2 an = a1+ a2 + + an ≥ n (áp dụng BĐT Cô-si cho n số dương trên) Bài toán số Chứng minh bất đẳng Netbit a b c ∀a, b, c > ≥ + + b+c a+c a+b Giải: Đặt x= b + c, y = a + c, z = a +b Khi x, y, z > a= y+z−x x+z− y x+ y−z ,b = ,c = 2 a b c  y+z−x x+z− y x+ y−z + + + + =  ÷ 2 b+c a+c a+b    1 x y x z y z =  + + + + + − 3÷ ≥ ( + + - ) = 2y x z x z y  Ta có: Dấu "=" xảy x= y= z Cách khác:  a b c  x+ y+z x+ y+z x+ y+z + + − 6÷ + + =  x y z b+c a+c a+b   1 1  1  = ( x + y + z )  + + ÷−  ≥ (9 - 6) =  x y z  Khai thác tốn: Bằng cách tương tự, ta chứng minh bất đẳng thức sau: với a, b, c dương ta có: 2 + + ≥ b+c c+a a +b a+b+c a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b b+c c+a a+b a Bài toán số 2.2 Cho x, y > Chứng minh 1 + ≥ x y x+ y (1) Phân tích: Do x, y > nên BĐT (1) suy từ BĐT Cơ-si xét hiệu Giải: Cách 1: Sử dụng BĐT Cô-si cho số dương x, y: x + y ≥ xy ⇔ ( x + y ) ≥ xy ⇔ x+ y ≥ xy x+ y ⇔ 1 + ≥ x y x+ y Cách Xét hiệu vế: 1 + − ≥0 x y x+ y y ( x + y ) + x ( x + y ) − xy ≥0 ⇔ xy ( x + y ) ( x − y)2 ⇔ ≥ (2) xy ( x + y ) (1) ⇔ Do x > 0, y > nên BĐT (2) Vậy (1) (đpcm) Khai thác tốn: Ta thấy BĐT có liên quan đến việc cộng mẫu nên sử dụng để chứng minh BĐT sau: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, chứng minh rằng: 1 a+b+c 1 1 + + ≥  + + ÷ p = p −a p −b p −c a b c Bài tập tương tự: Bài Chứng minh rằng:  a2 + b2 + c2  a + b2 b2 + c2 a + c ≤ 3 + + ÷ a+b c+b a+c  a+b+c  Bài Cho ≤ a, b, c ≤ Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ≤ + a2b + b2c + c2a Bài Cho a > 0, b > 0, c > Chứng minh: a b c 1 1 + + ≥ 2 + − ÷ bc ac ab a b c Bài Cho x, y, z > Chứng minh rằng: x2 y+z + ≥x y+z Bài Cho x, y > Chứng minh rằng: x3 2x − y ≥ 2 x + xy + y Bài Cho x, y ≠ Chứng minh rằng: x4 + y ≤ x6 y + y2 x2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh BĐT tam giác Bài toán số Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c ≥3 + + b+c−a a+c−b a+b−c Giải: Cách đặt x = b + c – a; y = a + c - b; z = a + b – c Khi x, y, z > a = x+ y x+z y+z ; b= ; c= 2 a b c  x+ y y+z z+x + + + + =  ÷ x y  b+c−a a +c−b a +b−c  z x y x z y z =  + + + + + ÷ ≥ (2 + + ) =  y x z x z y Vế trái: Dấu xảy khi: y x + y x =  x z  + = ⇔ x = y = z ⇔ a = b = c z x y z z + y =  Cách Nhận xét: Do a, b, c, độ dài cạnh tam giác nên ta có: a + b - c > 0; a + c –b > 0; b + c - a > áp dụng BĐT Cô-si cho cặp số dương: a +b−c+a +c−b = a (a + b − c)(a + c − b) ≤ (a + c − b)(b + c − a) ≤ c (b + c − a )(a + b − c) ≤ b Nhận thấy vế BĐT số dương BĐT chiều, nhân vế được: (a + b - c)(a + c - b)(b+ c - a) ≤ abc a b c abc abc ≥ 33 ≥ 33 + + =3 b+c−a a+c−b a+b−c (b + c − a)(a + c − b)(a + b − c ) abc Bài tập 3.1 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC, a ≤ b ≤ c Chứng minh rằng: ( a + b + c)2 ≤ 9bc (*) Ta có: Giải: Vì a ≤ b => ( a + b + c) ≤ ( b + b + c )2 = ( 2b + c)2 để chứng minh (*) ta cần chứng minh: ( 2b + c)2 ≤ 9bc (1) Thật vậy: ( 2b + c)2 ≤ 9bc  4b2 + 4bc + c2 ≤ 9bc  4b2 - 4bc + c2 ≤ bc  ( 2b –c )2 ≤ bc Ta có: < 2b – c ≤ 2b – b = b < 2b – c ≤ 2c – c = c => ( 2b –c)2 ≤ bc (đpcm) Các tập khác: Bài tập 3.2 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 2abc < Bài tập 3.3 Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh rằng: a2(b + c – a) + b2(a + c – b) + c2 ( a + b – c) ≤ 3abc Bài tập 3.4 Giả sử a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: ( 1  a+b+c  a + b + c  + + ÷− ≤ b c abc  a ) Bài tập 3.5 Cho a, b, c, d > a + b + c + d = Chứng minh rằng: a + b + c + b + c + d + b + d + a + c + d + a ≤ ỨNG DỤNG 2: Ứng dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm cực trị * Với a ≥ 0, b ≥ ta có a + b ≥ ab , dấu “=” xảy ⇔ a = b * Với n số không âm: a1 , a2 , …, an ta có: a1 + a2 + + an ≥ n n a1a2 an Dấu “=” xảy ⇔ a1 = … = an * Từ BĐT ta suy ra: + Nếu a.b = k (const) min(a + b) = k ⇔ a = b + Nếu a + b = k (const) max(a.b) = k2 ⇔a=b * Mở rộng n số khơng âm: + Nếu a1.a2…an = k (const) min(a1 + a2 + … + an) = n n k ⇔ a1 = a2 = … = an n k + Nếu a1 + a2 + …+ an = k (const) max(a1.a2…an) =  ÷ n ⇔ a1 = a2 = … = an 1 Ví dụ 1: Cho x > 0, y > thoả mãn: + = x y Tìm GTNN A = x + y Giải: Vì x > 0, y > nên 1 > 0; > 0; y x x >0; y > ta có: 1 Cs  1  1 ≤  + ÷⇒ ≤ x y 2x y xy ⇒ xy ≥ A= x+ y ≥2 x+ y ≥2 =4 Vậy A = ⇔ x = y = Nhận xét: Trong ví dụ ta sử dụng BĐT Cô-si theo chiều ngược nhau: 1 a+b + Dùng ab ≤ để dùng điều kiện tổng + = từ xy ≥ x y + Dùng a + b ≥ ab “làm giảm” tổng x + y để dùng kết xy ≥ ⇒ Không phải lúc ta dùng trực tiếp BĐT Cơ-si số đề Ta có số biện pháp biến đổi biểu thức để vận dụng BĐT Cơsi tìm cực trị nó: * Cách 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình phương biểu thức Ví dụ 2: Tìm GTNN A = 3x − + − 3x Giải: Điều kiện: ≤x≤ 3 Ta có: A2 = ( 3x – ) + ( – 3x ) + ( 3x − ) ( − 3x ) A2 ≤ ( 3x – + – 3x ) + = Dấu “=” xảy ⇔ 3x – = – 3x ⇔ x = Vậy max A2 = ⇒ max A = ⇔ x = ⇒ Ta thấy A cho dạng tổng thức Hai biểu thức lấy có tổng khơng đổi (bằng 2) Vì vây, bình phương A xuất hạng tử lần tích thức Đến vận dụng BĐT Cơsi ab ≤ a + b * Cách 2: Nhân chia biểu thức với số khác Ví dụ 3: Tìm GTLN A = x −9 5x Điều kiện: x ≥ Ta có: A= x−9 = 5x  x−9  x−9+9 x −9 + 3÷  ≤ 2 = 3 = 30 10 x 5x 5x Dấu “=” xảy ⇔ Vậy max A = Giải: x−9 = ⇔ x = 18 ⇔ x = 18 30 Trong cách giải trên, x – biểu diễn thành x −9 vận dụng BĐT x −9 + = x có dạng kx rút gọn cho 3 x mẫu ( số tìm cách lấy , số có đề bài) Cơ-si tích trở thành nửa tổng: * Cách 3: Biến đổi biểu thức cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số Ví dụ 4: ( Tách hạng tử thành tổng nhiều hạng tử nhau) x + 16 Cho x > 0, tìm GTNN A = x3 Giải: 16 16 16 x + 16 A= = x + = x + x + x + ≥ 4 x.x.x 3 x x x x A ≥ 4.2 = ( dấu “=” xảy ⇔ x = 16 ⇔ x=2) x3 Vậy A = x = Ví dụ 5: (Tách hạng tử chứa biến thành tổng số với hạng tử chứa biến cho hạng tử nghịch đảo hạng tử khác có biểu thức cho) Cho < x < 2, tìm GTNN A = 9x + 2− x x Giải: A= 9x 9x − x + + 1≥ +1= 9+1=7 2− x x 2− x x Dấu “=” xảy ⇔ 9x 2−x = ⇔x= 2− x x Vậy A = ⇔x = Trong cách giải ta tách đảo với số 2− x 2−x + Hạng tử thành tổng nghịch x x x x nên vận dụng BĐT Côsi ta tích chúng 2− x * Cách 4: Thêm hạng tử vào biểu thức cho Ví dụ 6: Cho x, y, z > thoả mãn: x + y + z = x2 y2 z2 + + Tìm GTNN P = y+ z z+ x x+ y Giải: Vì x, y, z > ta có: x2 y+z áp dụng BĐT Cơ-si số dương ta được: y+z x2 y+z x2 y + z x + ≥2 = = x (1) Tương tự ta có: y+z y+z y2 x+z + ≥ y (2) x+ z z2 x+ y + ≥ z (3) x+ y Cộng (1) + (2) + (3) ta được:  x2 y2 z2  x + y + x + + ≥ x+ y+z  ÷+ y + z z + x x + y   x+ y+ z ⇒ P ≥ ( x + xy + z ) − =1 2 Vậy P = ⇔ x = y = z = y+z x2 Nhận xét: Ta thêm vào hạng tử thứ có đề bài, để y+z Dấu “=” xảy ⇔ x = y = z = vận dụng BĐT Cơsi khử (y + z) Cũng hạng tử lại đề Dấu đẳng thức xảy đồng thời (1), (2), (3) ⇔ x= y=z= Nếu ta thêm (y + z), (x + z), (x + y) vào x2 z2 y2 : ; ta y+z x+z x+ y khử (y + z), (x + z), (x + y) điều quan trọng khơng tìm giá trị x, y, z để dấu đẳng thức đồng thời xảy ra, khơng tìm GTNN P Áp dụng cách với việc sử dụng BĐT Cơsi ta có ví dụ khác sau: Ví dụ : Tìm GTLN B = x −1 + x y−2 y Giải: 1.( x − 1) + x − 1 x −1 = ≤ = x x x 2 ( y − ) + y − y−2 = ≤ = = y y y 2 ⇒ max B = x −1 = x = 2 2+ + = ⇔ ⇔ 4 y − = y = Ví dụ : Cho số dương x, y có x + y =   Tìm GTNN B =  −   − ÷ ÷ x2   y2  Giải:   − = + ÷ ÷ xy x2   y2  CS 2 = ( x + y ) ≥4 xy ⇒ ≥8⇒ B ≥9 xy   Ta có: B =  − Vậy B = ⇔ x = y = Ví dụ : Cho x, y, z > thoả mãn: 1 + + ≥2 1+ x 1+ y 1+ z Tìm GTNN P = xyz Giải: Ta có:  1    y z ≥ 1 − + ≥2 ÷+ 1 − ÷= 1+ x  1+ y   1+ z  1+ y 1+ z ≥2 1+ y Tương tự: ≥2 1+ z Vậy max P = zx (1+ x) (1+ z ) xy ( 1+ x) ( 1+ y ) ⇒ P = xyz ≤ yz ( 1+ y ) ( 1+ z ) 1 ⇔x= y=z= Ví dụ 10: Cho M = 3x2 – 2x + 3y2 – 2y + |x| + Tính giá trị M biết x, y số thoả mãn x.y = biểu thức |x + y| đạt GTNN Giải: Ta có: ( x + y ) CS ≥4 xy = ⇒ x+ y ≥ Min |x + y| = x = y,   xy =    x+ y =2 Khi x = y = x = y = - + Khi x = y = M = + Khi x = y = - M = 17 Bài tập tương tự: Bài tập 1: Cho x, y > thoả mãn x y = Tìm GTLN A = Bài tập 2: Cho a, b, c > thoả mãn x y + 2 x +y x + y4 1 + + = 1+ a 1+ b 1+ c Tìm GTLN biểu thức Q = abc Bài tập 3: Cho x, y > thoả mãn x + y = Tìm GTNN biểu thức   P = 1 +   ÷1 + ÷ x  y Bài tập : Cho x, y > thảo mãn x + y = Tìm GTNN biểu thức 2  1  1 E = x+ ÷ + y+ ÷ y  x  Bài tập : Tìm GTLN GTNN A = + x + − x ; ( −3 ≤ x ≤ ) Bài tập : Cho a, b > thoả mãn a b = 216 Tìm GTNN S = 6a + 4b Bài tập : Với giá trị số dương a biểu thức A đạt GTNN ? 1000 + a 900 + a 90 + a + A= a Bài tập : Tìm GTNN C = 1995 a x100 − 10 x10 + 2004 x + xy + y ; ( x > 0, y > ) Bài tập : Tìm GTLN E = x − xy + y Bài tập 10 : Tìm GTLN biểu thức: P= x y z + + + ( 1− x) ( 1− y) ( 1− z ) 1+ y + z 1+ x + z 1+ x + y Với x, y, z biến đổi thoả mãn ≤ x, y, z ≤ Tài liệu tham khảo : Các phương pháp giải toán giá trị lớn nhất, nhỏ – Tác giả : Phan Huy Khải – Nhà xuất : Đại học Sư Phạm ; năm xuất : 2011 Chuyên đề bất đẳng thức – Tác giả : Võ Giang Giai – Nhà xuất : Đại học Quốc Gia Hà Nội ; năm xuất : 2011 Nâng cao phát triển toán – tập – Tác giả: Vũ Hữu Bình – Nhà xuất bản: Giáo Dục Việt Nam; năm xuất bản: 2010 ... Bài Cho x, y > Chứng minh rằng: x3 2x − y ≥ 2 x + xy + y Bài Cho x, y ≠ Chứng minh rằng: x4 + y ≤ x6 y + y2 x2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh BĐT tam giác Bài toán số Cho a, b, c độ... cho dạng tổng thức Hai biểu thức lấy có tổng khơng đổi (bằng 2) Vì vây, bình phương A xuất hạng tử lần tích thức Đến vận dụng BĐT Côsi ab ≤ a + b * Cách 2: Nhân chia biểu thức với số khác Ví dụ... a1a2 an b.Nếu a1, a2, , an dương a1a2 an = a1+ a2 + + an ≥ n (áp dụng BĐT Cơ-si cho n số dương trên) Bài tốn số Chứng minh bất đẳng Netbit a b c ∀a, b, c > ≥ + + b+c a+c a+b Giải: Đặt x= b + c,