http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức VD1:(BĐT Nesbitt): Cho a,b,c số thực dương CMR: a b c + + ≥ b+c c+a a +b y+z−x a = x = b +c x+z− y 1 y+z−x x+z− y x+ y−z + + Ta đặt y = c + a ⇒ b = nên BĐT ⇔ ÷≥ 2 x y z z = a + b x+ y−z c = x y y z z x x y y z z x ⇔ + ÷+ + ÷+ + ÷ ≥ + + = (đúng) y x z y x z y x z y x z Vậy BĐT đuợc chứng minh Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c VD2: (Prance Pre –MO 2005) Cho số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = CMR: xy yz zx + + ≥3 z x y xy a = z yz Đặt b = với a, b, c > từ giả thiết x + y + z = ⇔ ab + bc + ca = x zx c = y Và BĐT cần CM ⇔ CM BĐT a + b + c ≥ mặt khác ta có BĐT sau: a + b + c ≥ ab + bc + ca ⇔ a + b + c ≥ 3(ab + bc + ca ) = Vậy BĐT đuợc chứng minh Dấu “=” xảy ⇔ x = y = z = 1 VD3: Cho x, y, z >0 thoả x + y + z = CMR + + ≥ 36 x y z a x = a + b + c b Từ giả thiết ta đặt: y = với a,b,c >0 a+b+c c z = a +b + c a+b+c a+b+c a+b+c + + ≥ 36 Nên BĐT ⇔ CM a b c b c a c a b ⇔ + + + + + ≥ 22 a a b b c c a c a c b b a c a c b b ⇔ + ÷+ + ÷+ + ÷ ≥ + + .9 = 22 (đúng) b a c b c a b a c b c a http://toanlihoasinh.blogspot.com/ http://toanlihoasinh.blogspot.com/ x = b = 2a ⇒ y = Dấu “=” xảy ⇔ c = 3a z = VD4: Cho x, y, z số thực dương CMR xyz ≥ ( x + y − z )( y + z − x )( z + x − y ) x = b +c Ta đặt y = c + a với a, b, c > nên BĐT ⇔ CM BĐT (a + b)(b + c)(c + a ) ≥ 8abc z = a + b mặt khác ta có (a + b)(b + c)(c + a ) − 8abc = a (b − c ) + b(c − a ) + c(a − b) ≥ Vậy BĐT đuợc chứng minh Dấu “=” xảy ⇔ x = y = z VD5: ( IMO 2000) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc=1 1 CMR: a − + ÷ b − + ÷ c − + ÷ ≤ b c a x a = y y Do abc = nên ta đặt b = với x, y , z > z z c = x x z y Nên BĐT viết lại − + ÷ − + y z y x z y ÷ − + ÷ ≤ z x x ⇔ xyz ≥ ( x + y − z )( y + z − x )( z + x − y ) (đã CM VD4) Vậy BĐT đuợc chứng minh Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c = VD6:( IMO-1995) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc=1 1 + + ≥ CMR : a (b + c) b (c + a ) c (a + b) a = x Ta đặt b = với x, y , z > abc = nên xyz = y c = z x2 y2 z2 + + ≥ Nên BĐT ⇔ y+z z+x x+ y mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có: x2 y2 z2 ( y + z ) + ( z + x ) + ( x + y ) + + ÷≥ ( x + y + z ) y+z z+x x+ y x2 y2 z x + y + z 3 xyz ⇔ + + ≥ = ÷≥ 2 y+z z+x x+ y Vậy BĐT đuợc chứng minh http://toanlihoasinh.blogspot.com/ http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c = VD7: Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: xyz = x + y + z + xyz CMR: x + y + z ≤ 1 + + =1 1+ x 1+ y 1+ z 1 = a, = b, = c với a, b, c > Ta đặt 1+ x 1+ y 1+ z 1− a b + c 1− b a + c 1− c a + b ⇒x= = ,y= = ,z = = Nên BĐT cần CM ⇔ CM BĐT a a b b c c a b b c c a + + ≤ b+c c+a c+a a+b a+b b+c a b 1 a b ≤ + Mặt khác ta có: ÷ b+c c+a 2 a+c b+c Từ xyz = x + y + z + ⇔ b c 1 b c ≤ + ÷ c+a a+b 2b+a c+a c a 1 c a ≤ + ÷ a +b b+c 2 c+b a+b Nên a b b c c a 1 a b b c c a + + ≤ + + + + + ÷= b+c c+a c+a a+b a +b b +c a +c b +c b + a c + a c +b a +b Vậy BĐT Dấu “=” xảy ⇔ x = y = z = Sau số tập để luyện tập: Bài 1: Cho a,b,c cạnh tam giác: a b c + + ≥3 1, b +c − a c + a −b a +b −c 1 1 1 + + ≥ + + 2, a +b −c b +c − a c + a −b a b c Bài 2: Cho x, y, z số thực dương thoả mãn x + y + z + xyz = CMR: 1, x + y + z ≥ 1 2, + + ≥ 4( x + y + z ) x y z a b c ,y= ,z = Gợi ý: từ giả thiết ta đặt x = b+c c+a a+b Bài 3: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a + b + c = 1 1 + + ≥ + 22 + CMR: abc ab bc ca ≥ Bài 4: Cho a, b, c > thoả mãn abc = CMR: + a + b + c ab + bc + ca Bài 5: Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác CMR: 1, a + b + c ≥ 3S với S diện tich tam giác 2, a 2b(a − b) + b 2c(b − c) + c a (c − a ) ≥ Gợi ý: Đặt a = x + y, b = y + z , c = z + x http://toanlihoasinh.blogspot.com/ http://toanlihoasinh.blogspot.com/ TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN “Tìm lời giải cho toán phát minh” (Polya) Sẽ thông minh ta biết vận dụng để sáng tạo tìm lời giải cho toán Bài viết đề cập đến bất đẳng thức quen thuộc, đơn giản số toán áp dụng bất đẳng thức Bài toán: Với hai số dương x y ta có: 1 1 ≤ ( + ) (1) x+ y x y Đẳng thức xảy x =y Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh đưa hai cách chứng minh phổ biến Cách Với hai số dương x y ta có: 1 1 ≤ ( + ) ( x + y ) ≥ ⇒ (x + y)2 ≥ xy ⇒ x+ y x y Rõ ràng, đẳng thức xảy x = y Cách áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có 1 1 x + y ≥ xy, + ≥2 = x y x y xy 1 1 1 ≤ ( + ) Từ đó: ( x + y ) ( + ) ≥ ⇒ x y x+ y x y Và đẳng thức xảy x =y Cho số dương a, b, c, áp dụng bất đẳng thức (1) ta có 1 1 1 1 1 1 ≤ ( + ); ≤ ( + ); ≤ ( + ) a+b a b b+c b c c+a c a Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: Bài toán Cho ba số dương a, b, c, ta có: 1 1 1 + + ≤ ( + + ) (2) a+b b+c c+a a b c Đẳng thức xảy a = b = c * Áp dụng (2) cho số a+b, b+c, c+a ta được: 1 1 1 + + ≤ ( + + ) a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b a + b b + c c + a (3) * Kết hợp (2) (3) ta có Bài toán Với a, b, c số dương: 1 1 1 + + ≤ ( + + ) (4) a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b a b c Đẳng thức xảy a = b = c 1 + + = toán nội dung câu V, Đề thi Đại học Chú ý: Nếu thêm giả thiết a b c Cao đẳng khối A, năm 2005 Bài toán Chứng minh với a, b, c dương: 1 1 1 + + ≤ + + (5) a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b a + 3b b + 3c c + 3a Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có: 1 + ≥ = a + 3b b + 2c + a (a + 3b) + (b + 2c + a ) a + 2b + c 1 + ≥ = b + 3c c + 2a + b (b + 3c) + (c + 2a + b) b + 2c + a http://toanlihoasinh.blogspot.com/ http://toanlihoasinh.blogspot.com/ 1 + ≥ = c + 3a a + 2b + c (c + 3a ) + (a + 2b + c) c + 2a + b Cộng vế với vế bất đẳng thức rút gọn ta co bất đẳng thức (5) a + 3b = b + 2c + a Đẳng thức xảy khi: b + 3c = c + 2a + b ⇔ a = b = c c + 3a = a + 2b + c Bài toán Hãy xác định dạng tam giác ABC góc thỏa mãn đẳng thức sau: A B C tg tg tg 2 + + = B C C A A B A B C + tg tg + tg tg + tg tg 4.tg tg tg 2 2 2 2 A B C Giải: Đặt x = tg , y = tg , z = tg x, y, z dương xy + yz + zx=1 2 Hệ thức trở thành: x y z + + = + yz + zx + xy xyz Ta có: x y z x y z + + = + + ≤ + yz + zx + xy ( xy + yz ) + ( zx + yz ) ( xy + zx ) + ( yz + zx) ( xy + yz ) + ( zx + xy ) 1 x x 1 y y 1 z z + + = + + + xy + yz zx + yz xy + zx yz + zx xy + yz zx + xy 1 x+ z x+ y y + z 1 xy + yz + zx = + + = = + + = xy + yz zx + yz xy + zx x y z xyz xyz Đẳng thức xảy khi: x = y = z hay tam giác ABC Bài toán Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0, y + > 0, z + > Hãy tìm giá trị lớn x y z Q= + + x +1 y +1 z +1 Giải: Đặt a = x + > 0, b = y + > 0, c = z + > Ta có: a + b + c = a −1 b −1 c −1 1 4 Q= + + = 3− + + a b c a b c Theo bất đẳng thức (1) ta có: 1 4 16 ( + )+ ≥ + ≥ = a b c a+b c a+b+c ⇒ Q ≤ 3− = 3 a = b a = b = x = y = ⇔ 2⇔ Đẳng thức xảy khi: a + b = c a + b + c = c = z = −1 ≤ x = y = z = −1 Bài toán Tìm giá trị nhỏ biểu thức Vậy: MaxQ = đạt http://toanlihoasinh.blogspot.com/ http://toanlihoasinh.blogspot.com/ x −1 1− y y − z z − x + + + t + y y+ z z+ x x+t Với x, y, z, t số dương Giải : Ta có: x−t t−y y−z z−x A=( + 1) + ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) − = 1+ y y+z z+x x+t x+ y t + z y+ x z+t = + + + −4= t + y y+ z z+ x x+t A= 1 = ( x + y) + + (t + z ) + −4≥ t + y z + x y + z x +t 4 ≥ ( x + y) + (t + z ) −4= x+ y+ z+t x+ y+ z+t 4( x + y + z + t ) = −4=0 z+ y+ z+t Vậy MinA=0 x = y = z = t Trên số toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau số tập tương tự: Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 1/ + + ≤ + + 2a + 3(b + c) 2b + 3(c + a ) 2c + 3(a + b) a + b b + c c + a 1 1 1 + + ≤ + + a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b a + 2c b + 2a c + 2b Bài Chứng minh a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = ab + bc + ca thì: 1 17 + + < a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 96 Bài Cho x > 0, y > thỏa mãn x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ của: A= + + xy xy x +y Bài Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA = b, AB = c Tìm giá trị lớn biểu thức: ab bc ca T= + + a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Bài Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b, c độ dài cạnh) Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥ 2 + + p−a p−b p −c a b c 2/ http://toanlihoasinh.blogspot.com/