Các phương pháp chưng minh bất đẳng thức hay

ABC www.MATHVN.com _ n hữ n g ph n g ph p c h ứ n g m in h bĐ T đ ộ c đ o _ G LA g la n h ữ n g p h n g p h p c h ứ n g m in h abc LI NểI U Nhng nm gn õy Bt ng thc (BT) ging nh mt n hong - mang mỡnh nhiu v p huyn T nhng kỡ thi H C, HSG Tnh hay n nhng kỡ thi Olympic quc gia, quc t, BT c trao cho mt v trớ c bit quan trng Nú xut hin bi thi nh th thỏch s dng mnh ca cỏc chin binhvỡ th nú cú kh nng hụ phong, hoỏn v , nú lm chao o khụng bit bao nhiờu cỏi u thụng minh nht Cng chớnh vỡ v p cha ng nhiu s tim n ú m khụng bit bao nhiờu anh ti lao vo cuc chinh phc nh cao Hng lot nhng cỏi tờn luụn c gii tr yờu Toỏn, yờu BT nc nhc n nh : Phm Kim Hựng, Nguyn Anh Cng, Vừ Thnh Nam, Bựi Vit Anh vi s mi m v phng phỏp, sõu sc v kin thc Bờn cnh h l nhng tỏc phm tuyt nh nh : Dn bin, Only ABC, GLAvi sc sỏt thng khng khip ng cnh nhng BT nh cao Cú l vỡ th m BT khụng cũn ng kiờu hónh nh trc na, gi õy mt a tr 15, 17 tui cú th nhỡn nhng BT ng cp quc t ca nhng nm v trc vi n ci ngo ngh Nhng cỏi lung linh huyn o ú cha hn ó b chinh phc, bi dõn gian õu ú cũn m o búng ca nhng anh ti cha hộ l May mn cho tụi bi tụi ớt nht cng ó mt ln c bit n nhng iu mi l ú, cú th vi tụi mt phỏt minh, sỏng kin quỏ xa vi bi cũn quỏ mờnh mụng nhng BT tụi ch dỏm nhỡn ngm nú t rtrt xa, cú nhng phng phỏp gii toỏn tụi c hng trm ln m cha hiu ht s gi gm ca tỏc gi Nhng cú mt ú ó núi rng : ng s hói phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnhtụi thy mỡnh mnh m hn !!! - phạm kim chung ng s hói phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh www.mathvn.com ABC www.MATHVN.com _ n hữ n g ph n g ph p c h ứ n g m in h bĐ T đ ộ c đ o _ G LA I K THUT Cễ SI NGC DU # Bi ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho a, b,c > 0: a + b + c = Chng minh bt ng thc : a b c + + 2 1+ b 1+ c 1+ a a ab AM GM ab ab =a a =a Hon ton tng t ta cú : BG Ta cú : + b2 + b2 2b (a + b + c) = a b c + + ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) Do ab + bc + ca 2 1+ b 1+ c 1+ a 2 # Bi ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho a, b,c,d > 0: a + b + c + d = Chng minh bt ng thc a b c d + + + 2 2 1+ b 1+ c 1+ d 1+ a2 BG Hon ton tng t Bi Lu ý rng : ( a + c ) + ( b + d ) ab + bc + cd + da = ( a + c )( b + d ) =4 AM GM # Bi ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho a, b,c,d > 0: a + b + c + d = Chng minh bt ng thc a b c d + + + 2 2 + b c + c d + d a + a 2b b ( a + ac ) a ab c AM GM ab c b a.a.c AM GM BG Ta cú : =a a =a a 2 1+ b c 1+ b c 2b c Hon ton tng t ta cú : a b c d 1 + + + ( a + b + c + d ) ( ab + bc + cd + da ) ( abc + bcd + cda + dab ) Li cú : 2 2 1+ b c 1+ c d 1+ d a 1+ a b 4 ( a + c ) + ( b + d ) ab + bc + cd + da = ( a + c )( b + d ) =4 AM GM 2 AM GM ( b + c ) (a + d ) c + b = v abc + bcd + cda + dab = bc ( a + d ) + da ( c + b ) a + d + ( ) ( ) 4 AM GM ( a + b + c + d ) b + c )( a + d ) ( = (a + b + c + d) ( a + b + c + d ) = pcm 16 # Bi ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho a, b,c,d > Chng minh bt ng thc : a3 b3 c3 d3 a+b+c+d + + + 2 2 2 2 a +b b +c c +d d +a 2 AM GM a ab ab b =a a =a BG Ta cú : 2 a +b a +b 2ab Hon ton tng t ta s gii quyt c BT trờn # Bi ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho a, b,c > 0: a + b + c = Chng minh bt ng thc : a2 b2 c2 + + a + 2b b + 2c c + 2a a2 2ab AM GM 2ab 2 BG Ta cú : =a a = a a b Li cú : 2 a + 2b a + 2b 3 ab ng s hói phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh www.mathvn.com ABC www.MATHVN.com _ n hữ n g ph n g ph p c h ứ n g m in h bĐ T đ ộ c đ o _ G LA a2 + 2ab Do ú : a (1 + 2ab ) a + 2b Hon ton tng t ta cú : a2 b2 c2 4 + + ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) = pcm 2 a + 2b b + 2c c + 2a 3 3 a b = 1.ab.ab AM GM # Bi ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho a, b,c > 0: a + b + c = Chng minh bt ng thc : a2 b2 c2 + + a + 2b3 b + 2c3 c + 2a a2 2ab3 AM GM 2ab3 BG Ta cú : =a a = a b a2 3 a + 2b a + 2b 3b a AM GM + 2a n õy tng t Bi Li cú : b a = b 1.a.a b # Bi ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho a, b,c > 0: a + b + c = Chng minh bt ng thc : a +1 b +1 c +1 + + b2 + b2 + c2 + BG Bi toỏn ny cú cỏch lm tng t Bi chng qua tỏc gi ch cng thờm i lng 1 vo v trỏi ca BT ó CM + + 2 b +1 b +1 c +1 # Bi ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho a, b,c,d > 0: a + b + c + d = Chng minh bt ng thc a +1 b +1 c +1 d +1 + + + + b2 + c2 + d + a # Bi ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho a, b,c,d > 0: a + b + c + d = Chng minh bt ng thc 1 1 + + + 2 2 1+ b 1+ c 1+ d 1+ a2 # Bi 10 ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho a, b,c > 0: a + b + c = Chng minh bt ng thc : a2 b2 c2 + + 2 a+b b+c c+a ng s hói phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh www.mathvn.com www.MATHVN.com ABC _ n hữ n g ph n g ph p c h ứ n g m in h bĐ T đ ộ c đ o _ G LA II S DNG TIP TUYN TèM LI GII TRONG CHNG MINH BT NG THC Tụi khụng cú nhiu nhng thụng tin v phng phỏp ny, ch bit phng phỏp ny c vit bi Kin - Yin Li vi tiờu Using Tangent Lines to Prove Inequalities nm 2005 Sau ú trờn din n toỏn hc : www.mathscope.org tỏc gi Nguyn Tt Thu ó vit li lm ti SKKN Cỏi hay ca phng phỏp ny l s xut phỏt t nhiờn tỡm li gii cho bt ng thc Ta i vo mt s VD sau ú s im qua ý gii toỏn ca nú # Bi Cho a, b,c R :a + b + c = Chng minh rng : a + b + c ( a + b3 + c3 ) - BG Li gii Thc bi toỏn vi bi toỏn ny thỡ gó khng l Cauchy Schwarz (BunhiaCopxki) s khut phc nú khụng my khú khn ( a + b + c ) ( a + b3 + c3 ) CS SCW ( a + b2 + c2 ) ( a + b2 + c2 ) CS SCW T ú ta cú : ( a + b + c )( a + b + c ) (a (a + b + c) a + b3 + c3 ( a + b + c ) + b + c3 ) ( a + b + c )( a + b3 + c3 ) Li gii S tht thiu sút khụng nhc n s sỏt thng kinh hong ca BT AM GM - (Cụ-si ) Ta cú : a + 2a AM GM Li cú : a + AM GM AM GM 3a , b + 2b AM GM 3a, b3 + AM GM 3b, c3 + AM GM 3b3 ,c + 2c 3c3 3c Do ú : a + b + c + ( a + b + c ) ( a + b + c ) + ( a + b + c ) pcm - Li gii Nhng tỏc gi mun dựng bi toỏn n gin ny nhc n mt cỏch chng minh khỏc : 4 3 Ta cú : a 2a ( 8a 16 ) = ( a ) ( a 2a + ) a 2a 8a 16 Tng t ta cú : a + b + c ( a + b3 + c3 ) ( a + b + c ) 48 = pcm Nu nhỡn qua thỡ Li gii cú v thiu t nhiờn i lng ( 8a 16 ) xut hin Nhng ú cng chớnh l im mu cht ca phng phỏp tip tuyn Nhn xột : Nu y = ax + b l tip tuyn ca th hm s y = f(x) ti im A(x0 ; y0) ( A khụng phi l im un) ú tn ti mt khong ( ; ) cha im x0 cho f ( x ) ax + b, x ( ; ) hoc f ( x ) ax + b, x ( ; ) n n f ( x ) a x i =1 i i =1 i ng thc + nb, x i ( ; ) hoc xy n n f ( x ) a x i =1 i i =1 i x = x0 T õy ta cú + nb, x i ( ; ) Phng trỡnh tip tuyn ti A(x0 ; y0) l : y y0 = f(x0)(x x0) Nh vy li gii phng trỡnh y = 8x 16 chớnh l tip tuyn ca th hm s ti x0 = V chng minh x 2x ( 8x 16 ) , ta ch vic chia a thc ny cho ( x 2)2 # Bi Cho a, b,c > 0: a + b + c = Chng minh bt ng thc : a b c + + + bc + ca + ab 10 BG Trc gii bng phng phỏp tip tuyn nh t tng ca tỏc gi, tụi s gii quyt nú bi mt BT quen thuc : BT Schwarz a2 b2 c Schwarz ( a + b + c ) AM GM + + Ta cú : VT = a + abc b + bca c + cab a + b + c + 3abc 1+ (a + b + c) = 10 _ Li gii bng phng phỏp tip tuyn : gii c bng phng phỏp tip tuyn, nht thit phi chuyn BT ó cho v BT cha cỏc biu thc di dng 1bin s ng s hói phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh www.mathvn.com www.MATHVN.com ABC _ n hữ n g ph n g ph p c h ứ n g m in h bĐ T đ ộ c đ o _ G LA a AM GM Ta cú : + bc a 4a Tng t nh vy ta s a BT ó cho v dng tng ng = 2 (b + c) + a ( ) 1+ 4a 4b 4c 4x , o hm : nh sau : Xột hm s f (x) = + + x 2x + a 2a + b 2b + c 2c + 10 4x + 20 99x Phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x0 = ( im ri ) l : y = f '(x) = 100 ( x 2x + 5) 99x (3x 1) (15 11x ) 4x = 0, x ( 0;1) n õy bi toỏn ó tỡm hng i ! 100 100(x 2x + 5) x 2x + # Bi Cho a, b,c l di ba cnh tam giỏc Chng minh bt ng thc : 1 1 + + + + + a b c a+b+c a+b b+c c+a BG Chun húa : Bt ng thc ó cho thun nht nờn ta ch cn chng minh BT ỳng vi mi s thc dng tha : a + b + c =1 Khi ú BT ó cho tr thnh : + + f (a ) + f (b) + f (c) a a b b c c 5x 1 Xột hm s f ( x ) = , tip tuyn ti im cú honh x0 = l : y = 18x xx ( 3x 1) ( 2x 1) Do a, b, c l cnh ca tam giỏc nờn : Xột f(x) (18x 3) = x x2 1 = a + b + c > 2a (2b, 2c) ú x < suy : f (x) (18x 3) 0, x 0; T ú ta gii quyt bi toỏn ! # Bi ( V Toỏn Ba Lan 1996 ) Cho a, b,c tha : a+ b+ c =1 Chng minh bt ng thc a b c + + a + b + c + 10 x 36x + BG Xột hm s : f (x) = Phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x0 = l : y = x +1 50 ( 3x 1) ( 4x + 3) 0, x 36x + f (x) = T ú ta cú li gii ! Xột 50 50 x + Do ú : ( ) # Bi ( JAPAN MO 2002 ) Chng minh rng vi mi a, b, c khụng õm ta cú bt ng thc : ( b + c a ) (c + a b) (a + b c) + + 2 ( b + c ) + a ( c + a ) + b ( a + b ) + c2 2 BG Chun húa : a + b + c = BT ó cho tng ng vi BT : (1 2a ) (1 2a ) (1 2a ) 2 2a 2a + 2a 2a + 2a 2a + 4x 4x + 54x + 23 , phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x0 = l y = Xột hm s : f (x) = 25 2x 2x + 2 ( 54x 27x + 1) ( 3x 1) ( 6x + 1) 54x + 23 0, x ( 0;1) = = Do ú : f(x) 25 25 2x 2x + 25 ( 2x 2x + 1) + + ( ) Bi toỏn ó tỡm hng gii quyt ! ng s hói phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh www.mathvn.com www.MATHVN.com ABC _ n hữ n g ph n g ph p c h ứ n g m in h bĐ T đ ộ c đ o _ G LA Chỳ ý : Khi chng minh : f (x) (ax + b) nu bn ngi bin i tng ung thỡ o hm v kho sỏt nú trờn khong thớch hp # Bi ( USA MO 2003 ) Chng minh rng vi mi a, b, c khụng õm ta cú bt ng thc : ( b + c + 2a ) ( c + a + 2b ) ( a + b + 2c ) + + 2 ( b + c ) + 2a ( c + a ) + 2b ( a + b ) + 2c2 2 BG Chun húa : a + b + c = BT ó cho tng ng vi BT : (1 + a ) (1 + b ) 2 (1 + c ) + + 3a 2a + 3b 2b + 3c 2c + x + 2x + 1 12x + Xột hm s : f ( x ) = , phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x0 = l : y = 3x 2x + 3 ( 3x 1) ( 4x + 1) 12x + Lỳc ú : f(x) = 0, x ( 0;1) Bi toỏn ó tỡm hng gii quyt ! 3 ( 3x 2x + 1) cỏc bi 3, 5, ta bt gp mt k thut cú tờn l : K thut chun húa , nú s mang n cho BT cn chng minh vi cỏch nhỡn d hn Nhng BT chun húa c l nhng BT thun nht : /n hm s thun nht : Hm s f(a, b, c) c gi l thun nht vi cỏc bin trờn I nu nú tha iu kin : f(ta, tb, tc) = tkf(a, b, c) vi mi t,a,b,c I v k l mt hng s khụng ph thuc vo a,b,c,t m ch ph thuc vo bn thõn hm f # Bi ( RUSSIA MO 2002 ) Cho a, b,c > 0: a + b + c = Chng minh bt ng thc : a + b + c ab + bc + ca BG Ta cú : = (a+b+c) = a +b +c2+2(ab+bc+ca) Do ú BT cn CM tng ng vi BT : a + b2 + c2 + a + b + c 2 Xột hm s : f(x) = x2 +2 x , tip tuyn ca hm s ti im cú honh x0 = l : y = 3x Khi ú f(x) 3x = x2 3x +2 x = ( ) ( x + x ) 0, x ( 0;3) Bi toỏn ó tỡm thy hng gii ! x # Bi Cho a, b,c > Chng minh bt ng thc : 1+ 1 + b2 + c2 ) + + a + b + c + a + b2 + c2 3 a b c BG Chun húa : a2 + b2 + c2 =1 BT ó cho tng ng vi BT : 1+ 1 + + a + b + c +1 3 a b c 1 1+ 1 , ta cn CM : _Li gii BT + + ( a + b + c ) Li cú : + + a b c a+b+c 3 a b c (a 3+ 3+ x 1, vi < x , hm f(x) nghch bin suy ( a + b + c ) , xột hm s f ( x ) = a+b+c x pcm _ Li gii Bi toỏn ny lm c bng phng phỏp tip tuyn vi vic xột hm : 1+ 1+ 2+2 f (x) = x, x ( 0;1) , tip tuyn ca nú ti x0 = l : y = x+ 3 3 x # Bi Cho a, b,c > Chng minh bt ng thc : a b c + + 2 ( b + c) (c + a ) (a + b) 4(a + b + c) BG _ Li gii S dng BT Cauchy Schwarz ( BunhiaCopxki ) ng s hói phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh www.mathvn.com www.MATHVN.com ABC _ n hữ n g ph n g ph p c h ứ n g m in h bĐ T đ ộ c đ o _ G LA a b c CSSCW a b c Nesbit + + + + (a + b + c) 2 b + c c + a a + b , suy pcm ( b + c ) ( c + a ) ( a + b ) _ Li gii Phng phỏp tip tuyn Chun húa : a+b+c=1, BT ó cho tng ng vi BT : a b c x + + Xột hm s : f ( x ) = , tip tuyn ca th hm s ti im 2 2 (1 a ) (1 b ) (1 c ) (1 x ) 18x l : y = Lỳc ú ta cú : 18x 18x + 39x 20x + ( 3x 1) ( 2x + 3) f (x) = = , x ( 0;1) Bi toỏn ó cú hng gii 2 4 (1 x ) (1 x ) cú honh x0 = # Bi 10 (CHINA MO 2005) Cho a, b,c > 0:a + b + c = Chng minh bt ng thc : 10 ( a + b3 + c3 ) ( a + b5 + c5 ) # Bi 11 (NEWZEALAND MO 1998) Cho n s thc dng tha : n x i =1 xi n i = n Chng minh : n 1 xi + i =1 i =1 # Bi 12 (HONGKONG MO 1998) Cho cỏc s thc dng x, y, z Chng minh rng : 1+ x i ( xyz x + y + z + x + y + z (x +y +z 2 ) ( xy + yz + zx ) ) 3+ # Bi 13 (Olympic 30-4 nm 2006) Cho cỏc s thc dng x, y, z Chng minh rng : a ( b + c) b (c + a ) c(a + b) + + 2 2 2 ( b + c) + a (c + a ) + b (a + b) + c # Bi 14 Cho a , b,c,d > 0:ab + bc + cd + da = Chng minh bt ng thc : a3 b3 c3 d3 + + + b+c+d c+d+a d+a+b a+b+c # Bi 15 Cho a, b,c > 0:a + b + c2 = Chng minh bt ng thc : 1 + + ab bc ca # Bi 16 (BT Nesbit ) Cho a, b,c > Chng minh bt ng thc : a b c + + b+c c+a a+b _ Tỡm li gii : Chun húa : a+ b + c =3, BT ó cho tr thnh : a b c x 3x , phng trỡnh tip tuyn ti x0 = l : y = + + Xột hm s : f ( x ) = x 3a b 3c 2 3x ( x 1) = 0, x ( 0;3) .succeed ! Ta cú : f (x) 4 (3 x ) # Bi 17 (CHINA TST 2004 ) Cho a, b,c,d > 0: abcd = Chng minh bt ng thc : 1 a ,b,c,d (1 + a ) ng s hói phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh www.mathvn.com www.MATHVN.com ABC _ n hữ n g ph n g ph p c h ứ n g m in h _ bĐ T đ ộ c đ o G LA n # Bi 18 (UK TST 2004 ) Cho a i > 0,i = 1, n : a i = Chng minh bt ng thc : i =1 n i =1 + ( a i + 1) ( n > 2, n N ) # Bi 19 Cho a, b,c > Chng minh bt ng thc : ( 3a + b + c ) ( 3b + c + a ) ( 3c + a + b ) 375 + + 3 11 3a + ( b + c ) 3b3 + ( c + a ) 3c3 + ( a + b ) 3 # Bi 20 (SERBIA 2005) Cho a, b,c > Chng minh bt ng thc : a b+c b + c+a + c a+b (a + b + c) _Li gii khỏc : Chun húa : a + b + c =6 BT ó cho tng ng vi BT : t : a = x, a 6a + b 6b + c 6c b = y, c = z x + y + z = 12 x + y + z , ta cú : 1 x y2 z2 + + ( x + y + z ) (1) + + x y z x y z SCW AM GM 1 54 VT(1) = + + ( x + y + z ) ( x + y + z ) =VP(1) x+y+z x y z 2x # Bi 21 Chng minh bt ng thc : 2y + 2x + ( y + z ) 2y + ( z + x ) # Bi 22 Cho a, b,c > Chng minh bt ng thc : a3 a3 + ( b + c) + b3 b3 + ( c + a ) + + 2z 2z + ( x + y ) c3 c3 + ( a + b ) 1 # Bi 23 Cho a, b,c l di cỏc cnh tam giỏc Chng minh bt ng thc : 1 1 1 + + + + a b c a +bc b+ca c+ab Mi nhỡn qua chỳng ta cú th ngh rng bi 10, bi 15 cú th gii quyt n gin bng phng phỏp tip tuyn, nhnghóy t bỳt !!! Bi 10 (CHINA MO 2005) Cho a, b,c > 0:a + b + c = Chng minh bt ng thc : 10 ( a + b3 + c3 ) ( a + b5 + c5 ) _ Tỡm li gii bng p2 tip tuyn : 75x 16 l : y = 27 3 75x 16 270x 243x 75x + 16 ( 3x 1) ( 27x 18x + 21x + 16 ) = = Do ú : f(x) 27 27 27 Ta cn xột xem hiu trờn cú ln hn hoc bng 0, hay khụng ? Lỳc ú ta ch cn kim tra xem hm s : g(x) = 27x 18x + 21x + 16 cú dng vi mi x ( 0;1) ? Xột hm s : f(x) = 10x3 9x5 Phng trỡnh tip tuyn ti im x0 = ng s hói phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh www.mathvn.com www.MATHVN.com ABC _ n hữ n g ph n g ph p c h ứ n g m in h bĐ T đ ộ c đ o _ G LA x= o hm : g(x) = 81x 36x + 21 ; g '(x) = x=1 Ta cú bng BT : x g(x) + g(x) 16 Nhỡn vo BBT ta thy : g(x) >0 hay g(x) < , x (0;1) .???????????????????? Rừ rng phng phỏp tip tuyn cú bỏn kớnh sỏt thng cha rng, nú ang bc l im yuv nht thit phi nõng cp õy l nguyờn li gii ca nickname : 2M trờn trang web : mathscope.org Bi gii trờn xut phỏt t B : Nu f(x) lừm trờn khong (a; b) liờn tc trờn on [a; b] thỡ : f (a ) f (b) f (a ) f ( b) f ( x ) f (a ) + ( x a ) = f (b) + ( x b ) , x [a;b] ab ab ng s hói phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh www.mathvn.com