Tổng hợp các bài bất đẳng thức hay năm 2016

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 TỔNG HỢP BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ I.CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƢỜNG ĐƢỢC SỬ DỤNG  Bất đẳng thƣ́c Cauchy (AM – GM)   a, b  0, thì: a  b  a.b D}́u "  " xảy khi: a  b   a, b, c  0, thì: a  b  c  3 a.b.c D}́u "  " xảy v| khi: a  b  c Nhiều trường hợp đánh giá dạng: ab  ab ab abc  a.b    v| a.b.c     2      Bất đẳng thƣ́c Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki)   a, b, x, y  , thì: ( a.x  b.y )2  ( a  b2 )( x  y ) D}́u "  " xảy khi: a b   x y   a, b, c , x , y , z  , thì: ( a.x  b.y  c.z )2  ( a  b  c )( x  y  z ) D}́u "  " xảy v| khi: a b c    x y z Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a.x  b.y  ( a2  b2 )( x2  y ) Hệ quả Nếu a, b, c l| c{c số thực v| x , y , z l| c{c số dương thì: a b ( a  b) a b c ( a  b  c )2 v| : b}́t đẵng thức cộng m}̂u số      x y xy x y z xyz  Bất đẳng thƣ́c véctơ Xét c{c véctơ: u  ( a; b), v  ( x; y) Ta có : u  v  u  v  a2  b2  x2  y  (a  x)2  (b  y)2 D}́u "  " xảy u v| v cùng hướng  Một số biến đổi hằng đẳng thƣ́c thƣờng gặp  x3  y3  ( x  y)3  3xy( x  y)   x3  y3  z3  ( x  y  z)3  3( x  y)( y  z)( z  x)  x3  y3  z3  3xyz  (x  y  z) x2  y2  z2  (xy  yz  zx) x2  y  z2  ( x  y  z)2  2( xy  yz  zx)  (a  b)(b  c)(c  a)  ab2  bc  ca2  (a2 b  b2 c  c a)  ( a  b)(b  c)(c  a)  (a  b  c)(ab  bc  ca)  abc  ( a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  2( a2  b2  c  ab  bc  ca)  2( a3  b3  c )  6abc  abc  (a  b)3  (b  c)3  (c  a)3  3(a  b)(b  c)(c  a) ( a  b)  ( a  b ) 2   2    ( a  b)2  ( a  b)2 v| ab   Một số đánh giá bản và bất đẳng thƣ́c phụ Các đánh giá bản thƣờng đƣợc sử dụng (không cần chứng minh lại)  .( a2  b2 )  .ab  suy  x  y  z  xy  yz  zx a  x; y; z   VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 suy  ( x  y)( y  z)( z  x)  xyz b  x; y; z   c  x; y; z  suy   3( x  y  z )  ( x  y  z)2 suy  ( x  y  z)( x  y  z )  3( x y  y z  z x) d  x; y; z   suy  ( x  y  z)2  3( xy  yz  zx) e  x; y; z   suy  x y  y z  z x  xyz( x  y  z) f  x; y; z   suy  ( xy  yz  zx)2  xyz( x  y  z) g  x; y; z   h  x; y; z  suy   3( x y  y z  z x )  ( xy  yz  zx)2 suy   ( x  y  z)( xy  yz  zx)  ( x  y)( y  z)( z  x) Các bất đẳng thức phụ thƣờng đƣợc sử dụng (chứng minh lại áp dụng) suy j  x; y    x  y  ( x  y) 1 1 suy suy        k  xy   v|  xy   2 2  xy  xy 1 x 1 y 1 x 1 y i  x; y; z  suy Suy ra:  xy    suy  l  x; y   1 1 suy v|  xy          x  y  xy  x  y  xy 1    2  xy (1  x) (1  y) suy  m  x; y  0;1  1 x  1 y   xy  x, y     1  suy n       1   1    1  x  y  xy  x  y  Chƣ́ng minh các đánh giá bản suy  x  y  z  xy  yz  zx a Chƣ́ng minh:  x; y; z    x2  y  x2 y  xy    Áp dụng BĐT Cauchy:  y  z  y z  yz  x  y  z  xy  yz  zx D}́u "  " x  y  z  2 2  z  x  z x  zx suy  ( x  y)( y  z)( z  x)  xyz b Chƣ́ng minh:  x; y; z    x  y  xy  nhân Áp dụng BĐT Cauchy  y  z  yz  ( x  y)( y  z)( z  x)  x y z  xyz D}́u "  " x  y  z   z  x  zx c Chƣ́ng minh:  x; y; z  suy   3( x  y  z )  ( x  y  z)2 Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng cộng m}̂u số, ta được: x2  y  z  x2 y z2 ( x2  y  z )     3( x  y  z )  ( x  y  z)2 D}́u "  " x  y  z 1 suy  ( x  y  z)( x  y  z )  3( x y  y z  z x) d Chƣ́ng minh:  x; y; z   Ta có: ( x  y  z)(x2  y  z )  ( x3  xy )  ( y  yz )  ( z  zx2 )  x2 y  y z  z x Áp dụng BĐT Cauchy cho từng dấu ([...]... suy ra : 5a  1  1  18a  3, a   0;  2 aa  2 Ta cũng có 2 bất đẳng thức tương tự: 5b  1 5c  1  1  1  18b  3, b   0;  và  18c  3, c   0;  2 2 bb cc  2  2 Cộng các bất đẳng thức này lại với nhau ta có : T 5a  1 5b  1 5c  1    18  a  b  c   9  9 a  a 2 b  b2 c  c 2 Dấu đẳng thức xẩy ra khi a  b  c  1 1  Tmax  9 đạt được  a  b  c  3 3 Vậy... QUỐC GIA 2016 a  b  c  3 1   a  b  c 1 Vậy giá trị lớn nhất của P  khi a  b  c 4 c  1  Câu 33: Cho các số thực dương a,b,c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P 2 3  a  ab  3 abc abc Trƣờng THPT Đồng Xoài – Bình Phƣớc – Lần 3 Lời giải tham khảo Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 1 a  4b 1 a  4b  16c 4 a  ab  3 abc  a    a  b  c 2 2 4 3 3 Đẳng thức xảy... , thì giá trị lớn nhất của biểu thức : T 4 4 4 1 1 1 1      bằng 9 v| đạt được khi và chỉ khi a  b  c  3 ab bc ca a b c Chú ý: Để có được bất đẳng thức 5a  1  1  18a  3, a   0;  ta đã sử dụng phương ph{p tiếp 2 aa  2 tuyến Câu 18: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x  y  2016 Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 2 2 2 2 2 biểu thức : P  5 x  xy  3 y  3x  xy...  10080  x  y  1008 2 abc Câu 19: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn    4abc  2016  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  a a  bc  b b  ca  c c  ab Trƣờng THPT Chuyên Hạ Long – Lần 2 Lời giải tham khảo Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có a P  2 a bc b 2 b ca  1 1 1 1       4 4 4 2 ab bc ca   2 c ab c Với các số thực x, y , z , ta có ( x  y)2  ( y  z)2 ... LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 1 1 Từ (1) và (2) suy ra P   , dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c  3 9 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là  9 Câu 9: Với x, y, z là các số thực đôi một phân biệt Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2  2x  y   2 y  z   2z  x  M        x y   yz   zx  2 Trƣờng THPT Chuyên KHTN – Lần 2 Lời giải tham khảo Câu 10: Xét các số thực dương x, y,... 1 Lời giải tham khảo Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x 2  y 3  z 4  x 3  y 4  z 5 , chứng minh rằng x3  y 3  z 3  3 thức : VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 11 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 Câu 11: Cho x, y, z là các số thực dương v| thỏa mãn điều kiện a 2 ab b2 c a b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P a  c b  c ... Từ giả thiết, ta có a  b  c  4032 abc Do đó P  2016 Với a  b  c  1 , ta có P  2016 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 2016 1344 2 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 17 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 Câu 20:Cho hai số dương x, y ph}n biệt thỏa mãn: x 2  2y  12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  4 4 5  4 4 x y 8  x  y 2 Trƣờng THPT... CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 22 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016     Đẳng thức xảy ra khi b  1  2 a, c  4  3 2 a Vậy GTNN của P là 12 2  17 Câu 28:Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  1 ; c  a  b  c   3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  b  2c a  2c   6ln(a  b  2c) 1 a 1 b Trƣờng THPT Phƣớc Bình – Bình Phƣớc – Lần 5 Lời... 11y  7 x   18  x  y  2  B  2  x  y   2  2016  4032 ** dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x  y  1008 4 B  16 x 2  16 xy  32 y 2  32 x 2  16 xy  16 y 2   3x  5 y  2  7 x  y   3 y  5x  2 2  7  y  x   3x  5 y    3 y  5 x   8  x  y  2 Từ * và  ** ta đươc P  A  B  6048  4032  10080 , dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x  y  1008 Vậy Pmin ... THPT QUỐC GIA 2016 Do đó ta có min f  t    t 0 Vậy ta có P   3 khi và chỉ khi t  1 2 3 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là  a  b  c  1 16 4 1  a  ,b  ,c   21 21 21 a  4b  16c 3  16 4 1  khi và chỉ khi  a,b,c    , ,  2  21 21 21  Câu 34: Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn a  b  c  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  (a 