Tuyển chọn các bài bất đẳng thức hay luyện thi THPT quốc gia

Bất phương trình luôn luôn là một dạng bài khó trong các kì thi THPT quốc gia mới đây và ĐH CĐ trước kia.Để chinh phục được những bài toán này chúng ta cần đòi hỏi luyện tập nhiều, đặc biệt là phải đoán được các dạng của nó và phương pháp giải phù hợp.Tài liệu này tuyển chọn các dạng thường gặp trong các kì thi và phân tích cách giải của từng dạng đó qua các bài toán.Hi vọng giúp đỡ được phần nào ước mơ chinh phục cánh cổng trường ĐH.

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY LUYỆN THI THPT QUỐC GIA -Trần Quốc Việt-A3K40-NH2SBài 1: Cho số thực dương x,y,z thõa mãn x+y+4xy=4xyz xz yz z    z3 x( y  z ) y ( x  z ) ( x  y ) (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia lần 26-thầy Phạm Tuấn Khải) Tìm GTLN biểu thức P  Lời giải: Ta có xy( z  1)  x  y   z  Từ giả thiết ta có x  y  xy ( z  1)  ( x  y ) ( z  1) Do z  1   z 1 x y Ta có xz yz 1 z ( x  y)2     0 x( y  z ) y ( x  z ) x y xy ( y  z )( x  z ) xz yz 1 x  y xy ( z  1)        4( z  1) x( y  z ) y ( x  z ) x y xy xy 7  P  4( z  1)  z ( z  1)2  z  2( z  )2    8 Dấu đẳng thức xảy x  y  2, z  Vậy GTLN biểu thức maxP=- đạt x  y  2, z  Bài 2:Cho số thực a,b,c không âm thõa mãn a+b+c=3.Tìm GTNN biểu thức P a  6a  b  6b  c  6c    2a  2b  2c  (Nguồn:K2PI) Lời giải: Từ giả thiết ta có a, b, c [0;3] a  6a   a   a(a  3)  (Đúng a  [0;3] ) 2a  b  6b  c  6c   b  1;  c 1 Tương tự ta có 2b  2c   P  a bc 3  Dấu đẳng thức xảy a  3, b  c  hoán vị Đánh giá đại diện biểu thức sau ta có Vậy GTNN biểu thức P  đạt a  3, b  c  hoán vị Bài 3: Cho số thực dương x,y,z thõa mãn x  y  z  3xy x y x3  y   yz xz 16 z (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia lần 19-thầy Phạm Tuấn Khải) Tìm GTNN biểu thức P  Lời giải: Từ giả thiết ta có z  (x  y)2  xy  xy  ( x  y)2 Ta có ( x  y )3 x2 y2 x3  y ( x  y )2 P    4 xy  xz xy  yz 16 z xy  z ( x  y ) 4( x  y ) ( x  y)2 x y2 x y2      1 16 x  y  16 ( x  y)  ( x  y) 4 x y2 2   x  y  16 8  Dấu đẳng thức xảy x  y  3, z  Vậy GTNN biểu thức P  đạt x  y  3, z  Bài 4: Cho số thực dương x,y,z thõa mãn x  y  z  Tìm GTNN biểu thức P xy  z 2  yz  x 2  xz   54 ( x  y  z )2 y 2 (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia lần 24-thầy Phạm Tuấn Khải) Lời giải: Ta có bổ đề sau ( xy  x  y  z )2 ( xy  z )2  (x  y)  0 x2  y  2z x2  y  2z xy  2 xy  ( )  (x  y)   x y z 2 z2  yz  xz  Tương tự ta có  y  z;  xz x2  y2  Ta có ( x  y  z )2  3( x  y  z) 18 18  P  2( x  y  z )   2t  với t  x  y  z ;  t  x  y  z  3( x2  y  z )  x yz t 18 2(t  3)(t  3)  t  (0; 6] Xét hàm số f (t )  2t  (0; 6] ta có f '(t )  t t2  f (t ) hàm nghịch biến nên f (t )  f ( 6)  Dấu đẳng thức xảy x  y  z  Vậy P  đạt x  y  z  Bài 5: Cho số thực dương x,y,z thõa mãn xz( y  z)  Tìm GTNN biểu thức P x3 y y  z x2   4x  2x 1 12 (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia lần 38-thầy Phạm Tuấn Khải) Lời giải: Ta chứng minh BĐT phụ sau x3 4x 1   (2 x  1) (2 x  1)  (Đúng x  ) 4x  2x 1 12 y (4 x  1) y xy  z x2     z x2  12 12 Ta có từ giả thiết xz ( y  z )   xy   xz z x4 8(x  )2   x   ( ) 1 x4 4z 4z  P  (  xz )  z ( )  2  z 3z 3z 3 Dấu đẳng thức xảy x  z  ; y  2 Vậy P  đạt x  z  ; y  2 P Bài 6: Cho số thực dương x,y,z thõa mãn 5( x  y  z )  9( xy  yz  xz ) Tìm GTLN biểu thức P  x  y  z ( x  y  z )3 Lời giải: Từ giả thiết ta có 5( x  y  z )  19 x( y  z )  28 yz  19 x( y  z )  7( y  z )  x  x( y  z )  2( y  z )   x  2( y  z ) 4    Từ ta có P  với t  y  z; t  y  z 27( y  z ) t 27t (1  6t )(1  6t )  (0; ) ta có f '(t )  ; f '(t )   t  t 27t 9t Vẽ BBT ta có f (t )  f ( )  16 1 Dấu đẳng thức xảy x  ; y  z  12 1 Vậy maxP=16 đạt x  ; y  z  12 Xét hàm số f (t )  1 17    x y z (2 x  1)(3 y  2)(4 z  3) P 30 x  21y  10 z Bài 7: Cho số thực x, y, z  Tìm GTLN biểu thức Lời giải: Theo giả thiết ta có       4 x y z 2(2 x  1) y  z     4 x 2y 3z 2(2 x  1) 3y  4z  ;b  ;c    a, b, c  0; a  b  c  Đặt a  x 2y 3z Ta có 30 x  21y  10 z  12(2 yz  xy  xz )  34 xyz (2 x  1)(3 y  2)(4 z  3) P  abc 34 xyz 34 Mà ta có abc  1 (a  2)(a  6a  4) a(b  c)  a(4  a)    (Do x   a  ) 4 Dấu đẳng thức xảy x  1, y  2, z  17 Vậy maxP= đạt x  1, y  2, z  17 P Bài 8: Cho số thực dương a,b,c thõa mãn a+b+c=2.Tìm GTNN biểu thức P 1    16 (a  3)(b  3)(c  3) a b2 c 1 1  2 (  )  ( )  b c b c bc (2  a) bc 6 8a (b  3)(c  3)   2 P   8(8  a) a  a (2  a)  8(8  a) a  với a  (0; 2) ta có Xét hàm số f (a)   a (2  a) f (a)  f (1)  95 Dấu đẳng thức xảy a  1, b  c  Vậy P  95 đạt a  1, b  c  Lời giải: Ta có Bài 9: Cho x,y thuộc [1;2].Tìm GTNN biểu thức P x  2y y  2x   x  y  y  3x  4( x  y  1) (Khối D_2014) Lời giải: Do  x  nên  x 1 x  2   x2  3x  Tương tự ta có y  y  x  2y y  2x x y t P       với t  x  y  t  [2; 4] 3x  y  3x  y  4( x  y  1) x  y  4( x  y  1) t  4(t  1) t  Xét hàm số f (t )  [2;4] ta có t  4(t  1) 3(t  )(t  3) f '(t )    t  (Do t [2;4] ) 4(t  1)  f (t )  f (3)  Dấu đẳng thức xảy  x; y   1;2 ,  2;1 Vậy P  đạt  x; y   1;2 ,  2;1 Bài 10: Cho số thực dương x,y,z thõa mãn x  y  z  Tìm GTNN biểu thức P y2 x  xy  x y  y  xz y ( z  2) Lời giải: Ta có y  xz  ( x2  y )( z  4)  x2  y (Do x  y  z  ) P y2 x( x  y )  x y y2 4x2 y2 4x2 y2 2x2        2 y  xz y ( z  2) x  y ( z  2) x  y 2( z  4) x  y x  y Dấu đẳng thức xảy x  y  z  Vậy P  đạt x  y  z  Bài 11: Cho số thực x, y, z  Tìm GTNN biểu thức P 1  2 2 2 ( x  1) (y  1) (z  1) 2x y2 z  1 (*)   a, b  a  b  ab   (ab  1)(a  b)  (Đúng a, b  ) 1    x, y, z  Áp dụng (*) ta chứng minh x  y  z  xyz  1 1 3 1 3   )2     3(  )2    Ta có P  ( 3 x 1 y 1 z 1 xyz  ( xyz  1) xyz  xyz  4 Lời giải: Sử dụng bổ đề Dấu đẳng thức xảy x  y  z  Vậy P   đạt x  y  z  Bài 12: Cho số thực dương a,b,c thõa mãn 4(a  b3 )  c3  2(a  b  c)(ac  bc  2) Tìm GTLN biểu thức P  Lời giải: Ta có 2a bc (a  b)  c   3a  b  2a (c  2) a  b  c  16 2a 2a 2a a    2 2 3a  b  2a (c  2) (a  b )  2a (a  c  2) 2ab  2a (a  c  2) a  b  c  abc (a  b  c ) t t2    với t  a  b  c abc2 32 t  32 Từ giả thiết ta có 1 (a  b  c)3  (a  b)3  c3  4(a3  b3 )  c3  2(a  b  c)(ac  bc  2)  2(a  b  c)[ (a  b  c)  2] 4  a bc  t  t t2  Xét hàm số f (t )  với t  ta có t  32 32  t (t  2) f '(t )   t   f (t ) hàm nghịch biến nên f (t )  f (4)  t  16(t  2) Dấu đẳng thức xảy a  b  1; c  Vậy maxP= đạt a  b  1; c  P Bài 13: Cho số thực dương a,b,c thõa mãn 2a2  3b2  3c2  4ab  3ac Tìm GTNN biểu thức P  (a  1)c  b  2b  c  2bc ab  2ac Lời giải: Từ giả thiết ta có 4ab  3ac  b2  c2  a  4b2  a  4c  4ab  4ac  b2  c  ac Ta lại có ( a  b  c)  4b  (b  c)  c2  b2 2 2 2a  3b  3c 4ab  3ac  2ab  2ac   bc   bc 2 a  ac  2bc    b 2 2 a c 4b c b (b  c) 4ac  ac b a b t  [1  ]      Ta có P  25bc a b  2bc 25bc a 5b a t t Xét hàm số f (t )   với t  (0;2] ta có t t 5 f '(t )   t  (0; 2]  f (t) hàm nghịch biến (0; 2] nên f (t )  f (2)  t 10 Dấu đẳng thức xảy a  2, b  c  Vậy P  đạt a  2, b  c  10  2ab  2ac  a  2b(b  c)  c  b  a  Bài 14: Cho số thực x,y,z thõa mãn xy+yz+xz > 0.Tìm GTNN biểu thức P x  xy  y 3( y  yz  z )   2( xy  yz  xz ) 3( x  xy  y )( y  yz  z )  2( xy  yz  xz ) 12 Lời giải: Ta có P  Lại có x x z z ( x  xy  y )( y  yz  z )  [( y  )  ( ) ][( )  ( y  )2 ] 2 2 z x x z [ (y  )  ( y  )]2  ( xy  yz  xz ) 2 2 1 P 2( xy  yz  xz )  2( xy  yz  xz )  ( 2( xy  yz  xz )  2)   2 2 20 ;y  ;z  Dấu đẳng thức xảy x  31 31 31 20 ;y  ;z  Vậy P  2 đạt x  31 31 31 Bài 15: Cho số thực không âm x,y,z thõa mãn  (x  y)2  ( y  z )2  ( x  z )2  18 Tìm GTLN biểu thức P  x  y  z  ( x  y  z )4 108 Lời giải: Từ giả thiết ta có  x  y  z  xy  yz  xz   x, y, z  [0;3] Xét hàm số f (t )  4t  t 1 [0;3] ta có t f '(t )  3.ln  ; f '(t )   t  3log ( ) ln BBT t f’(t)  3log ( - f(t ) Từ suy f (t )   4t  t  ( x  y  z )4  P  x  y  z  3 108 ) ln  + Xét hàm số f (t )  t   t4 với t  ta có 108 27  t 21   t  Từ vẽ BBT dễ dàng suy f (t)  f(3)  27 Dấu đẳng thức xảy x  3, y  z  hoán vị khác 21 Vậy maxP= đạt x  3, y  z  hoán vị khác f '(t )  Bài 16: Cho số thực không âm x,y,z thõa mãn x  y  z  2( xy  yz  xz ) z  xy  3( xy  yz  xz ) x  yz y  xz Tìm GTLN biểu thức P    x  yz  y  xz  Lời giải: Ta có z  xy  3( xy  yz  xz ) 1 P  2(  ) x  yz  y  xz   2 z  xy   3( xy  yz  xz )  x  y  yz  xz  4 z  xy   3( xy  yz  xz )  3( xy  yz  xz )  ( z  xy )  4 t 1  2  2t Với t  z  xy  3( xy  yz  xz )  t  t 1 Xét hàm số f (t )   với t  ta có  2t (t  6)(t  2) f '(t )  0 4(t  2)  t  2 Vẽ BBT dễ dàng ta có f (t )  f (2)  Dấu đẳng thức xảy x  y  1; z  Vậy maxP= đạt x  y  1; z   2 Bài 17: Cho số thực dương x,y,z thõa mãn x  y  z  xy  z Tìm GTNN biểu thức P  ( x y 8z  )  y  z x2  z ( x  z )( y  z ) Lời giải: Từ giả thiết ta có xy  z  x  y  z  xy  z  xy  z  z Do suy ( x  z )( y  z )  x y  z ( x  y  z )  x y  z ( xy  z )  xy(xy z )  z  xyz  z Ta lại có xy x y ( x  y )2 x y x y      y  z x  z x( y  z )  y( x  z ) z  xy 2z z xy 8z3 xy xy P   1   (  1)( ) 1  3 xy xy z xyz  z z z   z2 z2 Dấu đẳng thức xảy x  y  z  Vậy P  đạt x  y  z  Bài 18: Cho số thực dương x,y,z thõa mãn 3( x  y  z )  2( x  y  z )  Tìm GTNN biểu thức P 1    2 x ( y  z) y (z  x) z (x  y ) 2 x2  y  z  ( x  y  z)2 xyz Lời giải: Áp dụng AM-GM ta có y  2z y  2z 1 y  2z 2      55 ( ) ( )  2 x ( y  2z) 27 27 9 x ( y  2z) 27 9x 2( y  z )     x ( y  2z) 9x 27 Tương tự ta có 1 2( x  y  z ) P (   )    2 x y z 3( x  y  z ) x  y  z  2( x  y  z )    x yz 2( x  y  z )  Từ giả thiết ta có 3( x  y  z )  2( x  y  z )   ( x  y  z )  2( x  y  z )    x  y  z  Đặt t  2( x  y  z)   t  ( 3;3] 16 t2     t2  t 16 t2     ( 3;3] ta có Xét hàm số f (t )  t 3 t 32t 2t f '(t )     t  ( 3;3] (t  3) t P  f (t )  Suy f (t ) nghịch biến ( 3;3] nên P  f (t )  f (3)  Dấu đẳng thức xảy x  y  z  10 Vậy P  đạt x  y  z  10 Bài 19: Cho số thực dương x,y,z Tìm GTNN biểu thức 14( x  y  z ) P  16 xz  16 y2  2x  y Lời giải: Ta có 14( x2  y  z )  (12  22  32 )( x2  y  z )  x  y  3z 1 4    xz y2 xz  y2 2( x  y  z  2) Từ suy 64 P x yz 2( x  y  z  2)  x y z2 32 2( x  y  z  2) 32 2( x  y  z  2) 2 322   22 2( x  y  z  2) Dấu đẳng thức xảy x  1; y  2; z  Vậy P  22 đạt x  1; y  2; z   3 ( x  y  z  2) Bài 20: Cho số thực dương a,b,c thõa mãn ab+bc+ac=1 3(a  b2  c  2) a  bc b2  ac c  ab    Tìm GTLN biểu thức P  a  (b  c)2 b2  (a  c)2 c  (a  b) Lời giải: Ta có a  (b  c) a  bc (b  c)  1 a  (b  c) a  (b  c) a  (b  c) Tương tự với hai biểu thức lại 3(a  b2  c  2) (b  c) (a  c) (a  b)  P  3 [   ]  a  (b  c)2 b  (a  c)2 c  (a  b) Ta có (b  c) (a  c) (a  b) 4(a  b  c)    a  (b  c) b  (a  c) c  (a  b) a  b  c  (a  b)2  (b  c )2  (a  c ) 12(ab  bc  ca ) 12   2 2 5(a  b  c ) 5(a  b  c ) 3(a  b  c  2)  P  3  5(a  b  c ) Đặt t  3(a  b2  c2  2)  t  27 8t  P  f (t )    5(t  6) 27 8t  Xét hàm số f (t )   [3; ) ta có 5(t  6) f '(t )  27 2t   t  2 (t  6) Suy f (t ) nghịch biến [3; )  f (t )  f (3)   Dấu đẳng thức xảy a  b  c  Vậy maxP=  18 3 18 đạt a  b  c  Bài 21: Cho số thực không âm x,y,z thõa mãn xy+yz+xz=1 Tìm GTNN biểu thức P  1    ( x  1)( y  1)( z  1) 2 x y y z x z 2 Lời giải: Ta có ( x  1)( y  1)( z  1)  xy yz xz x  y z xyz   x  y z  xyz   x  y z  Giả sử x  y  z ta có z z z z x  z  ( x  )2 ; y2  z  (y ) ; x  y  ( x  )  ( y  ) 2 2 1 1 1 z z       với a  x  ; b  y  2 2 x y y z x z a b a b 2 1 1 1 10 10  2 2         2 2 2 a b a b a b ab a  b 2ab 2ab a  b  2ab (a  b)2 (a  b) ( x  y  z )2 10 10 5 P  ( x  y  z  2)   ( x  y  z)  (x  y  z)  2 ( x  y  z) ( x  y  z) 4 10 5 25 ( x  y  z ) ( x  y  z )   ( x  y  z) 4 Dấu đẳng thức xảy x  y  1, z  hoán vị 25 Vậy P  đạt x  y  1, z  hoán vị To be continue…  33 ... Dấu đẳng thức xảy x  y  z  Vậy P  đạt x  y  z  Bài 5: Cho số thực dương x,y,z thõa mãn xz( y  z)  Tìm GTNN biểu thức P x3 y y  z x2   4x  2x 1 12 (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia. . .Bài 3: Cho số thực dương x,y,z thõa mãn x  y  z  3xy x y x3  y   yz xz 16 z (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia lần 19-thầy Phạm Tuấn Khải) Tìm GTNN biểu thức P  Lời giải: Từ giả thi? ??t... y2 2   x  y  16 8  Dấu đẳng thức xảy x  y  3, z  Vậy GTNN biểu thức P  đạt x  y  3, z  Bài 4: Cho số thực dương x,y,z thõa mãn x  y  z  Tìm GTNN biểu thức P xy  z 2  yz  x