Trong bài viết này chúng tôi xin đề cập đến một mảng nhỏ của hình học là hình giải tích. Các bạn biết rằng từ những kì thi đầu tiên theo cải cách của năm 2002, các bài toán hình học ban đầu còn sơ khai, nó là các bài toán rất nhẹ nhàng, không đòi hỏi chúng ta phải tư duy nhiều vào yếu tố hình học. Dần dần vị thế của nó được nâng lên tầm cao mới qua các kì thi, và điều tất yếu dẫn đến là độ khó của nó được tăng dần.Từ những bài toán đơn thuần là các kĩ thuật đối xứng, tham số hoá dần dần người ta đòi hỏi mọi người phải tư duy cao hơn chính là các yếu tố hình học tiềm ẩn bên trong, có những bài nhìn vào đã thấy được, cũng có những bài nằm sâu bên trong mà phải có kinh nghiệm tư duy mới tìm ra được. Để giúp đỡ các bạn có thể học tốt về các bài toán dạng này, chúng tôi xin giới thiệu đến các bạn tuyển chọn các bài toán giải tích trong mặt phẳng.
TRẦN ANH HÀO – HUỲNH ĐỨC KHÁNH NGUYỄN MINH THÀNH – TRẦN PHẠM TUYÊN TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Không có khó toàn trời ơi! MỤC LỤC PHẦN MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC TÌM ẨN TRONG GIẢI TÍCH MẶT PHẲNG PHẦN ĐỀ TOÁN Chương Các toán xác định điểm, đường thẳng, góc mặt phẳng Chương Các toán cực hình học giải tích mặt phẳng PHẦN LỜI GIẢI, ĐÁP SỐ, BÌNH LUẬN LỜI NÓI ĐẦU Ngay từ thở xa xưa, hình học vẽ đẹp quyến rũ, tận sâu bên điều bí ẩn li kì Thời gian trôi đi, lúc điều bí ẩn khám phá Hình học vẽ cho ta nhìn khác toán học, mềm mại uyển chuyển không khô khan đại số đòi hỏi có tính thứ tự logic cao Hình học sáng tạo tìm tòi hay nói cảm hứng toán học Tuy nhiên hoàn thiện, người ta kết hợp với vấn đề vào đại số chẳng hạn chứng minh bất đẳng thức, xác xuất hình học,… Trong viết xin đề cập đến mảng nhỏ hình học hình giải tích Các bạn biết từ kì thi theo cải cách năm 2002, toán hình học ban đầu sơ khai, toán nhẹ nhàng, không đòi hỏi phải tư nhiều vào yếu tố hình học Dần dần vị nâng lên tầm cao qua kì thi, điều tất yếu dẫn đến độ khó tăng dần Từ toán đơn kĩ thuật đối xứng, tham số hoá người ta đòi hỏi người phải tư cao yếu tố hình học tiềm ẩn bên trong, có nhìn vào thấy được, có nằm sâu bên mà phải có kinh nghiệm tư tìm Để giúp đỡ bạn học tốt toán dạng này, xin giới thiệu đến bạn tuyển chọn toán giải tích mặt phẳng Với tiêu chí: Không có khó toàn trời ơi! Tập tài liệu hoàn thành không nhờ làm việc chăm cố gắng nhóm biên soạn mà hợp tác giúp đỡ thầy cô, anh chị bạn trẻ yêu toán Nhân xin cảm ơn: Anh Nguyễn Đại Dương Anh Nguyễn Minh Tiến Bạn Trần Dương Linh Cùng thầy cô, bạn trẻ yêu toán diễn đàn toán học Mathlinks, toanhoc24h, k2pi,… Do phải làm việc điều kiện bất lợi thơi giàn không cho phép nên tập tài liệu khó tránh hỏi sai sót mong người đóng góp để hoàn thiện Mùa hè, năm 2015 TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Bài Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm đoạn BC , G trọng tâm tam giác ABM , D 7; 2 điểm đoạn MC cho GA GD Viết phương trình đường thẳng AB tam giác ABC biết đỉnh A có hoành độ nhỏ phương trình đường thẳng AG 3x y 13 Bài Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hình vuông ABCD có đỉnh C 4; 3 M điểm nằm cạnh AB với M không trùng A , B Gọi E , F hình chiếu vuông góc A , C lên DM I 2; giao điểm CE EF Tìm toạ độ đỉnh lại hình vuông ABCD biết đỉnh B nằm đường thẳng x y 10 Bài Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H 3; trung điểm BC I 6;1 Đường thẳng AH có phương trình x y Gọi D , E chân đường cao kẻ từ B , C tam giác ABC Biết đường thẳng DE có phương trình x điểm D có tung độ dương, tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC 450 Gọi M trung điểm đoạn Bài Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có ACB thẳng BC , N điểm đối xứng với M qua AC , đường thẳng BN có phương trình: x y 19 Biết A 1; 1 , tam giác ABM cân A điểm B có tung độ dương Tìm toạ độ điểm lại tam giác ABC Bài Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC với đường thẳng d song song với BC cắt AB, AC M , N cho AM CN Giả sử điểm M 4; , C 5; chân đường phân giác D 0; 1 Tìm độ đỉnh lại tam giác ABC góc BAC Bài Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho đường tròn tâm I 1; Từ điểm K nằm đường tròn, kẻ tiếp tuyến KA, KB với A, B tiếp điểm Kẻ đường kính AC , tiếp tuyến C cắt AB E , biết đường thẳng KC có phương trình 3x y Tìm tọa độ điểm E biết E nằm đường thẳng có phương trình 12 x y 43 Bài Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I 0; 1 tiếp xúc với x y Tìm toạ độ đỉnh AB, AC E, F Phương trình đường phân giác góc BAC tam giác ABC biết đỉnh C nằm đường thẳng d : x y E, F nằm trục hoành Bài Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc , ABC , ACB D 1; 2 , E 5; 10 , F 7; 4 Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC BAC Bài Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn có phương trình x y 1 Điểm M 0; 1 nằm cung nhỏ BC cho tam giác ABC , biết điểm B có hoành độ dương 1 Xác định toạ độ đỉnh MB MC MA Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn có phương trình x 4 y 13 AC AB Các đường thẳng tiếp xúc với A, C cắt P Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC biết đường thẳng PB có phương trình x y Bài Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm đoạn BC , G trọng tâm tam giác ABM , D 7; 2 điểm đoạn MC cho GA GD Viết phương trình đường thẳng AB tam giác ABC biết đỉnh A có hoành độ nhỏ phương trình đường thẳng AG 3x y 13 Cách Vì tam giác AMB vuông cân M nên MG đường trung trực AB A Suy GB GA GD nên G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ABD 90 Do AG vuông góc với GD Suy AGD K Cách Đường thẳng qua G vuông góc cới AH cắt BM D GD cắt AM J Vì tam giác HGD đồng dạng với tam giác HMA nên ta có: HG HM GD MA G B H Suy GD ' HG GA GA G trọng tâm tam giác ABM Do D ' D Vậy ta có GD vuông góc với GA G Đường thẳng GD có VTPT n 1; qua D 7; 2 nên có phương trình x y 3x y 13 x G 4; 1 Toa độ điểm G nghiệm hệ phương trình: x y y Giả sử A a; a 13 , tam giác GAD vuông cân G nên ta có: a 2 GA GD a 3a 12 10 a2 8a 15 a xA a 9 1 Với a ta có A 3; 4 Gọi H trung điểm BM , ta có GH AG H ; 2 2 Đường thẳng BC có VTCP n HD 1; 1 qua D 7; 2 nên có phương trình: x y Đường thẳng AM qua A 3; có VTPT n 1; 1 nên có phương trình: x y J M D' x y x M 6; 1 Từ suy B 3; Toa độ điểm M nghiệm hệ: x y y Vậy đường thẳng AB có phương trình x Bài Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hình vuông ABCD có đỉnh C 4; 3 M điểm nằm cạnh AB với M không trùng A , B Gọi E , F hình chiếu vuông góc A , C lên DM I giao điểm CE EF Tìm toạ độ đỉnh lại hình vuông ABCD biết đỉnh B nằm đường thẳng x y 10 Cách Không tính tổng quát giả sử, ta có: A 0; a , B a; a , C a; , D 0; O , M b; a với b a a Đường thẳng DM qua D 0; 0 có VTCP n b; a nên có phương trình: ax by Đường thẳng AE qua A 0; a có VTPT n b; a nên có phương trình: bx ay a ax by a2b a3 a2b a3 Toạ độ E nghiệm hệ x 2 ; y 2 Vậy E 2 ; 2 b a b a bx ay a2 a b a b Đường thẳng CF qua C a; có VTPT n b; a nên có phương trình: bx ay ab ab2 ab2 a2b a2 b ax by x 2 ; y 2 Vậy F 2 ; 2 Toạ độ F nghiệm hệ b a b a a b a b bx ay ab 3 a b a ab2 a3 , BF a ; a b a ab CF BE ; Ta có: CE a b2 a b2 a b2 a2 b Do CF BE hay tam giác IBC vuông I Cách Qua F kẻ FN song song với EC cắt DC N Khi ta có: Tam giác DFC đồng dạng với tam giác MEA nên DN DF DC DE DF ME DC MA Lại có tam giác DEA đồng dạng với tam giác AEM nên AD MA DE AE Từ suy DF ME MA MA DE AE AD AB Từ suy DN MA DN MA Do tứ giác MBCN hình chữ nhật DC AB Mà tứ giác MBCF nội tiếp nên điểm M , B, C , N , F nằm đường tròn 180 BCN 90 Suy FN BF mà FN song Suy BFN song với EC nên suy ra: EC BF b 10 b IB b 2; , IC 6; 6 Giả sử B b; IB IC B 0; Ta có: Đường thẳng BC có VTCP n 1; BC 4; 8 qua B 0; nên có phương trình x y Giả sử A x; y , BA x; y Vì AB vuông góc với BC AB BC nên ta có: 4 x y x 10 y x 8, y 2 x 8, y x y 80 10 y y 80 Với x 8; y 1, ta có A 8;1 Nhận thấy A I nằm phía với BC nên thoả mãn Với x 8; y 9, ta có: A 8; Nhận thấy A I khác phía với BC nên loại x x xB xD x D Suy D 4; 7 Khi toạ điểm D thoả mãn: A C y y y y y A C B D D Vậy A 8;1 , B 0; , D 4; 7 điểm cần tìm Bài Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H 3; trung điểm BC I 6;1 Đường thẳng AH có phương trình x y Gọi D , E chân đường cao kẻ từ B , C tam giác ABC Biết đường thẳng DE có phương trình x điểm D có tung độ dương, tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC EK AC , HD AC EK HD EHKD hình bình hành Gọi K trực tâm tam giác ADE, ta có DK AB , HE AB DK HE CDB 90 Mặt khác tứ giác EBCD nội tiếp đường tròn tâm I đường kính BC có BEC Suy tam giác IDE cân I Gọi M trung điểm DE ta có IM DE Đường thẳng IM qua I 6;1 có VTPT n 0; 1 nên có phương trình y Suy M 2;1 Do EHKD hình bình hành nên M trung điểm HK , suy K 1; Mặt khác AK DE K trực tâm tam giác ADE Đường thẳng AK qua K 1; có VTPT n 0; 1 nên có phương trình y Suy toạ độ điểm A nghiệm hệ phương trình: x y x 1 A 1; y y Giả sử D 2; d với d 0, ta có: AD 3; d , HD 1; d Ta có: AD HD AD HD 3 d d d d Suy D 2; Đường thẳng AC qua D 2; có VTCP AD 3;1 nên có phương trình x y Đường thẳng BC qua I 6;1 có VTPT n 2; 1 nên có phương trình x y 11 x 3y x C 8; Toạ độ điểm C nghiệm hệ phương trình: 2 x y 11 y Vì I trung điểm BC nên B 4; 1 Vậy A 1; , B 4; 1 , C 8; điểm cần tìm 450 Gọi M trung điểm đoạn Bài Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có ACB thẳng BC , N điểm đối xứng với M qua AC , đường thẳng BN có phương trình: x y 19 Biết A 1; 1 , tam giác ABM cân A điểm B có tung độ dương Tìm toạ độ điểm lại tam giác ABC HAM Gọi H đường cao tam giác ABM Vì tam giác ABM cân A nên BAM NAC Vì AM AN đối xứng qua AC nên MAC BAM MAN HAM MAC HAC 90 ACB 90 Suy BAN Do tam giác ABN vuông A Mà AB AM AN nên tam giác ABN vuông cân A Gọi I trung điểm BN , suy AI vuông góc với BN Đường thẳng AI qua A 1; 1 có VTPT n 1; nên có phương trình: x y A N I B C M H 7 x y 19 5 3 x ; y I ; Toạ độ I nghiệm hệ 2 2 2 x y 35 Giả sử B b; b 19 , IB b ; b Tam giác ABN vuông cân A nên: 2 2 b 5 35 25 IB IA IB IA b b b 5b 2 b 2 Với b 2, ta có: B 2; 5 loại Với b 3, ta có: B 3; Điểm thoả mãn yêu cầu toán Khi N 2; 5 Vì M , N đối xứng qua AC góc ACB 450 nên tam giác CMN vuông cân C Suy BC 2CN Giả sử C x; y , ta có: CB x 3; y , CN x 2; y Từ ta có hệ phương trình: x 2 y 2 x 2 y 2 x 10 x y 44 y 103 x x y y x x y y 16 Giải hệ phương trình ta tìm C 5; 4 C ; 5 16 Với C ; , ta thấy A , C phía với BN nên loại 5 Vậy B 3; , C 5; 4 điểm cần tìm ... giúp đỡ bạn học tốt toán dạng này, xin giới thiệu đến bạn tuyển chọn toán giải tích mặt phẳng Với tiêu chí: Không có khó toàn trời ơi! Tập tài liệu hoàn thành không nhờ làm việc chăm cố gắng nhóm... nên tập tài liệu khó tránh hỏi sai sót mong người đóng góp để hoàn thiện Mùa hè, năm 2015 TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Bài Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy. .. toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc , ABC , ACB D 1; 2 , E 5; 10 , F 7; 4 Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC BAC Bài Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy