tổng hợp 50 bài bất đẳng thức ôn thi vào lớp 10.

50 BAI TAP BAT DANG THUC ON THI VAO LOP 10 Tai tng dung Alfazi trén Google Play để được hướng dướng dẫn trực tiếp với giáo viên Website: www.alfazi.com Fanpage: fb.com/alfaziapp

Trang 1

50 BAI TAP BAT DANG THUC

ON THI VAO LOP 10

Tai tng dung Alfazi trén Google

Play để được hướng dướng dẫn

trực tiếp với giáo viên

Website: www.alfazi.com

Fanpage: fb.com/alfaziapp Group: fb.com/groups/alfazi

Trang 2

Trần Văn Lập - Trường THCS Yên Lư - Sưu tầm và biên soạn

50 Bài tập về bất đẳng thức:

Bài 1: Cho a>3, tìm giá trị nhỏ nhất của S= ae

a

tất: S=a+Se tru 2> +? 2) a 9 9 9 9a an 3

Bài 2: Cho a>2, tìm giá trị nhỏ nhất của S= TT

a

1 6a ,a a1, 12 aa 1 12

2

Giải: S=a+— =— + (© +—+) >— +33 9

a 8 8 8 2 8 V88a 4

1

Bài 3: Cho a,b >0 va a+ ø<1, tìm giá trị nhỏ nhất của S= ab+——

ab

> fing 16 TT +yl7 Tên bã lo đến =vI7 = a 16 + a

3

Cach 2:

= Jara e+ 5+ je+

(+4?) (a +e a+4D) = Ja? +e >6 (a+)

Tuong tu

lest aor Si fe+s2 aed

Do do:

Tong hop béi #Alfaziteam [FJalfaziapp 13 alfazi.com

Trang 3

_

a+b+c ) ),—135 ], 317

4(a+b+d_ 4(a+b+o| 2

Bài 5: Cho x,y,z là ba số thực dương và x+ y+Z<1 Chứng minh rằng:

Pate Pots Z+-L>.V82

(ey (eds feteve

(.x+9 yŸ < +8) (P+ )= a

44 4 1 S2—=(a+b+c+—+—+-) >= (a+ an a mt +c+ (a+b

[ia b+c+

|e ¬

Giải: Dự đoán a=2,b=3,c=4

4S= aasapency gl 18 s2paz8e+ watz) (z:)»(e-Š}>

20+3.2.2+2.2.3+2.4=52— $>13

Bai 7: Cho x,y,z> 0 va a 4 Tìm giá trị lớn nhất của

==——————+—

2X+V+Z x+2y+z X+y+2z Giải:

Tổng hợp bởi #Alfaziteam Äaiíaziapp $53 alfazi.com

Trang 4

Ta co

1 1 4 1 1 4 1 1 1 1 4 4 16 1 1/1 2 1

—+—>——:—+—> =S-+—+—+->——+ >————m——<<-„_—+—-+—

X ÿ X+ÿy ÿ 7 +7 X ÿ ÿ 7 Xty +7 X+2y+7 x+2y+z I6\(xX y z TT:

1 S| St | Se 1/2, 1,1 1 1/1 I 2 2x+ty+z 16\x y Zjx+y+2z 16\x y Z

8e | 224 ^Slsï

16\(x y z Bài 8

' (12Y 20) wax, 92 x

Chứng minh rằng với mọi xe #, ta cơ = + 3 >3 +4 +5

Giải:

(3) GJ 5 4

Cộng các về tương ứng

Bài 9:

Cho x,y,z>0 và x+y+

>zz'( ] (2) S24"

3 5

+ 41

8’ +87 +8" > 387.878" =12.47

8+8 +87 >38"87.87 =3Ÿ8”.82.8? =192

Cộng các kết quả trên => đpcm

Bài 10: `

Cho x,y,z>0 va xyz = 1 Hay chung minh rang

Jl+¥+/ vey +2 Mee +9 333

Giải:

sil eeden “a

Tong hop béi #Alfaziteam [FJalfaziapp 13 alfazi.com

Trang 5

Bai 11

Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức P= Gent)

(1+ x) (1+ y)

Giải:

(“ y+1+ #]

|A= (x-z)0=)|[_ ă+2)0+5) „ ? ; ata he pe

(1+x) (I+ y)'| (lex) (I+ y) (xt ytltayy 4 4

Khicho x=0 va y= 1 thiP = -1/4

Khicho x=1 vay=0 thiP = 1/4

KL: Khi dấu = xảy ra

Bài 12

Cho a,b,c >0 Ching minh r;

Giải:

(ab+ bc+ ac)"

>= ee

ab+ bc+ ac

ab+bc+ac -

Cách 2: T-+ab>2

—+—+—>

Bài 13

2

Giai: Du doan x=y=2

2

3x 4 2p Eh Za ye(Ladle 2 YY '(S2)>š

4x ý 4 xựy x 4) \y 4 4 2 2

Bài 14: Cho x,y>0 va x+y = 1 Chứng minh rằng = a2 +-L>4+2/8

Giải: Ta có

(x+yŸ =x + +3xy(x+y) => # + ÿ`+3xy=l

pax ty +3xy + +3xy 4, 3xy L3 tỰ s25

x+y xy *+ÿ`

1 il ĩ s 1

Bai 15: Cho x,y,z >0 va ——+—— + —— 1 10 X,y,Z >! Vi Ivx lty Itz = 2 Ching minh ri ung minn rang xyz ee 8

Giải:

Tổng hợp bởi #Alfaziteam Äaiíaziapp ig alfazi.com

Trang 6

+

l+x l+y l+z 1+z l+y l+z (i+ y)(1+z)

7 Vea +2” i 22 aan 1+y)

Nhân các về của 3 BĐT => đpem

Bai 16: Cho x,y,z>0 va x+y+z = 1 Tim giá trị lớn nhất của Say a

x+l y+l Z+1 Giải:

8.2 2g [ca +22 leg—- : =8 =Š

x+l y+l Z+l x+l y+l z+l x+y+zZ+3 4 4 Bài 17:

Cho a,b,c >1 Chứng minh rằn

1V 89 111 8 11,1

b a+2bb c c b+2cc a a c+2a

a

Bài

1,

b`

19 `

¡ a,b,c >0 chứng minh răng:

4,9 36

c a+b+c

Với

-

a

Gia

1,

a

4 9 (1+2+3) 36

che Sa Tế ve

"> c at+b+c a+b+c Bai 20:

Cho a,b,c,d>0 chứng minh rắng :

1 4 16 64

1n Wel

5 c d atbtc+d

a

Giải

1/14 16 16 16 64

1

"` atb+clatb+ec d “Thkptf

Tổng hợp bởi #Alfaziteam Äaiíaziapp 13 alfazi.com

Trang 7

Cần nhớ:

2 2

4, ¿ (arbre)

X VY Z7 XtV+Z

Bai 21

Với a,b,c>0 chứng minh rằng: đổ công =“"”.51.11

Giải

Bài 22 ——

Với a,b,c là độ dài ba cạnh củ: aC , hu vi tam giac do

Chứng minh rằng

Giải:

1

“1

p-a p-b p-

Bai 23

Cho x,y,z>0 va x+ y+ x24 Tim gia tri nho = 2,2

V+Z Z+x x+y

Giải:

2

Cách 2:

x Lử*Z y 4 ZX, Zz ey >

ytz 4 "z+x 4 “Vy Ạ “7

X+ty†Z xty+z 4_

Pe =

=SP>xty+x 2 2 2

Bài 24

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18 Chứng minh rằng

2y+3z+5 + 3Z+x+5 + x+2y+5 sol

l+x 1+2y 1+3z 7

Giải:

Tổng hợp bởi #Alfaziteam Äaiíaziapp is alfazi.com

Trang 8

2y+3z+5 „3Z1xt9 7 x+2y+5

Lax 1+2y 1+3z _ 2y13215 1 824x495 1 xt 2y+S

l+x l+2y 1+3z

1 1 1 9

=(x+2y+3z+6)|——+ + -3>24——————-

ee Ít: l+2y a) x+2y+3z+3

=” 21 7

Bài 25 ,

Chứng minh bất dang thức:

a°+ +1>ab+a+b

Nhân hai về với 2, đưa về tông ¢uua ba binh p

Bài 26 ‹ -

Ching minh rang néu a,b,c Ệ ủa một tam giác có p là nửa chu vi thì

Jp—at+J/p—b+Jp—c

Giai:

Bu- nhỉ -a ta cơ :

jJp-a+-[p—b+ © =J3Gp—2p) =-J3p

Bài 27

Cho hai số a, b

Giải: at > 50t cân tạp} xạ \

a 5 16 (16 b 16 Bài 28

Ching minh rang a‘ +5 > a’b+ ab?

Giải:

I@Ý +(#Ÿ | +!) >(4 +BY =(# +B) (a +B) > 2ab(a’ +)=>a' +Ø'>a!b+ ai?

Bài 29

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Ap (x+ y+)? 3 Xy+ y+x

xyty+x (x+y+l

Giải:

2

Đặt [a a ee ae Co

xXy+ y+x a Ange tt (25 > 8 3.2 [22 -$42- 2 ale

4a 9 9 a 9 9a 3 3

(Với x; y là các số thực dương)

Tổng hợp bởi #Alfaziteam Äaiíaziapp ía alfazi.com

Trang 9

Bài 30

Cho ba số thực a,b,c đôi một phân biệt

a Bb c

(6~° `(e=a* "ta=B° Ê

Chứng minh

Giải:

a b 4 b c , ic a

(b-0) (c-a) (c-a) (a-h) (a-b) (b—©

_{ a b e Ỷ

th gễn tongs] ie

oặ néu can =0 => c=-1 thi xay ra dau =)

A < Coe ming rang

(Không can chi ra dau = xảy ra

Bai 31

Cho cấc số dương a; b; c thoả

2007

———;>®70

(a+b+c)

Cho a, 5, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a+ + c=3

Tìm giá trị nhỏ nhât của biêu thức

b+ bc+ ca

Pagar pepe ee

ab+bh’c+Ca

Giai:

34+ +c)=(a+b+c\(4 + +c)=a +P +c +ab+bc+ca+ab +bc + ca

Mà ä” + a > 2b ;b” + bể >2 c;c +ca >2fa Suyra 3(4 + +c)> 34 b+bc+ca)>0

b+ bc+ ca 9-(a2++c) SuyraP>a2+++ TS” ps apy ey Te Ie)

ae 4+P+¢C : 2(2?+ +)

t=á + +c,với t>3

Suy ra nan =P>4 a=b=c=l

Bài 33

Ch x,y,z là các số thực đương thỏa mãn xty+z = 1 tim giá trị nhỏ nhất của

Tổng hợp bởi #Alfaziteam Äaiíaziapp is alfazi.com

Trang 10

1 1 1 1 1 1 yx ( Z *) zy) 2 P=——+4+——+4—=(x+ y+ z)) —+—+-= [=| —4+— |+| — += [+] — 44 [4+ =

16x 4y z 16x 4y z 16x 4y} \l16x z) \4y z) 16

7E yi cơ =khi yeox; 7-421 khiz=4x; + “>1 khi z=2y — =>P > 49/16

16x 4y 4 16x z 2 4y z

Min P = 49/16 voi x = l/7; y = 2/7; z = 4/7

Bai 34

x Jk 3 sở 4 5

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: — +— > 23

x y

Tìm giá trị nhỏ nhất củ thức s 18y+ i

y Giải:

6 ĩ B=8x+—+18y+—

X

=> x’ <3x-2 Tương tự yÏ <3y—2 và z? <3z—2

= X°+y °+Z?<3(x+y+Z)—6 <3.5—6=9

Bài 36

Cho a,b,c là các số thuộc [—1;2] thỏa mãn điều kiện a”“+b”+c”= 6 Chứng minh rằng

a+”+c>0

Giải:

(a+1)(a-2)<0©a”-a-2<0;—b—2<0;Z—c—-2<0

=>a+b+c>aˆ+P,+c°-6=0

Bài 37

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+ + < 2 Chứng minh rằng:

lz+1 + l1 lạ, 1 „4S đt Beat C+ ae 7

Giải:

Tổng hợp bởi #Alfaziteam Äaiíaziapp ig alfazi.com

Trang 11

(- ae, i) (r+ si a +2" |z Pads ` als)

4 : Ais 48 fy 8

B+ Zee (od) +52 (eZ)

cộng các về lại

Bài 38

Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p Chứng minh rằng

Pg Pg PL >9

p-a p-b p-c

Giải:

Pog BP gag) gt get b eat p-a p-b p-c p-a p-b p-c p-a+p-b+p-c p

Bai 39 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác có a ¡ băng 6 Chứng minh răng:

3(a’ + +0’) + 2abc >52 co

Giai:

abc (-a+ b+ 0(a- a)(6—2b)(6— 2c) © abc>-24+ 5 (abs bc+ ac)

+2abc> 48 (1)

Bai 40

Cho a, b, cla d6 dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Giải:

CO ea GG Z2 (|), 72S SESS ()

Do a,b,c la d6 dai 3 canh của tam giác nên các về của (1), (2), (3) đêu dương Nhân về với về của (1),

(2), (3) ta cứ: ~#ZCC mZÐŒZ €2 (+)

Tụ 2+2LC<2 nên (9) EIẾECOŒSZ2G222 tee a > Sa

SSS

pe EBE”.-CkcccccE — ÐG =6

Tổng hợp bởi #Alfaziteam Äaiíaziapp b \lfaz

Trang 12

Từ đó

Áp dụng (*) vào (**) cho ta #2 £-HSEEE-EC ki

2 Dau “=” xay ra khi va chi khi BSE,

Từ đó giá tri nho nhat của P là § đạt được khi và chỉ khi ie,

KẾ)

Bai 41

Cho a, b, cla d6 dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 Chứng minh rang

Lee ee ee

Giai:

*P=a)+b`+c°+3abc

Ta có ä + b}+c)—3abc = (a

*P= a)+b` + c+3abc

=> ab+ bc+ ca) - 2abc > ; (3)

P= a)+b`+c)+3abc = (a+ b+ Q(a? + bỀ + c°— ab— bc— ac) +6abc

=a?+b?+cˆ—ab— bc— ac+6abc= (a+b+ cy —3(ab+ bc+ ca) + babe

=1~3(ab+ bc+ ca~ 2abc) <1-3.2 -7

Tong hop béi #Alfaziteam [FJalfaziapp i] ilfazi.com

Trang 13

Bài 42

Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng:

x°+ + - xy- yz- x+ x⁄z>8

Giải:

Chứng minh được

XyZ>(—x+ y+ z)(x— y+ z)(x+ y—?)

= (6-2x)(6-2 y) (6-22) = 216 —72(x+ y+ z) + 24(xy+ yz+ Z) —8XyZ

° sya 24-45 ays yo zx) (1)

thức xảy ra khi nào?

Giải:

Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:

Thật vậy:

(a-1342)+(b-1342)”>0<> a?+0?—2.1342.(a+b)+2.1342>0 — Œ)

=> a’ +b —2.1342.(a+ b)+-2.1342” + ab—1342a —1342b+ 1342? > 0

=2013.(a+ ð)+ 2013.(a+ b)—2.2013.1342 = 2013.(a+ b) + 2013.(a+ b-1342—1342) > 2013.(a+ b)

Bai 44 - -

Tim giá trị nhỏ nhât của biêu thức:

A= (x-1)' + (x-3)' + 6(x-ĐŸ (x-3

Tổng hợp bởi #Alfaziteam Äaiíaziapp 3 alfazi.com

Trang 14

Giải:

Cách 1:

Bai V Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A=(zx-1Ÿ +(x-3Ÿ +6(x—1}'(x-3)”

Đặt a=x— 2

=x-l=a+l;x-3=a-l

A=(a +1)'+(a-1)' +6(a41) (a-1f

A=(a* +4a°4+ 6a + 4a41)4 fa* — 4a? + 6a* —4a 4-134 6(a” —1)”

A=80° +828

=> MinA=8 Sa =0ea=05x-2=05x=2

Vậy giá trị nhỏ nhât của A là 8 khi x = 2

ee

Cách 2 :

A=(x-U +(x-3)`+6

A=|(x-+(x-3Ÿ,

A=| 2x’ -8x +10

A=[2(x-2)? +2) + 4((x-2)

A=4A(x-2)* $8(x—2)? +44 4(x—2)' Sự Gra

A=8(x-2)'+8>8

Bai 45:

Cho a,b,c là cấc số thực duong thoa man a+b+c=1 Ching minh rang:

ab be ca _1

CÓ BO GA gk

c+l a+l b+1 4

Giải:

ab ab 1= 1 1 }

——=—<—|—+—-|;:

c+l (c+a)+(c+b) 4\c+a c+b

Tương tự ta có:

3 1 1 i

be be ——+—|;

at+l 4\a+b ate

ca ca( 1 1

—<—| —+— |

att Saal ia)

_ ab be ca _1(ab+be, ab+ca be+caÀ_ mã

nữa ont ĐI “ c+a er DS

“ab be ca | a, bo <1 Diu bin ay ra jeepel = CC CC b=

Tong hop béi #Alfaziteam [FJalfaziapp WA alfazi.com

Trang 15

Bài 46

Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1 Ching minh rang:

l++Ƒ/, Ir+2 lrế‡y# <I

Giai:

x +P 2xy=(x+ y)(# +)> 2xy(x+ y)= xÌ+ ÿ >xy(x+ y)

1

1+xŸ > —— gg

¬ 1 ‹_ * 1 ` => dpcm

I+x'+ xtytz' lty+2 xt+ytz leet xt+ytz Bai 47

Cho a,b là các số thực dư

(a+5j + ”>2aJB+

Giải

(a+b) +==(a )=2Nab(as 6)=2axlbx 26a Bai 48

@

Cho ba số thự£ a,b,

ee ee,

vi+8a° Vi+8b? J1+8c

Giai:

V1+8a? V(2a+1)(4a°~2a+1) ?a+l+t4aˆ-2a+1 4a?+2 2a’ +1

2

1 „1, 1 „ ñ 'x+8b° 2+1 Vjl‡§c° 2+1

1 1 1 9

VT = Vaal Wl 2241 2a 14 2h +14 2e 41 2 =1

Bai 49

: 3 Á aps 4 Boe Với a,b,c là ba sô thực dương Chứng minh răng State? aZ+f+v

iG a

Giai:

Cach 1:

Tong hop béi #Alfaziteam [FJalfaziapp Walfazicom

Trang 16

5B Oo at pc (22++đ)”_ (a2+#+)(a + + ở)

b c a ab bc ca ab+bc+ca ab+ bc+ ca

Cách 2

3

c a Bai 50

Cho x,y,z la ba sé thực dương thỏa mãn xyz = 1 Ching minh rang:

WY sf 54

ytl z+l1 x+l 2

Giai:

* yt Y aly ¬ 3(x+ y+2)-3 233-33

Téng hop béi#Alfaziteam [EjJalfaziapp 3 alfazi.com

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	2,76 MB