Chuyên đề: Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ôn thi vào lớp 10 THCS

Giáo viên toán THPT chuyên Hà Nội -Amsterdam Page 11. Chuyên đề.[r]

Các chuyên đề đại số ôn thi vào lớp 10

Biên soạn: Th.S Lê Đức Thuận

Giáo viên toán THPT chuyên Hà Nội -Amsterdam Page

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI VÀO 10

Dạng Chứng minh bất đẳng thức định nghĩa

Chứng minh rằng:

1 a) a2 2b2 2abb100,a b, b) a2 4b2 3c2 142a12b6 c

2 a) Nếu ab ab a ba3b3. b) Nếu ab 0

3 3

2

a b ab

  

 

c) Nếu a0,b0 a b a b

b  a   d) Nếu ab0,a0,b 2

1

a b

b  a  a b

3 a) a2 b2 c2 d2 e2a b cd e,a b c d e, , , , b) Nếu ab  c 3

3

a b c  abc Hướng dẫn: Chứng tỏ

 3   1   2  2  2

3

2

H  a b c  ab a b  abc a b c   a b  b c  c a 

 

4 a) 12a4 a2 2a3, a. b) a4 b4 a b3 ab3,a b,

c)

2

2 2

, , ,

3

a b c a b c

a b c

     

  

  d) Nếu ab c

2 2 2

a bb cc aa cb ac b

Dạng Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

5 a) Cho số a b c bất kỳ, chứng minh , , a2 b2 c2 abbcca

b) Cho số a b c thoả mãn , , a2 b2c21 Chứng minh 1

2 ab bc ca

    

Hướng dẫn: Phải chứng minh 1 2 2 1 2 2

2 a b c ab bc ca a b c

        

c) Biết a0,b0,c0.Chứng minh

8 8 3

1 1

a b c

a b c a b c

 

  

6 a) Cho bốn số a b c d tuỳ ý Chứng minh , , , acbd2 a2b2c2d2

b) Chứng minh ac 2 bd2  a2 b2  c2d2,a b c d, , ,

7 (Đại học – A – 1980) Cho ac b, c c, 0 Chứng minh c a c c b c ab

Hướng dẫn: Bình phương hai vế để đưa bất đẳng dạng    

Các chuyên đề đại số ôn thi vào lớp 10

Biên soạn: Th.S Lê Đức Thuận

Giáo viên toán THPT chuyên Hà Nội -Amsterdam Page

8 a) a b c 1

bc ca ab a b c

 

      

 

với a, b,c dương

b) Cho a b c thuộc , , 0; 1 Chứng minh a2 b2 c2  1 a b2 b c2 c a2 Hướng dẫn: Sử dụng 01a21b21c2

9 a) Cho hai số dương x y, thoả mãn xy 1 Chứng minh 1 1x 1 y 1 xy

b) Áp dụng chứng minh 0x1, 0 y1, 0 z

2 2

1 1

1x 1 y 1z 1xyz

10 a) Cho z yx0 Chứng minh y 1 1x z x z 1

x z y x z

   

     

   

   

b) Cho a 1, b 1 Chứng minh ab  1ab

Dạng Sử dụng bất đẳng thức biết

Chứng minh (1 – 6):

11 a) Nếu a b c d  , , , .

4

a b c d

abcd

  

 b) Nếu a b c  , , a b c 1 a b c

 

     

 

c) !,

2

n n

n



 



 

  với

,

n n d) Nếu a1,b a b 1 b a 1 ab

12 a) Nếu số a b thoả mãn 3, a4b 3a2 4b2 7

b) Nếu số x y z, , thoả mãn x2  y2 z2  2x3y4z 3 29

c) Cho ab2 Chứng minh a4 b42

d) Nếu a b c x y z dương , , , , , a b c

x  y  z   

2 x yz a  b  c

13 a) Nếu a b hai số dương

ab a b

ab  



b) Nếu a a1, 2, ,a  thoả mãn n a a1 2 a  n 1a11a2  1an2 n

c) Nếu ab

 

1

3 a

b a b

 

Các chuyên đề đại số ôn thi vào lớp 10

Biên soạn: Th.S Lê Đức Thuận

Giáo viên toán THPT chuyên Hà Nội -Amsterdam Page

d) 3a3 7b3 9ab2,a0,b0

14 a) Nếu a b c ba số dương , , , ab  c a 1 1 64

a b c

     

   

     

     

b) (ĐHBKHN, 1990) Nếu a b c số dương , , 3 2

a b c a bc b ac c ab

15 a) Nếu 2x3y 2

2x 3y 5 b) Nếu x2  y2 3x4y 5

16 a) Nếu x y z p q, , , , số dương x y z pyqz  pzqx pxqy  pq

b) Nếu a b c ba cạnh tam giác , , p  pa  pb  pc p

Dạng Áp dụng bất đẳng thức để tìm min, max

17 a) Tìm max Ax12x với

x

  Đáp số: max 1

8

A  x

b) Tìm , 

B x x

x

  

 Đáp số:

3

6

2 B   x 

c) Với 0x3, 0 y1, tìm max C3x1 y4x7y. Đáp số: max

8

C 

17

,

12 21

x y

  

18 a) (Đề 115.II) Cho xy yzzx4 Tìm F x4  y4  z4

b) Cho a3,b4,c2 Tìm max f ab c bc a ca b abc

    



19 a) Tìm

M x

x

 

 với x 3

b) Tìm max N x1 3 x với

x

 

c) Với 0x5, 0 y3, 0 z 1, tìm P5x3y1zx2y5z

Các chuyên đề đại số ôn thi vào lớp 10

Biên soạn: Th.S Lê Đức Thuận

Giáo viên toán THPT chuyên Hà Nội -Amsterdam Page

21 (Đề 94 II) Cho

2 2

16

25

20

x y

u v

xu yv

  



 



  

