D ẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến... Mệnh đề nào dưới đây đúng.[r]
(1)Tailieumontoan.com
Điện thoại (Zalo) 039.373.2038
CHUYÊN ĐỀ
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
(2)PHẦN I
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 Cơng thức tính tích phân: ( )d ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x x=F x =F b −F a
∫
* Nhận xét: Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu ( )d
b
a
f x x
∫ hay ( )d
b
a
f t t
∫ Tích phân
chỉ phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
2 Tính chất tích phân: Giả sử cho hai hàm số f x ( ) g x liên t( ) ục K; a b c, , ∈K Khi ta
có:
( )d
a
a
f x x=
∫ ( )d ( )d
b a
a b
f x x= − f x x
∫ ∫
( )d ( )d ( )d
b c b
a a c
f x x= f x x+ f x x
∫ ∫ ∫ ( ) ( ) d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x ±g x x= f x x± g x x
∫ ∫ ∫
( )d ( )d
b b
a a
kf x x=k f x x
∫ ∫ với k ≠ Nếu f x( )≥ ∀ ∈0, x [ ]a b; : ( )d [ ];
b
a
f x x≥ ∀ ∈x a b
∫
Nếu [ ]; : ( ) ( ) ( )d ( )d
b b
a a
x a b f x g x f x x g x x
∀ ∈ ≥ ⇒∫ ≥∫
Nếu ∀ ∈x [ ]a b; Nếu M ≤ f x( )≤ N ( ) ( )d ( )
b
a
M b a− ≤∫ f x x≤N b a−
3 Phương pháp đổi biến số: a) Đổi biến số dạng 1:
• Bước 1: Đặt x=u t( ) Tính vi phân hai vế : x=u t( )⇒dx=u t'( )dt
• Bước 2: Đổi cận: x b t
x a t
β α
= =
⇒
= =
(nhớ: đổi biến phải đổi cận)
• Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t
Vậy: ( )d ( ) ( )d ( )d
b
a
I f x x f u t u t t g t t
β β
α α
′
=∫ =∫ =∫ G t( )β G( )β G( )α
α
= = −
b) Đổi biến số dạng 2:
• Bước 1: Đặt u=u x( )⇒du=u x′( )dx
• Bước 2: Đổi cận : ( )
( )
u u b
x b
x a u u a
= =
⇒
= = (nhớ: đổi biến phải đổi cận)
• Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo u
Vậy: ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
d d d
u b
b b
a a u a
I =∫ f x x=∫g u x u x′ x= ∫ g u u
4 Phương pháp tích phân phần: Cho hai hàm số u v hàm số có đạo hàm liên tục
đoạn [ ]a b; Khi đó:
b udv ∫ uvb
a
= −∫bvdu ( )*
(3)• Bước 1: Viết f x( )dx dưới dạng du v=uv x′d cách chọn phần thích hợp f x làm ( ) ( )
u x phần lại dv=v x x'( )d
• Bước 2: Tính du=u x′d v=∫dv =∫v x′( )dx
• Bước 3: Tính ( )d
b
a
vu x′ x
∫ uvb a
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Hàm đa thức
Hàm phân thức (chỉ biến đổi, không đặt) Hàm lượng giác (Chỉ cần biến đổi, không đặt) Hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
Thể quy tắc đổi biến (cho sẵn phép đặt t) Đổi biến t khơng qua biến đổi (dt có sẵn) Đổi biến t sau biến đổi (dt bị ẩn)
Đổi biến phương pháp lượng giác hóa Kết hợp biến đổi, đổi biến, phần Kỹ thuật riêng hàm phân thức (có đặt) Kỹ thuật riêng hàm lượng giác (có đặt)
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020)Xét
2
0
d
x xe x
∫ , đặt u=x2
2
2
0
d
x xe x
∫
A
2
0
2∫e uud B.
4
0
2∫e uud C
2
0
1 d
u e u
∫ D.
4
0
1 d
u e u ∫
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính tích phân phương pháp đổi biến 2 HƯỚNG GIẢI: Để tính tích phân: ( )d
b
a
I =∫g x x ta thực bước:
B1: Biến đổi để chọn phép đặt t=u x( ) ⇒dt=u x x′( )d
B2: Thực phép đổi cận: Với x=a t =u a( ); Với x b= t=u b( ) (Nhớ: đổi biến phải đổi cận)
B3:Đưa dạng
( )
( )
( )d
u b
u a
I = ∫ f t t đơn giản dễ tính
Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau:
Lời giải Chọn D
Đặt ( )2 d
d d d d
2
u
u=x ⇒ u= x ′ x= x x⇒x x=
Đổi cận: Với x=
0
u= = , Với x= 2
2
u= =
Suy
2 4
0 0
d
d d
2
x u u u
xe x= e = e u
∫ ∫ ∫
Bài tập tương tự phát triển:
(4)Câu Tích phân ( )
1
2
4 d
I x ax x
−
= ∫ − − có giá trị
A 30
2
a
I = − − B. 30
2
a
I = − C 22
2
a
I = − + D. 22
2
a
I = +
Lời giải Chọn B
Tích phân ( )
1
3
2
4
4 d 5 16 10 30
2 2
ax a a a
I x ax x x x
− −
= − − = − − = − − − − + = −
∫
Câu
3
1
d
2
x x−
∫
A 1ln
2 B. ln C
2 15
− D. ln5
2
Lời giải Chọn A
Ta có ( )
3
1
d 1
ln ln ln1 ln
2 2
x
x
x− = − = − =
∫
Câu Biết
3
2
6
1 d
cos
a x
x b
π
π
=
∫ với a, b số nguyên Tính T = − a 3b
A T =1 B T = −1 C T = − D T =4
Lời giải
Chọn B
Ta có
3
2
6
1
d tan
cos 3
a
x x
x b
π π
π π
= = − = =
∫ ⇒ ab==12
Vậy T = −a 3b= − = −
Câu Khi đổi biến t=lnx, tích phân
e
1
ln d
x
I x
x
=∫ trở thành tích phân nào?
A
1
0
d
I =∫t t B
e
1
d
I =∫t t C
e
1
d
I =∫ t D
1
0
d
I =∫ t
Lời giải Chọn A
Đặt t lnx dt dx x
= ⇒ =
Đổi cận: e
ln
x
t= x
e
1
ln
d d
x
I x t t
x
=∫ =∫
3
d
x e x
(5)A 3 ln e +
B
3
3 ln
4
e +
C ln 4(e3+3) D ln(e3−1)
Lời giải Chọn B
( ) ( ) ( )
3 3
3
0
0
d
d
ln ln ln ln
3
x x
x
x x
e
e x e
e e e e + = = + = + − + = + + ∫ ∫
Câu Tích phân
2020
0
2 dx
I = ∫ − x
A 2020 ln − − B 2020 ln −
C 1 2− −2020 D 22020 −
Lời giải
Chọn A
( ) 2020
2020 2020 2020
0 0
2
2 d d
ln ln
x
x x
I x x
− −
− − −
= ∫ = − ∫ − = − =
Câu Tích phân ( )
2
1
2 ln d
I =∫ x− x x
A 2 ln1
2 B
3 ln
2 C
1 ln
2
+ D 2 ln
2 −
Lời giải
Chọn D
Đặt :
( )
1
ln d d
d d
u x u x
x
v x x v x x
= ⇒ = = − ⇒ = −
Khi : ( ) 2( ) 2
1 1
1
ln d ln 2 ln
2
x
I = x −x x − x− x= − −x = −
∫
Câu Giá trị tích phân
2 2d x x − +
∫ bằng:
A ( )
2 1 2 x − −
− + B. ( )
2 2
3 x+ − C ( )
2 3
2 x+ − D. ( )
2
1
2 x
−
−
− +
Lời giải Chọn B
Ta có ( ) ( )
2 1 3
2
1
1
2
2d d
3
x x x x x
−
− −
+ = + = +
∫ ∫
Câu Tính tích phân
π
0
cos d
I =∫x x x cách đặt
d cos d
u x
v x x
= =
Mệnh đề đúng?
A
π
0
1
sin sin d
2
I x x x x
π
= + ∫ B
π
0
1
sin sin d
2
I x x x x
π
= − ∫
C
π
sin sin d
I x x x x
π
= −∫ D
π
sin sin d
I x x x x
π
(6)Lời giải Chọn B
Ta có:
d cos d
u x
v x x
= = d d sin 2 u x v x = ⇒ =
Khi đó: π
0
cos d
I =∫x x x
π
0
1
sin sin d
2x x x x
π
= − ∫
Câu 10 Tích phân
2 1 d I x x x = − ∫ A 1 ln x x −
B
2 1 ln x x +
C
2 1 x x −
D
2 1 ln x x −
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2
2
1
1 1
d ln
I x x
x x x
= − = +
∫
Mức độ
Câu Biết
1
e d
b x
x
− =
∫ với b∈ Mệnh đề sau đúng?
A 0;1
2
b∈
B.
3 1;
2
b∈
C
3 ; 2
b∈
D.
1 ;1
b∈
Lời giải Chọn D
Ta có:
3
3
1
3
e e 1 ln
e d e 0, 982
3 3
b
b x b
x b
x b
− −
− = = − = ⇔ − = ⇔ = + ≈
∫
Vậy 1;1
b∈
Câu Tích phân
2 d x x + x+
∫
A ln B. C ln3
2 D.
3 ln
8
Lời giải Chọn C
2 d x x + x+
∫ ( ) ( ) ( )
0
1
d ln ln ln ln ln1 ln
1 x x x
x x = − = + − + = − − − + + ∫
Câu Tính tích phân
e 2 d x I x x + =∫ A e
I = − B
e
I = − C
e
I = − D
e
(7)Chọn B
e e e
2
1
1
2 3 3
d d ln 3
e e
x
I x x x
x x x x
+
= = + = − = − + = −
∫ ∫
Câu Biết
4
0
sin x xd b
a c
π
π
= −
∫ với a b c, , số nguyên dương Tính
a b− +c
A B 17 C −1 D 11
Lời giải Chọn C
3
6
6
1
sin d d
2 cos2x
x x x
π π
π π
− −
− =
∫ ∫ 3
6
1 1
d sin
2 2co 2s x x 2x x
π π
π
π −
−
= − = −
∫
1 1
sin sin
2
π π π π
= − − − − −
3
4
b
a c
π π
= − = −
Suy a=4;b=3;c=4
Vậy
1
a b− + = −c
Câu Biết
2
2
cos sin
3 d
5 x
x x
I π
π
π π
−
+ −
= ∫ Mệnh đề sau đúng?
A 0;1
5
I∈
B I< 0 C
1 ;1
I∈
D I∈
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2
2
5
cos sin sin sin
24 24
1
4
d d
2
x x x x x x
π π
π π
π π π π
− −
+ − − − +
=
∫ ∫
4
2
1
cos co
1
2 x s 2x
π
π
π π
−
− − + +
=
1 13
cos cos cos cos
4 4
1
2
π π π π
− + − − + −
= −
1
2
3
8
2
4
− − −
= − =
Câu Tính tích phân
2 2
0
1d
I = ∫ x x + x cách đặt t =x2 +1, mệnh đề đúng?
A
9
1
1 d
I = ∫ t t B
9
1
2 d
I t t
⇒ = ∫ C
2
0
1
d
I = ∫ t t D
2
0
2 d
I = ∫ t t
(8)Chọn A
Đặt d
1 d d d
2
t
t=x + ⇒ t= x x⇒x x=
Đổi cận:
0 2
1
x
t=x +
9
1
d
d 2
t
I t t t
⇒ =∫ = ∫
Câu Tính
6
1
2 d
x
I x
x
= +
∫ , cách đặt u= x+3 Mệnh đề sau đúng?
A ( )
6
1
4 d
I = ∫ u − u B ( )
3
2
3 d
I =∫ u − u C ( )
2
1
2
d
u
I u
u
−
=∫ D ( )
3
2
4 d
I = ∫ u − u
Lời giải
Chọn C
Đặt u= x+ , u≥ nên u2 = +x d d2
x u u
x u
=
⇒ = −
Đổi cận:
3
x
u= x+
Khi ( ) ( )
2
6 3
2
1 2
2
2
d d d
3
u x
I x u u u u
u x
−
= = = −
+
∫ ∫ ∫
Câu Khi đổi biến x=2 tan ,t tích phân
2
2
d
x I
x
= +
∫ trở thành tích phân nào?
A
4
0
d
I t
π
=∫ B
4
0
1 d
I t
π
= ∫ C
4
0
2 d
I t
π
= ∫ D
4
0
1 d
I t
π
= ∫
Lời giải Chọn B
Đặt 2 tan , ; d 2 tan( 1 d)
2
x= t t∈−π π ⇒ x= t+ t
Đổi cận:
2 tan
0
x t
t π
=
Khi : ( )
( )
2
2 4
2
0 0
2 tan
d
d d
4 tan
x
I t t
x t
π π
+
= = =
+ +
∫ ∫ ∫
Câu Biết
2
2
1 d
4
x
x aπ b
−
− = +
∫ với a b, số hữu tỉ Khi a−2b
A 1
2 B −1 C 1 D
3 −
Lời giải
Chọn C
(9)dx cos dt t
⇒ =
Đổi cận:
2 sin 2
2
x t
t π π
= −
−
2
2 2
2
2
2 2
1 cos
1 d sin cos d cos d d
2
x t
I x t t t t t t
π π π
π π π
− − − −
+
⇒ = − = − = =
∫ ∫ ∫ ∫
2
2
sin
2 2
t
t a b
π
π
π π π π
−
= + = + = = +
Suy a=1;b=0
Vậy a−2b=
Câu 10 Giá trị tích phân
2
0
3 d
I =∫ x − x+ x
A.
3 B.1 C. − D.
7
Lời giải Chọn B
Bảng xét dấu hàm số ( )
3
f x =x − x+ [ ]0; :
Suy ( ) ( )
2
2 2
0
3 d d d
I =∫ x − x+ x=∫ x − x+ x−∫ x − x+ x
1
3
0
3
2
3
x x x x
x x
= − + − − +
5
1
6
= − − =
Mức độ
Câu Giá trị tích phân
1
2
2
d
5
x x x
I x
x x
−
− −
=
− +
∫
A 15 12 ln
2 + B
15
12 ln
2 − C
3
6 ln
2− D
7 ln
2 +
Lời giải
Chọn B
( ) ( )
( )( )
1 1
2
2 2
3
2
d d d
5
x x x
x x x x x
I x x x
x x x x x
− − −
− +
− − +
= = =
− + − − −
∫ ∫ ∫
2
6
3 d
2
x x
x
−
= + +
−
∫
( )
1
2
7 15
3 ln ln 12 ln
2 2
x
x x
−
= + + − = − − + = −
Câu Có số thực a thuộc khoảng (−π π; ) cho
2
sin d
6
a
x x
π
π
+ =
(10)A 2 B 4 C 3 D 5
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2
2
1 1 1
sin d cos cos cos
3 2 2 3
a
a
x x x a
π π π π π π + = ⇔ − + = ⇔ − + + = ∫ cos a π ⇔ + = ( ) 2 , 2 a k k a k π π π π π π + = + ⇔ ∈ + = − +
12 ,( )
4 a k k a k π π π π = + ⇔ ∈ = − +
Vì a∈ −( π π; ) nên
•
12 k
π
π π π
− < + < 13 11( ) 12 k 12 k
⇔ − < < ∈ ⇒ ∈ −k { 1; 0} 11 ; 12 12
a π π
⇒ ∈ − • k π π π π
− < − + < 5( ) k k
⇔ − < < ∈ ⇒ ∈k { }0;1 ;3 4
a π π
⇒ ∈ −
Do đó, có số thực a thỏa mãn yêu cầu toán
Câu Cho ( )
1
2020
3
0
2 d
I =∫x −x xvà đặt
2
u= −x Khẳng định sau sai?
A ( )
1 2021 2020 2 d
I = ∫ u − u u B ( )
2 2020 1 d
I = − ∫ −u u u
C ( )
2 2020 2021 1 d
I = ∫ u −u u D ( )
2 2020 1 d
I = ∫ −u u u
Lời giải
Chọn B
Đặt 2
2
u= −x ⇔x = −u d
d d d
2
u
u x x x x
⇒ = − ⇔ = −
Đổi cận:
0
2
x
t= −x
( ) ( ) ( )
1 1
2020 2020
3 2 2020
0
1
2 d d d
2
I x x x x x x x u u u
⇒ =∫ − =∫ − = − ∫ −
( ) ( )
2
2020 2020 2021
1
1
2 d d
2 u u u u u u
= ∫ − = ∫ −
Câu Cho
6
5
0
sin cos d
I x x x
π
=∫ u=sinx Mệnh đề đúng?
A 2 6 u
I =u −
B
1 2 8 u
I =u −
C
1 d u u
I = − u
∫ D ( )
1
7
0
d
u −u u
∫
Lời giải
Chọn A
(11)Đổi cận:
0 sin
2
x
t x
π
=
( )
6 6
5 5
0 0
sin cos d sin cos cos d sin sin cos d
I x x x x x x x x x x x
π π π
⇒ =∫ =∫ =∫ − ( )
1
5
0
1 d
u u u
=∫ −
( )
1
1
6
2
2
5
0
0
1 d
6 8
u u u
u u u u
= − = − = −
∫
Câu Biết tích phân 2 2 ( )
0
d
5
a x
I a
a x
= = >
+
∫ Mệnh đề sau đúng?
A 5
a> π B 2
a<π C
2
a− > π D
5
a+ > π π
Lời giải Chọn B
Đặt tan ;
2
x=a t t∈ − π π
( )
dx a tan t dt
⇒ = +
Đổi cận:
tan
0
x a t a
t π
=
( )
( )
2
4
4
2
0
0
1 tan d 1
d
4 tan
a t t t
I t
a a a
a t
π π π
π
+
⇒ = = = =
+
∫ ∫
Để
4 20
I a
a
π π
= = ⇔ = Vậy mệnh đề:
a< mệnh đề π
Câu Biết tích phân
1
3
d e e
x b
I e e x a c
−
=∫ − = + trong a b c, , số nguyên Giá trị
biểu thức a b c+ −
A. B.1 C. − D. −1
Lời giải Chọn D
Xét hàm số ( ) ex e
f x = − [−3;1]
( ) x
f′ x =e − f′( )x = ⇔ =0 x
(12)Nhận xét: [ 3;1 ,] ( ) ex e
x f x
∀ ∈ − = − ≤
Suy ( ) ( ) ( )
1 1
3
3
3
ex e d ex e d ex e e 3e eb e
I x x x − a c
−
− −
= ∫ − = −∫ − = − = − + = +
Hay a= −1;b= −3;c= −3 Vậy a b c+ − = −
Câu Biết ( )
e
2
1
d ln e
ln
x
x a b
x x x
+
= +
+
∫ , với a, b là nguyên dương Tính giá trị biểu thức
2
T =a −ab b+
A 3 B 1 C 0 D 8
Lời giải
Chọn B
Ta có ( ) ( )
e e e
e
2
1 1
1
1 d ln
d d ln ln ln e
ln ln ln
x x x x
x x x x
x x x x x x x
+
+ = = + = + = +
+ + +
∫ ∫ ∫
Vậy a=1, 1b= nên T =a2−ab b+ =1
Câu Biết
e
1
1 e
ln d b
x x x
x a c
+ = +
∫ với a b c, , số nguyên; b
c phân số tối giản Tính a b c+ +
A 11 B 9 C 7 D 13
Lời giải Chọn A
Xét
e
2
1
1
ln d a c e
I x x x
x b d
= + = +
∫
e e
1
1
ln d ln d
I x x x x x
x
+
=∫ ∫
Tính
e
1
ln d
x x x
I =∫
Đặt 2
1
d d
ln
d d
2
u x
u x x
v x x x
v
=
=
⇒
=
=
Khi 2
1
1
1
.ln d
2 2
e e e
x e x
I = x − ∫x x= −
2 2
1
2 4 4
e e e
= − + = +
Tính
e
2
1 ln d
I x x
x
=∫
Đặt t lnx dt dx x
= ⇒ = Đổi cận x= ⇒ =1 t 0; x= ⇒ =e t
1
1
2
0
1
2
d t
(13)Do 1
4 4
e e
I = + + = +
2
e b
a c
= + ⇒ =a 4; b=3;c=4
Vậy a b c+ + =11
Câu Cho
3
2
3
d ln ln
3
x x
I x a b c
x x
−
+ −
= = + +
− +
∫ , với a b c, , số hữu tỉ Giá trị a b c+ +
A 19 B − C 12 D −4
Lời giải
Chọn D
Ta có:
3 3
2
2 2
3
d d d
3 2
x x x
I x x x
x x x x x x
− − −
+ − −
= = + = − +
− + − + − −
∫ ∫ ∫
( ) ( )
2
2 ln ln ln 2 ln ln
x x x
−
= − − + − = + − − − +
2 ln 2 ln a bln cln
= − + = + +
Suy a=2;b= −8;c=2
Vậy a+ + = − b c
Câu 10 Biết
ln
ln
d
ln ln
ex 2e x
x
I = − =a b b− a
+ +
∫ với a, b số nguyên dương Tính P a b= −
A P= 5 B P= −1 C P= 6 D P=1
Lời giải Chọn B
Ta có
ln ln
2
ln ln
d e d
e 2e e 3e
x
x x x x
x x
I = − =
+ + + +
∫ ∫
Đặt: t=ex ⇒dt=e dx x Đổi cận: ln
1
x
t
Khi
2 2
2
1
1
1 1
d d ln ln ln ln ln 3ln
3 2
t
I t t
t t t t t
+
= = − = = − = = −
+ + + + +
∫ ∫
Suy a=2, b= Vậy, P= − = − a b
Mức độ
Câu Có tất giá trị thực tham số m để tích phân
0
173 d
6
m
I =∫ x− x= ?
A. B.1 C. − D. −1
Lời giải Chọn D
Bảng xét dấu hàm số f x( )=3x−2:
(14)( )
0 2
0
3
3 d d d 2
2
m
m
m m
x m
I x x x x x x x m
⇒ = − = − − = − = − = − + <
∫ ∫ ∫ nên trường
hợp không thỏa mãn
+ TH2: ( )
2
0
2 3
0 d 2
3 2
m m
x m
m I x x x m
< ≤ ⇒ = − − = − − = − +
∫
Ta có:
2
3 173 173
2
2 6
m m
I = − + m= ⇔ − + m− = (vô nghiệm)
+ TH3: ( ) ( )
2
2
2
3
3
2
0
0
3
2 3
3 d d 2
3 2
m m
x x
m> ⇒ = −I x− x+ x− x= − − x + − x
∫ ∫
2
2 3
2
3 3
m m
m m
= − − + − + = − +
Ta có:
2
2
5 ;
3
3 173 55
2
2 2 11
;
3
m
m m
I m m
m
= ∈ +∞
= − + = ⇔ − − = ⇔
= − ∉ +∞
Vậy có giá trị m=5 thỏa điều kiện toán
Câu Cho
( )
4
0
sin
1
d ln
5sin cos sin
x
b
I x
x x x a c
π +π
= =
+ − +
∫ , với a b c, , số nguyên dương, b
c
là phân số tối giản Biểu thức S abc=
A 6 B 12 C 24 D 48
Lời giải
Chọn C
( )
( )
( )
4
0
1
sin sin cos
4 d d
5sin cos sin sin sin cos
x x x
I x x
x x x x x x
+ +
= =
+ − + − + − +
∫ ∫
π π π
( ) ( )
4
2
1 sin cos
d sin cos sin cos
x x
x
x x x x
π
+ =
− + − +
∫
Đặt: t=sinx−cosx⇒dt=(cosx+sinx)dx
Đổi cận:
0
x t
x π t
= ⇒ = −
= ⇒ =
0
0
2
1 1
1 d 1 1 2 1
ln ln ln ln
5 3 3
2 2 2
t t
I dt
x x t t t
− − −
+
= = − = = − =
+ + + + +
∫ ∫
1 lnb
c a
=
(15)Câu Cho
3
0
sin d 1
ln
sin cos 2
x x b
I
x x a
π
π +
= = −
+
∫ , với a b, số nguyên (b>0) Mệnh đề sau đúng?
A a
b = B
a
b = C
1
a
b = D
a b = −
Lời giải
Chọn B
Xét thêm tích phân liên kết
3 cos d sin cos x x J x x π = + ∫
Ta có ( )
3
3
0
0
sin cos d
d
sin cos
x x x
I J x x
x x π π π π + + = = = = +
∫ ∫ ( )1
Xét tích phân ( )
3
0
sin cos d
sin cos
x x x
I J x x π − − = + ∫
Với tích phân ta đặt: t=sinx+cosx →dt=(cosx−sinx)dx⇔(sinx−cosx)dx= −dt
Đổi cận
0
3
3
x t
x π t
= → =
= → = +
Suy ( )
3
3
2
0
sin cos d d
ln ln
sin cos
x x x t
I J t
x x t
+ + − − + − = = = − = − + ∫ ∫ π
( )2
Từ ( )1 , ( )2 ta có hệ phương trình
1
ln
3 2
3 1
ln ln
2 2
I J I
I J J
+ = = − + → + + − = − = + π π π
Vậy 1ln 1ln 6;
6 2 2
b
I a b
a
π + π +
= − = − ⇒ = = Hay a
b =
Câu Cho
1 d x I x x − = +
∫ , với a b, số nguyên (b>0) Mệnh đề sau đúng?
A a
b = B
a
b = C
1
a
b = D
a b = −
Lời giải
Chọn B
Ta có: ( )
2 2 2 1 d d 1 x x
F x x x
x x x − − = = + + ∫ ∫
Đặt:
2
2
1
d d
(16)Suy ra: ( )
2
2
2
1
d 1 1
d d ln
1 2 2 2 2 2 2 2 2
t t
x
F x x t C
t t t t
x x
− −
= = = − = +
− − + +
+
∫ ∫ ∫
( ) 22
1
1 1
ln ln ln
1
2 2 2 2 2
x
t x x x
F x C C C
t x x x
x
+ −
− + −
= + = + = +
+ + + + +
Suy ra:
1
1 2
4
0 0
1 1 2
d ln ln ln
1 2 2 2 2
x x x
I x
x x x
− + − −
= = = = −
+ + + +
∫
Câu Biết
3
2
3
d ln
4
x a c
x
x x b d
π
−
−
− = −
+ +
∫ , a b c d, , , số nguyên dương ,a c
b d
phân số tối giản Tính ac
bd ta kết
A
14 B
8
7 C
7
8 D
7
Lời giải Chọn C
( )
3
2
1
3
d d
4
x x
x x
x x x
− −
− −
− = −
+ + + +
∫ ∫
Đặt tan tan ;
2
x+ = t⇔ =x t− t∈ − π π
( )
dx tan t dt
⇒ = +
Đổi cận:
tan
4
x t
t π π
= − − −
( ) ( ) ( ( ) ) ( )
3 3
2
4 4
3 tan
1 tan d tan d tan d
1 tan
t
I t t t t t t
t
π π π
π π π
− −
⇒ = + = − − = −
+
∫ ∫ ∫
( )
3 3 3
4 4 4
d cos
sin 7
3 tan d d d 3ln cos
cos cos 12 12
t t
t t t t t t
t t
π π π π π π
π π π π π π
π π
= ∫ − ∫ = ∫ − = − ∫ − = − −
1 7
3ln ln ln
12 12
2
a c
b d
π π π
= − − = − = −
Suy 3;
2 12
a c
b = d = Vậy
3 7
2 12
ac a c
bd =b d = =
Câu Biết ( )
2
2
1
1 d
p x
q x
x+ e − x=me −n
∫ , m n p q, , , số nguyên dương p
q phân số
tối giản Tính T = + + +m n p q
A T =11 B T =10 C T =7 D T =
(17)Chọn B
Ta có: ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
1 1
1 x xd x xd x xd x xd
I =∫ x+ e − x=∫ x + x+ e − x=∫ x + e − x+∫ x e − x
Xét ( )
2 2
2 2
1
1 1
1
1 x xd x x.x d x xd
I x e x x e x x e x
x x
− − + −
= + = = −
∫ ∫ ∫ 2
1
d x x
x e −
=
∫
Đặt
2
1
1
d d
d d x x x
x
u x u x x
v e − v e −
= =
⇒
=
=
2
2 1
2
1
1 1
d x x x x x xd
I x e − x e − xe − x
⇒ = = −
∫ ∫
2
2 1
2
1
1
2 x xd x x
I xe − x x e − e
⇒ +∫ = = −
Vậy I =4e32 − suy 1 m=1,n=1,p=3,q=2
Do đó: T = + + + =m n p q 10
Câu Biết n số tự nhiên cho ( )
0
2
1 n d 1302
x x x
−
+ = −
∫ Tính tích phân
2
0
sin cosx nx xd
π
∫
A 1
6 B
1
5 C
1
− D
5 −
Lời giải
Chọn A
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
2 2
2
2
1
1 1
1302 d d
2 2
n
n
n n x
x x x x x
n n
+
+
− −
−
+ −
− = + = + + = =
+ +
∫ ∫
( )
1
5
2604 *
1
n
n
+ −
⇔ =
+
Nhận xét: với n= :
1
5
2604
1
n
n
+ − −
= =
+ Suy n= nghiệm ( )*
Xét hàm số ( )
1
5
1
n f n
n
+ −
=
+
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 1
2
5 ln 5 ln 1
0
1
n n n
n n
f n n
n n
+ + − + − + + − +
′ = = > ∀ ∈
+ +
Vậy ( )* có nghiệm n=
Khi 5 ( )
0 0
cos
sin cos d cos d cos
6
x
I x x x x x
π π π
= = − = − =
∫ ∫
Câu Tích phân
3 2020
3
d ex
x
I x
−
= +
(18)A 0 B
2021
3
2021 C
2020
3
2020 D
2019
3 2019
Lời giải
Chọn B
Đặt x= − ⇒t dx= −dt
Đổi cận: x= ⇒ = −3 t 3; x= − ⇒ =3 t
Khi đó: ( )
2020
3 2020 2020 2020
3 3
.e e e
d d d d
e e e e
t t x
t t t x
t t t x
I t t t x
− −
−
− −
− −
= = = =
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
Suy ( )
3 2021 2021
3 2020 2020 2021 2021
2020
3 3
3
.e 2.3
2 d d d
e e 2021 2021 2021
x
x x
x x x
I x x x x
− − − −
− −
= + = = = =
+ +
∫ ∫ ∫
2021
3 2021
I
⇒ =
Câu Cho
( )
3
2
d
1
x I
x x x x
=
+ + +
∫ Biết I= a− b− vc ới a b c, , số nguyên dương Tính
a
T c
b
= −
A 10
3
− B 26
3
− C
2
− D 2
Lời giải Chọn D
Đặt
( ) ( )( )
3
2
d d
1 1
x x
I
x x x x x x x x
= =
+ + + + + +
∫ ∫
Đặt
( )
1
1 d d
2
x x
t x x t x
x x
+ +
= + + ⇒ =
+ ( )
d d
2
x t
t x x
⇔ =
+
Đổi cận:
2 3
x
t + +
( )( )
3
3
2
2
2
d d 1
2 2
3 2
1
x t
I
t t
x x x x
+ +
+ +
= = = − = − −
+ +
+ + +
∫ ∫
( )
( ) ( )
2 3 2 2 2 48
= − − − − = − − + = − − = − −
48 48; 8;
I = − − = a− b− ⇒ =c a b= c= .
Vậy T a c
b
= − =
Câu 10 Biết
2
9
0
sin d a b
I x x
c
π
π +
= ∫ = với a b c, , số nguyên, c≠ Mệnh đề sau đúng?
A 3a b+ =4c B 3a b+ =10c C 6a b+ =7c D 3a b+ =5c
Lời giải
Chọn C
(19)Đổi cận
0
9
x t
x π t π
= ⇒ =
= ⇒ =
2
9
0
sin d
I x x
π
= ∫ 3
0
sin dt t t t.sin dt t
π π
=∫ = ∫
0
.sin d
I
t t t
π
⇔ =∫
Đặt d d
d sin d cos
u t u t
v t t v t
= =
⇒
= = −
3
3 3
0
0 0
3 27
cos cos d cos sin
2 6
I
t t t t t t t
π
π π π
π −π
= − +∫ = − + = − + =
27
a b
I
c
π π
− +
⇔ = =
(20)PHẦN II:
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1.Đổi biến số loại 1:Bài tốn : Tính tích phân ( ) ( ) d
b
a
I =∫g u x u x′ x
Cách giải: Đặt t=u x( )⇒dt=u x′( )dx
Đổi cận: ( )
( )
x a t u a
x b t u b
= ⇒ =
= ⇒ =
Khi ( ) ( )
( )
d
u b
u a
I = ∫ g t t
Dấu hiệu nhận biết :
Dấu hiệu Có thể đặt
1 Có f x( ) t= f x( )
2 Có (ax+b)n t=ax+b
3 Có f x( )
a t= f x( )
4 Có vàlnx
x t=lnx biểu thức chứa ln x
5 Có x
e t=ex biểu thức chứa x
e
6 Có sin x t=cosx
7 Có cos x t=sinx
8 Có 12
cos x t=tanx
9 Có
2
1
sin x t=cotx
2.Phương pháp đổi biến số loại 2: Đặt x=u t( ) (Đổi biến qua lượng giác)
Bài tốn: Tính ( )d
b
a
I =∫ f x x
Cách giải : Đặt x=u t( )⇒dx=u t′( )dt
Đổi cận: x= ⇒ =a u α; x= ⇒ =b u β
Suy ( ) ( )dt
b
a
I =∫ f u t u t′
Dấu hiệu Đặt
(21) Nếu hàm f x có ( )
chứa a2−x2
đặt x= asint ( )
2 2 2
d d sin cos d
sin cos
x a t a t t
a x a a t a t
= =
→
− = − =
Nếu hàm f x có ( )
chứa a2+x2 đặt x= a tant
( )
2 2 2
d d d tan
cos
tan
cos
a t
x a t
t
a
a x a a t
t
= =
→
+ = + =
Nếu hàm f x có ( )
chứa x2−a2 đặt
sin
a x
t
=
2
2
2 2
2
cos d d
sin
cos sin
a t t x
t
t
x a a
t
− = →
− =
Nếu hàm f x có ( )
chứa a x
a x
+ −
đặt x=acos 2t
( )
2
2
d d cos 2 sin d
1 cos t cos cos t sin
x a t a t t
a x t
a x t
= = −
→ + +
= =
− −
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Hàm phân thức (chỉ biến đổi, không đặt)
Hàm lượng giác (Chỉ cần biến đổi, không đặt)
Thể quy tắc đổi biến (cho sẵn phép đặt t)
Đổi biến t khơng qua biến đổi (dt có sẵn)
Đổi biến t sau khu biến đổi (dt bị ẩn)
Đổi biến phương pháp lượng giác hóa
Kết hợp biến đổi, đổi biến, phần
Kỹ thuật riêng hàm phân thức (có đặt)
Kỹ thuật riêng hàm lượng giác (có đặt)
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020)Xét
2
0
e dx
x x
∫ , đặt u= x2
2
0
e dx
x x
∫
A
2
0
2 e d∫ u u B
4
0
2 e d∫ u u C
2
0
1 e d
u u
∫ D
4
0
1 e d
u u
∫
Phân tích hướng dẫn giải
(22)2 HƯỚNG GIẢI:
B1: Tính vi phân vế
2
du du xdxxdx
B2:Đổi cận x 0 u 0; x 2 u
B3:Thay cận biến vào tích phân
Từ đó, ta giải toán cụ thể sau:
Lời giải
Chọn D
Đặt
2
2
du ux du xdxxdx
Đổi cậnx 0 u 0; x 2 u
Ta có
2 4
0 0
du
e d e e du
2
x u u
x x= =
∫ ∫ ∫
Bài tập tương tự phát triển:
Mức độ
Câu d
2x+3 x
∫
A ln 2x+ + C B 1ln
2 x+ +C
C
( )2
2
2x C
− +
+ D. ln 2x+ + C
Lời giải
Chọn B
Vì dx 1ln a x b C
a xb a
nên d 1ln
2x3 x x C
Câu Họ nguyên hàm hàm số ( )
e x f x =
A 1
3
x
e +C B. e3x+C C 3e3x−1+C D. 3e3x+C
Lời giải
Chọn A
Vì ea x bdx 1ea x b C a
nên 3
d
x x
e x e C
(23)A. cos(π−x)+C B. −cos(π−x)+C C. 1cos(π x) C
π − + D. ( )
1
cos π x C
π
− − +
Lời giải
Chọn A
Vì sina x bdx 1cosa x b C a
nên
sin d cos cos
1
x x x C x C
Câu ∫(x+2)4dx
A. 4(x+2)3+C B. (x+2)5+C C. 1( 2)5
5 x+ +C D. ( )
5
1
10 x+ +C
Lời giải
Chọn C
Vì
1
1
d
1
a x b
a x b x C
a
nên
5
4
2 d
5
x
x x C
Câu Nguyên hàm hàm số ( )
3 x
f x =
A.1
.3
x C
B
2.3 ln 3x C C.
2
3 ln
x C
D.
.3 ln
x
C
Lời giải:
Chọn C
Vì a d
ln
mx n mx n a
x C
m a
nên
2
2
3 d
2 ln
x x
x C
Câu Biết f x dxF x C Nguyên hàm hàm số f 3x bằng
A 1 ( )3
3F x + C B 3F x( )+ C C 3F( )3x + C D F( )3x + C
Lời giải:
Chọn A
Nếu f x dxF x Cthì f a x bdx 1.F a x b C a
hay
3 d 3
f x x F x C
(24)Câu Biết f x dxF x C Nguyên hàm hàm số f5 bx ằng
A 1 (5 )
5F −x + C B −F x( )+ C C F(5−x)+ C D −F(5−x)+ C
Lời giải:
Chọn D
Nếu f x dxF x Cthì f a x bdx 1.F a x b C a
hay
f d 5
1
x x F x C F x C
Câu Biết f x dxF x C Nguyên hàm hàm số
2
x f
A 2
2
x
F C
B
x
F C
C
1
3
2
x
F C
D. 3
x
F C
Lời giải:
Chọn A
Nếu f x dxF x Cthì f a x bdx 1.F a x b C a
hay
3 d
2
x x
f x F C
Câu BiếtF x nguyên hàm hàm số
1
2
f x x
vàF 1 Khi đó2 F x bằng
A. 1ln
2 x B 2 ln 2x C
ln 2
2 x D ln 2x
Lời giải:
Chọn C
Ta có d 1ln
2x1 x x C
Ta có 1 1ln1 2
2
F C C
Vậy 1ln 2
F x x
Câu 10 Biết F x nguyên hàm hàm số f x 2x5vàF 1 Khi đó1 F x bằng
(25)Chọn D
Ta có
2x5 dxx 5xC
Ta có F 1 C C
Vậy F x x25x
Mức độ
Câu Cho hàm số f x liên t ục thỏa mãn
4
2
d
f x x
Khi
2
1
2 d
f x x
A. B. C. D. 16
Lời giải
Chọn A
Đặt d 2d d d
2
t t x t x x
Đổi cận : x 1 t 2;x 2 t
Khi
2 4
1 2
dt
2 d d
2
f x x f t f x x
Câu Cho hàm số f x liên t ục thỏa mãn
1
0
d
f x x
Khi
1
0
2 d
f x x
A 5 B 3 C − D 1
Lời giải:
Chọn C
Đặt t 2 x dt dx dx dt
Đổi cận : x 0 t 2;x 1 t
Khi
1
0
2 d d d
f x x f t t f x x
Câu Cho hàm số f x liên t ục thỏa mãn
1
0
5 d
2
f x x
Khi
3
0
d
x f x
A.
6 B
15
2 C.
5
2 D.
1
Lời giải
(26)Đặt d 1d d 3d
3
x
t t x x t
Đổi cận : x 0 t 0;x 3 t
Khi
3 1
0 0
15
d d d
3
x
f x f t t f x x
Câu Cho hàm số f x liên t ục thỏa mãn
6
1
d 15
f x x
Khi
1
5 d
f x x
A.3 B.45 C.15 D.71
Lời giải
Chọn A
Đặt d 5d d 1d
5
t x t x x t
Đổi cận : x 1 t 1;x 2 t
Khi
1
d
5 d d
5
t
f x x f t f x x
Câu Với cách đặt usinx
2
0
sin x.cos dx x
bằng
A.
1
0
d
u u
B.
1
0
3 u ud C.
1
0
1 d
3 u u D.
1
0
d
u u
Lời giải
Chọn D
Đặt usinxducos dx x
Đổi cận : 0;
2
x u x u
Khi
1
3
0
sin x.cos dx x u ud
Câu Nếu đặt u x2
2
1
3.d
x x x
A.
7
2
.d
u u
B.
7
2
.d
u u
C.
2
1
.d
u u
D.
7
3
2
.d
u u
(27)Chọn A
Đặt 2
3 =x +3 d d d d
u x u u u x xu ux x
Đổi cận : x 1 u 2;x 2 u
Khi
2 7
2
1 2
3.d d d
x x x u u u u u
Câu Nếu đặt
1
ux x
3
2
2
.d
x
x
x x
A.
7
1
du
B.
3
0
du
u
C.
7
1
d
u u
D.
7
1
du
u
Lời giải Chọn D
Đặt
1 d d
ux x u x x
Đổi cận : x 0 u 1;x 3 u
Khi
3
2
0
2 d
.d
x u
x
x x u
Câu Nếu đặt xsint
1
2
0
1x dx
A.
2
0
cos dt t
B.
2
0
sin dt t
C.
2
0
cos dt t
D.
1
0
cos dt t
Lời giải Chọn A
Đặt sin , ; d cos d
2
x t t x t t
Đổi cận : 0;
2
x t x t
Khi
1 2
2 2
0 0
1 x dx sin t.cos dt t cos dt t
Câu Nếu đặt x2 sint
1
2
2 d
x x
A.
2
0
2 d cost t
B.
2
0
1 d cost t
C.
6
0
2.dt
D.
6
0
2.cos dt t
(28)Lời giải:
Chọn C
Đặt sin , ; d 2cos d 2
x t t x t t
Đổi cận : 0;
6
x t x t
Khi
1 6
2
0 0
2
.d 2.cos d = 2.d
4 4 sin
x t t t
x t
Câu 10 Xét lnxdx
x
Nếu đặt ulnx lnxdx x
A u ud B du C du
u
D u u2d
Lời giải:
Chọn A
Đặt u lnx du 1dx x
Khi lnxdx u ud
x
Mức độ
Câu Cho hàm số f x liên t ục thỏa mãn
2
0
d
f x x
Khi
3
1
2 d
f x x
A 4 B.1 C.2 D 0
Lời giải:
Chọn C
Ta có 4
2
x khi x
x
x khi x
Dp
3
1
2 d d d
f x x f x x f x x
Xét
2
1
4 d
f x x
Đặt 2d d
2
t xdt x x dt
Đổi cận : x 1 t 2;x 2 t
Khi
2
1
4 d d d
f x x f t t f x x
(29)Xét
3
2
2 d
f x x
Đặt 2d d
2
t x dt x x dt
Đổi cận : x 2 t 0;x 3 t
Khi
3 2
2 0
1
2 d d
2
f x x f t dt f x x
Vậy
3
1
2 d 1
f x x
Câu Cho hàm số f x liên t ục thỏa mãn
1
0
d
f x x
5
0
d
f x x
Khi
2
0
3 d
f x x
A −2 B. 11
3
− C
3
− D.
3
Lời giải
Chọn C
Ta có
1
3
3
3
1
3
3
x khi x
x
x khi x
Do
1
2
1
0
3
3 d d d
f x x f x x f x x
Xét
1
0
1 d
f x x
Đặt 3d d
3
t xdt x x dt
Đổi cận : 1;
3
x t x t
Khi
1
0
3
0
1
1 d d
3
f x x f t dt f x x
Xét
2
1
3 d
f x x
Đặt 3d d
3
t x dt x x dt
Đổi cận : 0;
3
(30)Khi
2 5
1 0
3
1
3 d d
3 3
f x x f t dt f x x
Vậy
2
0
5
3 d
3
f x x
Câu Nếu đặt uex1 d
1
x x
e
A. d
1
u
u
B.
d
u
u u
C. du
u
D.
d
u
u u
Lời giải
Chọn B
Đặt uex 1 due xxd
Khi
d e d d
1 1
x
x x x
x x u
e e e u u
Câu Xét
ln
0
1.d
x
e x
Nếu đặt u ex1
ln
0
1.d
x
e x
A.
1
0
.d
u u
B
1
0
.d
u u
C.
1
2
.d
u u
u
D.
1
0
1 .du
u
Lời giải
Chọn C
Đặt
1 =e d d
x x x
u e u u ue x Đổi cận : x 0 u 0;xln 2 u
Khi
ln 1
2
0 0
1
1.d e d d
1
x
x x
x
e u
e x x u
e u
Câu Nếu đặt u x 1 x nguyên hàm hàm số
1
1
f x
x x x x
theo u
bằng
A 22.du
u
B. 12.du
u
C. 22.du
u
D. 2.du
u
Lời giải:
(31)Đặt d 1 d d
2 2
x x
u x x u x x
x x x x
Khi
1
.d d
1 1
x x
x x x x x x x x
2
1
.d d
1
x x
x u
u
x x x x
Câu Biết
1
2
.d ln
4
x b
I x a
x c
với a b c, , .Khi giá trị biểu thức P a b c
A. B 5 C. D 3
Lời giải:
Chọn A
Đặt sin , ; dx 2cos d 2
x t t t t
Đổi cận : 0;
6
x t x t
Khi
1 6
2
0 0
2 sin sin
.d 2cos d d
4 4 sin cos
x t t
I x t t t
x t t
Đặt ucos ,t du sin dt t
Đổi cận : 1;
6
t u t u
Khi
3
6
0
3
sin
d d ln 2 ln
cos
1
t
I t u u
t u
Do a 1,b3,c2 Vậy P a b c
Câu Biết
4
1
.d
x b
I e xa e với a b, Khi giá trị biểu thức Pa2 bb2 ằng
A 2 B 6 C 8 D 4
Lời giải:
Chọn C
Đặt
2 d d
t x t x t t x
(32)Khi
4
1
e dx t d
I x e t t
Chọn d d
d td t
u t u t
v e t v e
Khi
2
2
1
2
2 d 2 d 2
1
t t t t
I e t t te e t e e e e
Do a2,b2 Vậy Pa2 b2
Câu Xét
4
0
cos cos d
I x x x
π
=∫ Nếu đặt tsin 2x
4
0
cos cos d
I x x x
π
=∫
A
1
0
d
t t
B
1
0
1
d
2 t t C
1
0
1
2 d
2 t t D.
1
0
1
d 2 t t
Lời giải:
Chọn D
Ta có ( )
4 4
2
0 0
cos cos dx x x cos 2x sin 2x dx cos dx x cos sin dx x x
π π π π
= − = −
∫ ∫ ∫ ∫
Đặt tsin 2xdt2cos dx x
Đổi cận : 0;
4
x t x t
Khi
1
2
0
2 cos sin dx x x t dt
Vậy
1
0
1
d
I t t
Câu Biết
5
2
d ln
3
x
I x a b
x
với a b, Khi giá trị biểu thức Pa26b
A. 3499 B 3398 C 2994 D 799
Lời giải:
Chọn B
Đặt 2
3 3 d d
t x t x t t x
Đổi cận : x 2 t 2;x 5 t
Khi
2
5
2
2
3 30
d d 28 d
3
t x
I x t t t t t
t t
x
(33)Do 60, 101
a b Vậy P3398
Câu 10 Biết
2 sin
0
cos d
x
I e x x a e b
với a b, Khi giá trị biểu thức Pa3 bb3 ằng
A − B 1 C 2 D 0
Lời giải:
Chọn D
Đặt tsinxd =cos dt x x
Đổi cận : 0;
2
x t x t
Khi
1
sin
0
cos d d
x t
I e x x e t e
Do a1;b 1 Vậy Pa3 b3
Mức độ
Câu Cho hàm số y f x liên tục thỏa mãn 2
1
f x x f x x x x x ,
x
Khi
1
0
d
f x x
A. 51
8 B.
17
6 C.
17
4 D.
17
Lời giải
Chọn B
Ta có
1 1
2
0 0
1 d d d
f x x x f x x x x x x x
1
2
0
17
1 d d
4
f x x x f x x
Xét
1
0
1 d
f x x
Đặt t x dt dx
Đổi cận : x 0 t 1;x 1 t
Khi
1
0
1 d d = d
f x x f t t f x x
Xét
1
2
d
x f x x
(34)Đổi cận : x 0 t 0;x 1 t
Khi
1 1
2
0 0
1
d d = d
2
x f x x f t t f x x
Vậy
1 1
0 0
1 17 17
d d d
2
f x x f x x f x x
Câu Cho hàm số f x liên t( ) ục thỏa mãn
( ) ( )
3 18 45 11 1,
f x +x f x + = x + x + x + x+ ∀ ∈ x Khi ( )
3
3
d
f x x
−∫
bằng
A 96 B. 64 C 192 D. 32
Lời giải Chọn A
Ta có : f ( )3x +x f x ( 2+2)=5x5+18x3+45x2+11x+1 1( )
Thay x x vào (1) ta có : ( ) ( ) ( )
3 18 45 11
f − x −x f x + = − x − x − x − x+
Cộng (1) (2) vế với vế ta :
1
2
1
3 90 d d 64
f x f x x f x x f x x
Xét
1
1
3 d
f x x
Đặt t3x dt 3dx
Đổi cận : x 1 t 3;x 1 t
Khi
1 3
1
3 d d d
3
f x x f t t f x x
Tương tự ta có
1
1
3 d d
3
f x x f x x
Vậy
3 3
3 3
1
d d 64 d 96
3 f x x3 f x x f x x
Câu Cho hàm số f x liên t( ) ục thỏa mãn
( ) ( )2
10 2,
f x −x +x f x = − −x x − x + x − x− ∀ ∈ x Khi ( )
6
6
d
f x x
−∫
A. −24 B. − 48 C. 258 D. −282
(35)Ta có : f x( 3−x)+x f ( )2x2 = − −x9 5x7−3x5+10x3−5x−2 ( )1
Thay x x vào (1) ta có: ( ) ( )2 ( )
10 2
f − +x x −x f x =x + x + x − x + x−
Cộng (1) (2) vế với vế ta :
f x 3 x f x3 x
3x f x x 3x f x x 3x
2
3
2
d d 48
f x x x f x x x
Xét
2
2
2
3x f x x dx
Đặt
d d
tx x t x x
Đổi cận : x 2 t 6;x 2 t
Khi
2 6
3x f x x dx f t dt f x dx
Tương tự ta có
2
3x f x x dx f x dx
Vậy
6 6
6 6
d d 48 d 24
f x x f x x f x x
Câu Cho hàm số f x liên t( ) ục thảo mãn f x( )+ f (3−x)=2x2−11x+18 Khi
( )
6
6
d
f x x
−∫
A.90 B.45 C.45
2 D.
45
Lời giải
Chọn D
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
3
2
0
45
3 11 18 d d
2
f x + f −x = x − x+ ⇔∫ f x x+∫ f −x x=
Xét
3
0
3 d
f x x
Đặt t x dt dx
Đổi cận : x 0 t 3;x 3 t
Khi
3
0
3 d d d
f x x f t t f x x
(36)Do ( ) ( ) ( )
0 0
45 45
d d d
2
f x x+ f x x= ⇔ f x x=
∫ ∫ ∫
Câu Cho f x hàm số chẵn liên tục 3;3
3
0
d 15
f x x
Khi
3
3
d 3x
f x x
A. 15 B 30 C 15
2 D.
Lời giải:
Chọn A
Ta có f x hàm số chẵn nên f x f x
3
3
d d d
3x 3x 3x
f x f x f x
x x x
Xét
0
3
d 3x
f x x
Đặt x t dx dt
Đổi cận : x 3 t 3;x 0 t
Khi
0 3
3 0
3
d dt d d
3 1 3
t x
x t t x
f x f t f t f x
x t x
Vậy
3 3
3 0
3
d d d d 15
3 3
x
x x x
f x f x f x
x x x f x x
Câu Cho f x hàm số chẵn liên tục 1;1
1
1
64 d
15
f x x
Khi
1
2
d
x f x
x e
A 64
15
− B 32
15
− C 16
15
− D 128
15
−
Lời giải:
Chọn B
Ta có f x hàm số chẵn nên f x f x
1
1
64
d d
15
f x x f x x
1
2 2
1
d d d
1 1
x x x
f x f x f x
x x x
e e e
Xét
0
2
d
x f x
x e
Đặt x t dx dt
(37)Khi
0 2
2 2
1 0
d d d d
1 1
t x
x t t x
f x f t e f t e f x
x t t x
e e e e
Vậy
1 1
2 2
1 0
32
d d d d
1 1 15
x
x x x
f x e f x f x
x x x f x x
e e e
Câu Cho hàm số y f x liên tục 1; 4
thỏa mãn f 0 ,
1
1, ;
4
f x x
3
f x x f x Khi
4
f
A 3 B
8
− C
32
− D 16
Lời giải:
Chọn A
Ta có :
3
3
3 d d
1
f x f x
f x x f x x x x x
f x f x
Đặt t f x 1 dt f x dx
Suy
3
d 1
d
2
1
f x t
x C
t t
f x f x
Khi
2
1
2
2
x C
f x
Mà f 0 nên 1
8
C
Vậy
4
f
Câu Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm thỏa mãn f 0 1; f 2 Khi
2
2
0
f xd
I f x e xbằng
A. B.1 C. D.
Lời giải:
Chọn D
Đặt t f x dt f x dx
(38)Khi 2
0
1
d d
2
f x t
I f x e x e t e e
Câu Cho hàm số y f x liên tục 9; 0 thỏa mãn 0
e f
e
, f x 0, x 9; 0
2
2
f x f x f x Khi f 1
A. 25
1
e
e B.
2
5
2
e
e C
2
5
2
e e
e D.
2
5
1
e e e
Lời giải:
Chọn C
Ta có
2
2
2 d 2d
1
f x f x
f x f x f x x x
f x f x f x f x
Đặt 2 2
1 d d
t f x t f x t t f x f x x
Ta có
2 2
d d 1
d d ln
2
1
f x f x f x t t t t
x x
t
t t t
f x f x f x f x
2
2
1 1
ln
2 1 1
f x
C f x
Khi
2
2
1 1
ln
2 1 1
f x
x C
f x
Mà 0
e f
e
nên
1
C
Vậy 52
2
1
e e f
e
Câu 10 ChoF x m ột nguyên hàm hàm số f x( )= cos sin+ x x F 0 2 Biết
0
d cos
F x
x a b
x
với a b, Khi đóa2b2
A 4
9 B
2
9 π
C 4
3 D.
16
Lời giải:
Chọn D
(39)Ta có 2 3
2 cos sin d d
3
x x x t t t C cos x C
MàF 0 2 nên C Do 2 cos 3
F x x
Vậy
3
0 0
2 cos
2
d d cos d
3 3
2 cos cos
x F x
x x x x
x x
Do 4;
3
a b Vậy 2 16
9