©), ttps://www.facebook.com/groups/TaiLicuOnThiDaiHoc01 01 MO DAU VE NGUYEN HAM VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I NHAC LAI KHAI NIEM VE VI PHAN CUA HAM SO
Vi phan cua ham sỐ y =ƒt) được kí hiệu là đy và cho bởi công thức dy = df (x) =y'dx =f '(x)dx: Xí dụ:
© d(x? — 2x + 2) =(x° — 2x + 2ÿ dy = (2x — 2)dx
* d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)' dx = (cosx — 2sinx)dx
Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau ° d(2x Dav = de =< d (2x ) ° d(3x “=“= Ô ) sasd|S J4 Jal?) Sale 2) 3 sa-d|S => )=a( H ) =d(a xẺ ) dx _1d(ax+b) 1 dx ¬—_ — =~ ( In|ax 3| )—>—= d(In|x| ) sin(ax +b yx =" sin(ax +5 ỳ ak 5 +d (cos(ax b+)) —s 2xdx =24(cos2x ) a a ° cos(ax+b yx =" cos(ax 4b y ck 4 }d(sin(ax br)) —oos 2xdx = a( sin 2x } a a ° c9 4y = Le 5 J(a +b )=-d(e” *) —>e *dv= =d(e*) a a
° 5 dx -! d(ax+b) = d[tan(ax+b ]—> a = + a(tan2x }
cos“(ax+b ) cos“(ax +b ) 4 cos“ 2x
° 5 dx =1 d(ax+b) = — d[cot(ax+b ]—> a =— đ(eot2x }
sin(ax+b ) asin*(ax +b) a sin 2x 2
II KHAI NIEM VE NGUYEN HAM
Cho ham sé f(x) lién tuc trén mét khoang (a; b) Ham F(x) được gọi là nguyên hàm cua ham sé f(x) néu F’ (x) = f(x) va
được viết là [ ƒ(x)dx Từ đó ta có : [ ƒ(x)dv= F() Nhán xét:
Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F() + C)'= F6) nên tổng quát hóa ta viết | f (x)dx = F(x) +C, khi do
F(x) + C duoc gọi là một họ nguyên hàm của hàm số ƒ(0 Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm của hàm số đã cho
Ví dụ:
* Ham sé f(x) = 2x co nguyén ham 1a F(x) =x° + C, vi (x + C)’ = 2x
* Ham sé f(x) = sinx c6 nguyén ham 1a F(x) = —cosx + C, vi (-cosx + C)’ = sinx
III CAC TINH CHAT CO’ BAN CUA NGUYEN HAM
Cho cac ham s6 f(x) va g(x) lién tue va tén tại các nguyên hàm tương ứng F(x) va G(x), khi đó ta có các tinh chat sau:
a) Tinh chat 1: ( [7œ } f(x)
Trang 2©), ttps://www.facebook.com/groups/TaiLicuOnThiDaiHoc01 Ching minh: Do F(x) la nguyén ham cia ham sé f(x) nén hiển nhiên ta có ( [fax )= (F(x) ) =f(x) => dpem b) Tinh cht 2: ( [L4@+ s()]4] =[/œ)& jsG)4k Chứng mình:
Theo tính chất 1 ta có, ( [Zœ04&+[sG)4+ ) = [Ưœ+ } J a(x)ax Ao) #(x)
Theo định nghĩa nguyên hàm thì về phải chính là nguyên hàm của f(x) + g(x)
Từ đó ta có ( J[@œ+ s()]4] =[/œ)& {sG)4k c) Tính chất 3: ( [* f(x)dx) =k[ ƒ()4x, W z0
Chứng mình:
Tương tự như tính chất 2, ta xét (« [ f@dax )= k.f(x) —> [ke fOdde kf fede => dpem d) Tinh chat 4: [ f(x)dx= [ f(@dt =f fwdu
Tinh chat trén duoc goi la tinh bat bién cha nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm, mà không phụ thuộc vào biên
Trang 3©), ttps://www.facebook.com/groups/TaiLicuOnThiDaiHoc01 _ 010 _ y° "du _ (1-3x y" e) 1=[(1 3x fade =sÍu 3x}”41(3x ÿ}'#Ẵ#=——— £€ 2011 du f) T=] dx _1 d(2x+1) uw = i tiie = mm (2x+1) 2° (2x 41) 2 2x+1 2(2x +1 ) g) 1=[V4x +5dx =, vax $d(4x § Jo I= 25 (48 +5) 4C =(4x $j G Chung minh: That vay, do (In|x|+ C ) J, [f= In|x| +C x x Chủ ý: + Mở rộng với hàm số hợp w = (x), ta được = = Inlu| +Œ u | a =.In|3x +| 4C + — _ JM inlax + 3 xe 1 ax+b a ax +b a LÍ x - In|k -2x| € #-2x 2 Vi du a) eet * ft [xa fa pe : 2x Inhx b)/=Í dx 1 d(3x+2) a _J3x+2 3) 3x 42 I= sins 2|+C ? d(2x+1 c) pS aff ae ja | 2xax se 3p£0x:U) xế ŠIm|2z | +C 2x+1 2x +1 2° 2x + 2 Chung minh: That vay, do (—cosx +C ) =sinx > [sinxdx = -cosx 4C 2Chu y:
+ Mở rộng với hàm số hợp w = (x), ta được J sinudu = -cosu +C
+ [sin( (ax+b yx = [sin( ax 4b ỳ ak 4 cos ( ax b+) + —fsin 2xdx =2 cos2y CG Vi du: 3 2x-1 a) lỆ x +sinx sa “xvxa 4sinxdx i Feax Ces x l4 5 2x? =—— -cosx + In|2x 1 € 5 2 4x—
b) j(sinax+ = sử, {si 4x—3 TT sin 2xd(2x ) apa 2 4` 4x 3 3) degsoe Sinlax 3)- 2 4
c) In sinx vsin3x fos
Ta có 4|3]Fzœ>œ=24|5] d(2x JRddy = de =< d (2x ) 4 3 fade = de = d (3x )
Từ đó :
j[sn3+ sinx sind Jas sins« {sin 2xdx fsin3xdx 2fsina{ >) isin 2xa (2x ) 5 fain 3x (3x )
Trang 4©), ttps://www.facebook.com/groups/TaiLicuOnThiDaiHoc01 = 2cos~ -¿os2x _— 2 2 3 € Chứng mình: Thật vậy, do (sinx +C ) =Ccosx > [cosxdx = sinx +C Chủ ý:
+ Mở rộng với hàm SỐ hợp u=u(x), ta được | cosudu = sinu +C
Trang 5attps://www.facebook com/groups/YaiLieuOnhiaiHoc6l a) j{cosax- +2x° Ja { cos 2xdx = Er dx sin 2x cet x x Cc: sin’ x sin’ x (1-3x) 7 =1 gi zi t(1 -3 C =-cot(1 3x )£ ») lạm 1- 3x ) Jaa 1 = _ 3L s0 x + ven x) 4š] du sintuy # — 2eot|5} C dx ©7=| ——¬ =2 T— 5) I~ (5) 2 2 Chứng mình: Thật vậy, do (a +C ) =e'> [etd =e +C Chủ ý: +) Mở rộng với hàm số hợp z = (x), ta được J e“du=e" +C ' | fertde= bers +C +) few*dv=+fo""d(ax +b )=e™* € — 2 a a | [e'? 4= | ora 4C ( 2 < í dụ: 2x4 1 4 “2x Lp os vile " fe? "dx j= 5 | =Je”"4( 2x 1} In x: 4.24x - 1a ot 3x gx € 2 b) |(4c'”?+cos(1 -3x )x =[e"'?4x {eos(L 3x }⁄x s[e" 24 2+) 5 feos(1 3x-W 1( 3x- ) _4gae2 sin(1 3x )€ 3 3 Chung minh: x +C That vay, do l§ r x a Ina a = =a" => | a'dš= na Ina Ina >aChii ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp ø = ⁄(x), ta được J a"ẩu = a" +C
Trang 6©), ttps://www.facebook.com/groups/TaiLicuOnThiDaiHoc01 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp e |0dx=C J * e Jarde=— * +C (0 <a 3) na e |dx=x +C ị ° [cosxdx = sin x +C a x#rl ° [x d= +C, (a #8 ° [sin xdx = —cosx 4C e ƒ “4 =Inl +C e [ae = tan x +C x cos” x Xp x e fe dere) +C -j_— x= -—cotx 4C sin“ x © [cos(ax+ b)dx =! gin(ay +b) €(a ® ef elttbay =| gare +C,(a #@) a a e [sin(ax + b)dx = = cos(ax b) E(a Ble Í— dx =— Ina +] 4C
LUYEN TAP TONG HOP
Trang 8©), ttps://www.facebook.com/groups/TaiLicuOnThiDaiHoc01 2/700 (ax? +bx oe 4x IL f(x) = (x -2)v x? Bai 4: [DVH] Tim diéu kién ctia tham s6 dé ham s6 F(x) 1a mét nguyén ham cua ham SỐ Sy): f F(x) =(ax* +bx +4e)e* Tim a,b,c b) 1 : Tim a,b,c IL f(x) = (x -3)e f F(x) =(ax* +bx 4e)e* Tim a,b,c b) 2 Tim a,b,c ƒ(x)=(xˆ -3x +29)e * f F(x) =(ax* +bx +)e ?* a | f (x)= 42x? Bx Fe
Bai 5: [DVH] Tim diéu kién ctia tham sé dé ham sé F(x) là một nguyên hàm cua ham s6 f(x): a) | Fis) = (a +1) sin x Csin2x Ssin3x Tim a,b,c IL F(x) =COSX F(x)=(ax2 +bx +&)N2x 3 b) f= 20x° —30x +7 Tim a,b,c ( V2x-3
Bai 6: [DVH] Tính các nguyên hàm sau:
1) 1,=|(x° +2vr)ax 2) 1, -{(3 3 Jas 3) 1, =jf#' 4x3 ale’ Jar Xx 1 2Vx 1 2x4 43 4) “:Í[E ANH A 5) ¬ 6) ¬= Bài 7: [ĐVHỊ Tính các nguyên hàm sau: Vx -1) , (x? +4) »1,-{! F Ì 8) J, = [(2x` -1) & 9) 1,=| =—w 2 10) / = Pee + Ox —x” H x 11) J, -Í =4 12) J, -lœ+ ~ | Bai 8: [DVH] Tính các nguyên hàm sau: 2 3 \ 2 (v2x- 93x) 13) J of: =) dx 14) 1, = ils a dx 15) 1,5 = ƒ——~+ — 4 _ 1 _¢ xtl 16) 1„= [[Jx -2ŸxÌ(x ¬lx)& 17) l„ “la dx 18) I, “|G
Bai 9: [DVH] Tinh các nguyên hàm sau:
19) 1=[ sin( 3 Nis 20) I) =| [sin2x vsin = J 21) 1, =| sin’ +x Ja 22) I, =| [sin(>s | sin" i 23) L„ =Í cos’ de 24) I, = fsin? de
Bai 10: [DVH] Tinh cac nguyên hàm sau:
26) 1„ = | Sạc 27) 1, =] san 28) 7„„ = [(tan” x +2x)dx 29) I, = [ tan” x dx 30) 72; = [cot xảy 31) [y= ey Bai 11: [DVH] Tinh các nguyên hàm sau:
32) I, = J = x 33) 7, =| [x Ss 4eot? x fs 34) I, = i = 5 ix
35) I=] sin’ mS = Jas 36) Ty, = [Sa 37) 1„ = | — dx
Bai 12: [DVH] Tinh cac nguyén ham sau:
Trang 9attps://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 x +x 411 2x? —x +5 xX 38) I,=| 39) 7„= aT 40) 7„= | +.“ 3xÌ+2x” +x 4 4x°+4x° -1 4x? + 6x 41 41) Tụ =| + 42) Ly -|— 43) 1 | =.#
Bai 13: [DVH] Tinh cac nguyên hàm sau:
44) I,, = J eB dx 45) I,, = | [cosd x) +e`*” J4 46) I,, = fuer “dy
— _—* 2 — x e* — 1-2x 4xB
Trang 10attps://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 02 PP VI PHAN TIM NGUYEN HAM VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
CAC BIEU THUC VI PHAN QUAN TRONG
1 xdx=~d(x* Jt a(e aa )=+a(a * ) 6 dx = -d (cot x )= đ cột x a yea (cet x )
2 2 2 sin’ x
1 1 1 dx
2 xÌw= 4x s4 tn )=sala x ) 7 ny ea (vx sa ) =a(a vx } 3 sinxdx = -d(cosx) = d(cosx «&) da cesx) 8 e'dx=d(e") =d(e’ m) =d{a e)
4 cosxdx = d(sinx) =d(sinx +a) =d({a_ sinx) 9 “* —a(Inx ed Itx ta +d a (lax )
Xx
5 cos’ x a(tanx ed thnx a da (tanx +) | 10 dv=4d(ax4b )=—d(b ax ) a a
Trang 12©), ttps://www.facebook.com/groups/TaiLicuOnThiDaiHoc01 ( cosudu = d(sinw) c) Su dung các công thức vi phân + || sinx dx = -d(cosx ) 3 1 le Ta có 1; = [Seosxsinxd+ = { (cosx } d(cosx ) _ 2(cosx ZV COs x C4 3 3
Ví dụ 5: [ĐVHỊ Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 1; = [sin cos.x dx b) 7„ =| x dx ce) J; = [sin* xcos xdx cos’ x Lời giải: ; [ sinw du = -d(cosu) a) Sử dụng các công thức vi phân || cosxdx =d(sinx ) 1 1 2a) sở Ta có I, = [sin x cosxdx =[(sinx } d(sinx )< ty đụ 3(sinx ) c 3Ÿsm xạ 4 4 , sin x d(cosx) (cosx } 1 b) Taco J, = dx = +———— =———— € = (C3 ) ø lạ x ] cos’ x —4 4cos” x cos x dx = d(sin x) c) Sử dụng các công thức vi phân 4 yr! | u" du=d n+Ì 4 4 Wend sin? x
Khi đó ta được 1, = [sin xcos x dx =[sin xđ(sinx ) F, a C Ví dụ 6: [ĐVHỊ Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 1, = | tanx dv b) 7 = | jSin4x cos4xdk ©) 1= phá 1+ 3cosx Lời giải: sin x dx = -d(cos x) a) Sử dụng các công thức 4 - du a Ta có 1 ,= | tan xáx -ˆ =ƒ££e2) =In|cos | G cos x cosx b) Taco J, = [Vsin 4x cos 4x dx =7 | Vsin x cos4xd(4x ) = | V5in x a (sin4x ) 3 _1 2(sin 4x ) + van 4x = In|u| +C Œ =——— £ 4 3 d(3 +1
e) Tac 1, = [Se "sso 1+3cosx 1 +3cos x (cosx) _ = 1j Geos) = |! 3eosx| 1 +3cosx 3
Vi du 7: [DVH] Tim nguyên hàm của các hàm số sau: 2cos x dx cos x dx A) l¿=|————_ b) J, = | ———— c) J,, = | tan x.In(cosx)dx © Jo ssinx 3 ¬ ÍJanx-3 a=] (cos) Lời giải: cos xdx = d(sin x) a) Sử dụng công thức vi phân 4 du — 4 ¬] Lư
2coSxdv -{ 2d(sinx) _ 2,42 Ssinx) _ 2
Trang 13~attps:lwww.tacebook, _„ x nmaoct!
d(4si (4sin x—3)
Ta được 7„= Ï cosa | (sin) - aja sinx) aia nx 2 2V 3Œ
V4sin x —3 V4sinx — V4sinx = V4sin x l[en xdx = “Foe = J“es2 = In|cos x| , an , A LA ; COS+X cos x c) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản { 9 ` p du= = +C Ta có J, = | tan x.In(cosx qx =[In cbsx — de = = fin( cos x (cos) =[n( cos x M{ (In|cos x| ) cos x 2 2 _ In“ (cos x) 4C 1= In“ (cos x) 4C 2 2
Ví dụ 8: [ĐVHỊ Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
tan x tan” x tan2x+1 a) I,, = |———dx b) J; = dx ©) J¿=|————dx fa Joos? hs lạ: is J cos” 2x Lời giải: | aa =d(tanx ) a) Sử dụng các công thức 4 “ai ` u udu =— +C lÍ 2
tan x tan” x tan” x
Ta có l; = dx =| tanx tan xd( tanx )= € I = 1C a Joost x “| cos’ x 3 ) 2 z 2 | ao =d(tanx ) b) Sử dụng các công thức J °93 * =1 +tan? x l cos? x , tan? x
Ta có ly =(— dx =| tan’ x -{ tan? x( X (1 ‡an” x ¥(tan x) £ t{n’ x tan? x dÙan x) cos* x cos’ x cos” x
tan” tan” tan” tan” = “+ “+ 1= a+ “+€, 6 4 6 4 =—đ| tan(ax) COSỐđX đCOS 4X a ( ) dx _1 d(ax) 1 c) Str dung cac céng thire +4 › u udu=— +C lÍ 2
, tan2x+1 tan 2x dx tan 2x a9 d(2x) Taco I,, = | ———ax =
* J cos” 2x J cos” 2x ly 2x ;Í cos” 2x tin 2x
_1 {tan 2d (tan 2x) +t [4@an2x) -IAN 2x [2X Q„ 2 2 4 2 y _IAH 2X (A2Y Q, 4 2
Ví dụ 9: [ĐVHỊ Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
Trang 14©), ttps://www.facebook.com/groups/TaiLicuOnThiDaiHoc01 sin x dx = -d(cosx) b) Sử dụng các công thức ‡ , yo?! | | _= +C uu" —n +1
tan x sin xdx d(cosx ) (cosx y 1 1
Ta có l„ =[— ° ly: 4x = loya -f{ J cos’ x = 3 Œ —= 3cos° x C+ +> = # 3cos°x Œ cosxdx =d(sinx )
c) Su dung cac céng thie { ca xi 4 = sinx
1
eA 1ø u
Ta có J„„ 2 cot x dx -J—— COS x ¬ =| d(sinx) Ä Ch _! đ
sin x.(—sin x sin’ x sin?x sinx sin x COS] X+ on Ví dụ 10: [ĐVHỊ Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 3e x eins? dx 5 a) 5, = | —=dx ) 28 J Vx b) 1, = ) 29 cos? x c) I, =| x.e'~* dx ) 30 | 2Inx+3 d) I, = [e° sinxde e) [y= dx Lời giải: ena ) a) Sử dụng các công thức 4 2Vx | fetdu=e" +C Ta có 7 = 28 Vx ae 32fe% dx =6[e'"4[jx ) &e" € —+, =be* 4 “~~ 2jx 28 —- a =d(tanx ed tan x 34 ) b) Sử dụng các công thức 4 Cos” x | fetau =e" +C , dc” dx an x+ dx an x + an xX an x Ta có ly =| costs =[e' ; Toss fe’ *d(tanx 2) e™** G@ —+, 2? € c) Sử dụng các công thức | fetau =e" +C Ta có Ig = [xe de =[e "xả = sle “(I x2 ) =e Ch =e caren sin xdx = -d(cosx) d) Str dung cac céng thite ¢ || Je"au =e" +C Taco I, =fe S* sin xdx = 4 e** d(cosx) =O" Œ —& =O” E | _ a(inx }a It x tk ) e) Sử dụng các công thức 4 X | fetau =e" +C Taco I =]— Bê dx =[emee =[e"'°a(mx ) =[e"*®4(2nx +) Loans 7 4G mĩ xa 7 2 2 In x+3
Vậy I,, = dx ene tC
LUYEN TAP TONG HOP
Trang 18©), ttps://www.facebook.com/groups/TaiLicuOnThiDaiHoc01 03 PP DOI BIEN SO TIM NGUYEN HAM — P1 VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DANG 1 DOI BIEN SO HAM VO TI DON GIAN Phương phúp giải: Nếu hàm f(x) c6 chira 4Íg(x) thì đặt += 4/g(x) ©!"= g(x) —> nt"° g(x)dv Khi d6, 1= | f(x)dx =[ (oat , viée tinh nguyén ham [h(¢)d¢ don gién hon so v6i viée tính [ f(x)dx ¢ MOT SO Vi DU MAU: Ví dụ 1: [ĐVHỊ Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: xdx 3 fo x dx a) J, = |——— )đ=[— b) 7= |xÌ\x? +2 dx )I,=[xS ©)/¿=|-—== )h=[ Lời giải: 2 2tdt = 4dx i £ —1 tá a) Dat r= J4x 41 ev? =4x H dP] we [4 2 _[(- Di 5 = đ In J t Ít ) 3 (4x +1) “5 +) jer Jax 3 Œ b) Dat t=Vx? +2 OP =x? +2 —>x?= -2 ©2xdx= 2fdt —> xdx x”.xdc 7 2).tdt Khi đó 7,=[và? +2x 4x fr(P 2 yar fe rf 2° at) cạp ) = ms Oe Mt?) +2) ae?) 2) dx = -2td (1-7 c) Dat t= l-x <©⁄ =l -x <x =l +” a nh” 5 [= x dx _ _ ga l”
= 2[|(I +? ) at =2{ rf 22 1#) {= ae ‘Jac oe sis He Œ
Khi đó 7,=[và? +2x 4x =[đ( 2 Yar fe rf 2# ai “oot We?) >) N2) 2) )z? E
Ví dụ 2: [ÐVHỊ Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
Trang 20te tcebockcomigrenpnTaitAxOnT Mato 4
-ll dt i“) Mine af tale th) @ Tạm in| = cotta Ay 4 f£—] t +1 4 x4 +1 +]
Trang 24©) ttps://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tim nguyén ham cla cac ham 56 sau: xe 3 1 xd I=| = b) 7,= x? +2 de i= › I- | ) => + 95-ÍT= 2t = 4ẩx ck t*=1 tat - 2 3 4-2 lf Dat t=.f4x+1 =4x+1—> 2_1 —>, =| —— = =-|(?-ld a) Dat r x+1© + ben 1 [ " [ P sÌ } _l a +c=k NG) + 8| 3 8 3 : b) Đặt =2 +2 œ1 =x?+2—— >x) =È—2€>2xảv= 2È — x32 ác= x3 xảv= († —2)1# khi đó _—_ - oo BB (x7+2) 2J(?+2]
Ih=(fe 5 [vic + + +2 2a&k = [t(?-2\ra [rí )t = f(r -2 \a = -2 += lí aa s a s —-_*`_— "+C 5 +
dx =—2talt 2 1-FY tat
c) Dat f=l-x Sr =1-x@x=1-P— >,» | 12 = a _ f(t) +
x? =(1-1°) v—x t
=-2/(1-?) @ w-aft-2e atjanaf £2.09 WF? —= + lec
Khi do = [iP =2 x2&= [z(£~2)z#=[ (#~22)a=Š-2= ce = ? iE) s6
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
lnxdx In? x de Inx.3 + 2ln x ade
a) J, = |— == b) J, =| ——=—— c) 7 — (eee eee
dts = ) = Is J x
Trang 25
ittps://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Inx=f? -1 (4.2 : Inx (t -1)2tđ Dat r=l+Inx of =1+Inx—> = a) Da +lnx +Inx x2 — ':~Í x [ ; =2|(£—1)# = l5) C= = NI: - 240: =8 2x+lnx+C Inx=2-P 7 - 3 3 dđ ,-(2-fY 3rd
b) Dat f= 92 -Inx Pr =2-Inx—> - _ _ en —
Trang 29©) ttps://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 d(x`—x+4| a) 1s=|—s— = In|x? - x+4|+C x XxX b) J, 7 1Ÿ), 1p 4) tues : ain St) 4x⁄¿+x+l 16 3 (8) * 415 v15 2x+— | +| — 4 4 2x—l 3 ` 2x+1 ly= =, > Ty ye io 5 }e x†+—| †|— 2 2 Tinh các nguyên ham sau: 2x41 x+xel dh f =| Saat 9b ea 2-1) 1 12 a) = (ets ae fF = 5In je? -1|-In bx|+C 2x+1 ax > Tere lagen leas Tee = địa |x+1| +- In Ix—3|—-—m |x+3|+Œ€ § 24 12 Tach: 2x+1 _A B Œ (rIjG-3)13)7x11 z3 i3 A1 Ð —9)+7QN>+2)+C(-+1X»—3) -1 x=-l> A=— 8 x=3=>B=z x=-3>C= x 4x41 1 3 7 1 7
°95=Ít 2a) = aga ag peta iba
Tinh cac nguyén ham sau: ;
5x+2 x+l a x
Ð se Íqoa-v^ 5x42 >a 2 94 eye
®1+=-Í—Gaia2 2 (+4 x41 -5)4= 2In|x+2|— In|(x— 2)(x+1)|+€ "` x+l _(Ð1 3 1 Ialx|, 3ln|x-2|_ Infx+2| a5
b= |e e+ §Gä-2) 8x22) | 4° 8 §
x _ 1 4 Infx—l]_ In|x+l]| Alpe +2]
91=[ zx-)&+s)&+2)^ “(at I) 2(x+1 sta 6 2 3
Trang 30attps://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 04 NGUYEN HAM CUA HAM HUUTI - P3 VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẠP chỉ có tại website MOON.VN sat Xét nguyên hàm của hàm phan thức hữu ti J = ory Gy Nguyên tắc giải: E , Ộ , ¬¬ Khi bác của tử so P(x) lon hon Q(x) thì ta phải chia đa thức đề quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mâu số
III MAU SO LA ĐA THỨC BẬC BA
Khi đó Ó() = axÌ + bà” + ex + đ Ta có bốn khả năng xảy ra với Ó(y)
THỊ: O(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt xị; x2; x3
TH2: Q(x) = 0 có 2 nghiệm: một nghiệm đơn, một nghiệm kép
Khi đó ta có O(x)=ax* +bx? tex WH a(x x Ja xy” )/
P(x) _ P(x) _ A, Bx+C
Ox) a(x—x )Á—; ` )XCM (xa )
Đồng nhất hệ số hai về ta được 4, 8, C Bài toán trở về các dạng cơ bản đã xét đến
>aCh ý: Ngoài việc sử dụng đồng nhát, ta cũng có thê phân tích tử số theo đạo hàm của máu đê giải Đề đồng nhất được, ta phải phân tích theo quy tắc: Ví dụ 1: ee Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: x-Ï 2x? +x +4 l= b) /;=|——————đ' †1,=| ——đ
5) lat (x+2 ) rã laa 2y -3 ) ° lax ƒt
Hướng dân giải: Xét [, = | ——— a) Xe I= (2) " Cách 1: (Đồng nhất hai về) a=1 [9=4 +B 4 Ta có — ` x°(x+2) x42 „hc x >E Ax +(Bx+C )(+2_ 340 =2B +C —s) p= —+ | 4 [1=2C 1 C=— | 2 1 1T
Khi đó, 7 =| me x(x+2) -|| +2 +4 x =Í Oo Lee AS la? 1c 44x42 44x 21x 4 |x | 2
Trang 31©), ttps://www.facebook.com/groups/TaiLicuOnThiDaiHoc01 a=—L 0=24 +C 25 Ta có ai? =~ At +8 (25) t 2£—5 c t 2=(4t+B)H 5 HP Gl 2B SA —38=2 | 5 |-2 = SB 2 C-— [25 ae 2% Từ đó ta được 1, = [=> a =| = 5 _25_ dt _ dt 2 a 4 pa0r 5) /2(2£—5 ) t 2t—-5 254 t Ser 254 2-5 = — | 2 + in|2r $ EG tin z3 2 +- an 3 2 25 St 25 25 | ¢ | Se 25 |x+l| 5(x +1) " Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được) 5 22 1 2 1(2-5}2 4 (6”—10 3 5) S(r š) ?(22—5 ) 12-5) (2-5) 5” 12-5) 25) ?(2—5 ) IỊI 2 |] 4 [62-10 3 S| "SỈ 2¡—Ì| TS #2) ad đá GÌ) 4 [6-10 12 ra aya 1 pt ` doe) 2 pa L= — a TC“ Bm| TC TỊ sy | À ¿2 4“ 05s? lsÌ os) 25d apse” 2s: SIP 357 sĨ is: 25V zx-ấp sử? 7 1 4 3 <2) 2 1 1 2 1, |2-5| 2
=—In|¢| +—In|2¢ 5| ——I|2# sini +5 In 24 | 35 niet #%?| = G | 3 =—I 75 nl 2g In|22 šE — C+— be "35 | % i Thay lai t=x + 1 ta duoc ⁄=-TTn zx-3 2 25 |x+l| 5(x+l) 2x +x +4 1, = |= ———4 9% Je y = Cách 1: (Đồng nhất hai về) aye mo | 2=24 +C [4 =9 Tach at hee x°(2x-1) x 2x-1 € 2x x4 4=(Ax +B Ae 4 Fx? Sl =A WW —$B =4 | |4= -# [C =0 2x7 +x 44 Sx 4 20 dx dx 20 4
—_ & lSox-rƒ" (A = y= -9f |= J2 4% =9In|| = 1@1n|2x l|—C-
" Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lẫu ta được) -2x)+x434 2 1 4 2 (2x-1 2x, (6x7 = 2x) -6x? 42x +) Taco 5 = ts = 4 5 x°(2x-1) 2x-1 x(2x-1) x°(2x-1) 2x41 x(2x 4+) x°(2x-1 ) 2 1 2 (6-2) 24 4 1 (6x°-2x) 28 4 = 2x-l x 2x-l — + 4 2xx 2x1 x a x + — — 4> —— x(2x-1) 2x-l we [ — -ld = An|x| -4In|2x° x? Min|2x Ip 2 c+ nlx] 1olaj2x 1] 2 € + Xx XxX
TH3: O(x) = 0 có 1 nghiệm đơn
Trang 32~attps:/iwww-facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaitloc01
1
- Nguyén ham i aa =f arctan +C
- Ngoài việc sử dụng đồng nhất, ta cũng có thể phân tích tử số theo đạo hàm của mẫu để giải Ví dụ 2: a Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2x+3 x? —x 41 I= b)/=|_—“——— !=|—=———d
®) nếm] oer yh late 4) 95 eof
Hướng dân giải: dx a) n= |e) =| ——— " Cách 1: (Đồng nhất hai về) [0=4 +B [4 4 PA BEPC A(s'+1}(8x +C } el0=C —>|=—1 x1) x xa l= 4 a =0 ay — dx _ dx
Khi đó, nh = je + f= ae lal pals Ì sn Sn(x° 1 HC
" Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phan tich nhay tang lau ta duoc) 1 = (x? +1) vù — x ` dx xdx dx =In|x| —1 1 2 +) 6 x(x° +1 ) x(2° +1 ) x x +1 ' I lạ TT nls 5 in(x 2x+3 b)=|_—“———d fa lục | +4 \ " Cách 1: (Đông nhất hai về) A=? [= 4 +B 5 axt3 — CÓ TC — y2 3=A(x”+4 À(x 4C)(+ b2 =Ð @G — b8 -= (x-1 fx? +4) x1 +4 3-44 -C 3 C=— A 5 2x+3 3¢ dx 1f3x 47 3m xdx Khi dé ta co J, = (——2 "2 ks a2 ff = 3
ea att yo sài Shove 3 t I2 +4 5
= in|x -]| n(x’ #) £5aretan(> Œ Aan |x " _ C 5 10 5'2 2 5 10 10 2 " Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tang lau ta duoc) , 2x+3 2(x-1) +3 2+3 2 3 Ta có = = =5 + ›£ x« TL (x-1 fx? +4) (x-1 ) (-1° 2x é 5) (+2145) P4245 l( 2t 6) 3 1(32+4) 3( 49 5) &% 1 324g 3 21 Mà =— ===, + a5 (+245) 5 (? 2 6) 5+2 +5 St 5 tS Suy ra 2 3 1 30°4+4¢ 3 2 1 2 1 30°+4¢ 3 8 1 2 + =——.) 2 +— TG } =r att /?+2t +5 (i? +21 +5 ) 5S 1922 6 St SH at 5% 2 5+ SP 24 5 45¢ SP 2 45 2x+3 2t +3 lr 30 +4
Thay vào ta được /„=|———————äx =|————q =
.mammm2 li 4)" le 421 5 | sang t2" dĩ siuia ~ -sh° Re § th $2 eun° | Œ si 5 2 2 2/*+ 5 In} sal 52 2 C
TH4: O(x) = 0 có 1 nghiêm bội ba: Trường hợp này dễ, thậy bỏ qua!
Trang 33©), ttps://www.facebook.com/groups/TaiLicuOnThiDaiHoc01
Trang 35©) ttps://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 2 8y x+Ụ 18) hy = [2s ce "tÙ re aes [le See 2 ee Fg Eo ele © Gl) “[ xt) (x41) (x41) (I+x} Dap sa: | — = q *% + In|x—i|+e (I 2(x-1) Cau 1 19) he =| x+5 5 20) 7 „=| 3x4 x(x? +x4+1) ¬= 5 5(2x+l ờ a a đx= | -~xE đế » ) | ax atx txth Z Bi +x+1) x 2{x*+x+1) arctan| 2) 5 “ = I) gg (exe xe ae 3 L ị 3x+4 =] i x+1) Ip = |S — a Ñ (x7 +x+1) “Sen x+x+l ave) — (2x+1)\ | Ị ee ‘ =—=——>——— da v3 2+ lnlx-1|—=ln(x2+x+1)+ 3 eos 1 Cau 1 21) In= iat 22) In =| x +1 % Si is] (xˆ +3)x Đáp số: if +28 aN Par In(x'- —x+1]—2In x+1)+2 3 arctan | 3h ( ( cE ye x +1 lrí 2x ,1\).1 a n= = ofl =-ln +€ *(x +3)x Sh oe Ss x! 3 x Cau 1 `” 23) Tyg = | (2x +3)Œœx-—]) 2 atx Wie `“ Gx +1K1-2x) a Dap sa: 1A 3 3 3 6 Ete ah
2„=—-—Ìn [2x7 +3]+—In pna]-SE acta) —xite KT 10 30 3")
Eos =| 13in (3x7 +1) +12log [2x—1|- 134/3 aretan (x/3xÌ |+c
Trang 36©), ttps://www.facebook.com/groups/TaiLicuOnThiDaiHoc01 05 PP TUNG PHAN TIM NGUYEN HAM VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẠP chỉ có tại website MOON.VN CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP:
Độ ưu tiên khi lựa chọn đặt u:
Ham logarith, Inx —> hàm đa thức —> hàm lượng giác = hàm mũ
® Nếu 7 có chứa In"[ g(x)] thì đặt ø = In"[g(x)] ——> (In"[ g(x)])'
9 Nếu Tcó chứa hàm đa thức (không chứa hàm loga) thì dat wu = P(x)
© Nêu 7 có chứa cả hàm lượng giác và hàm mũ thì ta có thê đặt tùy ý, tuy nhiên qua trình tính sẽ gôm các vòng lặp Đê việc tính toán đúng thì trong mỗi vòng lặp, các thao tác đặt u phải cùng dạng hàm với nhau
xaChủ ý: :
Với các bài toan tim nguyén ham tung phan, chung ta có thê sử dụng cách giải truyện thông (đặt u, tìm v) hoặc cách giải nhanh(chuyển nguyên hàm cân tính về dang | udv ) mà không cần đặt u, v Tuy nhiên cách giải nhanh chỉ có thể dùng được khi học sinh phải rất thành thao vi phan
Ví dụ 1: [ĐVHỊ Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) J, = [ xsin xdx b) I, = [xe dx c) 1 =[x cos x dx d) 1,= [xInxdx Huong dan giải: a) J, = [ xsinxdx , v [=x [ du =dx ® Cách 1: Đặt + „ c—> sin xdx = dv v = 08x
—> h [xsinxzr — XCOSX+ [cosxd = -xcosx +sinx €
© Cach 2: J, = | xsinxdx ¬ { xd(cos x) = [xeosx feosxde | xcesx sIHx C b) J,= [xe dx =x du = dx or u s Cách 1: Đặt i <> | 1 || e?*dx = dv vase" [ —> E [rede ` se há= des -g[e*4@» =e <e € 3 s Cách 2: J, = [xe dx = Jxa(e )=[ xe" fear se" sỈ<°465) if se” te") C: v2 [ll — c) I, =[x cos x dx =x du = 2xdx
+ Cách 1: Bat}? ll cos x dx = dv | âu = v=sinx
Khi do J, = fx cosxdx =x" sinx -{ 2xsin xdx + sinx 2J
(u=x [ du =dx
- <-> — =F xcosr [cosxdx - xcosmM sinx sin x dx = dv v = 0S x
2: *
— & x sinx 2£ XCOSx+ sinx) +C
e Cách 2: 7; = | x cosxdx -| x d(sinx) =x? sinx {sin xd(x’) x’ sinx fexsinxdx
Xét J= J xsinxdx Dat
Trang 37©), ttps://www.facebook.com/groups/TaiLicuOnThiDaiHoc01 a =x’ sinx +2[ xd(cosx) =’ sinx 2xcosx 2{ cosxdx x sinx 2*cosx 2sinx C- d) [, = fxinxds dx [=lnx du= x? x? dx x? x? e Cách 1: Đặt >i —> 3, [xnx& “ins [{ S *inx 74 € xdx =dv x? 2 2 x 2 4 v=— ws 2 x x x x x dx x x
© Cach 2: 1,= [xInxáx =[Inxd| — | *-inx {=-d(inx 2 2 2 ) nx 2 2x FOS mx ~ c- 2 4
Ví dụ 2: [ĐVHỊ Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I, =[x Inxdx b) 7, = fxin?(x +1 Yx
ce) 1, = fin(x +V1 ax? de d) /, = fe" sin x dx
Hướng dân giải: a) I, =[x In x dx d [¿=Inx |=: 3 x dx x x © Cach 1: Dat J, ;—> a; [x Inxdx ~Inxn [—> 2 ~tnx 4 || x° dx = dv y= x 3 x 3 9 [3 , 2 x x x x xdx x x s Cách 2: I,=|x In x dx =[Inxd — | =—Inx {=—d(Inx ) =Inx — =! — 3 3 3 3 x4» b) J, =|xm°(x +1 Wx Taco [=| xln?(x + ir =[In? x( 3 =] * Im(x +) ƒŠ4(m(x 13) 2 2 2 2In(x+1) z7 x x _* 2 x A 2 4.2 => In (x +1 HS —————dx = In'( (x 1) Ea 7 In(x Ixx a (x 1 }J x+l1 oh lint 13 , (x* —1) +1) Xét et J= in n( x + Yx 4 ——— In( x 1 + yx f(s = x x +1
=[(x-Lhh 43143 {m x @- 5, fants IS “| fin(x 1 90 aT)
Trang 38_———-—
Taco I, = fin(x +V1 4x7 la ~Inx
= xIn(x +1 l + ˆ] J—= hôi xin[x vi xŸ XI+x7 Vay I, = xIn( x t+v1 +c ) vl + 44G a Me a eH d) J, = Jes sin x dx Xx XI+x7 Te om +x? 1) bã ` ) sls v1+ x'} X41 -x* + 1+ WS
Ta có 1, = [e* sinxdx =[sinxd(e*) =e* sin x fe‘d(sinx ) @ sinx fe® cosxdx e=sin x Jeosxa(e*)
=e” sinx -[cosxd(e*) -e* sin x fe" cos.x fe‘a( cos | & sinx | e* cos x fe" sinxax | e” sinx—e* cosx
_ ox a: x xa: x _S
=e" sinx fe COs x 3, | e sinx ecoszx —Ñ =——————— € 2
Nhận xét: Trong nguyên hàm ly chúng ta thấy rất rõ là việc tính nguyên hàm gồm hai vòng lặp, trong mỗi vòng ta đều nhất quán đặt u là hàm lượng giác (sinx hoặc cosx) và việc tỉnh tốn khơng thể tính trực tiếp được