Các chuyên đề ôn thi THPT quốc gia môn toán 2015 (HAY)

TÀI LIỆU ƠN TẬP MƠN TỐN KÌ THI QUỐC GIA THPT NĂM 2015 Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN (Thời lượng: 25%) Một số kiến thức bổ trợ (2%) a) Tính đạo hàm Giả sử u = u(x), v = v(x) hàm số có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có: ( u + v ) '= u '+ v ' ( u − v ) ' = u '− v ' ( u.v ) ' = u ' v ' ( 1) ( 2) ( 3)  u  u '.v − u.v ' ( v = v( x ) ≠ )  ÷' = v2 v ( 4) Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = x3 + 3x − 4 c) y = x − x − e) y = −x + x +1 b) y = − x + 3x − x + x4 d ) y = − − x2 + 2 x−2 g) y = 2x + Giải a) y ' = 3x + x b) y ' = −3x + x − c) y ' = x − x −3 e) y ' = ( x + 1) d ) y ' = −2 x − x g) y ' = ( x + 1) b Xét dấu y' 1) Hàm số y = ax3 + bx + cx + d ( a ≠ ) - Khi y' có dạng: y' = f(x) = Ax2 + Bx + C ( A ≠ ) , ∆ = B − AC + Nếu ∆ < f(x) ln dấu với hệ số A, ∀x ∈ ¡ + Nếu ∆ = f(x) ln dấu với hệ số A, x ≠ −B 2A + Nếu ∆ > thì:  x < x1  f(x) dấu với hệ số a   x > x2  f(x) trái dấu với hệ số a x1 < x < x2 Trong x1 , x2 ( x1 < x2 ) hai nghiệm y' Ví dụ: Xét dấu biểu thức sau: a) f ( x ) = 3x + x b) f ( x ) = −3x + x − Giải  x = −2 a) Ta có: f ( x ) = 3x + 6x = ⇔ 3x ( x + ) = ⇔  x = Bảng xét dấu: −∞ x -2 f(x) + 0 + b) Ta có: ∆ = −12 < nên f ( x ) = −3x + x − < 0, ∀x ∈ ¡ +∞ 2) Hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ ) - Khi y' có dạng: y ' = f ( x ) = Ax3 + Bx ( A ≠ ) ( *) Trong khoảng dấu (*) trái dấu với dấu hệ số A, sau dùng tính đan dấu để xét Ví dụ: Xét dấu biểu thức sau: a) f ( x ) = 4x − x b) f ( x ) = −2 x − x Giải: x =1  a) Ta có: f ( x ) = x - x = ⇔ x x − = ⇔  x = -1 x =  ( ) Bảng xét dấu: x f(x) −∞ - -1 + 0 - +∞ + ( ) + 0 b) Ta có: f ( x ) = −2 x − x = ⇔ −2x x + = ⇔ x = Bảng xét dấu: Hàm số y = ax + b cx + d x f(x) −∞ +∞ - ( c ≠ 0, ad − bc ≠ ) ad − bc - Khí đó: y ' = ( cx + d ) + Nếu ad − bc > y ' > + Nếu ad − bc < y ' < Ví dụ: Xét dấu y' hàm số sau: a) y = −x + x +1 b) y = x−2 2x + Giải a) Ta có: y ' = −3 nên y ' < 0, ∀x ≠ −1 ( x + 1) b) Ta có : y ' = ( x + 1) nên y ' > 0, ∀x ≠ − c) BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = + 3x − x b) y = x + 4x + 4x c) y = x + x + 9x d ) y = −2 x + e) y = − x + 8x − 1 h) y = x + x − 2 x+3 j) y = x −1 −x + l) y = 2x + g ) y = x − 2x + i ) y = −2 x − x + k) y = − 2x 2x − Bài 2: Xét dấu biểu thức sau a) f ( x ) = − 3x b) f ( x ) = 3x + 8x + c) f ( x ) = 3x + 2x + d ) f ( x ) = −6 x e) f ( x ) = −4 x + 16x g ) f ( x ) = x − 4x h) f ( x ) = x + 2x i ) f ( x ) = −4 x − 4x Bài 3: Xét dấu y' hàm số sau: x+3 x −1 − 2x b) y = 2x − −x + c) y = 2x + a) y = Tiến hành giải nội dung chuyên đề Chủ đề 1: Khảo sát hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d toán liên quan (7%) A) Kiến thức cần nhớ: • Sơ đồ khảo sát hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d • Dạng đồ thị hàm số bậc a>0 a x0, y0 thay vào (*) (Hai đường thẳng vng góc k’.k = -1, hai đường thẳng song song hệ số góc nhau) B Ví dụ ơn tập lý thuyết Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 − x + x (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b) Dựa vào đồ thị (C) hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm phương trình x − x + x = m c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A(2;2) d) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x + Giải a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) * TXĐ: D = R * Sự biến thiên • Chiều biến thiên y ' = 3x − 12 x + x =1 y ' = ⇔ 3x − 12 x + = ⇔  x = Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) ( 3; + ∞ ) Hàm số nghịch biến khoảng (1; 3) • Cực trị : Hàm số đạt cực đại x = 1, yCĐ= y(1)= Hàm số đạt cực tiểu x = 3, yCT= y(3)= • Giới hạn lim y = lim ( x3 − x + x ) = −∞ x →−∞ x →−∞ x →+∞ x →+∞ lim y = lim ( x3 − x + x ) = +∞ • BBT * Đồ thị : Đồ thị cắt trục tung điểm (0;0) cắt trục hoành điểm (0;0), (3;0) Đồ thị nhận điểm I= (2; 2) làm tâm đói xứng b) Dựa vào đồ thị (C) hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm phương trình x − x + x = m (*) Ta có số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị hàm số (1) với đường thẳng y = m Dựa vào đồ thị hàm số (1) ta có: m > Nếu  phương trình (*) có nghiệm m < m = Nếu  phương trình (*) có hai nghiệm m = Nếu 0< m< phương trình (*) có nghiệm phân biệt c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A(2; 2) Ta có: y' = 3x2 - 12x + 9, y'(2) =3 Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A(2;2) là: y = -3( x- 2) + hay y = -3 x + d) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x + nên k = y’(x0) = 24  x0 =  x0 = −1 2 3x0 − 12 x0 + = 24 ⇔ x − 12 x − 15 = ⇔  Với x0 = => y0 = 20 => PT tiếp tuyến là: y = 24(x – 5) + 20 y = 24x 100 Với x0 =-1 => y0 = - 16 => PT tiếp tuyến là: y = 24(x +1) -16 y = 24x + Ví dụ 2: Cho hàm số y = -x3+3x-2 (2) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (2) b) Viết phương trình tiếp tuyến điểm cực đại hàm số c) Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình x3-3x+2+m=0 d) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết hệ số góc k =-9 Giải a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (2) * Tập xác định: D = R * Sự biến thiên - Chiều biến thiên : y' = -3x2+3 = -3(x2-1)  x = −1 y′ = ⇔  x = Hàm số dồng biến khoảng (-1; 1) Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; − 1) ( 1; + ∞ ) - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x=1 => yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu x=-1 => yCT = -4 3 - Giới hạn : xlim (− x + x − 2) = +∞ ; xlim ( − x + 3x − 2) = −∞ →+∞ →−∞ - Bảng biến thiên x −∞ y/ -1 + +∞ - +∞ + y -∞ -4 * Đồ thị Đồ thị cắt truc tung C(0;-2) Đồ thị cắt trục hoành A(1;0) B(-2;0 Đồ thị nhận điểm I= (0; -2) làm tâm đối xứng b) Viết phương trình tiếp tuyến điểm cực đại Điểm cực đại (1;0) Ta có: y’(1) = Vậy phương trình tiếp tuyến y = c) Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm PT: x3- 3x + + m = ⇔ -x3+3x-2 = m (*) Số nghiệm PT (*) số giao điểm đồ thị (C) đường thẳng y = m Nếu: -4< m  x0 = −2  x0 = d) Ta c ó y’(x0) = - 9 −3x0 + = −9 ⇔  Với x0 = => y0 = - => PT tiếp tuyến là: y = -9(x-2) – y = -9x + 14 Với x0 = - => y0 = => PT tiếp tuyến là: y = -9(x +2) y = -9x - 18 Ví dụ : Tìm m để hàm số y = x + ( m − 1) x + ( m − ) x + đồng biến với x ∈ R Giải / 2 Xét HS : y = x + ( m − 1) x + ( m − ) x + Ta có y = 3x + ( m − 1) x + m − Hàm số đồng biến x ∈ R : y / ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ f ( x ) = 3x + ( m − 1) x + m − ≥ 0, ∀x ∈ R (1) Do > nên (1) xảy ∆ / ≤ hay : ( m − 1) − ( m − ) ≤  −1 − 27 m ≤ ⇔ m − 2m + − 3m2 + 12m ≤ ⇔ −2m − 2m + 13 ≤ ⇔ 2m + 2m − 13 ≥ ⇔   −1 + 27 m ≥  Ví dụ : Tìm m để hàm số sau có cực đại cực tiểu : y = x + mx + ( m + ) x − ( 2m + 1) Giải : / Ta có y = x + 2mx + ( m + ) / Hàm số có cực đại cực tiểu PT : y = ⇔ x + 2mx + ( m + ) = có hai nghiệm phân biệt  m < −2 m > / Điều xảy ∆ > ⇔ m − m − > ⇔  C Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 (1) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) b) Dựa vào đồ thị (C) hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm phương trình: x3 - 3x2 + m =0 c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ Bài tập : Tìm m để hàm số y = x∈R m −1 x + mx + ( 3m − ) x nghịch biến với Giải : / Ta có y = ( m − 1) x + 2mx + 3m − Hàm số nghịch biến x ∈ R : y / ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ f ( x ) = ( m − 1) x + 2mx + 3m − ≤ 0, ∀x ∈ R (1) , không ∀x ∈ R m − < m − <  ⇔ +) Nếu m ≠ , (1) dúng :  /  m − ( m − 1) ( 3m − ) ≤ ∆ ≤  +) Nếu m =1, (1) trở thành x + ≤ ⇔ x ≤ − m <  m < 1  ⇔ ⇔ m ≤ ⇔ m ≤  2  − m + 5m − ≤  m ≥  Vậy m ≤ giá trị cần tìm Bài tập : Tìm m để hàm số y = ( m + ) x + 3x + mx − có cực đại cực tiểu Tương tự VD1 ĐS : m ∈ ( −3; −2 ) ∪ ( −2;1) D Bài tập nhà Bài tập : Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 -1 (2) a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (2) b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm PT : x3 + 3x − m = c) Viết PTTT đồ thị (C) biết TT vng góc với đường thẳng : y = x+3 12 Bài tập 2: Cho hàm số y = − x + 3x ( 1) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) b) Dựa vào đồ thị (C) hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm x − 3x + m = phương trình c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ d) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết hệ số góc k = Bài tập 3: Cho hàm số y = x + 3x − ( ) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (2) b) Dựa vào đồ thị (C) hàm số (2) biện luận theo m số nghiệm x3 + 3x − + m = phương trình c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x = d) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = - x + 3 Bài tập : Tìm m để hàm số y = x3 + ( m + 3) x + ( m + 3) x + m − m đạt cực trị 10 C, N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B C, biết N(5;-4) (ĐH A-2013) Bài 11 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vng góc với AD = 3BC Đường thẳng BD có PT x + 2y – = tam giác ABD có trực tâm H(- 3;2) Tìm tọa độ đỉnh C D (ĐH B-2013) Bài 12 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh  17 1 A H  ; − ÷, chân đường phân giác góc A D(5;3) trung điểm  5 cạnh AB M(0;1) Tìm tọa độ đỉnh C (ĐH B-2013)  3 Bài 13 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có điểm M  − ; ÷ trung  2 điểm cạnh AB, điểm H(-2;4) điểm I(-1;1) chân đường cao kẻ từ B tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ điểm C (ĐH D-2013) c) Bài tập nhà Bài 14 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y – = Viết phương trình đường thẳng AB (ĐHA – 2009) Bài 15 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A có phương trình 7x – 2y – = 6x – y – = Viết phương trình đường thẳng AC (ĐHD – 2009) Bài 16 Cho điểm M(4;1) Đường thẳng (d) qua M cắt Ox, Oy theo thứ tự A(a;0), B(0;b) với a, b > Lập phương trình đường thẳng (d) cho: a) Diện tích tam giác OAB nhỏ b) OA + OB nhỏ c) 1 + nhỏ OA OB Bài 17 Cho đường thẳng (d1) : 2x – y – = (d2) : 2x + 4y – = Viết phương trình đường phân giác góc tạo (d1) (d2) Viết phương trình đường thẳng qua điểm P(3; 1) với (d 1), (d2) tạo thành tam giác cân có đỉnh giao (d1), (d2) Bài 18 Cho hình vng ABCD có cạnh có phương trình 4x – 3y + = ; 4x – 3y – 17 = đỉnh A(2; -3) Lập phương trình cạnh cịn lại hình vng Bài 19 Cho hình vng ABCD có đỉnh A(5; -1) cạnh nằm đường thẳng d: 4x – 3y – = Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh cịn lại hình vng Bài 20 Cho tam giác ABC có M(-2 ; 2) trung điểm cạnh BC, cạnh AB có phương trình x – 2y – = 0, cạnh AC có phương trình 2x + 5y + = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC 121 Bài 21 Cho tam giác ABC có diện tích 3/2, hai đỉnh A(3; -2), B(2; -3) Trọng tâm tam giác nằm đường thẳng 3x – y – = Tìm tọa độ đỉnh C Bài 22 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d 1: x – y = d2: 2x + y – = Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết A thuộc d1, C thuộc d2 đỉnh B, D thuộc trục hoành (ĐHA – 2005) Bài 23 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d1: x + y + = 0, d2: x – y – = 0, d3: x – 2y = Tìm tọa độ điểm M thuộc d3 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 (ĐHA - 2006) Bài 24 Cho điểm A(2;4), B(3;1), C(1;4) đường thẳng d: x – y – = a) Tìm điểm M ∈ d cho MA + MB nhỏ b) Tìm điểm N ∈ d cho NA + NC nhỏ Bài 25 Cho tam giác ABC có M(0;4) trung điểm cạnh BC cịn cạnh có PT 2x + y – 11 = x + 4y – = a) Xác định đỉnh A b) Gọi C đỉnh nằm đường thẳng x + 4y – = N trung điểm AC Tìm điểm N tính tọa độ B, C Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN (3%) Một số kiến thức bổ trợ (01 tiết) Phương trình đường trịn Phương trình đường trịn có tâm I(a; b) bán kính R: ( x − a)2 + ( y − b)2 = R2 Nhận xét: Phương trình x + y + 2ax + 2by + c = , với a2 + b2 − c > , phương trình đường trịn tâm I(–a; –b), bán kính R = a2 + b2 − c Phương trình tiếp tuyến đường trịn Cho đường trịn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng ∆ ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d (I , ∆) = R VẤN ĐỀ 1: Xác định tâm bán kính đường trịn • Nếu phương trình đường trịn (C) có dạng: ( x − a)2 + ( y − b)2 = R (C) có tâm I(a; b) bán kính R • Nếu phương trình đường trịn (C) có dạng: x + y + 2ax + 2by + c = – Biến đổi đưa dạng ( x − a)2 + ( y − b)2 = R – Tâm I(–a; –b), bán kính R = a2 + b2 − c Chú ý: Phương trình x + y + 2ax + 2by + c = phương trình đường trịn thoả mãn điều kiện: a2 + b2 − c > VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình đường trịn 122 Để lập phương trình đường trịn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) bán kính R (C) Khi phương trình đường trịn (C) là: ( x − a)2 + ( y − b)2 = R Dạng 1: (C) có tâm I qua điểm A – Bán kính R = IA Dạng 2: (C) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng ∆ – Bán kính R = d (I , ∆) Dạng 3: (C) có đường kính AB – Tâm I trung điểm AB – Bán kính R = AB Dạng 4: (C) qua hai điểm A, B có tâm I nằm đường thẳng ∆ – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Xác định tâm I giao điểm d ∆ – Bán kính R = IA Dạng 5: (C) qua hai điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng ∆ – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB I ∈ d – Tâm I (C) thoả mãn: d (I , ∆) = IA  – Bán kính R = IA Dạng 6: (C) qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ∆ điểm B – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Viết phương trình đường thẳng ∆′ qua B vng góc với ∆ – Xác định tâm I giao điểm d ∆′ – Bán kính R = IA Dạng 7: (C) qua điểm A tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 ∆2 d (I , ∆ ) = d (I , ∆ ) (1) – Tâm I (C) thoả mãn: d (I , ∆1 ) = IA (2)  – Bán kính R = IA Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định ∆1 ∆2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến ∆1 ∆2 – Nếu ∆1 // ∆2, ta tính R = d (∆1 , ∆2 ) , (2) thay bới IA = R Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1, ∆2 có tâm nằm đường thẳng d  d (I , ∆ ) = d (I , ∆2 ) – Tâm I (C) thoả mãn:  I ∈ d  – Bán kính R = d (I , ∆1 ) Dạng 9: (C) qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác) Cách 1: – Phương trình (C) có dạng: x + y + 2ax + 2by + c = (*) 123 – Lần lượt thay toạ độ A, B, C vào (*) ta hệ phương trình (C) – Giải hệ phương trình ta tìm a, b, c ⇒ phương trình  IA = IB Cách 2: – Tâm I (C) thoả mãn:  IA = IC  – Bán kính R = IA = IB = IC Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC – Viết phương trình hai đường phân giác hai góc tam giác – Xác định tâm I giao điểm hai đường phân giác – Bán kính R = d (I , AB) VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm Tập hợp tâm đường trịn Để tìm tập hợp tâm I đường tròn (C), ta thực sau: a) Tìm giá trị m để tồn tâm I  x = f (m ) b) Tìm toạ độ tâm I Giả sử: I  y = g(m)  c) Khử m x y ta phương trình F(x; y) = d) Giới hạn: Dựa vào điều kiện m a) để giới hạn miền x y e) Kết luận: Phương trình tập hợp điểm F(x; y) = với phần giới hạn d) Tập hợp điểm đường tròn Thực tương tự VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối đường thẳng d đường tròn (C) Để biện luận số giao điểm đường thẳng d: Ax + By + C = đường tròn (C): x + y + 2ax + 2by + c = , ta thực sau: • Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R – Xác định tâm I bán kính R (C) – Tính khoảng cách từ I đến d + d (I , d ) < R ⇔ d cắt (C) hai điểm phân biệt + d (I , d ) = R ⇔ d tiếp xúc với (C) + d (I , d ) > R ⇔ d (C) khơng có điểm chung • Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) d (C) nghiệm hệ phương trình:  Ax + By + C =  (*)  x + y + 2ax + 2by + c = + Hệ (*) có nghiệm ⇔ d cắt (C) hai điểm phân biệt + Hệ (*) có nghiệm ⇔ d tiếp xúc với (C) + Hệ (*) vô nghiệm ⇔ d (C) khơng có điểm chung 124 VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối hai đường trịn (C1) (C2) Để biện luận số giao điểm hai đường tròn (C1): x + y + 2a1x + 2b1y + c1 = , (C2): x + y + 2a2 x + 2b2 y + c2 = ta thực sau: • Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I1I2 với bán kính R1, R2 R1 − R2 < I1I < R1 + R2 ⇔ (C1) cắt (C2) điểm + I1I = R1 + R2 + ⇔ (C1) tiếp xúc với (C2) I1I = R1 − R2 + ⇔ (C1) tiếp xúc với (C2) I1I > R1 + R2 + ⇔ (C1) (C2) I1I < R1 − R2 + ⇔ (C1) (C2) • Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) (C1) (C2) nghiệm hệ phương trình:  x + y + 2a x + 2b y + c =  1  x + y + 2a2 x + 2b2 y + c2 =   (*) + Hệ (*) có hai nghiệm ⇔ (C1) cắt (C2) điểm + Hệ (*) có nghiệm ⇔ (C1) tiếp xúc với (C2) + Hệ (*) vô nghiệm ⇔ (C1) (C2) khơng có điểm chung VẤN ĐỀ 6: Tiếp tuyến đường tròn (C) Cho đường trịn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng ∆ ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d (I , ∆) = R • Dạng 1: Tiếp tuyến điểm M0 ( x0 ; y0 ) ∈ (C) u ur uu M0 ( x0 ; y0 ) có VTPT IM0 – ∆ qua • Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước – Viết phương trình ∆ có phương cho trước (phương trình chứa tham số t) d ( I , ∆) = R , ta tìm t Từ suy phương – Dựa vào điều kiện: trình ∆ • Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ điểm A( x A ; y A ) ngồi đường trịn (C) – Viết phương trình ∆ qua A (chứa tham số) – Dựa vào điều kiện: d (I , ∆) = R , ta tìm tham số Từ suy phương trình ∆ Bài tập b) Bài tập lớp Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : x + y + = đường tròn (C): x2 + y2 – 4x – 2y = Gọi I tâm (C), M điểm thuộc ∆ Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB đến (C) (A B tiếp điểm) Tìm toạ độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 (ĐH A - 2011) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(1/2 ; 1) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng 125 điểm D, E, F Cho D(3;1) đường thẳng EF có phương trình y – = Tìm toạ độ đỉnh A, biết A có tung độ dương (ĐH B - 2011) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1;0) đường tròn (C): x + y2 – 2x + 4y – = Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) hai điểm M N cho tam giác AMN vuông cân A (ĐH D- 2011) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C 1): x2 + y2 = (C2): x2 + y2 – 12x + 18 = đường thẳng d: x – y – = Viết PT đường trịn có tâm thuộc (C2), tiếp xúc với d cắt (C1) hai điểm phân biệt A B cho AB vuông góc với d (ĐH B - 2012) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + = Viết PT đường trịn có tâm thuộc d, cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB = CD = (ĐH D - 2012) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : x – y = Đường trịn (C) có bán kính R = 10 cắt ∆ hai điểm A B cho AB = Tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc tia Oy Viết PT đường tròn (C) (ĐH A - 2013) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1) + (y – 1)2 = đường thẳng ∆ : y – = Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm (C), đỉnh N P thuộc ∆ , đỉnh M trung điểm cạnh MN thuộc (C) Tìm tọa độ điểm P (ĐH D- 2013) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y = vµ d : x − y = Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d A,cắt d2 hai điểm B C cho tam giác ABC vng B Viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích điểm A có hồnh độ dương (ĐH A - 2010) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2;0) Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hồnh độ dương (ĐH D - 2010) c) Bài tập nhà Bài 10 Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1/2;0), phương trình đường thẳng AB x – 2y + = AB = 2AD Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hồnh độ âm (ĐH B - 2002) · Bài 11 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có AB = AC, BAC = 900 Biết M(1;-1) trung điểm cạnh BC G(2/3;0) trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh A, B, C (ĐH B - 2003) Bài 12 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): (x - 1)2 + (y - 2)2 = đường thẳng d: x – y – = Viết phương trình đường trịn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d Tìm tọa độ giao điểm (C) (C’) (ĐH D - 2003) Bài 13 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;0), B(6;4) Viết phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với trục hồnh điểm A khoảng cách từ tâm (C) đến điểm B (ĐH B - 2005) 126 Bài 14 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + = điểm M(-3;1) Gọi T1 T2 tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình đường thẳng T1T2 (ĐH B - 2006) Bài 15 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x + y2 – 2x – 2y + = đường thẳng d: x – y + = Tìm toạ độ điểm M nằm d cho đường trịn tâm M, có bán kính gấp đơi bán kính đường trịn (C), tiếp xúc ngồi với đường tròn (C) (ĐH D - 2006) Bài 16 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(-2;-2) C(4;2) Gọi H chân đường cao kẻ từ B; M N trung điểm cạnh AB BC Viết phương trình đường trịn qua điểm H, M, N (ĐH A - 2007) Bài 17 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1) + (y + 2)2 = đường thẳng d: 3x – 4y + m = Tìm m để d có điểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B tiếp điểm) cho tam giác PAB (ĐH D - 2007) Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP (2%) Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c (c > 0) M ∈ ( E ) ⇔ MF1 + MF2 = 2a (a > c) F1, F2: tiêu điểm, F1F2 = 2c : tiêu cự Phương trình tắc elip x2 a + y2 b =1 (a > b > 0, b2 = a2 − c2 ) F1 (−c;0), F2 (c; 0) • Toạ độ tiêu điểm: • Với M(x; y) ∈ (E), MF1 , MF2 đgl bán kính qua tiêu điểm M c c x , MF2 = a − x a a MF1 = a + Hình dạng elip • (E) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng A1 (−a; 0), A2 (a; 0), B1(0; −b), B2 (0; b) • Toạ độ đỉnh: • Độ dài trục: trục lớn: A1 A2 = 2a , trục nhỏ: B1B2 = 2b • Tâm sai (E): e= c (0 < e < 1) a • Hình chữ nhật sở: tạo đường thẳng x = ± a, y = ± b (ngoại tiếp elip) Đường chuẩn elip (chương trình nâng cao) a e • Phương trình đường chuẩn ∆i ứng với tiêu điểm Fi là: x ± = MF MF • Với M ∈ (E) ta có: d ( M , ) = d (M , ) = e ∆1 ∆2 (e < 1) 127 VẤN ĐỀ 1: Xác định yếu tố (E) Đưa phương trình (E) dạng tắc: Các yếu tố: x2 a2 + y2 b2 = Xác định a, b, c – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b – Tiêu cự 2c – Toạ độ tiêu điểm F1(−c;0), F2 (c; 0) – Toạ độ đỉnh A1(−a; 0), A2 (a; 0), B1(0; −b), B2 (0; b) c a – Tâm sai e = a e – Phương trình đường chuẩn x ± = Câu Cho elip (E) Xác định độ dài trục, tiêu cự, toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh, tâm sai, phương trình đường chuẩn (E), với (E) có phương trình: x y2 + =1 x y2 + =1 x y2 + =1 16 a) b) e) 16 x + 25y = 400 f) x + y = c) x y2 + =1 25 g) x + y2 = d) h) x + 25y = VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình tắc (E) Để lập phương trình tắc (E) ta cần xác định độ dài nửa trục a, b (E) Chú ý: Công thức xác định yếu tố (E): c + Các tiêu điểm F1(−c;0), F2 (c; 0) a + Các đỉnh: A1(−a; 0), A2 (a; 0), B1(0; −b), B2 (0; b) + b2 = a2 − c2 + e= Bài Lập phương trình tắc (E), biết: a) Độ dài trục lớn 6, trục nhỏ b) Độ dài trục lớn 10, tiêu cự c) Độ dài trục lớn 8, độ dài trục nhỏ tiêu cự d) Tiêu cự qua điểm M ( 15; −1) e) Độ dài trục nhỏ qua điểm M ( −2 5;2 ) e) Một tiêu điểm F1(−2; 0) độ dài trục lớn 10  f) Một tiêu điểm F1 ( − 3;0 ) qua điểm M  1;  3 ÷    ;1 ÷   g) Đi qua hai điểm M (1; 0), N  128 h) Đi qua hai điểm M ( 4; − ) , N ( 2;3 ) VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm (E) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý cơng thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm điểm M(x; y) ∈ (E): MF1 = a + c c x , MF2 = a − x a a Bài Cho elip (E) đường thẳng d vng góc với trục lớn tiêu điểm bên phải F2 cắt (E) hai điểm M, N i) Tìm toạ độ điểm M, N ii) Tính MF1 , MF2 , MN a) x + 25y = 225 b) x + 16 y = 144 c) x + 16 y = 112 Bài Cho elip (E) Tìm điểm M ∈ (E) cho: i) MF1 = MF2 ii) MF2 = 3MF1 iii) MF1 = MF2 a) x + 25y = 225 b) x + 16 y = 144 c) x + 16 y = 112 Bài Cho elip (E) Tìm điểm M ∈ (E) nhìn hai tiêu điểm góc vng, với: a) x + 25y = 225 b) x + 16 y = 144 c) x + 16 y = 112 VẤN ĐỀ 4: Tập hợp điểm Để tìm tập hợp điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa dạng: Dạng 1: MF1 + MF2 = 2a ⇒ Tập hợp elip (E) có hai tiêu điểm F 1, F2, trục lớn 2a Dạng 2: x2 a2 + y2 b2 = (a > b) ⇒ Tập hợp elip (E) có độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b Bài Cho đường tròn (C): x + y − x − 55 = điểm F1(−3;0) : a) Tìm tập hợp tâm M đường tròn (C′) di động qua F tiếp xúc với (C) b) Viết phương trình tập hợp Bài Cho hai điểm A, B chạy hai trục Ox Oy cho AB = 12 a) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn AB b) Tìm tập hợp điểm N chia đoạn AB theo tỉ số k = − VẤN ĐỀ 5: Một số tốn khác Bài Tìm tâm sai (E) trường hợp sau: a) Mỗi đỉnh trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm góc vng b) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ góc vng c) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ góc 600 d) Độ dài trục lớn k lần độ dài trục nhỏ (k > 1) 129 e) Khoảng cách từ đỉnh trục lớn đến đỉnh trục nhỏ tiêu cự b) Bài tập lớp Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E): x2 y2 + = Tìm toạ độ điểm A B thuộc (E), có hồnh độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn (ĐH A - 2011) Bài 10 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD đường trịn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x2 + y2 = Viết PTCT elip (E) qua đỉnh A, B, C, D hình thoi biết A thuộc Ox (ĐH B – 2012) Bài 11 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 = Viết PTCT elip (E) biết (E) có độ dài trục lớn (E) cắt (C) điểm tạo thành đỉnh hình vng (ĐH A-2012) Bài 12 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A (2; 3) elip (E): x y2 + =1 Gọi F1 F2 tiêu điểm (E) (F1 có hồnh độ âm); M giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E); N điểm đối xứng F2 qua M viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2 (ĐH B - 2010) c) Bài tập nhà Baøi Lập phương trình tắc (E), biết: a) Độ dài trục lớn 10, tâm sai b) Một tiêu điểm F1(−8;0) tâm sai c) Độ dài trục nhỏ 6, phương trình đường chuẩn x ± 16 = d) Một đỉnh A1(−8; 0) , tâm sai   5 3 e) Đi qua điểm M  2; − ÷ có tâm sai Bài Cho elip có phương trình x2 + 4y2 = a) Tìm tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm tâm sai elip b) Một đường thẳng d qua tiêu điểm elip song song với trục Oy cắt elip điểm M N Tính độ dài đoạn MN c) Tìm giá trị k để đường thẳng y = x + k cắt elip cho 130 Bài Cho elip (E) có phương trình : 9x2 + 25y2 – 225 = a) Tính tọa độ tiêu điểm F1, F2, tọa độ đỉnh tâm sai (E) b) Gọi F2 tiêu điểm có hồnh độ dương Viết phương trình đường thẳng d có hệ số góc − qua F2 c) Tính tọa độ giao điểm M, N d (E) Bài Cho elip(E) : 4x2 + 9y2 = 36 M(1;1) a) Tìm toạ độ tiêu điểm, đỉnh tâm sai elip b) Chứng minh đường thẳng qua M cắt elip hai điểm phân biệt c) Lập phương trình đường thẳng qua M cắt (E) M1, M2 cho: MM1 = MM2 Bài Tìm tọa độ điểm M elip (E) 9x2 + 25y2 = 225 cho MF1 = 2MF2 F1, F2 tiêu điểm bên trái, bên phải elip Bài Cho elip (E) Tìm điểm M ∈ (E) nhìn hai tiêu điểm góc 60 , với: a) x + 25y = 225 b) x + 16 y = 144 c) x + 16 y = 112 Bài Cho elip (E) có phương trình x2 y2 + = 25 / 4 a) Tìm điểm thuộc elip có hồnh độ x = tính khoảng cách từ đến hai tiêu điểm b) Tìm giá trị b để đường thẳng (d): y = x + b có điểm chung với elip (E) Bài Cho điểm M(2; -2) elip (E) có phương trình: x2/4 + y2 = Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt elip tai hai điểm phân biệt A, B cho AB = 10 32 (hc AB = ) 5 Bài Cho elip (E) đường thẳng (d) có phương trình: x2 y2 (E): + = 25 ; (d): 2x + 15y – 10 = a) Chứng minh (d) cắt (E) hai điểm phân biệt A, B với A thuộc Ox Tính độ dài AB b) Tìm toạ độ điểm C thuộc (E) cho tam giác ABC cân A 131 Bài 10 Cho elip (E) đường thẳng (d) có phương trình: (E): x2 y2 + =1 ; (d): x – y + = a) Chứng minh (d) cắt (E) hai điểm phân biệt A, B Tính độ dài AB b) Tìm toạ độ điểm C thuộc (E) cho tam giác ABC có diện tích lớn Bài 11 Cho elip (E) có phương trình: 4x2 + 9y2 = 36 Tìm điểm M thuộc elip (E) cho: a) M có toạ độ nguyên b) Có tổng hai toạ độ đạt GTLN, GTNN c) Có bán kính qua tiêu điểm lân bán kính qua tiêu điểm Bài 12 Cho elip (E) đường thẳng (d) có phương trình: x2 y2 (E): + = 16 ; (d): 3x + 4y – 12 = a) Chứng minh (d) cắt (E) hai điểm phân biệt A, B Tính độ dài AB b) Tìm toạ độ điểm C thuộc (E) cho: - Tam giác ABC có diện tích - Tam giác ABC có diện tích lớn - Tam giác ABC cân - Tam giác ABC vuông Bài 13 Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E): x2 y + = có tiêu điểm F1 25 16 F2 Lấy A, B thuộc (E) cho AF1 + BF1 = Tính AF2 + BF2 d) Một số đề kiểm tra ĐỀ Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2;2) đường thẳng: d 1: x + y – = 0, d2: x + y – = Tìm tọa độ điểm B C thuộc d1 d2 cho tam giác ABC vuông cân A (ĐHB 2007) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x + y2 + 4x + 4y + = đường thẳng ∆ : x + my – 2m + = 0, với m tham số thực Gọi I tâm đường tròn (C) Tìm m để ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn (ĐH A - 2009) 132 Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho A(3;0) elip (E) có PT: x2 + y = Tìm tọa độ điểm B, C thuộc (E) cho tam giác ABC vuông cân A ĐỀ Bài Trong mặt phẳng Oxy, xét tam giác ABC vng A, phương trình đường thẳng BC : 3x − y − = , đỉnh A B thuộc trục hồnh bán kính đường trịn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC (ĐHA - 2002) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): ( x − 2)2 + y = hai đường thẳng ∆1 : x – y = 0, ∆ : x – 7y = Xác định toạ độ tâm K tính bán kính đường trịn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với đường thẳng ∆1 , ∆ tâm K thuộc đường tròn (C) (ĐH B - 2009) Bài 13 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tắc elip (E) biết (E) có tâm sai hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 (Đề thi ĐH khối A - 2008) ĐỀ Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(-1;4) đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x – y – = Xác định tọa độ điểm B C, biết diện tích tam giác ABC 18 (ĐHB - 2009) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1) + y2 = Gọi I tâm · (C) Xác định toạ độ điểm M thuộc (C) cho IMO = 30 (ĐH D 2009) Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y2 = 16x điểm A(1;4) Hai điểm phân biệt B, C (B C khác A) di động (P) cho góc ˆ BAC = 900 Chứng minh đường thẳng BC qua điểm cố định (Đề thi ĐH khối D - 2008) Chuyên đề 7: ÔN TẬP TỔNG HỢP (10%) ĐỀ SỐ 2 Câu (2điểm): Cho hàm số y = − x + 3x + ( m − 1) x − 3m − (1) , m tham số a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m=1 133 b Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị hàm số (1) cách gốc tọa độ O Câu (2điểm): a 4sin 2x + 6sin x − 3cos 2x − =0 Giải phương trình: cos x b 2x + x + y = Giải hệ phương trình:   xy − x + y = π Câu (1điểm): Tính tích phân I = ∫ x sin x cos xdx Câu (1điểm): Cho hình chóp S.ABCD có độ dài cạnh đáy a Mặt phẳng bên tạo với mặt đáy góc 600 Mặt phẳng (P) chứa ABvaf qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD M, N Tính thể tích hình chóp S.ABMN theo a Câu (1điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;1;0)  x = + 2t  đường thẳng d có phương trình:  y = −1 + t Viết phương trình tham số z = − t  đường thẳng qua điểm M, cắt vng góc với đường thẳng d 2 Câu (1điểm): Giải phương trình 2x + x − 4.2x − x − 22x + = Câu (1điểm): Tìm x, y∈ R thỏa mãn đẳng thức: x ( − 3i ) + ( x + 2y ) ( + 2i ) = 25 − 4i Câu (1điểm): Cho x,y,z số dương thay đổi mà xyz=1 Tìm GTNN P= x2 ( y + z) y y + 2z z + y2 ( z + x ) z z + 2x x + z2 ( x + y ) x x + 2y y ĐỀ THI SỐ x −1 (1) x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b Chứng minh với m ≠ đường thẳng y = mx-2m luôn cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt có giao điểm có hồnh độ dương Câu (2điểm): Cho hàm số y = 134 Câu (2điểm): a Giải phương trình (sin2x –cos2x).cosx+2cos2x-sinx = 2x >3 b Giải bất phương trình x + x −4 Câu (1 điểm): Tính tích phân ∫ ln ( x + 3) x2 dx Câu (1 điểm): Cho hình chóp S.ABC có SC ⊥ ( ABC ) tam giác ABC vuông B Biết AB = a, AC = a góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC) α với tan α = 13 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Câu (2 điểm): a Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, đường phân giác góc A có phương trình x+2y – = 0, đường cao qua A có phương trình 4x + 13y – 10 =0 cà điểm C(4;3) Tìm tọa độ đỉnh B b Lập phương trình đường thẳng d nằm (P): 2x – y + z + =0 cách mặt phẳng (Q): x+2y+2z-4=0 khoảng Câu (1 điểm): Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ Câu (1 điểm): Cho số x,y,z số thực thỏa mãn x + y + z + 2x + 4y + 4z ≤ Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức A=2x-y+2z 135 ... Một số đề kiểm tra Đề 1: Cho hàm số y = x3 − x + (Đề thi TN THPT năm 2010) a) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số b) Tìm giá trị m để phương trình x – 6x2 + m = có nghiệm thực phân biệt Đề 2:... số đề kiểm tra Đề Cho hàm số y = a + bx − x4 (1) 1) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số a = b = 2) Tìm tất giá trị a, b để hàm số (1) đạt cực trị x = Đề 2: Cho hàm số y= x − 2x (Đề thi TN THPT. .. = x3 – 3x – (Đề TN THPT 2013) a) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết hệ số góc tiếp tuyến Đề 3: Cho hàm số y = x3 – 3x -2 (Đề ĐH khối D 2014)