II. PHƯƠNG PHÂP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG (9 %) Chủ đề 1 PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG THẲNG (4 %)
3. Phương trỡnh cõc đường phđn giõc của cõc gúc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c1 + 1 + =1 0 vă ∆2: a x b y c2 + 2 + 2=0cắt nhau.
Phương trỡnh cõc đường phđn giõc của cõc gúc tạo bởi hai đường thẳng
∆1 vă ∆2 lă: a x b y c a x b y c a b a b 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 + + = ± + + + +
Chỳ ý: Để lập phương trỡnh đường phđn giõc trong hoặc ngoăi của gúc A trong tam giõc ABC ta cú thể thực hiện như sau:
Cõch 1:
– Tỡm toạ độ chđn đường phđn giõc trong hoặc ngoăi (dựa văo tớnh chất đường phđn giõc của gúc trong tam giõc).
Cho ∆ABC với đường phđn giõc trong AD vă phđn giõc ngoăi AE (D, E ∈ BC) ta cú: DB AB DC AC. = − uuur uuur , EB AB EC AC. = uuur uuur . – Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua hai điểm.
Cõch 2:
– Viết phương trỡnh cõc đường phđn giõc d1, d2 của cõc gúc tạo bởi hai đường thẳng AB, AC.
– Kiểm tra vị trớ của hai điểm B, C đối với d1 (hoặc d2).
+ Nếu B, C nằm khõc phớa đối với d1 thỡ d1 lă đường phđn giõc trong.
+ Nếu B, C nằm cựng phớa đối với d1 thỡ d1 lă đường phđn giõc ngoăi.
VẤN ĐỀ 4: Gúc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c1 + 1 + =1 0 (cú VTPT nr1=( ; )a b1 1 )
vă ∆2: a x b y c2 + 2 + 2=0 (cú VTPT nr2 =( ; )a b2 2 ). ã n n khi n n n n khi n n 0 1 2 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 ( , ) ( , ) 90 ( , ) 180 ( , ) ( , ) 90 ∆ ∆ = ≤ − > r r r r r r r r ã ã n n a b a b n n n n a b a b 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 . cos( , ) cos( , ) . . ∆ ∆ = = = + + + r r r r r r Chỳ ý: • 0 (ã ) 0 1 2 0 ≤ ∆ ∆, ≤90 . •∆1⊥∆2⇔ a a1 2+b b1 2 =0.
• Cho ∆1: y k x m= 1 + 1, ∆2: y k x m= 2 + 2 thỡ:
+ ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥∆2 ⇔ k1. k2 = –1.
• Cho ∆ABC. Để tớnh gúc A trong ∆ABC, ta cú thể sử dụng cụng thức: ( ) AB AC A AB AC AB AC . cos cos , . = = uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) Băi tập tại lớp
Băi 1. Viết phương trỡnh cõc cạnh của tam giõc ABC nếu biết A(1;2) vă 2 đường trung tuyến lần lượt cú phương trỡnh : 2x – y + 1 = 0 vă x + 3y – 3 = 0.
Băi 2. Cho tam giõc ABC cú phương trỡnh cạnh AB : 5x – 3y + 2 = 0 vă cú 2 đường cao AA’: 4x – 3y + 1 = 0
BB’: 7x + 2y – 22 = 0
Lập phương trỡnh 2 cạnh cũn lại vă đường cao thứ 3 của tam giõc ABC.
Băi 3. Cho tam giõc ABC cú đỉnh A(3; -1). Phương trỡnh của một phđn giõc vă một trung tuyến xuất phõt từ 2 đỉnh khõc nhau theo thứ tự lă : x – 4y + 10 = 0 ; 6x + 10y – 59 = 0. Viết phương trỡnh cõc cạnh của tam giõc ABC.
Băi 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giõc ABC cđn tại A cú đỉnh A(6;6), đường thẳng đi qua trung điểm cõc cạnh AB vă AC cú phương trỡnh x + y – 4 = 0. Tỡm tọa độ cõc đỉnh B, C biết điểm E(1;-3) nằm trớn đường cao đi qua đỉnh C của tam giõc đờ cho. (ĐHA - 2010)
Băi 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆: x – y – 4 = 0 vă d: 2x – y – 2 = 0. Tỡm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng
ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mờn OM.ON = 8.
(ĐHB – 2011)
Băi 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giõc ABC cú đỉnh B(1/2 ; 1). Đường trũn nội tiếp tam giõc ABC tiếp xỳc với cõc cạnh BC, CA, AB tương ứng tại cõc điểm D, E, F. Cho D(3;1) vă đường thẳng EF cú phương trỡnh y – 3 = 0. Tỡm tọa độ đỉnh A, biết A cú tung độ dương. (ĐHB – 2011)
Băi 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giõc ABC cú đỉnh B(-4;1), trọng tđm G(1;1) vă đường thẳng chứa phđn giõc trong của gúc A cú phương trỡnh x – y – 1 = 0. Tỡm tọa độ cõc đỉnh A vă C. (ĐHD - 2011)
Băi 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD. Gọi M lă trung điểm của
cạnh BC, N lă điểm trớn cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử 11 1;
2 2
M
ữ
vă
đường thẳng AN cú PT: 2x – y – 3 = 0. Tỡm tọa độ điểm A. (ĐHA-2012).
Băi 9. Trong mặt phẳng Oxy, cho chữ nhật ABCD. Cõc đường thẳng AC vă AD lần lượt cú PT lă x + 3y = 0 vă x – y + 4 = 0; đường thẳng BD đi qua điểm
1;1 ;1 3
M−
ữ
. Tỡm tọa độ cõc đỉnh của hcn ABCD. (ĐH D-2012).
Băi 10. Trong mặt phẳng Oxy, cho hỡnh chữ nhật ABCD cú điểm C thuộc đường thẳng d: 2x + y +5 = 0 vă A(- 4;8). Gọi M lă điểm đối xứng của B qua
C, N lă hỡnh chiếu vuụng gúc của B trớn đường thẳng MD. Tỡm tọa độ cõc điểm B vă C, biết N(5;-4). (ĐH A-2013).
Băi 11. Trong mặt phẳng Oxy, cho hỡnh thang cđn ABCD cú hai đường chĩo vuụng gúc với nhau vă AD = 3BC. Đường thẳng BD cú PT x + 2y – 6 = 0 vă tam giõc ABD cú trực tđm H(- 3;2). Tỡm tọa độ cõc đỉnh C vă D. (ĐH B-2013).
Băi 12. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giõc ABC cú chđn đường cao hạ từ đỉnh
A lă 17; 1
5 5
H −
ữ
, chđn đường phđn giõc trong của gúc A lă D(5;3) vă trung điểm
cạnh AB lă M(0;1). Tỡm tọa độ đỉnh C. (ĐH B-2013).
Băi 13. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giõc ABC cú điểm 9 3; 2 2
M−
ữ
lă trung
điểm cạnh AB, điểm H(-2;4) vă điểm I(-1;1) lần lượt lă chđn đường cao kẻ từ B vă tđm đường trũn ngoại tiếp tam giõc ABC. Tỡm tọa độ điểm C. (ĐH D-2013).
c) Băi tập về nhă
Băi 14. Trong mặt phẳng Oxy, cho hỡnh chữ nhật ABCD cú điểm I(6;2) lă giao điểm của hai đường chĩo AC vă BD. Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB vă
trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng∆: x + y – 5 = 0. Viết phương
trỡnh đường thẳng AB. (ĐHA – 2009)
Băi 15. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giõc ABC cú M(2;0) lă trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến vă đường cao qua đỉnh A lần lượt cú phương trỡnh lă 7x – 2y – 3 = 0 vă 6x – y – 4 = 0. Viết phương trỡnh đường thẳng AC. (ĐHD – 2009)
Băi 16. Cho điểm M(4;1). Đường thẳng (d) luụn đi qua M cắt Ox, Oy theo thứ tự tại A(a;0), B(0;b) với a, b > 0. Lập phương trỡnh đường thẳng (d) sao cho:
a) Diện tớch tam giõc OAB nhỏ nhất b) OA + OB nhỏ nhất
c) 2 2
1 1
OA +OB nhỏ nhất.
Băi 17. Cho 2 đường thẳng (d1) : 2x – y – 2 = 0 vă (d2) : 2x + 4y – 7 = 0
1. Viết phương trỡnh cõc đường phđn giõc của cõc gúc tạo bởi (d1) vă (d2)
2. Viết phương trỡnh đường thẳng qua điểm P(3; 1) cựng với (d1), (d2) tạo
thănh một tam giõc cđn cú đỉnh lă giao của (d1), (d2).
Băi 18. Cho hỡnh vuụng ABCD cú 2 cạnh cú phương trỡnh lă 4x – 3y + 3 = 0 ; 4x – 3y – 17 = 0
vă đỉnh A(2; -3). Lập phương trỡnh 2 cạnh cũn lại của hỡnh vuụng.
Băi 19. Cho hỡnh vuụng ABCD cú đỉnh A(5; -1) vă một trong cõc cạnh nằm trớn đường thẳng
d: 4x – 3y – 7 = 0. Lập phương trỡnh cõc đường thẳng chứa cõc cạnh cũn lại của hỡnh vuụng.
Băi 20. Cho tam giõc ABC cú M(-2 ; 2) lă trung điểm cạnh BC, cạnh AB cú phương trỡnh x – 2y – 2 = 0, cạnh AC cú phương trỡnh 2x + 5y + 3 = 0. Xõc định tọa độ cõc đỉnh của tam giõc ABC.
Băi 21. Cho tam giõc ABC cú diện tớch bằng 3/2, hai đỉnh A(3; -2), B(2; -3). Trọng tđm của tam giõc nằm trớn đường thẳng 3x – y – 8 = 0. Tỡm tọa độ đỉnh C.
Băi 22. Trong mặt phẳng Oxy cho 2 đường thẳng d1: x – y = 0 vă d2: 2x + y – 1 = 0.
Tỡm tọa độ cõc đỉnh của hỡnh vuụng ABCD biết rằng A thuộc d1, C thuộc d2 vă
cõc đỉnh B, D thuộc trục hoănh. (ĐHA – 2005)
Băi 23. Trong mặt phẳng Oxy, cho cõc đường thẳng d1: x + y + 3 = 0, d2: x – y –
4 = 0, d3: x – 2y = 0. Tỡm tọa độ điểm M thuộc d3 sao cho khoảng cõch từ M đến
đường thẳng d1 bằng 2 lần khoảng cõch từ M đến đường thẳng d2 . (ĐHA - 2006)
Băi 24 . Cho 3 điểm A(2;4), B(3;1), C(1;4) vă đường thẳng d: x – y – 1 = 0
a) Tỡm điểm M∈d sao cho MA + MB nhỏ nhất.
b) Tỡm điểm N∈d sao cho NA + NC nhỏ nhất.
Băi 25. Cho tam giõc ABC cú M(0;4) lă trung điểm cạnh BC cũn 2 cạnh kia cú PT
2x + y – 11 = 0 vă x + 4y – 2 = 0 a) Xõc định đỉnh A.
b) Gọi C lă đỉnh nằm trớn đường thẳng x + 4y – 2 = 0. N lă trung điểm của AC. Tỡm điểm N rồi tớnh tọa độ B, C.
Chủ đề 2: PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG TRềN (3%)
1. Một số kiến thức bổ trợ (01 tiết) 1. Phương trỡnh đường trũn
Phương trỡnh đường trũn cú tđm I(a; b) vă bõn kớnh R:
x a 2 y b 2 R2
( − ) + −( ) = .
Nhận xĩt: Phương trỡnh x2+y2+2ax+2by c+ =0, với a2+b2− >c 0, lă
phương trỡnh đường trũn tđm I(–a; –b), bõn kớnh R = a2+b2−c.
2. Phương trỡnh tiếp tuyến của đường trũn
Cho đường trũn (C) cú tđm I, bõn kớnh R vă đường thẳng ∆.
∆ tiếp xỳc với (C) ⇔ d I( , )∆ =R
VẤN ĐỀ 1: Xõc định tđm vă bõn kớnh của đường trũn
• Nếu phương trỡnh đường trũn (C) cú dạng: (x a− )2+ −(y b)2=R2
thỡ (C) cú tđm I(a; b) vă bõn kớnh R.
• Nếu phương trỡnh đường trũn (C) cú dạng: x2+y2+2ax+2by c+ =0
thỡ – Biến đổi đưa về dạng (x a− )2+ −(y b)2 =R2
hoặc – Tđm I(–a; –b), bõn kớnh R = a2+b2−c.
Chỳ ý: Phương trỡnh x2+y2+2ax+2by c+ =0 lă phương trỡnh đường trũn nếu thoả mờn điều kiện:a2+b2− >c 0.
Để lập phương trỡnh đường trũn (C) ta thường cần phải xõc định tđm I (a; b) vă bõn kớnh R của (C). Khi đú phương trỡnh đường trũn (C) lă:
x a 2 y b 2 R2
( − ) + −( ) =
Dạng 1: (C) cú tđm I vă đi qua điểm A. – Bõn kớnh R = IA.
Dạng 2: (C) cú tđm I vă tiếp xỳc với đường thẳng ∆. – Bõn kớnh R = d I( , )∆ .
Dạng 3: (C) cú đường kớnh AB.
– Tđm I lă trung điểm của AB. – Bõn kớnh R = AB
2 .
Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B vă cú tđm I nằm trớn đường thẳng ∆. – Viết phương trỡnh đường trung trực d của đoạn AB.
– Xõc định tđm I lă giao điểm của d vă ∆. – Bõn kớnh R = IA.
Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B vă tiếp xỳc với đường thẳng ∆. – Viết phương trỡnh đường trung trực d của đoạn AB. – Tđm I của (C) thoả mờn: ∈I dd I( , )∆ =IA.
– Bõn kớnh R = IA.
Dạng 6: (C) đi qua điểm A vă tiếp xỳc với đường thẳng ∆ tại điểm B. – Viết phương trỡnh đường trung trực d của đoạn AB.
– Viết phương trỡnh đường thẳng ∆′ đi qua B vă vuụng gúc với ∆. – Xõc định tđm I lă giao điểm của d vă ∆′.
– Bõn kớnh R = IA.
Dạng 7: (C) đi qua điểm A vă tiếp xỳc với hai đường thẳng ∆1 vă ∆2. – Tđm I của (C) thoả mờn: d Id I 1 d IIA 2 1 ( , ) ( , ) (1) ( , )∆ ∆ (2) ∆ = = – Bõn kớnh R = IA.
Chỳ ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xĩt dấu miền mặt phẳng định bởi ∆1 vă ∆2 hay xĩt dấu khoảng cõch đại số từ A đến ∆1 vă
∆2.
– Nếu ∆1 // ∆2, ta tớnh R = 1 ( , )d 1 2
2 ∆ ∆ , vă (2) được thay thế bới IA = R.
Dạng 8: (C) tiếp xỳc với hai đường thẳng ∆1, ∆2 vă cú tđm nằm trớn đường thẳng d.
– Tđm I của (C) thoả mờn: d II d( , )∆1 =d I( , )∆2 ∈
.
– Bõn kớnh R = d I( , )∆1 .
Dạng 9: (C) đi qua ba điểm khụng thẳng hăng A, B, C (đường trũn ngoại tiếp tam giõc).
– Lần lượt thay toạ độ của A, B, C văo (*) ta được hệ phương trỡnh.
– Giải hệ phương trỡnh năy ta tỡm được a, b, c ⇒ phương trỡnh của (C).
Cõch 2: – Tđm I của (C) thoả mờn: =IA IBIA IC =
.
– Bõn kớnh R = IA = IB = IC.
Dạng 10: (C) nội tiếp tam giõc ABC.
– Viết phương trỡnh của hai đường phđn giõc trong của hai gúc trong tam giõc
– Xõc định tđm I lă giao điểm của hai đường phđn giõc trớn. – Bõn kớnh R = d I AB( , ).
VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm