Đường chuẩn của elip (chương trỡnh nđng cao)

II. PHƯƠNG PHÂP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG (9 %) Chủ đề 1 PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG THẲNG (4 %)

4. Đường chuẩn của elip (chương trỡnh nđng cao)

• Phương trỡnh cõc đường chuẩn ∆i ứng với cõc tiớu điểm Fi lă: x a

e 0

± =

• Với M ∈ (E) ta cú: d MMF1 d MMF2 e

1 2

VẤN ĐỀ 1: Xõc định cõc yếu tố của (E)

Đưa phương trỡnh của (E) về dạng chớnh tắc: x y

a b

2 2

2 + 2 =1. Xõc định a, b, c. Cõc yếu tố: – Độ dăi trục lớn 2a, trục nhỏ 2b.

– Tiớu cự 2c.

– Toạ độ cõc tiớu điểm F c1( ;0), ( ;0)− F c2 .

– Toạ độ cõc đỉnh A a1( ;0),− A a2( ;0), (0; ),B1 −b B2(0; )b .

– Tđm sai e c a

= .

– Phương trỡnh cõc đường chuẩn x a e 0

± =

Cđu 1. Cho elip (E). Xõc định độ dăi cõc trục, tiớu cự, toạ độ cõc tiớu điểm, toạ

độ cõc đỉnh, tđm sai, phương trỡnh cõc đường chuẩn của (E), với (E) cú phương trỡnh: a) x2 y2 1 9 + 4 = b) x2 y2 1 16 + 9 = c) x2 y2 1 25+ 9 = d) x2 y2 1 4 + 1 = e) 16x2+25y2 =400 f) x2+4y2=1 g) 4x2+9y2 =5 h) 9x2+25y2 =1

VẤN ĐỀ 2: Lập phương trỡnh chớnh tắc của (E)

Để lập phương trỡnh chớnh tắc của (E) ta cần xõc định độ dăi cõc nửa trục a, b của (E).

Chỳ ý: Cụng thức xõc định cõc yếu tố của (E): + b2 =a2−c2 + e c

a

= + Cõc tiớu điểm F c1( ;0), ( ;0)− F c2

+ Cõc đỉnh: A a1( ;0),− A a2( ;0), (0; ),B1 −b B2(0; )b

Băi 2. Lập phương trỡnh chớnh tắc của (E), biết: a) Độ dăi trục lớn bằng 6, trục nhỏ bằng 4. b) Độ dăi trục lớn bằng 10, tiớu cự bằng 6.

c) Độ dăi trục lớn bằng 8, độ dăi trục nhỏ bằng tiớu cự.

d) Tiớu cự bằng 8 vă đi qua điểm M( 15; 1− ).

e) Độ dăi trục nhỏ bằng 6 vă đi qua điểm M(−2 5;2) .

e) Một tiớu điểm lă F1( 2;0)− vă độ dăi trục lớn bằng 10.

f) Một tiớu điểm lă F1(− 3;0) vă đi qua điểm M 1; 3

2

 

 ữ

 .

g) Đi qua hai điểm M(1;0),N 3;1

2

 

 ữ

h) Đi qua hai điểm M(4;− 3 ,) (N 2 2;3).

VẤN ĐỀ 3: Tỡm điểm trớn (E) thoả mờn điều kiện cho trước

Chỳ ý cõc cụng thức xõc định độ dăi bõn kớnh qua tiớu điểm của điểm M(x; y) ∈ (E):

c c

MF a x MF a x

a a

1= + , 2 = −

Băi 3. Cho elip (E) vă đường thẳng d vuụng gúc với trục lớn tại tiớu điểm bớn phải F2 cắt (E) tại hai điểm M, N.

i) Tỡm toạ độ cõc điểm M, N. ii) Tớnh MF MF MN1, 2, .

a) 9x2+25y2=225 b) 9x2+16y2 =144 c) 7x2+16y2 =112

Băi 4. Cho elip (E). Tỡm những điểm M ∈ (E) sao cho:

i) MF1=MF2 ii) MF2 =3MF1 iii) MF1=4MF2

a) 9x2+25y2=225 b) 9x2+16y2 =144 c) 7x2+16y2 =112

Băi 5. Cho elip (E). Tỡm những điểm M ∈ (E) nhỡn hai tiớu điểm dưới một gúc vuụng, với:

a) 9x2+25y2=225 b) 9x2+16y2 =144 c) 7x2+16y2 =112

VẤN ĐỀ 4: Tập hợp điểm

Để tỡm tập hợp cõc điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa về một trong cõc dạng:

Dạng 1: MF MF1+ 2 =2a ⇒ Tập hợp lă elip (E) cú hai tiớu điểm F1, F2, trục lớn 2a.

Dạng 2: x y

a b

2 2

2 + 2 =1 (a > b) ⇒ Tập hợp lă elip (E) cú độ dăi trục lớn 2a, trục nhỏ 2b.

Băi 6. Cho đường trũn (C): x2+y2−6x−55 0= vă điểm F1( 3;0)− :

a) Tỡm tập hợp cõc tđm M của đường trũn (C′) di động luụn đi qua F1 vă tiếp

xỳc với (C).

b) Viết phương trỡnh của tập hợp trớn.

Băi 7. Cho hai điểm A, B lần lượt chạy trớn hai trục Ox vă Oy sao cho AB = 12. a) Tỡm tập hợp cõc trung điểm I của đoạn AB.

b) Tỡm tập hợp cõc điểm N chia đoạn AB theo tỉ số k 1

2= − = −

VẤN ĐỀ 5: Một số băi toõn khõc Băi 8. Tỡm tđm sai của (E) trong cõc trường hợp sau:

a) Mỗi đỉnh trớn trục nhỏ nhỡn hai tiớu điểm dưới một gúc vuụng. b) Mỗi tiớu điểm nhỡn trục nhỏ dưới một gúc vuụng.

c) Mỗi tiớu điểm nhỡn trục nhỏ dưới một gúc 600.

e) Khoảng cõch từ một đỉnh trớn trục lớn đến một đỉnh trớn trục nhỏ bằng tiớu cự.

b) Băi tập tại lớp

Băi 9. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E): 2 2 1

4 1

x +y = . Tỡm toạ độ cõc điểm A vă

B thuộc (E), cú hoănh độ dương sao cho tam giõc OAB cđn tại O vă cú diện tớch lớn nhất.

(ĐH A - 2011)

Băi 10. Trong mặt phẳng Oxy, cho hỡnh thoi ABCD cú AC = 2BD vă đường

trũn tiếp xỳc với cõc cạnh của hỡnh thoi cú phương trỡnh x2 + y2 = 4. Viết PTCT

của elip (E) đi qua cõc đỉnh A, B, C, D của hỡnh thoi biết A thuộc Ox. (ĐH B – 2012)

Băi 11. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường trũn (C): x2 + y2 = 8. Viết PTCT của elip (E) biết (E) cú độ dăi trục lớn bằng 8 vă (E) cắt (C) tại 4 điểm tạo thănh 4 đỉnh của một hỡnh vuụng.

(ĐH A-2012)

Băi 12. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(2; 3) vă elip (E): 2 2 1

3 2

x +y = .

Gọi F1 vă F2 lă cõc tiớu điểm của (E) (F1 cú hoănh độ đm); M lă giao điểm cú

tung độ dương của đường thẳng AF1 với (E); N lă điểm đối xứng của F2 qua M.

viết phương trỡnh đường trũn ngoại tiếp tam giõc ANF2. (ĐH B - 2010)

c) Băi tập về nhă

Baứi 1. Lập phương trỡnh chớnh tắc của (E), biết:

a) Độ dăi trục lớn bằng 10, tđm sai bằng 3

5.

b) Một tiớu điểm lă F1( 8;0)− vă tđm sai bằng 4 5.

c) Độ dăi trục nhỏ bằng 6, phương trỡnh cõc đường chuẩn lă x 7 16 0± = .

d) Một đỉnh lă A1( 8;0)− , tđm sai bằng 3 4.

e) Đi qua điểm M 2; 5

3 −   −   ữ   vă cú tđm sai bằng 2 3.

Băi 2. Cho elip cú phương trỡnh x2 + 4y2 = 4

a) Tỡm tọa độ cõc đỉnh, tọa độ cõc tiớu điểm vă tđm sai của elip

b) Một đường thẳng d qua một tiớu điểm của elip vă song song với trục Oy cắt elip tại 2 điểm M vă N. Tớnh độ dăi đoạn MN.

Băi 3. Cho elip (E) cú phương trỡnh : 9x2 + 25y2 – 225 = 0

a) Tớnh tọa độ cõc tiớu điểm F1, F2, tọa độ cõc đỉnh vă tđm sai của (E)

b) Gọi F2 lă tiớu điểm cú hoănh độ dương. Viết phương trỡnh đường thẳng

d cú hệ số gúc bằng − 3 vă đi qua F2

c) Tớnh tọa độ cõc giao điểm M, N của d vă (E)

Băi 4. Cho elip(E) : 4x2 + 9y2 = 36 vă M(1;1). a) Tỡm toạ độ tiớu điểm, cõc đỉnh tđm sai của elip.

b) Chứng minh mọi đường thẳng đi qua M luụn cắt elip tại hai điểm phđn biệt.

c) Lập phương trỡnh đường thẳng qua M vă cắt (E) tại M1, M2 sao cho: MM1 =

MM2.

Băi 5. Tỡm tọa độ điểm M trớn elip (E) 9x2 + 25y2 = 225 sao cho MF1 = 2MF2

trong đú F1, F2 lă cõc tiớu điểm bớn trõi, bớn phải của elip.

Băi 6. Cho elip (E). Tỡm những điểm M ∈ (E) nhỡn hai tiớu điểm dưới một gúc 0

60 , với:

a) 9x2+25y2=225 b) 9x2+16y2 =144 c) 7x2+16y2 =112

Băi 7. Cho elip (E) cú phương trỡnh

2 2

1.25 / 4 4 25 / 4 4

x +y =

a) Tỡm điểm thuộc elip cú hoănh độ x = 2 vă tớnh khoảng cõch từ đú đến hai tiớu điểm.

b) Tỡm cõc giõ trị của b để đường thẳng (d): y = x + b cú điểm chung với elip (E).

Băi 8. Cho điểm M(2; -2) vă elip (E) cú phương trỡnh: x2/4 + y2 = 1. Lập phương trỡnh đường thẳng (d) đi qua M cắt elip tai hai điểm phđn biệt A, B sao cho

2

4 10 32

(hoƯc AB = )

5 5

AB=

Băi 9. Cho elip (E) vă đường thẳng (d) cú phương trỡnh: (E): 2 2 1

25 4

x +y = ; (d): 2x + 15y – 10 = 0

a) Chứng minh rằng (d) luụn cắt (E) tại hai điểm phđn biệt A, B với A thuộc Ox. Tớnh độ dăi AB.

Băi 10. Cho elip (E) vă đường thẳng (d) cú phương trỡnh: (E): 2 2 1

8 4

x +y = ; (d): x – 2 y + 2 = 0

a) Chứng minh rằng (d) luụn cắt (E) tại hai điểm phđn biệt A, B. Tớnh độ dăi AB.

b) Tỡm toạ độ điểm C thuộc (E) sao cho tam giõc ABC cú diện tớch lớn nhất.

Băi 11. Cho elip (E) cú phương trỡnh: 4x2 + 9y2 = 36. Tỡm cõc điểm M thuộc elip (E) sao cho:

a) M cú toạ độ nguyớn.

b) Cú tổng hai toạ độ đạt GTLN, GTNN.

c) Cú bõn kớnh qua tiớu điểm năy bằng 2 lđn bõn kớnh qua tiớu điểm kia.

Băi 12. Cho elip (E) vă đường thẳng (d) cú phương trỡnh: (E): 2 2 1

16 9

x +y = ; (d): 3x + 4y – 12 = 0

a) Chứng minh rằng (d) luụn cắt (E) tại hai điểm phđn biệt A, B. Tớnh độ dăi AB.

b) Tỡm toạ độ điểm C thuộc (E) sao cho: - Tam giõc ABC cú diện tớch bằng 6. - Tam giõc ABC cú diện tớch lớn nhất. - Tam giõc ABC cđn.

- Tam giõc ABC vuụng.

Băi 13. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E): 2 2 1 25 16

x + y = cú 2 tiớu điểm lă F1 vă

F2. Lấy A, B thuộc (E) sao cho AF1 + BF1 = 8. Tớnh AF2 + BF2.