Chuyên đề Phương trình, Bất phương trình, hệ phương trình ôn thi THPT Quốc gia môn Toán của thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Ví dụ 4... PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - P1 Thầy Đặng Việt Hùng... PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Trang 1

I PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Phương trình (x+a x b x c x)( + )( + )( +d)=e, với a b+ = +c d

Dạng 2: Phương trình quy hồi ax4+bx3+cx2+ + =bx a 0

(x+a) + +(x b) =c

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau

a) x4−3x3+4x2− + =3x 1 0 b) 2x4−21x3+74x2−105x+50=0

c) x4−5x3+10x2−10x+ =4 0 d) x4+12x3+32x2− − =8x 4 0

a) (x−1)(x+5)(x−3)(x+ =7) 297 b) (x+2)(x−3)(x+1)(x+ = −6) 36

c) (x+4)(x+6)(x−2)(x−12)=25x 2

(x+3) + +(x 1) =16

(x−1) +x =97

a) (x2−2x+2)4 −20x x2( 2−2x+2)2+64x4 =0

b) (x+3)4+ −(4 2 )x 4 = −(1 3 )x 4

c)

2 2

1 1

+

x

II PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CƠ BẢN

01 PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

Thầy Đặng Việt Hùng

Trang 2

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95

5 1

11 2 6

x

c) 3 x+1+3 x+2+3 x+3=0

b) x2+3x+2+ x2 +6x+5= 2x2 +9x+7 d) x2 +9− x2−7 =2

a) 4x+ +5 3x+ =1 2x+ +7 x+3

HD: Chuyển vế thích hợp rồi bình phương, sau đó thử lại nghiệm

b) 2x2+ + = +x 1 x x2+ −x 1

2=2x x + −x 1⇒x>0 Biến đổi tiếp ta được 1=x x2( 2+ − ⇔ −x 1) (x 1) ( x2+1)(x+ +1) x2=0⇒x=1

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Bài 1: Giải phương trình 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12)=3x2

Bài 2: Giải phương trình (x+1)(x+2)(x+3)(x+ =6) 168x2

(x+3)(x+2)(x+4)(x+ =6) 14x

Bài 4: Giải phương trình (x+6)(x+8)(x+9)(x+12)=2x2

Bài 5: Giải phương trình x4 +3x3−6x2+6x+ =4 0

Đáp số: 5 17

2

x= − ±

Bài 6: Giải phương trình x4 −8x3+21x2 −24x+ =9 0

Đáp số: 5 13

2

x= ±

Bài 7: Giải phương trình 2x4+3x3−16x2+3x+ =2 0

Đáp số: 2; 1; 2 3

2

x= x= x= − ±

x − x + x − x+ =

Bài 9: Giải phương trình x4 −3x3−6x2+3x+ =1 0

Bài 10*: Giải phương trình x4 + −x2 6x+ =1 0

Đáp số: ( 2 )2 2

Trang 3

I ĐẶT 1 ẨN PHỤ

Kiểu 1: Đặt t= f x( ) hoặc t= k+ f x( )

Kiểu 2: Đặt t= f x( )+ g x( ) hoặc t=a f x( )+b g x( )

Kiểu 3: Chia cả hai vế cho x n rồi đặt ẩn phụ

c) (x−3)2+3x−22= x2−3x+7 d) x(x+5)=23 x2 +5x−2−2

2

1 2 2

3

x

x x x

2

1 2 2

5

x

x x

x

(x+5)(2− =x) 3 x +3x

a) 3x− +2 x− =1 4x− +9 2 3x2− +5x 2 b) 3 x+ −2 6 2− +x 4 4−x2 = −10 3x

2

3 1

2 1

x

Bài 1: Giải phương trình

2

12 2 2

12

2

6

−

x x

x

b) 2x− +3 5 2− x+4x− − =x2 6 0

02 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - P1

Trang 4

a) 7x+7+ 7x−6+2 49x2 +7x−42 =181−14x

b) x+ +4 x− =4 2x− +12 2 x2−16

a) x− 4x−4 + x+ 4x−4 =2

b) x+15−8 x−1+ x+8−6 x−1=1

Trang 5

I ĐẶT 1 ẨN PHỤ

Kiểu 1: Đặt t= f x( ) hoặc t= k+ f x( )

Kiểu 2: Đặt t= f x( )+ g x( ) hoặc t=a f x( )+b g x( )

Kiểu 3: Chia cả hai vế cho x n rồi đặt ẩn phụ

Ví dụ 1 Giải phương trình sau ( ) ( ) 2 ( )

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: ( )

1

2 * 0

x

≥



 ≤ −



 =



( )

2

x x

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0, 9

8

x=

x x

x

2

1

x

c)

12

35 1

−

+

x

2

12 2 2

12 2

6

−

x x

x

a)

1

−

x

b) x2+2x x− =1 3x+1

2

±

=

x

2

±

=

x

a) x2 −2002x+2001+ x2 −2003x+2002= x2−2004x+2003

Trang 6

b) x(x−1)+ x(x−2)= x(x+3)

c) 2x2+8x+ +6 x2− =1 2x+2

Bài 1: Giải phương trình x2 +3x+2+ x2 +6x+5 = 2x2 +9x+7

Bài 2: Giải phương trình x2+4x+ +3 x2+ =x 3x2+4x+1

Bài 3: Giải phương trình 4x2− + =3x 4 3 x4−x2

2

5

x x

+

Bài 6: Giải phương trình 2x2+3x− =14 2 23 x2+3x−10

4

x=− ±

Bài 7: Giải phương trình 2x2+12x+ +5 2x2− + =3x 5 5 x

2

x⇒x= ±

Trang 7

II ĐẶT 2 ẨN PHỤ

2



u dx e

Khi đó biến đổi biểu thức ax2+ + =bx c f u v( ; )→f u v( ; )=kuv có dạng phương trình tích hoặc phương trình đẳng cấp bậc hai theo u, v

+) Xét phương trình A f x( )+B g x( )=C α ( ) β ( )f x + g x

( )

 =





=



v

3

3 1

x

HD: Phân tích x4+ + =x2 1 (x4+2x2+ −1) x2 = x2+ −1 x x2+ +1 x

Khi đó đặt

2

1







3

=

x

2 x −3x+ =2 3 x +8 Đ /s: x= ±3 13

c) 10 x3 +8 =3(x2 −x+6)

2

±

=

x

b) 5x2+14x+ −9 x2− −x 20 =5 x+1

c) 2x2+2x+ =5 (4x−1) x2+3 (Trích đề thi HSG TP Hà Nội năm 2013)

Trang 8

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Giải các phương trình sau

a)

2

4 2

+

x

2(1−x) x +2x− =1 x +2x−1

a) 2x2+5x− =1 7 x3−1 b) x2+2x+ =4 3 x3+4x

a) 6x2+10x+ −11 3(2x+3) x2− + =x 1 0 HD: u2+2v2−3uv=0

b) 12x2−10x+ −18 5(1 2 ) 2− x x2− + =x 3 0 HD: 2u2+2v2−5uv=0

a) 6x2+ − −x 8 (2x+5) 2x2− − =x 2 0 HD: (v−2)(3v+ − =6 u) 0

5a +4ab=0

b) 3 x2+ + −x 3 2 2x2+ =1 2 1 3+ x−13x2 HD: 3a−2b=2 3a2 −8b2

4x + +7 2x+ =3 2 x +4x+13 HD: 2 2

4a b+ =2 a +2b

b) 3x2− + +x 1 4 x2+4x+10= 7 x2−9x−19 HD: a+4b= 7 a2−2b2

a) x2− + +x 1 4 2x2+ + =x 1 2 4x2− +x 3 HD: a+4b=2 2a2+b2

b) 5 x2+ + +x 1 2 2x− =1 3 5x2− +3x 9 HD: 5a+2b=3 5a2−4b2

a) 3x2 −18x+25+ 4x2−24x+29=6x− −x2 4

b) 3x2+ =x x3+4x2+5x+6

a) 2 4x− −1 x2+2x+ =3 x2−10x+6

b) 2 x+ +3 3x2+ +x 12 =2 2 3x2− +x 6

a) x2+ + +x 3 16x2+5x+ =7 2 11x2−8 HD: a b+ = b2−5a2 ⇒b=2a

b) 2 x2+2x+ −8 6x2−5x−10= 31x2−23x−42 HD: 2b a− = 5a2+b2 ⇒b=2a

Trang 9

II ĐẶT 2 ẨN PHỤ

+) Xét phương trình A ax b3 + +B cx+ =d C

Khi đó ta đặt

3 3

3 2

= +





f u v

Kết hợp với pt ban đầu ta được hệ phương trình 3 2 ;

( ; ) 0





=



f u v +) Xét phương trình n+ = n −

x a b bx a

Khi đó ta đặt n − = ⇒ − = n

bx a t bx a t

Ta có hệ phương trình đối xứng loại 2 theo ẩn x và t:  + = ;

 + =



n n

Chú ý: Trong trường hợp tổng quát, với phương trình n( )+ ( )= ( )n ( ) ( )− ( )

f x g x h x h x f x g x thì ta đặt

( ) ( ) ( ) ( )





n n

n

f t g x h x f x

f x g x h x f t

2− = −x 1 x−1 b) 3

4x+ =4 3x+1 b) 3

18− +x x− =1 3

Trang 10

28

+

28+ = +2

x

t

4

2 + = −

4

2

− = +

2

+

c) x2+2x− =3 3−x

HD: Biến đổi phương trình về dạng x2 +(2x− =3) x−(2x−3)

Đặt

2

(2 3) (2 3)

1 (2 3)



= − −



2

a) x2+3x− =1 x x2+2

HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng (x+1)2+ − =(x 2) x x x( + − −1) (x 2)

Đặt x x( + − −1) (x 2)= +t 1⇒(t+1)2+ − =(x 2) x x( +1)

Khi đó ta có hệ phương trình

2

( 1) ( 1)

1



= − −



Trang 11

Đặt x(2x− − + = −1) (x 1) 2t 1, từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải

HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng (x−1)2+ = +x (x 2) (x+1)(x− −1) x

Đặt (x+2)(x− − = −1) x t 1, từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải

b) 4x2+5x= +(x 2) 2x2+4x+3

HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng (2x+1)2+ − = +(x 1) (x 2) (x+2)(2x+ − −1) (x 1)

Đặt (x+2)(2x+ − − = +1) (x 1) 2t 1, từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải

HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng (x+1)2− − = +(x 1) (x 2) (x+2)(x+ + −1) (x 1)

Đặt (x+2)(x+ + − = +1) (x 1) t 1, từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải

c) 2

(x−1) =3 x−3 e) x2+ =3 2 6x+5

Lời kết cho một bài toán đẹp:

Việc tại sao thầy viết dễ dàng phân tích được vế trái của các ý trong các ví dụ 8 và 9 thầy tin là sẽ làm nhiều bạn cảm thấy bứt rứt và ngạc nhiên! Các em hãy khám phá điều kỳ diệu đó để thấy hết được vẻ đẹp sửng sốt của những bài toán này!

Trang 12

III ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a) x2+2x+ + −3 (1 3 )x x+ =2 0

1

2

= −







t x

t

b) 10x2+3x+ = +1 (1 6 )x x2+3





c) x2+12x+ = −2 (x 2) x2+8x+1

1

3

= −







t x

t

1

=





t x

b)

2

1

+ =

−

x

1

1 3

= +





t x

c)

2

+

x

2 2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2

=





t x

b)

2

8

+ =

+

x

3 8

2

=





t x

a)

2

+ + =

+

2

1

=





t x

+ =

x

=





t x

Trang 13

a) 3x +2x+ =3 (3x+1) x +3 HD: Đặt 3

2



= −





Bài 6*: Giải các phương trình sau

a) (x−2) 4x− =3 x2− +3x 1 b) x2+3x+ = +7 (x 2) x2+2x+7

Lời kết:

Đặt ẩn phụ không hoàn toàn là một phương pháp khó (khi cần tìm hệ số của t2 cho thích hợp), tuy nhiên lời giải của bài toán lại rất sáng sủa và đầy tính bất ngờ!

Thầy hy vọng bài giảng và các ví dụ mang đến cho các em một cái nhìn trực quan hơn về một phương pháp giải phương trình vô tì cũng rất hay gặp!

TAM BIỆT ẨN PHỤ, NGÀY MAI TA SẼ SỬ DỤNG LIÊN HỢP KẾ!

Trang 14

Ví dụ 1 Giải phương trình x− +4 6− =x 2x2−13x+17

Hướng dẫn giải:

Điều kiện 4≤ ≤x 6

(2 3) 0

x

=





Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 5

5

+

c) 4+ x− = +1 x 2x−5

2 7

1

+

x

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

3

=

b) 3 2x+ +7 1 5− x+2x2 + − =x 14 0 (Đ/s: x= −3)

03 PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Trang 15

+ + + + + = +

7

b) 2x2+ + +x 1 x2− + =x 1 3x

a) 3x2 −7x+ −3 x2− =2 3x2−5x− −1 x2− +3x 4 (Đ/s: x=2)

a)

x x x

x

21 21

21

−

+

− +

+

x x

x

− +

−

6 5 7

5 7

3 3

Bài 6 Giải các phương trình sau:

Bài 7 Giải các phương trình sau:

a) 5x2+ + −x 3 2 5x− + − + =1 x2 3x 3 0

b) 2x2+ =3 3x+ +1 5x+4

Bài 8: Giải các phương trình sau

a)

2

x

Bài 9: Giải các phương trình sau:

a) x4+ 2x2+2x+ =3 4x2+5x+3 b)

2

+

Trang 16

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT

a) x3+2x= −(5 3 ) 5 3x − x+2 5 3− x

b) 2x+ +1 x x2+ + +2 (x 1) x2+2x+ =3 0

3x 2+ 9x + +3 (4x+2) 1+ +x x + =1 0

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:

a) x2− + +x 1 x2+7x+ =1 4 x

b) 3 x+ =1 3x2− +8x 3

c) x3−4x2 −5x+ =6 37x2+9x−4

2x + +1 2 3−x x−7 3− =x 0

( )= ( 3− ); ( )=2 +

3 2

=

a) x3−6x2+12x− = − +7 3 x3 9x2−19x+11 (Đ/s: x = 1; x = 2; x = 3)

b) x3+3x2+4x+ =2 (3x+2) 3x+1

a) 2x3+7x2+5x+ =4 2(3x−1) 3x−1

04 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Trang 17

Bài 7: Giải phương trình ( ) ( 2 ) ( 2 )

Bài 8: Giải phương trình 8x3+6x+ =1 312x2+2x+1

Bài 10* Giải phương trình ( )2 2 2 2

Bài 11 Giải phương trình x3−5x2+6x+ =2 32x2−2x−4

3x+ = +4 x 3x + −x 2

Bài 13 Giải phương trình (x+3) x+ + −1 (x 3) 1− +x 2x=0

Bài 14 Giải phương trình 8−x2 = −x3 3x2+4x−2

Bài 15* Giải phương trình (x+2 2)( x− −1) 3 x+ = −6 4 (x+6 2)( x− +1) 3 x+2

x + x + x + x+ = x + x + x+ x+

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	778,02 KB