Hệ phương trình ôn thi THPT quốc gia môn Toán

Hệ Phương Trình Ơn Thi ĐẠI HỌC 2015 Tác giả : Nguyễn Thế Duy www.MATHVN.com Tuyển tập 42 Hệ phương trình ƠN THI ĐẠI HỌC 2015 Tác giả : Nguyễn Thế Duy Lời nói đầu : Cũng tiêu đề viết , viết gồm 42 hệ phương trình vơ tỷ ơn thi ĐẠI HỌC năm 2015 gồm : 1) 2) 3) Phần I Các toán sử dụng phương pháp : nhân tử , liên hợp , ẩn phụ , hàm số Phần II Các toán sử dụng phương pháp đánh giá Phần III Phân tích hướng hai tốn Khối A Khối B năm 2014 Tồn tốn sưu tầm mạng xã hội lời giải tác giả viết Nguyễn Thế Duy trình bày Hi vọng mong muốn bạn có nhiều phương pháp giải hệ phương án đối mặt gặp để biến tốn hệ phương trình trở nên đơn giản hóa giải cách dễ dàng Phần I Các toán sử dụng phương pháp : nhân tử , liên hợp , ẩn phụ , hàm số x  y 2     x  y xy Bài toán Giải hệ phương trình :  xy x  y    x  2x  x y   Lời giải Điều kiện : x  y  ; xy  Phương trình đầu hệ phương trình viết lại thành : x  y    x y 1 2   0  2  xy x  y xy xy x y x  y  x y 1 x y 1 1x y   0 2 xy x y x  y  x  y    Với x  y  xuống phương trình hai có :   2xy x, y        2 1 y  x  3 3x  4x      2 1 y  x   3 2  Với  x  y  x  y xuống phương trình hai có :    2x  x  x  y    x 1 x  y2    x   0  x  y    x    ptvn  y   2  1  2  1  ; ;  ;    3   3      Vậy hệ phương trình cho có nghiệm : x , y   x  y  3x  6x  3y    Bài tốn Giải hệ phương trình :   x  y   x  y   x  5x  12y   Lời giải Điều kiện : x  ; y  1  Phương trình tương đương với :        x  3x  6x   y  3y  x   x   y  3y  y  x  Thế vào phương trình hai ta : www.DeThiThuDaiHoc.com x, y   www.MATHVN.com x  1 x   x   x   x  7x  12   x  1  x     x    x     x  x 1  x 6  x      x  4   x 2 2 x 7 3  2x   x    suy : x    Do x  nên  x 1 x 2 2  x 2 x 2  x 6 x 6 x 4     0     x 7 3  x 7 3 x 2 2  x 2 2 x 6      Từ suy x, y  2, nghiệm hệ phương trình   2x  xy  x   x  3y  y  x  y   Bài toán Giải hệ phương trình :  2 4x  y  4xy  6x  3y    x, y   2  Lời giải Điều kiện : 2x  xy  x   ; x  3y  y  Xử lý phương trình hai có : y  2x  4x  y  4xy  6x  3y    2x   y 2x   y    y  2x    Với y  2x  xuống phương trình hai :    4x  x   4x  x   3x   3x 4x  x   4x  x  1  4x  x   4x  x    4x  x   3x  x x x    2x 4x  x   3x    2  x  2 4x 4x  x   3x       4x   4x  3x   3x  Ý  Với y  2x  xuống phương trình hai : 2 1 Do hệ phương trình có nghiệm x, y  1, ;  ,   3 3  xy   x  y  y  xy  x  y Bài tốn Giải hệ phương trình :   x  y  xy  x  x   tưởng giải tương tự trường hợp ta x           Lời giải Điều kiện : x, y  ; xy  x  y Chúng ta có :  xy  x  y      x, y    xy     xy   x  y  y  xy  x  y   xy   y    x  y 0 x  y  x y y  xy    0  0  x  y xy  x  y xy   y x  y xy   y  xy  x  y   4   x   x   Từ phương trình hai : y  xy  x  x  2  x 1  www.DeThiThuDaiHoc.com x       x  y y  xy         www.MATHVN.com y  xy  Hay nói cách khác : y  xy     xy  x  y    x  y xy   y 0 Do từ phương trình x  y  suy xuống phương trình hai ta : x  y  x  y      17  x  2x  3x   x y      Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm kể  x  xy   y    2y  Bài toán Giải hệ phương trình :  2  x y  y 1    Lời giải Điều kiện : xy  1 ; y  2    x, y    Cộng chéo theo vế hệ phương trình ta :  x   xy   y    2y  x  y    y  1 2  x   xy   y    2y  x  2y  2xy  2y  xy   y   y  xy       xy   y   xy  y      xy  y    xy  y    1   xy   y   xy   y    Với xy  y  kết hợp với phương trình hai có : xy  y       xy  y   2    1     ;   1,  x  y  y    x , y  2,1 ;  1  2,  2 2    xy  1 ; y  2           Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm kể    2y  4xy  3y  4x   y  y  2x  Bài tốn Giải hệ phương trình :   y   y  2x  y  x    Lời giải Điều kiện : y  ; y  2x  Bình phương phương trình hai ta : Phương trình viết lại thành : 2y   x, y   y  1y  2x    y  1y  2x    3y   4x y  1  y  1y  1y  2x  Từ hai điều suy : y     y 1  2y  3y    y  y   2y   y    y   y 1       41   23  Do hệ phương trình cho có nghiệm x , y   ,  ;  ,    72   24           x  3y  x  y  2x 2y    Bài tốn Giải hệ phương trình :  x   x  y  9y   Lời giải Điều kiện : x  y ; 2y  www.DeThiThuDaiHoc.com x, y   www.MATHVN.com a  x  y 2x  2a  b   x  y  a    Đặt b  2y     x  3y  2b  a  hệ phương trình trở thành : 2y   b a, b  x  9y  a  4b       a  2b  a  b  2a  b     a  2b  a     2 2 b  a  2a   4b  a  2b  a  b  2a  b     x  y  x    Do suy :  nghiệm hệ phương trình   2y    y     y 1 x y  x y 1 y  x 2  Bài toán Giải hệ phương trình :  x, y  2 x y   y x              Lời giải Điều kiện : x  y  x       a  x  y  Đặt   a  b  x phương trình hệ phương trình trở thành : b  y  b         a  a  b  a  b2   a  b  a  b   Phương trình hai hệ phương trình viết lại thành :    x y    y x   x y   16x y   64  y x    x  2x y   y    x  y  a  x  b   Với  x   Với  x   y 8 x  y 1  ta có :   y 8 x  1 ta có :   Với a  b        x  y2    x  y  x  4,    y2  y  3, y   y    y  1 x     y 8 y   x  y  y   phương trình vơ nghiệm x  y  y      9 7  2 2 Kết hợp với điều ta nghiệm hệ phương trình x, y  3,1 ;  ,    x  y  x  y  2xy   Bài tốn Giải hệ phương trình :  2 xy x  y   x  y  4x y   4y x    Lời giải Điều kiện : x, y   x, y    Phương trình viết lại thành : x  y   x  y  2xy  x  y   2xy 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :     2x y   x  4y    4x y   4y x   x  y  x  y   2y x   y  4x    Từ điều kết hợp với phương trình hai đa :           Từ 1   suy : x  y  x  y   12 x  y   16   x  y     xy x  y   x  y  x  y   x  y  2xy x  y  16  12 x  y www.DeThiThuDaiHoc.com  2    x y  www.MATHVN.com 2x  y    Dấu = xảy 2y  x   x  y  nghiệm hệ phương trình  x  y    x  y  2y   x  y   x, y   Bài tốn 10 Giải hệ phương trình :  y   xy  y   Lời giải Điều kiện : x  y  a  x  y  Đặt  b  2y    a  b  x  y  , phương trình trở thành : a  b  a  b  Từ cách đặt, ta có : a  x  y x  y  a     a 2b  a  b  x  y   x  y 2y   2xy  2y  2y   2y   b  b  2y       Mặt khác , từ phương trình hai : 2xy  2y  2y  nên suy a 2b2  a  b  Do ta có hệ phương trình : a  b  a  b   a b 1  2 2 a  b  a b    x  nghiệm hệ phương trình ban đầu   y     x y  Bài toán 11 Giải hệ phương trình :   y  y x  y   x  xy  y  2 x y  3x   2x  3x   x, y   y 1   Lời giải Điều kiện : x  y  a  x  y  phương trình trở thành : b  y  Đặt     ab a  b  ab  a  b         ab a  b   a  b  a  b   ab  a  b  Với ab  a  b  ta có : y  xy  y   x  y  y  xy  y   x  x y   y  y     x  y    Đặt t     y    y  t  xuống phương trình hai có : x x t   3x   2x  3x t   t  x  t  x     x          2       y   1  y 1 1    TH1 Với y  vào phương trình  ta có : x  x   TH2 Với x  y  vào phương trình  ta có :         y 1   y 1   y  y  1  y   1    y     y    y    vô nghiệm VT  y  1  y 1 1   y 1 3  y 1 2       Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x, y  1,1 ; 2,1  www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com   y  y  x  y  2y   Bài tốn 12 Giải hệ phương trình :  2 y  y  y   2y  y x  y  y x   Lời giải Điều kiện : x  y Khi phương trình hai có dạng :  y y x y   x, y    y  y x  y  y y x y 2    y  y x  y  2  Xử lý phương trình :  y  1 x y    y  y   2 x  y  Với y  1 xuống phương trình hai suy x   Với y  y   2 x  y ta có : y  1 y    y 1  y 1 y  y   2 x  y y  y   2 x  y   Hệ phương trình :   2y  2y x  y   y 2 y y 1    y  y   2 x  y   y  y   2 x  y Hệ phương trình :   2y  2y x  y  4 y  y  3y        Kết hợp với điều kiện, nghiệm hệ phương trình ban đầu thỏa mãn điều       x 1 x y  x y 1 x   Bài toán 13 Giải hệ phương trình :  2 x  2x  x  xy  xy  y  17   Lời giải Điều kiện : x  y x  a  x  y  Đặt  b  x   x, y      phương trình trở thành : a b   b a   Mặt khác phương trình hai biểu diễn dạng :    a  b  21   ab a  b   a  b   Khi hệ phương trình cho tương đương  ab    a  b   21  2ab  t u  1  ut  t  t  a  b u        Đặt  , ta có :  t  u  ab u    t  21  2u  u    t  21  2u     x  xy  2  2x  y  21  ab  2 Vậy nên 2 2 2 x  y , x nghiệm phương trình : X  X  3X      X   x  x    or   y  3 y          Dựa vào điều kiện kết luận hệ phương trình ban đầu có nghiệm x, y  1, 3 ; 4,  x  3y  3x 2y  xy  x  3y  Bài toán 14 Giải hệ phương trình :  2x  3 3x  36y   x 27y  x   Lời giải Điều kiện : x, y  Chúng ta có : www.DeThiThuDaiHoc.com x, y      www.MATHVN.com x  3y  3x 2y  xy  x  3y  x  3y x  y  x  3y      x  3y x  y    x  3y  x  9y  x  27y 2 2 Thế vào phương trình hai ta :  3x  4x   x  2x  x  3x  3x  x   x  2x  x  x  x     x  3x         x  2x  x  x  3x     x  2x  x         x  3x  x   x  2x  x  x Do hệ phương trình có nghiệm : x, y   1,   x  2x  x  x     x  x2  x   x2     ptvn   x  x2  x    x 2x  y  y 16  2x  Bài tốn 15 Giải hệ phương trình :  2 x  y  x   x  y  11   Lời giải Điều kiện : x  ; x  y  11    Phương trình cho trở thành :  2 1   1   1  , ,  ;   ;   3 3  3 3       x, y      2x  x 4y  16y  2x 2y  x  8y  x 2y x  2y     x  2y x  2x y  4y 2   x y x 2   2y   x  2y Với x  2y xuống phương trình hai có : x  2x   x  x  2x  22 x   x  2x   x   x  2x  22      x 1 x   x 1 x 1  x  1x  3 x  2x  22  0 Mặt khác : x 3 x 3    x 3 x  2x  22   x 1 x  2x  22  x  2x  22  Do x   y  nghiệm hệ phương trình   y  2x  y  x  x  xy   Bài toán 16 Giải hệ phương trình :  2 x  y  2xy  3x     Lời giải Điều kiện : 2x  y   Xét phương trình , ta có : y  1 2x  y  x  y  1  x      x  xy   y      x 1  x  x, y     2x  y  y  x   x  y  2x  y  x   2x  y Mặt khác , từ phương trình hai : 3x   x  y   x   2x  y    x  hay x   2x  y  suy x  y  y   x   2x  y  x  y  2x  y   2 x  y  2xy  2x  y  www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com  x  y  2xy  2x  y x    Kết hợp với phương trình hai ta : x  y  2xy  3x     y  x  y ; 2x  y       Vậy x, y  2, nghiệm hệ phương trình ban đầu  Bài tốn 17 Giải hệ phương trình :     y 1 x2   y     2   x  4y x    x        x  x, y    1 y 1     Lời giải Điều kiện : x  ; y  a  x     x  a  hệ phương trình cho trở thành :  y  b2  b  y 1      3  a  b b2     ab  b  ab  b     2 2 2 a  4ab   5a b a  4ab  3ab  3b  5a b  a  4b  a   5a  ab     ab  b      a  b a  3b  a  3b a      2 3 b  ab  b  a  7ab  5a b  3b  ab  b       x2   x  10 a     Với  ta có :    x, y  10, ;  10,  b 1 y 2 y 1        Đặt                     x, y   x x  y  x  y  2y 2y   Bài tốn 18 Giải hệ phương trình :  8x  8y  x  y   8y 2x  3x    Lời giải Điều kiện : x  y  ; y  Từ phương trình có :        x x  y  x  y  2y  2y  x  xy  2y   x  y  2y  x  y   x  y x  2y  0 x  2y  0  x  y  2y  x  y  2y  Mặt khác với điều kiện : x  y  ; y  x  y  y   nên  vô nghiệm x  y  2y Với x  y  phương trình hai trở thành :    x y    8x  8x   8x 2x  3x   x  2x  3x        2x     13 x   x       13  13      ; ; ;  Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm : x , y      4 4      2 2x  3x     2 2x  3x   4x      www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com   x y  x 1  x 1 x y Bài tốn 19 Giải hệ phương trình :  x  x   y  y x     x, y     Lời giải Điều kiện : x  ; x  y  x   Đặt t  x    x  t  phương trình trở thành :   t2  t  y   t2  t   y2  t2  t  y   t   t2  y2    t t y 1 t 1   y t   y t y t   t t y 1 t 1 t t y 1 t 1     y t y t  Từ phương trình hai có :    x    y2  y  Do suy :  y  t ta có : y  t  y    x    y  y   y  0;1  y  t     t  t  y   t   hay nói cách khác từ phương trình x  xuống phương trình hai : y  x   y  x     5 1     x, y  1, ;  ,   2  2   y 1  y y y  y  2y               Do hệ phương trình có nghiệm kể    y  y   3x  x  x   Bài tốn 20 Giải hệ phương trình :   x  y  x  y  2y     Lời giải Điều kiện : x  y ; x    x, y   a  x  y   a  b  2y phương trình hai trở thành : b  x  y   a  b  a  b    a b   b  5b  Đặt            a b 1  b 1 b   a b   x y   x y Mặt khác , xét phương trình có :  y3  y  x    y    y3  y   y3    x 2 3 x 2 2   3 x  2  x   x   1   x   1  y  x   x 2 3 Do hệ phương trình ban đầu trở thành : 2  x  y   x  y   x   y   x   y   y 1 y   y 1 y 2    y   x   x 2  y 1   x 2  y 1      2 y  y   y  3y   x    y  y   y  3y  y       y   x 2  y 1   x 2  y 1   x 2  y 1               Kết hợp với điều kiện , hệ phương trình có nghiệm x, y  3,  x y   x x  y   2 4x  9y  16  9xy  7x  9y  Bài tốn 21 Giải hệ phương trình :  www.DeThiThuDaiHoc.com  Lời giải Điều kiện : x  y  x, y    www.MATHVN.com a  x  y  Đặt   a  b   x có : pt  a  b a  b   b  y   Với điều ta đặt a 2b  xy  y  y  x mặt khác từ phương trình hai ta có :       4x  16x  16  xy  y  y  x  x     9a 2b 2a  2b   3ab 2x   3ab   2 2a  2b   3ab  2x   3ab    Như hệ phương trình cho trở thành :        a  b a  b2    a  b a  b2     or   2 2a  2b   3ab 2a  2b   3ab    Giải hai hệ phương pháp ẩn phụ cho ta nghiệm hệ ban đầu : x, y  2, ; 2,1         y  8x   xy  12  6x   Bài toán 22 Giải hệ phương trình :   x  y  10x  6y  12  y  x    x, y     Lời giải Điều kiện : x  2 ; y  ; y  8x  Xử lý phương trình hai ta có :  x y    10x  6y  12  y  x   x  y   x 2y   x 2y           x 2  y   x 2y  x 2  2  x 2 2 y  x 2  y   10x  6y  12    x 2y x 2  y     x 2  y  0 y   y  x 2  Với y  x  nên phương trình ta : x  4x  13  x  4x  12   x   y  Sở dĩ phương trình cuối dùng phương pháp đặt ẩn phụ ta giải dễ dàng Do hệ phương     trình ban đầu có nghiệm x, y  2,  x y   y x    2 x y  16x  16y  12  20xy  x, y   Bài toán 23 Giải hệ phương trình :   Lời giải Điều kiện : x, y  a  x     x  a  Đặt  phương trình trở thành :  y  b  b  y     a          b  b  a   ab a  b  a  b   a  b ab   Xét phương trình hai :  x 2y  16x  16y  12  20xy  xy          16 x  y   16xy  xy        16 xy  x  y  Mặt khác : a 2b  x  y   16 xy  x  y   16a 2b nên ta có : xy  2     16a 2b  xy   4ab  a  b    4ab a 2b  a  b  4ab    Cuối ta hệ phương trình :   a  b ab        a  0, b    a  1, b   Vậy hệ phương trình có hai nghiệm kể  www.DeThiThuDaiHoc.com          x, y  1,    x, y  2,1  www.MATHVN.com Bài tốn 24 Giải hệ phương trình :     2x  y 4x  2y   x 2y  xy  x  y  7x   2 2 2  x  y  x  y  xy  yx   x, y     Lời giải Điều kiện : x  y ; xy y  x  Từ phương trình ta có :   4x  y  2x  y  x 2y  xy  x  y  7x  x  2y  2x  y  x 2y  xy  x  y  2      x  2y  2x  y   x  y y  x     x  y    x  y y  x   y  x    x  2y  2x  y  x y  x  y y  x  2 2   2 x  y  y2  x   x  y  y2  x  x  y   x  y  y2  x   x  y  y2  x   x  y   TH1 Với x  y  xuống phương trình hai ta có : x  2x  2x  x x      x, y  0, ; 1, 1 x 1           TH2 Với y  x  xuống phương trình hai ta có : 2x   2x  2x   x  x  ptvn Phương trình dễ dàng chứng minh vô nghiệm phương pháp bình phương hai lần hệ phương trình cho có hai nghiệm kể    x  7y  Bài tốn 25 Giải hệ phương trình :  2  y   Lời giải Điều kiện : x      x  y  7x   y  2xy x  y  x  2x   2x   y x, y   1 ; y  Phương trình cho trở thành : x  7y  y x y Đặt a    y  7x  x x y x y ;b  y  8 2 x y y x y x 6  6 8 y x y x x y x y  a  b  ta có : x a  b  a  b     a b    2 ab a  b  a  b  2ab a  b    Với x  y  x  xuống phương trình hai ta :     x y  y x y x y x x  2x   2x x  2x  x  2x  x  2x   x  2x    2    2x  2x x  2x   2  x  2x  2x  x  2x    x  y    1x   x  2x   x  2x   x  2x       Vậy nên hệ phương trình có nghiệm x, y     1,   www.DeThiThuDaiHoc.com    www.MATHVN.com  x  x  x  y  y2  y    Bài tốn 26 Giải hệ phương trình :  2 x  y    Lời giải Điều kiện : x, y  Trước hết x  1 nhận xét không nghiệm hệ phương trình , ta có : x       x, y   x  x  y  y2  y    x  y  y2  y   x  x   x  x  x2  x   x 1  x  1 Chia hai vế phương trình cho x  ta : y  y  y       Rõ ràng đến xảy hai tình :  x   x   x  a) Nếu x   có :   y  y  y         1  x  1  x  1  x  1    x  1 y  x  kết hợp với phương trình hai :        x   1 x    y    2  x 1 y x    x    y  1  x  y     2     x   suy  x  1 f y  f  Đến xét hàm số f t  t  t  t  hàm số đơn điệu    b) Với trường hợp x   ta khẳng định x  y  x x  1  Tóm lại từ phương trình có :    y x   x  1  1 nghiệm x, y    ;   ;   2  2       hệ phương trình ban đầu có hai  ; 1       0  xy   2y  x x  4y   Bài tốn 27 Giải hệ phương trình :   y x y 1  y 2 x 1        x, y    Lời giải Điều kiện : x  4y  ; x   Phương trình hai hệ phương trình viết lại thành : y 1  y 1   x 1 1  x 1 1  Sở dĩ có điều ta xét hàm số f t  t  Với y     f y 1  f   x 1 1  y  x 1 hàm số đồng biến tập xác định t x  vào phương trình có :    x x 1 2  x 2   x2  x   x    x  4x  x  4x  x     2 2  x  x   x  x  4x   x     x 0 6x  16x  16x       www.DeThiThuDaiHoc.com      www.MATHVN.com Do hệ phương trình ban đầu có nghiệm x, y  0,1   4x  2 2x   4x  2x y  2y   x Bài toán 28 Giải hệ phương trình :  3    2y  x  2x  x    2x    Lời giải Điều kiện : x  ; x   x, y   1 ; y  2 Với điều kiện x  phương trình trở thành : 4x  2x   4x  2x y  2y  x     2y  2y   x x x 3 1          2y  2y x x x x 3  1  1           2y   2y  x  x   2         ; b   2y phương trình  viết lại thành : x     a  a  b  b  a  b a  ab  b     a  b      x  a  b   b2          Với   2y   xuống phương trình hai có : x  Đặt a    x 1  x   2y x  2x  x   2x  1   x  2x  x  2x  x 3   1 1 3 2  2                     x x x x x x  x x         Lập luận tương tự xét hàm số f t  t  t dễ dàng cho ta :   1 2 1 3     1    1    x  y  x x x x    1   ,  nghiệm hệ phương trình  Kết hợp với điều kiện suy x , y        x  1  2y  xy  xy  y x    Bài toán 29 Giải hệ phương trình :  x, y   2x  2 x   y  x 1           Lời giải Điều kiện : x  ; y  Phương trình chia hai vế cho y x  ta :   x x 1  2  y Lấy pt  pt có : www.DeThiThuDaiHoc.com 2x x 1   3 www.MATHVN.com  2x x 2x x    2  2   y x 1 x 1 y x 1 2x x 2x x      4 y x 1 x 1 x 1 y x 1 x x 4 x    x 4  0x 4 x 1 x 1 x 1   Từ dễ dàng tìm nghiệm hệ phương trình ban đầu   x   y  x2  y   Bài toán 30 Giải hệ phương trình :   x  y  6x  2y   y  x    Lời giải Điều kiện : x  ;  y   x, y    Ta xử lý phương trình hai sau :  x y   6x  2y   y  x    2x  4xy  2y  6x  2y   y  x   y x         x   2y x   y   x   y  y x        x 1y    x 1  y      y  x 1  Với y  x   thay vào phương trình ta :  x   x  x2  x      x   x  x    x  x  3x    x  3x  x 1 x  x  3x   x  3x   x 2 3x   1  x  3x     0 x 1 x x 2  x    x  3x    x  3 3 5 5 3 5 5 , , ;  Từ suy hệ phương trình có nghiệm x , y    2   2            Phần II Các toán sử dụng phương pháp đánh giá      2x 2y  x 4y  x  2x  y  Bài toán 31 Giải hệ phương trình :  1   x  y  x x  x  2y   Lời giải Điều kiện : x, y      4   x y   2x  x  y Viết hệ phương trình cho lại thành :  1   x  y  x x  x  2y   x, y        Lấy phương trình hai trừ cho phương trình ta :     x y  1  x 2y   2  1 1 x y    x  y2  0 x  y   x y 1 x y   www.DeThiThuDaiHoc.com   1 1 x y  Thử lại , suy x  y  nghiệm www.MATHVN.com hệ phương trình      y  4x   4x 8x   Bài tốn 32 Giải hệ phương trình :  40x  x  y 14x    Lời giải Điều kiện : 14x  ; y  x, y   Chúng ta có :    Mặt khác theo bất đẳng thức AM – GM ta :    4x 8x   2y 14x   y  4x   40x  x  4x 8x   2y 14x     8x  1  2y 14x   1 8x    8x     y  14x  3   y  4x   40x  x  8x  2 2  y  4x   40x  x 8x           nghiệm hệ ban đầu  ;y   1      2xy  2y Bài tốn 33 Giải hệ phương trình :   2x x, y   x  2x  y  2y    Do dấu = xảy x    Lời giải Điều kiện :  x , y       Trước hết , ta chứng minh bất đẳng thức : 1  2x  1  2y  2xy  1  2xy Thật , theo bất đẳng thức Bunhiacopxki có :  1     2x  2y    1    2   2    2y   2xy   2x  2 x  y 2xy  1    0 0  2x  2y  2xy  2x  2y  2xy        Dấu = đạt x  y nhiệm vụ cịn lại khơng khó khăn với phương trình hai :   73  73    73  73   73 x  2x  x  2x   x   x, y   , , ;   36 36 36   36 36      Do hệ phương trình cho có hai nghiệm kể        x  2x   y  4y   Bài toán 34 Giải hệ phương trình :  6x  y  11  10  4x  2x    Lời giải Điều kiện : y  4y   ; 2x  4x  10  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM có : www.DeThiThuDaiHoc.com x, y   www.MATHVN.com    14  4x  2x 10  4x  2x y  6x  11  10  4x  2x  2 Rút gọn ta : y  6x  11  14  4x  2x  x  10x  2y  15    2 Tiếp tục cho phương trình có : x  2x   y  4y   y  4y   2x  4x  y  4y   Cộng vế với vế hai phương trình ta có :    3x  6x  y  6y  12   x   y   x   0 y  3  Kết hợp với điều kiện suy hệ phương trình có nghiệm kể  x  xy  3y  y xy   Bài toán 35 Giải hệ phương trình :  2x y2  1  1 y 1   x   Lời giải Điều kiện :  x  ; y   x, y    Nhận xét y  không nghiệm hệ phương trình nên có : x  x x pt      3 y y  y  Với x  y vào phương trình hai ta : Theo bất đẳng thức AM – GM : 2x  1 2x  2  x   x2 1 2x x 1x y y 1 x 1  ta :      25 x  2x 9 g x     x 1    x 1 5x 8 5x 1 2x 9  g x g x   x 1   x 1  8 Dấu = xảy x  suy x  y  nghiệm hệ phương trình  x2               y  24 x  x   y  0  Bài tốn 36 Giải hệ phương trình :  2y   5x  y    x  y      x, y    Lời giải Điều kiện : x  ; 5x  y   ; 2y  ;  x  y Đặt t  x   , trước hết ta có đánh giá sau : t     t  4t  4  t  4t   2y       2y     2y      2y      49 49  y  4  y4 2y  2y   y    49  2y    y   49  y   y    49 5t  y  y  t  , theo bất www.DeThiThuDaiHoc.com đẳng thức Bunhiacopxki ta có : Ta viết phương trình hai lại thành : 2  www.MATHVN.com     1 5t  y  y  t   5t  y  5y  5t      6y  36  5t  y  y  t  5     5t  y  y  t t  x     Dấu = đạt :  nghiệm   y  y  y     hệ phương trình ban đầu      x2   x 3 x, y   Bài toán 37 Giải hệ phương trình :   x y 4y  3x   5xy  5y   Lời giải Điều kiện : x, y  Sử dụng đánh giá cho phương trình :      2    2x  x2   2x     x     2x    x y x y  x y 4 x y    x y 2            x2   x  x  y   2x x  y     x   2x  x y x y 4   x  xy  4x  3x  3y  12  2x  2xy  8x    x  xy  x  3y        *  * *  Phương trình hai để thuận tiện đánh giá đưa thành : 5xy  5y  4y  3x      Lấy * *  * suy :  x  xy  x  3y   5xy  5y  4y  3x    x  2y     x  2y  Với điều kiện để bất đẳng thức xảy x  y  nghiệm hệ phương trình   2  x 1 2 x y   x  y4 Bài tốn 38 Giải hệ phương trình :  x  x  3y    Lời giải Điều kiện : x, y      Áp dụng đánh giá bất đẳng thức AM – GM ta có : x  y x   y2  x, y   2   x y x  y2   Do từ phương trình ta có : x  y2      7    x  y2   x  y2 2 x y    x  y2   x  y2  x  x     2 2 x  3y  x  6x  y   2x   Bình phương phương trình hai : x  x  3y      Kết hợp với đánh giá : x  y   x  2x    x  0x 1 Đối chiếu với tất điều kiện để dấu = xảy suy x  y  nghiệm hệ ban đầu       x   y  x 2x   Bài toán 39 Giải hệ phương trình :  3x  x   y x  x   Lời giải Điều kiện : x, y  Hệ phương trình cho tương đương với : www.DeThiThuDaiHoc.com x, y    www.MATHVN.com  x   y  x 2x   x   y  x 2x      2 3x  x   y x  x 5x  x   2y x  x             Áp dụng bất đẳng thức AM – GM có : 2x   4x  2x   2x   x  2x   y   2x  4x   2y  2x   2x  6x   2y    2.4x 2x   Và từ phương trình hai ta có điều sau :   5x  x    2y x  x  y  x  x  5x  3x   y     Do 5x  3x   y  2x  6x   2y   2x  y  2 0x  nghiệm hệ phương trình  Bài tốn 40 Giải hệ phương trình :  2x  4y  4  xy    x   xy    2 3    x y 1 y x     x, y     3x  2y   2x x y   x  y    Lời giải Điều kiện : x  ; y  3  Phương trình hệ cho tương đương với : 2x  xy  4y     2x  3y  x x  y  y   4xy  4y  2x  3xy    4xy  4y  2x  3xy  2x   3xy xy  y  0 Phương trình hai viết lại thành :   x  x y3    2 x y 3  x  y 3  x y 3      x y 32 x x y 3  x y 3       x  y3  0 Kết hợp hai điều suy x, y  4,1 nghiệm hệ phương trình  Phần III Phân tích ý tưởng hai tốn khối A B năm 2014   x 12  y  y 12  x  12  Khối A.2014 Giải hệ phương trình :  x  8x   y   x, y    Lời giải Nói chung mạng xuất nhiều lời giải cho viết riêng nên đem mà phải đối mặt với câu hệ phịng thi Và hi vọng có ích cho bạn đọc biết Trước hết , nhìn câu hệ tơi phải tới 1,2 phút định hướng cần phải làm Các bạn , dành vài phút để nháp Việc quan trọng tìm điều kiện toán : x  12  2  x  ; y  công việc nhẹ nhàng cho ta 0,25 điểm Tiếp theo ta nên làm gì, quan sát phương trình rõ ràng phương trình hai khơng có mối liên hệ nên tơi tìm hướng phương trình Đây phương trình đối xứng số 12 đồng thời hai biến x, y có xuất x , x y , y nên đặt z  y phương trình trở thành : x 12  z  z 12  x  12 www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Đến tơi nghĩ đến ý tưởng bất đẳng thức AM – GM mà khơng quan tâm điều khác đặc biệt điều kiện để dùng bất đẳng thức :  x  12  z x 12  z   x  12  z z  12  x   x 12  z  z 12  x    12  z  12  x 2 2 z 12  x    Dấu = xảy : x  z  12  y  12  x xuống phương trình hai ta có : x  8x   10  x Đến lại khai thác kỹ giải hệ phương trình nhẩm nghiệm Rõ ràng điều nghĩ đến phải số phương kinh nghiệm thi Ta cần xử lý cho 10  x số phương Vậy xảy hai trường hợp sau : x  ; x  thử lại giá trị biến thấy x  thỏa mãn nên nghĩ đến việc liên hợp sau : x  8x   10  x  x  8x         x 3 x 3  10  x  1 0   x  x  3x   10  x   2x    x   x  3x   0   10  x    Nên phương trình cịn lại vơ nghiệm : x  3x   để suy vơ nghiệm chí tơi cần điều kiện x   bước tơi làm có : x   nên làm đến có vấn đề Vấn để chỗ điều kiện chặt x kiểm tra lại dấu hỏi đặt cho tơi : ‘’ Chưa có x  mà áp dụng bất đẳng thức AM – GM ‘’ chứng minh x  tơi gần hồn thành tốn Thật :     y  12  y 12  x  12  x 12  y  12  y 12  x   x  Vậy chuyện coi xong Trình bày vào giấy thi cẩn thận Tơi điểm trọn vẹn cho toán       1y x y x   x y 1 y  x, y  2y  3x  6y   x  2y  4x  5y    Lời giải Trước hết , ta nên tìm điều kiện tốn : x  y  ; x  2y ; 4x  5y  Khối B.2014 Giải hệ phương trình :    Tiếp tục ta phân tích tốn Quan sát phương trình nhận thấy đặc biệt phương trình hai Nó khơng q rắc rối phương trình hai nên tơi hi vọng tìm điều Để ý phương trình xuất hai thức x y ; y nên ý tưởng đưa a  x  y  phức tạp đơn giản qua phép ẩn phụ phá thức Đặt  điểm đáng b  y  ý hạng tử x đứng nên tơi đưa mối liên hệ a, b x thật tình cờ ta có : a  b  x phương trình viết lại thành : 1  b  a  a 2    b2   a  b Oh, phương trình hai ẩn a, b có đối xứng rõ ràng nên ta tiếp tục tìm nhân tử khám phá mối quan hệ a, b Để làm công việc , tơi nghĩ kiểu có dạng : b  ma  n nên với a  b tìm m, n Đầu tiên đơn giản chọn a  hay b  thật tình cờ tơi lại điều ln Ak phương trình viết dạng : a  1b  1 f a, b   chưa biết f a, b  Và dựa phương trình www.DeThiThuDaiHoc.com     www.MATHVN.com khéo léo nhóm lại sau : a  b  a  b   Vì a, b  nên a  b   vô nghiệm hai trường hợp sau : TH1 Ta nên từ đơn giản trước với b   y  xuống phương trình hai Dễ dàng     thấy x, y  3,1 nghiệm hệ phương trình TH2 Với a   x  y   x  y  xuống phương trình hai ta có : 2y  3y    y Đến chuyện phức tạp nhiều khơng có nghiệm đẹp Thực điểm nhấn tốn Bởi tơi thi khơng thể hồn thành , đáng buồn Nếu làm lại làm sau : trước hết việc có máy tính cầm tay tơi dùng chức SHIFT SOLVE nghiệm xấu Thật thú vị gặp câu chuyện Đó phịng thi nơi trọ tơi có hỏi người xem xử lý đoạn Và bất ngờ chứng kiến câu trả lời bấm máy tính số quen thuộc : y       0, 61803 hàm số f y  2y  3y    y đồng biến 0;1 nên có nghiệm Điều chẳng bảo sai tơi xếp vào   dạng may mắn Nhưng cần tìm cách tự nhiên cho Đó : hệ số trước hạng tử có điều đặc biệt 2,3,2,1 mặt khác + = nên tách 3y  y  2y ta nhóm sau :     2y  3y    y  y  y   y   y     y2  y   y y 1 y  1y   y2  y   Bài toán đến coi kết thúc  Lời kết : Tài liệu tơi viết tặng người gái tên Nguyễn Thị Thu Hiền , người gái có ý nghĩa quan trọng với đời tơi thay cho lời chúc để hồn thành ước mơ tơi thi đỗ ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NĂM 2015 Bên cạnh hi vọng bạn có tài liệu vừa đủ để trang bị cho nhiều kiến thức Nói chung khơng thể tránh khỏi sai xót nên sai đâu hi vọng bạn đọc thông cảm cố gắng khắc phục giúp tác giả Chào thân !!! Thị Trấn Cồn – Hải Hậu – Nam Định , 08/09/2014 Tác giả : Nguyễn Thế Duy www.DeThiThuDaiHoc.com ... Giải hệ phương trình :    Tiếp tục ta phân tích tốn Quan sát phương trình nhận thấy đặc biệt phương trình hai Nó khơng q rắc rối phương trình hai nên tơi hi vọng tìm điều Để ý phương trình. .. x  y  Đặt   a  b  x phương trình hệ phương trình trở thành : b  y  b         a  a  b  a  b2   a  b  a  b   Phương trình hai hệ phương trình viết lại thành :  ... x  ; y  công việc nhẹ nhàng cho ta 0,25 điểm Tiếp theo ta nên làm gì, quan sát phương trình rõ ràng phương trình hai khơng có mối liên hệ nên tơi tìm hướng phương trình Đây phương trình đối