Tuyển tập các bài toán giải phương trình bất phương trình hệ phương trình ôn thi THPT quốc gia full

Th eo M ùa FB: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG Tài liệu ôn thi nl in e Tuyển Tập Các Bài Toán Giải Phương Trình O Bất Phương Trình Hệ Phương Trình Họ c Ôn Thi THPT-Quốc Gia TP HCM, năm 2016 LATEX by Leaffall Bài toán Giải phương trình sau: 4x3 − 3x2 + x + 3(x2 − x) −1=1 x Lời Giải 1−x −1≥0⇔ ≥ ⇔ x ∈ (0; 1] x x Ta có: 4x3 − 3x2 + x + 3(x2 − x) −1=1 x √ ⇔ 4x3 − 3x2 + x + 3(x − 1) x − x2 − = √ ⇔ 8x3 − 6x2 + 2x + 3(x − 1).2 x − x2 − = √ ⇔ 8x3 − 7x + + 3(x − 1) x − x2 − (2x − 1) = √ √ − nghiệm phương trình • Xét x − x2 = − 2x ⇔ x = √ • Xét x − x2 = − 2x Phương trình cho 3(1 − x)(8x2 − 8x + 1) ⇔ 8x3 − 7x + + √ =0 x − x2 + (2x − 1) 3(1 − x) ⇔ (8x2 − 8x + 1) x + + √ =0 x − x2 + (2x − 1) 3(1 − x) Ta có: x + + √ =0 + (2x − 1) x − x √ x − x2 (x + 1) + 2x2 − 2x + √ ⇔ = (vô nghiệm) ∀x ∈ (0; 1] x − x2 + (2x − 1) √ + Do đó: 8x2 − 8x + = ⇔ x = √ 2± Vậy phương trình cho có nghiệm x = O nl in e Th eo M ùa Điều kiện : Bài toán Giải phương trình sau: Họ c √ (x3 + x2 + x) = 5x2 + 10x + + (2x2 + 7x + 6) x + Lời Giải Điều kiện: x ≥ −1 Phương trình cho 2 ⇔ (x3 + x2 + x) − 4(x2 + x) = (2x2 + 7x + 6) √ x + − x − 4(x2 + x) + 5x2 + 10x + + 2x3 + 7x2 + 6x √ ⇔ (x4 + 3x3 + 3x2 )(x2 − x − 1) + (2x2 + 7x + 6) x − x + + (x2 − x − 1)(4x2 + 10x + 6) = √ √ ⇔ x − x + (x4 + 3x3 + 7x2 + 10x + 6) x + x + + 2x2 + 7x + = √ √ 1± •x− x+1=0⇔x= √ • (x + 3x + 7x + 10x + 6) x + x + + 2x2 + 7x + = 19 Ta có: x4 + 3x3 + 7x2 + 10x + = x4 + 3x3 + x2 + x2 + 10x + > 4 √ 2x2 + 7x + 2x2 + 7x + ⇔ +x+ x+1=0 4 x + 3x + 7x + 10x + x + 3x + 7x + 10x + (x + 1)(x4 + 2x3 + 5x2 + 7x + 6) √ + x+1=0 ⇔ x4 + 3x √ + 7x 4+ 10x3+ √ x + 1(x + 2x + 5x + 7x + 6) +1 =0 ⇔ x+1 x4 + 3x3 + 7x2 + 10x + Do x4 + 2x3 + 5x2 + 7x + = x4 + 2x3 + x2 + 4x√2 + 7x + > nên x = −1 1+ Thử lại ta thấy phương trình có nghiệm x = , x = −1 √ x+1= Bài toán Giải phương trình sau: M ùa ⇔ −x − √ + x2 + √ √ + = x2 1+ 5+x 1+ 5−x eo Lời Giải Điều kiện x ∈ [−5; 5]\{0} Phương trình cho c O nl in e Th √ 3 + x2 + √ √ ⇔ + − + − =0 x2 + 5√ + x +√ − x 4 √ 2+ 5+x+ 5−x 3x2 − x2 + − ⇔ − + =0 √ √ 4x2 1+ 5+x 1+ 5+x √ √ √ √ √ + x + − x − 25 − x2 + (3 x2 + + 7)( x2 + − 5) ⇔ + =0 √ √ 4x2 1+ 5+x 1+ 5+x √ √ √ √ √ √ − ( + x + − x) 10 + 3( − x + + x) (3 x2 + + 7)( x2 + − 5) ⇔ + =0 √ √ 4x2 1+ 5+x 1+ 5+x ⇔ (x2 − 16).f (x) + (x2 − 16).g(x) = ⇔ x = ±4 √ √ 10 + 3( − x + + x) √ f (x) = √ √ √ √ + + x + + x + ( + x + − x) (3 + 25 − x2 ) √ x2 + + √ g(x) = 4x2 ( x2 + + 5) Vậy phương trình có nghiệm x = ±4 Họ Bài toán Giải phương trình: √ √ 1 +√ = 2x √ √ 5x + 2x + 5x + 8x − Lời Giải Xét hàm số f (x) = √ Điều kiện x ≥ √ √ 5x + 2x + 5x + 8x − 5 √ +√ √ +√ 8x − 2x + 2 5x 5x ⇒ f (x) = − √ − √ Vế trái hàm số nghịch biến, vế phải hàm số đồng biến nên phương trình Xét hàm số g(x) = f (x) = g(x) có nghiệm Ta có f Vậy phương trình có nghiệm x = Bài toán Giải phương trình: √ =g nên x = √ √ x+1+4 x−2 x+1+ =3 √ x−2+1 Lời Giải eo Điều kiện x ≥ nghiệm M ùa ⇒ g (x) = √ 2x Phương trình cho √ √ x+1+ x−2 ⇔ x+1+4 √ =3 x−2+1 √ ⇔ x+1+ √ =3 √ √ x−2+1 x+1− x−2 √ √ √ =4 ⇔ x+1− x−2+ x−2+1+ √ √ √ x−2+1 x+1− x−2 √ √ √ x−2+1 x−2+1 Chú ý x − + = + 2 Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho vế√trái, ta có V T ≥ = V P √ √ x−2+1 Dấu "=" xảy x + − x − = √ √ ⇔2 x+1=3 x−2+1⇔x=3 O nl in e Th √ Vậy x = nghiệm phương trình Họ c Bài toán Giải bất phương trình: Điều kiện x ≥ x √ 2x − − ≥ 2(2x2 − 7x − 15) x2 − 6x + 13 Lời Giải 2x(x − 5) 2(x − 5)(2x + 13) ≥ x2 − 6x + 13 2x − + Phương trình cho ⇔ √ Do mẫu số hai vế dương nên ta quy đồng khử mẫu √ ⇔ (x − 5) x3 − 6x2 + 7x − − (2x + 3) 2x − ≥ √ ⇔ (x − 5) x − − 2x − g(x) ≥ (1) √ x 3(x − 3)2 3(x − 3) (trong g(x) = 2x − + + + + > nên) 4 (1) ⇔ (x − 5) x − − √ 2x − ≥ Ta tiến hành giải phương trình f (x) =  √ (trong f (x) = (x − 5) x − − 2x − ) ⇔  x=5 √ x=4± √ ; ∪ + 6; +∞ eo Vậy tập nghiệm phương trình x ∈ M ùa Bảng xét dấu Lưu ý: Nếu ko tách nhân tử từ phương trình ta giải để tìm Th nghiệm thông qua hàm số Cụ thể ta có: √ x3 − 6x2 + 7x − = (2x + 3) 2x − √ √ ⇔ (x − 3)3 + 3(x − 3)2 + 4(x − 3) = (2x − 1) 2x − + 3(2x − 1) + 2x − in e Xét hàm số h(t) = t3 + 3t2 + 4t ∀t ∈ R ⇒ h (t) = 3t2 + 6t + > Từ ta giải phương trình nghiệm O nl Bài toán Giải phương trình: √ √ x2 − x + − 4x3 + + − x ≥ Lời Giải −5 √ √ Bpt ⇔ 4x + + x − − x2 − x + ≤ √ √ ⇔ 4x3 + − (x + 5) + 2(x + 1) − x2 − x + ≤ √ 16x3 − x2 − 10x − x3 − 5x2 + 11x − ⇔ √ + ≤ (trong A = 2(x + 1), B = x2 − x + A + AB + B 4x + + x + 16x2 + 15x + x2 − 4x + √ ⇔ (x − 1) + ≤0⇔x≤1 4x3 + + (x + 5) A + AB + B c Họ Điều kiện x ≥ Vậy bất phương trình có nghiệm x ∈ −5 ,1 Bài toán Giải phương trình: √ √ x3 + 4x2 + x + = 2x2 x + + 2x + 13 Lời Giải      Th eo M ùa  x ≥ −5  x ≥ −5 13 ⇒ x > −4 ⇒ Điều kiện x≥−  x3 + 4x2 + x + >     x3 + 4x2 + x + ≥ √ √ Phương trình cho tương đương với: x2 x + − x + + x + − 2x + 13 = x2 + 4x − x2 + 4x − √ √ ⇔ x2 + =0 x+4+2 x+5 x + + 2x + 13 x2 √ √ ⇔ (x2 + 4x − 4) + =0 x + + x + x + + 2x + 13 x2 √ √ + > ∀ x > −4 ⇔ x2 + 4x − = x + + x + x + + 2x + 13 √ ⇔ x = 2 − x > −4 √ Vậy phương trình có nghiệm x = 2 − Bài toán Giải phương trình: in e √ √ 2(x − 4) x + − (x − 6) 2x + = 3(x − 2) Lời Giải Điều kiện x ≥ − O nl Phương trình cho tương đương với  Họ c √ √ 2(x − 4) x + − (x − 6) 2x + − − 6(x − 4) = (1) √ √ Chú ý 2(x − 4) = 2x + − 2x + + √ √ √ √ (1) ⇔ 2x + − x + 2x + + − (x − 6) − 2x + + √ √ √ ⇔ 2x + − 2x + + x + − − (x − 6) = √ √ √ √ ⇔ 2x + − x+3−3 2x + + − x + − = x=4   ⇔ x=2  Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2; x = 4; x = x=6 Bài toán 10 Giải phương trình √ 9x − 10 + = 25 − 8x − 4x2 √ (x2 + 2x − 4) 9x − 10 Lời Giải =0 √ Điều kiện (x2 + 2x − 4) 9x − 10 = Phương trình cho tương đương với (x2 + 2x − 4) √ (9x − 10)2 + 9x − 10 ⇔ (x2 + 2x − 4) + 4x2 + 8x − 25 = √ (9x − 10)2 + 9x − 10 + = (1) Do x = không nghiệm phương trình Ta nhân hai vế cho √ 9x − 10 − √ √ (9x − 10)2 + 9x − 10 + 9x − 10 − = 9x − 10 − = 9(x − 2) √ (1) ⇔ 9(x2 + 2x − 4)(x − 2) = 9x − 10 − √ √ ⇔ x3 − 8x + = 9x − 10 − ⇔ x3 + x = 9x − 10 + 9x − 10 M ùa Xét hàm số f (t) = t3 + t ⇒ f (t) = 3t2 + > ∀ t ∈ R ⇒ f (t) đồng biến R √ √ 9x − 10 ⇔ x3 − 9x + 10 = √ ⇔ (x − 2)(x2 + 2x − 5) = ⇔ x = −1 ± x = ko nghiệm √ Vậy phương trình cho có nghiệm x = −1 ± 9x − 10 ⇔ x = eo Lại có f (x) = f Th Bài toán 11 Giải bất phương trình: √ √ x2 + x2 + + 8x − 3x2 ≥ 4x + in e Lời Giải √ √ Ta có: x + x2 + + 8x − 3x2 ≥ 4x + √ √ ⇔ x2 − 4x + + 8x − 3x2 − (4 − x) + x2 + − (2x + 5) ≥ 8x − 3x2 − x2 + 8x − 16 9x2 + 45 − 4x2 − 20x − 25 √ √ ⇔ (x − 2)2 + + ≥0 8x − 3x2 + (4 − x) x2 + + (2x + 5) x2 − 4x + x2 − 4x + √ +5 ≥0 ⇔ (x − 2)2 − √ 8x − 3x2 + (4 − x) x2 + + (2x + 5) ⇔ (x − 2)2 − √ + √ ≥0 8x − 3x2 + (4 − x) x2 + + (2x + 5) √ 16 8 Ta có: 8x − 3x2 + (4 − x) ≤ ∀x ∈ 0; ⇒ −√ ≤− 3 8x − 3x2 + (4 − x) √ √ 5 x2 + + (2x + 5) ≥ + ∀x ∈ 0; ⇒ √ ≤ √ 3 5+5 x + + (2x + 5) 5 ⇒1− √ + √ ≤− +1+ √ ∀t ∈ R ⇒ f (t) đồng biến R Ta có f (x + 1) = f √ x3 + x2 + ⇔ x + = √ x3 + x2 + √ −3 ± 17 ⇔ + 3x + = +2⇔ + 3x − = ⇔ x = √ −3 ± 17 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = 1; + 3x2 x3 + x2 2x2 eo x3 Th Bài toán 13 Giải phương trình x4 + 2x3 + 2x2 − 2x + = (x3 + x) − x2 x in e Lời Giải Ta có: x4 + 2x3 + 2x2 − 2x + = (x3 + x) − x2 x − x2 ⇔ + x) + (x − 1) = + 1) ⇒ x ∈ (0; 1] x Do x = nên ta chia hai vế phương trình cho x2 Khi phương trình 1 −x ⇔ x2 + 2x + − + = x + x x x x x+ 2 −x x −2 −2 x − x+ −x x x+ Họ ⇔ x(x2 O nl ⇔ x+ x c (x2 ⇔x+ =2 x + x x −x x −x=0 x =0 1 − x ⇔ x2 + + = x − x x x ⇔ (x + 1)4 − 4(x + 1)2 + = ⇔ (x + 1)2 − √ ⇔ (x + 1)2 = ⇔ x = − x ∈ (0; 1] √ Vậy phương trình cho có nghiệm x = − ⇔ x4 + 4x3 + 2x2 − 4x + = =0 Bài toán 14 Giải phương trình: √ 1+x+ √ 1−x √ 1+x+1 1+ √ 1−x =8 Lời Giải Điều kiện x ∈ [−1; 1] =8 =8 =8 ≤ 2(1 + + 2) = Dấu xảy x = Vậy x = nghiệm phương trình Bài toán 15 Giải phương trình: Th Lời Giải eo √ √ x2 − x − 2x + √ x+1= 2x + − M ùa √ √ √ √ 1+x+ 1−x 1+x+1 1+ 1−x √ √ √ √ − x2 + − x + − x + ⇔ + − x2 √ √ √ ⇔ + − x2 − x2 + + − x2 + √ Ta có − x2 ≤ √ √ √ ⇒ + − x2 − x2 + + − x2 + Ta có Điều kiện x ≥ −1, x = 13 √ √ √ √ x2 − x − 2x + x2 − x − 2x + √ √ Ta có x + = ⇔ x+1+2= +2 3 2x + − 2x + − √ x2 − x − (x − 3)(x + 2) ⇔ x+1+2= √ (1) ⇔ x+1+2= √ 3 2x + 1√− 2x + − √ Chú ý (x − 3)(x + 2) = x + + x + − (x + 2) √ (x + 2) x + − √ √ √ (1) ⇔ = ⇔ 2x + − = (x + 2) x + − 2x − 2x + − √ √ √ ⇔ 2x + + 2x + = (x + 1) x + + x + O nl in e √ Xét hàm số f (t) = t3 + t (t ∈ R) ⇒ f (t) = 3t2 + > ∀t ∈ R ⇒ f (t) đồng biến R Ta có f √ √ √ √ 2x + = f x + ⇔ 2x + = x +  x=0 √ 1± x= √ 1± 0; c ⇔ (2x + 1)2 = (x + 1)3 ⇔ x3 − x2 − x = ⇔  Họ Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = Bài toán 15 Giải hệ phương trình   3 x+ √ y−x+  x4 + 3x + √ y − x = x3 √ √ y − x − x3 + x2 + 4x = x y − x + Lời Giải √ Điều kiện y ≥ x ; y − x − x3 + x2 + 4x ≥ Ta có x+ √ √ y − x = x3 ⇔ y−x+ x+ √ y−x+x+ √ y − x = x3 + x Xét hàm số f (t) = t3 + t (t ∈ R) ⇒ f (t) = 3t2 + > ∀t ∈ R ⇒ f (t) đồng biến R Ta có √ √ x+ y−x ⇔x= x+ y−x √ ⇔ x3 − x = y − x ⇒ x3 − x ≥ thay vào phương trình (2) ta có √ √ (2) ⇔ x4 + 3x + x2 + 3x = x4 − x2 + ⇔ x2 + 3x + x2 + 3x  −6=0 ⇔ √ x2 + 3x − x=1⇒y=1 √ x2 + 3x + = ⇔ x2 + 3x − = ⇔  x=1 x = −4 (loại) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1) M ùa f (x) = f Bài toán 16 Giải bất phương trình: x √ − 8x + 9x2 √ x−1−1 ≥ 3x + 2x − Lời Giải Điều kiện x ≥ √ eo 2− Th √ 3x − 2x − √ √ Bpt ⇔ − x − − ≥ 3x − 2x − x √ √ ⇔ (2x − 3) x − − ≥ 3x2 − 2x 2x − √ √ √ ⇔ 3x2 − 2x 2x − − 4x x − + x − + 2x − ≤ √ √ √ ⇔ x2 − 2x 2x − + 2x − + 2x2 − 4x x − + x − − ≤ √ √ √ ⇔ x − 2x − + 2(x − 1)2 − 4(x − 1) x − + 2(x − 1) + x − + 2x − ≤ √ √ √ 2 ⇔ x − 2x − + x − − x − + x − + 2x − ≤ O nl in e Ta có − 8x + 9x2 = 3x + 2x − Họ c Do x ≥ nên V T ≥ Do dấu   xảy √       x=1 x − 2x − =       √ ⇔ x = hay x = ⇒ x = x − − x−1=0         √   x = 2 x − + 2x − = Vậy bất phương trình cho có nghiệm x = Bài toán 17 Giải hệ phương trình:    x3 − √ y − =x+  √ √x + √ 1−x= y+ √ Lời Giải Điều kiện ≤ x ≤ ; y ≥ 10 y−1 y2 + y − Bài toán 49 Giải phương trình: √ √ x (1 + x) 3+ √ √ x = − x − 6x Lời Giải Điều kiện x ≥ √ Ta có: x (1 + √ x) 3+ √ √ x = − x − 6x (1) √ x ≥ ⇒ x = t3 √ √ (1) ⇔ t3 (1 + t)( + t = − 4t − 6t3 √ ⇔ 3(t2 + t) 3t + t2 + 6t3 + 4t − = √ t2 + 3t + 2t − 3t2 + t + + t2 + 3t = ⇔ ⇔  + 3t + 2t − = ⇔  0 ≤ t ≤ ⇔  t2 + 3t = 4t2 − 4t + ⇒t= 7− √ 37 ⇒x= √ >0 ∀ x≥0 t2 + 3t = − 2t  0 ≤ t ≤ ⇔ √ − 37 7− Vậy phương trình cho có nghiệm S =   0 ≤ t ≤ √ 37 √  t = ± 37 6 in e Bài toán 50 Giải hệ phương trình: ⇔  3t2 − 7t + = eo t2 Th √ M ùa Đặt t = O nl   x(x + y) + √x + y − √2y = 2y (1)  x2 + y − x2 = 2y + (2) Lời Giải c Điều kiện y ≥ 0, x + y ≥ Họ √ √ (1) ⇔ x + − 2y + x2 + xy − 2y = √ √ ⇔ x + y − 2y + (x − y)(x + 2y) = √ √ √ √ √ √ ⇔ x + y − 2y + x + y − 2y x + y + 2y (x + 2y) = √ √ √ √ x + y − 2y + x + y + 2y (x + 2y) = ⇔ √ √ ⇔ x + y − 2y = ⇔ x = y ≥ thay vào phương trình (2) √ (2) ⇔ x2 + x4 − x2 − 2x − = √ ⇔ x − x − + x4 − x2 − x = √ x2 (x2 − x − 1) ⇔ x2 − x − + = a = x4 − x2 a + ax + x 29 ⇔ (x2 − x − 1) + x2 a2 + ab + x2 =0 >0 ∀ x≥0 √ √ + 5 + ⇒y= ⇔ x2 − x − = ⇔ x = 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm S = √ √ 1+ 1+ ; 2    x − y + √ x2   y − x + y2 2xy M ùa Bài toán 51 Giải hệ phương trình: = x2 − 2x + 2xy − 2y + = y2 Nếu x = ⇒ y = thỏa mãn hệ phương trình cho Xét xy = Ta cộng vế theo vế hai phương trình cho eo Lời Giải 1 √ + x2 − 2x + y − 2y + 1 Do x2 + y > √ + > ⇒ xy > x2 − 2x + y − 2y + 1 Lại có: √ = ≤ 1/2 = − 2y + x2 − 2x + y (x − 1) + in e Th x2 + y = 2xy 1 1 √ + ≤ 2xy + 2 x − 2x + y − 2y + ⇒ (x − y)2 ≤ ⇒ x = y = Thử lại thấy thỏa mãn Vậy hệ phương trình cho có nghiệm S = {(0; 0).(1; 1)} Bài toán 52 Giải hệ phương trình: Họ c  √   xy + 6y x − + 12y = Điều kiện xy   +  1+y √ x =√ √ xy + y x+ y Lời Giải   x ≥  y ≥ √ xy x y Ta có: + =√ (∗) √ ⇔ y + xy = y + y xy + y x+ y y+ 1+ + x x x x 30 ≤ 1/2 (y − 1) + = 2xy O nl ⇒ x2 + y = 2xy Đặt   a = > x  b = y ≥ b a √ + = a + ab b + ab + ab a (a + b)2 (a + b)2 b + ≥ = Ta có: a + ab b + ab 2ab + ab2 + a2 b 2ab + ab(a + b) 1 √ ≥ = = 2ab 2ab ab 1 + ab √ + + 2 2 ab (a + b) (a + b) Dấu ” = ” xảy a = b ⇔ y = thay vào phương trình lại, ta có: x  x ≥ √ x−1=x−4⇔  4(x − 1) = (x − 4)2 M ùa (∗) ⇔  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm S = 10 Th Bài toán 53 Giải hệ phương trình:    x2 − xy + + 10; eo ⇒ x = 10 y − xy + = 2(x − y)2 + in e  (16xy − 5)(√x + √y) + = Lời Giải  0 ≤ xy < x2 16 − xy + + y − xy + = 2(x − y)2 + O nl Điều kiện   x ≥ 0, y ≥ Ta có:    x2 − xy + = a Đặt   y − xy + = b ⇒ a3 + b3 = (x − y)2 + ≥ c ⇒ a + b = 2(x − y)2 + ≥ ⇒ a + b = 2(a3 + b3 ) − ⇔ ⇒ (a + b)2 3(a − b)2 (a + b)2 + ≥ ≥1 4 Họ Ta có: a2 − ab + b2 = a3 + b = 2(a3 + b3 ) − a2 − ab + b2 a3 + b = 2(a3 + b3 ) − ≤ a3 + b3 ⇒ a3 + b3 ≤ a2 − ab + b2  Dấu ” = ” xảy  a = b ⇒ a = b ⇔ x = y Thay vào phương trình lại, ta có:   a3 + b = √ (16x2 − 5) x + = ⇔ x = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm S = 1 ; 4 31 Bài toán 54 Giải hệ phương trình:  √   x2 + x + − y2 − y + = x2 − xy + y  4(x + 1)(xy + y − 1) − 3x = √ x − x2 Lời Giải √ y − y + = x2 − xy + y √ √ ⇔ x2 − x + = x2 − xy + y + x2 − x + √ √ 2 2 √ 3x x y− + (∗) ⇔ x2 − x + = −y + + 2 2 √ √ √ 3x x 3 Đặt u = ; − y ,v = ; y− Áp dụng công thức |u| + |v| ≥ |u + v|, ta có: 2 2 3(x + 1)2 (x − 1)2 √ V P (∗) ≥ + = x −x+1=VT 4 √ √ 3x x y− = − y ⇔ xy + y = x thay vào pt lại, ta có: Dấu ” = ” xảy 2 2 √ 4x2 − 3x − = x4 − x2 x2 + x + − Th eo M ùa Ta có: Do x = không nghiệm phương trình trên, ta chia vế cho x2 = x− −3= x x− ⇔ 4t3 − − t = x t= x− x √ √ 1+ −1 + ⇒y=  x= 2√ 2√ ⇔ (t − 1)(4t2 + 4t + 3) ⇔ t = ⇔ x − = ⇔  1+ 1− x ⇒y=− x= √ √ √ √ 1− 1+ + −1 + ; ; ;− Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = 2 2 O nl in e  Bài toán 55 Giải hệ phương trình:    √ = √ 2+ x + y(2x − y) y + x(2x − y) ( x + y)   2(y − 4)√2x − y + − (x − 6)√x + y + = 3(y − 2) Họ c Điều kiện: Lời Giải   x ≥ 0, y ≥  2x − y ≥ Ta có: √ √ + = x + y(2x − y) y + x(2x − y) ( x + y) 2 ⇔ √ = √ 2+ 2x + y(2x − y) y + x(2x − y) ( x + y) 1 ⇔ √ √ 2+ √ √ = y + x(2x − y) ( x + y) ( 2x − y + y) 32 Đặt  √    a= x≥0    √  2x − y = b ≥ Phương trình trở thành     c = √ y ≥ (a + c) + (b + c) = c2 + ab Áp dụng Bất Đẳng Thức Cauchy − Schwarz , ta có: b a + ≥ (a + c)2 , (ab + c2 ) + ≥ (b + c)2 b a 1 a b ⇒ + ≥ + = (ab + c2 )(a + b) (ab + c2 )(a + b) c2 + ab (a + c)2 (b + c)2 Dấu ” = ” xảy   a = c M ùa (ab + c2 ) ⇒ a = b = c ⇒ x = y thay vào pt lại, ta có: Th √ √ 2(x − 4) x + − (x − 6) 2x + = 3(x − 2) √ √ ⇔ 2(x − 4) x + − (x − 6) 2x + − − 6(x − 4) = √ 2(x − 6) −6 =0 ⇔ (x − 4) x + − √ 2x + + √ 2(x − 6) ⇔ (x − 4) x + − − √ =0 2x + + x−6 x−6 ⇔ (x − 4) √ −√ =0 x+3+3 2x + +  eo  b = c x=4  √  2x + − x + = ⇔  x = in e ⇔ (x − 4)(x − 6) √  x=2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = {(2; 2), (4; 4), (6; 6)} O nl Bài toán 56 Giải bất phương trình: 1 √ +√ ≤√ 3x2 − x2 − + x2 + c Lời Giải −∞; − Họ     x ∈ Điều kiện ∪ ; +∞ √ √ ⇒ x ∈ −∞; − ∪ 2; +∞  √ √   x− ∈ −∞; − ∪ 2; +∞ √ x2 − ≥ ⇒ x2 = t2 + 2, ta có: 1 t+1 t+1 √ +√ ≤ ⇔√ +√ ≤2 2 t+1 t +3 3t + t +3 3t2 + t2 t2 t2 + 1 t2 t2 + Ta có: = ≤ + t2 + t2 + t2 + t2 + t2 + 1 1 = ≤ + t2 + t2 + 2 t2 + t+1 t2 ⇒√ ≤ + 2 t +1 t2 + Đặt t = 33 t2 1 2t2 ≤ + 3t2 + 2 3t2 + 1 t2 + t+1 1 ≤ + ⇒√ + ≤ 2 3t + t + 3t + 2 t +1 3t2 + t+1 t+1 ⇒√ +√ ≤ (3 + 1) = 2 2 t +3 3t + √ √ Vậy tập nghiệm bất phương trình S = −∞; − ∪ 2; +∞ Bài toán 57 Giải hệ phương trình:   x2 + 2x − = −y − 4y −  6x − y − 11 + √10 − 4x − 2x2 = Lời Giải eo Điều kiện:   −y − 4y − ≥ M ùa Tương tự ta có:  10 − 4x − 2x2 ≥ Th −y − 4y − ⇒ 2x2 + 4x − ≤ −y − 4y − ⇒ 2x2 + y + 4x + 4y − ≤ (1) −y − 4y − ≤ √ 14 − 4x − 2x2 − 2x − x2 Lại có: 10 − 4x − 2x2 = 4(10 − 4x − 2x2 ) ≤ = √ 12x − 2y − 22 + − 2x − x2 − 2x − x2 ⇒ ≥0 ⇒ 6x − y − + 10 − 4x − 2x ≤ 6x − y − + 2 ⇒ x2 − 10x + +2y + 15 ≤ (2) in e Ta có: O nl Lấy (1) + (2) vế theo  vế, ta có: 3(x − 1)2 + (y + 3)2 ≤    −y − 4y − =    Dấu ” = ” xảy 10 − 4x − 2x2 = ⇒ x = 1; y = −3      x = 1; y = −3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = {(1; −3)} Họ c Bài toán 58 Giải phương trình: 4x3 + 5x2 + 2x + √ + 3x = x2 + 3 4x − 8x + Lời Giải Điều kiện 4x3 − 8x2 + = 4x3 + 5x2 + 2x + √ + 3x = x2 + 4x3 − 8x2 + √ ⇔ 4x3 + 5x2 + 2x + = (x2 − 3x + 1) 4x3 − 8x2 + √ ⇔ 8x3 + 10x2 + 4x + = 2(x2 − 3x + 1) 4x3 − 8x2 + Ta có: √ ⇔ 8x3 + 12x2 + 6x + − (2x2 + 2x − 1) = 2(x2 − 3x + 1) 4x3 − 8x2 + 34 ⇔ (2x + 1)3 − (2x2 + 2x − 1) = 2(x2 − 3x + 1) (2x + 1)(2x2 − 6x + 2) + (2x2 + 2x − 1) Đặt   a = 2x +  b = √ 4x3 − 8x2 + , ta có:   a3 − (2x2 + 2x − 1) = 2(x2 − 3x + 1)b (1)  b3 = 2a(x2 − 3x + 1) + 2x2 + 2x − (2) M ùa Lấy (1) − (2) vế theo vế, ta có: a3 − b3 + 2(x2 − 3x + 1)(a − b) = ⇔ (a − b)(a2 + ab + b2 + 2x2 − 6x + 2) = √ TH1: a = b ⇔ 2x + = 4x3 − 8x2 + ⇔ 8x3 + 12x  + 6x + = 4x − 8x + x=0 √ −5 ± 19 x= 2 3a2 a 2 2 + ab + b + + 2x2 − 6x + = TH2: a + ab + b + 2x − 6x + = ⇔ 4 a2 a2 11 ⇔ + ab + b2 + 3x2 + 3x + + 2x2 − 6x + = ⇔ + ab + b2 + 5x2 − 3x + = (vô nghiệm) 4 √ −5 ± 19 Vậy phương trình cho có nghiệm S = 0; Th eo ⇔ 4x3 + 20x2 + 6x = ⇔ x(2x2 + 10x + 3) = ⇔  Bài toán 59 Giải phương trình: √ − x2 + √ 3−x≤ x2 − 8x + 3x2 − 8x + in e x2 −√ x−2 √ x2 + + x2 − x + Điều kiện x ∈ [−2; 2] √ O nl Lời Giải x2 − 8x + PT ⇔ x − 3x2 − 8x + √ √ √ √ ⇔ x − x2 + − x + x2 + − x2 − x + ≤ √ − x2 √ √ √ √ x2 + + x2 − x + x2 + − x − x + √ √ x2 + + x2 − x + x2 − 8x + 3x2 − 8x + √ √ √ + − x + x2 + − x2 − x + − ≤ c ⇔ x2 √ − x2 + − x ≤ x2 − 8x + 3x2 − 8x + −8x2 (x − 2)2 −1 Họ √ √ √ √ ⇔ x − x2 + − x + x2 + − x2 − x + − ≤ (3x2 − 8x + 8) √ √ √ Giả sử − x + x2 + ≥ x2 − x + + √ ⇔ (3 − x)(x2 + 1) ≥ x2 − x + √ √ √ ⇔ x2 (x − 2) ≤ ∀ x ∈ [−2; 2] ⇒ − x + x2 + ≥ x2 − x + + Dấu ” = ” xảy x = 0, x = ⇒ √ 3−x+ √ x2 + − √ √ √ √ √ x2 − x + − ≥ ⇒ x2 − x2 + − x + x2 + − x − x + − ≥ Dấu ” = ” xảy x = 2, x = Lại có: −8x2 (x − 2)2 (3x2 − 8x + 8) ≤ Dấu ” = ” xảy x = 2; x = 35 Vậy bất phương trình cho có nghiệm S = {0; 2} Bài toán 60 Giải phương trình: √ √ 3x3 + 2x2 + + −3x3 + x2 + 2x − = 2x2 + 2x + Lời Giải M ùa Điều kiện :   3x3 + 2x2 + ≥  −3x3 + x2 + 2x − ≥ Áp dụng Bất Đẳng Thức AM − GM , ta có: 3x3 + 2x2 + √ −3x3 + x2 + 2x −3x + x + 2x − ≤ √ √ 3x2 + 2x + ⇒ 3x3 + 2x2 + + −3x3 + x2 + 2x − ≤ 2 + 2x + 3x ⇒ 2x2 + 2x + ≤ ⇒ (x + 1)2 ≤  3x3 + 2x2 + ≤ 3x + 2x + =      −3x3 + x2 + 2x − = Th Dấu ” = ” xảy    x = −1    eo √ ⇒ x = −1 in e Vậy phương trình cho có nghiệm S = {−1} Bài toán 61 Giải phương trình: O nl x3 + 5x2 + 4x + √ = x +x+2 x2 + 2x + Lời Giải Điều kiện: x3 + 5x2 + 4x + ≥ Họ c x3 + 5x2 + 4x + √ Ta có: − x +x+2=0 x2 + 2x + √ 18(x3 + 5x2 + 4x + 2) ⇔ − 18 x2 + x + = x2 + 2x + √ 18(x3 + 5x2 + 4x + 2) + 5x + 26) + 5x2 + 5x + 26 − 18 x2 + x + = ⇔ − (5x x2 + 2x + 3 18x + 90x2 + 72x + 36 − (5x4 + 15x3 + 51x2 + 67x + 78) 25x4 + 50x3 − 39x2 − 64x + 28 √ ⇔ + =0 x2 + 2x + 5x2 + 5x + 26 + 18 x2 + x + (x − 1)(x + 2)(5x + 7)(3 − x) (x + 2)(x − 1)(5x + 7)(5x − 2) √ ⇔ + =0 x + 2x + 5x2 + 5x + 26 + 18 x2 + x + 3−x 5x − √ ⇔ (x − 1)(x + 2)(5x + 7) + =0 2 x + 2x + 5x + 5x + 26 + 18 x2 + x + 3−x 5x − √ Xét + =0 x + 2x + 5x2 + 5x + 26 + 18√ x2 + x + ⇔ (3 − x)(5x2 + 5x + 26) + 18(3 − x) x2 + x + + (5x − 2)(x2 + 2x + 3) = 36 √ ⇔ 18x2 + 72 + 18(3 − x) x2 + x + 2=0 x ≥ √ + = (x − 3) x2 + x + ⇔  x4 + 8x2 + 16 = x4 − 5x3 + 5x2 − 3x + 18  ⇔ ⇔ x2   x ≥ ⇒ phương trình vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm S = 1; −2; − Bài toán 62 Giải bất phương trình: Lời Giải Điều kiện x > eo √ x4 − 2x3 + 2x − x≥ x3 − 2x2 + 2x M ùa  5x3 + 3x2 + 3x − = (vô nghiệm) ∀ x ≥ x4 − 2x3 + 2x − x3 − 2x2 + 2x √ √ (x − 1)3 (x + 1) x x (x − 1)3 ⇔ x≥ ⇔ ≥ x(x2 − 2x + 2) x+1 (x − 1)2 + t4 + 3t2 t3 (t > 0) ⇒ f (t) = Xét hàm số > ∀ t > ⇒ Hàm số f (t) đồng biến (0; +∞) + 1)2 t +1 (t √ √ Lạicó f ( x) ≥ f (x − 1) ⇔ x ≥ x − √ x≥   x − <   x ≥  ⇔ x ∈ (0; 1) √ 3+ x ∈ 1; O nl      ⇔       x > in e Th Ta có:  x ≥ x2 − 2x + √ 3+ 0; c Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S = ⇒x∈ √ 3+ 0; Họ Bài toán 63 Giải phương trình: x √ √ x4 + 3x2 + − = 8x3 − − (1 + x2 ) Lời Giải √ √ Ta có: x x + 3x2 + − = 8x3 − − (1 + x2 ) √ √ ⇔ x6 + 3x4 + 3x2 + x2 + = 8x3 − + 2x √ ⇔ (x2 + 1) − + x2 + = 8x3 − + 2x Điều kiện: x ≥ 37 √ 3t2 + > ∀ t > ⇒ f (t) đồng biến [1; +∞) t3 − + t (t ≥ 1) ⇒ f (t) = √ t3 − Lại có: f (x2 + 1) = f (2x) ⇔ x2 + = 2x ⇔ x = Xét hàm số f (t) = Vậy phương trình cho có nghiệm S = {1} Bài toán 64 Giải phương trình: M ùa √ x4 − 6x − = 2(x + 4) 2x3 + 8x2 + 6x + Lời Giải Điều kiện: 2x3 + 8x2 + 6x + ≥ • Cách 1: √ Ta có: x4 − 6x − = 2(x + 4) 2x3 + 8x2 + 6x + ⇔ (x + 1)2 (x2 − 4x − 1) = ⇔  Th eo √ ⇔ x4 − (2x3 + 8x2 + 6x + 1) = 2(x + 4) 2x3 + 8x2 + 6x + − x2 √ √ √ ⇔ x2 − 2x3 + 8x2 + 6x + x2 + 2x3 + 8x2 + 6x + + 2(x + 4) x2 − 2x3 + 8x2 + 6x + = √ √ ⇔ x2 − 2x3 + 8x2 + 6x + x2 + 2x + + 2x3 + 8x2 + 6x + = √ ⇔ x2 = 2x3 + 8x2 + 6x + ⇔x4 − 2x3 − 8x2 − 6x − = x = −1 √ x=2± √ • Cách 2: √ in e Vậy phương trình cho có nghiệm S = −1; ± Ta có: x4 − (6x + 1) = (2x + 8) 2x3 + 8x2 + 6x + ⇔ x4 − (6x + 1) = (2x + 8)   x2 (2x + 8) + 6x + O nl Đặt    x2 = a Ta có hệ phương trình sau: x2 (2x + 8) + 6x + =b c   a2 − (6x + 1) = (2x + 8)b (1) Lấy (1) − (2) vế theo vế ta được: Họ  b2 − (6x + 1) = (2x + 8)a (2) (a − b)(a + b) + (a − b)(2x + 8) = ⇔ (a − b)(a +  b + 2x + 8) = TH1: a = b ⇔ x2 = √ 2x3 + 8x2 + 6x + ⇔  √ x = −1 √ x=2± TH2:a + b + 2x + = ⇔ x2 + 2x + + 2x3 + 8x2 + 6x + = (vô nghiệm) √ Vậy phương trình cho có nghiệm S = −1; ± 38 Bài toán 65 Giải hệ phương trình:   (x − y)3 = 3(x2 − xy + y ) + y  −x5 + x2 y − + y − x3 + = Lời Giải M ùa Ta có: (x − y)3 = 3(x2 − xy + y ) + y ⇔ (x − y)3 − y − 3(x2 − xy + y ) = ⇔ (x − 2y)(x2 − 2xy + y + (x − y)y + y ) − 3(x2 − xy + y ) = 2 2 2 ⇔ (x  − 2y)(x − xy + y ) − 3(x − xy + y ) = ⇔ (x − xy + y )(x − 2y − 3) = x = 2y + x = y = (thỏa mãn phương trình lại) Lại có: −x5 + x2 y − + ⇔ x2 (y − x3 ) + y − x3 + = ⇔ x2 (y − x3 ) + y − x3 y − x3 + + = ⇔ (y − x3 ) x2 + Từ ta có hệ mới:   x = 2y + (1) Điều kiện: x ≥ ⇒ y ≥ − Thay (1) vào (2), ta có: y − x3 + + =0 in e  y = x3 (2) Th ⇔ y = x3 y − x3 + − = eo ⇔ (2y + 3)3 − y = ⇔ 8y + 35y + 54y + 27 = ⇔ (y + 1)(8y + 27y + 27) = O nl ⇔ y = −1 ⇒ x = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = {(1; −1), (0; 0)} Bài toán 66 Giải bất phương trình: Họ c √ √ −x6 + 2x3 − x2 + 2x − − ≤ √ −(x6 + x2 + 9) + 2x(2x2 + 1) Lời Giải √ Điều kiện: −(x6 + x2 + 9) + 2x(2x2 + 1) ≥ √ √ √ Đặt a = −x6 + 2x3 − x2 + 2x − ⇒ a ≥ 2, ta có: √ a − ≤ a2 − ⇔ a2 − 4a + ≤ a2 − ⇔ a ≥ ⇔ a2 ≥ √ √ ⇔ −x6 + 2x3 − x2 + 2x − ≥ √ √ ⇔ x6 + x2 + 10 − 2x3 − 2x ≤ √ √ √ √ ⇔ x2 − 2x + + x6 − 2x + ≤ ⇔ (x − 2) + (x3 − 2) ≤ √ Dấu ” = ” xảy x = 39 Vậy bất phương trình cho có nghiệm S = √ Bài toán 67 Giải phương trình: √ 3 = x4 − 3x3 + 3x −√ 2−x+1 2+x+1 Lời Giải M ùa Điều kiện x ∈√[−2; 2] √ 2+x− 2−x = x(x3 − 3x + 3) √ 2+x+1 2−x+1 6x ⇔ √ = x(x3 − 3x + 3) √ √ √ 2+x+1 2−x+1 2+x+ 2−x •TH1: x = √ √ √ √ 2−x+1 2+x+ 2−x •TH2: = (x3 − 3x + 3) + x + Ta có: x3 − 3x + = (x − 1)2 (x + 2) + ≥ ∀ x ∈ [−2; 2] eo PT ⇔ √ Th √ √ √ √ √ 2 + x + − x = + − x2 ≥ ⇒ + x + − x ≥ √ √ √ √ √ 2+x+1 − x + = + x + − x + − x2 + ≥ + = √ √ √ √ 2−x+1 2+x+ 2−x ≥6 ⇒ (x3 − 3x + 3) + x + Dấu ” = ” xảy x = −2 in e Vậy phương trình cho có nghiệm S = {0; −2} Bài toán 68 Giải bất phương trình: √ O nl > 3(x2 − 2) + √ x2 − x + Điều kiện x ≥ √ √ √ √ x( x − + x2 − 1) Lời Giải √ √ √ x( x − + x2 − 1) x2 − x + √ √ √ √ √ 2 ⇔ 3x − − x x − − x x − + √ >0 x2 − x√+ √ √ √ √ ⇔ 6x2 − 12 − x x − − x x2 − + √ >0 x2 − x + √ √ √ √ ⇔ 3(x2 − − x2 − x + x) − 3x + 3x2 − − x2 − x + √ >0 x2 − x + √ √ √ √ ⇔ 3( x2 − − x) + 3(x2 − x) − x2 − x + √ −9>0 x − x + 1√ √ √ √ 2 ⇔ 3( x2 − − x) + x2 − x − + 2(x2 − x) + √ − 10 > 2−x+1 x √ 2 Xét f (x) = 2(x − x) + √ − 10 2−x+1 x √ Đặt a = x2 − x ≥ ⇒ x2 − x = a2 c − 2) + √ > Họ Ta có: 3(x2 40 ⇒ f (a) = 2a2 √ +√ − 10 ⇒ f (a) = 4a − a2 + √ 2  f (a) = ⇔ 4a 1 −  (a2 + 1)  =0⇔ √ 2a (a2 + 1) a=0 a=1 Th eo M ùa Bảng biến thiên: Tử bảng biến thiên ta suy f (a) ≥ Dấu ” = ” xảy a = √1 ⇔ x2 − − ⇔ 3( √ 2 x2 − x − x) + ≥0 ≥0 Vậy bất phương trình có nghiệm S = [1; +∞) \ √ 1+ c Bài toán 69 Giải phương trinh: − 10 > √ 1+ ⇒x= O nl  x ≥ x2 − x + in e x −x−1=0      x ≥ ≥0 Do  bất phương trình có nghiệm khi: √ √     x2 − = x    ⇔ x2 − x − =  √ + 2(x2 − x) + √ √ x2 − x = Họ √ √ 2(x − 1) x2 + + x2 − 2x + + 2x2 − 5x + = Lời Giải √ √ √ P T ⇔ 2(x − 1) x2 + − x2 − 2x + + (2x − 1) x2 − 2x + + x − = (2x − 1)(2x − 2) 2(x − 1)(2x − 1) √ +√ =0 ⇔√ x2 − 2x + − x + x2 + + x2 − 2x + 1 √ ⇔ 2(x − 1)(2x − 1) √ +√ = (∗) x2 − 2x + − x + x2 + + x2 − 2x + √ Ta có: x2 − 2x + − x + = (x − 1)2 + − (x − 1) + > |x − 1| − (x − 1) + > ⇒√ >0 x − 2x + − x + 41 Vậy phương trình cho có nghiệm S = 1; Do phương trình (∗) có nghiệm x = 1; x = 3x 3x − y +   √ x2 − y − + 3x + y = y + + √ 2y + √ √ y − 2x2 y = 3x − + − y − x4 M ùa Bài toán 70 Giải hệ phương trình:   √ Lời Giải √ x −y−1≥0      x ≥ √ eo Điều kiện:     3x ≥ y ≥    √ Ta có: 3x 3x − y + 3x + y = y + + 2y + O nl in e Th √ √ √ ⇔ 3x( 3x − y − 1) + 3x − y − + 3x + y − 2y + = 3x − y − 3x − y − √ ⇔ 3x √ + 3x − y − + √ =0 3x − y + 3x + y + 2y + 1 √ +1+ √ =0 ⇔ (3x − y − 1) √ 3x − y + 3x + y + 2y + ⇔ 3x − y − = ⇔ y = 3x − thay vào phương trình lại, ta có: √ √ √ x2 − 3x + 3x − − 2x2 (3x − 1) = 3x − + − (3x − 1)2 − x4 √ ⇔ x2 − 3x + x4 − 6x3 + 11x2 − 6x + − = √ ⇔ x2 − 3x + (x2 − 3x + 1) − = √ ⇔ u + (u2 + 1) − = (u = x2 − 3x ≥ 0) ⇔ u4 + 2u2 + u = ⇔ u(u3 + 2u + 1) = ⇔ u = √ ⇔ x2 − 3x = ⇔ x = c Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = {(3; 8)} Họ Bài toán 71 Giải phương trình: √ (4x2 − x − 7) x + = 10 + 4x − 8x2 Lời Giải Điều kiện x ≥ −2 √ Ta có: (4x2 − x − 7) x + = 10 + 4x − 8x2 √ ⇔ (4x2 − x − 7) x + + 2(4x2 − x − 7) + − 2x = √ √ √ ⇔ (4x2 − x − 7) x + + + x + + 2 − + x = 42 √ √ + x + 4x2 − x − + − 2 + x = √ √ ⇔ 4x2 − x − 2 + x − =0 ⇔ 4x2 = x + + x + 2 + √ √ + x + 2x − = 2+x 2x = √  ⇔ ⇔ 4x2 = x+2+1 ⇔ √ √ −2x = + x + −2x − = + x ⇔ •TH2: −2x − = 2+x⇔ √ ⇒x=  4x2 − 4x + = x +   −2 ≤ x ≤ − 2+x⇔ 5+ ⇒ x = −1  4x2 + 4x + = x + −1; √ 41 Họ c O nl in e Th eo Vậy phương trình cho có nghiệm S = 5+ √ 41 M ùa •TH1: 2x − = √   x ≥ 43 [...]... ⇔ y = x2 − x Thay vào phương trình (1) √ √ (1) ⇔ x2 + x − 1 + x + 1 − x2 = x2 − x + 2 Áp dụng Bất Đẳng Thức AM-GM, ta có: √ x2 + x √ −x2 + x + 2 2 +x−1≤ ; x+1−x ≤ 2 2 √ √ ⇒ x2 + x − 1 + x + 1 − x2 ≤ x + 1 ⇔ x2 − x + 2 ≤ x + 1 ⇔ (x − 1)2 ≤ 0 x2 ⇒ x = 1 ⇒ y = 0 thỏa mãn điều kiện bài toán M ùa Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (1; 0) Bài toán 29 Giải phương trình: Lời Giải Điều kiện (2x −... 2 − (t + 4) = 0 ⇔ t = ⇒ x = 2 4 5 9 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = ; 4 4 M ùa Phương trình (1) ⇔ (x − y + 1)(x2 + 5x − y + 5) = 0 Bài toán 31 Giải phương trình: in e √ √ √ x 5x2 + 1 + x 6x2 + 1 − 2x4 + 2x2 + 1 = x2 + 1 Lời Giải Phương trình đã cho tương đương với: √ Họ c 5x2 + 1 + O nl √ √ 6x2 + 1 = 2x4 + 2x2 + 1 + x2 + 1 (1) √ √ Do vế phải luôn dương và đại lượng 5x2 + 1 + 6x2 + 1 >... 5x2 + 1 = x + x x 2 + a2 + x 2 + b 2 √ 1 + 17 ⇔ 4x4 − x2 − 1 = 0 ⇔ x = 8 √ 1 + 17 Vậy phương trình đã cho có nghiệm S = 8 x 19 Bài toán 32 Giải phương trình: x2 − x − 2 = √ 3−x+ √ x Lời Giải Điều kiện   x ∈ [0; 3] ⇒   x2 − x − 2 ≥ 0   x ∈ [0; 3] ⇒ x ∈ [2; 3]  x ∈ (−∞; −1] ∪ [2; +∞) Bài toán 33 Giải hệ phương trình:    x − eo =0 Th √ √ x − 2 − 3 − x + x − 1 − x + x2 − 3x + 1 = 0 x2 − 3x +...  x3 − x ≥ 0  ⇔ √ x=0 y−1=x⇔ √ y − 1 = x3 − x ⇒ y = 1 thỏa mãn phương trình còn lại x=1  0 ≤ x ≤ 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = {(0; 1); (1; 1)} Bài toán 18 Giải phương trình: M ùa f x3 − Lời Giải Điều kiện x ∈ [−2; 2] eo √ √ √ 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x2 = 10 − 3x √ 2 + x (t ∈ [0; 2]) ⇒ x = t2 − 2 √ √ Phương trình 3t − 6 4 − t2 + 4t 4 − t2 = 10 − 3(t2 − 2) √ √ ⇔ 3t2 + 3t −... ⇒ (x − 1) x − 1 + 4 x(x − 1) − 4 1+ x Do đó phương trình (1) có nghiệm x = 1 eo >0∀x≥1 Th Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = {(1; 2)} √ x+ x−1 √ 1+ x Bài toán 46 Giải phương trình: in e √ √ (4x2 + x − 1) x2 + x + 2 = (4x2 + 3x + 5) x2 − 1 + 1 Lời Giải O nl Điềukiện x ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞) √   x2 + x + 2 = a ≥ 0 Đặt  √x2 − 1 = b ≥ 0 Phương trình đã cho trở thành: c (a2 + 3b2 )a = (b2... − (a + b) ≤ 0 Bài toán 37 Giải hệ phương trình:    x 4y 3 + 3y + Th eo 2(x2 − x + 3) − 1 > 0 ⇒ 2(a2 + b2 ) ≤ (a + b) √ ⇒ a + b ≥ 0 ⇔ (a − b)2 ≤ 0 ⇔ √ a=b⇔x−1= x+2 3 + 13 ⇔ x2 − 3x − 1 = 0 ⇔ x = 2 √ 3 + 13 Vậy bất phương trình có nghiệm S = 2 Ta có 2(a2 + b2 ) − 1 = M ùa  x − 1 = b 5y 2 − x2 = y 2 x2 + 4y 2 + 8 (1) in e  x + √12 − 2x = 2y 2 − 2√y − 4 (2) Lời Giải O nl Từ phương trình đầu tiên... + 7 − + + = 2x + 3 + > 0∀ x ∈ [−1; 1] 1+ 1−x 1+ 1+x 1+ 1−x 1+ 1+x Do đó phương trình (∗) có nghiệm x = 0 x+1+ O nl in e Th (2) ⇔ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm S = {0; 1} Bài toán 45 Giải hệ phương trình:  2    3 4x3 + (x + 3)y 2 + 3y + 1 = √ (y + 1) 4x + 2xy + 1 Họ c  √  x2 + 5 + 2(x − 2) 2y = √y(√y − 2(x − 1)) Lời Giải Điều kiện x ≥ 1; y ≥ 0 (y + 1)2 + 3y + 1 = √ Ta có: 4x + 2xy + 1 (y... √ ⇔ (x + 2)2 = 5 ⇔ x = −2 ± 5 ⇒ x = −2 + 5 ⇒ y = 5 do x > −2 √ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (−2 + 5; 5) (2) ⇔ Bài toán 34 Giải phương trình: (x2 + 4x − 1) √ 3 9x − 1 + 1 20 2 +3 =9 Lời Giải Ta có (x2 + 4x − 1) ⇔ (x2 + 4x − 1) 3 √ 3 9x − 1 + 1 2 +3 =9 √ (9x − 1)2 + 2 3 9x − 1 + 4 =9 Do x = 1 không là nghiệm của phương trình Nhân hai vế cho √ 3 9x − 1 − 2 M ùa √ P T ⇔ (x2 + 4x − 1)(9x... (a + b) (a + b) 1 Dấu ” = ” xảy ra khi a = b ⇔ y = thay vào phương trình còn lại, ta có: x  x ≥ 4 √ 2 x−1=x−4⇔  4(x − 1) = (x − 4)2 M ùa (∗) ⇔  Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm S = 3 1 10 Th Bài toán 53 Giải hệ phương trình:    3 x2 − xy + 1 + 10; eo ⇒ x = 10 y 2 − xy + 1 = 2(x − y)2 + 2 in e  (16xy − 5)(√x + √y) + 4 = 0 Lời Giải 3  0 ≤ xy < 5 x2 16 − xy + 1 + 3 y 2 − xy + 1 = 2(x −... a2 − ab + b2  Dấu ” = ” xảy ra khi  a = b ⇒ a = b ⇔ x = y Thay vào phương trình còn lại, ta có:   a3 + b 3 = 2 √ 1 (16x2 − 5) x + 2 = 0 ⇔ x = 4 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm S = 1 1 ; 4 4 31 Bài toán 54 Giải hệ phương trình:  √   x2 + x + 1 − y2 − y + 1 = x2 − xy + y 2  3 4(x + 1)(xy + y − 1) − 3x = √ x 4 − x2 Lời Giải √ y 2 − y + 1 = x2 − xy + y 2 √ √ ⇔ x2 − x + 1 = x2 − xy + y 2 +