Tuyển tập các bài toán giải phương trình bất phương trình hệ phương trình ôn thi THPT quốc gia full

Online Theo Mùa FB: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG Tài liệu ôn thi Tuyển Tập Các Bài Toán Giải Phương Trình Bất Phương Trình... Thử lại thấy thỏa mãn... Vậy phương trình đã cho có ng

Online

Theo

Mùa

FB: Học Online Theo Mùa- Ôn Thi THPTQG

Tài liệu ôn thi

Tuyển Tập Các Bài Toán

Giải Phương Trình Bất Phương Trình

4 là nghiệm của phương trình

√24

Giải phương trình sau:

• (x4+ 3x3+ 7x2+ 10x + 6) x +√

x + 1
+ 2x2+ 7x + 6 = 0

Ta có:x4+ 3x3+ 7x2+ 10x + 6 = x4+ 3x3+9x2+ 19x2+ 10x + 6 > 0

x2+ 9 + 7

4x2(√

x2+ 9 + 5)Vậy phương trình có nghiệmx = ±4

Bài toán 4

Lời Giải

Điều kiệnx ≥ 1

4Xét hàm sốf (x) = √ 1

5x +√

2x + 2 +

1

√5x +√

1

√2x + 2

√5x +√

2x + 2
2

−

5

2√5x +

4

√8x − 2

√5x +√

8x − 2
2

< 0

= g

13

 nênx = 1

Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho vế trái, ta cóV T ≥ 4 = V P

Dấu "=" xảy ra khi√x + 1 −√

x − 2 =

√

x − 2 + 12

⇔ 2√x + 1 = 3√

x − 2 + 1 ⇔ x = 3Vậyx = 3 là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình làx ∈h1

2; 5

i

∪

4 +√6; +∞

 Lưu ý: Nếu chúng ta ko tách được nhân tử từ phương trình trên nhưng ta vẫn có thể giải được để tìm nghiệm thông qua hàm số Cụ thể ở đây ta có:

2(x − 4)√

x + 3 − (x − 6) √

2x + 1 − 3
− 6(x − 4) = 0 (1)Chú ý2(x − 4) = √

2x + 1 − 3
√

2x + 1 + 3
(1) ⇔ √

(x2+ 2x − 4)



3

q(9x − 10)2+ 2√3

9x − 10

+ 4x2+ 8x − 25 = 0

⇔ (x2+ 2x − 4)



3

q(9x − 10)2+ 2√3

9x − 10 − 2

⇔ x3− 8x + 8 =√3

9x − 10 − 2 ⇔ x3+ x = 9x − 10 +√3

9x − 10Xét hàm sốf (t) = t3+ t ⇒ f0(t) = 3t2+ 1 > 0 ∀ t ∈R⇒ f (t)đồng biến trên R

√8x − 3x2+ (4 − x)

+

9x2+ 45 − 4x2− 20x − 25

+ 5

x3+ x2+ 2 (∗)(∗) ⇔ x3+ 3x2+ 3x + 1 + 3x + 3 = x3+ x2+ 2 + 3√3

x2+ x + 2

⇔ (x + 1)3+ 3(x + 1) = x3+ x2+ 2 + 3√3

x2+ x + 2Xét hàm sốf (t) = t3+ 3t ⇒ f0(t) = 3t2+ 3 > 0 ∀t ∈R⇒ f (t)đồng biến trên R

1;−3 ±√17

x − x ⇔ x2+ 2 + 1

x2 = 4



x − 1x

Vậyx = 0 là nghiệm của phương trình

2− x − 2√3

2x + 1

3

√2x + 1 − 3 + 2

⇔√x + 1 + 2 = x

2− x − 6

3

√2x + 1 − 3 ⇔√x + 1 + 2 = (x − 3)(x + 2)√3

2x + 1 − 3 (1)Chú ý(x − 3)(x + 2) = √

x + 1 + 2
√

x + 1 − 2
(x + 2)(1) ⇔ 1 = (x + 2)

√

x + 1 − 2

3

√2x + 1 − 3 ⇔√3

0;1 ±

√52

Vậy phương trình đã cho có nghiệmx = 6

83

x(x − 1)

Áp dụng BĐT AM-GM:

r1



x − 1x

x(x − 1) ≤

1

x + x − 12

r1

x(x − 1) ≤

2x

2 = xDấu bằng xảy ra khi



1 +√52

t2+ 2

⇔



3t2− 4t − 1 = 04t2− 4t + 1 = 0

t = 12

x = 5

4

xy + (x − y) √

xy − 2
+ y

+ √ 1

x +√y

1 +√17

2 ;

1 +√172

x3+ x − 1
x + 1 −√

x3+ x − 1
(1) ⇔ x2+ x + 2 + 2√

⇒ x = 2Vậy phương trình đã cho có nghiệmS = {2}

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm(x; y) = (1; 8)

Giải hê phương trình:

⇒ x > 0 ⇒px2− y +√xy − y > 0

Ta có px2− y −√xy − y = x

2− y − xy + yp

⇒√x2+ x − 1 +√

x + 1 − x2 ≤ x + 1 ⇔ x2− x + 2 ≤ x + 1 ⇔ (x − 1)2 ≤ 0

⇒ x = 1 ⇒ y = 0thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm(x; y) = (1; 0)

3 .

8(1 − x)9

3 .

8(1 − x)

9 .

827



⇒ 3 − 2x ≤ x

2 +

32

9 =

8272x − 1 = 1 − x

⇒ x = 2

3

Vậy phương trình đã cho có nghiệmS =

n23o

x2− 1 − (2x − 3)√2x − y − (2x + 3)√

x + 1 = 0 (2)

Bài toán 30

Lời Giải

4;

94

(r

1 +√178)

3 +√52

5; 5)

Giải phương trình:

(x2+ 4x − 1)

h3

√9x − 1 + 1
2+ 3

i

= 9

Bài toán 34

1 +√52

3 +√132

2 ⇒ x = 3 +√5Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm(x; y) =



3 +√5;3 +

√52



4 (∗)Lại có: p(x + 1)(2y + 1) ≤ x + 2y + 2

2(2) ⇒ 2xy + 5y ≤ 2 + 2y + x

2 ⇔ 4xy + 10y ≤ x + 2y + 2 ⇔ (4y − 1)(x + 2) ≤ 0 ⇒ y ≤ 1

4 (∗∗)

Từ(∗)và(∗∗) ⇒ y = 1

4 ⇒ x = 1

2Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm(x; y) =n1

2;

14o

x2 ≥ 0

12 − 3

t +

r4t − 3

t = 1

⇔ t = 1 ⇔ x = ±1(nhận)Vậy phương trình đã cho có nghiệmS = {±1}

3; −√2); (0; 0);



−4

3; −

43

√4x + 2xy + 1

⇔p3

4x3+ (x + 3)y2+ 3y + 1 − (y + 1) = (y + 1)

2

√4x + 2xy + 1− (y + 1)

⇔ 4x

3+ xy2+ 3y2+ 3y + 1 − y3− 3y2− 3y − 1

a2+ ab + b2 = (y + 1)y + 1 −

√4x + 2xy + 1

√4x + 2xy + 1

4x3+ (x + 3)y2+ 3y + 1, b = y + 1)

2 ± 2√

73



5x2− 20x + 20

2 ⇒ y = 1 +

√52Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệmS =



1 +√5

2 ;

1 +√52

Nếux = 0 ⇒ y = 0thỏa mãn hệ phương trình đã cho.

Xétxy 6= 0 Ta cộng vế theo vế hai phương trình đã cho

x2− 2x + 5 =

1q(x − 1)2+ 4

≤ 1/2và p 1

y2− 2y + 5 =

1q(y − 1)2+ 4



= 2xy

⇒ (x − y)2 ≤ 0 ⇒ x = y = 1 Thử lại thấy thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệmS = {(0; 0).(1; 1)}

1

2√x

√

x +√

y ⇔ y1

x +

yx+

1x

y + yx

= 2

1 +

qyx(∗)

= 12ab(a + b)2 +

2ab(a + b)2

≥ 1ab

2√

ab +

12

= 2

1 +√ab

Dấu” = ”xảy ra khia = b ⇔ y = 1

x thay vào phương trình còn lại, ta có:

⇒ x = 10Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệmS =

n

10; 110

x2− xy + 1 +p3

y2− xy + 1 = 2(x − y)2+ 2(16xy − 5)(√

n1

4;

14

o

+

√32

2

(∗)Đặt~u =

√3

2 ;

√3

2 y −

12

 Áp dụng công thức|~u| + |~v| ≥ |~u + ~v|, ta có:

√3x2



y − 12



=

√32

2 ⇒ y = −1 +

√52

x = 1 −

√5

2 ⇒ y = −1 +

√52Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm(x; y) =



1 +√5

2 ;

−1 +√52



;



1 −√5

2 ; −

1 +√52

y)2 =

1

y +px(2x − y)

(ab + c2)(a + b) +

b(ab + c2)(a + b) =

1

c2+ abDấu” = ”xảy ra khi

#

∪

"r5

2+

t2

t2+ 1



2t23t2+ 1

t2+ 1 +

t2+ 13t2+ 1



⇒ √t + 13t2+ 1 ≤ 1

2(3 + 1) = 2Vậy tập nghiệm của bất phương trình làS = −∞; −√

2

p4(10 − 4x − 2x2) ≤ 14 − 4x − 2x

2

4 =

7 − 2x − x22

0;−5 ±√19

Lại có: −8x

2(x − 2)2(3x2− 8x + 8)2 ≤ 0 Dấu” = ”xảy ra khix = 2; x = 0

⇒ 2x2+ 2x + 2 ≤ 3x

2+ 2x + 3

2 ⇒ (x + 1)2 ≤ 0Dấu” = ”xảy ra khi

−3x3+ x2+ 2x − 1 = 1

⇒ x = −1Vậy phương trình đã cho có nghiệmS = {−1}

x2+ x + 2 = 0

⇔ (x − 1)(x + 2)(5x + 7)(3 − x)

x2+ 2x + 3 +

(x + 2)(x − 1)(5x + 7)(5x − 2)5x2+ 5x + 26 + 18√

x2+ x + 2 = 0

⇔ (3 − x)(5x2+ 5x + 26) + 18(3 − x)√

x2+ x + 2 + (5x − 2)(x2+ 2x + 3) = 0

⇒phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệmS =n1; −2; −7

5o

x√x

x + 1 ≥ (x − 1)

3

(x − 1)2+ 1Xét hàm số t

3

t2+ 1 (t > 0) ⇒ f

0(t) = t

4+ 3t2(t2+ 1)2 > 0 ∀ t > 0 ⇒Hàm sốf (t)đồng biến trên(0; +∞)Lại cóf (√

√52

 ⇒ x ∈

0;3 +

√52



Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệmS =

0;3 +

√52

Vậy phương trình đã cho có nghiệmS = {1}

2Thay(1)vào(2), ta có:

(2y + 3)3− y2 = 0 ⇔ 8y3+ 35y2+ 54y + 27 = 0 ⇔ (y + 1)(8y2+ 27y + 27) = 0

2

Vậy phương trình đã cho có nghiệmS = {0; −2}

Giải bất phương trình:

√2

√

x2− x + 1 >

√x(√

√

x2− x + 1 >

√x(√

√

x2− x + 1 > 0

⇔ 3(x2− 1 − 2√x2− 1√x + x) − 3x + 3x2− 9 − 2√x2− x + 8

√2

√

x2− x + 1 > 0

⇔ 3(√x2− 1 −√x)2+ 3(x2− x) − 2√x2− x + 8

√2

√

x2− x + 1 − 10 > 0Xétf (x) = 2(x2− x) + 8

√2

√

x2− x + 1 − 10Đặta =√

x2− x ≥ 0 ⇒ x2− x = a2

a2+ 1 − 10 ⇒ f0(a) = 4a − 8

√2aq(a2+ 1)2

f0(a) = 0 ⇔ 4a



1 − 2

√2q(a2+ 1)3

Tử bảng biến thiên ta suy raf (a) ≥ 0 Dấu” = ”xảy ra khia = 1 ⇔√

Vậy bất phương trình có nghiệmS = [1; +∞) \



1 +√52

⇒ √ 1

x2− 2x + 2 − x + 2 > 0

1

√3x + y +√

⇒ x = 5 +

√418

⇒ x = −1Vậy phương trình đã cho có nghiệmS =



−1;5 +

√418