GSTT GROUP Light the way ĐC
Tuyển tập 90 đề thi thử đại học
Trang 3Mục lục Giới Thiệu Tổng Quát
Phan I: MOT SO CHUYEN DE, BAI VIET DAC SAC, 1- Phương pháp thế trong giải hệ phương trình
2- Sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến để giải phương trình, hệ phương trình 3- Giải một số phương trình vơ tỉ cĩ dạng đặc biệt
4- Phương pháp nhân liên hợp trong giải phương trình, bất phương trình vơ tỷ —t 5- Tư duy đặt ẩn phụ trong giải hệ phương trình 6- Phương pháp hằng đẳng thức trong giải hệ phương trình 7- Một số chì
khi giải hệ phương trình
8- Phương pháp giải phương trình và bất phương trình siêu việ
9- Giải nhanh phương trình lượng giác bằng máy tính Casio
10- Một vài điểm cần chú ý khi giải phương trình lượng giác 11- Một số dạng tốn thường gặp về số phức 12- Một số loại tốn tổ hợp thường gặp trong kì thí tuyển sinh đạt học 13- Suy nghĩ khơng cũ về một dang tốn khơng m
14- Suy nghĩ về một loại tốn quen thuộc
15- Phương pháp đổi biến trong bài tốn chứng minh Bất đẳng thức
Trang 6x at gidi 6 Quấi a
Giới Thiệu Tổng Quát Về GSTT Group
Cuấn sách này được viết bởi tồn bộ các bạn đến từ GSTT GROUP, Vì vây; chúng tơi xin được giửi tới cá, em học sinh và các độc giả đơi nét về tập thể tác giả nà Bài viết được trích trong profile của GSTT GROUP
1.Giới thiệu chung ì
“Sống trong đời sống cần cĩ một tấm lịng Để làm gì em biết khơng ?
Đế glĩ cuốn đi
Lấy cảm hứng từ ca từ trong bài hát "Để giĩ cuốn đi” của cố nhạc sĩ Trịnh Cơng Sơn 9à câu hỏi là “làm thế nào để cổng hiển cho xã hội nhiều nhất khi minh đang cịn là sinh viên?”, chúng tơi đã thănh lập nên GSTT Group /
Được thành lập vào ngày 6/5/2011,GSTT Group đã trải qua hon mote hình thành và phát triển GSTT Group là nơi hội tụ các sinh viên wu ti dén từ các trường đại đột Các thành viên của GSTT Group đều cĩ những thành tích đáng nể trong học tập Các thành viên cố GSTT Group đều là những thủ
h trường Trang những ngày:
đầu thành lập GSTT Group chủ yếu hoạt động ở mảng online bằng viết thực hiện những bài giảng trực tuyến và hỗ trợ các em học sinh trên diễn đàn Kể từ đầu năm 2012, GSTT Group đã mở rộng hoạt
ng của mình sang các lĩnh vực khác như tổ chức giảng dạy tình nguyi
thị thử đại học cho học sinh 12, tổ chức chương trình gia6 lu với học sinh lớp 12 tại các trường cấp 3, Khơng chỉ giàu lịng nhiệt huyết với các thế hệ
học tập của các thành viên Kể từ năm học 2012—2013,GSTT Group thành lập các câu lạc bộ học tập dành cho các thành viên Một số câu lạc bộ đã đi vào hoặt động như : Câu lạc bộ tiếng Anh, câu lạc bộ Luật, Câu lạc bộ kinh tế đối ngoại, Câu lạc bộ Y Ngồi +ä¿để các thành viên GSTT Group cĩ điều kiện trải nghiệm, làm quen với cơng việc khi ra trường, GSTT Group tố chức chương trình JOB TALK Nhiing chia sẻ về cơng, Việc và cuộc sống của các vị khách mời sé gi các thành viên trưởng thành hơn khí ra trường, r các trung tâm bảo trợ xã hội, tổ chức -em đi sau, GSTT Group cịn rất chú trọng tới việc
kiến thức của mình truyền đạt lại.cho các thể hệ đàn em
Sứ mệnh: Kết nối yêu thương
1 tới hình ảnh GSTT Group sẽ đến với tất cả các em học sinh trên cả nước, đặc biệt là những em cĩ mảnh đời bất hạnh GSTT Group sẽ là một đại gia đình với nhiều thế hệ học sinh, sinh
viên, ăn sâu trong tiềm thức học sinh, sinh viên Việt Nam
Slogan: 1 Light the way 2, Sharing the value IL Danh mychoat agng:
Hướng tổi học sinh Hoạt động online a Video bai giảng trực tuyến các cấp và đại học, trọng tâm ơn thi đại học 2 Hoạtđộngoffine
a Giẳng day tình nguyện thường xuyên tại các trung tâm bảo trợ xã hội và ở vùng sâu vùng xa Ð, Giao lưu chia sẽ kinh nghiệm thi cử tới các trường cấp 3
Trang 7Hướng tới sinh viên 1, Hoạtđộngonline i a,_Bai gidng trực tuyến các mơn học b Hỗ trợ học tập trên diễn đàn học tập 2, Hoạt độngoffline
a _ Các câu lạc bộ học tập: câu lạc bộ tiếng Anh, Câu lạc câu lạc bộ tài chính ngân hàng, câu lạc bộ Luật
b, Chung trinh JOB TALK Chong trinh giao lưu, trị chuyện với art từ các ngành nghề lĩnh vực khắc nhau ộ Y, câu lạc bộ Kinh tế đối ngoại,
c Giảng đạy cho sinh viên ngay tại giảng đường các trường đại h HỊ,Một số thành tựu nối bật đạt được:
1, Thực hiện 230 bài giảng trực ate
nước từ năm 2011 ~ 2013
44, Giúp đỡ 169 em ở làng trẻ SOS - Hà Nội học tập
5 Tổ chức 2 chương trình giao lưu cùng thủ khoa đại học ở trường TIIPT chuyên Lương Văn Tụy ~ Ninh Bình và THPT Nguyễn Siêu - Hưng Yên
Trang 8Phần I: MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ, BÀI VIẾT ĐẶC SẮC
1- Phương pháp thế trong giải hệ phương trình “Thế” là một phương pháp quan trọng của giải HPT Nếu “thé” ding thì bài tốn sẽ được giáÍ ngay tức khắc” : a
TOM TAT KIEN THU co BAN y
Các bạn cần nắm chắc kiến thức cơ bản đầu chương, phép biến đổi mũ, loga, kỹ năng biến ối trong đương z ~ _ Ngồi ra, để giải quyết chọn vẹn bài tốn thì các kỹ thuật đẳng cấp, nhẩm nghiệm Pn tích thành nhân tử, ẩn phụ, cần phải nắm vững .A- Tự cảm nhận, 1=?y ( Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: |5” X* P5 13 @ x'y? 4 xy +1=13y?(2) lời giải: ()=x(y+)=7y~I Nếu y =~1 thì x0=7(-1)-1 (v6 li) + Nếu y#~Ithì x= yet thể vào (2) ta cĩ: 5 | #=1l‡i= y= "(?5)-(ã): tự ©y((-))+y(7y-1)(y+1)+(y+1ÿ—13y? ovis =o G76y'=33y =5y +y+I=0 <2 (y-1)(3y-1)(12y? +5y+1)=0 y=1 _1 Do l2y? +5y +1>0,¥yeR) 3 = +WẾiy xe: Kết luận: Hệ đã cho cĩ đghiệm: (av) =@}(13) ` 4x?y?—6xy=3y? +9 =0(1) 3 6x°y—y?~9x=0 (2) Lời giải: (y=>-4xÌy? ~6x?y =3xy +9x =0 (3) @=#> 2y — yÌ thế vào (3) ta cĩ: 4x <ồx?y~35yˆ + 6y ~y? =0 fe wy (4x -3x=1)= os Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: { 4x? ~3x—
0 thay vào (2) ta cĩ 9x = 0 nên x= 0 Thay x = 0; y = 0 vào (1) ta cĩ 9 = 0 (vơ lí)
LOVEBOOKVN |8
Trang 9* @ By? ~ 2y— 1— 4x2 = 0 (4)
“BÀI 1: Giải hệ phương trình: Bài 2¡ Giải hệ phương trình: |
xe=l
+ Nếu 4x'~3x~I=0© x=-t 1 + L2
+ Với x= 1 thay vào (2) ta cĩ: 6y ~ yŸ =
+Vớix= ~š thay vào (2) ta cĩ:
Thử lại các nghiệm Gø)=03)(-33)) Các nghiệm của hệ phương trình đã cho y+3y2—2y+6+3x2=3x+V7x7+7+2() CÀ 3y? — 4x? — 3y + 3x + 1= 0 (2) we lời giải: (2) => 3x = 4x? + 3y — 3y? — 1 thế vào (1) ta cĩ: y+V3V?— 2y + 6+ 3x” = 4x2 + 3y — 3y2— 1+ V7XZ+7 +2 = (3y? — 2y +6 + 3x2) + V3) ayer ae V?x T7 + 7x) +7 (33) Xét hàm số: f(Q) = t+ vũt z 0 = f'Œ) =1+= x Suy ra f(©) đồng bién trén (0; +00) Ta cĩ: (3) © f(3y? — 2y + 6 + 3x?) = f(7x? +7) ©3y?—2y+6+3x2 = 7X? +7 'Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: { > 0,với mọit> 0, Trừ về (4) và (2) ta cĩ: y— 3x— 2= 0© y=3x+ 2 “Thế vào (4) ta cĩ: 3(3x+ 2)?T— 2(3x + 2) — 1~ 4x? =0 x=-l=y=-l ©2382 + 30x +7 =0 © 7 25 (thỏa mãn) -g2y
Kết luận: Hệ đã cho cĩ nghiệm (x; y) = (#4
'B- Chìa khĩa tư duy giải tốn
+ Phép "thể" cĩ ý đồ chính:
-Ý đồ 1: Rút x theo y hoặc heo x từ một phương trình rồi thể vào phương trình cịn lại đưa về phương trình một biến tuy hơi cồng kềnh nhưng nếu mạnh đạn biến đổi thi “kiểu gì cũng ra"- ví dụ 1 là minh chứng cho ta điều này Lưu ý, cĩ thể dùng ấn phụ để giải ví dụ 1 gọn hơn “thế” nhưng nĩ thích hợp với bạn cĩ tư duy tốt Vậy nên, nếu ấn phụ khơng nghĩ ra thì “thế” là một phương án an tồn và luơn luơn ra,
-Ý đồ 2: Quan sát những biểu thức cùng xuất hiện ở 2 phương trình, sau đĩ thế chúng cho nhau Ở ví
dụ 2, ta thấy ở phươnế trình (1) cĩ “9” cịn phương trình (2) cĩ “9x”, để thế 2 “thằng” này cho nhau thì một
cách tự nhiên, ta han về của phương trình (1) cho x rồi thế 9x = 6x*y — y? vào phương trình (3) thì lời
giải được hé mở hồn tồn Ở ví dụ 3 cũng cùng ý đồ khi thấy thẳng “3x” xuất hiện đồng thời ở hai phương
Trang 10x? +xy+x+3=0(1) (+ 1) + 3y + 1) +20 — VX5y + 2y = 0 (2) xty(x +2) = 1(1) x” txy + 2x+2=0(2) xy=x#7y+1() \x?y? = 10y? — 1 (2)
Bài 3: Giải hệ phương trình: { Bài 4: Giải hệ phương trình: [ Bài 5: hệ phương trình: | Giải bài tập vận dụng: Bài 1: Điều kiện :x > 0,x < 4,y € R 3 Từ log; + y = 12 x— 31" = BY == thế vào phương trình (1) ta cĩ: ©Wx†I-1=V4-x x Đáp số: (x;y) = (3:0) Bài 2: Điều kiện y > 0
Tương tự như bài 1 Từ x + logs y = 3 = y = 33% = 35 =F
Thế vào phương trình (1) ta cĩ: (2y? — y + 12.2 Đáp số: (x; y) 3) Bài 3; Điều kiện x2y + 2y > 0 (1) = xy = —x? —x— 3 thế vào (2) ta cĩ: =x? — x2 — 24 By — 2VyQF 2) = 0 3 bon z yo © 3t?— 2t—- >0 Đắp số: (x; y) = Bài 4: Từ phương trình (2): xy = =x? — 2x — 2 thể vào phương trình (1) ta cĩ: Dap s6: (x; * y) = (—1;1) <r 2 ae 1 7y +1 ) =10y?—1 y1 thế vào phương trình (2) ta được: y2 ( 7 Bài 5: Từ phương trình = x = = bap số: &y) = @: -D (15 -3) vo
2- Sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến để giải phương trình, hệ phương trình
⁄ Dỗn Trung San (GSTT GROUP - ĐI Y Hà Nội) Khi giải phương trình, bệ phương trình chúng ta gặp một số bài tốn khá cồng kênh Các phương pháp hay dùng sặp trở ngại, khi đĩ ta cĩ quyền nghĩ đến phương pháp sử dụng tính chất đồng biến, nghịch
biển của hàm số (hay phương pháp ham $6) Cĩ hai loại chứng ta hay gấp:
Trang 11© x2 +2x= (2x+2)V2W+1 © (2x)? + 2x = (V2X+1) + VOR
Ta thấy, phương trình đã cho tương đương với: x(4x? + 1) = (2+1) +V2x+1 > x20
Xét hàm số f() = tẺ + t trên (0; +00)
C6 f'(t) = 3t? + 1 > 0 đồng biến trên [0; +e)
Suy ra hàm số đồng biến trên [0; +00)
Mà phương trình (1) tương đương với f(2x) = f(V2x+ 1)
Nên phương trình (1) ©› 2x = V2x + Ï © 4xÊ — 2x T— Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 + v5 +x+ Ví dụ 2: Giải phương trình: logs ett — 7x2 + 21x +14 (1 2x?+4x+5 „ mm © 2x? + 4x45 204+ 1)? +3
Nên phương trình đã cho xác định trên R Phuong trình đã cho tương đương với: loga(X? + x + 3) — log;(2x? + 4x + 5) = 7Q + 3x + 2) © loga(%? + x + 3) —,loga(2x? + 4x + 5) = 7[(2x? + 4x +5) — (x2, > 0 với mọi x€ R Cĩx? +x+3 > 0 và 2x? + 4x + 5 > 0, Xét hàm số: f(f) = logs t + 7t trên (0; +œ) 1 Ta cốt'(Q = củng + 7 > 0 với moit € (0; +) Nên phương trình (1) tương đương với: PEAS 2X? + 4X+ 5 €3 x2 +32 = 0c |Š Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là x = ~1; x.Z)~2
'B- Tư duy giải tốn
Như vậy, thực chất để giải al tốn này, bước đầu tiên ta cần làm là đưa bài tốn về dạng
f(D) = FO) ie
Tức là, phân tích, chuyển vế đưa phương trình về dạng mà 2 vế là 2 biểu thức cùng một hàm .Gĩ một số dấu hiệu sau:
+ Phương trình cồng kềnh + Phuong trinh cĩ sự cách biệt:
Ví dụ: Ở phương trình yang táo bậc 3 (x3) và bậc 2 5 trong ( V2x + 1)
+ Cùng xuất hiện 2 loại hàm trong phương trình Vi dụ:
- hàm số mũ + lướng pide
~ hàm đa thức+ hàm:logarit (ví dụ 2)
- bàm đa thức“ hăm mũ
Khi đĩ, bạn đĩ quyền nghĩ đến phương pháp hàm số này
Ngồi ra, iề nhìn nhận vai trị tương đồng, ngang nhau của một số biểu thức trong phương trình
thằng trình (1) ta thấy cụm (x + 1)2x + 1 sẽ cĩ bậc 5
i phần cịn lại 4x3 + x cĩ bậc là 3
i vậy, nếu xem v/2x+ 1 là một ẩn thì cụm (x + 1)/2x + 1 cĩ thể biến đổi thành một hàm bậc 3 Đĩ là sự
tơng đồng về bậc cho phép ta đi theo hướng: xem x và 2x + 1 cĩ vai trị ngang nhau
Giống kiểu đặt ẩn phụ (cĩ thể gợi là ẩn phụ âo)
ag X?+x+3 - 5
Hay & vi dy 2: loga TT ao g = logalx? +x + 3) ~ loga (2x? + 4x-+ 5)
Trang 12
II Dạng f(u(2)) = 0 nhẩm được tất cả nghiệm (thường là phương trình cĩ một nghiệm, hoặc 2 nghiệm)
Với các dang bài này ta chú ý bổ đề sau: Nếu phương trình f(x) = 0 cĩ nhiều nhất n nghiệm, thì f0) = 0 cĩ nhiều nhất (n+1) nghiệm 2x + 3Ì9EEX) = Đặt logsx =t© x= 6t Khi đĩ, phương trình đã cho trở thành: ^\` 2 E239 cte6t+st=zte2t+t= ( s zt— (Ÿ +1 = logz(6t + 39) = te 6t + 3t = 2© 2t+1 Đ) =z G) +1 0đ) t Xét hàm số f() = 2t — 6 + 1trênR t
“ye 2tine= (2) an(2 2
cor'(o = 2.n2 - (5) -tn(§) > o,vee Rcin(§) < 0)
=> Hàm số f()) đồng biến trên R = phwong trinh f(t) c6 nhiều nhất 1 nghiệm
Ma f(—1) = 0 nên phương trình (1) cĩ nghiệm duy nhất là x = —1 sx=61= 2 thỏa mãn) Ví dụ 2: Giải phương trình: 5# + 2# = 3# ‡ 4* j-É 2 Phương trình đã cho tương đương với: 1 + (^) Xét hàm số f(x) = 3 @ < corto »()+6j »0)- 6Ÿ) Xét phương trình: f'á) =0=() win (2) + Xét hàm số gGỊ = 2*.In @ # 6 aul C6: g(x) = 2*.In2 nỆ )+ +) n(3)
> Ham số g(x) nghịch biến trên R = gĨÙ=0 cĩ nhiều nhất một "nghiệm hay TQ) = 0 cĩ nhiều nhất một
nghiệm = phương trình f(x) = 0 cĩ nhiều nhất hai nghiệm
Mà ta thấy f(0) = 0 và f(1) = 0 nên tà suy ra phương trình f(+) = 0 cĩ hai nghiệm là x
Vậy phương trình đã cho cĩ 2 nghiém là x = 0; x= 1
Như vậy với các bài tốn chứa hàm mũ cồng kềnh, với việc sử dụng tính chất đồng biến nghịch biến chúng trở nên khá là ngắn
Những bài này thường khá là đễ nhẩm nghiệm, tuy nhiên bài tốn cồng kẽnh dễ gây sốc, vì vậy cĩ thể nghĩ đốn phương pháp hàm số (cụ thể là tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm sổ)
Khi đĩ, ta xét hàm số thÍch hợp, tuy nhiên dựa vào số nghiệm mà ta cĩ thể chứng minh ngay f'(x) < 0(> 0) Để suy ra phươnG trinh cĩ nghiệm duy nhất hoặc tiếp tục xét hàm số gŒ) = f'@), chứng minh f (x)=0 cĩ nhiều nhất 1 n£hiệm qua đĩ chứng mình f(x)=0 cĩ 2 ngÌ
Bài tập vận dụng:
Ví dụ 1:Giãi phương trình: xŠ — 4x? — 5x + 6 = Vix? + 9x4
lÃi phương trình: 4(x — 2)[log; x(x — 3) + loga(x — 2) = 15 + 1)
Trang 133- Giải một số phương trình vơ tỉ cĩ dạng đặc biệt Nguyễn Phước
(GV THCS Lê Hồng Phong - Thừa Thiên ~ mae)”
(Bài đăng trên tạp chí Tốn Học Tuổi Trẻ số 360)
1.Phương trình dạng ‘
at, P(x) + B Q(x) + y.-/ P(X) Q(x) = 0 (apy # 0)
a.Cách giải:
ã P(x)
+ Néu P(x) = 0 thi Q(#) =) Dan dén OS
+ N€u P(x) # 0, ta chia cả hai về của phương trình chơ P(x) được: g0), J0G) Qe) B-BGg + Y [ogy = OPHEE= logy C20 Phương trình trở thành ft? + yt + œ = 0 Từ đĩ tìm trồi từ t tìm x CS b,Ví dự 1: Giải phương trình: 2(x? — 3x + 2) = 35+ 8 (1) ` Lời giải: Biến đổi phương trình (1) về dạng, A 2Q — 2x + 4) — 2 + 2) =3 (RTD — 2x + 4) Điều kiện: x > ~2 (vì x? — 2x + 4 = (x— 1)? + 3 > 0) Dox = —2 khơng phải là nghiệm của phương trình (1) nên chia fi x? — 2x +4 Batt = Voit=2thi Vậy phương trình cĩ nghiệm là: 2, Phương trình dạng % &(P)x) + Q@)) + BCYPG) + YOQG)) ¥2a/PGO.QG) + y = 0 (a? +B? + 0) a, Cách giải: Đặt t= PG) + V069 thì t7 = P(x) + O@) + 2VP@).Q00 Phương trình trở thành: at? + Bt + y= 0
Đo a và 8 khơng đồng thời bằng '0 nên at? + Bt-+y = 0 trở thành phương trình bậc nhất hoặc bậc 2 của t
Giải phương trình tìm t rồi thay: 'P(Œ) + /QG9 để tìm nghiệm của phương trình
b,Ví dụ 2: Giải phương trinh: Y2x-4 3 + Vx+ 1 = 3x + 2V2x7 + 5x + 3 ~ 16 (2)
Lời giải: Biến đối (2) về dani V2x+3+X+1=2x?3+x+1+ 2/(2x+3)Œ + 1) — 20 Đặtt= = VRF34.VEFT (te 0) the? = x+ 44+ 2VIKFS VET I Dẫn dént? ~ t= 20'= 0 @ t = —4(loại)hoặc t = 5 Thayt = Svaot = V2x + 3 + veF I taduoc 73 —V4758
- Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất x = 73 = V4755
Trang 14Phương trình trên trở thành: œt? + Bt + y = 0 Từ đĩ tìm trồi tìm x b,Ví dụ 3: Giải phương trình: ‘ 4x2 +10 +9 =5V2x? + 5x + 3 (3) Lời giải: Đặt t= V2x? + 5x + 3 (t> 0) thì” = 2x + 5x+ 3 © 2 +32 “410x409, 3 Phương trình (3) trờ thành: 2x? + 5x + 3 = 0 © t = 1 hoặc t = ? + Với t= 1thì V2x? + 5x + 3 = 1 © 2x? + 5x + 2 = 0 @ x = —2 hoặcX =5 19 +V6it= 3 thì 22+5x+5 =3 ot 40x43 060 n= AE, v5 Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là: x ae 2 4, Phương trình dang /F(@) +a + /F@) =b ( a, Cách giải: Nhân hai vế của phương trình với biểu thức liên hợp /F@) + a đ /GJôc 0 JF) Fat JF@ = Ệ Lúc đĩ ta cĩ hệ phương trình: RENEE = FO =|
Giải hệ trên ta tìm được x
b;VEdụ-+ Giải Lời giải: Tac6 4x? + 5x+7= (2x42) +72> 0,với mọix phương trình: 3 5)? 87 = 2 + 5 9 3 ets 2 = SN 252 ao <-1 4x? + 5x41 (+2) 1 >oes|2x+ |>zx><g hoặcx Nhân 2 về với V4x2 + 5x4 1 — Vax? + 5x47 (# 0) Khi đĩ, phương trình (4) trở thành: ZSXTT5ET-T=VAXE+5x+7=2 (5
Cộng theo về của (9) và (5) và biến đối dẫn đến f6x* + 20x + 3 = 0 © x = ~10 + 2VT3 (thỏa mãn)
Vậy phương trình (4) cĩ nghiệm là x = —10 ‡+2/13
Phương trình vơ tỉ rất phong phil va da dang vi vay địi hỏi học sinh phải hết sức thận trọng khí trình bày lời giải Bài tập vận dụng; LV FR FL H=N 3x41; S 2,VÄx+ 3 + V2x + 1 = 6x + VX? } 10x + 3— 3, 18x? — 18x + 5 = 3V9x? — OXF 2; 4, V8x2F Sx +1 — V3x? 5X” 7 = 2; 3x+8+ 6V3x— 1 + ¥3x+8~6V3x—1 = 3x+4; vey
4- Phương pháp nhân liên hợp trong giải phương trình, bất phương trình vơ tỷ
Mai Văn Chinh (GSTT GROUP - ĐH Y Hà Nội)
*Ähhân liên hợp - một phương pháp sử dụng những kiến thức rất cơ bản nhưng lại cĩ những ứng
dụng Vơ cùng quan trọng trong gidi pt, bpt, hpt vơ tỷ và ngay cả với nhiều dạng tốn khác trong đề thí HSG, ¡ học như giới han, tích phât
Trang 15
Với bất kỳ phương pháp nào, kiến thức cơ bản luơn giữ vai trị là khởi nguồn của mọi phép biến đối Với phương pháp nhân liên hợp, ta cần gan ý đến những biểu thức rất quen thuộc sau:
- Liên hợp bậc lI: Vasvo- Foe og Vab> ab a-b fab + Yo* ~b - Liên hợp bậc IV: a +46: = 'Va,b>0;a #b của+JbX#a +$b)
Trong đĩ, phép liên hợp bậc II là được sử dụng phổ biến nhất
1I- TƯ DUY GIẢI
A- Tự cảm nhận
Để các bạn hiểu hơn về phương pháp này, tơi sẽ đưa ra một số ví dụ điển hình Bạn kế bc suy ngẫm và cảm
nhận về phương pháp này Sau đĩ, hãy hệ thống lại và xem bạn đã tìm ra những, ish Tiêng mình Ví dụ 1: Giải phương trình: J3x+1 — J6—x +3x? ~14x~-8=0 (1) (B-2005) ‘ Véixe D (1) <> (/3x+1—4)+(—VO—x) + 3x? -14x-5=0 36 ep BGA) 8S M3x+rl+4 1+a6-x 3 1 65) ụ leone * | “=——+3X+l 3 1 Do-—————+-=——_13x+l>0VxeD ( V4 VN CỔ e9) Giá trị x= 5 thỏa mãn điều kiện xe D,
Trang 16ŸX x42 3 fF 0K 2-3 2x7 x?-2x~7 x ÝX TT, NON? x*2 x? =2x+243 T T =0`~2x-T| 55 Toa X+2 và -2x+2+3 Nh x? -2x-7=0 x? -2x-7=0 ° rank ~2x+2+3 | (R=1)= YGR=DF ° +1 (v6 n°) x “l he 3 (thỏa mãn) Vật phương trình đã cho cĩ nghiệm x B.CHIA KHOA
- Trước tiên, anh xin đưa ra một số khái niệm và kĩ năng quan trong:
-+ Lượng liên hợp: là một số hay một biểu thức cần thêm bớt vào mỗi căn thức đế sau khi nhân liên hợp xuất hiện nhân tử chung
+ Kĩ năng nhẩm nghiệm: là tìm nghiệm của phương trình cả ngi —⁄8;x=I+-(8 #đẹp” và nghiệm "xấu" hay nghiệm “vơ của một số máy tính cầm tay như Casio fx-570MS, Casio fx-570BS<: bằng cách sử dụng SOLVE hoặc CALC + Định lí: 6 thể tơm tất các bước giải một phương trình vơ ty bằng phufơng pháp nhân liên hợp qua các bước sau: Xét phương trinh f(%) = 0 (1) ` Bước 1: Tìm TXĐ
Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình, giả sử cĩ nhị
Bước 3: biến đổi ( c> øĩQ+h@)+ = 0 ne
Trong d6 g(x); h(x) la các biểu thức chứa căn thỏa man g(a )=h(e )=0 Bước 4: Nhân liên hợp và xử lí phương trình mờÏ
- Để các bạn hiểu rõ thêm về tư duy giải tốn, chúng ta lần lượt đi từng loại phương trình , bất phương trình
vơ tỷ,
LoạL1:10x) = 0 cĩ 1 nghiệm "đẹp" VớLT dạng này, lượng liên hợp thường là 1 hằng số
vD1: V3x+1-J6—x +3x? -14x-8 =0(1) (B-2005)
- Nhấm được x = 5 là một nghiệm cđa phương trình
- Giả sử lượng liên hợp cần bớt 33x +1 là A hay g(x) = V3x41 - A
Ta cần tìm A sao cho g(5) #0 €»-/3.5+T~A=0»A=4
Vậy lượng liên hợp cần bớtcủa /3x+Ï là 4 Tương tự với J6-x-+
-tìm được lượng liên hợp là 1 Đo đĩ ta cĩ lời giải như phần A,
Như vậy với những phương trình cĩ 1 nghiệm "đẹp" x = œ thì “lượng liên hop" cin bét& yr(x) 18 ro)
Cụ thể: ở ví dự trền, với r@) = 3x+1 và nghiệm x = 5 thì ta cần bớt ở ,[ï@x) =/3X+1 một lượng liên hợp là AfG) =4 để được gặc)= j3X+T -4 và g(5)=0 Làm trỡng tự với r4) = 6 = x th ta thụ được lượng liên hợp là ,(®) =1 Qua đĩ ta định hướng được lời hương trình cĩ 2 nghiệm “đẹp” Với những phương trình cĩ 2 nghiệm đẹp, lượng liên hợp cĩ dạng #ổng quát là Ax+B VD2: 4JX+2 4: /22—3—x)=8<0 (2)
“Tw vf dy này, tơi chỉ trình bày tư duy để tìm ra lượng liên hợp - Nhấm được x= -1 và =2 là 2 nghiệm của (2)
LOVEBOOK.VN J16
Trang 17- Giả sử lượng liên hợp cần bớt ở jx+2 là Ax+B
Khi do: g(x)= Vx +2 -(Ax+B)
Như đã nĩi ở trên ta cần tìm A và B sao cho g(-1)=g(2)=U Do đĩ thay vào ta cĩ hệ: BC0=VƑT+5=CA+B)=0 _, is g2=5+2~@A+B)=0 |g ele ela
Do đĩ lượng liên hợp là gud
Hồn tồn tương tự ta tìm được lượng liên hợp của -/22x=3 là 8 š
Tĩm lại: Với những PT thuộc loại này ta làm như sau: Xét PT: f0)
- Nhấm được x=œ và x=ÿ là nghiệm của phương trình đã cho ~ Với ,[ïf@) ta tìm được A, B sao cho: s0)= vJfG) -(Ax+B) thỏa mãn g(œ )=g(B)=0 ¡he (E00 Giải hí ø tấm Loại 3: Phương trình cĩ 2 nghiệm vơ tỷ Vi dy 3: x? +x—1=(x+ 2x? - 2x42 Vx? -2x+2 (3) x+2 Sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm gần đúng ta tìm được 2 nghiệm của PT (3) là: x, + 3,828427125 x x, =—1,828427125 Đến đây cĩ lẽ nhiều bạn sẽ khơng định hướng được cách tìm lượng liên hợp Nhưng nếu tinh ý, ta nhận thấy: „ Ta tìm được A, B từ đĩ giải quyết bài tốn XịX; +X, = =—T hay xụ, x; là 2 nghiệm của xˆ*~2x~7=0 s —- - &
Đến đây ta cần tìm lượng liên hợp sao cho sau khí nhân liên hợp sẽ xuất hiện nhân tử chung x? =2x~7 va dễ đàng nhận thấy lượng liên hợp,cổa xÍx? ~2w+2 là 3 Từ đĩ ta cĩ lời giải như pử phần A tơi đã trình bay
Tĩm lại: với những PT cĩ 2 nghiệm vơ tỷ, ta tìm gần đúng 2 nghiệm này, giả sử là x,,x, Ta tính được: Sm: P=x,x, 5s x x, là 2 đghiỀm của X? ~SX+P=0 j ỳ
C.MOTSO SAILAM MAC PHAT
mm tốn bằng phương pháp liên hợp ta cĩ thể phạm một số sai lầm nhỏ, nhưng lại làm lời cênh, đơi khi là lời giải sai Sau đây là một số sai lầm ta cĩ thể mắc:
cĩ thể là chìa khĩa quan trợng của bước 4: xử lí phương trình sau khi nhân liên hợp Nếu một số bại quên di TXB, sẽ khĩ trong việc đánh giá phương trình mới, đơi khi làm ta đi vào “ngõ cụt"
” Phúc tạp hơn rất nhiều
= BE trénh sai lầm này, khi sử dụng chức năng tìm nghiệm gần đúng SOLVE của máy tính cầm tay, giá trị ban
Trang 18Vì ở PT mức thi ĐH, nghiệm "thường" khơng quá lớn hoặc quá bé Do đĩ chỉ cần xét ở những khoảng này là cĩ thé giảm đi xác suất thiếu nghiệm
3) Nhân với biểu thức liên hợp cĩ thé bing khơng với x thuộc TXĐ'
ý điều này vì khi nhân liên hợp, biểu thức liên hợp phải khác 0 với mọi x thuộc TXĐ
- Chỉ quan tâm đến biểu thức căn để tìm lượng liên hợp
~ Với những biểu thức khơng cĩ căn dồn hết về cuối, chắc chắn sẽ phân tích được thành nhân tử E BÀI TẬP VẬN DỤNG 1./2x=I+x?~=3x+1=0 2x) =2x+3=(x+I)N2—=2x+2 3.x)~3x+1= j§— 3x2 vey
5- Tư duy đặt ẩn phụ trong giải hệ phương trình
DOAN TRUNG SAN
;STT GROUP - SV ĐH Y Hà Nội)
Trong những năm qua hpt là một phần khĩ quen thuộc trong các đề thi đặt học, cao đẳng và cũng là phần đêm lại khĩ khăn cho khá nhiều các em Vì vậy việc nắm các phương phấp và vận dụng chúng một cách linh hoat là điều vơ cùng cần thiết
Các em hãy tự cảm nhận các ví dụ sau
Cũng như các phương pháp khác thì phương pháp đặt ẩn phì a V2 hệ đối xứng cĩ những đặc trưng riêng, sau đây chúng ta xem xét một vài ví dụ để hiểu về nĩ ; :
2 + xỔy — xy? + xy—y xt ty? — xy(2x — 1) + Thí dụ 1 Giải phương trình F Lời giải
Hệ pt đã cho tương đương với:
Trang 19‘xt + 2x3 — 5x? + y? — 6x— 11 = Ú ‡Ww=7 + Thí dụ 2: Giải hệ x2 + vi Giải: ai y> kxđ: ¡ | <i
Khi d6, hé phương trình đã cho tương đương với:
ee oe no er aes (ese eee cy { (x? +x—3)Vy?-7 = =6 2 +x-3)/y?-7=-6 3ì x?+x~3= Đặt yZ~7=b (b>0) Khi đĩ, hệ (Dtưở thành ph +b Kết hợp điều kiện b > 0 ta giải được vai Ĩ +X=5=U TL = vei {2 —3,,(xXẺ+‡x=0 “fb=2 “*|WE=7=2 Vậy hệ đã cho cĩ B nghiệm (x; y) là: ae ; -1+v5 củ =1= 5 ,\, CG vi); ee 1: He vnỳ ch
:B- Tư duy giải tốn
"Ta thấy cả 2 ví dụ trên chúng ta đều trải qua v8 bước:
B1: Tập trung đơn giản hệ đã cho (tách, nhưm hợp lý tạo nhân tử)
B2: Đặt ẩn đưa về hệ đối xứng, cĩ khi là nữả đối xứng PHAN" 'Trong đĩ ta chỉ thắc mắc bước 1, tắc làm thế nào để tách ra và nhĩm
Thực sự vấn đề này sẽ khĩ đối với những ai ít chịu khĩ giải tốn, cịn đối với những bạn từng tập trung phân tích nhiều bài tốn, thì vấn đề này thuộc về kĩ năng nên khá đơn giản Ở đây cĩ 2 kĩ năng chính:
+ Phân tích thành hằng đẳng tức như đã thấy ở VD2: x® + 2x? — 5x? + y? — 6x + 9 = (x2)? + x? + (~3)? +
2.x2.x + 2.n2(—3) + 2:x (8) = (x? + x— 3)Phay ở ví dụ (1): XE + yŠ — 2xÊy = Ge = y)2
+ Phân tích thành nhấn'tử chung ở cả 2 phương trình như ở VD1: Thấy ở pt thứ 2 cĩ x? — y) và xy, ta tập
trung phân tích pt thứ nihất thành (x2 — y) + xy(x? — y) + xự = Ngồi 2 kĩ năng chính trên, cịn cĩ một số yếu tổ đặc trưng như:
Những phần từ cồng kðnh (chứa căn thức, ) như Vy = 7(ở vd 2) thường sẽ cố định và đặt làm ẩn để giắm sự cồng kềnh Khi cố định 1 ẩn phụ, việc tìm ẩn phụ cịn lại sẽ dễ hơn
.6ĩ sự tương đồng về bậc của 2 biểu thức nào đĩ, thì đĩ sẽ là 2 ẩn phụ Vd 2: fy? —7 xem như bậc 1 trong khi cĩ y2 là bậc 2
xem như bậc 2 thì cĩ x* + 2x3 — 5x2 — 6x xem như la bac 4 (2 x 2)
”ồng vào nhau Như ở đây cĩ sự đan xen khá đẹp của kĩ năng phân tích nhân tử và phương pháp đặt ẩn phụ
Vi vay ban nên tiếp thu và tự rèn luyện kĩ năng và các phương pháp cho mình
'Ví dụ sau sẽ giúp bạn tự cảm nhận điều đĩ tốt nhất
Trang 20
#Thí dy 3: 57
4x2 + 3= —y(3% + 1)
Hướng dẫn;
Ta c6; 4x? tage —y(3x + 1) © (4x? + 3xy) + (3x +y) ~ 25 =0)
Phương trình (1) bao gồm cả phần bậc 1 và bậc 2 nên ta sẽ nghĩ đến 2 ẩn phụ là 2 biểu thức bậc Nhất, và
ân của (1) sẽ là:ab + a + b =m Ø
Ta lại thấy, phương trình (2): + y2
+%y vai trị ngang nhau
+ là tổng bình phương, khơng chứa tích
® Ta nghĩ đến dạng ẩn phụ: Đối hệ số,ngược dấu: Ếx + xy) và (ux — ty) eas 7
Khi đĩ ta phân tích: 4x? + 3xy + arty 0 2 © txt 4 aay + (F—2y?) + (+29) + (2~ y) 7 S Get 2y)(2x—y) + (x + 2y)(2x-y) 5 Yần# + y2 = ễ e3 502 +?) = 1:9 (+23) + (Oxy)?
“rên đậy là í tưởng của bài tốn trên, bước thực hiện là ở các bạn” -
Qua céc vi dụ trên, hy vọng các bạn tiếp thu và vận dụng linh: hoạt kĩ năng phân tích và phương pháp đặt ấn Phụ đưa về hệ đối xứng, Cài đập vận dụng, 1) ST xây + xây? y Í (Gx+y)Œ+3y)đã = 14 »_ f= xy + vay —y? = 3x) RY FH (K+)? + y7 + Mary) = 36 x = y? = 369
Lương Văn Thiện (GSTT GROUP - Hệ Kỹ Sư Tài Năng - ĐH Bách Khoa HN)
sương pháp được sử dụng nhiều trong các bài tốn hệ phương trình
bất kì em học sinh nào cĩ thể vận dung được"
"Hằng đẳng thức là mị ene, ' pháp này khá đơn giải
KIẾN THỨC Cơ BẢN W
Bạn đọc cần phải nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và các hệ cơ bản trong sách giáo khoa Tơi khơng
"hắc lại ở đây nữa Ƒ
"Tự cảm nhận: »
Trang 210+uv+ +y¡v=xy Hệ trở thành: | : a Suy ra: wu{ =u u=0 cow yu? 420 4 ẽ 1 ki Hệ phương trình cĩ 2 nghiệm : N a alt 3) tyì= oO x°+2y?=x+4y (2) Ví dụ 2 Giải hệ phương trình i
Lời giải: (2) <> 3x? + 6y? —3x 8y @®
Trang 22
Kết luận: Hệ phương trình cĩ nghiệm: (x;y) = cane{-
B Chìa khĩa tư duy giải tốn
Tư tưởng: Bất kỳ phương trình nào xuất hiện hằng đắng thức thì bước đầu tiên là ta nhĩm ra hằng đẳng thi đĩ Sau đĩ, dùng ấn phụ và các cơng cụ khác để xử lý Cứ nhĩm ra được hằng đẳng thức là lời giải gỳ vate mở ra tức khắc
- Ở ví dụ 1: Ở PT (2) thấy cĩ x" +2x°y + y?
PT (1) thì mới phát hiện ra ẩn phụ: u=x°+y và v=xy Nhắc lại, mấu chốt lời giải là phát hiện Fa HĐT và phải xử lý nĩ đầu tiên,
~ Ở ví dụ 2: Đầu tiên từ PT(4) x? +y? =9 ta nhấm được ngay nghiệm x= 1, y = 2 kiểu: (x~1));@œ + D`;(y =2)"; +2)
Ma (x41) =x? 43x? +3x+1 Dé ra 3x”,3x ta cần nhân PHƯƠNG TRÌNH (2) với 3; đây cũng là biến đối đầu
tiên của ta Sau đĩ, việc cịn lại ta chỉ việc + hoặc ~ hai PT(1) và (3) với nhadlà ra được HĐT ngon lành: (~J}+(y~2) =0 : ~ Ví dụ 3: Cách làm y hệt ví dụ 2 * Sáng tác bài tập: - GIÁ sử ta lấy nghiệm: x=3 Tir (3-2) + (1-2) =0 Ta xét: (x-2)' +(y=2)”=0 ox ty’ —6(x? +7) +1204 2 + yŸ) nên ra xử lý thành HĐT đầu tiên Sau đĩ, quan sát lại liên tưởng đến HĐT yZ1—x)+y)=28 =x?+y?~2(x+y) x+y? =28 Ta được hệ: LH =+ Rất đơn giản phải khơng các ban © C Kết luận:
- Cứ thấy xuất hiện HĐT là phải nhĩm ra
- Hãy nhẫn nghiệm để dự đốn HDT
Trang 233“ 414252 y2 =r
Bài 8: Giải hệ phương trình kem 15A0 lien
(xy? 3xy*— 2) = xy"(x+ 2y) 41
vee
7- Một số chú ý khi giải hệ phương trình
Pham Van Hing số ý 11/2009
Bài đăng trên tạp chí Tốn Học và Tuổi Trẻ số 389
Trong các kì thi tuyển sinh vào các trường đại học và cao đẳng chúng ta thường thấy cỏ bài tốn giải một hệ phương trình hoặc các bài tốn giải phương trình mà để giải được nĩ ta phải dẫn về hệ phương trình Vì vậy; để chuẩn bị tốt cho kì thi đại học cao đẳng sắp tới, chúng ta cần ơn tập kĩ các bài fộn thuộc loại nay Trong bài báo này chúng ta quan tâm đến cách giải một số hệ cơ bản và đơn giản sai
1.Hệ đổi xứng loại một
Một hệ pt hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại một nếu khi đổi vai trị x choy ick pt trong hé được giữ nguyên Đối với hệ dang này, thơng thường chúng ta đưa hệ đã cho về hệ dạng cỡ bản TAC g xy Thí dụ 1: Giải hệ phương trình tụ ey
Lời giất: Ta cĩ 8 = (x? + y?)? — (xy)? = (x? + y? + xy)(x? + y?
X2+txy+y?=4 (x2+y?2=3 Íx+y=v§
=f prea xy=1 wea, he Từ đĩ suy ra hệ đã cho cĩ tất cả bốn nghiệm Vx+Wy=1 nghiệm thụ oe ernie ~ảm 'Thí dụ 2: (Khối D/2004) Tìm m để hệ phương trình sau: Lời ặtu = v&,v = /ÿ,(u 2 0;v > 0) Hệ đã cho trở thành ut 1 utvel host t aa? Cayo
Do đĩ u,v là nghiệm của phương trình tế ~ + m = 0 (*)
Hệ đã cho cĩ nghiệm khi và chỉ khi phương trình (®) cĩ cả hai nghiệm t khơng âm Điều này tương đương với —=4m>0 A [ S=120 ®œ0<m< P=m>0 Thi dy 3: (Khối D/2007) y 1 1 : mm để hệ phương trình sau cĩ nghiệm thực: : xi ty tt 4 y + zt y+ # 15m~10 ST Lời giất Đặtx + vốy tý = v | z 2/|v| > 2) Hệ đã cho trở thành u+wes§ u+v=5 lo+e-s6 v2 15m — 10 © [uy =8— m
Do đĩ u, vjâ pghiệm của phương trình t? — 5t + 8 — m = 0 (*) Hệ đã cho cĩ nghiệm khi và chỉ khi phương
trình (%} cổ hai nghiệm tạ, tạ thỏa mân |tạ| > 2 và |tạ| > 2
Từ đổ suy ra2 < m < 2 hoặc m > 22
' Trước hết, từ (2) cĩ |x| < 1 và |y| < 1.Hơn nữa 0 < x <1;0 < y <1
Thật vậy, nếu chẳng hạn =1 <x< 0thì xŠ + yŠ < 1,trái với (1) Lấy (1) trừ đi (2) theo vế ta được
Trang 24gia =) =0 ly" =y)=0 Hệ cĩ nghiệm: (x; y) = (1; 0); (0; 1) * Thí dụ 5: Giải phương trình: VBx— 1+ V9x+ 1= 4X 1 Lời giải: Điều kiện x > 2 Chia cả hai về của phương trình cho Ÿ⁄% > 0 ta được phương trình tương đượn/ of t+2=v x Hệ này c6 nghigm {¥ =} va {= 7 Do đĩ nghiệm của phương trinh da cho lax = 3 Bài tập vận dụng: 1, Giải các hệ phương trình sau: { xt+y— yay =3 a Wxti+JyF1=4 af xtxy+ty=5 “x3 + xây? + y3 = 17 2,Tìm m để hệ phương trình sau cĩ nghiệm: { px +y+) bey xy’ 4, Tim m để các phương trình sau cĩ nghiệm: _ ›
a,WT=x+ŸWT+x=m AVTEsinx + VT+ sinx =m II, Hệ đối xứng loại 2
Một hệ 2 phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ đối xứng loại 2 nếu khi đổi vai trị x cho y thì phương trình này biến thành phương trình kia và ngược lại
| Đổi với hệ dạng này.thơng thường chúng ta lấy mộtphương trình trừ đi phương trình kia và dẫn về dạng | (&-y).Fy) * Thí dy 1: Giải phương trìn 3, Tìm m để hệ sau cĩ nghiệm duy nhất: Jx2⁄= y3 — 4y? + 8y (1) y? =x? — 4x? + 8x (2)
Lời giải: Lấy phường (1) (từ i phương trình (2) theo vế ta được:
x? —y? = y*—x3 + 4GỞ — y?) + BẦy — 3), ®Œœ-y)G2+yà Dễ thấy x? + y? r &+y) +xy+8= &— Ð# + =1) = Ð + @— 192 =5 >0 = y, thế vào (1) ta được x 2 a x ứng minh rằng hệ phương trình fs + =10) Lời giẫt Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) theo vế ta được xiŒ—x) = y?(1— ) đ0=y3=x)~(=x3)(1=) =0 ơđ (1y)+y+y?)(1 #) ~ (1~*)(1+x+x?)( — y) = 0 ®(~#)(~y)(y—x⁄) +x+y) = 0
+ Với 1 ~ x = 0 thì hệ cĩ nghiệm là (x;y)=(1;0)
+ Với 1 — y = 0 thì hệ cĩ nghiệm là (x;y)=(0;1)
Trang 25
+ Với y— x = 0 thì x = y, thể vào phương trình (1) ta được x3 ‡ x? ~ 1 = 0
Xét ham F(x) = x3 + x? — 1 Dễ thấy đồ thị của hàm F(x) cắt trục hồnh tại một điểm duy nhất, nên hệ cĩ nghiệm x = y = xọ trong đĩ xạ là nghiệm của pt x” ‡ x? — 1 = 0
+ Với 1+ +y = 0,trường hợp này hệ khơng cĩ thêm nghiệm nào
Vậy hệ cĩ đúng 3 nghiệm phân biệt (x;y) là (0;1),(1;0) và (xọ xo), với xạ là nghiệm của PT x? + x? * Thí dụ 3: Giải hệ pt:
Lời giải:
Hiển nhiên x = y = 0 là một nghiệm của hệ Dứi dây xét x # 0 và y # 0 Cộng theo vế 2 PT trong hệ ta được: >(-®'wetma) set 121 Chú ý rằng: =—==—= 5: ; Ve == VS-=DUDPt8 2 * Với xy>0 ta cố: Sy sx? ty’, (an a 3+8 men) Os
*Với y<0 Khả năng này khơng thể xây rạ thật vậy, khơng mất nh tổng quát giả sử x<0, >0 =đẳng thúc (1) khơng thể xảy ra
Trang 261 Giải các hệ PT sau: 1 paged 7 at ay ty ay ee a xe ýP=1+V§-X=3 x 2 Chứng mình rằng hệ phương trình sau cĩ đúng 2 nghiệm (xy) thỏa mãn x>0, y>0 e* = 2007 - ye 1
oY = 2007 - 8- Phương pháp giải phương trình và bất phương trình siêu việt vê
~~ "Pham Gia Linh (Ha Ndi)
Bài đăng trên tạp chỉ Tốn Học và Tuổi Trẻ số 365 Để giải phương trình và bất phương trình siéu viét (mG, lơ- ga- rit, lượng giác) ta cần nắm vững các kiến thức
cơ bản và phương pháp giải của nĩ
A.PT va BPT M, LOGARIT é
1 Các kiến thức cơ băn
1 Dinh nghĩa và các tính chất của lũy thừa (với số mũ nguyên, số! 2 Tính chất của hàm số mũ và lơ- ga- rít 3 Các PT và BPT cơ bản Với mọi số dương m thì "hữu tỷ, số mũ thực) và lơ- ga- ri! + a me gạt (0 < a # 1); av>me x> ee se p
Trường hợp a* < m,logạx < m xét tương tự
II.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Trang 27f9) > g(x)khi a > 1 fG) < gG9khio< a<1 ea) > ned — | Oa et ounte cae 2) Phương pháp đặt ẩn phụ Thí dụ 5 Giải PT: (4+ Vĩ5) + (4— VT5)` Lời giải: Nhận xét (4= V15)(4 + V15) = x 1 pact = (4 + VIB)" (t> 0) th pt (6)co dang t += = 62 © tỞ ~ 62+ 10 Pt cĩ hai nghiệm t = 31 + 8VTB = (4 + VTS)” với t= (4+ V5) thì (4 + V18)” = (4 + V15)” © x Với t= (4~ V18) thì x= =2 Vậy pt (5) cĩ tập nghiệm là (-2; 2} Thí dụ 6 Giải BPT — 2 (6) 6, 4 log, 2x * log, Lời giải: Đặt t= logx (t # 0) thì (6)cĩ dạng — +2 > 3 tt = log, x cĩ dạngTT—~ † + -SU 1 S2 ` 0e ~1<t< = hoậc0 <t<2 q+Ðt <t< 3 one ” 1
Khi đĩ ~ 1 < logax < —z hoặc 0 < logax < 2
Vậy tập nghiệm của (6Jà (T: 5) 00;4)
Thí dụ 7 Giải PT: 3.49 + 2.14%—4*#=0 (7) 4
Hướng dẫn:
Chia 2 vế của pt cho 4* rồi đặt t= @ Bot
Lưu ý 2: Mục đích của phương pháp đặn phụ là chuyển ác bài tốn đã cho vẽ pt (hoặc bpd) hu tt da biết cách giải
Dang (a + Vb)" + (a— vb) #
Dang au2f + b(uv)f) + evo 0; thì nên chia cho v09 rội date = MT
Khi biến đổi pt về dạng af(x)2+ bf(x) + e = 0 (hoặc > 0)với f@x) = m#É9 hoặc f(x) = logm ø(x),ta đặt t = f(x)dé dwa’pt (hoặc bpt)bậc 2 ẩn t 3) Phương pháp lơ- gai rít hĩa tời giải: Đk x + Ấ, Ùogarit cơ số 3 hai vế cĩ 2 Z1+logs2 cs Œ— 1) (L+ 2logs 2 x x= Lhoke x = —2(1 + loạạ 2
Thi dy® Giải pt 20? + 4) = 9°?
Hướng dẫn: Logarit cơ số 2 hai vế
emrctzrpt (9) 1a f2;1ogz 3 =2}:
„„ Êwu ý 3: Phương pháp logarit hĩa rất cĩ hiệu lực khi hai vế của pt cĩ dạng tích các lũy thừa nhằm chuyển ẩn
sổ khỏi số mũ Cần nhớ
afŒ®) = b & f(x) = logạ b (0 < a # 1,b > 0);
af©) = p8 € log, af = log, b&™ e> f(x) = g(x) log, b
Trang 28
hoặc logy a0 = logy b#đ) â f(x) logy a = g(x) 4) Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số Thí dụ 10 Giải PT 3 = 3—logsx (10) Lời giải:
Dễ thấy x = 1 là nghiệm của (10)
Với x > 1 thì 3X > 3! = 3 — logs 1 > 3 — logs x; Với x < 1 thì 3X < 3! = 3 — logs 1 < 3 — logs x Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của (10) Thí dụ 11.Giải PT 2* = 3Ÿ +1 (11) Lời giải: (1)©1 sỈ Dễ thấy x = 2 là 1 nghiệm của (11) Với x< 2 thì (® % gy < (ay + @ 1 Với x > 2 thì (® + @ > (3) 4g @ 1 'Vậyx =2 là nghiệm duy nhất của pt (11) ụ 4
Thi dy 12 Giải pt loga(x +1) = TT (12)
Hướng dẫn: Vế trái HS đồng biến, vế phải là HS nghịch biến
DS: x =
Lưu ý 4: Nếu pt cĩ nghiệm xọ, một vế của pt là hs đồng biển; vế kia là hs nghịch biến (hoặc là hs hằng ) thì xo là duy nhất )
5) Hê phương trình mũ và lơgarit
Thí dụ 13 Giải Phương trình eae iL
Lời giải: Looogarit cơ số 2 cả hai vế của hai pty
x+yloga3 = 2 + log; 3 : a cư, ¬
ties Ty = 1 + 2leg, 4? đây là bọt bậc nhất ha ẩn, Giải tìm được y) = (2; 1)
‘Thi dy 14: Gidi HPT: ƒ&=1+J @® (3†nga(9X”)>Togay#=3—(H} Lời giải: ĐK x > 1,0 < y <2 (il) © 3(1 + log; x) —3logay = 3 cs logax = logs y ©3 x = y.Thay y = x vào (idan dén (~1)(2—x) = 0 © xe thoặc x = 2 Vậy HPT cĩ hai nghiệm @¿ÿ) là (1;1);(2;2) 35 Ta cũng dùng các phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp đặt ẩn phụ, như HPT hau tl đã biết, ‘B: PHUONG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: LCÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Các cơng thức lượng giác
2 Các phương trình lượng giác cơ bản
Trang 29sinx = m,cos x = m, tan x = m, cotx = m 3 Phương trình đạng asin x + bcos x = ¢
asin? x + bsinxcosx + ccos°x = d
4,PT đưa về PT đa thức của một hàm số lượng giác
1I.MỘT SỐ THÍ DỤ
+ Thí dụ 17: Giải pt cotx + sinx (1 + tanxtan3) =4 a3)
Lời giải: điều kiện sinx # 0,cosx ø 0© sin 2x ø 0, Biến đổi vế trái của (13) ta cĩ:
cosx cosxcosŠ+sinxsinỄ cosx sinx 2 4)
Se + sinx 2 4 = + = ang Su Pasi 2x = 5 sinx cosx cos sinx ` €0sx ` sin2x ? 5m px soe Vay x= ty + koa = 35 + km (e € 2) + Thí dụ 18: Giải PT cos*x + sin* x + cos (x~5) sin (3x 36 (2T PP ZEON gp taal 2 © 2-sin? 2x — cos 4x + sin 2x — 3
> sin® 2x + sin 2x— 2 = 0 «9 sin 2x = 1 (do [sin 2x) < 1) > x= = kek € Z)
© Thi du 19: Gidi PT tanx + tan? x + tan? x + cotx + cot” x + cot?x = 6 (15)
ời giải! K x24 (helt) Tact:
AHF COPE = ANNE COUR =
tan? x + cot? x = (tanx + cotx)? — 3(tanx + cotx)., ©
Dart = tanx-+ cotx (eB tht PT 15)o6 dang? Hx? ~2t—8 = 04> t= 2.D0.ds;
tanx-+ cotx= 2 € tanx= Lex = T+ kn,
+ Thí dụ 20: Giải phương trình: ~eas2xtan (x+ 2) tan (x= 2) (6)
Hướng dẫn điều kiện : xz mi + KE ket
m yy
Dotan (x +) tan (x5) = =1 đến (16)biển đối thành
Trang 30sỈnx = m,€0sx = m,tan x = m,cotx = m 3, Phương trình đạng asin x + bc0s x = € asin? x + bsinxcosx + cc‹ 4,PT đưa về PT đa thức của một hàm số lượng giác II.MỘT SỐ THÍ DỤ
+ Thí dụ 17: Giải pt cotx + sinx (1 + tanxtan2) =4
Lời giải: điều kiện sinx # 0,cosx # 0 2 sin2x # 0 3) Biến đổi vế trái của (13) ta cĩ:
giữ = +sinx cosxcosŠ+sinxsinŠ cosx sinx ME CỔ mere
sinx cos x cos> sinx cosx 5 vay x 12 hag x= 35 + kre k €2) m + Thí đụ 18: Giải PT cos* x + sin x + cos (x~3) sin (3x Lời giải: Dúng biến đổi tích thành tổng, ta
rhein fe) sin ae 1 3
S2 —sin? 2x — cos 4x + sin2x-3 = 0 + Thí đụ 19: ST ẮẺỀỎỎẮỤDỔDŨDŨỢg (15) Lời giải KxzS &e0) Ta cĩ:
TaN RF COUN = (ANF COCR] =
tan? x + cot? x = (tanx + cotx)® — 3(tan x + cotx)
Đặtt = tanx+cotx ([t] > 2)thi YTQ8)86 đang, TẾ ~2t—~8 =0 £y t= 2.Do đĩ; tanx + cot 2e tạnx=19 xe ti 9x — gos ` + Thí dụ 20: Giải phương trình: 0s 2xtan (x + $)tan(x-2 (16) Hướng dẫn điều kiệt tư kế ket) ™ :
Dotan (x+ 3 tan(x-7) = ~1 iên (16)biến đối thành
(Ginx — cosx)(1 — sinx)(1 — cổs3Y = 0 ì h Giải các PT , BPT sau:
1.3 sin? x — cos 2x‘ sii'2x + cos?x
2,tan 2x + cotx = 8 cos? x 3 oe saga 2+4>0, 15.2 + 27) — Saya hương vvy
9- Giải nhanh phương trình lượng giác bằng máy tính Casio : Hồ Văn Diên
Lớp 12A1, trường THPT Thái Lão
Trang 31"Thì ta nhập: 1 + sin(X) = - cos(X) - cos(2X) - sin(2Ä)
Nếu muốn dị nghiệm của phương trình 2y' =15y'~30y +148=0 (*)
‘Thi ta nhập: 2X* - 15X- 30X + 148 = 0 (nghiệm của phương trình này cũng là ¡ của (*), ta ch đối ẩn), Bước 2:Bấm| SHIFT SOLVE) lie này màn hình sẽ xuất hiện hộp hỏi giá trị khởi tạo của ẩn X Ta nhập vão một giá trị bất kỳ và bấm nút[= ^
Thực ra việc nhập giá trị khởi tạo cho X này khá quan trọng Vì thường thì máy tính sẽ dị nghiệm trong một
khoảng lân cận nào đĩ của X Vì vậy, đối với phương trình hữu tỉ thơng thường thì việc này khá quan trong Nếu giá trị khởi tạo khơng phù hợp thì nhiều lúc máy sẽ báo khơng đị được nghiệm (mặc dù (ẫn cĩ nghiệm) Cịn đối với phương trình lượng giác thì do tinh chất tuần hồn cha ham lượng giác nên cĩ rất nhiều giá trị nghiệm đủ “phân bố” nhiều trục số Vì vậy nên việc tạo giá trị khởi đầu thực ra khơng Cần quan trọng lầm
Thể nhưng để tiện cho việc nhìn nghiệm lượng giác thì ta nên tạo giá trị khởi đầu nằm trong đoạn [0 ; 180}
(đối với chế độ là đổD) hoặc [0;x] (nếu dùng chế độ rađian R)
Đến đây ta chỉ cịn việc chờ kết quả dị nghiệm,
+) Nếu đị nghiệm thành cơng thì màn hình sẽ cĩ ba dịng như sau:
~ Dịng 1: Phương trình ta đã nhập = Dong 2: X= <Nghiém>
Đây chính là nghiệm của phương trình (giá trị này cĩ thể là nghiệm gần đúng hoặc nghiệm đúng)
~ Dịng 3: # - R = <Sai léch hai vé>
Khi tìm ra được nghiệm, nếu màn hình hiện L ~ R = 0 (L là kết
của phương trình) thì nghiệm tìm được là nghiệm chính xác của phương trình Cịn nếu L - R khác 0 thì tức DMath <Phuong i nh đã nhập> <Nghiệm> <Sai léch hai vé> Nếu việc dờ nghiệm quế lão, máy chế hiện lêm mồ — Ơng bá màn hình cĩ ba dịng: ~ Dịng 1: Continue DMath
Nếu muốn tiếp tục việc đị nghiệm, ta bấm pm[SÏ Continue :
~ Dịng 2: Giá trị hiện tai ca X, = ~ Dong 3: L-R = <Sailéchhatvé> + ^„ L-R=
Nếu khơng muốn tiếp tục việc dị nghiệm tấm phim [AC|
+) Nếu máy khơng thể đị được nghiệm: Lúc này màn hình sẽ
hign Can't Solve, e Can't satve Điều này cĩ hai nguyên nhân Thử nhất là phương trình đã | {Ac]
nhập luơn vơ nghiệm Thứ hát cĩ thé là do giá trị khởi tạo | [4 [®] khơng được phù hợp Vì ậy 1a cĩ thể tiếp tục cơng việc dị
nghiệm bằng cách một trong hai nút điều chỉnh|4]hoặc ƒ>| để trở lại bước nhập phương trình và cho một giá trị khởi tạo phù hợp hơn,
-Wfdụ 2iãi phương trÌnh sau: 2x4 2194? 4474? -180=0
Đầu tiên ta nhập phươhg trình vào máy: 2X* + 19X + 47X? - 180 = 0
Bấm | SHIFT sau đĩ nhập giá trị khởi tạo là [1 | chẳng
Trang 32Lư ý: Khi nhập phương trinh dang f(x) =0 ta cĩ thể khơng nhập phần “= 0” của phương trình mà chỉ cần nhập f(x) Và tơi cũng khuyên các bạn rằng nên bỏ phần "=0" của phương trình, khơng nên nhập phần này
Một phương trình dạng f(x)=g(x) (ví dụ x”—=3x=1~3x”) thì đầu tiên ta nên chuyển nĩ vé dan;
f(x)~g(x)=0 để nhập (và khơng nhập phần "=0”) és Một mẹo để khơng cần viết nháp giai đoạn chuyến vế F(x) —g(x)=0, 46 la ta nhập kiểu:
f(x)~[Cø(x) )| và bấm [SHIET S0LVR Nguyên nhân tại sao lại nên nhập như vậy thì tơi xin trình bày như sa
~ Khi nhập phương trình dạng f(x)=0 hay f(x) =g(x) thì do chứa đấu = nên nu ta nhập sai sĩt mà lỡ bấm BHIET_ SOLVR rồi thì sẽ khơng sửa được, tức là mất thêm thời gian nhập lại Thời gian nhập một phương,
trình (nếu một phương trình phức tạp hoặc một phương trình lượng giác) khơng phải ¡là ngắn, cịn thời gian
sửa một phương trình thi sé rất ít
~ Khi ta chỉ nhập phương trình mà khuyết dấu bước như sau:
Sau khi nhập phương trình, ta bấm nút [=] đế tính giá trị của biểu thức vừa nhập với giá trị biến X là giá trị hiện thời được lưu Lúc này máy tính sẽ lưu lại trong bộ nhớ biểu thức vừa hÌập Máy tính sẽ hiện kết quả
tính được (ta khơng cần quan tâm kết quả này) mà cứ tiếp tục bấm như thường
Nếu sau khi bấm SHIFT SOLVE) ma ta biết đã nhập sai phương trình đ) bấm liên tục nút [AC ] cho đến khi xuất hiện màn hình trắng (chú ý khơng bấm [ON] nếu bấm [ON thì tất vä bộ nhớ tạm thời về biểu thức đã
nhập sẽ “bay” đi hết) Sau đĩ bấm nút|<4|là phương trình sẽ hiện lại cho chúng ta
Trên đây là các bước cơ sở để thực hiện các phép đị nghiệm Paice cho một phương trình lượng giác = chủ đề chính mà ta sẽ đề cập đến ở đây \ thì ta hồn tồn cĩ thể sửa được Cụ thể ta dùng thêm một
Thực ra việc sử dụng máy tính bỏ túi nhiều lúc sẽ cho:kết quả khơng như ý ta nếu phương trình lượng giác đĩ cĩ nghiệm "khơng đẹp chút nào” Vì vậy các bạn đừng nên quá dựa dẫm quá vào chiếc máy tính đang cầm
trên tay mà hãy trang bị một kiển thức thật vững chắc! l
ên về việc phân tích nhân tử chung để giải phương trình lượng, Đầu tiên ta sẽ nhớ lại một số tính chất của phương trình lượng giác cơ bản VY ~ Phương trình sinx = 1 cĩ nghiệm ]ä)X=—+k2m (biểu diễn trên đường trịn lượng giác chỉ là một điểm B)
~ Phương trình siny = =1 cĩ nị ~5 +k2r (biểu diễn trên đường trịn
lượng giác chỉ là một điểm B)
= Phuong trình sinx = Ơ:cð nghiệm là x=km (biểu diễn trên đường trịn lượng giác bằng hai điểm A Vira’)
~ Phương trình cồs ~ Phương trình cos,
1 cĩ nghiệm là x=k2m (biểu diễn trên đường trịn lượng giác chỉ là một điểm A) ~1 cĩ nghiệm là x=++ k2z (biểu diễn trên đường trịn lượng giác chỉ là một điểm A?)
2 +m (biểu diễn trên đường trịn lượng giác bởi hai điểm B và B) ~ Phượng trình cosz = ø (với ~1 <z»< 1) cĩ hai nghiệm đối nhau (biểu diễn trên đường trịn lượng giác
biog’ liểm đối xứng nhau qua trục ngang)
= Phương trình cosx= 0 cĩ nghiệm là x
aor bint ars ty co hai nghiger bir tra biết diễn © OnE Bi E
'ïai điềm đối xứ ng với nhau qua trục dọc)
› Phương trình tanx = zm cĩ hai họ nghiệm hơn kém nhau một lượng là x (biểu diễn trên đường trịn lượng
giác bằng hai điểm đối xứng nhau qua gốc O
Trang 33
Từ những nhận xét tưởng chừng như đơn giản trên mà chúng ta sẽ rút ra một số kinh nghiệm giải phương trình lượng giác như sau:
~Nếu một phương trình lượng giác cĩ hai điểm biểu diễn là là (sinx- 0) hay chính là sinx
~ Nếu một phương trình cĩ một điểm biểu diễn là A (mà khơng cĩ Ä) thì cĩ thể nĩ cĩ một nhân tử chút
‘cosx~ 1)
4 'Nếu một phương trình cĩ một điểm biểu diễn là A' (mà khơng cĩ A) thì cĩ thể nĩ cĩ một nhân tử chung là (cosz+1)
~ Nếu một phương trình lượng giác cĩ một điểm biểu diễn là điểm B và B thì cĩ thể nĩ cĩ một nhấn tir chung là (cos x~ 0) hay chinh la cos x
~ Nếu một phương trình cĩ một điểm biểu diễn là R (mà khơng cé B’) thì cĩ thể nĩ cĩ
(sinx~ 1)
~ Nếu một phương trình cĩ một điểm biểu diễn là B (mà khơng cĩ B) thì cĩ thể nộ cĩ miột nhân tử chung là (in x+ 1)
~ Nếu một phương trình cĩ hai điểm biểu diễn đối xứng với nhau qua trục dọc “thì nĩ cĩ thể cĩ một nhân tử chung la (sin x- m) (voi mgia tri lượng giác sin ứng với hai điểm đĩ)
~ Nếu một phương trình cĩ hai điểm biểu diễn đối xứng với nhau qua trục tữang thì nĩ cĩ thể cĩ một nhân tử chung là (cos x /) (với m giá trị lượng giác cos ứng với hai điểm đĩ: `! ˆ
~ Nếu một phương trình cĩ hai điểm biểu diễn đối xứng với nhau aia Be O thì nĩ cĩ thể cĩ một nhân tử chung là (tan x~ z) (với zngiá trị lượng giác tan ứng với hai điểm đổ) `
Thành thạo việc tư duy bằng đường trịn lượng giác như thế này sẽ giúp việc giải phương trình lượng giác đơn giản hơn mà khơng cần vẽ đường trịn lượng giác! im A va A’ thì cĩ thể nĩ cĩ một nhân tử chung Phin tử chung là
Hai cách làm sau đây thực ra là giống nhau, vì vậy ai mud Si dung cach nào cũng được Với những bạn mới sit dung tht toi vẫn khuyên các bạn dùng cách thứ nhất, và máy tính nên để ở chế độ là đ6Ð[bởi vì việc nhập, céc gid tri radian lâu hơn một t0
Gch 1,Giải bằng chúc nang CALC |bằng cách thơng đụng
Bước 1;Nếu phương trình cĩ hai vế thì chuyển hết Về một về để được phương trình f(x) =0 Sau đĩ nhập f(x) vào trong máy -
Bước 2;:Lần lượt thử các giá trị lượng giáp đặc biệt vào biểu thức trình bằng chức năng | CALC}_ Giá trị nào làm
giá trị f(x)=0 thì đĩ chính là nghiệm của phương trình (Các giá trị đặc biệt là +) 0; 30 45; 60 90 ;120 ;135 ; 150: 180 cùng các giá trị ay oe heh BeBe 612131216 42 Be “ Ệ Bước 3:iá trị nào là nghị Bước 4:Từ các kết luận r tích) A
Bước 5:Thử phân t[ci phương trình thành nhân tử chung, Nếu phân tích được thì việc giải phương trình đã thành cơng, Nếu việế phân tích quá khĩ khăn thì ta lại chuyển hướng phân tích nhân tử chung khác Sử dụng Cách 4 này khá lâu của nĩ (nếu máy ở chế độ độ D)i cùng các giá trị đối của nĩ (nếu máy ở chế độ radian R))
ủa phương trình thì đánh dấu ngay trên đường trịn lượng giác
Yá ở mục II1 ta nhận định nhân tử chung (cĩ thể nhận định được nhiều cách phân
.Gích 2; Dùng chức năng CALCkối ưu hơn
Bước 1:Giống Bước 1 của cách 1,
c2)Lầi lượt thử các giá trị lượng giác đặc biệt vào biểu thức trình bằng chức năng [CALC] Gia tr] nào làm aid tri F(x) =0 thi dé chinh la nghiệm của phương trình và ta dimg lai & d6 Giả sử nghiệm vừa tìm được là œ
:Thử các giá trị sau:
trị ĐỐI với œ, tức là (~ œ) Nếu (~ ø) cũng thỏa mãn (làm giá trị biểu thức bằng 0)thl ta nghĩ ngay đến nhân tử chung Ia (cos x cos œ) (œ xác định nên cos œ là một hằng số)
Trang 34
+) Giá trị NGƯỢC PHA với œ, tức là (œ + 909), Nếu (œ + 909) cũng thỏa mãn thì nghĩ đến nhân tử chung là
(tan x~ tan œ) hay chính là (sinx~ tan a cos 2) (tùy trường hợp mà ta sử dụng nhân tử chung nào cho hợp
mi
in đối với trường hợp œ cĩ biểu diễn là một trong các điểm A, B, A', E thì việc làm này cĩ thể "thừa" Cụ
thể là nếu trong ba giá trị DOI, BU va NGƯỢC PHA trên đềukhơng thỏa mãn phương trình thì tùy giá trị củấu 7
mà ta sẽ nghĩ đến các nhân tử chung khác nhau (ví dụ như a la diém A thi nhân tử chung,
Nếu œ cĩ biểu diễn là khác tất cả các điểm A, B, A', B' mà các giá trị ĐỐI, BÙ và NGƯỢC PHA trên aaa thỏa mãn thì ta phải quay về Bước 1 đế thử các giá trị khác
Bước 4;Thử phân tích thành nhân tử chung Cách 2 này phù hợp với những người đã quen sử dụng máy, thao tác và kĩ thuật nhanh _Gách 3Sừ dụng chức năng|SOLVE] (thường sử dụng ở chế độ độ|D)) Bước 1:Nhập phương trình vào máy Bước 2:Nhập gid tri khởi tạo trong [ 0 ; 360 ] và dị nghiệm
Sở dĩ ta khơng dùng chế độ rađian vì nghiệm khi hiển thị ra rất lẻ, nĩ khơng ở các dáng hay a mà lại ở Cách 3 i dụng đối với những bài tốn cĩ nghiệm khơng là những giá t RnR 12'8'6
Sau day là các ví dụ cy thể giúp các bạn cĩ thể luyện tập được các bấm bã Vida 38 thi Đại học Khối B năm 2005)
Giải phương trình lượng giác: 1+ sinx-+-eosx + sin2x + cos2x
Cách 1:Thử các giá trị đặc biệt ta thấy các giá trị thỏa mãn là-120”, 135°, 45°, -120°
‘Thay rng 120 và ~120 là hai giá trị đối nhau, cịn 135 và =45 là các giá trị ngược pha nhau Vậy nên ta nghĩ
đến hai nhân tử chung cĩ thể cĩ của phương trình là: „` ” nhẩm (chẳng hạn nhữ -” (cosx = 08120") hide (tan x tan 135°)
Hay chính là (cosx > hoac (sinx +cosx) (phương trình này chỉ chứa sin và cos nên ta ưu tiên lấy dang ( sinx +cosx) hơn là lấy dạng ( tanx +1))
Thử phân tích theo nhân tử (eosx+2) 158 ưu tiên nhĩm sin2x trước (luơn là vậy đối với phương trình dạng này) Sổ hang mà khi nhĩm với sia2x mà xuất hiện nhân tử chung như trên chính là sinx
(Thực ra ngồi nháp ta làm như sau:
ã ( ) ù
2sinx| CORED —sinx
Với hướng đĩ ta phân tích phữơng trình như sau:
(sin 2x + sinx) + (1+cos2x+.cosx)=0
Một câu hỏi nho nhỏ đặt ra: Ta phải dùng cơng thức nhân đơi đối với số hạng cos2x như thế nào trong ba cơng thỨc: cos2x = 2cos*x-1 = 1-2sin? x =cos*x-sin?x cho hgp lý?
Trang 35
~ Nếu nhân tử chung CHỈ chứa hàm sin thì ta quy cos2x=1~2sin” x (tức là quy cos2x về sina),
~ Nếu nhân tử chung chứa CẢ HAI ham sin và cos (hay chính là chứa hàm tan) thì ta qui
008 2x = cos? x~sin? x ¿S1
Cách 2:Thử các giá trị đặc biệt từ 09 trở đi, ta dừng lại tại giá trị « = 1209, Bấm thấy ngay giá tri -1209 cling
thỏa mãn nên ta đốn nhân tử chung là (cosx + ?
Tiếp tục cách giải như trên
Cách 3:Nhập phương trình và sử dụng chức năng SOLVE với giá trị khởi tạo là 0 (ở chế độ là độ) thì sau
khoảng gần 20smáy tính cho kết quả ~459, Thực hiện lấy các giá trị gĩc ĐỐI (459), BÙ (2259).thỲ đến giá trị
NGƯỢC PHA mới thấy thỏa mãn Như vậy đốn được nhân tử chung là (tanx~tan(~455}) hay chính là (
sinx+cosx)
Vẫn ưu tiên nhĩm sin2xtrước Làm nháp:
sin 2x =2sinxcosx = 2(sinx + cosx)cosx—2c0s” x = 2(sinx +cosx)cosx—(cos2x +4) Vi vay nên để hop lý ta sẽ nhĩm sin2x với (cos2x + 1) xi
Nếu phân tích theo cách: sin 2x =2sin xcosx =2(sinx +cosx)sinx —2sin? x (sinax +2sin? x) + (cos2x+1~2sin? x +sinx-+.c0sx)=0
49 2(sinx+.cosx)sinx+(2eos* x—2sin* x) + (sinx +-cosx]
Đến đây thì khơng khĩ để phân tích thành nhân từ chung (si x`Ý c0sx) Vid D8 thi chon I6p 12 năm 2012 - 2013 THPT Thái lito)’
sin2x —3cos2x + 11sỉn x— SUS =
2cosx- V3 `
Với dạng phương trình này thì cách giải lại cịn được rút ngần hơn nữa!
Trang 36
~ Nếu nhân tử chung CHỈ chứa hàm sỉn thì ta quy cos2z= 1~2sinˆx (tức là quy cos2z về sina)
- Nếu nhân từ chung chứa CẢ HAI hàm sin và cos (hay chính là chứa hàm tan) thì ta i
c0s2x = cos? x~sin?x cf
“Cách 2:Thử các giá trị đặc biệt từ 00 trở đi, ta ding Tại tại giá trị œ = 1209 Bấm thấy ngay giá trị -120° ogee thỏa mãn nên ta đốn nhân tử chung la (cosx +> »
"Tiếp tục cách giải như trên
Cách 3:Nhập phương trình và sử dụng chức năng SOLVE với giá trị khởi tạo là 0 (ở chế độ Tà độ) thì sau
khoảng gần 20smáy tính cho kết quả 459 Thực hiện lấy các giá trị gĩc ĐỐI (45*), BU (225%) thỲ đến giá trị
NGƯỢC PHA mới thấy thỏa mãn Như vậy đốn được nhân tử chung là (tanx~' e4) hay chính là (
sinX+eosx) ¢
'Vẫn ưu tiên nhĩm sin2xtrước Làm nháp: `
sin 2x =2sinxcosx = 2(sin x + cosx)cosx—2c0s” x = 2(sinx +cosx)cosx—(cos2x +4 Vi vay nên để hợp lý ta
sẽ nhĩm sin2x với (cos2x + 1)
Nếu phân tích theo cách: sin2x =2sinxcosx =2(sinx-+cosx)sinx—2sin?X 'Thì ta lại thém bét trong phuong trinh mét wong la 2sin” x dé nhom,
(sinax + 2sin? x) + (cos2x+1~2sin? x +sinx-+c08x)=0
= 2(sinx-+cosx) sinx + (2c0s?x~2sin® x) +(sinx-+cosx)=0 <7
Đến đây thì khơng khĩ để phân tích thành nhân tir chung (sin x ¥cosx) Vidy 44 8 thi chon lớp 12 nam 2012 - 2013 THPT me
Giải phương trình: 2sin2x =3eos2x +11 sin x —2cosx — SS
2cosx-J3
'Với dạng phương trình này thì cách giải lai cịn được rút ngắn hơn nữa!
‘Thay ring thật khơng đẹp chút nào khi cho ci indu d6 vào Vì nếu bình thường thì ta chỉ cần giải phương, trình tử = 0 là được rồi Suy luận như thế cho thấy rằng việc cho cái mẫu như vậy chỉ là để loại nghiệm mà thơi Vì vậy nên trong các giá trị thỏa mãn để mẫu = =0 sẽ cĩ Ít nhất một giá trị là nghiệm của phương trình tử
=0 ey
TS
DIEU HIER COKE“ REE TRIE VERE TKI
Phương trình đã cho tương dir `2sin2x—3cos2x+11sin~2eosx=4=0- (), x
Dùng máy tính thử ta thấy ngay x =-” + k2x thỏa mãn phương trình trên Ap dụng cách 2 ta thử thấy giá trị bù với nĩ làx = ¬ thỏa mã phương trình trên Như vậy ta dự đốn phương trình sẽ cĩ một nhân tử chung
& 1 4, š
BGsine~3) lVỪ
Ta phân tích đợc ty: 2sin2x = 4sinxcosx = 4{ sins ~ Seow = (-2cosx)
Như vậy td’s8tthém 2sin2xvéi (-2cosx) Trinh bay lời giải như sau:
Trang 37
dường như những cách đĩ đều cho ra một kết quả!
.Wdh 6Á Đề thi Đại học Khối B năm 2011)
Giải phương trình lượng giác: sin2xcosx +sinxcosx =cos2x +sinx+cosx
'Thử đến giá trị 60, ta dừng lại và thử thấy ~60° cũng thỏa mãn phương trình nên cĩ thể nhấn tử chung của phương trình là (cosx~ 3)
Bởi vì nhân tử chung chứa hàm cos nên ta cố ý GIỮ NGUYÊN các ham độc lập (hoặc cĩ thể quy về hàm độc lập) đối với cos đĩ là cos2x và cosz (chỉ chứa cosx mà khơng chứa sin3) Vậy nên tả sẽ biến đổi ba số hạng cịn lại của phương trình là sin2zcos, sinzcosz, sinz cho phù hợp để xuất hiện ái
‘ie chung (cosx- 3) Thực hiện lời giải như sau:
sin 2xcosx + sinxcosx = cos2x+sinx +cosx
2 {sinxcorx~Zsins{sinaxconxB) = cos2x-+cosx
1 1
<> sinx| cosx~= |4+-2| sinxcos’x—=sinx |= 2cos*x-1+ dnfler- if vnndehlne| Stang
cosina conn), 2sina{ cos? x4) 2cos2x+-cosx—1 " ( 3 l al a <> sinx{ cosx- |+2sinx| cosx—7 || cosx+ 2 z, 2, 3 F ( a 1 ©sinX[ c0sx~2 =Ì(eos 4S
.W[ dụ Z⁄(Đề thí Đại học Khði A năm 2007)
Giải phương trình lướng giác: (1+sin”x)eosx+ (1+ eos x)sinx = 1+sin2x
Phương trình này khơng khĩ, thoạt nhìn ta cũng cĩ thể nhận thấy ngay tính đối xứng của hai vế trong phương trình, Chứng đều chứa nhân tử chung (sinx + cosz) Thế nhưng hãy thử giải phương trình này bằng hướng khác Xentr sao nhét
Cịn đối vối Bạn nào vẫn chưa tính ý thì đầu tiên ta thử các giá trị lượng giác bắt đầu từ 04, Giá trị thỏa mãn đầu tiên chính là 09, Thử giá trị bù với nĩ (tức 1809) ta thấy khơng thỏa mãn Như vậy cĩ thể phương trình này cĩ nhấn tử chung là (osx~ 1)
Để thầy đối cách giải một chút, ta sẽ áp dụng cách thêm bĩt sau: "Ta cứ thêm cho đủ nhân tử chung rồi trừ đi Jong vừa thêm, cụ thể ta thực hiện:
Trang 38<> (cosx—1)(1+sin? x-+sinxcosx —sinx) + (1-cosx)(1+cosx)=0 <9 (cosx—1)(sin? x + sinxcos x—sinx—cosx) =0
<2 (cosx ~1)(sinx + cosx)(sinx-1)=0 x=k2n €0sx=1 ©|sinx+cosx=0© xT tka (keZ) sinx=1 ì x=5 +k?m 2
Vậy là ta đã giải quyết xongt
Nhận xét:Với bài tốn này nếu dùng cách 1 thì phương trình đã cho gần như đã bị “lộ tẩy” hưàn tồn: Các giá trị nghiệm đặc biệt: 09 (điểm A) ; 909 (điếmB) ; 1350 và ~450 (ngược pha nhau):
Từ đây cĩ thể thấy phương trình cĩ các nhân tử chung là (cos- 1), (sinx~ 1) và nhận từ (sinx-+ cos4)!
Mdu8: Ạ
Giải phương trình lượng giác: 4sinx+cosx+3sin xtanx~3tanx=3 (1)
Điều kiện xe Fk (keZ)
HTượt thữ các giả trị Bắt đầu giá trị ngược pha là tÌ
(sinz+ cos>) ỹ "Ta thêm bớt cho đủ nhân tử chung (tanz + 1): 7
(1) © 4sinx+ cosx+[3siax(tanx +1)~3sinx]~3(anx+1) +33
META tal Bra UT ISS THOT i
a mãn phương trình Vậy phương trình sẽ cĩ nhân tử chung la (tanx + 1) hay chính là ep sinx +cosx +3sinx(tanx +1)—3(tanx+1)=0 > cosx(1+tanx) +3sinx(tanx+1)—3(tanx+1)=0 <9 (tanx+1)(cosx +3sinx—3)=0 tanx=—1 ° cosx+3sinx=3 Đến đây các bạn cĩ thể giải được và tìm đựt du 2 ) Giải phương trình lượng giác: sin2 =eosBx + cos7x + cos6x—sinx (1) ighiém của phương trình
Với những bài tốn mà chứa các số hạng với các giá trị lượng giác là bội số khá lớn của ẩn (nhự bài tốn này thì đĩ là 6x, 7x, 8z) thì ta nên sử dụng Cách 1 (cĩ thể phối hợp thêm cách 3) Bởi vì khi đĩ ta sẽ cĩ cái nhìn
bao quát về các nghiệm của phương trình và cĩ thể chọn được nhân tử chung phù hợp nhất
Ta thường giải những phượng trình như thế này đĩ là áp dụng các cơng thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng cho thật hợp lý để cĩ thế làm giảm được bội số của x và để đễ dang nhìn nhận nhân tử chung Các giá trị lượng giác thỏa tnăn phương trình trên là 459, 1209,~1200, -1359,
Nhĩm từng cặp nghiệm ta thấy cĩ một cặp đối nhau (1209 và ~1209) và một cặp ngược pha nhau (459 và ~
1350), Vi vay ta dự đoấn phương trình sẽ cĩ nhân tử chung là (eeszt2) hoặc (tanz - 1)
Nếu nhân tử €hùng là (cosz+- ; ) Liic đồ ta sẽ nhĩm được sin2x và sinx để xuất hiện nhân tử chung này Vậy la ba số hạng cịn lại:cos8x+cos7x+cos6x Dùng cơng thức biến đối tổng thành tích:
cos8x Ýcos6x =2oos7xcosx, ta thấy được ngay nhân tử:
cos8x +08 6x +c0s7x = 2cos7xcosx +c0s7x =(2cosx +1)cos7x
———-YYvậy memta sẽ trình bày TờT giải như saur
Trang 399 (2c0sx +1)(sinx —cos7x) =0
Đến đây cĩ thế tiếp tục giải được phương trình
Với bài tốn trên, ta cũng nhận xét rằng do bội số của x khả lớn làm chu kỳ Luần hồn gi
"kha im” phan bo trén dirong tron rT
thì sẽ gây rắc rối cho người phụ thuộc máy tính Như với bài tốn trên, nếu nhìn nhận nhân tử chung là (tanx
~ 1) thì hướng đi sẽ rất phức tạp và khĩ nhận được kết qua
1l Kếtuận: :
Phương pháp này được áp dụng cho phần lớn các bài tốn giải phương trình lượng giác mà chữa bội số của
x, cu thể là đối với 3xở dạng cơ bản như: :
1.acos2x + bsìn2x-+ ccosx+ đsỉnx+e=0
2,acos3x + bsin 3x + ccos2x + đsin2x +ecosx + fsin x + g =0
(Với ä,b, e d, e, £ ø là các hằng số) SC)
Và nĩ cũng sẽ rất hữu dụng trong việc giải phương trình lượng giác cho các ky thi sắp tới, bởi vì gần đây thi các phương trình lượng giác trong các đề thí đại học chủ yếu là ra ở dạng phương ttìđh tích!
Với các phương trình lượng giác chứa bội số cao hơn hoặc những bài bắt biến đối thơng minh thì việc giải bằng cách này cịn rất hạn chế SS
Sau day là một số bài tập áp đụng:
Giải các phương trình lượng giác sau:
1.(Khối A, A; năm 2012): x|3 sin2x +cos2x =2cosx~1
sin2x +2cosx— sinx~1 tanx+ 3 3.( Thi tht đại học THPT Thái Lão năm 2012): 2 (Khối D năm 2011): =0
6sin” x + sin2x —15cos|
4 (Xhối A năm 2002): Ca 1+2sin2x
cos2x QĨ
14+ tanx `:
6(Khối ð năm 2004): 5sinx~2=3(1~$inX) tan? x
7.(Äíhối Ð năm 2008): 2sinx(1,+ cos2x)+ sin2x = 1 +2cosx 5.(Kh6i A ndm 2003): cotx—1 = vee à¡ điểm cần chú ý khi giải phương trình lượng giác Nguyễn Tắt Thu
(GV THPT Lê Hồng Phong, Biên Hịa, Đồng Nai)
Đài đăng trên tạp chỉ Tốn Học và Tuất Trẻ số 394
10- Một
Phương trình lựợng gide (PTLG) luơn xuất hiện trong các đề thi đại học và cũng gây khơng ít khĩ khăn cho che thi sinh Trong bài viết này chúng tơi trao đổi với các bạn một số điểm cần chú ý khi giải che PTLG V8 phương pháp chung thi để giải PTLG ta sit dung các cơng thức biển đổi lượng giác đựa phương trình ban đầu
về PTLG thường gặp
Ching ta bign đổi PTLG theo các hướng sau:
1 Đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cosin
ới dạng này ta cần lưu ý một số biến đổi sau:
Sink VBcosx = 2sin (x5) = cos (x #2) <OMisinx + cosx = 2sin (x2) = 2005(x #5)
Trang 40
+ Thí dụ 1: đả phương trình sin 3x — V3 cos 3x = 2sin 2x (1)
tời giải: Ta cĩ sin 34— Vỗ cos3x*= 2sin(3x—3) nên (1) € sin (3x = © — sĩi ke |*“igtke Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với 1 3S 1 inx +5 sin 3x + V3 cos 3x = 2cos4x + Fsinx—>sin3x 2 2 € sin 3x-+V3 eos 3x = 2008 4x ¢ cos (3x—Z) = cos 4x x
2, Biến đối về phương trình chỉ chứa một ham số lượng giác
Với phương pháp này chúng ta cần lưu ý tới một số đẳng thức sau: 1 1 —gsin#2x +tan2x A (2(sin8x + cos®x) — sin x cos v2 -2sinx + Thí dụ 3: Giải phương trình: (Đề thị ĐH khối A ~ 2006) 2 Lời giảt: Điều kiện sinx z pla 5 é Đối chiếu điều kiện ta cĩ x = = + 2nw,n S8 là nghiệm của phương trình đã cho is eres 9: # Thi dy 4: Giai phuong trinh sin®2x éas\6x + sin®3x = gam sin @) sigtttteceeay ue 1 emai EX Sg iil | 11x, 9x ey 1 Zz oy 1
© 1 = cos4x.cos 6x = sin=S*/sinF € 1-5 (cos 2x + cos 10x) = 5 (cosx — cos 10x)
© cos 2x + cosx— 2 = 0 CẾ2cos2x + cosx — 3 = Ũ © cosx = 1 © x=k2k EZ