Trích đoạn tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn toán tập 1

Nhà sách giáo dục LOVEBOOK Vươn tới hoàn hảo TUYỂN TẬP 90 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MƠN TỐN tập I Kèm lời giải chi tiết bình luận Ngày 28/07, nhà sách LOVEBOOK thức phát hành sách năm học 2014 – 2015 Không trau chuốt nội dung nhỏ một, sách biên soạn đề theo cấu trúc đề Bộ Giáo Dục Đây sách luyện đề tiên phong việc áp dụng hình thức đề Bộ vào sách Hãy nghe thầy em nói sách này: Theo thầy Nguyễn Minh Tuấn - GV chuyên Hóa - THPT Hùng Vương - Phú Thọ [tác giả 20 đầu sách ôn thi đại học tiếng nhiều tài liệu chỉa sẻ mạng): “Đây thực sách ôn thi đại học chất nhất, công phu tâm huyết mà thầy biết tới Một học sinh ôn thi đại học mà khơng sở hữu thiệt thòi nhiều so với bạn” Theo em Lê Nhất Duy [THPT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp]: “Đây lần em đọc sách tâm huyết Từng lời bình anh chị GSTT GROUP chất gần gũi Kể từ cầm tay sách này, em cảm thấy tự tin u mơn tốn nhiều” Theo Lê Thị Bình [Thạc sĩ Tốn - Hóa] - giảng viên khoa Toán Tin ứng dụng- ĐH Kiến Trúc Hà Nội: "Một sách đẳng cấp thiết thực biết Không dừng lại lời giải kho khan mà sách cho ta lối tư duy, kinh nghiệm sương máu mà họ trải qua" Theo Nguyễn Văn Tiến [cựu học sinh Lý Thái Tổ - Bắc Ninh, tân sinh viên Y Hà Nội 29/30]: Lovebook biết cách tạo ấn phẩm thật hữu ích cho em học sinh, đặc biệt Tốn Năm vừa tiếc chưa có Tốn, có kết trọn vẹn Tuy nhiên với Hóa năm ngối đủ khiến đạt ước mơ vào đại học Y Hà Nội" Theo em Nguyễn Văn Trường [cựu học sinh Diễn Châu 4, Nghệ An - Tân sinh viên Đại Học Bách Khoa HN]: Cuốn sách 90 đề Toán giúp em nhiều việc tự học nhà Ở quê nghèo em, việc học thêm học online vấn đề nan giải Nếu khơng có sách có hướng dẫn tư GSTT GROUP thật khó khăn Đọc sách anh chị viết mà có cảm giác người thầy trực tiếp giảng dạy cho” Tiếp theo, mời quý độc giả thưởng thức trích đoạn nhỏ sách: 1| Trích đoạn tuyển tập 90 đề thi thử đại học mơn Tốn tập Nhà sách giáo dục LOVEBOOK Vươn tới hoàn hảo CÁCH SỬ DỤNG SÁCH HIỆU QUẢ Có sách chuyện sử dụng cho hiệu lại câu chuyện khác? Thứ nhất, bạn chia làm giai đoạn: Giai đoạn 1, bạn chia tập sách thành chuyên đề Ví dụ ngày đầu chuyên luyện 25 hệ phương trình sách chẳng hạn Cứ vậy, 10 chuyên đề bạn tháng để phủ hết tập sách Trong trình luyện theo chuyên đề bạn tập sách bạn kết hợp xem qua kiến thức số sách chuyên đề để củng cố thêm Dù có làm hay khơng, bạn nên xem lại lời giải, phân tích, định hướng mà tác giả cung cấp sách Đơi khi, có toán, bạn dừng lại mức độ tìm lời giải, cịn chưa biết khai thác mở rộng tư để giải hoạc có cách giải khác, độc đáo Sau luyện tập theo chuyên đề xong, bạn bắt tay vào giai đoạn 2: luyện đề tổng hợp Giai đoạn giúp vừa giúp bạn tập tành dần kỹ xử lý đề thi hoàn chỉnh vừa giúp bạn ôn lại tập, tư tiếp cận ban đầu Mỗi ngày luyện từ -2 đề Để rèn luyện thêm kỹ trình bày, 2-3 đề, bạn nên tự giác trình bày cách nghiêm túc thi thật làm giấy nhờ thầy giáo góp ý cách trình bày Hoặc bạn tự đối chiếu với cách trình bày lời giải sách Đối với tập sách TUYỂN TẬP 90 ĐỀ THI THỬ bạn giảm bớt số lần trình bày chi tiết Ví dụ tập từ 4-5 đề lần, tập xuống -8 đề, tập 4, xuống – 10 đề lần chẳng hạn Lưu ý, trình sử dụng sách, bạn đừng quên trang bị cho sổ nho nhỏ để tổng hợp lại chắt chiu trình sử dụng sách Ngồi bạn sử dụng bút “highlight” để đánh dấu vấn đề quan trọng sách Công việc cuối thiếu lên kế hoạch ôn tập lại sách Rất nhiều bạn mải mê tìm thật nhiều đề, luyện thật nhiều, khơng có kế hoạch coi lại học nên dẫn tới việc vào phòng thi mơ mơ hồ hồ Đọc biết khơng nắm Chính vậy, TUYỂN TẬP 90 ĐỀ, hàng tháng bạn nên có kế hoạch coi lại Cứ đặn vậy, bạn thấy tiến rõ rệt ngày 2| Trích đoạn tuyển tập 90 đề thi thử đại học mơn Tốn tập Nhà sách giáo dục LOVEBOOK Vươn tới hoàn hảo ĐỀ SỐ 10 2x  (1) có đồ thị (C) x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b) Một hình chữ nhật MNPQ có cạnh PQ nằm đường thẳng : 3x – y – 11 = 0, hai Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  điểm M, N thuộc (C) độ dài đường chéo hình chữ nhật Lập phương trình đường thẳng MN 2sin x sin2x  11cos x  cot x  (x ∈ ℝ) Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: cot x  3sin2x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân: I = ex 3x  2  x   ex  x  1  x 1 dx Câu (1,0 điểm) a) Gọi z1, z2 hai nghiệm phương trình z2  1  3i  z   2i    thỏa mãn z1  z2 Tìm giá trị biểu thức A  z1 b) Cho n số nguyên dương thỏa mãn:  khai triển nhị thức Niu-tơn  3x  2n C2n  14 3C3n  1    z2  1 Tìm hệ số x9 n Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có C(3; 2; 3), đường cao qua A đường phân giác góc B tam giác ABC x 2 y 3 z 3 x 1 y  z 3     có phương trình d1 : d2 : 1 2 2 Lập phương trình đường thẳng BC tính diện tích tam giác ABC Câu (1,0 điểm) Cho khối tứ diện ABCD có AC = AD = , BC = BD = 3, khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (ACD) , thể tích khối tứ diện ABCD 15 Tính góc hai mặt phẳng (ACD) (BCD) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thang OABC (OA // BC) có diện tích 6, đỉnh A(–1; 2), đỉnh B thuộc đường thẳng d1: x + y + = đỉnh C thuộc đường thẳng d2: 3x + y + = Tìm tọa độ đỉnh B, C Câu (1,0 điểm) Giải phương trình:  1   x  x ln  x    (x ∈ ℝ) 4x 4x   Câu (1,0 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt: 3| Trích đoạn tuyển tập 90 đề thi thử đại học mơn Tốn tập Nhà sách giáo dục LOVEBOOK 3  x  1  Vươn tới hoàn hảo   x   x   x  3  m    3 x 1 LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ BÌNH LUẬN Câu a) • Tập xác định: 𝔻 = ℝ \ {1} • Sự biến thiên: 3 – Sự biến thiên: y’   với x ∈ 𝔻  x  1 Hàm số nghịch biến khoảng (–; 1) (1; +) – Giới hạn, tiệm cận: lim y  lim y  ; lim y   ; lim y   x  x  x1 x1 Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = làm tiệm cận đứng nhận đường thẳng y = làm tiệm cận ngang – Bảng biến thiên: x y' y − − 2 • Đồ thị: Đồ thị (C) hàm số cắt trục tung điểm (0; –1), cắt trục hoành điểm  1   ;0  Đồng thời (C) nhận giao điểm   hai đường tiệm cận I(1; 2) trục đối xứng b) Định hướng: Đầu tiên với kiện MNPQ hình chữ nhật ta khai thác tính chất song song, MN // PQ Lúc ta có dạng phương trình đường thẳng MN là: 3x – y + m = 0, với m  –11 4| Trích đoạn tuyển tập 90 đề thi thử đại học mơn Tốn tập y I O x Nhà sách giáo dục LOVEBOOK Vươn tới hoàn hảo tương đương với MN: y = 3x + m Như hồnh độ M N nghiệm phương trình giao điểm đường thẳng với đồ thị (C)  Dùng phương trình hồnh độ dùng định lí Viét để biểu diễn tổng tích xM + xN; xMxN theo biến m Q  P K M N Tiếp theo, với hai đường thẳng song song ta ln xác định khoảng cách hai đường thẳng đó, khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách điểm đường thẳng đến đường thẳng Trên  ta ln lấy điểm K có tọa độ xác định  dùng khoảng cách tính khoảng cách từ K đến MN  độ dài cạnh PN = d(K, MN) (theo ẩn m) Vậy kiện cuối kiện đường chéo Vì ta có tổng tích xM + xN, xMxN theo biến m nên việc tính độ dài MN theo m điều dễ dàng Ngoài ra, dùng định lí Py–ta–go ta có ngay: MN2 + NP2 = PM2 = (5 )2  từ giải phương trình ẩn m  tìm m  MN Theo định hướng rõ ràng ta có lời giải: Bài giải: Do MNPQ hình chữ nhật nên MN // PQ  đường thẳng MN có dạng 3x – y + m =  y = 3x + m Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng MN (C) là: 2x   3x  m  2x    x  3x  m  (dễ thấy x = không thỏa mãn) x 1  3x2   m  5 x  m   (*)     (*) có biệt thức  = m   4.3  m   m2  2m  37  với x ∈ ℝ  (*) ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Theo định lí Viét: 5m  x  x2      x x  m  1   Khơng tính tổng qt, giả sử M(x1; 3x1 + m) N(x2; 3x2 + m)   m 2 m   MN2 = 10(x1 – x2)2 = 10  x1  x2   4x1 x2  = 10           5| Trích đoạn tuyển tập 90 đề thi thử đại học mơn Tốn tập Nhà sách giáo dục LOVEBOOK =  Vươn tới hoàn hảo  10 m  2m  37 K(0; –11) ∈   d(K, MN) = 3.0   11   m 32   1 = m  11 10  m  11 = d (K, MN) =  NP 2 10 Áp dụng định lí Py–ta–go, ta được:  m  11 10 MN + NP = PM  m  2m  37   10 2     m  1  m  289  109 Đối chiếu điều kiện m  –11, ta hai giá trị cần tìm m m = –1 289 m= 109 Câu Định hướng: Khi đánh giá qua phương trình ta thấy khơng phức tạp quá, chứa hàm sin, cos cot dạng “thuần” (đơn giản) “Nhẩm” cos x ; sin2x = 2sinxcosx thấy tử sin x mẫu xuất nhân tử cosx Tiếp tục “nháp” thêm tí sau rút gọn cosx tử mẫu được: 2sin x.2sin x  11  sin x  Và đến phương trình lộ chất  3.2sinx sin x nó: thực chất phương trình ẩn t = sinx Bài giải: sin x  sin x   sin x  1   Điều kiện:  (*)   sin x    cos x  sin x  cot x  sin x    sin x        cos x  đầu nhân tử thấy cotx = Phương trình cho tương đương với: 2sin x.2sin x cos x  11cos x  cos x  3.2sinx cos x sin x cos x sin x  6| Trích đoạn tuyển tập 90 đề thi thử đại học mơn Tốn tập Nhà sách giáo dục LOVEBOOK  Vươn tới hoàn hảo 2sin x.2sin x  11   3.2sinx sin x  4sin2 x  11  sin x  (do cosx  0)    2  6sin x   4sin3 x  12sin2 x  11sin x   sin x  sin x  π   x   k2π   sin x  π    2sin x  2sin x  sin x      x   k2π (k ∈ ℤ)   sin x   x  5π  k2π      Thử lại (*), ta có phương trình có hai họ nghiệm x = π 5π + k2π x = + k2π 6 (k ∈ ℤ) Câu Định hướng: Nhận thấy tích phân có chứa hàm vơ tỉ, hữu tỉ hàm mũ (các hàm khác tính chất) nên ta nghĩ đến phương pháp tích phân phần, tác b b g’(x) để làm dễ dàng Nhưng với tốn cách dùng g(x) a dạng I =  f(x)   a tích phân phần gần như… vô hiệu Vậy nên ta suy nghĩ đến hướng thứ hai tách I thành dạng Một điều gợi ý cho thực theo phương án thứ hai tử số có phần giống với mẫu số (phải nói giống), nên việc rút gọn bớt điều đương nhiên: ex 3x  2  x  ex  x    x  1 ex 2x  1 ex  x    x  Như số tách dễ dàng lấy ngun hàm, cịn lượng chưa có dạng ex 2x  1 ex  x    x  g’(x) Vậy phải làm sao? Không lẽ lại bỏ chừng? g(x) Đừng lo, chưa gặp dạng muốn xuất dạng g’(x) nhiều lúc ta g(x) nhân phải chia tử mẫu cho lượng (và thường lượng lượng tương đồng, nhân tử mẫu số tử số), có lúc tử mẫu với lượng để xuất dạng Thử xem nhé! Với “cục diện” ta có hai hướng: 7| Trích đoạn tuyển tập 90 đề thi thử đại học mơn Tốn tập Nhà sách giáo dục LOVEBOOK Vươn tới hoàn hảo + Hướng 1: Chia hai vế cho ex ta được:  Cũng chưa thấy xuất dạng 2x  x 1  x  1  ex g’(x) g(x) ex  2x  1 x  ta được: + Hướng 2: Chia hai vế cho e e  2x  1 x   x 1 x 1  x 1 x Thử lấy đạo hàm mẫu ex x  ’  x 1 , thành công! Bài giải: ex 2x  1 5 2e Ta có: I   dx   x  x  1  x 1 dx I1   dx  x    2 ex  2x  1   x e x 1 1 ' x  I2  2 dx  2 dx  2ln e x x   x x x 1 1 x 1 1 2e e Vậy I  I1  I2   ln 2e5  e2     2ln 2e5  e2  Câu a) Đây tốn hồn tồn bản, u cầu bạn nắm cách giải phương trình bậc tập số phức Nhưng lời khuyên cho bạn tìm nghiệm phương trình chẳng dại lại trình bày theo bước giải phương trình làm nháp vào giấy thi cả! Hãy dùng cách phân tích nhân tử để làm, ta cần dùng dấu tương đương khơng cần viết câu chữ nhiều nhé! Bài giải: Phương trình cho tương đương với: z  2i z2  2i  1  i   z  2i 1  i      z  2i  z  i      z  i  Do z1  z2 nên ta có z1 = 2i z2 = i +   Ta có: A  2i 1  1   i  1  1 2 2 1 i     i    2i i 2 8| Trích đoạn tuyển tập 90 đề thi thử đại học mơn Tốn tập Nhà sách giáo dục LOVEBOOK Vươn tới hoàn hảo b) Định hướng, ý: Để làm toán ta cần phải xác định n, kiện 14   cho giúp ta tìm điều Chú ý trình làm Cn 3Cn n ta cần xác xét điều kiện để trách hợp giải nghiệm khơng thỏa mãn điều kiện cơng thức tổ hợp Sau thay vào bắt đầu xét theo yêu cầu Bài giải: +) Điều kiện: n  n ∈ ℕ Ta có: 14 2(2!)(n  2)! 14(3!)(n  3)!      n! n!(3) n Cn 3Cn n  n9 (loại n = –2)  n2  7n  18    n  2 +) Theo khai triển nhị thức Niu-tơn:   3x   2n   3x  18 18  k   C18 x k 0  18 k k 0   Vậy hệ số x khai triển là: a9  C18    k   C18  k xk  3938220 Câu Ta xử lí tốn giống xử lí tốn hình học phẳng, phương pháp khơng có gặp đường cao (tận dụng yếu tố vng góc) đường phân giác (tận dụng phương pháp lấy đối xứng) Bài giải: +) d1, d2 có véctơ phương u1 = (1; 1; –2) u2 = (1; –2; 1) x   t  +) B ∈ d2:  y   2t  B(1 + t; – 2t; + t)  CB = (t – 2; – 2t; t) z   t  d đường cao kẻ từ A nên u1 CB   (t – 2) + (2 – 2t) + (–2).t =  t =  B(1; 4; 3) BC qua C nhận véctơ u3  BC = (1; –1; 0) làm véctơ phương x   t   phương trình đường thẳng BC y   t (t ∈ ℝ) z   +) Gọi H(a; b; c) trung điểm CH thuộc d2, đồng thời CH  u2 nên tọa độ H nghiệm hệ: 9| Trích đoạn tuyển tập 90 đề thi thử đại học mơn Tốn tập Nhà sách giáo dục LOVEBOOK Vươn tới hoàn hảo b2 c 3 a 3 a  4 3   2     b   H(1; 2; 5)  2  c   1  a  3   b  2   c  3  +) Thấy H ∈ d2  A ≡ H  A(1; 2; 5) ABC vuông A 1 AB.AC = 2.2 = (đvdt) 2 Nhận xét: Bài toán “vượt tầm” thi đại học điểm H tìm khơng thuộc đường thẳng d2 Bởi sau tìm điểm H, ta phải viết Diện tích tam giác ABC là: S = phương trình AB, tìm tọa độ A  dùng cơng thức diện tích để tính diện tích tam giác làm trở nên dài, không phù hợp với thi đại học (nhất câu ăn điểm tọa độ khơng gian) Vậy nên q trình làm bài, bạn ý đến đặc biệt đề bài, đừng dại mà theo lối mòn phương pháp mà ta sử dụng lâu giải toán Nếu gặp tương tự tìm tọa độ H, thấy H ∉ d2 dùng cơng thức tính diện tích, ta dùng S = AB.CH nhé! Đừng nên dùng BC.d(A, BC) trường hợp làm phức tạp tính tốn chỗ dùng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng cho trước! Câu Định hướng: Tứ diện ABCD ta biết độ dài cạnh, lại có điều đặc biệt A B cách hai điểm C, D (AC = AD, BC = BD)  A, B nằm mặt phẳng trung trực cạnh CD Và mặt phẳng trung trực mặt phẳng qua A, B trung điểm M CD  góc hai mặt phẳng (ACD) (BCD) ̂ (1800 – AMB ̂ ) (tùy vào độ lớn góc AMB ̂ nhỏ AMB cơng thức S = 900 hay lớn 900) Đồng thời cho thêm khoảng cách đỉnh đến mặt phẳng đối diện cho thêm thể tích khối tứ diện  dễ dàng tính diện tích mặt đáy ACD  tính độ dài CD (do ACD biết độ dài cạnh)  BCD hồn tồn xác định thơng số cạnh  tính BM (là đường cao BCD) Ngồi nhận thấy có khoảng cách từ B đến (ACD) nên sin (ACD), (BCD) = d  B, (ACD)  BM  từ xác định góc hai mặt phẳng (ACD), (BCD) 10| Trích đoạn tuyển tập 90 đề thi thử đại học mơn Tốn tập Nhà sách giáo dục LOVEBOOK Vươn tới hoàn hảo B Bài giải: Theo ra: d(B, (ACD)) = ; VABCD = 15 (đvtt) Ta có: SACD A 3VABCD 15 = = d  B, (ACD) C = (đvdt) Mặt khác: SACD = sin CAD = H M ̂ AC.AD.sinCAD 2SACD AC.AD 2.3 = = 2.3 D B Gọi M trung điểm CD ACD cân A cân B nên BM  CD AM  CD  (ABM)  (ACD) Gọi H hình chiếu B lên (ACD) ta có H thuộc đường thẳng AM, đồng thời  cos CAD = ±  sin2 CAD = ± A C M độ dài BH = d(B, (ACD)) = Ta có góc mặt phẳng (BCD) (ACD) ̂ < 900 BMH D H +) Trường hợp 1: cos CAD =  CD = AC2  AD2  2AC.ADcosCAD =  BM = 2   CD  BC              ̂ =  cos BMH BH = BM  BMH = 450 +) Trường hợp 2: 2 Tương tự ta tính CD = 15 > BC + BD, không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác  loại ̂= cos CAD Vậy góc hai mặt phẳng (BCD) (ACD) 450 Lưu ý: Có thể xảy hai trường hợp vị trí điểm H hình vẽ trên, dù góc hai mặt phẳng (BCD) (ACD) 450 11| Trích đoạn tuyển tập 90 đề thi thử đại học mơn Tốn tập Nhà sách giáo dục LOVEBOOK Vươn tới hoàn hảo Câu Định hướng: Do tọa độ A O biết nên phương trình đường thẳng OA hồn tồn xác định  dạng phương trình đường thẳng BC (chỉ chứa ẩn cần tìm m) Vậy hồn tồn xác định tọa độ điểm B C theo ẩn m, dựa vào hệ phương trình giao điểm đường thẳng BC với đường thẳng d1 (tìm B); hệ phương trình giao điểm đường thẳng BC với đường thẳng d2 (xác định C) OA  BC  d O, BC  → Đây phương trình có ẩn m  tìm m  tọa độ B, C Bài giải: Cuối ta khai thác kiện diện tích: S = x 0 y 0   2x  y  1   OA // BC  phương trình đường thẳng BC có dạng: 2x + y + m = (với m  0) +) Phương trình OA: x  y   x   m  +) Tọa độ B nghiệm hệ:   B(1 – m; m – 2) 2x  y  m  y  m  3x  y   x  m   +) Tọa độ C nghiệm hệ:   C(m – 2; – 3m) 2x  y  m  y   3m +) Diện tích hình thang OABC là: S =  (OA + BC).d(O, BC) m 1 ( 1)2  22  (2m  3)2  (4m  6)2  6   22  12    2m   m  12 (*) Phương án tối ưu để giải phương trình phá dấu giá trị tuyệt đối! – Nếu m < (*) thành: (3 – 2m + 1).(–m) = 12  m2 – 2m – =  m = ± Kiểm tra điều kiện ta lấy nghiệm m = –   B  7;     C 1  ;  – Nếu < m < (*) thành: (3 – 2m + 1).m = 12  m2 – 2m + = 0, vơ nghiệm (*) thành: (2m – + 1).m = 12  m2 – m – =  m = m = –2 Kiểm tra điều kiện ta lấy nghiệm m =  B(–2; 1) C(1; –5) Vậy có hai cặp điểm B, C thỏa mãn đề Câu – Nếu m  12| Trích đoạn tuyển tập 90 đề thi thử đại học môn Toán tập Nhà sách giáo dục LOVEBOOK Vươn tới hoàn hảo Định hướng: Đầu tiên, điều kiện x > khơng thể thiếu Nhận thấy phương trình có chứa hàm hữu tỉ hàm logarit (hai hàm khác tính chất) nên ta nghĩ đến phương pháp hàm số đầu Định hướng giúp ta phát triển hướng giải cho toán: Chúng ta nên dùng hàm số theo kiểu tính đơn điệu nên dùng hàm số theo kiểu hàm g(f(x)) = g(h(x)), với g hàm đơn điệu? – Nếu triển khai theo hướng thứ nhất: để việc đạo hàm tránh phức tạp,    nên chia hai vế cho x Bởi ta lấy đạo hàm  x.ln  x    phức 4x       tạp so với việc lấy đạo hàm ln  x   4x   Như chia hai vế cho x ta được:    1 1    ln  x        ln  x    (*) 4x  x x 4x  4x 4x   Thử lấy đạo hàm vế trái ta được: 1   2x   4x3  6x2  1 4x2    2x3 x2 x  2x3  4x2 4x Vậy việc dùng hàm đơn điệu “tiêu tan” thi mà đạo hàm không dương không âm với x > Nhưng đừng vội nản nhé, đạo hàm có nghiệm (và có nghiệm “đẹp”) ta vẽ bảng biến thiên hàm số, có nghiệm đẹp cho nhận xét! Thật vậy, thử lập bảng biến thiên thấy VT(*)  Dấu đẳng thức xảy     (chính nghiệm đạo hàm ln!) – Nếu triển khai theo hướng dùng hàm số Cách thường bạn “ngại” (nói “lười”) đạo hàm dùng! x = Khi gặp phương trình dạng: A  x   ln A x Bx  B  x  (với A, B dương) ta     biến đổi chút phương trình thành: A x  ln  A x   B x  ln B x  , phương trình có dạng hàm đồng biến f(t) = t + lnt, hàm đồng biến (0; +) Vậy gặp phương trình ta thấy logarit phân tích thành nhân tử, đồng thời muốn đưa phương trình dạng phải chia hai vế cho x Sau ta thu phương trình: 13| Trích đoạn tuyển tập 90 đề thi thử đại học mơn Tốn tập Nhà sách giáo dục LOVEBOOK Vươn tới hoàn hảo     1    1  4x 1    ln  x  0     ln   2 x 4x x 4x    4x  x     1     ln      ln   2  4x   4x  x x Đến dạng hàm xuất việc lại khơng q khó nữa! Bài giải: Cách Điều kiện x > Phương trình cho tương đương với:       1    ln  x         ln  x     4x  x  4x2 4x2     4x   x        1      ln     ln x       ln      ln   (*) 2 2 x  4x   4x   4x   4x  x x Xét hàm số f(t) = t + lnt (0; +∞) Ta có: f ’(t)    với t > t  f(t) đồng biến (0; +∞) 1   1    ) Mặt khác (*) có dạng f     f   (với 2 x 4x  4x  x   1      1   x   x  2x  4x Vậy nghiệm phương trình x = Cách Điều kiện x > Chia hai vế phương trình cho x ta được:    1 1    ln  x        ln  x  0 4x  x x 4x  4x 4x   Xét hàm số f(x) = 4x   1    ln  x   (0; +) x 4x   1     2x   4x3  6x2  4x Ta có: f ’(x)  ;    2x3 x2 x  2x3  4x2 4x 1 f’(x)   x   (do x > 0) 14| Trích đoạn tuyển tập 90 đề thi thử đại học mơn Tốn tập  Nhà sách giáo dục LOVEBOOK Vươn tới hoàn hảo Lập bảng biến thiên cho ta f(x)  với x > Ta có f(x) =  x = Vậy nghiệm phương trình x = Bài tập củng cố: Giải phương trình: 2014x  x ln 1969  1969x (Đáp số: x = 0) 2014 Câu 9: Định hướng: Ý tưởng tìm m để phương trình có nghiệm khơng xa lạ Ý tưởng cô lập m để thu dạng m = f(x), sau khảo sát f(x) để kết luận giá trị m thỏa mãn điều kiện đề Với này, muốn cô lập m cách nhanh chóng ta chia hai vế cho    x  Thế trước chia ta phải xét trường hợp x = (để đảm bảo    x   0) Khi ta thử x = vào vế trái thấy vế trái  chắn vế trái phân tích nhân tử (x – 2)  nhân tử (x – 2) chia cho    x  (vì hai có nghiệm x = 2) Thật vậy:   x – = –   x  1     x  1  x  1 Vậy nên ta chọn cách thuận lợi cho lời giải phân tích vế trái chứa nhân tử  3 x VT =    x  để giải ngắn gọn hơn!     x    x  x  2   x      x  1  3 x 1  3 x  1 x 1 3 x    Như chuyển vế ta thu hai nhân tử  3 x  1 x  1  x 3  x   m  3   x 1  3  x    x  và: Cái khó cịn lại xử lí nhân tử thứ hai: 3 x  1 x  1  x 3  x   m    m  1 x  3 x  1  x 3  x   (1) Xử lí phương trình khơng khó, thường ta đặt: 15| Trích đoạn tuyển tập 90 đề thi thử đại học mơn Tốn tập Nhà sách giáo dục LOVEBOOK Vươn tới hoàn hảo 1  x 3  x  t   x   x  t2    (1) gần xử lí Thế với bạn thục việc giải phương trình chọn cách khảo sát vế phải (1) để không thời gian biện luận theo ẩn t Bài giải: Điều kiện 1  x  Phương trình cho tương đương với: 3 x     x    x 1  3  x   3  m   x     x  1   x   x 1   x   3  m    x  1    x  1   x   x  1  x 3  x   m  3     x   m   x   x  1  x 3  x   (*) Phương trình cho có ba nghiệm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt khác   Xét hàm số f x   x   x     Với x  1;3 : f’ x  1x  1  x 3  x   1;3 3x  2x  2 1  x 3  x  f ’  x     x   x  2x   1 x  3 x   1 x   1 x  3 x 1  x  3 x   x  2 Bảng biến thiên: 16| Trích đoạn tuyển tập 90 đề thi thử đại học mơn Tốn tập 3 x  0 Nhà sách giáo dục LOVEBOOK x Vươn tới hoàn hảo –1 f ’(x) + − f(x) Dựa vào bảng biến thiên, kết hợp với điều kiện x  (và f  2   ) ta có  11  thể kết luận giá trị m cần tìm m  5;   2 2  3 Để sở hữu ấn phẩm này, bạn đặt hàng website: LOVEBOOK.VN: http://goo.gl/9XOXBc Hoặc form đăng ký sau: http://goo.gl/xKV0rO NHÀ SÁCH GIÁO DỤC VIỆT NAM LOVEBOOK.VN Địa chỉ: 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội SĐT: (04) 6686 0849 Email: lovebook.vn@gmail.com Website: http://lovebook.vn Facebook: http://www.facebook.com/lovebook.vn 17| Trích đoạn tuyển tập 90 đề thi thử đại học mơn Tốn tập ... tự đối chi? ??u với cách trình bày lời giải sách Đối với tập sách TUYỂN TẬP 90 ĐỀ THI THỬ bạn giảm bớt số lần trình bày chi tiết Ví dụ tập từ 4-5 đề lần, tập xuống -8 đề, tập 4, xuống – 10 đề lần... 2i ? ?1  ? ?1   i  1? ??  ? ?1 2 2 1 i     i    2i i 2 8| Trích đoạn tuyển tập 90 đề thi thử đại học mơn Tốn tập Nhà sách giáo dục LOVEBOOK Vươn tới hoàn hảo b) Định hướng, ý: Để làm toán. .. 1   Khơng tính tổng quát, giả sử M(x1; 3x1 + m) N(x2; 3x2 + m)   m 2 m   MN2 = 10 (x1 – x2)2 = 10  x1  x2   4x1 x2  = 10           5| Trích đoạn tuyển tập 90 đề thi