0

Tuyển tập các bài tập tích phân

44 1,163 0
  • Tuyển tập các bài tập tích phân

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 27/06/2015, 22:05

Trần Sĩ Tùng Tuyển tập các bài tập Tích phân TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức Câu 1. x I dx x x 2 2 2 1 7 12 = − + ∫ • I dx x x 2 1 16 9 1 4 3   = + −  ÷ − −   ∫ = ( ) x x x 2 1 16ln 4 9ln 3+ − − − = 1 25ln2 16ln3 + − . Câu 2. dx I x x 2 5 3 1 = + ∫ • Ta có: x x x x x x 3 2 3 2 1 1 1 ( 1) 1 = − + + + + ⇒ I x x x 2 2 2 1 1 3 1 3 ln ln( 1) ln2 ln5 2 2 2 8 1 2   = − − + + = − + +     Câu 3. x I dx x x x 5 2 3 2 4 3 1 2 5 6 + = − − + ∫ • I 2 4 13 7 14 ln ln ln2 3 3 15 6 5 = − + + Câu 4. xdx I x 1 0 3 ( 1) = + ∫ • Ta có: x x x x x x 2 3 3 3 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) − − + − = = + − + + + I x x dx 1 2 3 0 1 ( 1) ( 1) 8 − −   ⇒ = + − + =   ∫ Dạng 2: Đổi biến số Câu 5. x I dx x 2 4 ( 1) (2 1) − = + ∫ • Ta có: x x f x x x 2 1 1 1 ( ) . . 3 2 1 2 1 ′     − − =  ÷  ÷ + +     ⇒ x I C x 3 1 1 9 2 1   − = +  ÷ +   Câu 6. ( ) ( ) x I dx x 99 1 101 0 7 1 2 1 − = + ∫ • ( ) x dx x x I d x x x x 99 99 1 1 2 0 0 7 1 1 7 1 7 1 2 1 9 2 1 2 1 2 1       − − − = =  ÷  ÷  ÷ + + +       + ∫ ∫ x x 100 100 1 1 7 1 1 1 2 1 0 9 100 2 1 900   −   = × =  −   ÷ +   Câu 7. x I dx x 1 2 2 0 5 ( 4) = + ∫ • Đặt t x 2 4= + ⇒ I 1 8 = Câu 8. x I dx x 1 7 2 5 0 (1 ) = + ∫ • Đặt t x dt xdx 2 1 2= + ⇒ = ⇒ t I dt t 2 3 5 5 1 1 ( 1) 1 1 . 2 4 2 − = = ∫ Trang 1 Tuyển tập các bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Câu 9. I x x dx 1 5 3 6 0 (1 )= − ∫ • Đặt dt t t t x dt x dx dx I t t dt x 1 7 8 3 2 6 2 0 1 1 1 1 3 (1 ) 3 3 7 8 168 3   − = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = − = − =  ÷   ∫ Câu 10. I dx x x 4 3 4 1 1 ( 1) = + ∫ • Đặt t x 2 = ⇒ t I dt t t 3 2 1 1 1 1 3 ln 2 4 2 1   = − =  ÷ +   ∫ Câu 11. dx I x x 2 10 2 1 .( 1) = + ∫ • x dx I x x 2 4 5 10 2 1 . .( 1) = + ∫ . Đặt t x 5 = ⇒ dt I t t 32 2 2 1 1 5 ( 1) = + ∫ Câu 12. x I dx x x 2 7 7 1 1 (1 ) − = + ∫ • x x I dx x x 2 7 6 7 7 1 (1 ). .(1 ) − = + ∫ . Đặt t x 7 = ⇒ t I dt t t 128 1 1 1 7 (1 ) − = + ∫ Câu 13. dx I x x 3 6 2 1 (1 ) = + ∫ • Đặt : x t 1 = ⇒ t I dt t t dt t t 3 1 6 3 4 2 2 2 1 3 3 1 1 1 1   = − = − + −  ÷ + +   ∫ ∫ = 117 41 3 135 12 π − + Câu 14. x I dx x 2 2001 2 1002 1 . (1 ) = + ∫ • x I dx dx x x x x 2 2 2004 3 2 1002 1002 1 1 3 2 1 . . (1 ) 1 1 = = +   +  ÷   ∫ ∫ . Đặt t dt dx x x 2 3 1 2 1= + ⇒ = − . Cách 2: Ta có: x xdx I x x 1 2000 2 2000 2 2 0 1 .2 2 (1 ) (1 ) = + + ∫ . Đặt t x dt xdx 2 1 2= + ⇒ = ⇒ t I dt d t t t t 1000 2 2 1000 1000 2 1001 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 2 2 2002.2     − = = − − =  ÷  ÷     ∫ ∫ Câu 15. x I dx x 2 2 4 1 1 1 + = + ∫ • Ta có: x x x x x 2 2 4 2 2 1 1 1 1 1 + + = + + . Đặt t x dt dx x x 2 1 1 1   = − ⇒ = +  ÷   ⇒ dt I dt t t t 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2   = = −  ÷ − + −   ∫ ∫ t t 3 1 2 1 2 1 .ln ln 2 2 2 2 2 2 2 1 1   − − = =  ÷  ÷ + +   Trang 2 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập các bài tập Tích phân Câu 16. x I dx x 2 2 4 1 1 1 − = + ∫ • Ta có: x x x x x 2 2 4 2 2 1 1 1 1 1 − − = + + . Đặt t x dt dx x x 2 1 1 1   = + ⇒ = −  ÷   ⇒ dt I t 5 2 2 2 2 = − + ∫ . Đặt du t u dt u 2 2 tan 2 cos = ⇒ = ; u u u u 1 2 5 5 tan 2 arctan2; tan arctan 2 2 = ⇒ = = ⇒ = ⇒ u u I du u u 2 1 2 1 2 2 2 5 ( ) arctan arctan2 2 2 2 2   = = − = −  ÷   ∫ Câu 17. x I dx x x 2 2 3 1 1 − = + ∫ • Ta có: x I dx x x 2 2 1 1 1 1 − = + ∫ . Đặt t x x 1 = + ⇒ I 4 ln 5 = Câu 18. x I dx x 1 4 6 0 1 1 + = + ∫ • Ta có: x x x x x x x x x x x x x x x x 4 4 2 2 4 2 2 2 6 6 2 4 2 6 2 6 1 ( 1) 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 1 + − + + − + = = + = + + + + − + + + + ⇒ d x I dx dx x x 1 1 3 2 3 2 0 0 1 1 ( ) 1 . 3 4 3 4 3 1 ( ) 1 π π π = + = + = + + ∫ ∫ Câu 19. x I dx x 3 2 3 4 0 1 = − ∫ • x I dx dx x x x x 3 3 2 3 3 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 ln(2 3) 2 4 12 ( 1)( 1) 1 1 π   = = + = − +  ÷ − + − +   ∫ ∫ Câu 20. xdx I x x 1 4 2 0 1 = + + ∫ . • Đặt t x 2 = ⇒ dt dt I t t t 1 1 2 2 2 0 0 1 1 2 2 6 3 1 1 3 2 2 π = = = + +     + +  ÷  ÷     ∫ ∫ Câu 21. x I dx x x 1 5 2 2 4 2 1 1 1 + + = − + ∫ • Ta có: x x x x x x 2 2 4 2 2 2 1 1 1 1 1 1 + + = − + + − . Đặt t x dt dx x x 2 1 1 1   = − ⇒ = +  ÷   ⇒ dt I t 1 2 0 1 = + ∫ . Đặt du t u dt u 2 tan cos = ⇒ = ⇒ I du 4 0 4 π π = = ∫ Trang 3 Tuyển tập các bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 Câu 22. x I dx x x 2 3 9 1 = + − ∫ • x I dx x x x dx x dx x x dx x x 2 2 2 2 (3 9 1) 3 9 1 3 9 1 = = − − = − − + − ∫ ∫ ∫ ∫ + I x dx x C 2 3 1 1 3= = + ∫ + I x x dx 2 2 9 1= − ∫ x d x x C 3 2 2 2 2 2 1 1 9 1 (9 1) (9 1) 18 27 = − − = − + ∫ ⇒ I x x C 3 2 3 2 1 (9 1) 27 = − + + Câu 23. x x I dx x x 2 1 + = + ∫ • x x dx x x 2 1 + + ∫ x x dx dx x x x x 2 1 1 = + + + ∫ ∫ . + x I dx x x 2 1 1 = + ∫ . Đặt t= x x t x x 2 1 1+ ⇔ − = x t 3 2 2 ( 1)⇔ = − x dx t t dt 2 2 4 ( 1) 3 ⇔ = − ⇒ t dt t t C 2 3 4 4 4 ( 1) 3 9 3 − = − + ∫ = ( ) x x x x C 3 1 4 4 1 1 9 3 + − + + + x I dx x x 2 1 = + ∫ = d x x x x 2 (1 ) 3 1 + + ∫ = x x C 2 4 1 3 + + Vậy: ( ) I x x C 3 4 1 9 = + + Câu 24. x I dx x 4 0 2 1 1 2 1 + = + + ∫ • Đặt t x2 1= + . I = t dt t 3 2 1 2 ln2 1 = + + ∫ . Câu 25. dx I x x 6 2 2 1 4 1 = + + + ∫ • Đặt t x4 1= + . I 3 1 ln 2 12 = − Câu 26. I x x dx 1 3 2 0 1= − ∫ • Đặt: t x 2 1= − ⇒ ( ) I t t dt 1 2 4 0 2 15 = − = ∫ . Câu 27. x I dx x 1 0 1 1 + = + ∫ • Đặt t x= ⇒ dx t dt2 . = . I = t t dt t 1 3 0 2 1 + + ∫ = t t dt t 1 2 0 2 2 2 1   − + −  ÷ +   ∫ = 11 4ln2 3 − . Câu 28. x I dx x x 3 0 3 3 1 3 − = + + + ∫ Trang 4 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập các bài tập Tích phân • Đặt t x tdu dx1 2= + ⇒ = ⇒ t t I dt t dt dt t t t 2 2 2 3 2 1 1 1 2 8 1 (2 6) 6 1 3 2 − = = − + + + + ∫ ∫ ∫ 3 3 6ln 2 = − + Câu 29. I x x dx 0 3 1 . 1 − = + ∫ • Đặt t t t x t x dx t dt I t dt 1 1 7 4 3 2 3 3 0 0 9 1 1 3 3( 1) 3 7 4 28   = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = − = − = −  ÷   ∫ Câu 30. x I dx x x 5 2 1 1 3 1 + = + ∫ • Đặt tdt t x dx 2 3 1 3 = + ⇒ = ⇒ t tdt I t t 2 2 4 2 2 1 1 3 2 . 3 1 . 3   − +  ÷  ÷   = − ∫ dt t dt t 4 4 2 2 2 2 2 ( 1) 2 9 1 = − + − ∫ ∫ t t t t 3 4 4 2 1 1 100 9 ln ln . 9 3 1 27 5 2 2   − = − + = +  ÷ +   Câu 31. x x I dx x 3 2 0 2 1 1 + − = + ∫ • Đặt x t x t 2 1 1+ = ⇔ = − ⇒ dx tdt2 = ⇒ t t t I tdt t t dt t t 2 2 2 2 2 2 5 4 2 3 1 1 1 2( 1) ( 1) 1 4 54 2 2 (2 3 ) 2 5 5   − + − − = = − = − =  ÷   ∫ ∫ Câu 32. x dx I x x 1 2 0 2 ( 1) 1 = + + ∫ • Đặt t x t x tdt dx 2 1 1 2= + ⇒ = + ⇒ = t t I tdt t dt t t t t 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 1 ( 1) 1 1 16 11 2 .2 2 2 2 3 3     − − ⇒ = = − = − − =  ÷  ÷     ∫ ∫ Câu 33. ( ) x I dx x 4 2 0 1 1 1 2 + = + + ∫ • Đặt dx t x dt dx t dt x 1 1 2 ( 1) 1 2 = + + ⇒ = ⇒ = − + và t t x 2 2 2 − = Ta có: I = t t t t t t dt dt t dt t t t t 4 4 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 2 2)( 1) 1 3 4 2 1 4 2 3 2 2 2   − + − − + − = = − + −  ÷   ∫ ∫ ∫ = t t t t 2 1 2 3 4ln 2 2   − + +  ÷  ÷   = 1 2ln2 4 − Câu 34. x I dx x 8 2 3 1 1 − = + ∫ Trang 5 Tuyển tập các bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng • x I dx x x 8 2 2 3 1 1 1   = −  ÷  ÷ + +   ∫ = ( ) x x x 8 2 2 3 1 ln 1   + − + +   = ( ) ( ) 1 ln 3 2 ln 8 3+ + − + Câu 35. I x x x dx 1 3 2 0 ( 1) 2= − − ∫ • I x x x dx x x x x x dx 1 1 3 2 2 2 0 0 ( 1) 2 ( 2 1) 2 ( 1)= − − = − + − − ∫ ∫ . Đặt t x x 2 2= − ⇒ I 2 15 = − . Câu 36. x x x I dx x x 2 3 2 2 0 2 3 1 − + = − + ∫ • x x x I dx x x 2 2 2 0 ( )(2 1) 1 − − = − + ∫ . Đặt t x x 2 1= − + I t dt 3 2 1 4 2 ( 1) 3 ⇒ = − = ∫ . Câu 37. x dx I x 2 3 3 2 0 4 = + ∫ • Đặt t x x t xdx t dt 3 2 2 3 2 4 4 2 3= + ⇒ = − ⇒ = ⇒ I t t dt 3 2 4 3 4 3 3 8 ( 4 ) 4 2 2 2 5   = − = − +  ÷   ∫ Câu 38. dx I x x 1 2 11 1− = + + + ∫ • Ta có: x x x x I dx dx x x x 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 (1 ) (1 ) − − + − + + − + = = + − + ∫ ∫ x dx dx x x 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 − −   + = + −  ÷   ∫ ∫ + I dx x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln | 1 2 2 − −     = + = + =  ÷     ∫ + x I dx x 1 2 2 1 1 2 − + = ∫ . Đặt t x t x tdt xdx 2 2 2 1 1 2 2= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ I 2 = t dt t 2 2 2 2 0 2( 1) = − ∫ Vậy: I 1 = . Cách 2: Đặt t x x 2 1= + + . Câu 39. ( ) x x I dx x 1 3 3 1 4 1 3 − = ∫ • Ta có: I dx x x 1 1 3 2 3 1 3 1 1 1 .   = −  ÷   ∫ . Đặt t x 2 1 1= − ⇒ I 6= . Câu 40. x I dx x 2 2 1 4 − = ∫ • Ta có: x I xdx x 2 2 2 1 4 − = ∫ . Đặt t = x t x tdt xdx 2 2 2 4 4− ⇒ = − ⇒ = − ⇒ I = t tdt t t dt dt t t t t t 0 0 0 0 2 2 2 2 3 3 3 3 ( ) 4 2 (1 ) ln 2 4 4 4   − − = = + = +  ÷ + − − −   ∫ ∫ ∫ = 2 3 3 ln 2 3   −  ÷ − +  ÷ +   Trang 6 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập các bài tập Tích phân Câu 41. x I dx x x 2 5 2 2 2 ( 1) 5 = + + ∫ • Đặt t x 2 5= + ⇒ dt I t 5 2 3 1 15 ln 4 7 4 = = − ∫ . Câu 42. x I dx x x 27 3 2 1 2− = + ∫ • Đặt t x 6 = ⇒ t t I dt dt t t t t t 3 3 3 2 2 2 1 1 2 2 2 1 5 5 1 ( 1) 1 1   − = = − + −   + + +   ∫ ∫ 2 5 5 3 1 ln 3 12 π   = − + −  ÷   Câu 43. I dx x x 1 2 0 1 1 = + + ∫ • Đặt t x x x 2 1= + + + ⇒ dt I t t 1 3 1 3 1 1 2 3 2 3 ln(2 1) ln 2 1 3 + + + = = + = + ∫ Câu 44. x I dx x x 3 2 2 2 0 (1 1 ) (2 1 ) = + + + + ∫ • Đặt x t2 1+ + = ⇒ I t dt t t 4 2 3 42 36 4 2 16 12 42ln 3   = − + − = − +  ÷   ∫ Câu 45. x I dx x x x x 3 2 0 2( 1) 2 1 1 = + + + + + ∫ • Đặt t x 1= + ⇒ t t dt I t dt t t 2 2 2 2 2 2 1 1 2 ( 1) 2 ( 1) ( 1) − = = − + ∫ ∫ t 2 3 1 2 2 ( 1) 3 3 = − = Câu 46. x x x I dx x 3 2 2 3 4 1 2011− + = ∫ • Ta có: x I dx dx M N x x 3 2 2 2 2 2 3 3 1 1 1 1 2011 − = + = + ∫ ∫ x M dx x 3 2 2 2 3 1 1 1− = ∫ . Đặt t x 3 2 1 1= − ⇒ M t dt 3 7 3 2 3 0 3 21 7 2 128 − = − = − ∫ N dx x dx x x 2 2 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 2011 2011 14077 2011 16 2 −   = = = − =     ∫ ∫ ⇒ I 3 14077 21 7 16 128 = − . Câu 47. dx I x x 1 3 3 3 0 (1 ). 1 = + + ∫ • Đặt t x 3 3 1= + ⇒ t dt I dt t t t t 3 3 2 2 2 2 2 1 1 4 3 2 3 3 3 .( 1) .( 1) = = − − ∫ ∫ Trang 7 Tuyển tập các bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng dt dt t dt t t t t t t 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 4 1 1 1 3 3 4 2 3 3 3 1 1 1 1 1 . 1 −   −  ÷   = = =       − −  ÷    ÷       ∫ ∫ ∫ Đặt dt u du t t 3 4 1 3 1= − ⇒ = ⇒ u u I du u du u 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 3 3 3 3 3 0 0 0 0 1 1 1 1 3 3 3 2 3 − −    ÷ = = = = =  ÷  ÷  ÷   ∫ ∫ Câu 48. x I dx x x x 2 2 4 2 3 1 1 =   − +  ÷   ∫ • Đặt t x 2 1= + ⇒ t I dt t 3 2 2 2 2 ( 1) 2 − = − ∫ = t t dt t dt dt t t 3 3 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 19 2 4 2 ln 3 4 4 2 2 2   − + + = + = +  ÷  ÷ − − −   ∫ ∫ ∫ Dạng 2: Đổi biến số dạng 2 Câu 49. ( ) x I x x dx x 1 0 1 2 ln 1 1   −  ÷ = − +  ÷ +   ∫ • Tính x H dx x 1 0 1 1 − = + ∫ . Đặt x t tcos ; 0; 2 π   = ∈     ⇒ H 2 2 π = − • Tính K x x dx 1 0 2 ln(1 )= + ∫ . Đặt u x dv xdx ln(1 ) 2  = +  =  ⇒ K 1 2 = Câu 50. I x x x dx 2 5 2 2 2 ( ) 4 − = + − ∫ • I = x x x dx 2 5 2 2 2 ( ) 4 − + − ∫ = x x dx 2 5 2 2 4 − − ∫ + x x dx 2 2 2 2 4 − − ∫ = A + B. + Tính A = x x dx 2 5 2 2 4 − − ∫ . Đặt t x= − . Tính được: A = 0. + Tính B = x x dx 2 2 2 2 4 − − ∫ . Đặt x t2sin= . Tính được: B = 2 π . Vậy: I 2 π = . Trang 8 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập các bài tập Tích phân Câu 51. ( ) x dx I x 2 2 4 1 3 4 2 − − = ∫ • Ta có: x I dx dx x x 2 2 2 4 4 1 1 3 4 2 2 − = − ∫ ∫ . + Tính I 1 = dx x 2 4 1 3 2 ∫ = x dx 2 4 1 3 7 2 16 − = ∫ . + Tính x I dx x 2 2 2 4 1 4 2 − = ∫ . Đặt x t dx tdt2sin 2cos= ⇒ = . ⇒ tdt I t dt t d t t t 2 2 2 2 2 2 2 4 2 6 6 6 1 cos 1 1 1 3 cot cot . (cot ) 8 8 8 8 sin sin π π π π π π   = = = − =  ÷   ∫ ∫ ∫ Vậy: ( ) I 1 7 2 3 16 = − . Câu 52. x dx I x 1 2 6 0 4 = − ∫ • Đặt t x dt x dx 3 2 3= ⇒ = ⇒ dt I t 1 2 0 1 3 4 = − ∫ . Đặt t u u dt udu2sin , 0; 2cos 2 π   = ∈ ⇒ =     ⇒ I dt 6 0 1 3 18 π π = = ∫ . Câu 53. x I dx x 2 0 2 2 − = + ∫ • Đặt x t dx tdt2cos 2sin = ⇒ = − ⇒ t I dt 2 2 0 4 sin 2 2 π π = = − ∫ . Câu 54. x dx I x x 1 2 2 0 3 2 = + − ∫ • Ta có: x dx I x 1 2 2 2 0 2 ( 1) = − − ∫ . Đặt x t1 2cos − = . ⇒ t t I dt t 2 2 2 2 3 (1 2cos ) 2sin 4 (2cos ) π π + = − − ∫ = ( ) t t dt 2 3 2 3 4cos 2cos2 π π + + ∫ = 3 3 4 2 2 π + − Câu 55. x x dx 1 2 2 0 1 2 1− − ∫ • Đặt x tsin = ⇒ I t t tdt 6 0 3 1 (cos sin )cos 12 8 8 π π = − = + − ∫ Trang 9 Tuyển tập các bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Dạng 3: Tích phân từng phần Câu 56. I x dx 3 2 2 1= − ∫ • Đặt x du dx u x x dv dx v x 2 2 1 1   =   = − ⇒   − =    =  x I x x x dx x dx x x 3 3 2 2 2 2 2 2 3 1 1 . 5 2 1 2 1 1   ⇒ = − − = − − +     − −   ∫ ∫ dx x dx x 3 3 2 2 2 2 5 2 1 1 = − − − − ∫ ∫ I x x 2 3 2 5 2 ln 1= − − + − ⇒ ( ) I 5 2 1 ln 2 1 ln2 2 4 = − + + Chú ý: Không được dùng phép đổi biến x t 1 cos = vì [ ] 2;3 1;1   ∉ −   Trang 10 [...]... +2 dx Đặt t = sin x − cos x ⇒ I = − 1 2 2(1 + tan2 u) 1 1 du = − arctan 2 2 2 tan u + 2 2 Trang 24 1 1 1 dt ∫ 2 t2 + 2 0 du Trần Sĩ Tùng Tuyển tập các bài tập Tích phân Dạng 4: Tích phân từng phần π 3 x sin x ∫ Câu 118 I = −π 3 cos2 x dx • Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có: I= π 3 ∫ − π 3  1  x xd  ÷=  cos x  cos x π 3 − π 3 − π 3 ∫ − π 3 dx 4π = − J , với J = cos x 3 Để tính J ta đặt...Trần Sĩ Tùng Tuyển tập các bài tập Tích phân TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Biến đổi lượng giác Câu 57 I = ∫ 8cos2 x − sin 2 x − 3 dx sin x − cos x (sin x − cos x )2 + 4 cos2 x dx = ∫ ( sin x − cos x − 4(sin x + cos x ) dx... 2 x  0 2 0 1 + sin 2 x π 4 ∫ 0 1 2 cos2  x − π   4÷   π  π 1 1 π π 1 2 π =− + tan  x − ÷ 4 = − + ( 0 + 1) = 42 − 16 16 2 2 4 16 2 2  0 Trang 25 1 dx 2− 3 2+ 3 Tuyển tập các bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng TP4: TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ - LOGARIT Dạng 1: Đổi biến số e2 x Câu 121 I = ∫ 1+ e dx x • Đặt t = e x ⇒ e x = t 2 ⇒ e x dx = 2tdt 2 3 2 2 x x t3 x x x ⇒ I = 2∫ dt = t − t + 2t − 2 ln t +... − t )dt = 1 3 3 3 • Đặt t = 2 + ln2 x ⇒ I =  34 − 24    8 e xe x + 1 dx Câu 150 I = ∫ x(e x + ln x) 1 2 • Đặt t = e x + ln x ⇒ I = ln Trang 30 ee + 1 e 4 2 −5 3 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập các bài tập Tích phân Dạng 2: Tích phân từng phần Câu 151 I = π 2 ∫e s inx sin 2 xdx 0 π 2 u = sin x du = cos xdx ⇒ • I = 2 es inx sin x cos xdx Đặt  sin x cos xdx v = esin x ∫ dv = e 0 ⇒I π sin x 2 = 2sin... ∫ 1 1 x e x e dx = ee +1 x 1 Vậy: I = I1 + I 2 + ∫ Trang 31 x e 1 e − ∫ e x dx = ee (e − 1) 1 Tuyển tập các bài tập Tích phân e  Trần Sĩ Tùng  + ln2 x ÷dx  1  x 1 + ln x ln x Câu 155 I = ∫  e ln x dx Đặt t = 1 + ln x ⇒ I = 4 − 2 2 1 3 3 1 x 1 + ln x • Tính I1 = ∫ e 2 + Tính I 2 = ∫ ln xdx Lấy tích phân từng phần 2 lần được I 2 = e − 2 1 2 2 2 − 3 3 2 ln( x 2 + 1) dx Câu 156 I = ∫ x3 1 Vậy... e 2 − K x 2 1 2 5 2 3 e 2 4 ∫ 2 Câu 164 I = ln( x + 9 − x )dx 0 ( )  2  • Đặt u = ln x + 9 − x ⇒ I = x ln dv = dx  ( x 2 + 9 − x) Trang 33 4 0 4 +∫ 0 x x2 + 9 dx = 2 Tuyển tập các bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ 1 3 2 x Câu 165 I = ∫  x e +  0 1 x  ÷dx ÷ 1+ x  4 1 3 4 2 x • I = ∫ x e dx + ∫ x dx 01+ x 0 1 11 t 1 t1 1 1 + Tính I1 = ∫ x e dx Đặt t = x... cos2 xdx 0 Trang 16 ∫ sin x 2 −0 cos 7π − 3 −1 12   π π 2 1 1 Đặt t = cos  x + ÷ ⇒ dt = − sin  x + ÷dx ⇒ I = 1 ∫ 1 − t 2 dt = 4 ln 3 3 3   20 π 2 π 4 x sin x dx Trần Sĩ Tùng •I= Tuyển tập các bài tập Tích phân π 2 ∫ sin x − 3 cos x dx = I = 0 Câu 86 I = π 2 π 3 ∫ sin x − 3 cos x dx + 0 π 2 ∫ sin x − π 3 3 cos x dx = 3 − 3 sin xdx ∫ (sin x + cos x )3 0 π • Đặt x = − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = 2 ⇒ 2I... (cos x + sin x ) 0 (sin x + cos x ) π Câu 89 I = ∫ x sin x 2 0 1 + cos x dx π • Đặt x = π − t ⇒ dx = − dt ⇒ I = ∫ 0 (π − t )sin t 2 1 + cos t π dt = π ∫ Trang 17 sin t 0 1 + cos 2 t dt − I Tuyển tập các bài tập Tích phân π π Trần Sĩ Tùng π π  π2 ⇒ 2I = π ∫ dt = −π ∫ = π  + ÷⇒ I = 2 2 4 4 8 0 1 + cos t 0 1 + cos t Câu 90 I = π 2 sin t d (cos t ) cos4 x sin x ∫ cos3 x + sin3 x dx 0 0 4 sin t cos t... có: cos2 x = 4 − t 2 và dt = dx = π 3 ∫ 0 sin x.cos x cos2 x 3 + sin 2 x dx = Trang 18 15 2 ∫ 3 dt = 1 4 − t2 4 sin x cos x 2 3 + sin x 15 2  ∫ 3 dx 1 1  − dt  ÷ t+2 t−2 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập các bài tập Tích phân 15 2 = 1 ln t + 2 4 t−2 3 2π 3 π 3 sin3 x + sin 2 x x • I =∫ 1 15 + 4  ln − ln 4 15 − 4  x + ( x + sin x )sin x Câu 94 I = ∫ 2π 3 π 3 = 2π 3 π 3 3+2  ÷ = 1 ln ( 15 + 4 ) − ln (... ∫ π 3 • I = 2∫ π 6 ⇒ 2 2 I= 2 cot x 2 sin x (1 + cot x ) 3 +1 ∫ 3 +1 dx Đặt 1 + cot x = t ⇒ t −1 dt = 2 ( t − ln t ) t 3 +1 3 +1 3 1 sin 2 x dx = −dt  2  = 2 − ln 3 ÷  3  3 Trang 19 Tuyển tập các bài tập Tích phân Câu 98 I = π 3 Trần Sĩ Tùng dx ∫ sin2 x.cos4 x π 4 π 3 • Ta có: I = 4 ∫ π 4 dx 2 2 sin 2 x.cos x Đặt t = tan x ⇒ dx = dt 1 + t2 2 2 3 3 3 ⇒ I = ∫ (1 + t ) dt = ∫ ( 1 + 2 + t 2 )dt = . Trần Sĩ Tùng Tuyển tập các bài tập Tích phân TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức Câu 1. x I dx x x 2 2 2 1 7 12 = − + ∫ • I dx x. Đặt du t u dt u 2 tan cos = ⇒ = ⇒ I du 4 0 4 π π = = ∫ Trang 3 Tuyển tập các bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 Câu 22. x I dx x x 2 3. ⇒ I t t tdt 6 0 3 1 (cos sin )cos 12 8 8 π π = − = + − ∫ Trang 9 Tuyển tập các bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Dạng 3: Tích phân từng phần Câu 56. I x dx 3 2 2 1= − ∫ • Đặt x du dx u x x dv
- Xem thêm -

Xem thêm: Tuyển tập các bài tập tích phân, Tuyển tập các bài tập tích phân,