Thông tin tài liệu
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập các bài tập Tích phân TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức Câu 1. x I dx x x 2 2 2 1 7 12 = − + ∫ • I dx x x 2 1 16 9 1 4 3 = + − ÷ − − ∫ = ( ) x x x 2 1 16ln 4 9ln 3+ − − − = 1 25ln2 16ln3 + − . Câu 2. dx I x x 2 5 3 1 = + ∫ • Ta có: x x x x x x 3 2 3 2 1 1 1 ( 1) 1 = − + + + + ⇒ I x x x 2 2 2 1 1 3 1 3 ln ln( 1) ln2 ln5 2 2 2 8 1 2 = − − + + = − + + Câu 3. x I dx x x x 5 2 3 2 4 3 1 2 5 6 + = − − + ∫ • I 2 4 13 7 14 ln ln ln2 3 3 15 6 5 = − + + Câu 4. xdx I x 1 0 3 ( 1) = + ∫ • Ta có: x x x x x x 2 3 3 3 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) − − + − = = + − + + + I x x dx 1 2 3 0 1 ( 1) ( 1) 8 − − ⇒ = + − + = ∫ Dạng 2: Đổi biến số Câu 5. x I dx x 2 4 ( 1) (2 1) − = + ∫ • Ta có: x x f x x x 2 1 1 1 ( ) . . 3 2 1 2 1 ′ − − = ÷ ÷ + + ⇒ x I C x 3 1 1 9 2 1 − = + ÷ + Câu 6. ( ) ( ) x I dx x 99 1 101 0 7 1 2 1 − = + ∫ • ( ) x dx x x I d x x x x 99 99 1 1 2 0 0 7 1 1 7 1 7 1 2 1 9 2 1 2 1 2 1 − − − = = ÷ ÷ ÷ + + + + ∫ ∫ x x 100 100 1 1 7 1 1 1 2 1 0 9 100 2 1 900 − = × = − ÷ + Câu 7. x I dx x 1 2 2 0 5 ( 4) = + ∫ • Đặt t x 2 4= + ⇒ I 1 8 = Câu 8. x I dx x 1 7 2 5 0 (1 ) = + ∫ • Đặt t x dt xdx 2 1 2= + ⇒ = ⇒ t I dt t 2 3 5 5 1 1 ( 1) 1 1 . 2 4 2 − = = ∫ Trang 1 Tuyển tập các bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Câu 9. I x x dx 1 5 3 6 0 (1 )= − ∫ • Đặt dt t t t x dt x dx dx I t t dt x 1 7 8 3 2 6 2 0 1 1 1 1 3 (1 ) 3 3 7 8 168 3 − = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = − = − = ÷ ∫ Câu 10. I dx x x 4 3 4 1 1 ( 1) = + ∫ • Đặt t x 2 = ⇒ t I dt t t 3 2 1 1 1 1 3 ln 2 4 2 1 = − = ÷ + ∫ Câu 11. dx I x x 2 10 2 1 .( 1) = + ∫ • x dx I x x 2 4 5 10 2 1 . .( 1) = + ∫ . Đặt t x 5 = ⇒ dt I t t 32 2 2 1 1 5 ( 1) = + ∫ Câu 12. x I dx x x 2 7 7 1 1 (1 ) − = + ∫ • x x I dx x x 2 7 6 7 7 1 (1 ). .(1 ) − = + ∫ . Đặt t x 7 = ⇒ t I dt t t 128 1 1 1 7 (1 ) − = + ∫ Câu 13. dx I x x 3 6 2 1 (1 ) = + ∫ • Đặt : x t 1 = ⇒ t I dt t t dt t t 3 1 6 3 4 2 2 2 1 3 3 1 1 1 1 = − = − + − ÷ + + ∫ ∫ = 117 41 3 135 12 π − + Câu 14. x I dx x 2 2001 2 1002 1 . (1 ) = + ∫ • x I dx dx x x x x 2 2 2004 3 2 1002 1002 1 1 3 2 1 . . (1 ) 1 1 = = + + ÷ ∫ ∫ . Đặt t dt dx x x 2 3 1 2 1= + ⇒ = − . Cách 2: Ta có: x xdx I x x 1 2000 2 2000 2 2 0 1 .2 2 (1 ) (1 ) = + + ∫ . Đặt t x dt xdx 2 1 2= + ⇒ = ⇒ t I dt d t t t t 1000 2 2 1000 1000 2 1001 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 2 2 2002.2 − = = − − = ÷ ÷ ∫ ∫ Câu 15. x I dx x 2 2 4 1 1 1 + = + ∫ • Ta có: x x x x x 2 2 4 2 2 1 1 1 1 1 + + = + + . Đặt t x dt dx x x 2 1 1 1 = − ⇒ = + ÷ ⇒ dt I dt t t t 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 = = − ÷ − + − ∫ ∫ t t 3 1 2 1 2 1 .ln ln 2 2 2 2 2 2 2 1 1 − − = = ÷ ÷ + + Trang 2 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập các bài tập Tích phân Câu 16. x I dx x 2 2 4 1 1 1 − = + ∫ • Ta có: x x x x x 2 2 4 2 2 1 1 1 1 1 − − = + + . Đặt t x dt dx x x 2 1 1 1 = + ⇒ = − ÷ ⇒ dt I t 5 2 2 2 2 = − + ∫ . Đặt du t u dt u 2 2 tan 2 cos = ⇒ = ; u u u u 1 2 5 5 tan 2 arctan2; tan arctan 2 2 = ⇒ = = ⇒ = ⇒ u u I du u u 2 1 2 1 2 2 2 5 ( ) arctan arctan2 2 2 2 2 = = − = − ÷ ∫ Câu 17. x I dx x x 2 2 3 1 1 − = + ∫ • Ta có: x I dx x x 2 2 1 1 1 1 − = + ∫ . Đặt t x x 1 = + ⇒ I 4 ln 5 = Câu 18. x I dx x 1 4 6 0 1 1 + = + ∫ • Ta có: x x x x x x x x x x x x x x x x 4 4 2 2 4 2 2 2 6 6 2 4 2 6 2 6 1 ( 1) 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 1 + − + + − + = = + = + + + + − + + + + ⇒ d x I dx dx x x 1 1 3 2 3 2 0 0 1 1 ( ) 1 . 3 4 3 4 3 1 ( ) 1 π π π = + = + = + + ∫ ∫ Câu 19. x I dx x 3 2 3 4 0 1 = − ∫ • x I dx dx x x x x 3 3 2 3 3 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 ln(2 3) 2 4 12 ( 1)( 1) 1 1 π = = + = − + ÷ − + − + ∫ ∫ Câu 20. xdx I x x 1 4 2 0 1 = + + ∫ . • Đặt t x 2 = ⇒ dt dt I t t t 1 1 2 2 2 0 0 1 1 2 2 6 3 1 1 3 2 2 π = = = + + + + ÷ ÷ ∫ ∫ Câu 21. x I dx x x 1 5 2 2 4 2 1 1 1 + + = − + ∫ • Ta có: x x x x x x 2 2 4 2 2 2 1 1 1 1 1 1 + + = − + + − . Đặt t x dt dx x x 2 1 1 1 = − ⇒ = + ÷ ⇒ dt I t 1 2 0 1 = + ∫ . Đặt du t u dt u 2 tan cos = ⇒ = ⇒ I du 4 0 4 π π = = ∫ Trang 3 Tuyển tập các bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 Câu 22. x I dx x x 2 3 9 1 = + − ∫ • x I dx x x x dx x dx x x dx x x 2 2 2 2 (3 9 1) 3 9 1 3 9 1 = = − − = − − + − ∫ ∫ ∫ ∫ + I x dx x C 2 3 1 1 3= = + ∫ + I x x dx 2 2 9 1= − ∫ x d x x C 3 2 2 2 2 2 1 1 9 1 (9 1) (9 1) 18 27 = − − = − + ∫ ⇒ I x x C 3 2 3 2 1 (9 1) 27 = − + + Câu 23. x x I dx x x 2 1 + = + ∫ • x x dx x x 2 1 + + ∫ x x dx dx x x x x 2 1 1 = + + + ∫ ∫ . + x I dx x x 2 1 1 = + ∫ . Đặt t= x x t x x 2 1 1+ ⇔ − = x t 3 2 2 ( 1)⇔ = − x dx t t dt 2 2 4 ( 1) 3 ⇔ = − ⇒ t dt t t C 2 3 4 4 4 ( 1) 3 9 3 − = − + ∫ = ( ) x x x x C 3 1 4 4 1 1 9 3 + − + + + x I dx x x 2 1 = + ∫ = d x x x x 2 (1 ) 3 1 + + ∫ = x x C 2 4 1 3 + + Vậy: ( ) I x x C 3 4 1 9 = + + Câu 24. x I dx x 4 0 2 1 1 2 1 + = + + ∫ • Đặt t x2 1= + . I = t dt t 3 2 1 2 ln2 1 = + + ∫ . Câu 25. dx I x x 6 2 2 1 4 1 = + + + ∫ • Đặt t x4 1= + . I 3 1 ln 2 12 = − Câu 26. I x x dx 1 3 2 0 1= − ∫ • Đặt: t x 2 1= − ⇒ ( ) I t t dt 1 2 4 0 2 15 = − = ∫ . Câu 27. x I dx x 1 0 1 1 + = + ∫ • Đặt t x= ⇒ dx t dt2 . = . I = t t dt t 1 3 0 2 1 + + ∫ = t t dt t 1 2 0 2 2 2 1 − + − ÷ + ∫ = 11 4ln2 3 − . Câu 28. x I dx x x 3 0 3 3 1 3 − = + + + ∫ Trang 4 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập các bài tập Tích phân • Đặt t x tdu dx1 2= + ⇒ = ⇒ t t I dt t dt dt t t t 2 2 2 3 2 1 1 1 2 8 1 (2 6) 6 1 3 2 − = = − + + + + ∫ ∫ ∫ 3 3 6ln 2 = − + Câu 29. I x x dx 0 3 1 . 1 − = + ∫ • Đặt t t t x t x dx t dt I t dt 1 1 7 4 3 2 3 3 0 0 9 1 1 3 3( 1) 3 7 4 28 = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = − = − = − ÷ ∫ Câu 30. x I dx x x 5 2 1 1 3 1 + = + ∫ • Đặt tdt t x dx 2 3 1 3 = + ⇒ = ⇒ t tdt I t t 2 2 4 2 2 1 1 3 2 . 3 1 . 3 − + ÷ ÷ = − ∫ dt t dt t 4 4 2 2 2 2 2 ( 1) 2 9 1 = − + − ∫ ∫ t t t t 3 4 4 2 1 1 100 9 ln ln . 9 3 1 27 5 2 2 − = − + = + ÷ + Câu 31. x x I dx x 3 2 0 2 1 1 + − = + ∫ • Đặt x t x t 2 1 1+ = ⇔ = − ⇒ dx tdt2 = ⇒ t t t I tdt t t dt t t 2 2 2 2 2 2 5 4 2 3 1 1 1 2( 1) ( 1) 1 4 54 2 2 (2 3 ) 2 5 5 − + − − = = − = − = ÷ ∫ ∫ Câu 32. x dx I x x 1 2 0 2 ( 1) 1 = + + ∫ • Đặt t x t x tdt dx 2 1 1 2= + ⇒ = + ⇒ = t t I tdt t dt t t t t 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 1 ( 1) 1 1 16 11 2 .2 2 2 2 3 3 − − ⇒ = = − = − − = ÷ ÷ ∫ ∫ Câu 33. ( ) x I dx x 4 2 0 1 1 1 2 + = + + ∫ • Đặt dx t x dt dx t dt x 1 1 2 ( 1) 1 2 = + + ⇒ = ⇒ = − + và t t x 2 2 2 − = Ta có: I = t t t t t t dt dt t dt t t t t 4 4 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 2 2)( 1) 1 3 4 2 1 4 2 3 2 2 2 − + − − + − = = − + − ÷ ∫ ∫ ∫ = t t t t 2 1 2 3 4ln 2 2 − + + ÷ ÷ = 1 2ln2 4 − Câu 34. x I dx x 8 2 3 1 1 − = + ∫ Trang 5 Tuyển tập các bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng • x I dx x x 8 2 2 3 1 1 1 = − ÷ ÷ + + ∫ = ( ) x x x 8 2 2 3 1 ln 1 + − + + = ( ) ( ) 1 ln 3 2 ln 8 3+ + − + Câu 35. I x x x dx 1 3 2 0 ( 1) 2= − − ∫ • I x x x dx x x x x x dx 1 1 3 2 2 2 0 0 ( 1) 2 ( 2 1) 2 ( 1)= − − = − + − − ∫ ∫ . Đặt t x x 2 2= − ⇒ I 2 15 = − . Câu 36. x x x I dx x x 2 3 2 2 0 2 3 1 − + = − + ∫ • x x x I dx x x 2 2 2 0 ( )(2 1) 1 − − = − + ∫ . Đặt t x x 2 1= − + I t dt 3 2 1 4 2 ( 1) 3 ⇒ = − = ∫ . Câu 37. x dx I x 2 3 3 2 0 4 = + ∫ • Đặt t x x t xdx t dt 3 2 2 3 2 4 4 2 3= + ⇒ = − ⇒ = ⇒ I t t dt 3 2 4 3 4 3 3 8 ( 4 ) 4 2 2 2 5 = − = − + ÷ ∫ Câu 38. dx I x x 1 2 11 1− = + + + ∫ • Ta có: x x x x I dx dx x x x 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 (1 ) (1 ) − − + − + + − + = = + − + ∫ ∫ x dx dx x x 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 − − + = + − ÷ ∫ ∫ + I dx x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln | 1 2 2 − − = + = + = ÷ ∫ + x I dx x 1 2 2 1 1 2 − + = ∫ . Đặt t x t x tdt xdx 2 2 2 1 1 2 2= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ I 2 = t dt t 2 2 2 2 0 2( 1) = − ∫ Vậy: I 1 = . Cách 2: Đặt t x x 2 1= + + . Câu 39. ( ) x x I dx x 1 3 3 1 4 1 3 − = ∫ • Ta có: I dx x x 1 1 3 2 3 1 3 1 1 1 . = − ÷ ∫ . Đặt t x 2 1 1= − ⇒ I 6= . Câu 40. x I dx x 2 2 1 4 − = ∫ • Ta có: x I xdx x 2 2 2 1 4 − = ∫ . Đặt t = x t x tdt xdx 2 2 2 4 4− ⇒ = − ⇒ = − ⇒ I = t tdt t t dt dt t t t t t 0 0 0 0 2 2 2 2 3 3 3 3 ( ) 4 2 (1 ) ln 2 4 4 4 − − = = + = + ÷ + − − − ∫ ∫ ∫ = 2 3 3 ln 2 3 − ÷ − + ÷ + Trang 6 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập các bài tập Tích phân Câu 41. x I dx x x 2 5 2 2 2 ( 1) 5 = + + ∫ • Đặt t x 2 5= + ⇒ dt I t 5 2 3 1 15 ln 4 7 4 = = − ∫ . Câu 42. x I dx x x 27 3 2 1 2− = + ∫ • Đặt t x 6 = ⇒ t t I dt dt t t t t t 3 3 3 2 2 2 1 1 2 2 2 1 5 5 1 ( 1) 1 1 − = = − + − + + + ∫ ∫ 2 5 5 3 1 ln 3 12 π = − + − ÷ Câu 43. I dx x x 1 2 0 1 1 = + + ∫ • Đặt t x x x 2 1= + + + ⇒ dt I t t 1 3 1 3 1 1 2 3 2 3 ln(2 1) ln 2 1 3 + + + = = + = + ∫ Câu 44. x I dx x x 3 2 2 2 0 (1 1 ) (2 1 ) = + + + + ∫ • Đặt x t2 1+ + = ⇒ I t dt t t 4 2 3 42 36 4 2 16 12 42ln 3 = − + − = − + ÷ ∫ Câu 45. x I dx x x x x 3 2 0 2( 1) 2 1 1 = + + + + + ∫ • Đặt t x 1= + ⇒ t t dt I t dt t t 2 2 2 2 2 2 1 1 2 ( 1) 2 ( 1) ( 1) − = = − + ∫ ∫ t 2 3 1 2 2 ( 1) 3 3 = − = Câu 46. x x x I dx x 3 2 2 3 4 1 2011− + = ∫ • Ta có: x I dx dx M N x x 3 2 2 2 2 2 3 3 1 1 1 1 2011 − = + = + ∫ ∫ x M dx x 3 2 2 2 3 1 1 1− = ∫ . Đặt t x 3 2 1 1= − ⇒ M t dt 3 7 3 2 3 0 3 21 7 2 128 − = − = − ∫ N dx x dx x x 2 2 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 2011 2011 14077 2011 16 2 − = = = − = ∫ ∫ ⇒ I 3 14077 21 7 16 128 = − . Câu 47. dx I x x 1 3 3 3 0 (1 ). 1 = + + ∫ • Đặt t x 3 3 1= + ⇒ t dt I dt t t t t 3 3 2 2 2 2 2 1 1 4 3 2 3 3 3 .( 1) .( 1) = = − − ∫ ∫ Trang 7 Tuyển tập các bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng dt dt t dt t t t t t t 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 4 1 1 1 3 3 4 2 3 3 3 1 1 1 1 1 . 1 − − ÷ = = = − − ÷ ÷ ∫ ∫ ∫ Đặt dt u du t t 3 4 1 3 1= − ⇒ = ⇒ u u I du u du u 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 3 3 3 3 3 0 0 0 0 1 1 1 1 3 3 3 2 3 − − ÷ = = = = = ÷ ÷ ÷ ∫ ∫ Câu 48. x I dx x x x 2 2 4 2 3 1 1 = − + ÷ ∫ • Đặt t x 2 1= + ⇒ t I dt t 3 2 2 2 2 ( 1) 2 − = − ∫ = t t dt t dt dt t t 3 3 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 19 2 4 2 ln 3 4 4 2 2 2 − + + = + = + ÷ ÷ − − − ∫ ∫ ∫ Dạng 2: Đổi biến số dạng 2 Câu 49. ( ) x I x x dx x 1 0 1 2 ln 1 1 − ÷ = − + ÷ + ∫ • Tính x H dx x 1 0 1 1 − = + ∫ . Đặt x t tcos ; 0; 2 π = ∈ ⇒ H 2 2 π = − • Tính K x x dx 1 0 2 ln(1 )= + ∫ . Đặt u x dv xdx ln(1 ) 2 = + = ⇒ K 1 2 = Câu 50. I x x x dx 2 5 2 2 2 ( ) 4 − = + − ∫ • I = x x x dx 2 5 2 2 2 ( ) 4 − + − ∫ = x x dx 2 5 2 2 4 − − ∫ + x x dx 2 2 2 2 4 − − ∫ = A + B. + Tính A = x x dx 2 5 2 2 4 − − ∫ . Đặt t x= − . Tính được: A = 0. + Tính B = x x dx 2 2 2 2 4 − − ∫ . Đặt x t2sin= . Tính được: B = 2 π . Vậy: I 2 π = . Trang 8 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập các bài tập Tích phân Câu 51. ( ) x dx I x 2 2 4 1 3 4 2 − − = ∫ • Ta có: x I dx dx x x 2 2 2 4 4 1 1 3 4 2 2 − = − ∫ ∫ . + Tính I 1 = dx x 2 4 1 3 2 ∫ = x dx 2 4 1 3 7 2 16 − = ∫ . + Tính x I dx x 2 2 2 4 1 4 2 − = ∫ . Đặt x t dx tdt2sin 2cos= ⇒ = . ⇒ tdt I t dt t d t t t 2 2 2 2 2 2 2 4 2 6 6 6 1 cos 1 1 1 3 cot cot . (cot ) 8 8 8 8 sin sin π π π π π π = = = − = ÷ ∫ ∫ ∫ Vậy: ( ) I 1 7 2 3 16 = − . Câu 52. x dx I x 1 2 6 0 4 = − ∫ • Đặt t x dt x dx 3 2 3= ⇒ = ⇒ dt I t 1 2 0 1 3 4 = − ∫ . Đặt t u u dt udu2sin , 0; 2cos 2 π = ∈ ⇒ = ⇒ I dt 6 0 1 3 18 π π = = ∫ . Câu 53. x I dx x 2 0 2 2 − = + ∫ • Đặt x t dx tdt2cos 2sin = ⇒ = − ⇒ t I dt 2 2 0 4 sin 2 2 π π = = − ∫ . Câu 54. x dx I x x 1 2 2 0 3 2 = + − ∫ • Ta có: x dx I x 1 2 2 2 0 2 ( 1) = − − ∫ . Đặt x t1 2cos − = . ⇒ t t I dt t 2 2 2 2 3 (1 2cos ) 2sin 4 (2cos ) π π + = − − ∫ = ( ) t t dt 2 3 2 3 4cos 2cos2 π π + + ∫ = 3 3 4 2 2 π + − Câu 55. x x dx 1 2 2 0 1 2 1− − ∫ • Đặt x tsin = ⇒ I t t tdt 6 0 3 1 (cos sin )cos 12 8 8 π π = − = + − ∫ Trang 9 Tuyển tập các bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Dạng 3: Tích phân từng phần Câu 56. I x dx 3 2 2 1= − ∫ • Đặt x du dx u x x dv dx v x 2 2 1 1 = = − ⇒ − = = x I x x x dx x dx x x 3 3 2 2 2 2 2 2 3 1 1 . 5 2 1 2 1 1 ⇒ = − − = − − + − − ∫ ∫ dx x dx x 3 3 2 2 2 2 5 2 1 1 = − − − − ∫ ∫ I x x 2 3 2 5 2 ln 1= − − + − ⇒ ( ) I 5 2 1 ln 2 1 ln2 2 4 = − + + Chú ý: Không được dùng phép đổi biến x t 1 cos = vì [ ] 2;3 1;1 ∉ − Trang 10 [...]... +2 dx Đặt t = sin x − cos x ⇒ I = − 1 2 2(1 + tan2 u) 1 1 du = − arctan 2 2 2 tan u + 2 2 Trang 24 1 1 1 dt ∫ 2 t2 + 2 0 du Trần Sĩ Tùng Tuyển tập các bài tập Tích phân Dạng 4: Tích phân từng phần π 3 x sin x ∫ Câu 118 I = −π 3 cos2 x dx • Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có: I= π 3 ∫ − π 3 1 x xd ÷= cos x cos x π 3 − π 3 − π 3 ∫ − π 3 dx 4π = − J , với J = cos x 3 Để tính J ta đặt...Trần Sĩ Tùng Tuyển tập các bài tập Tích phân TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Biến đổi lượng giác Câu 57 I = ∫ 8cos2 x − sin 2 x − 3 dx sin x − cos x (sin x − cos x )2 + 4 cos2 x dx = ∫ ( sin x − cos x − 4(sin x + cos x ) dx... 2 x 0 2 0 1 + sin 2 x π 4 ∫ 0 1 2 cos2 x − π 4÷ π π 1 1 π π 1 2 π =− + tan x − ÷ 4 = − + ( 0 + 1) = 42 − 16 16 2 2 4 16 2 2 0 Trang 25 1 dx 2− 3 2+ 3 Tuyển tập các bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng TP4: TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ - LOGARIT Dạng 1: Đổi biến số e2 x Câu 121 I = ∫ 1+ e dx x • Đặt t = e x ⇒ e x = t 2 ⇒ e x dx = 2tdt 2 3 2 2 x x t3 x x x ⇒ I = 2∫ dt = t − t + 2t − 2 ln t +... − t )dt = 1 3 3 3 • Đặt t = 2 + ln2 x ⇒ I = 34 − 24 8 e xe x + 1 dx Câu 150 I = ∫ x(e x + ln x) 1 2 • Đặt t = e x + ln x ⇒ I = ln Trang 30 ee + 1 e 4 2 −5 3 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập các bài tập Tích phân Dạng 2: Tích phân từng phần Câu 151 I = π 2 ∫e s inx sin 2 xdx 0 π 2 u = sin x du = cos xdx ⇒ • I = 2 es inx sin x cos xdx Đặt sin x cos xdx v = esin x ∫ dv = e 0 ⇒I π sin x 2 = 2sin... ∫ 1 1 x e x e dx = ee +1 x 1 Vậy: I = I1 + I 2 + ∫ Trang 31 x e 1 e − ∫ e x dx = ee (e − 1) 1 Tuyển tập các bài tập Tích phân e Trần Sĩ Tùng + ln2 x ÷dx 1 x 1 + ln x ln x Câu 155 I = ∫ e ln x dx Đặt t = 1 + ln x ⇒ I = 4 − 2 2 1 3 3 1 x 1 + ln x • Tính I1 = ∫ e 2 + Tính I 2 = ∫ ln xdx Lấy tích phân từng phần 2 lần được I 2 = e − 2 1 2 2 2 − 3 3 2 ln( x 2 + 1) dx Câu 156 I = ∫ x3 1 Vậy... e 2 − K x 2 1 2 5 2 3 e 2 4 ∫ 2 Câu 164 I = ln( x + 9 − x )dx 0 ( ) 2 • Đặt u = ln x + 9 − x ⇒ I = x ln dv = dx ( x 2 + 9 − x) Trang 33 4 0 4 +∫ 0 x x2 + 9 dx = 2 Tuyển tập các bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ 1 3 2 x Câu 165 I = ∫ x e + 0 1 x ÷dx ÷ 1+ x 4 1 3 4 2 x • I = ∫ x e dx + ∫ x dx 01+ x 0 1 11 t 1 t1 1 1 + Tính I1 = ∫ x e dx Đặt t = x... cos2 xdx 0 Trang 16 ∫ sin x 2 −0 cos 7π − 3 −1 12 π π 2 1 1 Đặt t = cos x + ÷ ⇒ dt = − sin x + ÷dx ⇒ I = 1 ∫ 1 − t 2 dt = 4 ln 3 3 3 20 π 2 π 4 x sin x dx Trần Sĩ Tùng •I= Tuyển tập các bài tập Tích phân π 2 ∫ sin x − 3 cos x dx = I = 0 Câu 86 I = π 2 π 3 ∫ sin x − 3 cos x dx + 0 π 2 ∫ sin x − π 3 3 cos x dx = 3 − 3 sin xdx ∫ (sin x + cos x )3 0 π • Đặt x = − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = 2 ⇒ 2I... (cos x + sin x ) 0 (sin x + cos x ) π Câu 89 I = ∫ x sin x 2 0 1 + cos x dx π • Đặt x = π − t ⇒ dx = − dt ⇒ I = ∫ 0 (π − t )sin t 2 1 + cos t π dt = π ∫ Trang 17 sin t 0 1 + cos 2 t dt − I Tuyển tập các bài tập Tích phân π π Trần Sĩ Tùng π π π2 ⇒ 2I = π ∫ dt = −π ∫ = π + ÷⇒ I = 2 2 4 4 8 0 1 + cos t 0 1 + cos t Câu 90 I = π 2 sin t d (cos t ) cos4 x sin x ∫ cos3 x + sin3 x dx 0 0 4 sin t cos t... có: cos2 x = 4 − t 2 và dt = dx = π 3 ∫ 0 sin x.cos x cos2 x 3 + sin 2 x dx = Trang 18 15 2 ∫ 3 dt = 1 4 − t2 4 sin x cos x 2 3 + sin x 15 2 ∫ 3 dx 1 1 − dt ÷ t+2 t−2 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập các bài tập Tích phân 15 2 = 1 ln t + 2 4 t−2 3 2π 3 π 3 sin3 x + sin 2 x x • I =∫ 1 15 + 4 ln − ln 4 15 − 4 x + ( x + sin x )sin x Câu 94 I = ∫ 2π 3 π 3 = 2π 3 π 3 3+2 ÷ = 1 ln ( 15 + 4 ) − ln (... ∫ π 3 • I = 2∫ π 6 ⇒ 2 2 I= 2 cot x 2 sin x (1 + cot x ) 3 +1 ∫ 3 +1 dx Đặt 1 + cot x = t ⇒ t −1 dt = 2 ( t − ln t ) t 3 +1 3 +1 3 1 sin 2 x dx = −dt 2 = 2 − ln 3 ÷ 3 3 Trang 19 Tuyển tập các bài tập Tích phân Câu 98 I = π 3 Trần Sĩ Tùng dx ∫ sin2 x.cos4 x π 4 π 3 • Ta có: I = 4 ∫ π 4 dx 2 2 sin 2 x.cos x Đặt t = tan x ⇒ dx = dt 1 + t2 2 2 3 3 3 ⇒ I = ∫ (1 + t ) dt = ∫ ( 1 + 2 + t 2 )dt = . Trần Sĩ Tùng Tuyển tập các bài tập Tích phân TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức Câu 1. x I dx x x 2 2 2 1 7 12 = − + ∫ • I dx x. Đặt du t u dt u 2 tan cos = ⇒ = ⇒ I du 4 0 4 π π = = ∫ Trang 3 Tuyển tập các bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 Câu 22. x I dx x x 2 3. ⇒ I t t tdt 6 0 3 1 (cos sin )cos 12 8 8 π π = − = + − ∫ Trang 9 Tuyển tập các bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Dạng 3: Tích phân từng phần Câu 56. I x dx 3 2 2 1= − ∫ • Đặt x du dx u x x dv
Ngày đăng: 27/06/2015, 22:05
Xem thêm: Tuyển tập các bài tập tích phân, Tuyển tập các bài tập tích phân
