Tuyển tập các bài toán tích phân(Có lời giải chi tiết)

Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ Câu1: Tính tích phân sau: x − 2x dx; x3 a/ I = ∫ x J = ∫ (3x − e )dx b/ Giaûi: 2 2 1   a/ Ta coù: I = ∫  − ÷dx =  ln | x | + ÷ = (ln + 1) − (ln1 + 2) = ln − x x   1 x x 3  b/ Ta coù: J =  x − 4e ÷ = (24 − 4e) − (0 − 4) = 28 − 4e 2 0 x5 Câu2: Tính tích phân: I = ∫ x2 + 1dx Giải: Từ x = x3 (x + 1) − x(x + 1) + x 1 x  1  1  dx Ta được: I = ∫  x − x + ÷ =  x − x + ln(x + 1)] = ln − 2 x +1 4 0 0 π/ sin x Câu3: Tính ∫ cos x + sin x dx Giaûi: sin x  cos x − sin x  (A + B)cos x + (A − B)sin x = A + B ÷= cos x + sin x cos x + sin x  cos x + sin x  A + B = ⇔ A=B=− Đồng đẳng thức, ta được:  A − B = Ta có: Vậy: π/ ∫ π/ sin x  cos x − sin x    dx = ∫  − − dx =  − x − ln(cos x + sin x) cos x + sin x 2(cos x + sin x     2 Câu4: Tính tích phân : I = ∫0 x2 1− x dx π/ π =− Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ Giaûi: x= ⇒ t =  π Đổi cận: với  x= ⇒ t =  Đặt x = sint, đó: dx = costdt Lại có: x2 dx − x2 = sin t.cos tdt sin t.cos tdt sin t cos tdt = = = (1 − cos2t)dt cos t cos t − sin2 t π/ Khi đó: I = ∫ (1 − cos2t)dt = Câu5: Tính tích phân : I = π/ 1   t − sin 2t ÷ 2 0 2/ ∫ dx x x2 − Giải: cos t , : dx = − dt sin t sin t π  x= ⇒ t =   Đổi caän:  π x= ⇒t=   Ñaët x = cos tdt π / π π/ sin t = ∫ dt = t π / = ∫ Khi đó: π / π/3 sin t −1 sin2 t π/ − a+x Câu6: Tính tích phân : I = ∫ a − x dx, (a > 0) a Giải: Đặt x = a.cos2t, đó: dx = −2a.sin 2tdt = π − Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ π  x= -a ⇒ t = Đổi cận:  x=0 ⇒ t = π  Lại có: a+x a + a.cos2t dx = (−2a.sin 2tdt) = cot t (−2a.sin 2tdt) a−x a − a.cos2t = −4a.cos2 t.dt = −2a(1 + cos2t)dt π/ π/    π Do ñoù: I = −2a ∫ (1 + cos2t)dt = −2a  t − sin 2t ÷ = a  − ÷   π/  4 π/ π/ cosdx Câu7: Tính tích phân : I = ∫ sin2 x − 5sin x + π/ Giải: Đặt x = sint, đó: dt = cosxdx π  x= ⇒ t=   Đổi cận:  x= π ⇒ t =   cosdx dt dt = = Ta coù: sin x − 5sin x + t − 5t + (t − 2)(t − 3) B  [(A + B)t − 2A − 3B]dt  A = + ÷dt = (t − 2)(t − 3)  t −3 t −2 A + B = ⇔ Từ đó:  −2A − 3B = Suy ra: A =  B = −1 cos xdx   = − ÷dt sin x − 5sin x +  t − t −  Khi đó: I = 3/2 ∫ 1/  t −3  − dt  ÷ = ln t −2  t −3 t −2 Câu8:: Tính tích phân : I = ∫ 3/2 = ln 1/ x3dx + x2 Giải: 3(6 − 3) 5(4 − 3) Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ 3t dt 3 Đặt t = x + ⇒ t = x + 1, đó: 3t dt = 2xdx ⇒ dx = 2x x= ⇒ t =  Đổi cận: x= ⇒ t = Ta coù: x3dx + x2 = x3 3t 2dt = 3t(t − 1)dt = 3(t − t)dt 2xt  t5 t2  141 Khi đó: I = 3∫ (t − t)dt =  − ÷ =   10 2008 Câu9:: Tính tích phân : I = ∫ x sin xdx −1 Giải: Viết lại I dạng: I = ∫ x 2008 −1 sin xdx + ∫ x 2008 sin xdx (1) 0 2008 Xét tích phân J = ∫ x sin xdx −1 3t dt Đặt x = −t ⇒ dx = −dt đó: 3t 2dt = 2xdx ⇒ dx = 2x x= -1 ⇒ t = Đổi cận: x=0 ⇒ t = { 1 2008 2008 Khi đó: I = − ∫ (− t) sin(−t)dt = − ∫ x sin xdx Thay (2) vào (1) ta I = Câu10:: Tính tích phân : I = π/ ∫ cos4 x dx cos4 x + sin x Giải: Đặt t = π − x ⇒ dx = −dt (2) Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ π  x= ⇒ t = Đổi caän:  π x= ⇒ t =  π cos4 ( − t)(−dt) π/ π/ sin tdt sin x I= ∫ = ∫ = ∫ dx Khi đó: cos4 t + sin t cos4 x + sin x π π π / cos ( − t) + sin ( − t) 2 Do đó: 2I = π/ ∫ π/2 cos4 x + sin x π π dx = ∫ dx = ⇒ I = cos4 x + sin x 1/ 1− x   Caâu11:: Tính tích phân: I = ∫ cos x.ln  + x ÷dx   −1/ Giải: 1− x  I = ∫ cos x.ln  ÷dx +  1+ x  −1/ 1/  1− x  ∫ cos x.ln  + x ÷dx   (1)  1− x  cos x.ln  ÷dx 1+ x  −1/ x = −t ⇒ dx = −dt Đặt 1  x= - ⇒ t = Đổi cận:  2 x=0 ⇒ t =  Khi đó: 1/ 1/  1+ t   1− t   1− x  I = − ∫ cos(−t).ln  dt ÷dx ÷dt = − ∫ cos t.ln  ÷ = − ∫ cos x.ln   1+ x  1− t  1+ t  1/ 0 Xét tính chất J = ∫ Thay (2) vào (1) ta I = x dx Câu12:: Tính tích phân: I = ∫ 2x + −1 Giaûi: x dx x 4dx +∫ x Biến đổi I dạng: I = ∫ x −1 + +1 (1) (2) Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ x 4dx Xét tích phân J = ∫ x −1 + Đặt x = –t ⇒ dx = –dt Đổi caän: { (− t)4 dt t t.dt x x.dx x= -1 ⇒ t = =∫ t =∫ x Khi đó: J = − ∫ − t x=0 ⇒ t = +1 +1 +1 (2) x 2x.dx x 4dx x (2 x + 1)dx +∫ x =∫ = ∫ x dx = Thay (2) vaøo (1) ta được: I = ∫ x 2x + +1 +1 0 π/ Câu13: Tính tích phân: I = ∫ cosn xdx cosn x + sin n x Giải: Đặt t = π − x ⇒ dx = −dt π  x= ⇒ t = Đổi cận:  π x= ⇒ t =  π  cosn  − t ÷(−dt) π/2 π/ sin n tdt sin n x 2  = = dx Khi ñoù: I = ∫ π   ∫ cosn t + sin n t ∫ cosn x + sin n x nπ π / cos n  0  − t ÷+ sin  − t ÷ 2  2  Do đó: 2I = π/ ∫ π/ cosn x + sin n x π π dx = ∫ dx = ⇒ I = n n cos x + sin x π xsin xdx Câu14:: Tính tích phân: I = ∫ − cos2 x Giaûi: π π xsin xdx x sin xdx π = = xf(sin x)dx Bieán đổi I dạng: I = ∫ − (1 − sin x) ∫ + sin x ∫ 0 x = π − t ⇒ dx = −dt Đặt Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ x= π ⇒ t = Đổi cận: x=0 ⇒ t = π { (π − t)sin(π − t)dt π (π − t)sin tdt π π sin tdt π t sin tdt =∫ =∫ − Khi đó: I = − ∫ − cos2 (π − t) − cos2 t − cos2 t ∫ − cos2 t π 0 π π π d(cos t) d(cos t) d(cos t) − I ⇔ 2I = −π ∫ = π∫ 2 − cos t − cos t cos t − = −π ∫ π π d(cos t) π cos t − ⇔I= ∫ = ln cos2 t − 4 cos t + π = π ln 2π Câu15:: Tính tích phân: I = ∫ x.cos xdx Giải: Đặt x = 2π − t ⇒ dx = −dt x= 2π ⇒ t = Đổi cận: x=0 ⇒ t = 2π { Khi đó: ∫ (2π − t).cos (2π − t)(−dt) = I= 2π 2π ∫ (2π − t).cos tdt π 2π = 2π ∫ cos tdt − ∫ t cos tdt = ∫ (cos3t + 3cos t)dt − I 0 2π 2π 2π π1  ⇔ 2I =  sin 3t + 3sin t ÷ = ⇔ I = 23 0 π/ + sin x   Câu16: Tính tích phaân: I = ∫ ln  + cos x ÷dx   Giaûi: π − x ⇒ dx = −dt π  x= ⇒ t =  Đổi cận:  π x= ⇒ t =  Đặt t = Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================  π  π π/  + sin  − t ÷ ÷   ÷(−dt) = ln  + cos t  dt = − ln  + sin t  dt Khi đó: I = ∫ ln  ∫  + sin t ÷ ∫  + cos t ÷      + cos  π − t  ÷ π/ 0  ÷÷  2   =− π/ ∫  + sin x  ln  ÷dx = − I ⇔ 2I = ⇔ I =  + cos x  Caâu17:: Tính tích phân: I = π/ ∫ ln(1 + tgx)dx Giaûi: π − x ⇒ dx = −dt π  x= ⇒ t = Đổi cận: Khi đó:  π x= ⇒ t =  π/ π/ π − tgt I = − ∫ ln[1 + tg( − t)dt = ∫ ln(1 + )dt = ∫ ln dt + tgt + tgt π/ 0 Đặt t = π/ π/ = π/ 0 ∫ [ln − ln(1 + tgt)]dt = ln ∫ dt − ∫ ⇔ 2I = π/ ln(1 + tgt)dt = ln 2.t − I π ln π ln ⇔ I= ln(1 + x) dx x2 Câu 18:Tính tích phân: I = ∫ Giải:   u = ln(1 + x) du = + x dx   ⇒  dx Đặt:  dv = x v =   x  2 1 1  1 I = − ln(x + 1) + ∫ dx = − ln3 + ln + ∫  + dx Khi đó: ÷ x x(x + 1)  x 1+ x  1 Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ = − ln3 + ln + (ln | x | − ln(x + 1)) = − ln + 3ln 2 1 Câu 19:Tính tích phân: ∫0 (x + x)e2x dx Giaûi: ∫0 (x 2x + x)e dx ⇒I= Đặt 2x e (x + x) u = x + x   2x dv = e dx  − (2x + 1)e2x dx ° ⇒ I1 = = ⇒ 1 (2x + 1)e2x dx = e2 − I1 ∫0  I1 = ∫0 2x e (2x + 1) , Đặt 1 ) Câu 20:Tính tích phân: u = 2x +   2x dv = e dx  − ∫ e2x dx = 1 3e2 − − (e2 − 1) = e2 2 ( du = ( 2x + 1) dx   2x v = e  ∫−1x ⇒ 1 (3e2 − 1) − e2x 2 Vaäy I = e2 − du = 2x + 1dx   2x v = e  1 e2 e = 2 e− x dx Giaûi: I = ∫−1x e− x dx ° x=0 Đặt t = –x3 ⇒ dt = –3x2dx , ⇒ t = , x = –1 ⇒ t = t ⇒ I = ∫1 (−t).e ° Ñaët ⇒ I1 = 1 t  1  −  dt = − ∫0 t.e dt = − I1   u = t   t dv = e dt  et t 1 ⇒ du = dt   t v = e  − ∫ et dt = e − et 1 = Vaäy I = t Với I1 = ∫0 t e dt 1 − I1 = − 3 Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ π/ 2 Câu 21:Tính tích phân: I = ∫ (x + 1)sin xdx Giaûi:  u = (x + 1) du = 2xdx ⇒  Đặt:  v = − cos x dv = sin xdx π/ 2 Khi ñoù: I = − (x + 1)cos x + Xét tích phân J = π/ ∫ π/ ∫ x cos xdx = + π/ ∫ x cos xdx (1) x cos xdx u = x du = dx ⇒ Đặt:  dv = cos xdx v = sin x π/ Khi đó: J = xsin x − π/ ∫ sin xdx = π π π/ + cos x = − 2 (2) π  Thay (2) vào (1) ta được: I = +  − 1÷ = π − 2  Câu 22:Tính tích phân: ∫0 xe x dx Giải: ∫0 xe x dx Đặt t = x ⇒ t2 = x ⇒ 2tdt = dx ° x=1 ⇒ t=1 , x=0 ⇒ t=0 t t e 2tdt ⇒I= ∫ ⇒ I1 = Ñaët ⇒ I2 = Ñaët et t3 1 = 2∫ t 3et dt = 2I1 1 01 Với I2 = ∫0 e t ⇒ ⇒ dt du = 2tdt   t v = e  − 2∫ et t dt = e − 2I3 u = t   t dv = e dt  du = 3t 2dt   t v = e  ⇒ t − 3∫ et t 2dt = e − 3I2 u = t   t dv = e dt  et t Đặt u = t   t dv = e dt  du = dt   t v = e  t với I3 = ∫0 e t dt Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ Giải: Xét dấu hàm số y = ex – x Ta coù: y = ⇔ e − = ⇔ x = x > ⇒ ex > ⇒ y > ; x < ⇒ ex < ⇒ y < Nhận xét rằng: 1 x x Do đó: J = ∫ (1 − e )dx + ∫ (e − 1)dx = (x − e) −1 + (e − x) = e + x −1 Câu 36: Tính tích phaân: I = ∫x − 2 − 3x + 2dx −1 Giải: Ta xét dấu hàm số f(x) = x − 3x + [–1, 4], f(x) ≥ x ∈ [ −1,1] ∪ [ 2,4 ]  f(x) ≤ neáu x ∈ [ 1,2 ] ta được: 2 2 Khi đó: I = ∫ (x − 3x + 2)dx − ∫ (x − 3x + 2)dx + ∫ (x − 3x + 2)dx −1 3 19 1  1  1  =  x3 − x + 2x ÷ −  x3 − x + 2x ÷ +  x3 − x + 2x ÷ = 2 3  −1  1  2 π sinx Caâu 37: Tính : ∫ ( xsinx + x cosx ) dx Giaûi: π sinx ∫ π xsinxd ( xsinx + x cosx ) dx=∫ ( xsinx ) ( xsinx ) = π π 2= ( x + 3x + 3) dx Câu 38: Tính : ∫ x + 3x + ( ) 2 Giaûi: ( x + 3x + 3) dx =∫ ∫ ( x + 3x + 2) 1 2 dx ∫0 x2 + 3x + = dx x2 + 3x + dx dx + ∫0 (x + 3x + 2)2 x +1 ∫0 (x + 1)(x + 2) = ln x + 1  =  ln − ln  = ln 2  Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================   =  2 (x + 3x + 2)  (x + 1)(x + 2)  Ta coù : = ⇒ I dx ∫0 (x2 + 3x + 2)2 I = (x + 1) dx + (x + 2) 2 (x + 1)(x + 2) dx 1   = −   x + x + 2 ∫0 (x + 1)2 + ∫0 (x + 2)2 − ∫0 (x + 1)(x + 2)dx = −1 −1 + = x +1 x + ĐS: − 2 − 2ln x +1 x+2 = −1 1 1  + 1− + −  ln − ln  2  −1 1 1  + 1− + −  ln − ln  + + ln 2  Câu 39: π Tính :I= x ∫ ( cos x − xsinxcosx ) dx Giaûi: π xcosx ∫ π xcosxd ( cosx − xsinx ) dx=∫ 1 Caâu 40: Tính : ∫0 (x  + x)e2x + ( xcosx ) ( xcosx ) = π =0 5x − 13   dx x − 5x +  Giaûi: 1 ∫0 (x  5x − 13  2x  dx = ∫0 (x + x)e dx + x − 5x +  + x)e2x + u = x + x  (x + x)e dx Đặt  ∫0 2x dv = e dx  ⇒I= 2x 2x e (x + x) − ⇒ ° ⇒ I1 = 1 (2x + 1)e2x dx = e2 − I1 ∫0 2x 2x e (2x + 1) 5x − 13 du = ( 2x + 1) dx   2x v = e  u = 2x +   I1 = ∫0 (2x + 1)e dx , Đặt  2x dv = e dx  1 ∫0 x2 − 5x + dx 1 − ∫ e2x dx = ⇒ du = 2x + 1dx   2x v = e  1 (3e2 − 1) − e2x 2 Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ = 1 3e2 − − (e2 − 1) = e2 2 ( ) 5x − 13 ∫0 x2 − 5x + dx Ta có : Vậy I = e2 − e2 e = 2 5x − 13 A B A(x − 3) + B(x − 2) = + = (x − 3)(x − 2) x − x − (x − 3)(x − 2) ⇒ 5x – 13 = (A + B)x – 3A – 2B ⇒ A + B = vaø –3A – 2B = –13 ⇒ A = , B = Vaäy I =  ∫0  x − + x −  dx = 3ln x − + 2ln x −      1 = –(ln2 + 2ln3) = –(ln2 + ln3 ) = –ln(2 ) = –ln18 2 ĐS: e2 − e2 = e2 –ln18 Câu 41: Tính : I = ∫1 x ( ln x + ln x ) dx e Giaûi: ( x ln x ) e = e2 I = ∫ x ln x ( ln x + 1) dx= ∫ x ln xd ( x ln x ) dx= 1 2 e e x +1 1 Câu 42: Tính : ∫0  x2 − 4x + + xe  x  ÷dx  Giaûi: x +1 1 ∫0  x2 − 4x + + xe  x x +1  x dx =I+J ÷dx = ∫0 xe dx + ∫0 x − 4x +  x I= ∫0 xe dx Đặt t = ° x ⇒ t2 = x ⇒ 2tdt = dx x=1 ⇒ t=1 , x=0 ⇒ t=0 ⇒ I= t t e 2tdt ∫ t ⇒ I1 = e t u = t  = 2∫ t 3et dt = 2I1 Ñaët  t dv = e dt  − 3∫ et t 2dt = e − 3I2 Với I2 = u = t  Đặt  t dv = e dt  t ⇒ I2 = e t 01 ⇒ ⇒ t ∫0 e t dt du = 2tdt   t v = e  − 2∫ et t dt = e − 2I3 với I3 = u = t  Đặt  t dv = e dt  ⇒ du = dt   t v = e  t ∫0 e t dt du = 3t 2dt   t v = e  Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ t ⇒ I3 = e t − ∫ et dt = e − et = e − (e − 1) = Vaäy I = 2I1 = 2(e – 3I2) = 2e – 6I2 = 2e – 6(e – 2I3) = 12I3 – 4e = 12 – 4e x2 + x + ∫0 x2 − 4x + dx J = ° 5x − x − 4x + 5x − = (x − 2)  A B A(x − 2) + B Ax − 2A + B + = x − (x − 2)2 = (x − 2)2 (x − 2)2 = A =   −2A + B = −2 Đồng veá : ⇒ 5x − 1 ∫0  1+ x2 − 4x +  dx   = A = ⇔  B = 1  ∫0 x2 − 4x + dx = ∫0  x − + (x − 2)2  dx = 5ln x −     5x − 1 +8 −1 x−2 1 = 5ln + Vaäy J = ln + 1 ĐS: ln + +12 – 4e=5 ln + 17 -4e e Câu 43: Tính : I = ∫1 x ln x ( ln x + 1) dx Giaûi: e x ln x I=∫ e x ln x.d ( 2x ln x + x ) dx= ∫ π (x x ln x ) dx= ( 2 ln x ) e e =  cos x + sinx cos x  + esinx sin2x ÷dx + sinx  Câu 44: Tính : ∫0   Giải: π π  cos x + sinx cos x   cos x + sinx cos x  sinx + esinx sin2x ÷dx = ∫   ÷dx + ∫0 e sin2x dx  + sinx + sinx    ∫0 π cos x + sinx cos x dx = + sinx = ∫0  1− + sinx  cos x dx   ∫0 = π π  π ∫0 π  cos x dx − ∫ π sinx ∫0 e ∫0 = ∫0  cos x + + sinx  dx   π  cos x  π π − ln ( + sinx ) =1-ln + ln 2=1 − ln 2 0 sin2xdx = ∫ esinx sinx cos xdx Đặt t = sinx ⇒ dt = cosx dx ) π (1+ sinx)cos x (2 + sinx − 1)cos x dx = ∫ dx + sinx + sinx π (sinx + 2)/ dx = sinx + sinx π ( Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ π x= ° ⇒ t=1, x=0 ⇒ t = u = t t  ⇒ I = ∫0 e t dt = 2I1 Đặt  t dv = e dt  t ⇒ I1 = e t ĐS: − ln 1 − ∫ et dt = e − et du = dt   t v = e  ⇒ = Vaäy π sinx ∫02 e sin2xdx = π Câu 45: Tính : I = ∫ x 5cosx ( 3cosx − xsinx ) dx Giaûi: π x3cosx I=∫ π x 3cosxd ( 3x cosx − x sinx )dx=∫ Câu 46: Tính : I= π  sinx ∫0  e  sin2x + ( x cosx ) π =0 ( x cosx )dx= 2 3 sinx − cosx  dx sinx + cosx + ÷  Giải: I= π  sinx ∫0  e  π ∫0 π sinx − cosx  sinx sin2xdx + ÷dx = ∫0 e sinx + cosx +  π t ⇒ I1 = e t ∫0 sinx − cos x π ⇒ t=1, x=0 ⇒ t = u = t t  ⇒ I = ∫0 e t dt = 2I1 Ñaët  t dv = e dt  π π ∫0 sinx + cos x + dx esinx sin2xdx = ∫ esinx sinx cos xdx Đặt t = sinx ⇒ dt = cosx dx x= ° sin2x + 1 − ∫ et dt = e − et sinx − cos x dx = sinx + cos x + π ∫0 du = dt   t v = e  ⇒ = Vaäy π sinx ∫0 e sin2xdx = (sinx + cos x + 2)/ dx = ln(sinx + cos x + 2) sinx + cos x + ĐS:I=2 e Caâu 47: Tính tích phân I = ∫1 x ln x ( ln x + ) dx Giaûi: π =0 Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ e ( ) e ( I = ∫ x ln x ln x + ln x dx= ∫ x ln xd x ln 1 π  Câu 48: Tính tích phân ∫0  e   sinx sin2x + ( x ln x ) x ) dx= 2 2 e e = sinx + sin3 x  ÷dx cos2x − ÷  Giải:  sinx π sinx + sin3 x  sin2x + e ÷dx = ∫ esinx sin2xdx + ∫0  cos2x − ÷   π π π ∫ sinx − sin3 x dx =I+J cos 2x − π I = ∫02 esinx sin2xdx = ∫02 esinx sinx cos xdx Đặt t = sinx ⇒ dt = cosx dx ° x= π ⇒ t=1, x=0 t ⇒ I = ∫0 e ⇒ I1 = π J= ∫ t dt = 2I1 et t u = t   t dv = e dt  Đặt − ∫ et dt = e − et sinx − sin3 x dx cos 2x − ⇒ t = = du = dt   t v = e  ⇒ Vaäy I = π sinx(1− sin2 x) dx (2cos2 x − 1) − = ∫ π cos2 x sinx dx ∫0 cos2 x − = Đặt t = cosx ⇒ dt = –sinx dx x = ⇒ t = , x = 1− t 1  π ⇒ t=0 1 ⇒ J = ∫0 1+ t2 dt = ∫0  −1+ 1+ t  dt = ∫0 −1dt + 2∫0 1+ t dt   1 Xeùt K = ∫0 1+ t2 dt Đặt t = tgu ⇒ dt = ° t=0 ⇒ u=0 , t=1 ⇒ u= ĐS:  sinx π sinx + sin3 x  sin2x + e ÷dx = + ∫0  ÷ cos2x −   e Tính tích phân I = x ln x π cos2 u ⇒K = π Caâu 49: ∫ ( 3ln x + ) dx Giaûi: du = (1+ tg2u)du 2u π = π ⇒ J=–1+ π Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HUØNG ================================================================ e x ln x I=∫ ( 3x 2 )  cos x e x ln x.d ln x + 2x ln x dx= ∫ π Câu 50: Tính tích phân ∫0    + + cos2 x (x ln (x x ) dx= ln2 x  ÷dx cosx + ÷  Giaûi: π π   cos x cos x dx dx +  + ÷dx = ∫0 ∫0  ∫0 cos x + 2 cosx + ÷ + cos x  + cos x  π π I = ∫0 cos x + cos x cos x π = ∫0 dx + 1− sin2 x dx π Đặt t = sinx ⇒ dt = cosx dx ⇒I= =I+J x = , t = , x = 0, t=0 dt ∫ 2 − t2 Đặt t = 2sinu ⇒ dt = 2cosu du , t = 2sinu = ⇒ u = t = 2sinu = ⇒ sinu = ⇒I= π 2cosu π ∫0 2 2 − sin u dx J= ∫02 cos x + Đặt t = ° ⇒ dt = ° x= π 2cos2 x dx = du = tg ⇒ u= π ∫0 ⇒J= dt t +1 ∫0 1− t2 = 2∫0 t2 + +2 1+ t ° Đặt t = tgu = 1 x  tg + dx 2  = (t + 1)dx   ⇒ t=1,x=0 2cosu du 2cosu u π = π x = ⇒ dt = ⇒ dx = ⇒ t=0 2dt π 2∫ dt t + cos2 u ( 3) du ⇒ t = ⇒ u =   π t = ⇒ u =  2dt t +1 ) e e = Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ Vậy π J=2  cos x ĐS: ∫0   3du π ∫0 du π ∫ cos2 u =u cos2 u π =  π π ÷dx + cosx + ÷ = 3  +  + cos x = π du cos2 u = ∫0 3cos2 u(tg2u + 1) 3tg u + π x 9sin x Câu 51: Tính tích phân I = ∫ ( 5sin x + xsin2x ) dx Giaûi: π x 5sin x I=∫ π x 5sin x ( 5x sin x + x sin2x )dx=∫ Câu 52: Tính tích phân ∫0  x4 + x2 + + x ( 1− x )  1 ( x sin x ) ( x sin x )dx= 5 2 π 10 π = 11 3 dx ÷  Giaûi: 1 ∫0  x4 + x2 + + x  ( 1− x ) dx dx ÷ = ∫0 + x + x2 +  3 ∫0 x (1− x2 )3 dx =I+J dx I= ∫0 x4 + x2 + ° Đặt u = x2 ⇒ du = 2x dx x = ⇒ u = , x = ⇒ u = ⇒I= 1 1 du ∫0 u2 + u + 1du = ∫0 2 1  u+  +  2  ° Đặt u + = 2 ° u = ⇒ tgt = ° dt cos2 t tgt ⇒ du = ⇒ t= π , u = ⇒ tgt = 1 3   u +  + = (tg t + 1) =   cos2 t ⇒ I= J= ∫0 x dt π π 2cos2 t π = π π ∫6 ∫6 dt = 3 4cos2 t (1− x2 )3 dx Đặt t = – x2 ⇒ dt = –2xdx ⇒ t= π π 3 Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ ° x = 1, t = , x = 0, t = 1 1  t t5   1 (1− t).t  −  dt = − ∫ (t3 − t )dt =  −  ∫1 2   2   0 ⇒J= 1 ĐS: ∫0  x4 + x2 + + x  ( 1− x ) 3 dx ÷ =  π + = 1 40 40 π x17cos3x Câu 53: Tính tích phân I = ∫ ( 9cosx − 2xsinx ) dx Giaûi: π x cos2 x I=∫ ( π x 9cos2 xd ) 9x8cos2 x − x 9sin2x dx= ∫ π  esinx   Caâu 54: Tính tích phân ∫ cos x + ( x cos x ) x cos x ) dx= ( 9 2  dx 3cosx − 4sinx + ÷  Giải: π  esinx   ∫ cos x + π esinx I= ∫ π  sinx cos xdx + ÷dx = ∫0 e 3cosx − 4sinx +  π esinx d cos xdx = ∫ ( sinx ) =esinx dx π dt = x 2cos2 = x ⇒ sinx = 1 x  1+ tg  dx = (1+ t )dx 2  2dt ⇒J= ⇒ dx = dt = ∫0 t2 − 4t + ∫0 (t − 2)2 = = −1 t−2 = 2t , cosx = 1+ t 2dt 1+ t dt 1+ t = 2∫ ∫0  1− t  2t − 3t − 8t + + 5t 3 −4 +5  1+ t   1+ t   dt dx ∫0 3cos x − 4sinx + =I+J π =e-1 J= ∫02 3cos x − 4sinx + Đặt t = tg dx π 1− t 1+ t x = ⇒ t =   π x = ⇒ t =  π =0 Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ π 1   ĐS: ∫02  esinx cos x + 3cosx − 4sinx + ÷dx =e  π x 5sin3x Câu 55: Tính tích phân I = 3∫ ( sin3x + xcos3x ) dx Giaûi: π x3sin3x I=∫ π x 3sin3x.d ( 3x sin3x + 3x cos3x ) dx=∫ x 1 ( ( x sin3x )dx= x3sin3x ) π π 2=  Câu 56: Tính tích phân ∫0  − x2 + x4 + 4x2 + ÷dx   Giaûi: 1 x  x dx ∫0  − x2 + x4 + 4x2 + ÷dx = ∫0 − x2 dx + ∫0 x4 + 4x2 + =I+J   x I= ∫0 − x2 dx = dx 1 x dx ∫0 − x = − ln dx J= ∫0 x4 + 4x2 + = ∫0 (x2 + 1)(x2 + 3) = 1 1 1  ∫0  x2 + − x2 +  dx   dx * I1 = ∫0 x2 + Đặt x = tgt ⇒ dx = ° x = tgt = ⇒ t = π cos2 t dt x + = tg2 t + = , x = tgt = ⇒ t = dt π ⇒ I1 = ∫0 cos2 t π = ∫ dt = π cos t dx * I2 = ∫0 x2 + Đặt x = ° x= 3tgt = ⇒ t= π 3tgt , x= ⇒ dx = 3tgt = cos2 t ⇒ t=0 dt cos2 t Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ π ⇒ I2 = ∫0 ( tg2t + 1) − cos2 t dt = t π π π 6 = 3  = π  1 x  1 π ĐS: ∫0  − x2 + x4 + 4x2 + ÷dx = − ln +  −   2 ÷  Câu 57: Tính tích phân : ∫0 sin3 x cos x ( 1+ 3sin2xcos2x − sin4x ) dx π Giaûi: π ( ) π ( π ) x cos x 1+ 3sin2xcos2x − sin4 x dx=∫ sin3 x cos xdx + ∫ sin3 x cos x.d sin3 x cos x dx =I+J ∫0 sin π I= ∫0 sin π J= ∫0 sin ĐS: x cos xdx ( π = ∫0 x cos x.d sin sin4 x sin x(sinx) dx = / ( sin x cos x ) dx= x cos x ) π = π =0 e (lnx + 1) Câu 58: Tính tích phân ∫1 x  1− ln2 x   1+ ÷dx  x2 ÷   Giaûi: e (lnx + 1) ∫1 x 2  1− ln2 x   (lnx + 1)2  e (lnx + 1) e (lnx + 1) dx + ∫ d   1+ ÷dx=∫  =I+J  1 x x x x2 ÷       e (lnx + 1) I= ∫1 x e (lnx + 1) J= ∫1 ĐS: x 16 2e + 11 dx e = ∫1 (lnx + 1)2 (lnx + 1)/ dx = (lnx + 1)3  (lnx + 1)2  (lnx + 1)4 e 16 d  = − = 2e2 x 2x2     e = Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ Câu 59: Tính tích phân ∫0  ( )  x5 5x + ÷ + dx 3 ÷  1+ x ÷ x2 +   x2dx 7 ( ) Giaûi: ∫0  ( )   2 4 x5 5x2 + ÷ 3 x dx x  3x x + + 2x  +∫ + dx = ∫0 dx =I+J 3 ÷ x2 + 1 3 1+ x3   x2 +  1+ x ÷ x2 +     x2dx 7 ( x2dx ) 3 = ∫0 1+ x3 37 x (1+ x3 ) (1+ x3 ) 3 − +1 = −1 − +1 I= ∫0 ( ( = ( ( ( 3 ∫0 dx = 1+ x ) 37 −1 (1+ x3 ) = ) ) (1+ x3 )/ dx 3 ) )  2 4 3  x3  x x3  3x x + + 2x  x6 d  dx= = ÷ dx=∫0 ∫0 x2 + 1 2  x + 1÷ 2 x +1     x +1 x +1   49 + ĐS: 49 + 2 J= = ( ( ) 49 ( ) 49 + ) − x2 Câu 60: Tính tích phân ∫0 e ( x 1+ ( 1− 2x ) e− x ) dx Giaûi: − x2 ∫0 e ( x 1+ ( 1− 2x ) e− x − x2 I= ∫0 e xdx ) dx = ∫ e − x2 Đặt t = e− x I = ∫1 ⇒ − x2 J= ∫0 e e ĐS: 2e − (  dt t−   2e− x ) x.d e− x x = 1  −1 2 e ÷   ⇒ dt = –2x ° x = ⇒ t = e–1 = e xdx + ∫ e− x x 2x2 2e ex e− x 2 dx =I+J dx , x=0 ⇒ t=1  e  dt   =∫ t  −    2t   x2 1− 2x 1 = 2e2 = 1 − ∫ e dt = − t 2 e 1  = −  − 1 2 e  Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ x lnx ( 1− lnx )  e ∫1  x + x3 ÷dx Câu 61: Tính tích phân  ÷   Giải: ∫1 e x   lnx 1− lnx   +÷ + ∫  dx dx ÷ =I+J  x  x ÷ x2    I = ∫1 e x x , Đặt t = dx ⇒ dt = x e e x x dx ° x = ⇒ t = e2 , x = ⇒ t = e e2 ⇒ I = ∫e J= ∫1 2tdt = 2t e2 = 2(e2 − e) e  lnx   lnx  ln2 x ln2  lnx 1− lnx  dx=∫  d = =  x ÷  x ÷  x ÷ 2x    x2   ĐS: 2(e2 − e) + ln2 Câu 62: Tính tích phân ∫0 x I = ∫0 x (1− x3 )6 dx (1− x3 )6 dx Giải: Đặt t = – x3 ⇒ dt = –3x2 dx ° x = 1, t = , x = 0, t = ⇒ I = ∫1 (1− t).t 1 1  t7 t   −  dt = ∫0 (t − t )dt =  −        6 Caâu 63: Tính tích phân ∫0 (2x x − 1)6 x dx Giải: ∫0 (2x x − 1)6 Đặt t = 2x x dx x –1= 2x ⇒ dt = 2 x dx = 3 –1 x dx = 168 Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ ° x = 1, t = , x = 0, t = –1  1 t dt −1     ⇒I= ∫ = 1 t7 t dt = ∫−1 37 = −1 π Câu 64: Tính tích phân ∫02 ( 1+ sin2 x ) 2 21 ( ) sin2x + 2sin2x dx Giaûi: π ∫ ( 1+ sin x ) 2 ( π ) π I = ∫02 ( 1+ sin2 x ) π 2 t dt ⇒I= ∫ J= ∫ ĐS: ) π = t3 = ( ) ( t=1 ( 1+ sin x) d ( 1+ sin x ) 2 2 ( 1+ sin x) = π 16 = =8 31 (   x − x 1− 3x ∫−1 x4 + +  x +1  Câu 65: Tính tích phân ( ) )  dx     Giaûi: (   x − x 1− 3x ∫−1 x4 + +  x +1  ( I= ∫−1 dx x4 + I= ∫1 ) x2 − 1− ) Đặt t = + sin2x ⇒ dt = 2sinxcosx dx sin2xdx ° x = , t = , x = 0, π ( sin2x + 2sin2x dx = ∫ 1+ sin2 x sin2xdx + ∫ 1+ sin2 x + sin2x sin2xdx =I+J )  dx        x x + 1− 4x3  = ∫−1 x4 + 1dx + ∫−1 x4 +  dx =I+J   x +1   x2 − ( ) chia tử mẫu cho x2 1  x + x    / x2 dx = dx ∫1 1  x2 + x + x − x   t= x+ x ⇒ dt = 1  x + x   / dx Trường THPT Trưng Vương ĐÀO PHÚ HÙNG ================================================================ ° x=1 ⇒ t=2, x=2 dt Vaäy: I = ∫2 t2 − = 2 ln ⇒ t= ( ( )( )( 5−2 2+ ln 2= t+ 2 2 5+ 2 2− t− ) )   1 x x2 1  x x4 + 1− 4x3   x  J= ∫  d = − ÷=  dx=∫−1 2 -1  289 ÷ −1 x +   x +  x + 1 x4 +   x4 +   ( ĐS: 2 ln ) ( − 2) ( + 2) ( + 2) ( − 2) ( + 1 1 −  289 ÷   ) ... 2x Câu 23:Tính tích phân: I = ∫ e sin xdx Giải: π 2x Biến đổi I dạng: I = ∫ e sin xdx = π π 2x e (1 − cos2x)dx 2∫ (1) π • 2x e2 π = − Xét tích phaân: I1 = ∫ e dx = e 2 0 • 2x Xét tích phân: I =... ================================================================ π/ 2 Câu 21:Tính tích phân: I = ∫ (x + 1)sin xdx Giải:  u = (x + 1) du = 2xdx ⇒  Đặt:  v = − cos x dv = sin xdx π/ 2 Khi đó: I = − (x + 1)cos x + Xét tích phaân J = π/ ∫ π/ ∫ x... t)dt =  − ÷ =   10 2008 Câu9:: Tính tích phân : I = ∫ x sin xdx −1 Giải: Viết lại I dạng: I = ∫ x 2008 −1 sin xdx + ∫ x 2008 sin xdx (1) 0 2008 Xét tích phân J = ∫ x sin xdx −1 3t dt Đặt