Tuyển tập các bài toán tích phân (Có lời giải)

NGUYÊN HÀMI Định nghĩa nguyên hàm : Cho 2 hàm số Fx và fx xác định trên tập D.. Những nguyên hàm này sai khác nhau 1 hằngsố.. Tập hợp các nguyên hàm này lại với nhau được gọi là tích phâ

NGUYÊN HÀM

I) Định nghĩa nguyên hàm :

Cho 2 hàm số F(x) và f(x) xác định trên tập D

F(x) gọi là 1 nguyên hàm của f(x)  F’(x) = f(x), xD

II) Định nghĩa tích phân không xác định :

Ta biết rằng 1 hàm số y = f(x) có nhiều nguyên hàm Những nguyên hàm này sai khác nhau 1 hằngsố Tập hợp các nguyên hàm này lại với nhau được gọi là tích phân không xác định của hàm f(x)

I) Định nghĩa tích phân xác định :

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên tập K; a,b là 2 phần tử thuộc tập K

F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên K

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân xác định của f(x) trên [a;b]

Ký hiệu :  

b a

II) Tính chất : Giả sử f(x), g(x) liên tục trên K; a,b  K

m f x M, x  a;b  m b a f x dx M b a 

t a

t biến thiên trên đoạn a;b  G t f x dx là 1 nguyên hàm của f t và G a 0

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

2) Thể tích vật thể tròn xoay :

 Cho đường cong (C) : y = f(x) liên tục trên [a;b] có đồ thị là (C) Gọi (H) là hình phẳng giới hạnbởi (C), Ox, x = a, x = b Cho hình phẳng (H) quay tròn xoay 1 vòng quanh Ox ta được 1 vật thể trònxoay có thể tích là :  

2

2 Ox

V y dx f x dx

 Cho đường cong (C) : x = g(y) liên tục trên [a;b] có đồ thị là (C) Gọi (H) là hình phẳng giới hạnbởi (C), Ox, y = a, y = b Cho hình phẳng (H) quay tròn xoay 1 vòng quanh Oy ta được 1 vật thể trònxoay có thể tích là :  

2

2 Oy

V x dy g y dy

CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC

1) Tính tích phân :

2 1

dxI

3Đổi cận : x 0 t 2;x t 1

3Đổi cận : x 0 t 1;x t 2

22tdt

dxI

dxI

x x 1



 



 

1

2 2

2

0

3 2

12) Tính tích phân :  

3 2 2

Giải phương trình x2 – x = 0, ta được x = 0 V x = 1

Đặt

v'dv' costdt

20) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới hạnbởi trục Ox và đường y x sin x 0 x   (Dự bị 1 – Đại học khối A – 2004)

dxI

8 4 4

24) Chứng minh rằng :

1 3 1

29) Xác định các hằng số A, B sao cho :

2

e e

x dxI

x 0 t

2Đặt t x dt dx

1y

Diện tích cần tìm giới hạn bởi 2 đường : y x,y x 2x

Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường là : x x 2x x 3x 0 x 0 x 3

dxI

u' cosx du' sin xdx

43) Cho parabol (P) : y = 3x2 và đường thẳng (d) qua M(1;5) có hệ số góc là k

Tìm k để hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) có diện tích nhỏ nhất

A 2

B

Ta có pt đt (d) : y 5 k x 1 y kx k 5

Pt hoành độ giao điểm của (P) và (d) : 3x kx k 5 3x kx k 5 0

kx

6

k 12k 60 0, k (d) luôn cắt (P) ở A và B

kx

       

B B

x 0 (loại)

Pt hoành độ giao điểm của 2 đường là : x ln x 0

ln x 0 x 1Vậy V x ln x dx x ln xdx I

2 2

3 2

35e 2

50) Cho miền D được giới hạn bởi hai đường : x2 + y – 5 = 0 ; x+ y – 3 = 0 Tính thể tích khối tròn xoay đượctạo nên khi quay miền D quanh trục hoành.

1

0

1t

53) Tính tích phaân :

x 1

2sin x cos x

Ta có : sin x cos x cos xsin x cos x sin x sin x cos x cos xsin x cos xsin x

sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin x

cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x cos xsin x sin x cos 2

x 1 cos xsin x

2 2

x dxT

dụng : I 1 cos2xdx 2sin xdx 2 sin x dx

2 sin x dx sin x dx sin x dx

Theo tính chất trên, ta có : sin x dx sin x dx sin x dx

I t sin t dt t sin tdt x sin xdx (2)

Thế (2) vào (1) ta được : I 0

Isin x.sin2x.sin3x.cos5xdx

3

3 2

3 0

2 3

68) Giải phương trình theo ẩn x :

x

1 e

1 ln t dt 18t

70) Cho hình giới hạn elip : x2 y2 1

4   quay quanh trục hoành Tính thể tích của khối tròn xoay được tạonên

pt đường tròn tâm I 3;0 ,R 2 là x 3 y 4

I 4 4sin t2 cos udu 4 cosu cos udu 4 cos udu 2 1 cos2u du 2 u sin 2u

73) Tính tích phân :

3 3 2

3 3

cot gx sin x sin xdxA

1 e

75) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y x 2  4x 3 và y x 3  

(Đại học khối A – 2002)2