Tuyển tập các bài toán tích phân (Có lời giải)

NGUYÊN HÀM

I) Định nghĩa nguyên hàm :

Cho 2 hàm số F(x) và f(x) xác định trên tập D.

F(x) gọi là 1 nguyên hàm của f(x)  F’(x) = f(x), xD

II) Định nghĩa tích phân không xác định :

Ta biết rằng 1 hàm số y = f(x) có nhiều nguyên hàm Những nguyên hàm này sai khác nhau 1 hằng số Tập hợp các nguyên hàm này lại với nhau được gọi là tích phân không xác định của hàm f(x).

I) Định nghĩa tích phân xác định :

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên tập K; a,b là 2 phần tử thuộc tập K F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên K

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân xác định của f(x) trên [a;b]

Biểu thức f(x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx được gọi là vi phân của mọi nguyên hàm f(x)

a là cận trên, b là cận dưới, x là biến số lấy tích phân

II) Tính chất : Giả sử f(x), g(x) liên tục trên K; a,b  K

t biến thiên trên đoạn a;b  G t f x dx là 1 nguyên hàm của f t và G a 0

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

1) Diện tích hình phẳng :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong: y1 = f1(x), y2 = f2(x) và 2 đường thẳng x = a, x = b, trong đó y1, y2 là 2 hàm số liên tục trên [a;b] được tính bởi công thức sau :

2) Thể tích vật thể tròn xoay :

 Cho đường cong (C) : y = f(x) liên tục trên [a;b] có đồ thị là (C) Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox, x = a, x = b Cho hình phẳng (H) quay tròn xoay 1 vòng quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay có thể tích là :  

 Cho đường cong (C) : x = g(y) liên tục trên [a;b] có đồ thị là (C) Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox, y = a, y = b Cho hình phẳng (H) quay tròn xoay 1 vòng quanh Oy ta được 1 vật thể tròn xoay có thể tích là :  

CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC

Giải phương trình x2 – x = 0, ta được x = 0 V x = 1

20) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đường y x sin x 0 x   (Dự bị 1 – Đại học khối A – 2004)

29) Xác định các hằng số A, B sao cho :

Diện tích cần tìm giới hạn bởi 2 đường : y x,y x 2x

Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường là : x x 2x x 3x 0 x 0 x 3

39) Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường : y x;y 2 x;y 0   Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình D xung quanh trục Oy.

u' cosx du' sin xdx

43) Cho parabol (P) : y = 3x2 và đường thẳng (d) qua M(1;5) có hệ số góc là k Tìm k để hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) có diện tích nhỏ nhất.

48) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = xlnx , y = 0 , x = e Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox (Đại học khối B – 2007)

50) Cho miền D được giới hạn bởi hai đường : x2 + y – 5 = 0 ; x+ y – 3 = 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên khi quay miền D quanh trục hoành.

Ta có : sin x cos x cos xsin x cos x sin x sin x cos x cos xsin x cos xsin x sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin x

cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x cos xsin x sin x cos 2

dụng : I 1 cos2xdx 2sin xdx 2 sin x dx

2 sin x dx sin x dx sin x dx

Theo tính chất trên, ta có : sin x dx sin x dx sin x dx

I t sin t dt t sin tdt x sin xdx (2) Thế (2) vào (1) ta được : I 0

68) Giải phương trình theo ẩn x :

70) Cho hình giới hạn elip : x2 y2 1

4   quay quanh trục hoành Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo

71) Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi đường tròn tâm I (3;0), bán kính R = 2.

75) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y x 2  4x 3 và y x 3  

(Đại học khối A – 2002)