Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2016 cực hay (Phần 8: Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình)

1 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Câu 1: Giải phương trình + − x2 = x + − x ( x ∈ ℝ) ( x ∈ ℝ) x + x + − 16 ( x ∈ ℝ ) Câu 2: Giải phương trình x − − x + = x2 − − x + Câu 3: Giải phương trình x + + x + = 3x + Câu 4: Giải phương trình ( x + 1) x −1 = − x2 x +1 Câu 5: Giải phương trình x ( x + ) + + ( x + ) ( x ∈ ℝ) x+3 =0 x+2 ( x ∈ ℝ) Câu 6: Giải phương trình ( x3 − 1) ( x − 1) = x + x x + x Câu 7: Giải phương trình ( x − ) + 3 ( x − ) ( x3 + x ) = Câu 8: Giải phương trình x2 + 5x + + x2 − x + = x Câu 9: Giải phương trình x + x + x x − + x − 3x = ( x + 10 ) Câu 10: Giải phương trình x + x + + x − + x − = Câu 11: Giải phương trình x + ( x + 1) x − x = 15 Câu 12: Giải phương trình x + x − 20 + ( x + ) x − = ( ) 3x − + x+2 Câu 13: Giải phương trình a) x + x + + x + x + = 3x + 3x + 19 Đ/s: x = 1; x = −2 b) x2 + 8x + + x − x + = x HD: Đặt t = x + 4± ⇒x= x Câu 14: Giải phương trình a) b) x + + x + x + = ( x + 2)3 5x − x2 + HD: Đặt t = Đ/s: x = −3 + 2x2 − x2 + + +4=0 x2 − x2 x x − x2 + − x2 ⇒ t = −2; t = −  →x = − x Câu 15: Giải phương trình a) x − x + 12 − − x + 16 x − = x HD: Đặt t = x + ⇒ t = ⇒ x = 1; x = x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG b) 2x 1 23 +4 − = − x −1 2x 2x HD: Đặt t = c) Facebook: LyHung95 x −1 ⇒ t =  →x = 2x x − 16 x − + x + 16 x − = Đ/s: x = x4 − x2 + Câu 16: Giải phương trình + +2=0 x (1 − x ) x − x HD: Đặt t = x − x ⇒ x = − Câu 17: Giải phương trình 3x − x − = x 3x − Câu 18: Giải phương trình 7x 3x + =3 x−4 x−4 Câu 19: Giải phương trình 2x + =1 x 2x2 + Câu 20: Giải phương trình + +1 = x ( − x ) x − x2 Câu 21: Giải phương trình x − x + x Câu 22: Giải phương trình Đ/s: x = x2 − −6 = x x +1 = x− x +1 − − x 2± Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ĐẶT ẨN KHÔNG HOÀN TOÀN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Câu 1: Giải phương trình x ( x + ) = (1 + x ) x + x + Câu 2: Giải phương trình x − x + = x x − 3x + Câu 3: Giải phương trình x + x + = ( x + 1) + x Câu 4: Giải phương trình 3x + x + 11 = ( x + ) 3x + x + ( x ∈ ℝ) ( x ∈ ℝ) ( x ∈ ℝ) ( x ∈ ℝ) Câu 5: Giải phương trình x + = ( x + 1) x − Câu 6: Giải phương trình x + x − = ( x − 3) x + x + Câu 7: Giải phương trình x3 − x + x − = ( x − x + ) x − Câu 8: Giải phương trình x + + 3x − x − − x2 − x + =0 Câu 9: Giải phương trình x + x + x + = x ( x + 3) x + Câu 10: Giải phương trình ( x + 3) x + = x − x − Câu 11: Giải phương trình ( x + 3x + 3) = ( x + x ) x + x x Câu 12: Giải phương trình ( x − x ) − ( x − 1) x − x + = Câu 13: Giải phương trình x − x − = ( x − x − ) x − ( x ∈ R) Câu 14: Giải phương trình x ( x − 1) + x = ( x − 1) x ( x − x + ) + tập số thực Câu 15: Giải phương trình x3 + x − x + = x3 − 5x − x3 + + tập số thực Câu 16: Giải phương trình 2 − x − x + − ( x − 1) = − x Câu 17: Giải phương trình ( x − 5) ( x ∈ R) x − x + = x − x + Câu 18: Giải phương trình x + x − = ( x − 1) x − Câu 19: Giải phương trình x + x − = ( x + ) x + Câu 20: Giải phương trình 3x + x − = ( 3x + ) x − Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – PHẦN Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG ĐẶT ẨN PHỤ NHÓM NHÂN TỬ CHUNG ( x ∈ ℝ) ( x + )( x + 2013) + Câu 1: Giải phương trình x +1 + x − = x2 − x − +1 Câu 2: Giải phương trình x + + x + 2013 = x+2 3x + = x + x Câu 4: Giải phương trình ( + x ) x + = ( x + 5) x Câu 3: Giải phương trình Câu 5: Giải phương trình ( x + 13) x = ( x + ) x + 21 Câu 6: Giải phương trình ( x + 3) x + = ( )  2x + +  x + +  Câu 7: Giải phương trình + x − x + + ( x − 1) = 2 ( 2− x   x + + 2x +  1+ x + − x ) Câu 8: Giải phương trình x + x − x − + x − = 15 Câu 9: Giải phương trình x + x + + x − x + = Câu 10: Giải phương trình x2 − x + = 2x + x2 − x + x +1 Câu 11: Giải phương trình ( x − x + ) x − + ( x − x ) x − x + = ( x − 1)( x − ) Câu 12: Giải phương trình x − + ( x − 1) x − = ( x − 1) x − + x − x + Câu 13: Giải phương trình x3 − x + x + = ( x + x + 3) x − x + 2 1  Câu 14: Giải phương trình  − x + x − +  + = ( x − 1) − x + ( − x ) x − 2  ( ) Câu 15: Giải phương trình x + (1 − x ) x − x − = ( x − 1) ( Câu 16: Giải phương trình x − + + x + x − Câu 17: Giải phương trình ) 2 x − = ( x + ) x − + ( x − 1) x + x+2 3x + = x + x Câu 18: Giải phương trình ( x + x + 3) x = ( x + 3) x + x Câu 19: Giải phương trình ( x + x + 1) x + = x3 + x + x Câu 20: Giải phương trình ( x − x + 1) x + = x − x + x − Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – PHẦN Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PT ĐỒNG BẬC – MẪU Câu [ĐVH]: Giải phương trình x − x3 − x − = x − 12 Câu [ĐVH]: Giải phương trình sau: a) x + 12 x = + x x − b) + x + = x2 + x + x Câu [ĐVH]: Giải phương trình sau: a) x2 − x + = x2 + x−2 b) x − x = 21 + ( x − 3) x + x − Câu [ĐVH]: Giải phương trình sau:  3 b) x + 1 +  = + x  x a) x − x x + x + = x + Câu [ĐVH]: Giải phương trình sau: a) x + + = x2 + x + x b) x − x + = ( x − 1) x + x + Câu [ĐVH]: Giải phương trình sau: a) x + x + = x − b) x − x + = x + Câu [ĐVH]: Giải phương trình sau: a) 10 x − x + = x + b) x + x + 21 = x + 27 Câu [ĐVH]: Giải phương trình sau: a) x3 − 64 = 3x + 10 x + 56 b) x4 + x2 + 1 = 3x − x + 3 Câu [ĐVH]: Giải phương trình sau: a) 20 x − 3x + = 16 x − x + b) x ( x + 1) − x + 12 x + =1 Câu 10 [ĐVH]: Giải phương trình x + x + = x + x + Câu 11 [ĐVH]: Giải phương trình sau: a) 72 x − x + = 64 x + b) x − x + = x + x + Câu 12 [ĐVH]: Giải phương trình x − 16 x + = x − x3 + x − x + Câu 13 [ĐVH]: Giải phương trình x − x + = x + x + Câu 14 [ĐVH]: Giải phương trình x − x + = x + ( x ∈ ℝ) ( x ∈ ℝ) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( x ∈ ℝ) Câu 15 [ĐVH]: Giải phương trình x + 20 x + = 64 x + Câu 16 [ĐVH]: Giải phương trình 3x − x + 23 = x − x + 63 ( ) ( x2 − + x2 − x − ( x ∈ ℝ) ( x ∈ ℝ) Câu 17 [ĐVH]: Giải phương trình 3x + x + 12 = x + x + 16 Câu 18 [ĐVH]: Giải phương trình x − Facebook: LyHung95 ) x2 + x − = Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – PHẦN Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PT ĐỒNG BẬC – MẪU Câu 1: Giải phương trình − x + − x = 14 x − 12 x + Câu 2: Giải phương trình x + x − = 3 x − x + Câu 3: Giải phương trình x + x − + x = x + x − 18 Câu 4: Giải phương trình x + x + x − = x + x − 10 Câu 5: Giải phương trình 3x + + x = 5x 3+ x Câu Giải phương trình x − + x − x + = x − x + Câu Giải phương trình x + + x − x + = x + x + Câu Giải phương trình x + + x − x + 3x + = x3 + x + Câu Giải phương trình ( x − 1) + x − x = x − x3 + x − 28 x + Câu 10 Giải phương trình x − x + 3x − x − = x − x3 + 10 x − 12 x − 12 Câu 11: Giải phương trinh x2 + x + + x + = 5x2 + x + Câu 12: Giải phương trình ( x + ) = x − x ( x − x − ) Câu 13: Giải phương trình x + 72 x + 246 − x + = x + 14 Câu 14: Giải phương trình x + 3x = x + 18 x + − x − Câu 15: Giải phương trình x + x − x − x + = x − x + Câu 16: Giải phương trình x + + x + x − = 25 x + 18 x − 56 Câu 17: Giải phương trình x + + x3 + x − = ( x3 + x − 1) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – PHẦN Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PT ĐỒNG BẬC – MẪU Câu 1: Giải phương trình x3 + x − x + = x3 − + x − Câu 2: Giải phương trình x + 14 x − + ( x + 1) x − = x + + x − Câu 3: Giải phương trình x + x + x − = x + 15 x + Câu 4: Giải phương trình x2 + x − + x − = x2 − x + Câu 5: Giải phương trình x − 17 x + = x − x − x − Câu 6: Giải phương trình (10 x − 14 x + 3) = x ( x − 1) − x − Câu 7: Giải phương trình x + x − 42 = Câu 8: Giải phương trình x − 12 x + = x − x + + x − 3x Câu 9: Giải phương trình x − 27 x + 11 = x − 3x + x − 3x + Câu 10: Giải phương trình ( x − )( x + 3) + x −3 72 x + 24 x − 36 x + = x3 − + x − Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Câu Giải phương trình Câu Giải phương trình 4x −1 − 2x2 + 2x2 − 2x + = x − x + x + 14 = Câu Giải phương trình 14 x + − 3 x + = x + Câu Giải phương trình − x + + x = Câu Giải phương trình − x = − x −1 x + x − + − x − x = Câu Giải phương trình Câu Giải phương trình x3 − x − x + 47 + ( x + x − 18 ) 15 − x − x = ) ( Câu 8: Giải phương trình x − x3 x + − x3 = Câu 9: Giải phương trình Câu 10: Giải phương trình x + − x = 5− 5+ x = x Câu 11: Giải phương trình 3 x − + − x − = Câu 12: Giải phương trình 18 − x + x − = Câu 13: Giải phương trình x + x + = Câu 14: Giải phương trình (1 − x )( x − ) = Câu 15: Giải phương trình − x − x + = Câu 16: Giải phương trình Câu 17: Giải phương trình Câu 18: Giải phương trình Câu 19: Giải phương trình Câu 20: Giải phương trình 5x + x −5 + x+2 x2 − x − = x ( x − 2) x −1 x2 + x + x −2 = 1− x 1 + = 2x − 4x 1 + = x 25 − 16 x 12 1 + = x+3 5− x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bài 8: [ĐVH] Giải hệ bất phương trình sau: x − x + − x − 3x + ≥ x − a) b) ( x − 3) x − ≤ x − Bài 9: [ĐVH] Giải hệ bất phương trình sau: ( a) x − x + ) x2 − > b) ( x − 1) ( x − 2) x( x + 2) ≥ Bài 10: [ĐVH] Giải hệ bất phương trình sau: a) ( x2 − ) 3x − ≤ 2x + b) x2 − 5x2 − ≤ 3x + Bài 11: [ĐVH] Giải hệ bất phương trình sau: a) x + 3x + + x + x + ≤ x + x + b) x2 − 3x + + x − x + ≥ x2 − 5x + b) 3x + + x − ≤ x + b) x + ≥ 2x − + − x Bài 12: [ĐVH] Giải hệ bất phương trình sau: a) x −1 − x − > x − Bài 13: [ĐVH] Giải hệ bất phương trình sau: a) x − − 3x − − x − > Bài 14: [ĐVH] Giải hệ bất phương trình sau: a) 1 − < − x2 x b) 1 − > x − x2 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP có website MOON.VN Ví dụ Giải bất phương trình x + x + 3 − x − x > ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện − x − x ≥ Đặt − x − x = t , ( t ≥ ) ⇒ x + x = − t Phương trình cho trở thành t ≥ t ≥ t ≥  ⇔ ⇔  ⇔0≤t < 2 −1 < t < 2 ( − t ) + 3t > 2t − 3t − < 2 3 − x − x ≥  x + x − ≤ −3 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −3 ≤ x ≤ 2 4 x + x + 13 > 4 ( x + 1) > −9 2 − x − x < Vậy phương trình cho có nghiệm S = [ −3;1] Ví dụ Giải bất phương trình x + x − x − > 10 x + 15 ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x − x − ≥ Biến đổi bất phương trình dạng x − 10 x + x − x − > 15 Đặt x − x − = t , ( t ≥ ) ⇒ x − x = t + Khi ta có 2t + t − > 2 ( t + ) + t > 15 ( t − 1)( 2t + 3) > ⇔ ⇔ ⇔ t >1   t ≥ t ≥ t ≥ + 53 − 53 ∨x> 2   − 53   + 53 Kết luận toán có tập nghiệm S =  −∞; ; +∞  ∪     ⇔ x2 − 5x − > ⇔ x > Ví dụ Giải bất phương trình Điều kiện x ( x − 1) > Đặt x = t, (t > 0) ⇒ x −1 x x −1 + ≥ ( x ∈ ℝ) x −1 x Lời giải x −1 = Bất phương trình cho trở thành x t    2t +1 ≥ t + ≥ t − 0 < t ≤ ⇔  t ⇔ t > t > t ≥    x >  x ( x − 1) >  x ( x − 1) >    0 − x − x ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ( x + 3) ≥ Bất phương trình cho tương đương với x ( x + 3) + x ( x + 3) > Đặt x ( x + 3) = t , ( t ≥ ) ta 2t + t − > −3 + 17 −3 − 17 ( t − 1)( 2t + 3) > ⇔ ⇔ t > ⇔ x + 3x − > ⇔ x > ∨x<  4 t > t > Kết hợp điều kiện đến nghiệm x > −3 + 17 −3 − 17 ∨x< 4 Ví dụ Giải bất phương trình x − 34 x + 48 ≥ Điều kiện ( x − )( x − 32 ) ≥ ( x − )( x − 32 ) ( x ∈ ℝ) Lời giải Bất phương trình cho tương đương với x − 34 x + 48 ≥ x − 34 x + 64 t ≥ t ≥ Đặt x − 34 x + 64 = t , ( t ≥ ) thu  ⇔ ⇔ t ≥ t + t − ≥ t − 16 ≥ t ( )( )    Khi x − 34 x ≥ ⇔ x ≥ 34 x ≤ Kết luận tập nghiệm S = ( −∞; 0] ∪ [ 34; +∞ ) Ví dụ Giải bất phương trình x − x + ≤ x x − ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ Đặt x − = t ( t ≥ ) , ta thu x − t ≤ xt ⇔ x ( x − t ) + t ( x − t ) ≤ ⇔ ( x + t )( x − t ) ≤ (*)  x ≥ Ta có x ≥ ; t ≥ ⇒ x + t > Do ( ∗) ⇔ x − t ≤ ⇔ x ≤ x − ⇔  ⇔1≤ x ≤ 3  x − 3x + ≤  Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S = [1; 2] Lời giải 2 Điều kiện x ≥ Bất phương trình cho tương đương với x − 12 x + ≤ x x − ⇔ x ≤ x + x x − + ( x − ) ( ⇔ ( 3x ) ≤ x + 3x − 2 ) ( ⇔ x + 3x − )( x − ) 3x − ≤ 3 x ≥ ⇔ x − 3x − ≤ ⇔  ⇔1≤ x ≤  x − 3x + ≤ Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S = [1; 2] Lời giải Điều kiện x ≥ Nhận xét x ≥ ⇒ ( x − x + ) x > Bất phương trình cho tương đương với x + ( 3x − ) − x ( 3x − ) ≤ x ( 3x − ) ⇔ x − x ( 3x − ) + ( 3x − ) ≤ ⇔ ( x − x + )( x − x + ) ≤ (1)  23  Ta có x − x + =  x −  + > 0, ∀x ∈ ℝ nên (1) ⇔ x − 3x + ≤ ⇔ ≤ x ≤  16  Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S = [1; 2] Lời giải Điều kiện x ≥ Bất phương trình cho tương đương với x ( x2 − 3x + ) x x − 3x − + x − 3x + ≤ ⇔ + x − 3x + ≤ x + 3x − ( ⇔ ) (x ( − 3x + ) x + x − x + 3x − ) ≤0 ( 2) ⇒ x + x − > 0; x + x − > Do ( ) ⇔ x − 3x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S = [1; 2] Nhận xét x ≥ Ví dụ Giải bất phương trình x + x + ≤ x x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ −1 Bất phương trình cho tương đương với x − x x + + ( x + 1) ≤ x + = y ( y ≥ ) thu Đặt x − xy + y ≤ ⇔ x ( x − y ) − y ( x − y ) ≤ ⇔ ( x − y )( x − y ) ≤ • x ≥ 2 x − y ≤  2 x ≤ x + (Hệ vô nghiệm) ⇔ ⇔ 4 x − x − ≤  2 x − y ≥  2 x ≥ x + 4 x − x − ≥ Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x ≥ 2 x − y ≥ + 17  2 x ≥ x + •  ⇔ ⇔ 4 x − x − ≥ ⇔ ≤ x ≤ x x ≤ + 2 x − y ≤   4 x − x − ≤ 1 + 17  Kết luận tập nghiệm S =  ;3   Lời giải Điều kiện x ≥ −1 Bất phương trình cho tương đương với ( x − x x + + ( x + 1) ≤ x + ⇔ x − x + ) ≤( x +1 ) ( )( ) ⇔ 2x − x + 2x − x +1 ≤ Xét hai trường hợp x ≥ 2 x ≤ x +  ⇔ 4 x − x − ≤ (Hệ vô nghiệm)   2 x ≥ x + 4 x − x − ≥ x ≥ + 17  2 x ≥ x + ⇔ 4 x − x − ≥ ⇔ ≤ x ≤  2 x ≤ x +  4 x − x − ≤ 1 + 17  Kết luận tập nghiệm S =  ;3   Lời giải Điều kiện x ≥ −1 Nhận xét x + x + > 0, ∀x ∈ ℝ Bất phương trình cho tương đương với  x >  x > ⇔   2 2 16 x + ( x + 1) + 24 x ( x + 1) ≤ 64 x ( x + 1) 16 x − 40 x ( x + 1) + ( x + 1) ≤ x >   − 17  x > + 17   − ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ x≤3  ( x − x − 1)( x − x − ) ≤   1 + 17 ≤ x ≤   1 + 17  So sánh điều kiện, kết luận tập nghiệm cần tìm S =  ;3   − 2x Ví dụ Giải bất phương trình − x + x ≥ ( x ∈ ℝ) x Lời giải Điều kiện ≠ x ≤ Bất phương trình cho tương đương với x2 + x − x − ( − x ) x ≥0⇔ (x − 2− x )( x + x 2− x ) ≥0 ( ∗) Xét hai trường hợp • 0 ≤ x ≤ < x ≤ ⇒ x + 2 − x > Khi ( ∗) ⇔ x − − x ≥ ⇔  ⇔1≤ x ≤ x + x − ≥ Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG • Facebook: LyHung95 x < ⇒ x − − x < 0; x < − x ≥ ⇔ 2 − x ≥ −x ⇔  ⇔ −2 − ≤ x < x + 4x − ≤ Kết luận nghiệm S =  −2 − 3; ∪ [1; 2] ( ∗) ⇔ x + ) Ví dụ 10 Giải bất phương trình 3x + x + = ( x + 1) x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Phương trình cho tương đương với ( x + 1) − ( x + 1) x + + ( x + 3) = Đặt x + = a; x + = b • ( b > ) Phương trình trở thành a = b a − 3ab + 2b = ⇔ a ( a − b ) − 2b ( a − b ) = ⇔ ( a − b )( a − 2b ) = ⇔   a = 2b  x ≥ −1 a = b ⇔ x + = x2 + ⇔  ⇔ x =1 x + 2x +1 = x +  x ≥ −1  x ≥ −1 a = 2b ⇔ x + = x + ⇔  ⇔ (Hệ vô nghiệm)  2  x + x + = x + 12 3x − x + 11 = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Phương trình cho tương đương với • ( ) ( x + 1) − ( x + 1) x + = x − ⇔ ( x + 1) x + − x + = ( x − 1) ( x + 1)( x − 1) x = = ( x − 1) ⇔ ( x − 1) x + − x − = ⇔  x + + x2 +  x + = x +  x ≥ −1  x ≥ −1 Với x + = x + ⇔  ⇔ (Hệ vô nghiệm)  2  x + x + = x + 12 3x − x + 11 = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Phương trình cho tương đương với ⇔ ( ) 12 x + x + 28 = 12 ( x + 1) x + ⇔ ( x + x + 1) − 12 ( x + 1) x + + ( x + 3) = x +  x + = x2 + ⇔  x + = x +  x ≥ −1  x ≥ −1 x + = x2 + ⇔  ⇔ (Hệ vô nghiệm)  2  x + x + = x + 12 3x − x + 11 =  x ≥ −1 x + = x2 + ⇔  ⇔ x = x + 2x +1 = x + Vậy phương trình cho có nghiệm x = Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ ( ⇔ x + − x2 + ) ( = x2 + ) Nhận xét x + x + = x + ( x + 1) + > 0, ∀x ∈ ℝ Phương trình cho tương đương với Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  x + >  2 9 x + 12 x + 46 x + 28 x + 49 = ( x + 1) ( x + 3)  x > −1  x > −1 ⇔ ⇔ ⇔ x =1 2 x − x − x + 11 = ( ) − + − = x x 13 x 11 ( )   Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 11 Giải bất phương trình x + x + ≤ x x + x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Bất phương trình cho tương đương với x − x x + x + + ( x + x + 1) ≤ Đặt y < y Thu 3 x − xy + y ≤ ⇔ x − xy − xy + y ≤ x2 + x + = y ( y > ) ⇒ ⇔ x ( x − y ) − y ( x − y ) ≤ ⇔ ( x − y )( x − y ) ≤ ⇔ y≤x≤ y Nhận xét y > 0; y ≤ x ≤ y ⇒ x > Xét hai trường hợp 4 ( x + x + 1) ≤ x 5 x − x − ≥ 2+2 o y ≤ 3x ⇔  ⇔ ⇔ x≥ x >  x > x > o x≤ y⇔ ⇔ x > x ≤ x + x +1 Kết hợp hai trường hợp ta có nghiệm x > Ví dụ 12 Giải bất phương trình ( x − 1) + ≤ x3 − Điều kiện x ≥ Bất phương trình cho tương đương với ( x ∈ ℝ) Lời giải x − x + ≤ x − ⇔ x + x + − x + x + x − − ( x − 1) ≤ Đặt x + x + = u; x − = v ( u > 0; v ≥ ) thu u − 2uv − 3v ≤ ⇔ ( u + v )( u − 3v ) ≤ ⇔ u ≤ 3v ⇔ x + x + ≤ x − x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ 4− ≤ x ≤ 4+ x + x + ≤ x − x − x + 10 ≤   Kết luận tập nghiệm S =  − 6; +  Lời giải Điều kiện x ≥ Nhận xét ( x − 1) + > 0∀x ∈ ℝ Bất phương trình cho tương đương với x − x3 + 12 x − 16 x + 16 ≤ x3 − ⇔ x − x3 + 12 x − 16 x + 20 ≤ ⇔ ( x − x + 10 )( x + ) ≤ ⇔ − ≤ x ≤ + Kết luận tập nghiệm S =  − 6; +  Lời giải Điều kiện x ≥ • Xét trường hợp x = không thỏa mãn bất phương trình ban đầu • Xét trường hợp x > , bất phương trình cho tương đương với Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x + ≤ 2x − + x −1 ⇔ x + ≤ 2 ⇔ x2 + ≤ ( x2 + 2) x −1 ( ) Facebook: LyHung95 x −1 + x −1 ⇔ x + ≤ 2x − 2 ( x3 − x + x − ) x3 − − x + x −1 ≥ ( ∗) x3 − − x + x2 + x + − x − x2 + Nhận xét: x + x + − x − = > 0∀x > Do x2 + x + + x − x > ⇔ x ∈  − 6; +  ( ∗) ⇔ x − ≥ x + x + − x − ⇔ x − ≥ x + x + ⇔  x − x + 10 ≤  Kết luận tập nghiệm S =  − 6; +  x3 − − x + ⇔ ≥1⇔ Ví dụ 13 Giải bất phương trình x + 13 + x3 + x − ≥ x ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x + x − ≥ ⇔ ( x − 1) ( x + x + 3) ≥ ⇔ x ≥ Bất phương trình cho tương đương với x + x + + x − x + x + − 10 ( x − 1) ≥ ( a > 0; b ≥ ) thu a + 3ab − 10b ≥ ⇔ a ( a + 5b ) − 2b ( a + 5b ) ≥ ⇔ ( a − 2b )( a + 5b ) ≥ ⇔ a − 2b ≥ x + x + = a; x − = b Đặt x ≥ ⇔ x2 + x + ≥ x − ⇔  ⇔ x ≥1  x − 3x + ≥ Vậy bất phương trình cho có nghiệm S = [1; +∞ ) Lời giải Điều kiện x + x − ≥ ⇔ ( x − 1) ( x + x + 3) ≥ ⇔ x ≥ Bất phương trình cho tương đương với x3 + x − ≥ − ( x − x + 13) • • (1) Xét x − x + 13 > , bất phương trình (1) nghiệm Xét x − x + 13 ≤ , ta có 2  x − x + 13 ≤  x − x + 13 ≤ ⇔ (1) ⇔  3  x − 27 x + 107 x − 252 x + 196 ≤ 9 ( x + x − 3) ≥ x − 18 x + 107 x − 234 x + 169 2  x − x + 13 ≤  x − x + 13 ≤ ⇔ ⇔ ( ∗)  x − 24 x + 28 ≤ ( x − x + )( x − 24 x + 28 ) ≤ Ta có x − x + 13 ≤ 0; x ≥ ⇒ x − x + 13 − 15 ( x − 1) ≤ ⇔ x − 24 x + 28 ≤ Vậy (*) nghiệm với x − x + 13 ≤ Kết hợp hai trường hợp, (1) nghiệm với giá trị x thuộc tập xác định, hay x ≥ Lời giải 3 Điều kiện x + x − ≥ ⇔ ( x − 1) ( x + x + 3) ≥ ⇔ x ≥ Bất phương trình cho tương đương với x − 3x + + ( ) x3 + x − − x − ≥ ⇔ x − 3x + + ( x − 1) ( x − x + ) ( x3 − x + 10 x − ) x3 + x − + x + ≥0   ( x − 1) ≥ ⇔ ( x − x + ) 1 +  ≥ ( 2) x3 + x − + x + x3 + x − + x +   ( x − 1) Nhận xét x − x + > 0∀x ∈ ℝ; x ≥ ⇒ + > Vậy (2) nghiệm với x ≥ x3 + x − + x + ⇔ x − 3x + + Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Kết luận tập nghiệm S = [1; +∞ ) ( x ∈ ℝ) Ví dụ 14 Giải bất phương trình 3x + 27 ≥ x3 + x − 10 Lời giải Điều kiện x + x − 10 ≥ ⇔ ( x − ) ( x + x + ) ≥ ⇔ x ≥ Bất phương trình cho tương đương với ( x + x + ) − ( x − ) ≥ x + x + x − ( u ≥ 13; v ≥ ) , quy 3u − 7uv − 6v ≥ ⇔ 3u ( u − 3v ) + 2v ( u − 3v ) ≥ ⇔ ( u − 3v )( 3u + 2v ) ≥ ⇔ u ≥ 3v x + x + = u; x − = v Đặt x ≥ ⇔ x2 + x + ≥ x − ⇔  ⇔ x≥2  x − x + 23 ≥ Kết luận tập hợp nghiệm S = [ 2; +∞ ) Lời giải Điều kiện x + x − 10 ≥ ⇔ ( x − ) ( x + x + ) ≥ ⇔ x ≥ Bất phương trình cho tương đương với x + 162 x + 729 ≥ 49 x3 + 49 x − 490 ⇔ x − 49 x3 + 162 x − 49 x + 1219 ≥ ⇔ ( x − x + 23)( x + 14 x + 53) ≥ (1) Ta có x − x + 23 > 0∀x ∈ ℝ;9 x + 14 x + 53 > 0∀x ∈ ℝ nên (1) nghiệm với giá trị x thuộc tập xác định Kết luận tập hợp nghiệm S = [ 2; +∞ ) Lời giải Điều kiện x + x − 10 ≥ ⇔ ( x − ) ( x + x + ) ≥ ⇔ x ≥ • • Nhận xét x = không nghiệm bất phương trình ban đầu Xét trường hợp x > , bất phương trình cho tương đương với ( x3 − x + 37 x − 46 ) 3 x − 21x + 69 ≥ x + x − 10 − x + ⇔ ( x − x + 23 ) ≥ x + x − 10 + x − ) ( ⇔ ( x − x + 23) ≥ ⇔ ( x − ) ( x − x + 23 )   ( x − 2) ⇔ ( x − x + 23 )  − 3 ≤ x3 + x − 10 + x −  x + x − 10 + x −  ( x − 2) ( x − ) ( x + x + 5) + ( x − ) ≤3⇔ x−2 x + 2x + + x − 2 ≤3 ⇔ x − ≤ x2 + x + + x − ⇔ x2 + x + + x − ≥ Bất phương trình (2) nghiệm với giá trị x thuộc tập xác định Do ta có tập nghiệm S = [ 2; +∞ ) ( 2) ( x ∈ ℝ) Ví dụ 15 Giải bất phương trình 81x + ≥ 27 x + 42 x + Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Nhận xét 81x + = 81x + 36 x + − 36 x = ( x + ) − ( x ) = ( x − x + )( x + x + ) 2 Bất phương trình cho tương đương với x − x + x + x + ≥ ( x + x + ) − ( x − x + ) Đặt ( u > 0; v > ) quy 3uv ≥ 5u − 2v ⇔ u ( 5u + 2v ) − v ( 5u + 2v ) ≤ ⇔ ( u − v )( 5u + 2v ) ≤ ⇔ u ≤ v x + x + = u; x − x + = v ⇔ x2 + x + ≤ x2 − x + ⇔ x2 + x + ≤ x2 − x + ⇔ x ≤ Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Kết luận nghiệm S = ( −∞; 0] Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Xét hai trường hợp • 27 x + 42 x + < , bất phương trình cho nghiệm • 27 x + 42 x + ≥ , bất phương trình cho trở thành 27 x + 42 x + ≥ 27 x + 42 x + ≥ ⇔  4 2 2268 x + 324 x + 504 x ≤ 9 ( 81x + ) ≥ 729 x + 324 x + 36 + 84 x ( 27 x + ) 27 x + 42 x + ≥ 27 x + 42 x + ≥ ⇔ ⇔ x ≤  x ( 63 x + x + 14 ) ≤ Kết hợp hai trường hợp thu nghiệm S = ( −∞; 0] BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Giải bất phương trình sau: a) x + + − x − < + ( x + 5)(− x − 3) b) x3 − x + x ≥ x x + x − x b) x− Bài 2: [ĐVH] Giải bất phương trình sau: a) x − 10 x + 16 − x − ≤ x − x +1 ( x + 1) + < 2x −1 + Bài 3: [ĐVH] Giải bất phương trình sau: a) ( x + 4)( x + 1) − x + x + < b) x( x − 1) + > x − x + Bài 4: [ĐVH] Giải bất phương trình sau: a) 2( x − 16) x −3 + x −3 > 7− x x−3 b) x − x + 16  − x x − + 2 x x ( − x )  − x2   −1 ≤   Bài 5: [ĐVH] Giải bất phương trình sau: a) x + x < 2x + −7 2x b) −4 (4 − x)(2 + x) ≤ x − x − 12 Bài 6: [ĐVH] Giải bất phương trình sau: a) x( x − 4) − x + x + ( x − 2)2 < b) x( x − 4) x − x ≥ − (2 − x)2 Bài 7: [ĐVH] Giải bất phương trình sau: a) x − x − + − x ≤ x2 − − x2 b) x − x + − 25 − x ≤ x2 + 25 − x Bài 8: [ĐVH] Giải bất phương trình sau: a) x + x + 16 ≤ 40 x + 16 Bài 9: [ĐVH] Giải bất phương trình sau: a) x + − x ≤ x − x b) x + b) x + x x x2 − < 2x + > +4 2x 35 12 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bài 10: [ĐVH] Giải bất phương trình sau: a) x + x − x − > 10 x + 15 b) ( x − 2)( x − 32) ≤ x − 34 x + 48 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – P3 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Ví dụ 1: [ĐVH] Giải bất phương trình x + x + + x + 11 < x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ − Bất phương trình cho tương đương với x − x − + x + − ( x + ) + x + 11 − ( x + 3) < − x2 + x + − x2 + x + + x + 11 + x +  5x + + x +  1 1 + < + < 2, ∀x ≥ − 5x + + x + x + 11 + x + − 13 3− + 5 (1) Do (1) ⇔ x − x − < ⇔ ( x + 1)( x − ) < ⇔ −1 < x < Kết luận nghiệm −1 < x < Ví dụ 2: [ĐVH] Giải bất phương trình x + x + + x3 + x + x ≥ ( x + 1) x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ −2 Nhận xét x = −2 thỏa mãn bất phương trình cho Xét trường hợp x > −2 bất phương trình cho tương đương x + x + − + x3 + x + x + − ( x + 1) x + ≥ ( ⇔ x + x + − + ( x + 1) x + − x + ⇔ x2 + x − x2 + x + + (x + + 1)( x + x − ) x + + 3x + ) ≥0   x2 + ⇔ ( x − 1)( x + )  +  ≥ (1)  x + x + + x + + 3x +    x2 + Ta có ( x + )  + > 0, ∀x > −2 nên (1) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ Kết luận x ≥  x + + x + x + x + +   Ví dụ 3: [ĐVH] Giải bất phương trình ( 3x + 1) > x + 5x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ − Bất phương trình cho tương đương với Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( 3x + 1) ( ) x + − x > x + x + − x ( x + 1) ( x + − x ) > −4 x + x + ⇔ ( x + 1) ( x + − x ) > ( x + − x )( ⇔ ( x + − x )( x + − x − 1) < (1) ⇔ ( x + 1) Ta có x + + x + > 0, ∀x ≥ − nên (1) ⇔ ( Facebook: LyHung95 ) 3x + − x x ( x − 1) 3x + + x + >0⇔ ( 3x + + x ) ) 3x + − x x ( x − 1) > ( ) Xét hai trường hợp xảy x < x >1 x <  • Với x ( x − 1) > ⇔  ( ) ⇔ x + > x ⇔   x ≥ ⇔ ⇔ x x x    Kết luận nghiệm S =  − ;1   Ví dụ 4: [ĐVH] Giải bất phương trình x + 19 x + 63 x + 76 > 3 x + + ( x + ) x + Lời giải Điều kiện x ≥ −2 Bất phương trình cho tương đương với ( ( x ∈ ℝ) ) ( ) x + − x + + ( x + ) x + − x + + x3 + 17 x + 49 x + 49 ( ) ( ) ⇔ ( x + 5) x + − x + + x + − 3x + + ( x + ) ( x2 + 5x + ) > 2x +   ⇔ ( x2 + 5x + )  + + 2x + 7 >  x + + x + x + + 3x +  (1) 2x + 5  Để ý x + x + =  x +  + > 0, ∀x ∈ ℝ + + x + > 0, ∀x ≥ −2 nên 2 x + + x + x + + 3x +  (1) nghiệm Kết luận x ≥ −2 2 Ví dụ 5: [ĐVH] Giải bất phương trình  ( x − x + ) − 1   Lời giải Điều kiện x ≤ Nhận xét ( ) ( x ∈ ℝ) − x + x + ≥ x − x + 11 ( x − x + ) − = x + ( x − 1) + − > − > nên bất phương trình cho trở thành − x + x +1 ≥ x − x + 11 ( x − x + 6) −1 = ( x2 − x + 6) + ⇔ − x + x ≥ ( x2 − x + 6) Áp dụng bất đẳng thức a + b ≤ a + b ≤ ( a + b ) ta có − x + x ≤ ( − x + x2 ) [1] [2] x ≥ Do [1] có nghiệm [2] xảy đẳng thức ⇔ − x = x ⇔  ⇔ x = x + x − = Vậy bất phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 6: [ĐVH] Giải bất phương trình x2 − x + + x2 + x + ≥ x ( x ∈ ℝ) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Lời giải 2 1 1   Điều kiện x ∈ ℝ Nhận xét x − x + + x + x + =  x −  + +  x +  + > 0, ∀x ∈ ℝ 4 4   Do bất phương trình ban đầu nghiệm với x ≤ 2 Xét trường hợp x > ⇒ x + x + > x − x + , bất phương trình cho trở thành 2x ≥ x ⇔ x2 + x + − x2 − x + ≤ ⇔ x2 + x + ≤ + x2 − x + 2 2x + x + − 2x − x + ⇔ x2 + x + ≤ x2 − x + + 2 x2 − x + ⇔ x − ≤ 2 x2 − x + 2 x < 2 x <   ⇔  2 x ≥ ⇔  2 x ≥ ⇔ x∈ℝ ⇒ x >   2  4 x − x + ≤ x − x +  4 x + ≥   Kết hợp hai trường hợp ta có tập nghiệm x ∈ ℝ 2x Ví dụ 7: [ĐVH] Giải bất phương trình ( 3x − + x − 2x + + Lời giải ) + 15 < 2x + ( x ∈ ℝ) Lúc bất phương trình cho tương đương với 3x − + x − < x + + 2x + − Điều kiện x ≥ 2x ( ⇔ 2x ( ) ( )( x − ) < 5.2 x ⇔ x − + 3x − + ) 4x − < ⇔ x − + 12 x − 29 x + 15 < 25 ⇔ 12 x − 29 x + 15 < 33 − x 33 5 33 33 5 5 ≤x< 3 ≤ x <  ≤x<  ⇔ ⇔ 3 ⇔ ⇔ ≤ x  x > 343 ∨ x <   Vậy bất phương tình ban đầu có nghiệm ≤ x < Ví dụ 8: [ĐVH] Giải bất phương trình x − − 3x + ≥ x − x − Lời giải Bất phương trình tương đương với x − − + − 3 x + ≥ x − x − 2x − − 3x ⇔ + − ( x − )( x + 1) ≥ 2 x − + 3x + + 3x + + Điều kiện: x ≥ ( )    ⇔ ( x − 2) − ( x + 1)  ≥ (2)  2x − +1 −    3x + + 3x + +   3 Ta có: − − ( x + 1) ≤ − − − < 2 x − + 3x + + 3x + + ( ( ) ) Nên (2) ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ 3  Kết hợp điều kiện ta S =  ;  tập nghiệm bất phương trình 2  Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Ví dụ 9: [ĐVH] Giải bất phương trình ( x − 3) ( 2x −1 + x ) Facebook: LyHung95 ≥ ( x − 1) ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ Nhận xét x = không thỏa mãn toán, Bất phương trình cho tương đương với x−3≥ ( ( x − 1) 2x −1 + x ) ⇔ x −3≥ ( 2x −1 ≠ x 2x −1 − x ) ⇔ x − ≥ 3x − − 2 x − x ⇔ x − x ≥ x + ⇔ x − x ≥ x + x + ⇔ x − 3x − ≥ ⇔ x ≥ Kết hợp điều kiện ta thu nghiệm x ≥ Ví dụ 10: [ĐVH] Giải bất phương trình 13 + ( x ∈ ℝ) x2 + x + + x2 + ≥ x Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Nhận xét + 13 − 13 ∨x≤ 2 x + x + + x + > 0, ∀x ∈ ℝ nên bất phương trình nghiệm trường hợp x ≤ Xét khả x > ⇒ x + x + > x + , bất phương trình cho trở thành x ≥ x ⇔ x2 + x + ≤ + x2 + ⇔ x2 + x + ≤ x2 + + x2 + 2 4x + x + − 4x + x < x <   ⇔ x − ≤ x2 + ⇔  x ≥ ⇔  x ≥ ⇔ x∈ℝ ⇒ x >   2   x − x + ≤ 16 x +  15 x + x + ≥   Vậy bất phương trình cho có nghiệm x ∈ ℝ BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 2: [ĐVH] Giải bất phương trình ( x2 ) 2x + +1 Bài 5: [ĐVH] Giải bất phương trình Bài 6: [ĐVH] Giải bất phương trình + 3x + − x ≥ + 3x − − x x 11 x2 − + 4x − ≥ ( x ∈ ℝ) ( x ∈ ℝ) x3 − − − x ≤ Bài 7: [ĐVH] Giải bất phương trình x + 10 + x + ≤ x + Bài 8: [ĐVH] Giải bất phương trình sau x2 x2 a) > x − b) (1 + + x )2 − + 2x ( Bài 9: [ĐVH] Giải bất phương trình sau ( a) 4( x + 1)2 < (2 x + 10) − + x ) ( x ∈ ℝ) > 2x + x −1 + Bài 3: [ĐVH] Giải bất phương trình x ≤ x + − x + Bài 4: [ĐVH] Giải bất phương trình ( x ∈ ℝ) x + − 2x + ≤ x −1 Bài 1: [ĐVH] Giải bất phương trình ) ≤ x + 21 ( b) 4( x + 1)2 ≤ (3 x + 7) − x + ) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! [...]... 12: Giải phương trình 2 x 3 + 11x = 8 + 5 3 4 − 3 x Câu 13: Giải phương trình 8 ( 4 x 2 + 5 x + 3) = 3 2 x − 5 Câu 14: Giải phương trình 3 ( x 2 + x − 1) = Câu 15: Giải phương trình 6 ( x + 1) = 2 5x + 8 3 8 + x − 3x 2 3 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PHƯƠNG PHÁP... x + 6 2 x + 4 x − 12 Câu 6: Giải phương trình 2 = ( x + 2) x + 2 − 2 x − 2 x + 10 ) Câu 5: Giải phương trình ( Câu 7: Giải phương trình ) 8 x 2 − 13 x = ( x − 1) 2 2 x − 1 − 3 x 2 − 3x + 4 ( ) Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! (1) Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Câu 8: Giải phương trình x + 1 = x x − 2 + Facebook:... x Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên BÀI TẬP LUYỆN TẬP Câu 1: Giải phương trình x2 + 3 =1 2 x + 5x − 1 ( x ∈ ℝ) Câu 2: Giải phương trình 2 x2 − 5x + 7 =1 7x + 2 +1 ( x ∈ ℝ) ( x ∈ ℝ) Câu 3: Giải phương trình x 2... Giải phương trình 4 x 2 + 7 x + 1 = 2 x + 2 6x + 9 Câu 2 Giải phương trình + 15 x 2 + x + 9 = 0 2x +1 10 Câu 3 Giải phương trình +1 = x 6x2 − x − 6 − 4  16 8  Câu 4 Giải phương trình x3 − 6 x 2 + 12 x − 8 =  2 − 3  2 x − 1 x  x Câu 5: Giải phương trình x 2 + 2 x + 3 = 3 3 x + 1 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc. .. thức không xảy ra nên < 4 x 2 − 3 x + 1 ⇒ (1) vô nghiệm x − 2 +1 Kết luận phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3 x ( x − 3) 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Câu 1: Giải phương trình 3 x 2 − 10 x + 4 = 4 x − 1 + 6 x Câu 2: Giải phương trình. .. − x 3 1+ x + x + 3 Kết luận phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 0; x = 3 ⇔ 3x 2 ( x 2 − 3x ) = Ví dụ 3 [ĐVH]: Giải phương trình 5 9 − x + 5 x + 4 = 17 x 3 − 425 x + 25 Điều kiện −4 ≤ x ≤ 9 Phương trình đã cho tương đương với ( x ∈ ℝ) Lời giải Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook:... có các nghiệm x = 2; x = −1 Kết luận phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 2; x = −1 2 Ví dụ 8 [ĐVH]: Giải phương trình x ( x + 1)( x − 3 ) + 3 = 4 − x + x + 1 ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện −1 ≤ x ≤ 4 Phương trình đã cho tương đương với Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook:... kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Câu 3: Giải phương trình 3 ( x − 2 ) + 3 x + 4 = 3 2 x + 1 + x − 3 ( x ∈ ℝ) Câu 4: Giải phương trình 3x − 4 + x 2 + 2 = 3x + x Câu 5: Giải phương trình x +1 + 2 x + 1 = 3x + 2 5x + 2 + 1 ( x ∈ ℝ) Câu 6: Giải phương trình 2 x + 3 − x + 4 + 2 x 2 + 3x = 5 ( x ∈ ℝ) Câu 7: Giải phương trình 1 1 −... 2 x + 2) x + 3 − 2 2x + 1 + 2 3   2 2 Câu 10: Giải phương trình  x − 1 +  2 x − 6 x + 6 = 4 x − 16 x + 17 2x − 4   Câu 9: Giải phương trình ( ) Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PHƯƠNG PHÁP TỔNG SỐ HẠNG KHÔNG ÂM GIẢI PT Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO... phương trình 8 − x 2 = x3 − 3x 2 + 4 x − 2 Bài 13: [ĐVH] Giải phương trình ( x + 2 )( 2 x − 1) − 3 x+6 = 4− ( x + 6 )( 2 x − 1) + 3 x+2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG ... Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH... Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH... Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH