TÀI LIỆU ôn THI THPT QUỐC GIA môn TOÁN năm 2015 2016

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA - MƠN TỐN NĂM 2015-2016 **************************** PHẦN I: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN OXYZ TĨM TẮT LÝ THUYẾT I.HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 1.Toạ độ điểm toạ độ véc tơ: ( ) ( )                                                                                = = ± = ± ± ± =  =  = ⇔ =   =  = + + = + + = r r r r r r r r r r r r r r ur uur r                                                                 ⇔ = ⇔ ∧ = ⇔ = = ⊥ ⇔ = ⇔ + + =     ∧ = =  ÷  ÷     r r r r r r r r r r r r r r = − − − uuur ! ! !  ! " " # # $ $  11.    ! ! ! ! ! " "  # #  $ $  = = − + − + − uuur 12. r r r  đồng phẳng ( ) . 0a b c⇔ ∧ = r r r  r r r khơng đồng phẳng ( ) . 0a b c⇔ ∧ ≠ r r r 14.M là trung điểmcủa AB thì       +++ 2 , 2 , 2 BABABA zzyyxx M 15. G là trọng tâm tam giác ABC       ++++++ , 3 , 3 , 3 CBACBACBA zzzyyyxxx G 16. Véctơ đơn vị: 1 2 3 (1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)e e e = = = ur uur ur 17. OzzKOyyNOxxM ∈∈∈ ),0,0(;)0,,0(;)0,0,( 18. OxzzxKOyzzyNOxyyxM ∈∈∈ ),0,(;),,0(;)0,,( 19.    !       % ! !      ∆ = ∧ = + + uuur uuur 20. ! &  ' ! !!&  = ∧ uuur uuur uuur 21. / . ).( //// AAADABV DCBAABCD ∧= 2/ Mặt cầu : 2.1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính r  ( ) ( ) ( ) 2 r − + − + − = 2 2 2 x a y b z c  Phương trình  & + + + = 2 2 2 x y z +2Ax + 2By + 2Cz 0  !  & + + − > 2 2 2 với 0 ( )*+,-)./0,12!2 23 = + + −    * !  & 2 2 Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu  ( ) ( ) ( ) 2 r − + − + − = 2 2 2 (S) : x a y b z c 3,α4!"5 #5$5&6 Gọi d = d(I,(α)) là khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp(α ):  d > r4%∩α6φ  d = r4α)789":%);7<<4)789=78>,α4)789?78@   d < r4αA)%)8=)*:ương )*+ ( ) ( ) ( ) 2 ( )  − + − + − =   + + + =   r α 2 2 2 (S) : x a y b z c : Ax By Cz D 0 II. MẶT PHẲNG 1. Vectơ pháp tuyến của mp α :   ≠   là véctơ pháp tuyến của mp(α ⇔ Giáủ   ⊥ ,α 2.P.trình tổng qt của mp( α ): A" + B# + C$ + &6 B) có'/C/   6!  3.Một số trường hợp đặcbiệt của phương trình mặt phẳng *Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa ox: By+Cz+D=0 ( D≠0 song song, D=0 chứa) *Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa oy: Ax+Cz+D=0 ( D≠0 song song, D=0 chứa) *Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa oz: Ax+By+D=0 ( D≠0 song song, D=0 chứa) *Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) :   $  #  " =++ 3ới a.b.c≠0 *Phương trình các mặt phẳng tọa độ: D#$4"6D"$4#6 ; D"#4$6 4. Vị trí tương đối của hai mp ( α ): A 1 " +B 1 # +C 1 $+&  6  và ( β ) : A 2 " +B 2 y+C 2 z + &  6  E 1 1 1 2 2 2 α β A)  ! 4 4  ! 4 4 ⇔ ≠ E 1 1 1 1 2 2 2 2 α β !  &  F F  !  & ⇔ = = ≠ E 1 1 1 1 2 2 2 2 α β !  &     !  & ≡ ⇔ = = = G-78@)           ! !    α ⊥ β ⇔ + + = .KC từ M(x 0 ,y 0 ,z 0 ) đến ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0  o o o 2 2 2 Ax By Cz D A B C α + + + = + + d(M,( )) 6.Góc gi ữa hai mặt phẳng4 1 2 1 2 n .n α β n . n = r r r r cos( , ) với 1 2 n ; n r r là VTPT của 2 mặt phẳng III. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN 1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M(x o ;y o ;z o ) có vtcp a  = (a 1 ;a 2 ;a 3 )  Rt; tazz tayy taxx (d) 3o 2o 1o ∈      += += += : 2.Phương trình chính tắc của (d)  32 a z-z a yy a xx (d) o 1 o 0 : = − = − 3.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng : Cho 2 đường thẳng d 1 : có véctơ chỉ phương a → và đi qua M 1 , d 2 : có véctơ chỉ phương → b và đi qua M 2 * d 1 // d 2 ⇔  =   ≠   r r r r uuuuur r   H  HB B  *d 1 ≡ d 2 ⇔  =   =   r r r r uuuuur r   H  HB B  * d 1 cắt d 2 ⇔ ( )  ≠   =   r r r r r uuuuur   H   H  B B  *d 1 chéo d 2 ⇔ ( ) ≠ r r uuuuur   H  B B   ( với a 1 .a 2. a 3 ≠0) * Đặc biệt d 1 ⊥d 2 ⇔  = r r a b 4.Góc giữa 2 đường thẳng : = r r r r    ? ?     5. Khoảng cách giữa từ M đến đường d 1 : ( ) 1 1 ; ; M M a d M d a     = uuuuur r r 6. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song: d(d 1 ;d 2 )=d(M 1 ;d 2 ). 7. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: ( ) 1 2 ; . ; ; a b M M a b     =     d d d 1 2 r r uuuuuur r r MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP: I/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU: Dạng toán 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình: & + + + = 2 2 2 x y z + 2Ax + 2By + 2Cz 0 Phương pháp giải: • Tìm tâm: hoành độ lấy hệ số của x chia (-2), tung độ lấy hệ số của y chia (-2), cao độ lấy hệ số của z chia (-2)⇒ Tâm mặt cầu là I(-A ;-B ;-C). • Tím bán kính 2 2 2 A +B +C -Dr = Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau: a) x y z x y       + + − − + = Giải: a/Tâm mặt cầu là I(4;1;0), bán kính của mặt cầu là: + + − + + − = ⇔ + + − + + − = b x y z x y z x y z x y z        F              Tâm mặt cầu là I(1; -4/3; -5/2), bán kính của mặt cầu là: Dạng toán 2: Tìm tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu S(I ;R) và mp(α): Phương pháp giải: + Tìm tâm H B1: Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp(α) B2: Tâm H là giao điểm của d và mp(α). + Bán kính ),( 22 α IdRr −= Ví dụ: Cho mặt cầu (S) : 2 2 2 ( 3) ( 2) ( 1) 100x y z− + + + − = và mặt phẳng ( ) : 2 2 9 0x y z α − − + = . Chứng minh rằng (S) và (α) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (T). Tìm tâm và bán kính đường tròn (T) Giải: Mặt cầu (S) có tâm I(3;-2;1) và bán kính R = 10. Ta có : 2.3 2( 2) 1 9 ( ,( )) 6 4 4 1 d I α − − − + = = + + <10=R⇒ mc(S) cắt (α) theo giao tuyến là đường tròn (T). Mp ( ) α có 1 VTPT là   n = − − r Đường thẳng d qua I vuông góc với mp ( ) α có một VTCP là   n = − − r ⇒ phương trình tham số là:      x t y t z t  = +  = − −   = −  . Gọi H= d∩ ( ) α ⇒ H∈d ⇒ H(3+2t;-2-2t;1-t). Mặt khác H∈mp ( ) α ⇒ ta có: 2(3+2t)-2(-2-2t)-(1-t)+9=0⇔9t=18 ⇔ t=2 ⇒ H(7;-6;-1).Tâm của đường tròn (T) chính là H(7;-6;-1) 2 2 2 2 2 2 A +B +C -D ( 4) +(-1) +0 -1 4r = = − = 2 2 2 2 2 2 4 5 19 A +B +C -D ( 1) + + +1 3 2 6 r     = = − =  ÷  ÷     Bán kính đường tròn giao tuyến là :     *      R d I α = − = − = Dạng toán 3: Lập phương trình mặt cầu Chú ý: Khi lập phương trình mặt cầu cần tìm: Cách 1: Tâm I(a;b;c), bán kính r của mặt cầu ⇒phương trình là: ( ) ( ) ( ) 2 r − + − + − = 2 2 2 x a y b z c Cách 2: Các hệ số A, B, C, D trong phương trình: & + + + = 2 2 2 x y z + 2Ax +2By + 2Cz 0 ⇒)*,ặ) ầ Bài toán 1: Lập phương trình mặt cầu tâm I đi qua A Phương pháp giải: • Tìm bán kính mặt cầu là : 2 2 2 ( ) ( ) ( ) A I A I A I r IA x x y y z z= = − + − + − • Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r. Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu đi qua điểm A(5; –2; 1) và có tâm I(3; –3; 1). Giải: B¸n kÝnh mÆt cÇu là: 2 2 2 2 1 0 5r IA= = + + = Vậy phương trình của mặt cầu là : (x-3) 2 + (y+3) 2 + (z-1) 2 = 5 Bài toán 2: Lập phương trình mặt cầu đường kính AB Phương pháp giải:  Tìm trung điểm I của đoạn AB với ( ; ; ) 2 2 2 A B A B A B x x y y z z I + + + , tính đoạn 2 2 2 AB ( ) ( ) ( ) B A B A B A x x y y z z = − + − + −  Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính 2 AB r = Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(4; –3; 7), B(2; 1; 3). Giải: Trung điểm của đoạn thẳng AB là I(3;-1 ;5), 2 2 2 AB= ( 2) 4 ( 4) 6− + + − = Mặt cầu đường kính AB có tâm I(3;-1 ;5), bán kính AB 3 2 r = = phương trình của mặt cầu là : Bài toán 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc mp(α) Phương pháp giải: • Tìm bán kính mặt cầu là : + + + = α = + + # $ & 1 1 1    !  A.x r d(I,( )) • Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r. Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1 ; 2 ; 4) tiếp xúc với mặt phẳng ( α ): 2x+2y+z-1=0 Giải: Bán kính mặt cầu là : + + − = α = = + + r d(I,( )) I           Phương trình mặt cầu là : 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 4) 1x y z− + − + − = Bài toán 4: Lập phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D Phương pháp giải: Ptr mc có dạng & + + + = 2 2 2 x y z + 2Ax +2By + 2Cz 0 (1). A,B,C,D ∈ mc(S) ⇒ thế tọa độ các điểm A,B,C,D vào (1). Giải hệ pt, tìm A, B, C, D. Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) =7J9=78>,!2 2&  Giải: Phương mặt cầu (S) có dạng: & + + + = 2 2 2 x y z + 2Ax + 2By + 2Cz 0 , ta có : 2 2 2 ( 3) ( 1) ( 5) 9x y z− + + + − = (6; 2;3) ( ) 49 12 4 6 0(1) (0;1;6) ( ) 37 2 12 0(2) (2;0; 1) ( ) 5 4 2 0(3) (4;1;0) ( ) 17 8 2 0(4) A S A B C D B S B C D C S A C D D S A B D − ∈ + − + + =     ∈ + + + =   ⇔   − ∈ + − + =     ∈ + + + =   .Lấy (1)-(2); (2)-(3); (3)-(4) ta được hệ: 12 6 6 12 2 4 2 14 32 1 3 4 2 2 12 3 A B C A A B C B D A B C C − − = − = −     − + + = − ⇔ = ⇒ = −     − − − = = −   Vậy phương trình măt cầu là: x 2 +y 2 +z 2 -4x+2y-6z-3=0 Bài toán 5: Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C có tâm nằm trên mp(P) Phương pháp giải: Mc(S) có ptr: & + + + = 2 2 2 x y z + 2Ax + 2By + 2Cz 0 (2) A,B,C ∈ mc(S): thế tọa độ các điểm A,B,C vào (2). Thế toạ độ tâm m/c I(-A, -B, -C) vào ptr mp(P) Giải hệ phương trình trên tìm A, B, C, D ⇒ phương trình mặt cầu. Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(6 ;-2 ; 3 ), B(0;1;6), C(2 ; 0 ;-1 ) có tâm I thuộc mp(P) : x+2y+2z-3=0 Giải: Phương mặt cầu (S) có dạng: & + + + = 2 2 2 x y z + 2Ax + 2By + 2Cz 0 , ta có : (6; 2;3) ( ) 12 4 6 49(1) (0;1;6) ( ) 2 12 37(2) (2;0; 1) ( ) 4 2 5 (3) ( ; ; ) ( ) 2 2 3 (4) A S A B C D B S B C D C S A C D I A B C P A B C − ∈ − + + = −     ∈ + + = −   ⇔   − ∈ − + = −     − − − ∈ − − − =   .Lấy (1)-(2); (2)-(3); kết hợp(4) ta được hệ: 7 5 12 6 6 12 11 27 4 2 14 32 5 5 2 2 3 3 A A B C A B C B D A B C C  = −  − − = −     − + + = − ⇔ = ⇒ = −     − − − =  = −    Vậy phương trình mặt cầu là: x 2 +y 2 +z 2 - 14 5 x + 22 5 y - 6z 27 5 − =0 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau: a)        + + + − − + =x y z x y z + + + − + − = x y z x y z             c) (x-2) 2 +(y+3) 2 +(z-1) 2 = 9 d) (x+2) 2 +(y+5) 2 + z 2 = 8 Bài 2: Lập phương trình mặt cầu (S) a)Đi qua điểm A(3; 2; 4) và có tâm I(2; –1; 1) b)Đi qua điểm A(1; 2; -3) và có tâm I(2; –1; 1). Bài 3: Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB a) Với A(4; 5; 7), B(2; 1; 3). b) Với A(4; 2; 1), B(0; 4; 7). Bài 4: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 4) tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x-2y + z - 4=0 Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) =7J9=78>,! 2&  Bài 6: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(3;-2 ;0), B(0;1;2), C(2; 0;-1 ) có tâm I thuộc mp(P) : x-2y+2z-5=0 Bài 7: Cho mặt cầu (S): (x-1) 2 + y 2 + (z+2) 2 = 9 và mp(P): x +2y +2z-3=0. Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S). Tìm tâm bán kính của đường tròn giao tuyến. II/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG: Chuù yù : - Muốn viết phương trình mặt phẳng thường tìm: 1 điểm đi qua và 1 véctơ pháp tuyến -Mặt phẳng qua 1 điểm M(x 0 ;y 0; z 0 ) và có 1 véctơ pháp tuyến   = (A; B; C) phương trình là: A(x-x 0 ) + B(y-y 0 ) + C(z-z 0 )= 0. -Nếu không tìm được ngay véctơ pháp tuyến của mp(α) ta đi tìm 2 véctơ ,a b r r không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mp(α) khi đó [ ; ]n a b= r r r là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng(α). Dạng 1: Viết phương trình mp ( ) α điểm đi qua M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và 1 véctơ pháp tuyến ( ; ; )= r n A B C . Phương pháp giải: B1: Nêu rõ mặt phẳng đi qua M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có 1 véctơ pháp tuyến ( ; ; )= r n A B C . B2: Viết phương trình mp( α ) theo công thức: A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0 B3: Rút gọn đưa về dạng: Ax+By+Cz+D=0. Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua A(2;3;1) và có một VTPT là n (2;3;1)= r Giải: Mặt phẳng ( α ) đi qua A(2;-1;1) và có 1 véctơ VTPT n (2; 3;5) = − r ⇒ phương trình là: 2(x-2)-3.(y+1)+5(z-1) = 0 ⇔ 2x-3y+5z-12 =0 Dạng 2: Viết phương trình mp ( ) α đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C. Phương pháp giải: B1: Tìm toạ độ AB, AC uuur uuur B2: Tìm n AB;AC   =   r uuur uuur B3: Viết phương trình mp(P) đi qua điểm A và nhận n r làm VTPT. Ví dụ: Viết phương trình mp(P) qua A(0;1;2), B(2;3;1), C(2;2;-1) Giải: Ta có: AB (2;2; 1), AC (2;1; 3)= − = − uuur uuur ⇒ n AB;AC ( 5;4; 2)   = = − −   r uuur uuur Mặt phẳng (P) đi qua A và có 1 véctơ VTPT n ( 5;4; 2) = − − r ⇒ phương trình là: -5(x-0)+4(y-1)-2(z-2)=0 ⇔ -5x+4y-2z =0 ⇔ 5x-4y+2z=0. Dạng 3: Viết phương trình mp(α) đi qua điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và song song với mp( β ): Ax+By+Cz+D=0 . Phương pháp giải: B1:Do mp ( )α //mp( β ): Ax+By+Cz+D=0⇒ phương trình mp ( )α có dạng:Ax+By+Cz+m=0 (m≠D) B2: mp ( )α đi qua điểm M 0 ⇒ ta có Ax 0 + By 0 + Cz 0 + m=0⇒ m thoả điều kiện m≠D ⇒ phương trình mp ( )α Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;-2) và song song với mặt phẳng (Q):2x-y+3z+4=0 Giải: Mặt phẳng (P)//mp(Q): 2x-y+3z+4=0 nên phương trình của mp(P) có dạng 2x-y+3z+D=0 (D≠4). Mặt khác mp(P) đi qua điểm M(1;3;-2) nên ta có: 2.1-3+3(-2)+D=0 ⇔ D=7 (nhận). Vậy phương trình mp cần tìm là: 2x-y+3z+7=0 Dạng 4: Viết phương trình mp ( )α song song với mp( β ): Ax+By+Cz+D=0 cho trước cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước (k>0). Phương pháp giải: B1: Do mp ( )α //mp( β ): Ax+By+Cz+D=0⇒ phương trình mp ( )α có dạng:Ax+By+Cz+m=0 (m≠D) B2: Giải phương trình d(M; ( )α )= k tìm được m thoả m≠D⇒phương trình mp( α ). Ví dụ: : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp( β ):5x+y-7z+3=0. Viết phương trình mp(α) //mp( β ) và cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2. Giải Mp(β) có một VTPT là 1 (5;1; 7)= − ur n , mp (α) //mp( β ) ⇒ phương trình mp(α) có dạng: 5x+y-7z+D = 0 (D≠3) Do mp(α) cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2 ⇔ d(A;(α))=2 ⇔     2 & &2   &2   &26            D + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ ± ⇔ = ± + + − (nhận) ⇒ phương trình của mp(α) là: " # $5   + − ± = Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua 2 điểm A, B và song song với đoạn CD cho trước. (với AB uuur không cùng phương với CD uuur ). Phương pháp giải: B1: Tìm toạ độ AB uuur và CD uuur . B2: Tìm n AB,CD   =   r uuur uuur . B3: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n r làm VTPT. Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua điểm A, B và song song với đường thẳng d cho trước. (AB không song song với d). Phương pháp giải: B1: Tìm toạ độ AB uuur và véctơ chỉ phương a r của d. B2: Tìm n AB,d   =   r uuur r . B3: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n r làm VTPT. Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(-1 ,2 , 3), B (0 , -3, 1), C(2 ,0 ,-1), D(4,1, 0). Lập phương trình mặt phẳng ( ) α chứa đường thẳng CD và song song với đường thẳng AB. Giải Ta có ( ) ( ) 1, 5, 2 ; 2,1,1= − − = uuur uuur AB CD ⇒ ( ) ; 3, 5,11   = = − −   r uuur uuur n AB CD là VTPT của mp ( ) α Mặt phẳng ( ) α chứa đường thẳng CD và song song với đường thẳng AB đi qua C có 1 VTPT ( ) 3, 5,11= − − r n ⇒ Phương trình mp ( ) α là: -3(x – 2) – 5(y – 0) + 11(z + 1) = 0 ⇔ -3x – 5y + 11z + 17 = 0 ⇔ 3x+5y-11z -17 = 0 Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua điểm A và chứa đường thẳng d cho trước. ( ∉A d ) Phương pháp giải: B1: Tìm toạ độ điểm M 0 ∈ d và VTCP u r của d. Tìm 0 AM uuuuur B2: Tìm 0 n AM ,u   =   r uuuuur r B3: Viết PT mặt phẳng( α )đi qua điểm A và nhận n r làm VTPT. Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(-1 ,2 , 3) và chứa trục 0x. Giải Trục 0x đi qua O(0;0;0) và có 1VTCP i (1;0;0)= r , OA ( 1;2;3)= − uuur ⇒ n OA;i   =   r uuur r =(0;3;-2). Mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A và nhận n r =(0;3;-2) làm một VTPT, phương trình là: 3(y-2)-2(z-3)=0 ⇔ 3y-2z=0. Cách khác : Phương trình mặt phẳng( α ) chứa trục ox có dạng: By+Cz=0. (1) Do mặt phẳng( α ) đi qua A(-1 ,2 , 3) nên ta có: 2B+3C=0 chọn B=3 ⇒ C= -2 ⇒ phương trình mặt phẳng ( α ) là: 3y-2z=0. Dạng 7:Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Phương pháp giải: B1: Tìm toạ độ AB uuur và toạ độ trung điểm I của đoạn AB. B2: Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm I và nhận AB uuur làm VTPT. B3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực đi qua điểm I và nhận AB uuur làm VTPT. Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB, với A(1;3;0) và B(3,-1;2) Giải: Ta có trung điểm của AB là I(2;1;1), AB (2; 4;2)= − uuur . Mp(P) đi qua trung điểm I của AB và có 1VTPT là AB (2; 4;2)= − uuur ⇒ phương trình mặt phẳng trung trực (P) là: 2(x-2)-4(y-1)+2(z-1)=0 ⇔ 2x-4y+2z-2=0 Dạng 8:Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M vuông góc với đoạn thẳng AB. Phương pháp giải: B1: Tìm toạ độ AB uuur . B2: Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm M và nhận AB uuur làm VTPT. B3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận AB uuur làm VTPT. Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;0) vuông góc với đoạn thẳng AB, biết A(1;0;1) và B(3,-1;2). Giải: Ta có AB (2; 1;1)= − uuur . Mp(P) đi qua M(1;3;0) và có 1VTPT là AB (2; 1;1)= − uuur ⇒ phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x- 1)-(y-3)+1(z-0)=0 ⇔ 2x-y+z+1=0 Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua điểm M 0 cho trước và vuông góc với đường thẳng d cho trước. Phương pháp giải: B1: Tìm VTCP u r của d. B2: Viết phương trình mặt phẳng ( )α đi qua điểm M 0 và nhận u r làm VTPT. Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng( β ) cho trước. (AB không vuông góc với ( ) β ). Phương pháp giải: B1: Tìm toạ độ AB uuur và VTPT n β uur của mặt phẳng( β ). B2: Tìm n AB, n β   =   r uuur uur . B3: Viết phương trình mặt phẳng ( α )đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n r làm VTPT. Ví dụ: Viết phương trình mp ( α ) đi qua hai điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp(P): 2x-y+3z-1=0 Giải Ta có AB ( 1; 2;5)= − − uuur , mp(P) có 1 VTPT là P n (2; 1;3)= − uur ⇒ P n AB;n ( 1;13;5)   = = −   r uuur uur Mp( α ) đi qua A(3;1;-1), có 1 VTPT là n ( 1;13;5)= − r ⇒ phương trình mặt phẳng ( α ) là: -1(x-3)+13(y-1)+5(z+1)=0 ⇔ -x+13y+5z-5=0 ⇔ x-13y-5z+5=0 Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α // ( ) β : Ax+By+Cz+D=0 và tiếp xúc với mặt cầu (S). Phương pháp giải: B1:Xác định tâm I bán kính R của mặt cầu (S). B2:Do mp( α )//mp ( ) β ⇒phương trình mặt phẳng( α ) có dạng Ax+By+Cz+m=0(*) (m≠D) B3: Mặt phẳng ( ) α tiếp xúc với mặt cầu (S)⇔ d(I,( α ))=R giải phương trình này tìm được m thỏa điều kiện m≠D thay vào (*) ta được phương trình mặt phẳng( α ). Ví dụ : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;-1), mặt phẳng (P ) : 2 10 0x y z + + + = và mặt cầu (S) : 2 2 2 2 4 6 8 0 + + − + − + = x y z x y z . Viết phương trình mặt phẳng (R) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) HD: Mặt cầu (S) có tâm I(1,-2,3) và 6R = Phương trình mặt phẳng (R) có dạng: 2 0x y z m + + + = ( ) 10m ≠ Do mặt phẳng (R) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên: ( ) ( ) ,d I R R= 1 2 6 6 1 1 4 m− + + ⇔ = + + Giải phương trình ta được: 1( ) 11( ) m n m n =   = −  . Vậy có 2 mặt phẳng (R) thỏa yêu cầu bài toán phương trình là: 2 1 0x y z+ + + = và 2 11 0x y z+ + − = BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua A(-2;3;1) và có một VTPT là n (3; 2;1)= − r Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua A(-2;1;0),B(3;0;1),C(5;5;5) Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;2) và song song với mặt phẳng (Q):3x+5y- 2z+4=0 Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp( β ):2x+y-2z+3=0. Viết phương trình mp(α) //mp( β ) và cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2. Bài 5: Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(1, 0, 2) và chứa đường thẳng 1 2 : 1 2 3 − + = = x y z d . Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB, với A(5;3;2) và B(3,-1;2) Bài 7: Viết phương trình mp ( α ) đi qua hai điểm A(2;3;-1), B(3;1;4) và vuông góc với mp(P): 2x-y+3z-1=0 Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mp ( ) α : x+3y-4z+3=0 và mp( β ): 2x+2y- 4z+1=0. Viết phương trình mp(P) đi qua A(2;0;1) và vuông góc với 2 mặt phẳng (α), (β). Bài 9: Cho hai đường thẳng 1 1 2 3 : 1 1 2 x y z d − − − = = − − − và 2 1 2 ' : 2 3 3 ' x t d y z t = −   =   = −  a) Chứng minh 1 d cắt 2 d b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng 1 d và 2 d Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng: 1 2 3 : 2 2 4 − − = = x y z d và d 2 : 1 2 1 2 x t y t z t = +   = +   = +  a) Chứng minh 1 d // 2 d b)Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d 1 và d 2 [...]... đường thẳng d đi qua T và vng góc với (P) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) Bài 2) TNTHPT 2010 Câu 4.a Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;0;0), B(0;2;0) và C(0;0;3) 1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vng góc với đường thẳng BC 2) Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Bài 3) TNTHPT năm 2011 Câu 4.a (2,0 điểm) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;1;0) và mặt... góc của điểm A trên mặt phẳng(P) Bài 4) TNTHPT năm 2012 Câu 4.a (2,0 điểm) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;2;1), B(0;2;5) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x –y+5 =0 1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và B 2) Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với mặt cầu có đường kính AB Bài 5) TNTHPT năm 2013 Câu 4.a (2,0 điểm) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (−1;...  ÷  3  ⇒ HI = a 42 3 3 a 42 a 42 ⇒ d ( BC , SA ) = HI = = 12 2 2 12 8 C/ MỘT SỐ ĐỀ THI TỐT NGHIỆP VÀ ĐẠI HỌC: Bài 1 (đề thi TNTHPT – 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vng góc với · mặt phẳng đáy Biết góc BAC = 1200 , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Bài 2 (đề thi TNTHPT – 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, mặt (SBD) tạo với đáy... phẳng (ABC) bằng 60o Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a Bài 5 (đề thi TNTHPT – 2013 ) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Đường SD tạo với mặt phẳng ( SAB ) một góc 300 Tính thể tích của khối chóp S ABCD theo a Bài 6 (đề thi TNTHPT – 2014 ) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; −1;0) và mặt phẳng ( P ) có phương trình... cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 3 (đề thi TNTHPT – 2011 ) Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D với AD=CD= a, AB=3a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 45 0 Tính thể tích khối chóp SABCD theo a Bài 4 (đề thi TNTHPT – 2012) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng tại B và BA=... tiếp xúc với ( P ) Bài 6) TNTHPT năm 2014 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; −1; 0) và mặt phẳng ( P ) có phương trình 2x − 2 y + z −1 = 0 1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và vng góc với ( P ) 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( P ) sao cho AM vng góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần khoảng cách từ A đến ( P ) Bài 7) ĐH KA-2014 Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng... 0  Phương pháp giải: B1: Biến đổi đưa về phương trình hồnh độ giao điểm F ( x, m ) = 0 ⇔ f ( x) = ϕ (m) B2: Vẽ đồ thò (C) của hàm y = f(x) (Thường đã có trong bài toán khảo sát hàm số ) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng y = ϕ (m) (cùng phương với trục hồnh vì ϕ (m) là hằng số) Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm Ví dụ: Cho đồ thị (C): y = 8x4... độ giao điểm của hai đường Phương pháp B1 : Lập phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường f ( x ) = g ( x ) (1) B2 : Giải phương trình (1) tìm nghiệm x Giả sử phương trình (1) có các nghiệm là x1 , x 2 , , x n , ta thế lần lượt các nghiệm này vào một trong hai hàm sơ trên ta được các giá trị tương ứng là y1 , y 2 , , y n suy ra tọa độ các giao điểm Chú ý : số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao... ®iĨm A, c¾t vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng d Bài 9: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d: x y+3 z−3 = = và mp(P): 2x + y – 2z + 9 = 1 2 3 0 Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) vng góc với d và cắt d IV/ MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÌM ĐIỂM: Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp giải:  Ptr ( d )  Cách 1: Toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ   Ptr (α)  Cách 2: B1: Đưa phương... (P): 6x + 3y – 2z – 1 = 0 và mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 6x – 4y – 2z – 11 = 0 Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C) Tìm tọa độ tâm của (C) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;0;-1) và đường thẳng d: PHẦN II: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TỔNG HỢP A/ TĨM TẮT LÝ THUYẾT: 1 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V=B.h B : diện tích đáy   h : chiều cao *Thể tích khối hộp . ⇒ H(3+2t ;-2 -2 t;1-t). Mặt khác H∈mp ( ) α ⇒ ta có: 2(3+2t )-2 (-2 -2 t )-( 1-t)+9=0⇔9t=18 ⇔ t=2 ⇒ H(7 ;-6 ;-1 ).Tâm của đường tròn (T) chính là H(7 ;-6 ;-1 ) 2 2 2 2 2 2 A +B +C -D ( 4) + (-1 ) +0 -1 4r =. TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA - MƠN TỐN NĂM 201 5-2 016 **************************** PHẦN I: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN OXYZ TĨM TẮT LÝ THUYẾT I.HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 1.Toạ độ điểm. (P) đi qua A và có 1 véctơ VTPT n ( 5;4; 2) = − − r ⇒ phương trình là: -5 (x-0)+4(y-1 )-2 (z-2)=0 ⇔ -5 x+4y-2z =0 ⇔ 5x-4y+2z=0. Dạng 3: Viết phương trình mp(α) đi qua điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và