Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán năm 2021 Mới nhất

Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội BLOG TOÁN Tài liệu ôn thi THPT quốc gia Năm 2020 H tên học sinh: ………………… Lớp: ………………………………… https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Lời nói đầu ! Xin lấy đoạn trích từ tiểu thuyết trinh thám tiếng “ Phía sau nghi can X” tác giả Higashino Keigo làm lời nói đầu, suy nghĩ nhiều thầy, giáo dạy tốn, chúc em học sinh tìm niềm u thích học tốn, học tốn vui vẻ thắng lợi kì thi tới ! …… - Thưa thầy, có trường đại học khơng thi đầu vào mơn tốn Ai thi vào trường điểm mơn tốn mà chẳng thầy Ishigami nhìn phía có tiếng nói Cậu học sinh tên Morioka Cậu ta đưa tay gãi gãi gáy nói với bạn xung quanh:”Mọi người nhỉ!” Tuy giáo viên chủ nhiệm Ishigami biết cậu Morioka nhỏ thủ lĩnh lớp cậu ta bị nhắc nhở nhiều lần dùng xe máy học - Em thi trường Morioka? – Ishigami hỏi - Nếu thi em chọn trường em chưa muốn học lên đại học dù lên lớp mười hai, em khơng học mơn tốn Điểm tốn chẳng quan trọng em Ngay thầy mệt phải dạy đứa dốt bọn em Thơi chúng ta, nói nhỉ, cư xử người lớn với Cả lờp cười lên trước câu nói cuối Morioka Ishigami mỉm cười - Nếu em nghĩ tới thầy đỗ kì thi lại lần tới Phạm vi có phần vi phân tích phân thơi Chẳng có đáng kể Morioka tặc lưỡi to Cậu ta thu hai chân dạng hai bên vắt tréo lên - Vi phân với tích phân có ích cho việc ạ? Có vẻ phí thời gian Ishigami quay lên bảng, định chữa thi cuối kì anh quay lại nghe thấy câu nói Morioka Đó câu hỏi anh bỏ qua - Em thích xe máy, khơng nhỉ? Em xem đua xe chưa? Morioka bối rối gật đầu trước câu hỏi bất ngờ Ishigami - Các tay đua không chạy xe với vận tốc định Họ ln ln thay đổi vận tốc, khơng để thích ứng với địa hình hướng gió mà cịn lý mang tính chiến thuật Việc phán đốn tức xem chỗ nên giảm tốc, chỗ nên tăng tốc tăng định việc thắng hay thua Em có hiểu khơng? - Em hiểu, việc có liên quan tới tốn học? - Mức tăng tốc phép vi phân vận tốc thời điểm Cịn cự ly đua phép tích phân vận tốc liên tục thay đổi đua, tất nhiên xe chạy cự ly để giành chiến https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội thắng việc tính vi phân vận tốc yếu tố quan trọng Thế nào, có phải vi phân tích phân khơng có ích cho việc khơng? Mặt Morioka bối rối, có lẽ cậu khơng hiểu điều Ishigami vừa nói - Nhưng mà tay đua họ có nghĩ đến việc khơng? Tích phân với vi phân em nghĩ thắng hay thua kinh nghiệm cảm giác - Tất nhiên Nhưng nhân viên hỗ trợ cho tay đua có nghĩ đến để lên chiến lược cho tay đua, họ phải mô thật chi tiết nhiều lần xem tăng tốc đoạn tăng tốc giành phần thắng họ phải dùng đến phép tích phân vi phân Có lẽ thân họ khơng biết sử dụng tích phân vi phân việc học sử dụng phần mềm có ứng dụng vi phân tích phân thật - Nếu cần người làm phần mềm học tốn thơi phải khơng ạ? - Có lẽ vậy, không em không trở thành người phải không Morioka? Morioka ưỡn người đằng sau - Em không trở thành người đâu - Khơng phải em có mặt Giờ tốn – Ishigami nhìn xuống lớp – Thầy nói cho em biết, điều thầy dạy em cánh cửa để bước vào giới tốn học mà thơi Nếu em khơng biết cánh cửa đâu em khơng thể vào bên tất nhiên, em khơng thích khơng cần vào Thầy kiểm tra em muốn xem em có biết cổng vào chỗ hay khơng “Suy nghĩ, suy nghĩ, suy nghĩ nữa” “Nghiên cứu khoa học giống khoan gỗ, có người thích khoan gỗ mỏng, cịn tơi thích khoan gỗ dày” Anbe Anhxtanh https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Chủ đề 1: Khảo sát hàm số vấn đề liên quan 1.Bảng đạo hàm x n   n.x n 1 u n   n.u n 1.u       x    u  x      x x  x   , c  , u  u điểm M  x ; y0  có hệ số góc af  x    PT với đồ thị hàm số y  f  x  điểm M  x ; y0  có dạng : M gọi tiếp điểm x gọi hoành độ tiếp điểm y gọi tung độ tiếp điểm f '  x  gọi hệ số góc tiếp y  vô nghiệm  https://www.facebook.com/letrungkienmath f   x0  y  f   x  x  x   y , y0  f  x   b    b  4ac     b   ac  , b   2  +) Nếu       phương trình af  x   0 b   x1  x   a x1; x ta có   x x  c  a Phương trình tiếp tuyến ( PT )  PT với đồ thị hàm số y  f  x    af  x   Định lý vi-et: Khi phương trình bậc hai ax  bx  c   a   có hai nghiệm  Định lý dấu tam thức bậc hai y  ax  bx  c  a   X Y    u tan u   cos x cos u u  cot x     cot u    sin x sin u Xét dấu biểu thức  Định lý dấu nhị thức bậc y  f  x  =ax  b  a   af  x   af  x   y  tan x   Y af  x    b    b     , xếp hai 2a a nghiệm x1  x x  x1 x2  cos u   u.sin u b a af  x    x  cos x    s inx   y  có hai nghiệm phân biệt  s inx   cos x  x +) Nếu       phương trình u      u u  u  v   u  v  u  u v  uv    v2 v  sin u   u.cos u X b 2a b  2a có nghiệm kép x1,2   y  k.u   k.u  uv   uv  uv +) Nếu       phương trình y=0 tuyến  Nếu PT song song với đường thẳng y  ax  b f   x   a  Nếu PT vng góc với đường thẳng y  ax  b f   x    a https://sites.google.com/site/letrungkienmath  af  x   Trang Lê Trung Kiên  Nếu PT tạo với trục 0x góc  f   x    tan   Nếu PT cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác vng cân f   x   1 Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số  Tìm tập xác định hàm số  Tính đạo hàn f   x  , tìm điểm x i  i  1, n  mà đạo hàm khơng khơng xác định  Sắp xếp x i theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên  Nêu kết luận đồng biến nghịch biến hàm số Quy tắc tìm cực trị hàm số  Tìm tập xác định hàm số  Tính f   x  , tìm điểm x i  i  1, n  mà đạo hàm khơng khơng xác định  Sắp xếp x i theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên  Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị hàm số Quy tắc tìm cực trị hàm số  Tìm tập xác định  Tính f   x  , giải phương trình f   x   kí hiệu x i  i  1, n  nghiệm  Tính f   x  f   x i   Nếu f   x   x điểm THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 7.Quy tắc tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn  Tìm điểm x1 ; x ; ; x n  a; b  mà f   x   khơng xác định  Tính f  a  ; f  x1  ; f  x  ; ; f  x n  ;f  b   Tìm số lớn M số nhỏ m số Khi đó: M  max f  x  , m  f  x  a;b  a;b  Chú ý: Để tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng, nửa khoảng ta lập bảng biến thiên hàm số khoảng, nửa khoảng từ kết luận Khơng phải hàm số có GTLN, GTNN Đường tiệm cận  Đường tiệm cân ngang: y  y tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f  x  nếu: lim f  x   y x   Đường tiệm cận đứng: x  x tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  f  x  lim   x  x0 Tương giao hai đồ thị  Xét hai hàm số y  f  x  y  g  x  tọa độ giao điểm đồ thị hai hàm số nghiệm hệ phương trình  y  f  x    y  g  x   Đường thẳng y  ax  b PT cực tiểu  Nếu f   x   x điểm đồ thị hàm số y  f  x  , cực đại Chú ý f   x0   ta khơng kết phương trình  luận tính cực trị hàm số x https://www.facebook.com/letrungkienmath f  x   ax  b có nghiệm f   x   a https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 10 Một số hàm số thường gặp: 10.1 Hàm số bậc ba y  ax  bx  cx  d (a  0) :  Tập xác định D = R  Các dạng đồ thị: a>0 y’ = có nghiệm phân bieät   ’ = b2 – 3ac > a với  n  N* u  n1  với n  N* ( un > 0) un Cấp số nhân a Định nghóa: (un) cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N* (q: công bội) với n  c Tính chất số hạng: uk2  uk 1.uk 1  (un) dãy số giảm  un+1 < un với n  N*  un+1 – un< với  n  N*  un1 un un  u1.q n1 b Số hạng tổng quát: với k  d Tổng n số hạng đầu tiên:  Sn  nu1 với q   n  S  u1 (1  q ) với q   n 1 q  với n  N* (un > 0) c Dãy số bị chặn  (un) dãy số bị chặn  M  R: un  M, n  N*  (un) dãy số bị chặn  m  R: un  m, n  N*  (un) laø dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N* Cấp số cộng a Định nghóa: (un) cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: coâng sai) b Số hạng tổng quát: un  u1  (n  1)d với n  c Tính chất số hạng: u u uk  k 1 k 1 với k  https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang 19 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Chủ đề : Giới hạn Giới hạn hữu hạn dãy số a Giới hạn đặc biệt: 1 lim  ; lim  (k    ) k n n n n lim c  c ; x  lim q n  ( q  1) ; lim C  C n b Toång cấp số nhân lùi vô hạn u S = u1 + u1q + u1q2 + … =  q  1 1 q lim qn   (q  1) b Định lí: a  0  a    a.   xk 0 a0 a0 * Khi tính giới hạn có dạng vô  định: , ,  – , 0. phải tìm cách khử  dạng vô định Hàm số liên tục a Hàm số liên tục điểm: y = f(x) liên tục x0  lim f ( x )  f ( x0 ) Giới hạn vô cực dãy số a Giới hạn đặc biệt: lim n   c x  b Định lí: a  0  a    a.   n lim lim nk   (k    ) x  x0 b Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< tồn số c  (a; b): f(c) = a0 a0 * Khi tính giới hạn có dạng vô  định: , ,  – , 0. phải tìm cách khử  dạng vô định Giới hạn hữu hạn hàm số a Giới hạn đặc biệt: lim x  x0 ; lim c  c (c: số) x  x0 x  x0 b Giới hạn bên: lim f ( x )  L x  x0  lim  f ( x )  lim  f ( x )  L x  x0 x  x0 Giới hạn vô cực hàm số a Giới hạn đặc biệt:  k chẵn lim x k   ; lim x k   x  x   k lẻ https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang 20 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội S  4r , V  Chủ đề 9: Hình học khơng gian Cơng thức tính thể tích hình:  Cơng thức tính thể tích hình lập phương: V  a3  Cơng thức tính thể tích hình hộp chữ nhật: V  abc (a,b, c ba kích thước)  Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ : V  Bh (B: diện tích đáy, h: độ dài đường cao)  Cơng thức tính thể tích khối chóp V  Bh (B: diện tích đáy, h: độ dài đường cao)  Hình, khối nón trịn xoay Sxq  rl,Stp  rl  r , V  r h 2  Chú ý: l  h  r Góc ASB gọi góc đỉnh hình chóp  Hình, khối trụ trịn xoay Sxq  2rl;Stp  2rl  2r ; V  r h Chú ý: l=h  Hình, khối cầu https://www.facebook.com/letrungkienmath r Chú ý: + Để tính diện tích,thể tích hình, khối nhiều ta phân chia thêm hình, khối để hình,khối có diện tích, thể tích dễ tính + Với tốn tính thể tích khối chóp đơi ta sử dụng định lý: Cho hình chóp S.ABC Trên tia SA, SB, SC ta lấy điểm A’, B’, C’ đó: VS.A 'B'C' SA '.SB'.SC '  (bài tập trang 25 sgk.) VS.ABC SA.SB.SC Giao mặt cầu mặt phẳng Cho mặt cầu S(O; r) mp (P) Đặt h = d(O, (P))  h > r  (P) (S) khơng có điểm chung  h = r  (P) tiếp xúc với (S)  h < r  (P) cắt (S) theo đường trịn tâm H, bán kính r  r  h2 Mặt cầu nội tiếp-ngoại tiếp  Mặt cầu đgl nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình đa diện, mặt cầu đgl ngoại tiếp hình đa diện tất đỉnh hình đa diện nằm mặt cầu  Một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy có đường trịn ngoại tiếp, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp giao đường thẳng qua tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy, vng góc với mặt phẳng đa giác đáy mặt phẳng trung trực cạnh bên Các hình thường gặp:  Hình chóp gọi hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đáy  Hình chóp cụt hình tạo thiết diện song song với đáy cắt cạnh bên hình chóp đáy  Hình chóp cụt hình chóp cụt hình thành cắt hình chóp  Hình tứ diện hình chóp tam giác  Hình tứ diện hình chóp tam giác có bốn mặt tam giác https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang 21 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội  Hình lăng trụ hình gồm hai đáy hai đa giác nằm hai mặt phẳng song song, cạnh bên song song Tùy theo đáy hình lăng trụ tam giác, tứ giác ta có hình lăng trụ tam giác, tứ giác…  Hình lăng trụ có đáy hình bình hành gọi hình hộp  Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Độ dài cạnh bên chiều cao hình lăng trụ đứng  Tùy theo đáy hình lăng trụ đứng tam giác, tứ giác… ta có hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác…  Hình lăng trụ đứng có đáy đa giác gọi hình lăng trụ  Hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành gọi hình hộp đứng  Hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật gọi hình hộp chữ nhật  Hình lăng trụ đứng có đáy hình vng mặt bên hình vng gọi hình lập phương Chú ý: Đa giác đa giác có cạnh góc Các kiến thức quan hệ vng góc  Để chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng ta chứng minh vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng  Hai mặt phẳng vuông góc mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Hai mặt phẳng vng góc đường thẳng nằm mặt vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng  Cách xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng +) Để tính khoảng cách từ điểm M xuống mặt phẳng (P) ta thực hiện: B1: Chọn (P) đường thẳng a dựng mặt phẳng (Q) qua M vng góc với a B2: Xác định giao tuyến b (Q) (P) B3: Dựng MH vng góc với b MH khoảng cách từ M đến (P) +) Chú ý: https://www.facebook.com/letrungkienmath Trước thực chọn a mặt phẳng (Q) ta cần xem đường thẳng a (Q) có hình chưa Ta chọn đường thẳng a cho mặt phẳng (Q) dễ dựng Nếu có sẵn đường thẳng vng góc với (P) ta cần kẻ đường thẳng qua M song song với đường thẳng Một số cơng thức tính hình học phẳng a Hệ thức hượng tam giác vuông h a  b  c2 ; b  a.b '; c  a.c ' 1 ah  bc; h  b '.c ';   h b c 2 b Định lý cosin a  b  c  2bc cos A c Cơng thức tính diện tích tam giác 1 1 S  ah  ab sin C  bc sin A  sin B 2 2 abc S  pr  p  p  a  p  b  p  c  4R d ABC tam giác cạnh a thì: S  ;Đường cao= a ; Bán kính đường trịn ngoại tiếp: Các loại khối đa diện https://sites.google.com/site/letrungkienmath a 3 a2 Trang 22 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Chủ đề 10: Phương pháp tọa độ không gian 1.Các công thức véc tơ     a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 )   Là véc tơ vng góc với hai véc tơ a; b Phương trình mặt cầu  Phương trình mặt cầu tâm I  a; b; c  bán kính R là: a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )  ka  k (a1; a2 ; a3 )  (ka1; ka2 ; ka3 ) (k  R)  a1  b1   a  b  a2  b2 a  b  3  x  a    y  b   z  c  x  y  z  2ax  2by  2cz  d  phươn trình  Với b  : a , b cuøng phương mặt cầu tâm I  a; b; c  , bán kính  R  a  b  c  d a  b  c  d  Phương trình mặt phẳng:  Phương trình mặt phẳng  qua Nếu: M trung điểm AB, G trọng tâm tam giác ABC ta có:  AB   x B  x A ; y B  y A ; z B  z A  xA  xB  xC  xG   y  y  B  yC ;  yG  A  zA  z B  zC  z G   Biểu thức toạ độ tích vơ hướng    a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 )  a.b  a1b1  a2 b2  a3b3 2  AB (xBxA) (yByA) (zBzA)   cos(a,b)     M(x ; y0 ; z ) có VTPT n   A; B;C     : A  x  x   B  y  y0   C  z  z   Chú ý:  VTPT véc tơ  có giá vng góc với mặt phẳng, Nếu   : Ax  By  Cz  D  có  VTPT n   A; B;C  Nếu đường thẳng vng góc với mặt phẳng VTCP đường thẳng VTPT mặt phẳng       Nếu n  a; b chọn n   a; b    Hai mặt phẳng song song có VTPT Phương trình mặt phẳng đặc biệt  0xy  : z  0;  0yz  : x  0;  0xz  : y  Một số loại viết phương trình thường gặp  a  a12  a22  a32  R2 Phương trình a1  kb1   k  R : a2  kb2 a  kb  3  2    xA  xB  x  M   y  yB  A  yM   z  zB  A z M   ab 1 a2b2 a3b3 a12 a22 a32 b12 b22 b32 a  b  a1b1  a2 b2  a3b3  Tích có hướng hai véc tơ    Cho a  a1 ; a ; a  b   b1 ; b ; b3    a a a a a a  a; b    ; ;     b b3 b3 b1 b1 b    a b3  a b ; a b1  a1b3 ; a1b  a b1  https://www.facebook.com/letrungkienmath Loại 1: () qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  coù VTPT  n   A; B;C  : (): A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   Loại 2: () qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có cặp   VTCP a , b (hai véc tơ không phương vuông góc với    ):    Khi VTPT () n   a , b  Loại 3:()đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  vaø song song với mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = (): A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang 23 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Loaïi 4: () qua điểm không thẳng hàng A, B, C: Khi ta xác định VTPT    () laø: n   AB, AC  Loại 5: () qua điểm M đường thẳng (d) không chứa M:  – Trên (d) lấy điểm A VTCP u    – Một VTPT () là: n   AM , u  Loại 6: () qua điểm M vuông góc với đường thẳng (d):  VTCP u đường thẳng (d) VTPT () Loại 7: () qua đường thẳng cắt d1, d2:   – Xác định VTCP a , b đường thẳng d1, d2    – Một VTPT () là: n   a , b  – Lấy điểm M thuộc d1 d2  M  () Loại 8: () chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau):   – Xác định VTCP a , b đường thẳng d1, d2    – Một VTPT () là: n   a , b  – Lấy điểm M thuộc d1  M  () Loại 9: () qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d1, d2:   – Xác định VTCP a , b đường thẳng d1, d2    – Một VTPT () là: n   a , b  Loại 10: () qua đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng ():   – Xác định VTCP u (d) VTPT n ()    – Một VTPT () là: n  u , n  – Lấy điểm M thuộc d  M  () Loại 11: () qua điểm M vuông góc với hai mặt phẳng cắt (), ():   – Xác định VTPT n , n () https://www.facebook.com/letrungkienmath ()    – Một VTPT () là: n   n , n  Loại 12: () tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H: – Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I bán kính R   – Một VTPT () là: n  IH Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững cách xác định mặt phẳng học lớp 11 Phương trình đường thẳng  Phương trình đường thẳng qua  M(x ; y0 ; z ) có VTCP u   u1 ; u ; u   x  x  u1 t  d:  y  y  u t phương trình tham số z  x  u t  x  x y  y0 z  z0   phương trình u1 u2 u3 tắc;  u1 , u , u   , Chú ý:  VTCP véc tơ  có giá song song trùng với đường thẳng  Đường thẳng qua A, B có VTCP AB Nếu đường thẳng vng góc với mặt phẳng có VTCP VTPT mặt phẳng, Hai đường thẳng song song có VTCP       Nếu u  a; b chọn u   a; b    Phương trình đường thẳng đặc biệt: x  t x  x     0x :  y  0; 0y :  y  t ; 0z :  y  z  z  z  t    Một số loại viết phương trình thường gặp: Loại : d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có  VTCP u  (u1; u ; u3 ) :  x  xo  u1t  (d ) :  y  yo  u2t z  z  u t o  https://sites.google.com/site/letrungkienmath ( t  R) Trang 24 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Loaïi 2: d qua hai điểm A,  B: Một VTCP d AB Loại 3: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vaø song M, M1, M2 thẳng hàng ta tìm M1, M2 Từ suy phương trình đường thẳng d  Cách 2: Gọi (P) = ( M0 , d1 ) , (Q) = song với đường thẳng  cho trước: Vì d //  nên VTCP  VTCP d Loại 4: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vuông VTCP d chọn u   nP , nQ  góc với mặt phẳng (P) cho trước: Vì d  (P) nên VTPT (P) VTCP d Loại 5: d giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q):  Cách 1: Tìm điểm VTCP – Tìm toạ độ điểm A  d: cách ( P ) giải hệ phương trình  (với việc chọn giá (Q ) trị cho ẩn)    – Tìm VTCP cuûa d: u   nP , nQ   Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Loại 6: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vuông góc với hai đường thẳng d1, d2: Vì d  d1, d  d2 nên VTCP d là:    u  u d1 , ud2  Loaïi 7: d ñi qua ñieåm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , vuông góc cắt đường thẳng   Cách 1: Gọi H hình chiếu vuông góc M0 đường thẳng  H      M0 H  u Khi đường thẳng d đường thẳng qua M0, H  Cách 2: Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với d; (Q) mặt phẳng qua A chứa d Khi d = (P)  (Q) Loại 8: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) cắt hai đường thẳng d1, d2:  Cách 1: Gọi M1  d1, M2  d2 Từ điều kiện https://www.facebook.com/letrungkienmath ( M0 , d2 ) Khi d = (P)  (Q) Do đó,    Loại 9: d nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1, d2: Tìm giao điểm A = d1  (P), B = d2  (P) Khi d đường thẳng AB Loại 10: d song song với  cắt hai đường thẳng d1, d2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  d1, mặt phẳng (Q) chứa  d2 Khi d = (P)  (Q) Loại 11: d đường vuông góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau:  Cách 1: Gọi M  d1, N  d2 Từ điều kiện  MN  d1 , ta tìm M, N   MN  d2 Khi đó, d đường thẳng MN  Cách 2: – Vì d  d1 d  d2 nên VTCP d    là: u  u d1 , ud2  – Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d d1, cách: + Lấy điểm A d1 + Một VTPT (P) laø:    nP  u, ud1  – Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d d2 Khi d = (P)  (Q) Loại 12: d hình chiếu đường thẳng  lên mặt phẳng (P):  d qua điểm M giao  (P) VTCT d là:     ud   u  , nP  , nP    Loaïi 13: d qua điểm M, vuông góc với d1 cắt d2: https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang 25 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội  Cách 1: Gọi N giao điểm d d2 Từ điều kiện MN  d1, ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN  Cách 2: – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vuông góc với d1 – Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M d2 Khi ñoù d = (P)  (Q) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Khoảng cách từ M  x ; y ; z o  đến mặt phẳng    :Ax  By  Cz  D  d  M;      Ax  By0  Cz  D A  B2  C Góc  Nếu    :Ax  By  Cz  D      có VTPT n   A; B;C   x  x  u1 t   Nếu d:  y  y  u t z  x  u t  x  x y  y0 z  z0   d có VTCP u1 u2 u3  u   u1 ; u ; u     cos  d; d '  cos u d ; u d '    cos     ;      cos n    ; n      sin  d;      cos u d ; n       Vị trí tương đối hai đường thẳng  Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng  x  x  u1 t   d :  y  y  u t , có VTCP u   u1 ; u ; u  , qua z  z  u t  https://www.facebook.com/letrungkienmath làm theo bước:   u '  ku Bước Nếu  d trùng d’ M  d '   u '  ku Nếu  d song song với d’ M  d '   Nếu u '  ku chuyển sang bước Bước Xét phương trình  x  u1t  x '0  u '1 t '   y  u t  y '0  u '2 t ' z  u t  z '  u ' t '  3 -Nếu hệ phương trình vơ nghiệm d d’ chéo - Nếu hệ phương trình có nghiệm t, t’ hai đường thẳng cắt 10 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng  x  x  u1 t  Cho d :  y  y  u t z  z  u t     :Ax  By  Cz  D  để xét vị trí tương đối d    ta xét hệ phương trình  M  x ; y0 ; z   x  x '0  u '1 t '   d ' :  y  y '0  u '2 t ' ,có VTCP u '   u '1 ; u '2 ; u '3  ta z  z '  u ' t '   x  x  u1 t   y  y0  u t  z  z  u t Ax  By  Cz  D  -Nếu hệ phương trình vơ nghiệm d song song  -Nếu hệ phương trình có vơ số nghiệm d nằm    -Nếu hệ phương trình có nghiệm d cắt    https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang 26 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Chủ đề 11: Phép dời hình phép biến hình mặt phẳng 1.Phép biến hình: Qui tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M mặt phẳng đgl phép biến hình mặt phẳng  Nếu kí hiệu phép biến hình F ta viết F(M) = M hay M = F(M) M đgl ảnh M qua phép biến hình F  Cho hình H Khi đó: H = {M = F(M) / M  H} đgl ảnh H qua F  Phép biến hình biến điểm M thành đgl phép đồng  2.Phép tịnh tiến véc tơ v Phép đồng dạng  Định nghĩa: Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k (k>0), với hai điểm ảnh M’, N’ tương ứng chúng ln có M’N’=k.MN  Nếu thực liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k phép đồng dạng tỉ số p, ta phép đồng dạng tỉ số pk  Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng dạng biến hình thành hình   Tv : (P)  (P), M  M '  Tv (M)  MM '  v x '  x  a Tv : M(x; y)  M '(x '; y ')   y '  y  b 3.Phép quay tâm O góc  Q O;  : (P)  (P), O  O, M  O  M ' OM  OM '   OM, OM '    4.Phép dời hình, hai hình nhau:  F phép dời hình  F : M  M ', N  N '  MN  M ' N '  Các phép đồng nhất, phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay phép dời hình  Phép biến hình có cách thực liên tiếp hai phép dời hình phép dời hình  Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình Phép vị tự tâm O tỉ số k  Cho điểm O số k  Phép biến hình biến điểm M thành M ' cho   OM '  k.OM gọi phép vị tự tâm O tỉ số k kí hiệu V O;k  https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang 27 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội   ta có: cos a; b  Chủ đề 12: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Tọa độ véc tơ, phép toán véc tơ  Cho hai điểm A  x A ; y A   B  x B ; y B  Ta có: AB   x B  x A ; y B  y A     Cho u  u1 ; u  , v(v1 ; v ) Khi    u  v  u1  u ; v1  v  ; ku   ku1 ; ku  , k     C(x C ; yC ) Tọa độ trung điểm I AB, trọng tâm G tam giác ABC tính theo cơng thức x  xB  xC xA  xB   xG  A   x I   ,    y  yA  yB  y  y A  y B  yC I   G 3 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng  Trong mặt phẳng tọa độ cho   a   a1;a2  b   b1; b2  Khi tích vơ hướng   hai véc tơ a b là:  a.b  a1 a2  b b2   Hai véc tơ a  (a1;a2 )   b   b1; b2   vng góc với  a.b  a1 a2  b b2    Độ dài véc tơ a   a1;a2  tính theo cơng thức:  a  a12  a22  Khoảng cách hai điểm A  x A ; y A  ;B  x B; y B  dính cơng thức:  x  xA    yB  yA     Cho a b khác véc tơ 2 B https://www.facebook.com/letrungkienmath a12  a22 b12  b22 Phương trình tham số đường thẳng  Đường thẳng  qua điểm M  x ; y0   có VTCP u  u1 ; u   có phương trình tham số   u1  v1 uv u  v 2 Tọa độ trung điểm, trọng tâm  Cho A, B, C A  x A ; y A  , B  x B ; y B  , AB  a1 b1  a2 b2  x  x  u1t : , t   (1)  y  y0  u t  Một số ý:  1.VTCP véc tơ  có giá song song trùng với đường thẳng  2.Nếu  có VTPT n   a; b   có VTCP  u   b;a  3.Nếu  có hệ số góc k  có VTCP  u  1; k  4.Nếu phương trình đường thẳng cho dạng (1)  có VTCP u   u1 ; u  5.Hai đường thẳng song song có VTCP 6.Hai đường thẳng vng góc VTPT đường VTCP đường thẳng Phương trình tổng quát đường thẳng  Phương trình  : ax+by+c=0 (2) đgl phương trình tổng quát đường thẳng  Đường thẳng  qua điểm M  x ; y0   có VTPT n   a; b   có phương trình tổng qt  : a  x  x   b  y  y0    Một số ý:  1.VTPT véc tơ  vng góc với VTCP  2.Nếu  có VTCP u   a; b   có VTPT  n   b;a  3.Nếu  có hệ số góc k  có VTPT  u   k; 1 Phương trình đường thẳng  qua M  x ; y0  có hệ số góc k có dạng y  k  x  x   y0 4.Nếu phương trình đường thẳng cho dạng (2)  có VTPT n   a; b  https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang 28 Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội  Phương trình đường trịn (C) tâm 5.Hai đường thẳng song song có VTPT Phương trình  : ax+by+c=0 ,    ' phương trình  ' : ax+by+m=0 , m  c 6.Hai đường thẳng vng góc VTCP đường VTPT đường thẳng O(0; 0), bán kính R: x2 + y = R2 Phương trình: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 2 với a + b – c > phương trình đường trịn Vị trí tương đối hai đường thẳng Xét hai đường thẳng: 1: a1x + b1y + c1 = 2: a2x + b2y + c2 = Tọa độ giao điểm 1  nghiệm hệ : a1x  b1y  c1  (I )  a2 x  b2 y  c2   1 cắt 2  (I) có nghiệm  1 // 2  (I) vô nghiệm  1  2  (I) có VSN Góc hai đường thẳng  Góc hai đường thẳng cắt góc khơng tù tạo hai đường thẳng + 1  2  (1, 2) = 900 + 1 // 2  (1, 2) = 00 00  (1, 2)  900  Cho 1: a1x + b1y + c1 = 2: a2x + b2y + c2 =  = (1, 2)   n1.n   cos = cos(n1 ,n ) =   n1 n  cos = a1a2  b1b2 a12  b12 a22  b22  1  2  a1a2 + b1b2 =  1: y = k1x + m1 2: y = k2x + m2 1  2  k1.k2  1 Khoảng từ điểm đến đường thẳng Cho : ax + by + c = M0(x0; y0) ax  by  c d  M;    a  b2 d  M; 0x   y0 ; d  M; 0y   x Phương trình đường trịn  Phương trình đường trịn (C) tâm I(a; b), bán kính R: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 https://www.facebook.com/letrungkienmath tâm I(a; b), bán kính R = a2  b2  c  Cho (C) có tâm I(a; b), M(x0; y0)  (C) Phương trình tiếp tuyến với (C) M0(x0; y0): (x0–a)(x–x0) + (y0–b)(y–y0)=0  Nhận xét :  tiếp tuyến (C)  d(I, ) = R 10 Phương trình Elip Cho điểm cố định F1, F2 độ dài không đổi 2a lớn F1F2 M  (E)  F1M + F2M = 2a F1, F2: tiêu điểm F1F2 = 2c: Tiêu cự Phương trình E : x2  y2  (b2 = a2 – c2) a b (E) có trục đối xứng Ox, Oy có tâm đối xứng O Các đỉnh A1(–a; 0), A2(a; 0) B1(0; –b), B2(0; b) A1A2 = 2a : Trục lớn B1B2 = 2b : Trục nhỏ F1  c;  ; F2  c;0  Mục Lục 0, Lời nói đầu 1, Khảo sát hàm số 2, Mũ-Loga 3, Nguyên hàm -tích phân 4, Số phức 5, Lượng giác 6, Tổ hợp-Xác suất 7, Dãy số, cấp số 8, Giới hạn 9, Hình học khơng gian 10, Phương pháp tọa độ không gian 11, Phép dời hình phép biến hình mặt phẳng 12, Phương pháp tọa độ mặt phẳng https://sites.google.com/site/letrungkienmath Trang Trang Trang Trang 13 Trang 14 Trang 15 Trang 17 Trang 18 Trang 19 Trang 20 Trang 22 Trang 26 Trang 27 ... Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội VD1 :Ông A gửi tiết kiệm 75 triệu vào ngân hàng theo kỳ hạn tháng lãi suất 0,59%/tháng Nếu Ông A khơng rút lãi tất định kỳ sau năm ông A nhận số... làm phần mềm học tốn thơi phải khơng ạ? - Có lẽ vậy, không em không trở thành người phải không Morioka? Morioka ưỡn người đằng sau - Em không trở thành người đâu - Khơng phải em có mặt Giờ tốn... quý, với lãi suất 1,85% quý Hỏi thời gian nhanh để anh B có 36 triệu đồng tính vốn lẫn lãi. A.19 quý B 15 quý C năm D năm LG :Gọi n số quý cần tìm, từ giả thi? ??t ta có n số tự nhiên nhỏ thỏa mãn