Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán năm 2014 - 2015 giới thiệu về cấu trúc đề thi Đại học môn Toán năm 2014, cách làm bài thi, một số chủ đề ôn tập như hình học không gian oxyz, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng, tìm điểm,... Mời các bạn tham khảo tài liệu để nắm bắt nội dung chi tiết.
TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA - MƠN TỐN NĂM 2014-2015 **************************** A.CẤU TRÚC ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014 (Tham khảo) Câu I (2 điểm): - Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số - Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: chiều biến thiên hàm số; cực trị; giá trị lớn nhỏ hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số; tìm đồ thị điểm có tính chất cho trước, tương giao hai đồ thị (một hai đồ thị đường thẳng) Câu II (1 điểm): Biến đổi lượng giác, phương trình lượng giác Câu III (1 điểm): Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số Câu IV (1 điểm): - Tìm giới hạn - Tìm ngun hàm, tính tích phân - Ứng dụng tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay Câu V (1 điểm): Hình học khơng gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vuông góc đường thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanh hình nón trịn xoay, hình trụ trịn xoay; thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón trịn xoay, khối trụ trịn xoay; tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Các tốn khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, khoảng cách gữa đường thẳng chéo Câu VI (1 điểm): Bài toán tổng hợp.(Bất đẳng thức; cực trị biểu thức đại số) Câu VII (1 điểm):Phương pháp tọa độ mặt phẳng - Xác định tọa độ điểm, vectơ - Đường tròn, đường thẳng, elip Câu VIII (1 điểm):Phương pháp tọa độ không gian: - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu Tìm điểm thoả điều kiện cho trước - Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu IX (1 điểm):Số phức - Tổ hợp, xác suất B.CÁCH LÀM BÀI THI: Khi làm thi ý không cần theo thứ tự đề thi mà theo khả giải câu trước làm trước Khi nhận đề thi, cần đọc thật kỹ để phân định đâu câu hỏi quen thuộc dễ thực ưu tiên giải trước, câu hỏi khó nên giải sau Có thể ta đánh giá câu hỏi dễ làm vào giấy thi làm thấy khó nên dứt khốt chuyển qua câu khác, sau cịn quay trở lại giải tiếp Khi gặp đề thi không khó nên làm cẩn thận, đừng chủ quan để xảy sai sót cẩu thả; cịn với đề thi có câu khó đừng nên nản lịng sớm mà cần kiên trì suy nghĩ Phải biết tận dụng thời gian buổi thi để kiểm tra sai sót (nếu có) tập trung suy nghĩ để giải câu khó cịn lại (nếu gặp phải) Khi làm thi nhiều cách khác mà đắn đo khơng biết cách sai khơng nên gạch bỏ phần hết để giám khảo tự tìm chỗ điểm C MỘT SỐ CHỦ ĐỀ ƠN TẬP PHẦN I: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN OXYZ TĨM TẮT LÝ THUYẾT I.HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 1.Toạ r độ điểm rtoạ độ véc tơ: Cho a = (a1;a2;a3),b = (b1;b2;b3) r r a± b = ( a1 ± b1,a2 ± b2,a3 ± b3 ) r k.a = ( ka1,ka2,ka3 ) r r a = b ⇔ uuur 10 AB = (xB − xA ,yB − yA ,zB − zA ) uuur 2 11 AB = AB = (xB − xA ) + (yB − yA ) + (zB − zA ) r r r r r r 12 a,b,c đồng phẳng ⇔ a ∧ b c = r r r r r r 13 a,b,c không đồng phẳng ⇔ a ∧ b c ≠ ( a1 = b1 a2 = b2 a = b 3 rr a.b = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 r a = a12 + a22 + a32 r r r r a.b cos(a;b) = ur uur a.b r r r r r r r a a phương b ⇔ a = k.b ⇔ a ∧ b = ⇔ = b r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = r r rr a a a a a a a∧ b = a;b = , , ÷ b b b b b b ÷ 3 1 2 a 2= b a b ) ( ) x A + xB y A + yB z A + z B , , 14.M trung điểmcủa AB M 2 15 G trọng tâm tam giác ABC x + x B + xC y A + y B + y C z A + z B + z C G A , , , 3 ur uur ur 16 Véctơ đơn vị: e1 = (1,0,0); e2 = (0,1,0); e3 = (0,0,1) 17 M ( x,0,0) ∈ Ox; N (0, y,0) ∈ Oy; K (0,0, z ) ∈ Oz 18 M ( x, y,0) ∈ Oxy; N (0, y, z ) ∈ Oyz; K ( x,0, z ) ∈ Oxz uuur uuur 2 19 S∆ABC = AB ∧ AC = a + a2 + a3 2 1 uuur uuur uuur 20 VABCD = (AB ∧ AC).AD / 21 V ABCD A/ B / C / D / = ( AB ∧ AD) AA 2/ Mặt cầu : 2.1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính r ( x− a) + ( y − b) + ( z − c) = r 2 (1) Phương trình x2 + y2 + z2 +2Ax+2By+2Cz+ D = (2) ( vớ i A + B2 + C2 − D > ) phương trình mặt cầu Tâm I(-A ; -B ; -C) vaø r = A + B2 + C2 − D 2 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu 2 Cho (S): ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = r vaø mp(α): Ax + By + Cz + D = Gọi d = d(I,(α)) khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp(α ): d > r : (S) ∩ (α) = φ d = r : (α) tiếp xúc (S) H (H: tiếp điểm, α: tiếp diện) d < r : (α) cắt (S) theo đường tròn có phương trình 2 2 (S): ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = r (α ) : Ax + By + Cz + D = II MẶT PHẲNG Vectơ pháp tuyến mpα : n ≠ véctơ pháp tuyến mp(α) ⇔ Giá n ⊥ mp(α) 2.P.trình tổng quát mp(α): Ax + By + Cz + D = 0(1) Mp(1) có 1VTPT n = (A; B; C) 3.Một số trường hợp đặcbiệt phương trình mặt phẳng *Phương trình mặt phẳng song song chứa ox: By+Cz+D=0 ( D≠ song song, D=0 chứa) *Phương trình mặt phẳng song song chứa oy: Ax+Cz+D=0 ( D≠ song song, D=0 chứa) *Phương trình mặt phẳng song song chứa oz: Ax+By+D=0 ( D≠ song song, D=0 chứa) *Phương trình mặt phẳng qua A(a,0,0) ; B(0,b,0); C(0,0,c): x y z + + = với a.b.c≠0 a b c *Phương trình mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = ; (Oxz) : y = ; (Oxy) : z = Vị trí tương đối hai mp (α):A1x+B1y+C1z+D1 = (β) :A2x+B2y+C2z +D2 = t (β) ⇔ A : B1 :C1 ≠ A : B2 :C2 ° (α)caé A B1 C D = = ≠ ° (α )/ /( β) ⇔ A B2 C2 D2 ° (α ) ≡(β ) ⇔ A B1 C D = = = A B2 C2 D2 Đặc biệt (α ) ⊥ (β ) ⇔ A 1A + B1B2 + C1C2 = 5.KC từ M(x0,y0,z0) đến (α) : Ax + By + Cz + D = d(M,(α )) = Ax o + By o + Cz o + D A + B2 + C 6.Góc hai mặt phẳng : r r n1 n cos(α,β) = r r n1 n r r với n1 ; n VTPT mặt phẳng III ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN 1.Phương trình tham số đường thẳng (d) qua M(x o ;yo ;zo) coù vtcp a = (a1;a2;a3) x = xo + a1t (d): y = yo + a2t ; t ∈R z = z + a t o 2.Phương trình tắc (d) (d): x − xo a = y − yo = z- z (avới a1.aa2.3a3 ≠0) 3.Vò trí tương đối đường thẳng : → → Cho đường thẳng d1 : có véctơ phương a qua M1, d2 : có véctơ phương b qua M2 r r r a^b = r * d1// d2 ⇔ r uuuuur a^M 1M ≠ r r r a^b = r *d1≡ d2 ⇔ r uuuuur a^M 1M = r r r a^b ≠ * d1 cắt d2 ⇔ r r uuuuur a^b M1M = rr * Đặc biệt d1⊥ d2 ⇔ a.b = ( ) 4.Góc đường thẳng : r r uuuuur *d1 chéo d2 ⇔ a^b M 1M ≠ ( ) rr a.b cos(d1;d2 ) = r r ab Khoảng cách từ M đến đường d1: d ( M ; d1 ) uuuuur r M M ; a = r a Khoảng cách đường thẳng song song: d(d1 ;d2)=d(M1 ;d2) Khoảng cách đường thẳng chéo nhau: r r uuuuuur a; b .M 1M d d ;d = r r 1 a; b ( ) MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP: I/ MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ MẶT CẦU: Dạng tốn 1: Tìm tâm bán kính mặt cầu có phương trình: x2 + y2 + z2 +2Ax+2By+2Cz+ D = Phương pháp giải: • Tìm tâm: hồnh độ lấy hệ số x chia (-2), tung độ lấy hệ số y chia (-2), cao độ lấy hệ số z chia (-2)⇒ Tâm mặt cầu I(-A ;-B ;-C) • Tím bán kính r = A +B2 +C2 - D Ví dụ: Tìm tâm bán kính mặt cầu sau: a) x2 + y2 + z2 − 8x − 2y + 1= Giải: a/Tâm mặt cầu I(4;1;0), bán kính mặt cầu là: r = A +B2 +C2 -D = (−4) +(-1) +0 -1 = b / 3x2 + 3y2 + 3z2 − 6x + 8y + 15z − = ⇔ x2 + y2 + z2 − 2x + y + 5z − 1= 2 19 5 2 2 4 r = A +B +C -D = ( − 1) + + ÷ ÷ +1 = Tâm mặt cầu I(1; -4/3; -5/2), bán kính mặt cầu là: 3 2 Dạng tốn 2: Tìm tâm H bán kính r đường trịn giao tuyến mặt cầu S(I ;R) mp(α): Phương pháp giải: + Tìm tâm H B1: Viết phương trình đường thẳng d qua I vng góc mp(α) B2: Tâm H giao điểm d mp(α) + Bán kính r = R2 − d2 ( I , α ) Ví dụ: Cho mặt cầu (S) : ( x − 3) + ( y + 2) + ( z − 1) = 100 mặt phẳng (α ) : x − y − z + = Chứng minh (S) (α) cắt theo giao tuyến đường tròn (T) Tìm tâm bán kính đường trịn (T) Giải: 2.3 − 2(−2) − + =6 Mặt cầu (S) có tâm I(3;-2;1) bán kính R = 10 Ta có : d ( I , (α )) = + +1 0) Phương pháp giải: B1: Do mp (α) //mp( β ): Ax+By+Cz+D=0⇒ phương trình mp (α) có dạng:Ax+By+Cz+m=0 (m≠ D) B2: Giải phương trình d(M; (α) )= k tìm m thoả m≠ D⇒phương trình mp( α ) Ví dụ: : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp( β ):5x+y-7z+3=0 Viết phương trình mp(α) //mp( β ) cách điểm A(1;2;3) khoảng Giải ur Mp(β) có VTPT n1 = (5;1; −7) , mp (α) //mp( β ) ⇒ phương trình mp(α) có dạng: 5x+y-7z+D = (D≠3) Do mp(α) cách điểm A(1;2;3) khoảng ⇔ d(A;(α))=2 ⇔ 5.1 + - 7.3+ D D-14 = 2⇔ = ⇔ D-14 = 10 ⇔ D-14=± 10 ⇔ D = 14 ± 10 (nhận) 52 + 12 + (− 7)2 ⇒ phương trình mp(α) là: 5x + y − 7z+14 ± 10 = Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (α ) uuurqua điểm A, B song song với đoạn CD uuu r cho trước (với AB không phương với CD ) Phương pháp giải: uuur uuur B1: Tìm toạ độ AB CD r uuur uuur B2: Tìm n = AB, CD r B3: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua điểm A (hoặc B) nhận n làm VTPT Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm A, B song song với đường thẳng d cho trước (AB không song song với d) Phương pháp giải: r uuur B1: Tìm toạ độ AB véctơ phương a d r uuur r B2: Tìm n = AB, d r B3: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua điểm A (hoặc B) nhận n làm VTPT Ví dụ: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(-1 ,2 , 3), B (0 , -3, 1), C(2 ,0 ,-1), D(4,1, 0) Lập phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng CD song song với đường thẳng AB Giải uuur uuur Ta có AB = ( 1, −5, −2 ) ; CD = ( 2,1,1) r uuur uuur ⇒ n = AB; CD = ( −3, − 5,11) VTPT mp (α ) Mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng CD song song với đường thẳng AB qua C có VTPT r n = ( −3, − 5,11) ⇒ Phương trình mp (α ) là: -3(x – 2) – 5(y – 0) + 11(z + 1) = ⇔ -3x – 5y + 11z + 17 = ⇔ 3x+5y-11z -17 = Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm A chứa đường thẳng d cho trước ( A ∉ d ) Phương pháp giải: uuuuu r r B1: Tìm toạ độ điểm M0 ∈ d VTCP u d Tìm AM r uuuuu r r B2: Tìm n = AM , u r B3: Viết PT mặt phẳng( α )đi qua điểm A nhận n làm VTPT Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng (α) qua A(-1 ,2 , 3) chứa trục 0x Giải uuur r Trục 0x qua O(0;0;0) có 1VTCP i = (1;0;0) , OA = (−1; 2;3) r uuur r r ⇒ n = OA;i =(0;3;-2) Mặt phẳng ( α ) qua điểm A nhận n =(0;3;-2) làm VTPT, phương trình là: 3(y-2)-2(z-3)=0 ⇔ 3y-2z=0 Cách khác: Phương trình mặt phẳng( α ) chứa trục ox có dạng: By+Cz=0 (1) Do mặt phẳng( α ) qua A(-1 ,2 , 3) nên ta có: 2B+3C=0 chọn B=3 ⇒ C= -2 ⇒ phương trình mặt phẳng ( α ) là: 3y-2z=0 Dạng 7:Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Phương pháp giải:uuur B1: Tìm toạ độ AB toạ độ trung điểm I đoạn AB uuur B2: Mặt phẳng cần tìm qua điểm I nhận AB làm VTPT uuur B3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực qua điểm I nhận AB làm VTPT Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) đoạn thẳng AB, với A(1;3;0) B(3,-1;2) Giải: uuur Ta có trung điểm AB I(2;1;1), AB = (2; −4; 2) uuur Mp(P) qua trung điểm I AB có 1VTPT AB = (2; −4; 2) ⇒ phương trình mặt phẳng trung trực (P) là: 2(x-2)-4(y-1)+2(z-1)=0 ⇔ 2x-4y+2z-2=0 Dạng 8:Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với đoạn thẳng AB Phương pháp giải: uuur B1: Tìm toạ độ AB uuur B2: Mặt phẳng cần tìm qua điểm M nhận AB làm VTPT uuur B3: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M nhận AB làm VTPT Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(1;3;0) vng góc với đoạn thẳng AB, biết A(1;0;1) B(3,-1;2) Giải: uuur Ta có AB = (2; −1;1) uuur Mp(P) qua M(1;3;0) có 1VTPT AB = (2; −1;1) ⇒ phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x1)-(y-3)+1(z-0)=0 ⇔ 2x-y+z+1=0 Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M0 cho trước vng góc với đường thẳng d cho trước Phương pháp giải:r B1: Tìm VTCP u d r B2: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M0 nhận u làm VTPT Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm A, B vng góc với mặt phẳng( β ) cho trước (AB khơng vng góc với ( β ) ) Phương pháp giải: uur uuur B1: Tìm toạ độ AB VTPT n β mặt phẳng( β ) r uuur uur B2: Tìm n = AB, n β r B3: Viết phương trình mặt phẳng ( α )đi qua điểm A (hoặc B) nhận n làm VTPT Ví dụ: Viết phương trình mp ( α ) qua hai điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) vng góc với mp(P): 2x-y+3z-1=0 Giải r uuur uur uur uuur Ta có AB = (−1; −2;5) , mp(P) có VTPT n P = (2; −1;3) ⇒ n = AB; n P = (−1;13;5) r Mp( α ) qua A(3;1;-1), có VTPT n = (−1;13;5) ⇒ phương trình mặt phẳng ( α ) là: ( ) = 15 15 n( A2 ) = C71.C31 = 21 c) Xác suất để chọn người có người nữ P A0 = 1− P ( A0 ) = 1− d) Gọi A2 biến cố chọn người có người nữ n( A2 ) 21 = n( Ω ) 45 15 VD 3: Một hộp đựng 12 viên bi có viên bi đỏ viên bi xanh Tính xác suất để lấy viên bi có viên bi đỏ 3 Giải: Không gian mẫu có C12 phần tử Có C7 cách chọn viên bi đỏ từ hộp có C7 C5 cách Xác suất biến cố A2 : P( A2 ) = = C73 + C72 C51 = chọn bi đỏ bi xanh Vây xác suất cần tính C123 11 VD 4: Một người bỏ ngẫu nhiên ba thư vào ba phong bì ghi địa Tính xác suất để có thư bỏ phong bì Giải: Số phần tử không gian mẫu 3! = Gọi A biến cố mà phong bì có thư bỏ địa Trường hợp 1: có thư bỏ địa số cách C3 = Trường hợp 2: ba thư bỏ địa số cách n(A) + = = Vậy P ( A) = n (Ω ) VD5: Hai hộp chứa cầu, hộp thứ chứa đỏ xanh, hộp thứ hai chứa đỏ xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp Tính xác suất cho: a) Cả hai đỏ b) Hai màu c) Hai khác màu Giải: Gọi A biến cố lấy đỏ từ hộp thứ nhất, xác suất biến cố A : P ( A) = Gọi B biến cố lấy đỏ từ hộp thứ hai, xác suất biến cố A : P ( B) = 10 A B hai biến cố độc lập ; A B hai biến cố độc lập a) Xác suất để lấy cầu màu đỏ A ∩ B Xác suất P(A.B) = P(A) P(B) = = 0.24 10 b) C biến cố để lấy màu C = ( A ∩ B) ∪ A ∩ B ( ) ( ) Xác suất biến cố C : P ( C ) = P ( A ∩ B) + P A ∩ B = P(A).P(B) + P(A).P(B) = 1− = 5 mà P(B) = 1− = 10 10 = + = 0.48 10 10 c) Gọi D biến cố lấy hai cầu khác màu D = C nên P(D) = P( C ) = – P(C) = - 0.48 = 0.52 Bài tập đề nghị: BT1: Lớp học Mai có 30 học sinh đánh số thứ tự từ đến 30, số thứ tự Mai 12 Chọn ngẫu nhiên học sinh lớp Mai a) Tính xác suất để mai chọn ĐS : 30 61 b) Tính xác suất để Mai không chọn ĐS : 29 30 11 30 BT2: Có bạn nam bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên bàn trịn có 10 ghế Tính xác suất cho nam nữ ngồi xen kẽ 4!5! » 0, 008 ĐS : Xác suất phải tìm 9! BT3: Cho hai hộp bi, hộp thứ có bi xanh bi đỏ Hộp thứ hai có bi xanh bi đỏ Từ hộp lấy viên bi Tính xác suất để: a) Lấy bi xanh bi đỏ b) Lấy bi đỏ c) Được bi đỏ 23 29 b) P = c) P = ĐS: a ) P = 50 25 50 BT4: Từ chữ số 0, 1, 3, 4, 5, lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số số lập Tính xác suất để số chọn chia hết cho ĐS : P = 25 BT :Khối B-2014 Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gởi đến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, hộp sữa dâu hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để hộp sữa chọn có loại ĐS : P = 11 BT6: Khối A-2014 Từ hộp chứa 16 thẻ đánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ C84 chọn đánh sớ chẵn ĐS : P = = C16 26 BT :Khối D-2014 Cho đa giác u n nh, n ẻ Ơ , n Tìm n biết đa giác cho có 27 đường chéo én = HD : Cn - n = 27 Û ê Vậy n=9 ê ën =- 6(l ) BT 8: Khối B-2013 Có hai hộp chứa bi Hộp thứ chứa viên bi đỏ viên bi trắng, hộp thứ hai chứa viên bi đỏ viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi, tính xác suất để viên bi 4.2 + 3.4 10 = lấy có màu ĐS : P = 7.6 21 BT9 :Khối A-2013 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số phân biệt chọn từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn 3.6.5 3 số chẵn ĐS : A7 ; P = = A7 c) Tính xác suất để bạn có số thứ tự nhỏ số thự tự Mai chọn ĐS 62 Phần VI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I.GIẢI HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ THẾ Đặc điểm chung dạng hệ sử dụng kĩ biến đổi đồng đặc biệt kĩ phân tích nhằm đưa PT hệ dạng đơn giản ( rút theo y ngược lại ) vào PT lại hệ *Loại thứ , hệ có phương trình bậc với ẩn x y ta tìm cách rút y theo x ngược lại 2 x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x − 4x + ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình ( 2) xy + x + = x Giải x2 −1 Dễ thấy x = không thỏa mãn PT(2) nên từ (2) ta có : y + = thay vào (1) ta x x2 −1 x2 −1 2 x2 x + ÷ = 3x − 4x + ⇔ ( x − 1) ( 2x − 1) = ( x − 1) ( 3x − 1) x x x = ⇔ ( x − 1) ( 2x + 2x − x − 1) = ( x − 1) ( 3x − 1) ⇔ ( x − 1) ( 2x + 2x − 4x ) = ⇔ x = (loại) x = −2 Từ , ta nghiệm hệ : (1;-1) , (-2; − ) *Loại thứ hai , Một phương trình hệ đưa dạng tích phương trình bậc hai ẩn xy + x + y = x − 2y ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình ( 2) x 2y − y x − = 2x − 2y Giải Điều kiện : x≥1 ; y≥0 2 PT (1) ⇔ x − xy − 2y − ( x + y ) = ⇔ ( x + y ) ( x − 2y ) − ( x + y ) = ( từ điều kiện ta có x+y>0) ⇔ x − 2y − = ⇔ x = 2y + thay vào PT (2) ta : y 2x + 2y = 2y + ⇔ ( y + 1) ( ) 2y − = ( y ≥ ) ⇔ y = ⇒ x = *loại thứ ba , đưa phương trình hệ dạng phương trình bậc hai ẩn , ẩn lại tham số y = ( 5x + ) ( − x ) ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình 2 ( 2) y − 5x − 4xy + 16x − 8y + 16 = Giải 2 Biến đổi PT (2) dạng y − ( 4x + ) y − 5x + 16x + 16 = Coi PT (2) phương trình ẩn y tham số x ta có ∆ ' = 9x từ ta nghiệm y = 5x + ( 3) y = − x ( ) x=− ⇒y=0 Thay (3) vào (1) ta : ( 5x + ) = ( 5x + ) ( − x ) ⇔ x = ⇒ y = 63 x = ⇒ y = Thay (4) vào (1) ta : ( − x ) = ( 5x + ) ( − x ) ⇔ x = ⇒ y = 4 Vậy nghiệm hệ : (0;4) , (4;0) , ( − ;0) Bài tập: 1 y x − 3y = 2 x + y = x x 2 y + = y − −x = x y x y 2 2 1) ĐS: (1; 1) , (– 1; – 1) , ( xy + x + y = x − y x y − y x − = x − y ;– ), (– x − x = y − y 2 y = x3 + 4) ; 5) ) 2) ĐS: (–2; –2) xy + y + x = x − y x y − y x − = x − y 3/ 6) 2 x − = ( y + 2011)(5 − y ) + y x − y − x + y + 15 = 7) x + y − xy = y ( y − x + 2) = x + II.GIẢI HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Điểm quan trọng hệ dạng phát ẩn phụ a = f ( x, y ) ; b = g ( x, y ) có phương trình xuất sau phép biến đổi đẳng thức phép chia cho biểu thức khác x + + y ( y + x ) = 4y ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình ( x + 1) ( y + x − ) = y ( ) Giải x2 +1 y +y+x = Dễ thấy y=0 không thỏa mãn PT(1) nên HPT ⇔ x + ( y + x − ) = y ÷ x + = y a + b = x +1 ,b = y + x − ⇒ Đặt a = giải hệ ta a=b=1 từ ta có hệ y ab = x + y = Hệ bạn đọc giải dễ dàng 2 =7 4xy + ( x + y ) + ( x + y) Ví dụ Giải hệ phương trình 2x + = x+y Giải Điều kiện : x +y ≠0 2 =7 3 ( x + y ) + ( x − y ) + x + y) ( HPT ⇔ x + y + + x − y = x+y 64 3a + b = 13 ( 1) a ≥ ; b = x − y ( ) ta hệ ( 2) a + b = Giải hệ ta a=2 , b=1 ( |a|≥2 ) từ ta có hệ =2 x + y = x = x + y + x+y ⇔ ⇔ x − y = y = x − y = Bài tập : x 2 x + y + y = x + xy + y = 19( x − y ) x + y = x + y + x y + xy + xy = − 1) 2) 3) 4) x + y = ( x + y ) y = x − xy + y = 7( x − y ) x + y + xy(1 + x) = − x 2 4 x + xy + y = 19( x − y ) x + y = 5/ ( ĐH Hàng Hải–2001) 6/ (ĐH TCKT – 2001) x − xy + y = 7( x − y ) x + y = (2 x + y ) − 5(4 x − y ) + 6( x − y ) = (1) x + y + x y + xy + xy = − 7/ / 2 x + y + x − y = x + y + xy (1 + x) = − III.GIẢI HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Hệ loại ta gặp nhiều hai dạng f(x)=0 (1)và f(x)=f(y) (2) với f hàm đơn điệu tập D x,y thuộc D Nhiều ta cần phải đánh giá ẩn x,y để x,y thuộc tập mà hàm f đơn điệu * Loại thứ , phương trình hệ có dạng f(x)=f(y) , phương trình cịn lại giúp ta giới hạn x,y thuộc tập D để để hàm f đơn điệu 3 x − 5x = y − 5y ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình ( 2) x + y = Giải Từ PT (2) ta có x ≤ 1; y ≤ ⇔ x ≤ 1; y ≤ Đặt a = x + y + x+y Xét hàm số f ( t ) = t − 5t; t ∈ [ −1;1] có f ' ( t ) = 3t − < 0; ∀t ∈ [ −1;1] f(t) nghịch biến khoảng (-1;1) hay PT (1) ⇔ x = y thay vào PT (2) ta PT : x + x − = −1 + −1 + ⇒ y = x = ±4 2 *loại thứ hai , dạng hệ đối xứng loại hai mà giải thường dẫn đến hai trường hợp (1) (2) x + x − 2x + = 3y −1 + Ví dụ Giải hệ phương trình x −1 y + y − 2y + = + Giải a + a + = 3b ( 1) a = x − 1; b = y − Đặt ta hệ b + b + = 3a ( 2) Trừ vế với vế PT ta : a + a + + 3a = b + b + + 3b (3) Đặt a=x4 ≥0 giải phương trình ta 65 a= Xét hàm số f ( t ) = t + t + + 3t ;f ' ( t ) = Vì t2 +1 + t t +1 + 3t ln t + > t ≥ − t ⇒ t + + t > ⇒ f ' ( t ) > 0, ∀t hàm số f(t) đồng biến R Nên PT (3) ⇔ a = b thay vào PT (1) ta a + a + = 3a (4) ) ( Theo nhận xét a + a + > nên PT (4) ⇔ ln a + a + − a ln = ( lấy ln hai vế ) ( ) Xét hàm số g ( a ) = ln a + a + − a ln 3; g' ( a ) = − ln < − ln < 0, ∀a ∈ R a2 +1 hay hàm g(a) nghịch biến R PT (4) có nghiệm a=0 nên PT (4) có nghiệm a=0 Từ ta nghiệm hệ ban đầu : x=y=1 Giải hệ phương trình sau Bài tập đề nghị: Giải hệ phương trình sau : 3x − y = y − x a) 2 x + xy + y = 12 3+ x + x =3+ y c) + y + y = + x y−1 ln(1 + x) − ln(1 + y) = x − y x + x − x + = + e/ f ) x − 12 xy + 20 y = y + y2 − y + = 3x−1 + 2 x − y = ( y − x)( xy + 2) b/ 2 x + y = log x + = + log y d/ log2 y + = + log3 x x − x = y − 5y g/ x + y = 30 x2 − x2 y − 25 y = h / 30 y2 − y2 z − 25z = 30 z2 − z2 x − 25 x = 3 x − x = y − y j) 6 x + y = x3 + x = y K) y + 2y = x 3 x + + − y = i) y + + − x = 1 x − y = x − y l) x − xy = Phần VII: Phương trình, bất phương trình vơ tỉ Dạng : Phương trình Dạng 2: Phương trình A ≥ 0( B ≥ 0) A= B⇔ A = B B ≥ A=B⇔ Tổng quát: A = B 2k B ≥ A=B⇔ 2k A = B Dạng 3: Phương trình A ≥ +) A + B = C ⇔ B ≥ (chuyển dạng 2) A + B + AB = C 3 3 +) A + B = C ⇔ A + B + A.B ( ) A + B = C (1) ta sử dụng phép : A + B = C ta phương trình : A + B + 3 A.B.C = C (2) Dạng 4: A = B ⇔ A = B ; k +1 A = B ⇔ A = B k +1 66 Dạng 5: Dạng 7: g(x) < f(x) > f ( x ) > g(x) ⇔ g(x) ≥ f(x)>g (x) g ( x) > f(x) > g(x) ⇔ f ( x ) > g ( x) f(x) = g(x) f(x) ≥ ⇔ f(x) > Dạng 9: g ( x) ≥ Dạng 6: f(x) ≥ f ( x ) < g(x) ⇔ g(x) > f(x) < g (x) f ( x) > f(x) < g(x) ⇔ g ( x) > f ( x) f(x) = g(x) f(x) ≤ ⇔ f(x) > Dạng 10: g ( x) ≤ Dạng 8: Phần VIII: Bất đẳng thức giá trị lớn nhỏ Dạng toán 1: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG CÁCH DÙNG ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa: A ≥ B ⇔ A − B ≥ Chú ý : Khi chứng minh định nghĩa cố gắng biến đổi hiệu A-B dạng sau: ( A − B) ≥ ; A + B2 + + C ≥ ; A + B2 + + C2 + α > , (α > 0); A B2 ≥ ; Dạng toán 2: CHỨNG MINH BĐT BẰNG CÁCH ÁP DỤNG BĐT CÔSI BĐT CÔSI : cho số không âm a1, a2 Ta có a1 + a2 ≥ a1a2 Dấu xảy a1 = a 2 Hệ quả: +Tổng số khơng đổi, tích số đạt giá trị lớn số +Tích số khơng đổi, tổng số đạt giá trị nhỏ số BĐT CÔSI : cho n số không âm a1,a2 , ,an ( n≥ 2) Ta có a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an Dấu xảy a1 = a = = a n n Dạng toán 3: CHỨNG MINH BĐT DỰA VÀO BĐT BUNHIACÔPXKI BĐT Bunhiacopxki (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2)(b2 + d2) a c Dấu xảy = b d Tổng quát: ( a1b1+ a2b2+…+anbn)2 ≤ ( a1+ a2+…+an)2 ( b1+ b2+…+bn)2 a1 a a = = = n Dấu xảy b1 b bn Phần IX: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I/ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG Định nghĩa: 67 + Vectơ a ≠ gọi vtcp đường thẳng d nằm d nằm đường thẳng song song với d + Vectơ n ≠ gọi vtpt đường thẳng d nằm đường thẳng vng góc với d 68 Các dạng pt đường thẳng: a Đường thẳng d qua điểm M(x0,y0) có vtcp a = (a ; a ) phương trình tham số x − x0 y − y0 x = x0 + a1t = phương trình tắc d là: a1 a2 y = y0 + a2t d là: với a1.a2≠0 r b Đường thẳng d qua điểm M(x0,y0) có pvt n = (a,b) : pttq d: a(x - x0)+ b(y - y0) = ⇔ ax + by + c = c Đường thẳng d qua điểm M(xo,yo) có hsg k phương trình d: y - yo = k (x- xo) 3.Các r ý quanrtrọng + n = (a;b) ⇔ a = (− b; a) + cho d: ax + by + c = d’⊥ d d’: -bx + ay + c’ = bx - ay + c’ = + cho d : ax + by + c = d’// d d’: ax + by + c’= (c’≠ c) r a2 + d có vtcp a = (a1,a2 ) d có hsg k = (a1≠0) a1 + d tạo với chiều dương trục ox góc α d có hsg k = tgα + đường thẳng d: y = ax + b có hsg k = a + cho d d’ có hsg k k’ : d // d’ ⇔ k = k’ ; d ⊥d’ ⇔ k.k’= -1 Các toán liên quan đên đường thẳng 4.1 Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1: A1x + B1y + C1 = ; d2: A2x + B2y + C2 = + A B1 A B1 C A B1 C ≠ = ≠ = = ⇔ d1 ≡ d2 ⇔ d1 cắt d2 ; + ⇔ d1 // d2 + A B2 A B2 C2 A B2 C2 4.2 Góc hai đ/thẳng: + Cho hai đường thẳng d1: A1x + B1y + C1 = d2: A2x + B2y + C2 = Gọi α góc tạo d1 d2 : cosα = A 1A + B1B2 A 12 + B12 A 22 + B22 + d1 ⊥ d2 ⇔ A1A2 + B1B2 = 4.3 Khoảng cách từ điểm đến đ/thẳng: Khoảng cách từ điểm M(xo,yo) đến đường thẳng ∆ : Ax + By + C = là: d(M,∆ )= Ax0 +By0 +C A +B2 4.4 Xác định tọa điểm dùng phương trình đường thẳng: Ta thường sử dụng kết sau: x = x0 + a1t ⇒ M ( x0 + a1t ; y0 + a2t ) y = y0 + a2t At + C ) + M ∈ ∆ : Ax + By + C = ⇒ M (t ; − B + Cho(∆1 ) : A1x + B1 y + C1 = 0;(∆ ) : A2 x + B2 y + C2 = M = ∆1 ∩ ∆ Thì tọa độ M nghiệm hệ A1 x + B1 + C1 = phương trình: A2 x + B2 + C2 = + M ∈∆ : 69 II/ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Phương trình 2 (C) : (x - a) + (y - b) = R (1) Tâm Bán kính I(a,b) R Đ/k cần đủ để đ/thẳng ∆ tiếp xúc với (C) là: (C) : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = (2) ( a2 + b2 - c > ) I(a,b) R = a + b2 − c d (I, ∆ ) = R d (I, ∆ ) = R III/ ELÍP 1.Định nghĩa : Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1 F2 = 2c số 2a (a> c >0 ) Elip ( E ) = { M F1M + F2 M = 2a} +F1;F2 gọi tiêu điểm +F1F2 =2c gọi tiêu cự (E) x2 y2 Phương trình tắc (E) : + = 1, b = a − c a b +2a gọi độ dài trục lớn +M thuộc (E) MF1 = a + +2b gọi độ dài trục nhỏ +Tâm sai (E) : e = c a c cx x = a + ex, MF2 = a − = a − ex ( gọi bán kính qua tiêu ) a a MỘT SỐ ĐỀ MẪU TỰ GIẢI ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn thi: TỐN- Thời gian: 180 phút ĐỀ Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = - x4 + 2x2 + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b)Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4 - 2x2 + + m = Câu (1,0 điểm) a) Cho sin a +cosa= 1,25 b) Tìm số phức z thỏa mãn: π π < a < Tính sin 2a, cos 2a tan2a z = z − (3 + i ) 1+ i Câu (0,5 điểm) Giải phương trình: x + + 7.2 x −1 − = Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình: 2x + + x + ≤ 3x + 2x2 + 5x + − 16 e Câu (1.0 điểm) Tính tích phân: I = ∫ x(1 − ln x) dx Câu (1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, · · · ASB = 900, BSC = 1200,CSA = 900 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ C đến mp(SAB) 70 Câu (1.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường trịn (C): (x - 1) + (y + 1) = 20 Biết AC=2BD điểm B thuộc đường thẳng d: 2x - y - = Viết phương trình cạnh AB hình thoi ABCD biết điểm B có hồnh độ dương Câu (1.0 điểm) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình: x + y – 2z – = Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm gốc tọa độ O tiếp xúc với mặt phẳng (P), tìm tọa độ tiếp điểm Câu (0,5 điểm) Có hộp bi, hộp thứ có bi đỏ bi trắng, hộp thứ hai có bi đỏ bi trắng Chọn ngẫu nhiên hộp viên, tính xác suất để bi chọn màu Câu 10 (1.0 điểm) Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = log32 x + + log32 y + + log32 z + ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn thi: TỐN- Thời gian: 180 phút ĐỀ 2x + x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục hoành Câu 2.(1,0 điểm) a) Giải phương trình: sin2x − 3sin x = Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y = b) Tìm phần thực phần ảo số phức z thỏa ( 1− 2i ) z = ( 3− 2i ) Câu 3.(1 điểm) 1+ logx = 30 − 3logx−1,( x∈ ¡ ) a) Giải phương trình: b) Trong hộp kín có 50 thẻ giống đánh số từ đến 50 Lấy ngẫu nhiên thẻ, tính xác suất lấy hai thẻ mang số chia hết cho 1+ x ln x dx Câu 4: ( điểm) Tính I = ∫ x2 Câu 5: ( điểm) · Cho hình chóp S.ABC có ABC tam giác vuông B, AB = a , ACB = 600 , hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABC) trọng tâm tam giác ABC, gọi E trung điểm AC biết SE = a Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) Câu 6: ( điểm) Trong không gian (Oxyz) cho A( 1; −3; −2) B ( −4;3; −3) mặt phẳng ( P ) : x − 2y + z − = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua gốc tọa độ, song song với AB vng góc với (P); tìm điểm N thuộc trục Oz cho N cách A B Câu 7: ( điểm) · Trong mặt phẳng (Oxy) cho hình thang cân ABCD ( cạnh đáy AB), AB = 2CD, ADC = 1350 Gọi I giao hai đường chéo, đường thẳng qua I vng góc với hai cạnh đáy 15 d : x − 3y − = Tìm tọa độ điểm A biết diện tích hình thang ABCD , hồnh độ điểm I trung điểm AB có tung độ khơng âm Câu 8: ( điểm) ( )( ) xy 1+ 1+ x2 4+ y − y = ( x, y∈ ¡ Giải hệ phương trình: 3 − x y + x y + 26 x = x − 14 71 ) Câu 9: ( điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa: a∈ [ 0;1] , b∈ [ 0;2] ,c ∈ [ 0;3] Tìm giá trị lớn P = 2( 2ab + ac + bc) 8− b b + + 1+ 2a + b + 3c b + c + b( a + c) + 12a2 + 3b2 + 27c2 + ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn thi: TỐN- Thời gian: 180 phút ĐỀ Câu ( 2,0 điểm) Cho hàm số y = − x + 3mx + (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị A, B cho tam giác OAB vuông O ( với O gốc tọa độ ) Câu (1,0 điểm) a Giải phương trình sin x − = cos x − cos x b Tìm số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: x(3 + 5i) + y (1 − 2i )3 = + 14i ( ) Câu (0,5 điểm) Giải phương trình: log x − = log ( x − 1) Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình: 2x ( 3x − + x − 2x + + ) + 15 < 2x + x2 − dx Câu (1,0 điểm) Tính tích phân : I = ∫ (1 x − x + 1) ( x + 3x + 1) Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;2;0), B(0;4;0), C(0;0;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OA, cho khoảng cách từ B đến (P) khoảng cách C đến (P) Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’ ABC hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’= b Gọi góc hai mặt phẳng (ABC) (A’BC) Tính tan thể tích khối chóp A’.BB’C’C Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): thẳng d: đường Tìm m để d có điểm M mà từ kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (A, B tiếp điểm) cho góc · AMB =120 Câu (0,5 điểm) Một lớp học có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng làm tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ Câu 10 (1.0 điểm) Cho số thực x, y, z khác thỏa mãn: x + y + z = x y.z = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = 1 + + x y z 72 ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn thi: TỐN- Thời gian: 180 phút ĐỀ Câu 1.(2,0 điểm): Cho hàm số : y = x4 − 2x2 + (1) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) hàm số (1) b) Dùng đồ thị (C) tìm giá trị m để phương trình x4 − 2x2 + 1− m= có bốn nghiệm phân biệt Câu 2.(1,0 điểm): Giải phương trình sau: a) cos2x + (1 + 2cosx).(sinx – cosx) = b) log2(3 – x) + log2(1 – x) = Câu 3.(1,0 điểm): Tính tích phân I = ∫x 3x2 + dx Câu 4.(1,0 điểm): ( ) a) Tìm số phức Z thỏa mãn đẳng thức: Z + Z + Z = − 6i b) Một đội ngũ cán khoa học gồm nhà toán học nam, nhà vật lý nữ nhà hóa học nữ Người ta chọn từ người để cơng tác , tính xác suất cho người chọn phải có nữ có đủ ba mơn Câu 5.(1,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(- 4;1;3) đường thẳng d: x +1 y −1 z + = = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với đường thẳng d Tìm −2 tọa độ điểm B thuộc d cho AB = 3 Câu 6.(1,0 điểm):Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với cạnh AB=2a ,AD=a Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm H AB, SC tạo với đáy góc 45 a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SCD) Câu 7.(1,0 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD có A(-1;3); Gọi M,N thuộc hai cạnh BC,CD cho BA AM gọi H giao AM BN , H(2;1) Tìm tọa độ điểm B biết B nằm = BC BN đường thẳng 2x-y+1=0 y + x − x = − x − y Câu 8.(1,0 điểm): Giải hệ phương trình sau y + = x + xy + x Câu 9.(1,0 điểm): Cho a, b, c không âm a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = ab + bc + ca + 5a + 5b + 5c + 73 ĐỀ ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn thi: TỐN- Thời gian: 180 phút ĐỀ Câu 1: (2.0 điểm) 2x+1 Cho hàm số y = x−1 a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b/ Tìm giá trị m để đường thẳng (d): y = −3x + m cắt (C) A B cho trọng tâm tam giác OAB nằm đường thẳng (∆): x − y − = 3π 3π + x÷+ tan − x÷+ cot ( 2π − x) Câu 2a (0.5 điểm) Thu gọn A = cos(π − x) − sin b (0.5 điểm) Cho số phức z = −m+ i Tìm m để zz = − m(m− 2i ) Câu (0.5 điểm) Giải phương trình: cos5 x.cos3 x + sin x = cos8 x 2 xy x + y + x+ y = Câu (1.0 điểm) Giải hệ phương trình: x + y = x2 − y e ln x.dx Câu (1.0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x( + ln x) Câu (1.0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Góc CA' mặt ( AA' B ' B) 30° Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' khoảng cách A' I AC với I trung điểm AB Câu (1.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC nội tiếp đường tròn tâm Chân đường cao hạ từ B, C ABC Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tứ giác BCHK, biết tung độ điểm A dương Câu (1.0 điểm) x −1 y − z = = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I ( 1;7;5 ) đường thẳng d : −1 Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I, cắt đường thẳng d hai điểm phân biệt M, N cho tam giác IMN có diện tích 6009 Câu (0.5 điểm) Cho hộp đựng 12 viên bi, có viên bi màu đỏ, viên bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên lần viên bi Tính xác suất để lấy viên bi màu đỏ Câu 10 (1.0 điểm) Cho số thực dương x, y, z Tìm giá trị lớn biểu thức P= yz x + yz + zx y + zx + xy z + xy 74 ĐỀ ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn thi: TOÁN- Thời gian: 180 phút ĐỀ Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = − x + 3x + 3mx − (1) , với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (0; + ∞ ) π Câu (1,0 điểm) Giải phương trình + tan x = 2 sin x + ÷ 4 x + + x − − y + = y Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình (x, y ∈ R) x + x( y − 1) + y − y + = 2 x −1 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ ln x dx x Câu (0,5 điểm) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác xuất để số chọn số chẵn 5( z + i ) Câu (0,5 điểm) Cho số phức z thỏa = − i Tính mơđun số phức z z +1 · Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, ABC = 300 , SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : 2x + y + = A(−4;8) Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B C, biết N (5;-4) x − y +1 z + = = Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : −3 −2 điểm A(1;7;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với ∆ Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ cho AM = 30 Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c)(b + c) = 4c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 32a 32b3 a + b2 + − (b + 3c)3 (a + 3c)3 c 75 ... (α ) ⇒ H∈d ⇒ H(3+2t ;-2 -2 t;1-t) Mặt khác H∈mp (α ) ⇒ ta z = 1− t có: 2(3+2t )-2 (-2 -2 t )-( 1-t)+9=0⇔9t=18 ⇔ t=2 ⇒ H(7 ;-6 ;-1 ).Tâm đường trịn (T) H(7 ;-6 ;-1 ) Bán kính đường trịn giao tuyến : r = R2... Tìm tâm: hồnh độ lấy hệ số x chia (-2 ), tung độ lấy hệ số y chia (-2 ), cao độ lấy hệ số z chia (-2 )⇒ Tâm mặt cầu I(-A ;-B ;-C) • Tím bán kính r = A +B2 +C2 - D Ví dụ: Tìm tâm bán kính mặt cầu... M(1;3 ;-2 ) song song với mặt phẳng (Q):2x-y+3z+4=0 Giải: Mặt phẳng (P)//mp(Q): 2x-y+3z+4=0 nên phương trình mp(P) có dạng 2x-y+3z+D=0 (D≠4) Mặt khác mp(P) qua điểm M(1;3 ;-2 ) nên ta có: 2. 1-3 +3 (-2 )+D=0