Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2016 cực hay (Phần 1 - Hình học không gian)

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ b Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là một điểm sao cho OI=OA+OA′+OB+OB′+ Để làm tốt các bài toán liên quan đến hình lập phương ta cần nhớ một số tính chất cơ bản của

Trang 1

1

Trang 2

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95

Đă ng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

I CÁC QUY TẮC VÉC TƠ

Quy tắc véc tơ đối :

Với mọi hai điểm A, B cho trước ta luôn có AB= −BA⇔AB+BA=0

Quy tắc trừ hai véc tơ :

Cho trước hai điểm A, B Với mọi điểm M ta luôn có AB=MB−MA

Quy tắc trung tuyến:

Cho hai điểm A, B Nếu M là trung điểm của AB thì ta có

Quy tắc trung tuyến:

Cho tam giác ABC, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm

của BC và AC Khi đó AB AC 2AM

+ Với mọi điểm I thì ta luôn có IA+IB+IC=3IG

+ Điểm G được gọi là trọng tâm tứ diện ABCD khi

Trang 3

a) AM=AB+AC+AD

Gọi I là trung điểm của BC, khi đó AB AC 2AI+=

Gọi J là điểm đối xứng của A qua I, khi đó ta có

2AI=AJ→AB+AC=AJ

Từ đó AB+AC+AD=AJ+AD=2AE

, với E là trung điểm của DJ

Theo bài, AM=AB+AC+AD=2AE

Vậy M là điểm đối xứng của A qua E

Vậy trong tam giác ADJ ta tạo ra hình bình hành

ADJN thì điểm N thỏa mãn yêu cầu này chính là

điểm cần tìm

Ví dụ 2: [ĐVH].Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của MN và

G 1 là trọng tâm tam giác BCD Chứng minh các hệ thức sau:

Ta có thể chứng minh tương tự như trên, hoặc sử dụng kêt quả câu a là AC+BD=AD+BC

ta cũng được điều phải chứng minh

Trang 4

Sử dụng quy tắc trung tuyến cho ∆ACD ta được AC AD+=2AN

Gọi I là điểm đối xứng của A qua N, khi đó 2AN=AI→AC+AD=AI

Ta có AB+AC+AD=AB+(AC+AD)=AB+AI=2AE,

với E là trung điểm của BI

Xét trong ∆ABI có BN và AE là các đường trung tuyến, giả sử BN ∩ AE = G′ thì G′ là trọng tâm ∆ABI

Ví dụ 1: [ĐVH].Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Hãy phân tích các véc tơ

SA, SB, SC, SD theo AB, AC, SO.

Trang 5

Ví dụ 2: [ĐVH].Cho tứ diện ABCD, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD Chứng minh rằng ba véc

tơ MN, BC, AD đồng phẳng

Hướng dẫn giải:

Nhận xét:

Để chứng minh ba véc tơ MN, BC, AD đồng phẳng ta đi

kiểm tra xem có đẳng thức véc tơ nào liên quan đến ba

véc tơ trên hay không Bằng trực quan hình học, ta thấy

MN ở giữa BC và AD nên ta sẽ xuất phát từ véc tơ MN đi

theo hai hướng là BC và AD

Ví dụ 3: [ĐVH].Cho hình chóp tam giác S.ABC Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho MS= −2MA và trên đoạn

BC lấy điểm N sao cho NB= −1 NC.

c) Gọi O là tâm của hình hộp Chứng minh rằng OA+OB+OC+OD+OA'+OB'+OC'+OD'=0

Bài 3: [ĐVH] Cho tứ diện S.ABC Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

a) Phân tích vectơ SG theo các ba véc tơ SA SB SC ,,

b) Gọi D là trọng tâm của tứ diện S.ABC Phân tích vectơ SD theo ba vectơ SA SB SC ,,

Trang 6

Bài 4: [ĐVH] Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có '=,= ,=

Trang 7

I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

1) Góc giữa hai véc tơ

Ví dụ 1 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a

a) Tính góc giữa hai véc tơ ()

12

Trang 8

Do ∆ABC đều nên CI⊥AI ⇔CI AI =0

3

34

232

II GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

1) Khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳng

Một véc tơ u≠0 mà có phương song song hoặc trùng với d được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d

2) Góc giữa hai đường thẳng

Khái niệm:

Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a′; b′ lần lượt song song với a; b Kí hiệu ( )a; b

Từ định nghĩa ta có sơ đồ a// a ( )a; b (a ; b)

Trang 9

Các phương pháp tính toán góc giữa hai đường thẳng:

Nếu góc thuộc tam giác vuông thì dùng các công thức tính toán trong tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot

Nếu góc thuộc tam giác thường thì sử dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ABC:

Để xác định góc giữa hai đường thẳng SD và BC ta sử dụng

phương án 2, tìm đường thẳng song song với một trong hai

đường thẳng SD, BC và song song với một đường còn lại

Ta dễ nhận thấy AD // BC

Khi đó () ()

o

SDASD; BC SD; AD

SBACD//AB SB;CD SB; AB

Trang 10

Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được:

Do AB và CD là các cạnh của tứ diện nên chúng chéo nhau,

để xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tạo các

đường thẳng tương ứng song song với AB, CD và chúng cắt

nhau

Gọi P là trung điểm của AC, khi đó MP // AB, NP // CD

o

MPNAB,CD MP, NP

Do MP, NP là các đường trung bình nên ta có MP = NP = a

Áp dụng định lý hàm số cosin trong ∆MPN ta được

Ngoài việc khởi tạo P như trên ta cũng có thể lấy điểm P là

trung điểm của BD, cách giải khi đó cũng tương tự

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a SA vuông góc với

Trang 11

Vậy góc giữa hai đường thẳng DC và SB bằng 30o

b) Gọi I là trung điểm của AB, khi đó AI = a Tứ giác ADCI là hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên là

hình thoi Lại có góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a →DI=a 2

mặt khác, tứ giác BIDC là hình bình hành (do cặp cạnh DC và BI song song và bằng nhau) nên BC // DI

III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu ( ); 90o .

Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau, u.v 0. =

Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều

Ví dụ 1 Cho tứ diện ABCD trong đó = = = = o = o = o

AB AC AD a, BAC 60 , BAD 60 , CAD 90 Gọi I và J lần lượt

là trung điểm của AB và CD

a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với cả hai đường AB và CD

b) Tính độ dài IJ

a) Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra tam giác ABC, ABD đều,

∆ACD vuông cân tại A

Từ đó BC=BD=a,CD=a 2 →∆BCD vuông cân tại B

Chứng minh IJ vuông góc với AB

Do các ∆ACD, ∆BCD vuông cân tại A, B nên

Chứng minh IJ vuông góc với CD

Do các ∆ACD, ∆BCD đều nên CI = DI → IJ ⊥CD

b) Áp dụng định lý Pitago cho ∆AIJ vuông tại I ta được

2 2

Ví dụ 2 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và ASB=BSC=CSA

Chứng minh rằng SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB

Trang 12

Chứng minh: SA ⊥ BC

Xét SA.BC =SA SC SB ( −)=SA.SC SA.SB −

Mà

() ()

SA.SC SA.SC.cos SA;SC

SA.SB SA.SB.cos SA;SB SA.SC SA.SB SA.SC SA.SB 0 SA.BC 0 SA BC

Chứng minh tương tự ta cũng được SB ⊥ AC, SC ⊥ AB

Ví dụ 3 Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆∆∆∆BCD

a) Chứng minh AO vuông góc với CD

b) Gọi M là trung điểm của CD Tính góc giữa

BC và AM

AC và BM

a) Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng

Gọi M là trung điểm của CD Ta có

AO.CD= AM+MO CD=AM.CD+MO.CD

Do ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD và O là tâm đáy (hay

O là giao điểm của ba đường cao) Khi đó

Trang 13

a) Tính góc giữa các đường thẳng: (AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C ′ ′) (′ ′) (′ ′ ′ )

b) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là một điểm sao cho OI=OA+OA′+OB+OB′+

Để làm tốt các bài toán liên quan đến hình lập phương ta cần nhớ một số tính chất cơ bản của hình lập phương:

Tất cả các đường chéo ở các mặt của hình lập phương đều bằng nhau và bằng a 2 (nếu hình lập phương cạnh a)

Các đoạn thẳng tạo bởi các kích thước của hình lập phương luôn vuông góc với nhau (dài, rộng, cao)

a) Tính góc giữa: (AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C ′ ′) (′ ′) (′ ′ ′ )

Gọi O′ là tâm của đáy A′B′C′D′, theo quy tắc trung tuyến ta có OA OC 2OO OI 4OO

Khoảng cách từ O đến I chính là độ dài véc tơ OI, từ đó ta được OI = 4OO′ = 4a

c) Phân tích hai véc tơ AC , BD ′ theo ba véc tơ a, b, c.

Theo tính chất của hình lập phương ta dễ dàng có

a.b 0a.c 0b.c 0

Trang 14

Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD

Bài 3: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC=a 2 Tính góc giữa ()

,

SC AB , từ đó suy ra góc giữa SC và AB

Bài 4 [ĐVH]:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2 ;a AD=2a 2;SC=5a Hình chiếu

vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB Tính góc giữa

a) ( SB AC ; )

b) ( SC AM , với M là trung điểm của CD ; )

Bài 5: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB=a AD; =a 3, SA = 2a và vuông góc với

đáy Tính góc giữa các đường thẳng sau:

Bài 6: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt

đáy là trung điểm H của AB, biết SH =a 3. Gọi I là trung điểm của SD Tính góc giữa các đường thẳng:

Bài 7: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D với AB = 3a, AD = 2a, DC = a Hình

chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) là H thuộc AB với AH = 2HB, biết SH = 2a Tính góc giữa

Bài 8: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống

(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với 1

2

AH = HB Biết AB=2 ;a AD=a 3;SH =a 2 Tính góc giữa

Trang 15

Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B Biết SA vuông góc với (ABCD), AB = BC = a; AD = 2a, SA=a 3 Tính góc giữa

a) (SB; CD)

b) (SC; AB)

c) (SD; BC)

d) (SB; CK), với K là điểm thuộc đoạn AB sao cho BK = 2KA

Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ABC tại B, AB = a; BC = 2a I là trung

điểm của BC, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AI Biết S SAI =a2 2.Tính góc giữa

a) (SA; BC)

b) (AI; SB)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy Biết SA =

a; AB = a; BC =a 2. Gọi I là trung điểm của BC

a) Tính góc giữa hai đường thẳng (AI; SC)

b) Gọi J là trung điểm của SB, N thuộc đoạn AB sao cho AN = 2NB Tính góc giữa hai đường AC và JN

Bài 2: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a AD; =a 3 Hình chiếu

vuông góc của đỉnh S xuống (ABCD) là trung điểm H của OD, biết SH = 2a Tính góc giữa

a) (SB; CD)

b) (AC; SD)

Bài 3: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3 Hình chiếu vuông góc của

4

AH = AB SH =a Tính góc giữa

Bài 4: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B Biết AB = BC = a; AD

= 2a Hình chiếu của S xuống (ABCD) là điểm H thuộc AC sao cho CH = 3AH; SH =a 3 Tính góc giữa

a) (SC; AB)

b) (SA; BD)

01 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P2

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

Trang 16

Bài 5: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a; AD = 2a Hình chiếu vuông góc của

S xuống mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc AB sao cho AB = 3AH Biết S SAB =a2 Tính góc giữa

Bài 6: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của đỉnh

S xuống (ABCD) là trung điểm H của AB Biết SH =a 3 Tính góc giữa

a) (SA; BC)

b) (SB; CD)

c) (SA; CD)

d) (SB; MN), với M và N là trung điểm của BC; CD

e) (SC; MN), với M, N như trên

Bài 7: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S xuống

(ABC) là điểm H thuộc AB sao cho 1

3

AH = AB Biết diện tích tam giác SAB bằng

23.2

a) Tính góc giữa hai đường thẳng (SA; BC)

b) Tính góc giữa hai đường thẳng (AB; SI)

Bài 10: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a Hình chiếu vuông góc của đỉnh S

xuống (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AC với 1 ; 2

4

AH = AC SH = a Tính góc giữa

Trang 17

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD, có đường cao SA=2a 3 đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a

a) Chứng minh rằng: (SCD) (SAD)

b) Tính khoảng cách từ O và từ A tới mặt phẳng (SCD)

c) Tính tan của góc giữa SB và (SAC)

d) Xác định tâm, bán kính, và tính diện diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC, có đường cao SA, đáy ABC là tam giác vuông tại A,

S.ABCD và thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp

Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD, có đường cao SA, đáy ABCD là hình chữ nhật,

b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD

Ví dụ 4: [ĐVH] Hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a Tính bán kính

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hình chóp từ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và đáy

bằng 600 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Ví dụ 6: [ĐVH] Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó

Ví dụ 7: [ĐVH] Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó

Ví dụ 8: [ĐVH] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D

Ví dụ 9: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥( ABCD) và

3

a

SA= Gọi O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chiếu của B trên SC.

a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông Suy ra năm điểm S, D, A, K B

cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB

b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên

MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P1

Thầy Đặng Việt Hùng

Trang 18

Ví dụ 10: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA⊥( ABC)

a) Gọi O là trung điểm của SC Chứng minh: OA = OB = OC = SO Suy ra bốn điểm A, B, C, S cùng nằm

trên mặt cầu tâm O bán kính

2

SC

R=

b) Cho SA = BC = a và AB=a 2 Tính bán kính mặt cầu nói trên

Ví dụ 11: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B Gọi AH, AK lần lượt là các đường cao của các tam giác SAB và SAC

a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K cùng ở trên một mặt cầu

b) Cho AB = 10, BC = 24 Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó

Ví dụ 12: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA=a 7 và SA ⊥

(ABCD) Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K

a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, H, M, K cùng ở trên một mặt cầu

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó

Trang 19

Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc của

đỉnh S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của AB, đường trung tuyến AM của ∆ACD có độ dài 3

Ví dụ 3: [ĐVH] Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC), SA = a, AB = b, AC = c Xác định tâm và tính bán

kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:

a) BAC=900 b) BAC=600, b = c c) BAC=1200, b = c

Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a AD; =a 3 Gọi O là tâm đáy, biết hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm của tam giác ABC; khoảng

b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD

Ví dụ 5: [ĐVH] Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a, AD = b Hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau

a) Chứng minh tam giác ACD vuông

b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Đ/s:

2

2 23

=

−

a R

b) Cho SA=a 3 Tính diện tích của tứ giác APQR

Ví dụ 7: [ĐVH] Cho hình chp S.ABC có đáy là tam giác ABC biết AB =5a ; BC = 4a và CA = 3a Trên

đương vuông góc với (ABC) dựng từ A lấy một điểm S sao cho (SBC) tạo với đáy góc 450 Xác định tâm

và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên

Trang 20

Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho ∆ABC cân có BAC=1200 và đường cao AH =a 2 Trên đường thẳng ∆⊥ (ABC) tại A ta lấy 2 điểm I, J ở 2 bên điểm A sao cho IBC là tam giác đều và JBC là tam giác vuông cân

a) Tính các cạnh của ∆ABC

b) Tính AI, AJ và chứng minh các tam giác BIJ, CIJ là các tam giác vuông cân

c) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện IJBC, IABC (R=2a 3)

Trang 21

Ví dụ 1: [ĐVH] Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB = a;

AA =a ABC= Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho

Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh ạ, góc BAD bằng 600 và SA = SB = SD

Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD biết BSD=90 0

Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB // CD, AB = 2a; BC = CD = DA =

2

a

SA=SB=SC=SD d AB SC = Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho

Ví dụ 4: [ĐVH] Cho tứ diện ABCD có các mặt phẳng (ABC) và (BCD) vuông góc với nhau Biết

BC=a BAC= BDC= Tính bán kính và thể tích khối cầu ngoại tiếp ABCD

Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có các mặt phẳng (ABC) và (SBC) vuông góc với nhau Biết

S.ABC Tính thể tích khối đa diện M.ABC theo a

Bài 2: [ĐVH] Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ nội tiếp trong hình trụ có bán kính đáy r; góc giữa BC’ và trục

của hình trụ bằng 300; đáy ABC là tam giác cân đỉnh B có ABC =1200 Gọi E, F, K lần lượt là trung

điểm của BC, A’C và AB Tính theo r thể tích khối chóp A’.KEF và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE

Bài 3: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi cạnh 2a, SA = a, SB=a 3, góc BAD bằng 600,

(SAB) (⊥ ABCD), gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và BC Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin giữa hai đường thẳng SM và DN

Trang 22

Bài 4: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ; tam giác SAB vuông cân tại S Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB, các mặt phẳng (SHC), (SHD), (ABCD) đôi một vuông góc Biết

SC a , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAD) và (SDC)

Bài 5: [ĐVH] Cho lăng trụ đứngABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác cân với AB= AC=a, góc

Trang 23

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 1 CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Đường thẳng song song với mặt phẳng:

Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó

song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng

Tính chất giao tuyến song song:

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa hai đường thẳng a, b

song song với nhau, thì giao tuyến nếu có của hai mặt

phẳng phải song song với a và b

Tính chất để dựng thiết diện song song:

Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P); một

mặt phẳng (Q) chứa a, cắt (P) theo giao tuyến ∆ thì ∆

phải song song với a

Viết dạng mệnh đề:

( ) ( ) ( ) ( )

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

+ Định nghĩa: Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng

(P) khi nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong

+ Hệ quả 1: Để chứng minh đường thẳng d vuông góc

với (P) ta chỉ cần chứng minh d vuông góc với hai đường

+ Hệ quả 4: Nếu đường thẳng d cùng vuông góc với một

đường thẳng a và một mặt phẳng (P) thì khi đó đường

thẳng a hoặc song song với (P) hoặc nằm trong (P)

02 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P1

Trang 24

+ Hệ quả 5: Nếu đường thẳng d có hình chiếu vuông góc

xuống (P) là d’; đường thẳng a nằm trong (P) vuông góc

với d khi và chỉ khi a vuông góc với d’

Ví dụ 1 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy

a) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC)

b) Gọi M, N là trung điểm của SC, SD Chứng minh MN ⊥ (SAD)

c) Cho SA=a 3. Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CN

Ví dụ 2 [ĐVH]: Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC), tam giác ABC cân tại A với ; 6

AD Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM

c) Gọi G1 ; G2 là trọng tâm các tam giác ABC và DBC Chứng minh rằng G1G2⊥ (ABC)

Ví dụ 3 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy Gọi

B1; C1; D1 là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC, SD

a) Chứng minh rằng B1D1 // BD và SC ⊥ (AB1D1)

b) Chứng minh rằng các điểm A, B1, C1, D1 đồng phẳng và tứ giác AB1C1D1 nội tiếp đường tròn

c) Cho SA=a 2. Tính góc giữa hai đường thẳng SB và AC1

Ví dụ 4 [ĐVH]: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc Kẻ OH ⊥ (ABC)

a) Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn

b) Chứng minh OA ⊥ BC; OB ⊥ AC; OC ⊥ AB

c) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC

d) Chứng minh rằng 1 2 = 12 + 12 + 12

Ví dụ 5 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại A

a) Chứng minh rằng tam giác SAC vuông

b) Tính SA, SB, SC biết ACB=α;ACS =β;BC=a.

Trang 25

Bài 2 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB,

BC Biết SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng

a) SO ⊥ (ABCD)

b) IJ ⊥ (SBD)

Bài 3 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA ⊥ (ABCD) Gọi H,

I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD

a) Chứng minh rằng rằng CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC)

b) Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK)

c) Chứng minh rằng HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥ AI

Bài 4 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và

a) Tính các cạnh của ∆SIJ và chứng minh rằng SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB)

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ Chứng minh rằng SH ⊥ AC

c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM ⊥ SA Tính AM theo a

Bài 6 [ĐVH]: Cho ∆MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ta

lấy 2 điểm C, D ở hai bên điểm A Gọi C′ là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC′

a) Chứng minh rằng CC′⊥ (MBD)

b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB Chứng minh rằng K là trực tâm của ∆BCD.

Bài 7 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD, có SA ⊥ (ABCD) và SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông có

đường cao AB = a ; AD = 2a và M là trung điểm AD

a) Chứng minh rằng tam giác SCD vuông tại C

b) Kẻ SN vuông CD tại N Chứng minh rằng CD ⊥ (SAN)

Trang 26

DẠNG 2 XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1) Khái niệm

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó xuống mặt phẳng

2) Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Giả sử cần xác định góc giữa hai mặt phẳng d1 và d2, ta thực hiện theo các bước sau

- Tìm hình chiếu d′ của d lên (P)

- khi đó, (d P, ( ))=(d d, ′), và bài toán quay về tìm

góc giữa hai đường thẳng

Chú ý:

Thông thường đường thẳng d cho dạng đoạn thẳng

(MN chẳng hạn), khi đó để tìm hình chiếu của MN ta

tìm hình chiếu của từng điểm M và N xuống (P), tức

là tìm các điểm H, K sao cho MH ⊥ (P), NK ⊥ (P)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1 [ĐVH]: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc Gọi I

là trung điểm của AB

a) Chứng minh SI ⊥ (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD)

b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD) Từ đó suy ra góc của SC với (SAD)

c) Gọi J là trung điểm CD, chứng minh (SIJ) ⊥ (ABCD)

d) Tính góc hợp bởi SI với (SDC)

Bài 2 [ĐVH]: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O Gọi M, N lần lượt là trung

điểm SA và BC Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) là 600

a) Tính độ dài đoạn MN

b) Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD)

Bài 3 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA=a 6 và vuông góc với đáy Tính

Trang 27

Bài 4 [ĐVH]: Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ đáy là tam giác đều cạnh a; đỉnh A′ cách đều A; B; C; góc giữa

AA′ và (ABC) là 600

a) Xác định và tính đường cao của lăng trụ trên

b) Xác định và tính góc giữa A′A với (ABC)

Bài 5 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA vuông (ABC) tại A; SA = AC

= a ; AB = 2a Xác định và tính góc giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau

a) SA; SC ; SB với (ABC)

b) BC; BA; BS với (SAC)

c) CH; CA; CB; CS với (SAB) với CH là đường cao tam giác ABC

d) Biết AK là đường cao tam giác SAC xác định và tính góc giữa AK; AS; AC với (SBC)

Bài 6 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy,

6

=

SA a Tính góc giữa

a) SB và CM, với M là trung điểm của AD

b) SC và DN, với N là điểm trên đoạn BC sao cho BN = 2 NC

a) Gọi O=AC∩BD Do G là trọng tâm tam giác ABD

nên G thuộc AC

Trang 28

Trang 29

Dễ thấy : DE⊥(SAC)⇒(SD SAC;( ) )=ESD

Do đó ta có sin 1 cos 2

33

Trang 30

DẠNG 3 XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (nâng cao)

Ví dụ 1 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = 2a, AD

= 3a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với AH = 2HB, biết

Ví dụ 3 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a Gọi M là trung điểm

OA, điểm N thuộc CD sao cho 1

2

=

CN ND Hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là trung điểm H của

MN, biết SH = 2a Tính góc giữa

a) SD và (ABCD)

b) SA và (ABCD)

Ví dụ 4 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a Gọi I là trung

điểm cạnh BC, hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là H∈AI HI:+2HA=0 Biết (SI SAB; )=α với

Trang 31

Ví dụ 1: [ĐVH] Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

Ví dụ 2: [ĐVH] Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7 cm

b) Tính thể tích của khối trụ

c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3 cm Hãy tính diện tích của thiết diện

được tạo nên

a) Ta có Sxq = 2πRl = 2π.OA.AA’ = 2π.5.7 = 70π (cm2)

* OA = 5cm; AA’ = 7cm

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 70π + 50π = 120π (cm2) b) V = πR h2 = π.OA OO2 ′= π.52.7 = 175π (cm3) c) Gọi I là trung điểm của AB ⇒OI = 3 cm

b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho

c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục

của hình trụ bằng 300 Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ

I

A

Trang 32

a) * Sxq = 2πRl = 2π.OA.AA’ = 2π.r r 3 = 2 3 πr2

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 2πr2 3 + 2πr2 = 2 ( 3 1) + πr2 b) * V = π R h2 = π OA OO2 ′= π r r2 3 = π r3 3

r

Tính: A’B = r (do tam giác AA’B vuông tại A’)

Ví dụ 4: [ĐVH] Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O ’, bán kính R, chiều cao hình

Ví dụ 5: [ĐVH] Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao h = 50 cm

b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho

c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy Tính khoảng cách

r

R 2 R

A' O'

O A

Trang 33

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: [ĐVH] Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông

a) Tính diện tích thiết diện qua trục

b) Tính diện tích toàn phần và thể tích của trụ

c) Tính diện tích và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình trụ

Bài 2: [ĐVH] Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thang cân với đáy nhỏ AB = a, đáy

lớn CD = 4a, cạnh bên bằng 5

2

a

; chiều cao hình lăng trụ bằng h

a) Chứng minh có hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho

b) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình trụ đó

Bài 3: [ĐVH] Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng 4π

a) Tính diện tích toàn phần của hình trụ

b) Tính thể tích khối trụ

c) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ

Bài 4: [ĐVH] Cho hình trụ có trục O1O2 Một mặt phẳng (α) song song với trục O1O2 cắt hình trụ theo thiết

diện là hình chữ nhật ABCD Gọi O là tâm của thiết diện đó Tính góc O1OO2 biết bán kính đường tròn ngoại

tiếp ABCD bằng bán kính đường tròn đáy của hình trụ

Trang 34

Ví dụ 1: [ĐVH] Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3 Khi quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

Ví dụ 2: [ĐVH] Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

(vì SO là đường cao của tam giac SAB đều cạnh 2a)

Ví dụ 3: [ĐVH] Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông

Trang 35

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân tại S nên A∧ = B∧

= 450

* Sxq = πRl = π.OA.SA = πa2 2 Tính: SA = a 2 ; OA = a (∆∨SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy = πa2 2 + πa2 = ( )1+ 2 πa2

Ví dụ 4: [ĐVH] Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vuông

Ví dụ 5: [ĐVH] Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 1200

O

Trang 36

a) Thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S nên A B= = 300hay ASO = BSO = 60 0

* Sxq = πRl = π.OA.SA = π.a 3.2a = 2πa2 3 Tính: OA = a 3; SA = 2a (∆∨SOA tại O)

Ví dụ 6: [ĐVH] Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng α

b) Tính thể tích của khối nón

a) * Góc giữa đường sinh và mặt đáy là A∧ = B∧ = α

* Sxq = πRl = π.OA.SA = π lcosα.l = πℓ2cosα

Tính: OA = lcosα (∆∨SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy = πℓ2cosα + πl2cos2α =

Tính: SO = lsinα (∆∨SOA tại O)

Ví dụ 7: [ĐVH] Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2πa2 Tính thể tích của hình nón

O

Trang 37

* Sxq = πRl ⇔πRl = 2πa2 ⇒R = 2 2 2 2

2

π = =π

Ví dụ 9: [ĐVH] Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a

2

πa

= 1 1 2

22

Trang 38

HD:

a) * Thiết diện qua trục là ∆SAB

vuông cân tại Snên A∧ = B∧ =450

a

.2 33

a

=

223

Ví dụ 10: [ĐVH] Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm

* Tính: SI = OS.OI

OH =

2012

BA

S

Trang 39

c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa

đáy hình nón một góc 600 Tính diện tích tam giác SBC

a

; Tính: SA = a (∆∨SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy =

222

πa

+ 2

2

2 3

Trang 40

Phương pháp giải:

Để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta thực hiện như sau:

+) Xác định giao tuyến ∆ =( )P ∩( )Q

+) Tìm mặt phẳng trung gian (R) mà (R) ⊥∆, (Đây là bước quan trọng nhất nhé!)

+) Xác định các đoạn giao tuyến thành phần: ( ) ( ) () ( )

( ); ( ) ;( ) ( )

Ví dụ 1 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, O là tâm đáy Hình chiếu

vuông góc của S xuống (ABCD) là trung điểm H của OA Biết () 0

b) (IBC) và (ABCD), với I thuộc đoạn SA sao cho SI = 2IA

Ví dụ 3 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, I là điểm trên đoạn BC sao cho CI = 2BI Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc AI với HA+2HI =0, biết

Bài 1 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và SA=a 2, đáy ABCD là hình thang vuông tại A

và D với AB = 2a, AD = DC = a Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:

Định dạng
Số trang	110
Dung lượng	3,39 MB