Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2016 cực hay (Phần 6: Hình học tọa độ phẳng OXY)

1 Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 01 VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] Cho điểm A(2; 3); B(−1; 4), C(1; 1) Tìm tọa độ điểm D để a) ABCD hình bình hành b) ACDB hình bình hành Bài 2: [ĐVH] Cho điểm A(−1; 1); B(1; 3), C(−2; 0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b) Chứng minh ba điểm O, A, B khơng thẳng hàng  3 Bài 3: [ĐVH] Cho điểm A(4; 6); B(1; 4), C  7;  , D( −2; 2)  2 Chứng minh ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng; ba điểm A, B, D thẳng hàng Bài 4: [ĐVH] Cho điểm A(0; 5); B(−2; −1), C(2; 1) Tìm tọa độ G; H; I tam giác ABC Đ/s: I(−1; 2) Bài 5: [ĐVH] Cho điểm A(2; −3); B(3; 4), C(0; 2) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn 3MA − MB = Đ/s: M(0; −17) Bài 6: [ĐVH] Cho điểm A(2; 3); B(3; 4) Tìm điểm M thuộc Ox để ba điểm A; B; M thẳng hàng Bài 7: [ĐVH] Cho điểm A(1; −1); B(4; 0), C(6; 4) Tìm điểm D Oy để ABCD hình thang Bài 8: [ĐVH] Cho điểm A(1; 1) Tìm điểm B đường thẳng y = 3; điểm C Ox để tam giác ABC Bài 9: [ĐVH] Tìm điểm A Ox, điểm B Oy cho A B đối xứng với qua đường thẳng d: x – 2y + = Đ/s: A ( 2;0 ) , B ( 0; ) Bài 10: [ĐVH] Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A ( 2;5) , B (1;1) , C ( 3;3) a) Tìm toạ độ điểm D cho AD = AB − AC b) Tìm toạ độ điểm E cho ABCE hình bình hành Tìm toạ độ tâm hình bình hành Đ/s: a) D ( −3; −3) 5  b) E ( 4;7 ) , I  ;4  2  Bài 11: [ĐVH] Cho tam giác ABC có A ( −1;1) , B ( 5; −3) , đỉnh C thuộc Oy trọng tâm G thuộc Ox Tìm toạ độ đỉnh C 4  Đ/s: G  ;0  , C ( 0;2 ) 3  Bài 12: [ĐVH] Cho tam giác ABC biết A ( 2; −2 ) , B ( 0;4 ) , C ( −2;2 ) Tìm toạ độ trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đ/s: Tam giác vng C nên H ≡ C; I (1;1) Bài 13: [ĐVH] Cho tam giác ABC có A ( −4;1) , B ( 2;4 ) , C ( 2; −2 ) Tìm trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O tam giác ABC Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 1    Đ/s: H  ;1 ; O  − ;1 2    Bài 14: [ĐVH] Cho ∆ABC có A(1;1), B (0;5), C (2;4) a) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn AM + BM = CM b) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành c) Tìm điểm E thuộc trục hồnh để tam giác AEB cân E Đ/s: a) M (−1; 2) b) D(3;0)  23  c) E  − ;0    Bài 15: [ĐVH] Cho ∆ABC có A(1;0), B (0;5), C (2;1) a) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn OA + OB + OC = OM b) Gọi G trọng tâm ∆ABC Tìm m để AG = a biết a = (m; 3) c) Tính độ dài đường trung bình ∆ABC song song với BC Đ/s: a) M (3;6) b) m = ±4 c) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 02 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] Lập phương trình đường thẳng d biết a) d qua C(−2; 5) song song với đường thẳng d’: 4x − 5y +10 =  x = − 2t b) d qua điểm D(−5; 3) vng góc với đường thẳng d ' :   y = + 9t  x = − 3t c) d qua điểm M(2; 5) song song với đường thẳng d ' :   y = + 5t d) d qua N(3; 4) vng góc với đường thẳng ∆: 4x − 7y + = Bài 2: [ĐVH] Cho tam giác ABC có A(−2; 1), B(2; 3) C(1; −5) a) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC tam giác b) Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AH tam giác c) Lâp phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM d) Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung trực cạnh BC Bài 3: [ĐVH] Cho tam giác ABC biết A(1; 4), B(3; −1) C(6; −2) a) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác b) Lập phương trình đường cao AH trung tuyến AM Bài 4: [ĐVH] Cho tam giác ABC có A(−4; 5), B(6; −1), C(−1; 1) a) Viết phương trình đường cao tam giác b) Viết phương trình đường trung tuyến tam giác c) viết phương trình đường trung trực cạnh BC Bài 5: [ĐVH] Biết hai cạnh hình bình hành có phương trình x + 3y = 2x – 5y + = 0, đỉnh hình bình hành C(4; 1) Viết phương trình cạnh lại hình bình hành Bài 6: [ĐVH] Cho hình vng ABCD có tọa độ điểm A(2; 1); tâm I(1; 3) Tìm tọa độ đỉnh hình vng viết phương trình cạnh Bài 7: [ĐVH] Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh x + y + = 0; tâm I(1; 1) diện tích hình chữ nhật 12 Viết phương trình cạnh hình chữ nhật Bài 8: [ĐVH] Lập phương trình đường thẳng d qua M(1; 2) cắt Ox, Oy A, B cho + = OA OB a) OA = 2OB b) Đ/s: b) a = b = c) a = b = c) SOAB = Bài 9: [ĐVH] Lập phương trình đường thẳng d qua M(2; −3) cắt Ox, Oy A, B cho a) OA = OB b) 4OA2 + OB = 100 c) SOAB đạt giá trị nhỏ d) Đ/s: a) a = b = 275 + = 2 OA OB 36 b) a = 4; b = Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG c) x + y – = Facebook: Lyhung95 d) a = ; b = Bài 10: [ĐVH] Lập phương trình đường thẳng d vng góc với đường ∆: 2x – y + = cắt Ox, Oy A, B cho + =1 OA OB a) AB = b) SOAB = c) Đ/s: a) a = 2; b = b) a = 4; b = 1 c) a = ; b = Bài 11: [ĐVH] Lập phương trình đường thẳng d qua M(2; 1) cắt Ox, Oy A, B cho a) OA = 2OB b) 13 + = 2 OA OB 16 c) d ( O; d ) = 17 Đ/s: b) a = 4; b = Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 02 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau: a) d1 : x + y − = 0; d : x + y − = b) d1 : x − y − = 0; d : x − y − = c) d1 : x + y − = 0; d : x − y − 15 = Bài 2: [ĐVH] Cho a + b ≠ đường thẳng d1 : (a − b) x + y = 1; d : (a − b ) x + ay = b a) Tìm quan hệ a b để d1 d2 cắt nhau, xác định toạ độ giao điểm I chúng b) Tìm điều kiện a để I thuộc trục hồnh  a Đ/s: a) b ≠ 0; I  − ;   b b b) a = Bài 3: [ĐVH] Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua hai điểm A, B: a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8) d) A(–2; 3), B(1; 3) e) A(4; 0), B(3; 0) f) A(0; 3), B(0; –2) Bài 4: [ĐVH] Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M song song với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: x − 10 y + = b) M(–1; 2), d ≡ Ox  x = − 2t d) M(2; –3), d:   y = + 4t e) M(0; 3), d: c) M(4; 3), d ≡ Oy x −1 y + = −2 Bài 5: [ĐVH] Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M vng góc với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: x − 10 y + = d) M(2; –3), d : { x = − 2t y = + 4t b) M(–1; 2), d ≡ Ox e) M(0; 3), d : c) M(4; 3), d ≡ Oy x −1 y + = −2 Bài 6: [ĐVH] Cho tam giác ABC Viết phương trình cạnh, đường trung tuyến, đường cao tam giác với: a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2) c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1) d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6) Bài 7: [ĐVH] Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh tam giác Viết phương trình đường cao tam giác, với: a) AB : x − y − = 0, BC : x + y + = 0, CA : x − y + = b) AB : x + y + = 0, BC : x + y − = 0, CA : x − y − = Bài 8: [ĐVH] Viết phương trình cạnh trung trực tam giác ABC biết trung điểm cạnh Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 BC, CA, AB điểm M, N, P, với: a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) 3 5 5 7 b) M  ; −  , N  ; −  , P(2; −4) 2 2 2 2 3 1   c) M  2; −  , N 1; −  , P(1; −2)   2 2 3  7  d) M  ;  , N  ;3  , P(1; 4) 2  2  Bài 9: [ĐVH] Viết phương trình đường thẳng qua điểm M chắn hai trục toạ độ đoạn nhau, với: a) M(–4; 10) b) M(2; 1) c) M(–3; –2) d) M(2; –1) Bài 10: [ĐVH] Viết phương trình đường thẳng qua điểm M với hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích S, với: a) M(–4; 10), S = b) M(2; 1), S = c) M(–3; –2), S = d) M(2; –1), S = Bài 11: [ĐVH] Viết phương trình đường thẳng d qua giao điểm hai đường thẳng d1 d2 và: a) d1 : x − y + 10 = 0, d2 : x + 3y − = 0, d qua A(2;1) b) d1 : x − 5y + = 0, d2 : 5x − y + = 0, d song song d3 : x − y + = c) d1 : x − y + = 0, d2 : x + y − = 0, d vuông góc d3 : x − 3y + = Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 03 BÀI TỐN VỀ GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] Tìm góc đường thẳng (d1) (d2) trường hợp sau: a) (d1 ) : x + y − = 0;(d ) : x + y + = b) (d1 ) : x − y − 14 = 0; (d ) : x + y − =  x = − 3t c) (d1 ) :  ; (d ) : x + y − = y = 2+ t Đ/s: a) 320 b) 710 c) 150 Bài 2: [ĐVH] Cho ∆ABC có A(1;1) đường cao CH : x + y − = Gọi d đường trung bình ∆ABC song song với BC với d : x + y − = Tính cosin góc AC d Bài 3: [ĐVH] Cho ∆ABC có A(1;1), B (2;3), C (4;3) Kẻ AH ⊥ BC H, gọi M trung điểm BC Tính Đ/s: cos ( AC , d ) = góc AH AM Đ/s: 450 Bài 4: [ĐVH] Cho ∆ABC có A(1;1), B (2;1), C (0;7) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Lập phương trình OG với O gốc tọa độ Tính khoảng cách từ A tới OG Đ/s: d( A;OG ) = 10 Bài 5: [ĐVH] Cho ∆ABC có A(1;1) hai đường trung tuyến BM : x + y − = 0, CN : x + y − Tính khoảng cách từ A tới đường thẳng qua BC Đ/s: d A/ BC = Bài 6: [ĐVH] Cho A(1;1), B (3; −2) đường thẳng d : x − y + = Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A song song d Tính khoảng cách từ B tới ∆ 16 Đ/s: d : x − y + 4, d( B;∆ ) = 13 Bài 7: [ĐVH] Cho d1 : x − y + = 0, d : x + y + = Gọi ∆ qua A vng góc d1 , E giao điểm ∆ với d1 Tính khoảng cách từ E tới đường thẳng d Đ/s: ∆ : x + y − 13 = 0, d( E ;d2 ) = Bài 8: [ĐVH] Cho đường thẳng (d1 ) : x − y + = 0; (d ) : −4 x + y − = a) CMR (d1) // (d2) b) Tính khoảng cách (d1) (d2) Đ/s: d = 52 Bài 9: [ĐVH] Cho ∆ABC có A(1;1), B (3;5), C (2;7) Gọi M trung điểm AB Tính khoảng cách từ điểm A tới đường thẳng CM Đ/s: d A/CM = Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Bài 10: [ĐVH] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d1 : x + y − = 0, d : x + y − = điểm A(1; 3) Viết phương trình đường d qua A, cắt d1; d2 B, C cho diện tích tam giác OBC 5/4 Đ/s: d : x − y + = 0; d :17 x + y − 35 = Bài 11: [ĐVH] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(0; −2) Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng d : x − y + = cho đường cao AH trung tuyến OM tam giác OAB có độ dài ( ) ( Đ/s: B −1 − 3;1 − , B −1 + 3;1 + ) Bài 12: [ĐVH] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y + = , d2 : x + y + = điểm I (1; −2) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I cắt d1, d2 A B cho AB = 2 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 04 BÀI TỐN VỀ HÌNH CHIẾU – TÍNH ĐỐI XỨNG Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] Cho điểm A(1; 2) d : x + y − = Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua d Đ/s: A ' ( 3; ) Bài 2: [ĐVH] Tìm toạ độ trực tâm H tam giác ABC xác định toạ độ điểm K đối xứng với H qua BC a) A ( 0;3) ; B ( 3; ) ; C ( −1; −1) b) A ( −2;1) ; B ( 2; −3) ; C ( 5;0 ) Bài 3: [ĐVH] Cho điểm M(1; 3) đường thẳng d : x + y + = Lập phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua điểm M Đ/s: d ' : x + y − 15 = Bài 4: [ĐVH] Lập phương trình đường thẳng (d1) đối xứng với đường thẳng (d) qua đường thẳng( ∆ ) biết: a) (d ) : x + y − = 0;(∆ ) : x − y = b) (d ) : x + y − = 0;(∆ ) : − x − y + = Đ/s: a) x + = b) x + y − = Bài 5: [ĐVH] Tìm hình chiếu điểm M lên đường thẳng d điểm M′ đối xứng với M qua đường thẳng d với: a) M(2; 1), d : x + y − = b) M(3; – 1), d : x + y − 30 = c) M(4; 1), d : x − y + = d) M(– 5; 13), d : x − 3y − = Bài 6: [ĐVH] Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, với: a) d : x − y + = 0, ∆ : x − y + = b) d : x − y + = 0, ∆ : x + y − = c) d : x + y − = 0, ∆ : x − 3y + = d) d : x − y + = 0, ∆ : x − 3y − = Bài 7: [ĐVH] Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với: a) d : x − y + = 0, I (2;1) b) d : x − y + = 0, I (−3; 0) c) d : x + y − = 0, I (0;3) d) d : x − 3y + = 0, I ≡ O(0; 0) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 17 BÀI TỐN VỀ ELIP – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Một số kiến thức quan trọng Elipse: +) Phương trình tắc x2 y2 + = a > b > 0; a = b + c a2 b2 Với elip tắc tiêu điểm thuộc trục lớn, trục lớn nằm Ox +) Một điểm M thuộc elip MF1 + MF2 = 2a +) Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b, tiêu cự 2c +) Các đỉnh elip có tọa độ : (a;0), (− a;0), (0; b), (0; −b) hai tiêu điểm F1 (−c;0), F2 (c; 0) c +) Tâm sai elip: e = ; ( e < 1) a +) Phương trình cạnh hình chữ nhật sở: x = ± a; y = ±b Suy ra, chu vi diện tích hình chữ nhật C = ( a + b ) ; S = 4ab +) Phương trình đường chuẩn x = ± a a2 a a2 = ±  → khoảng cách hai đường chuẩn d = = e c e c +) Bán kính qua tiêu: MF1 = a + exM = a + c c xM ; MF2 = a − exM = a − xM a a +) Phương trình elip liên hợp với elip tắc x2 y + = a > b > 0; a = b + c b a Với elip liên hợp trục lớn thuộc Oy Ví dụ 1: [ĐVH] Lập phương trình tắc elip trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn 10, tiêu cự b) Tiêu cự tâm sai c) Độ dài trục nhỏ 10 tâm sai 12 13 Lời giải: x2 y2 a) Ta có: 2a = 10; 2c = ⇒ a = 5; c = 4; b = a − c = ⇒ ( E ) : + = 25 2 c x2 y2 b) Ta có: 2c = 8; e = = ⇒ c = 4; a = ⇒ b = ⇒ ( E ) : + =1 a 25 c) Ta có: 2b = 10; e = c 12 c 12 = ⇒ b = a − c = 25; = a 13 a 13 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 a − c = 25   12  Giải HPT  12 ⇒ a −  a  = 25 ⇒ a = 13; c = 12; b =  13  c = a  13 Khi phương trình ( E ) : x2 y + = 169 25 Ví dụ 2: [ĐVH] Lập phương trình tắc elip trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn 6; tiêu cự b) Một tiêu điểm F1(–2; 0) độ dài trục lớn 10 c) Trục nhỏ 4; tâm sai e = Lời giải: x2 y a) Ta có: 2a = 6; 2c = ⇒ a = 9; b = a − c = ⇒ ( E ) : + =1 2 2 x2 y2 a = 25 b) Ta có: c = 2; 2a = 10 ⇒  ⇒ E : + = ( ) 2 25 21 b = a − c = 21 b = a − c = a = c x2 y c) Ta có: 2b = 4; e = = ⇒ ⇒ ⇒ E : + =1 ( )  2 a 2c = a b = Ví dụ 3: [ĐVH] Lập phương trình tắc elip trường hợp sau: a) khoảng cách hai đường chuẩn 16; trục lớn b) khoảng cách hai đường chuẩn 32; tâm sai 0,5 c) tâm sai chu vi hinh chữ nhật sở 20 Lời giải: a a2 a) Ta có khoảng cách đường chuẩn: d = = = 16 ⇒ a = 8c; 2a = ⇒ a = 4; c = ⇒ b = 12 e c x2 y Khi ( E ) : + = 16 12 a a2 c b) Ta có khoảng cách đường chuẩn: d = = = 32 ⇒ a = 16c; e = = e c a a = 16c x2 y ⇒ ⇒ a = 8; c = ⇒ b = 48 ⇒ ( E ) : + =1 64 48 a = 2c Ví dụ 4: [ĐVH] Lập phương trình tắc elip trường hợp sau: ( a) Một tiêu điểm F1 − 3; )  3 qua điểm M 1;      b) Đi qua điểm A(2; 1) B  5;  2  Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG c) Tiêu cự 8, (E) qua M ( Facebook: Lyhung95 ) 15; −1 ( d) Trục lớn 12; qua điểm M −2 5; ) Lời giải: a) Ta có c = phương trình ( E ) :  x2 y2 3 + = ⇒ a − b = Lại có M 1;  ∈ ( E ) a b   2 2 a − b = a = b +  a = nên + = ⇒  ⇔ ⇒   2 2 2 a 4b 3a + 4b = 4a b b = 3 ( b + 3) + 4b = ( b + 3) b Vậy ( E ) : x2 y + = 4 1 + =1   a = x y x2 y a b b) Gọi ( E ) : + = Khi ta có:  ⇔ ⇒ (E): + =1 a b  + =1  =  a 2b  b 2 c) Ta có: c = , lại có: 15 15 15 + =1 ⇔ + 2 =1⇒ + =1 a b a a −c a a − 16  a = 20 ⇒ b = ⇔ 15 ( a − 16 ) + a = a ⇔   a = 12 < 16 ( loai ) Vậy ( E ) : x2 y2 + =1 20 a = 36 x2 y 20 x2 y2  d) Gọi ( E ) : + = ta có: a = 6; + = ⇒  36 ⇒ ( E ) : + =1 a b a b 36 36 b = 31  31 Ví dụ 5: [ĐVH] Lập phương trình elip trường hợp sau: a) (E) qua điểm M(4; 0) N(0; 3) ( ) ( ) b) (E) qua điểm M 3; , N 3; Lời giải: 16  a = x y x2 y2 a) Gọi ( E ) : + = ta có:  ⇒ (E): + =1 a b 16  =1  b 2  27  a + b = a = 36 x y x2 y2 b) ( E ) : + = ta có:  ⇒ ⇒ (E): + =1 a b 16  + 12 = b = 16  b b 2 Ví dụ 6: [ĐVH] Lập phương trình elip trường hợp sau: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG a) Hai tiêu điểm F1(–6; 0) F2(6; 0) tâm sai e = Facebook: Lyhung95 b) Trục lớn thuộc Ox, độ dài trục lớn 8; trục nhỏ thuộc Oy có độ dài c) Trục lớn thuộc Oy có độ dài 10, tiêu cự d) Hai tiêu điểm thuộc Ox; trục lớn có độ dài 26, tâm sai e = 12 13 Lời giải: a) Phương trình tắc Elip có dạng ( E ) : ( E ) có hai tiêu điểm Tâm sai e = x2 y + = ( a > b > 0) a2 b2 (1) F1 ( −6; ) , F2 ( 6;0 ) ⇒ F1 F2 = (12;0 ) ⇒ F1 F2 = 12 = 12 = 2c ⇒ c = c 3c 3.6 ⇒ = ⇒a= = = ⇒ a = 81 a 2 Lại có a = b + c ⇒ b = a − c = − 62 = 45 x2 y2 x2 y2 Kết hợp với (1) ta có ( E ) : + = thỏa mãn Vậy ( E ) : + = 81 45 81 45 x2 y b) Phương trình tắc Elip có dạng ( E ) : + = ( a > b > ) a b (1)  2a = a = a = 16 Bài độ dài trục lớn trục nhỏ ⇒  ⇔ ⇒ 2b = b = b = Kết hợp với (1) ta có ( E ) : x2 y2 x2 y2 + = thỏa mãn Vậy ( E ) : + = 16 16 c) Phương trình tắc Elip có dạng (E): x2 y2 + = (b > a > 0) b2 a2 (1) Bài độ dài trục lớn 10 ⇒ 2b = 10 ⇔ b = ⇒ b = 25 Tiêu cực ⇒ 2c = ⇒ c = ⇒ b = a + c = a + 32 ⇒ a = b − 32 = 52 − 32 = 16 x2 y x2 y2 Kết hợp với (1) ta có ( E ) : + = thỏa mãn Vậy ( E ) : + = 25 16 25 16 x2 y d) Phương trình tắc Elip có dạng ( E ) : + = ( a > b > ) a b (1) Bài trục lớn có độ dài 26 ⇒ 2a = 26 ⇔ a = 13 ⇒ a = 169 Tâm sai e = 12 c 12 12a 12.13 ⇒ = ⇒c= = = 12 13 a 13 13 13 Mà a = b + c ⇒ b = a − c = 132 − 12 = 25 x2 y x2 y2 + = thỏa mãn Vậy ( E ) : + = Kết hợp với (1) ta có ( E ) : 169 25 169 25 1  Ví dụ 7: [ĐVH] Cho elip có hai tiêu điểm F1 (− 3;0), F2 ( 3;0) qua điểm A  3;  2  Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 a) Lập phương trình tắc elip b) Với điểm M thuộc elip, tính giá trị biểu thức P = MF12 + MF22 − 3OM − MF1.MF2 Lời giải: a) Phương trình tắc Elip có dạng ( ( E ) có hai tiêu điểm ) ( F1 − 3; , F2 Mà a = b + c ⇒ a − b = c = ( E ) qua điểm 1  A  3;  ⇒ 2  Kết hợp với (2) ta có ( 3) ( 3) (E): x2 y + = ( a > b > 0) a2 b2 ) ( (1) ) 3; ⇒ F1 F2 = 3;0 ⇒ F1 F2 = = = 2c ⇒ c = = ⇔ a2 = b2 + (2) 2 a2 1   +  2 = ⇔ + = b a 4b + = ⇔ 12b + b + = 4b ( b + ) ⇔ 4b − b − = b + 4b b = ⇔ ⇔ b = ⇒ a = + = ⇒ a = ( Do a > ) b = −  Kết hợp với (1) ta có ( E ) : x2 y2 x2 y2 + = thỏa mãn Vậy ( E ) : + = 4 b) Cách Sử dụng cơng thức đường trung tuyến Elip Vì O trung điểm F1 F2 nên theo cơng thức đường trung tuyến ta có OM = ( MF12 + MF22 ) − F1 F22 = ( ( MF12 + MF22 ) − ⇒ MF12 + MF22 − 3OM − MF1.MF2 = MF12 + MF22 − =9− ) = MF12 + MF22 − MF12 + MF22 − ) − MF1.MF2 ( MF12 + MF22 + MF1.MF2 1 2 = − ( MF1 + MF2 ) = − ( 2a ) = − 2a = − 2.4 = 2 Vậy MF12 + MF22 − 3OM − MF1.MF2 = Cách Sử dụng cơng thức Elip Đặt P = MF12 + MF22 − 3OM − MF1.MF2 Ta có P = ( a + exM ) + ( a − exM ) − ( xM2 + yM2 ) − ( a + exM )( a − exM ) 2 = 2a + 2e2 xM2 − ( xM2 + yM2 ) − a + e2 xM2 = a + 3e2 xM2 − ( xM2 + yM2 ) Lại có e = c x2 y = M ∈ ( E ) ⇒ M + M = ⇒ xM2 = − yM2 a  3 2 2 Do P = +   ( − yM ) − ( − yM + yM ) = + (1 − yM ) − ( − yM ) =   Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Vậy MF12 + MF22 − 3OM − MF1.MF2 = Ví dụ 8: [ĐVH] Cho elip x + y = 36, M (1;1) Viết pt đường d qua M, cắt elip hai điểm phân biệt A, B cho M trung diểm AB Lời giải: Cách Viết phương trình cách gián tiếp Gọi A ( a; b ) Do A ∈ ( E ) ⇒ 4a + 9b = 36 (1) Vì M (1;1) trung diểm AB ⇒ B ( − a; − b ) Do B ∈ ( E ) ⇒ ( − a ) + ( − b ) = 36 ⇔ 4a + 9b − 16a − 36b + 16 = 2 Kết hợp với (1) ta có 36 − 16a − 36b + 16 = ⇔ 13 − 4a − 9b = ⇔ 4a + 9b − 13 = (2) Tọa độ A, B thỏa mãn (2) ⇒ phương trình AB : x + y − 13 = ⇒ d : x + y − 13 = Đ/s: x + y − 13 = Cách Quy tốn tương giao Điểm M (1;1) ∉ Ox ⇒ đường thẳng x = khơng cắt Elip hai điểm thỏa mãn tốn Khi đường thẳng qua M (1;1) có dạng d : y = k ( x − 1) + 4 x + y = 36 Tọa độ A, B nghiệm hệ  ⇒ x + ( kx + − k ) = 36  y = k ( x − 1) + ⇔ ( 9k + ) x − 18k ( k − 1) x + ( k − 1) − 36 = (3) PT (3) có nghiệm với ∀k Theo Viet ta có xA + xB = Ta có M trung điểm AB xA + xB = xM ⇒ Do d : y = − 18k ( k − 1) 9k + 18k ( k − 1) = 2.1 ⇔ 18k − 18k = 18k + ⇔ k = − 9k + ( x − 1) + ⇔ x + y − 13 = Đ/s: x + y − 13 = Ví dụ 9: [ĐVH] Cho elip x2 y2 + = 1, M (1;1) 25 Viết pt đường d qua M, cắt elip hai điểm phân biệt A, B cho M trung diểm AB Lời giải: Cách Viết phương trình cách gián tiếp Ta có ( E ) : x + 25 y = 225 Gọi A ( a; b ) A ∈ ( E ) ⇒ 9a + 25b = 225 (1) Vì M (1;1) trung điểm AB ⇒ B ( − a; − b ) Do B ∈ ( E ) ⇒ ( − a ) + 25 ( − b ) = 225 ⇔ 9a + 25b − 36a − 100b = 89 2 Kết hợp với (1) ta có 225 − 36a − 100b = 89 ⇔ 34 − 9a − 25b = ⇔ 9a + 25b − 34 = (2) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Tọa độ A, B thỏa mãn (2) ⇒ phương trình AB : x + 25 y − 34 = ⇒ d : x + 25 y − 34 = Đ/s: d : x + 25 y − 34 = Cách Quy tốn tương giao Điểm M (1;1) ∉ Ox ⇒ đường thẳng x = khơng cắt Elip hai điểm thỏa mãn tốn Khi đường thẳng qua M (1;1) có dạng d : y = k ( x − 1) +  x2 y =1 x  k ( x − 1) + 1  + Tọa độ A, B nghiệm hệ  25 ⇒ + =1  y = k ( x − 1) + 25  ⇒ ( 25k + ) x − 50k ( k − 1) x + 25 ( k − 2k − ) = (1) PT (1) có nghiệm với ∀k Theo Viet ta có xA + xB = Ta có M trung điểm AB xA + xB = xM ⇒ Do d : y = − 50k ( k − 1) 25k + 50k ( k − 1) 25k + = 2.1 ⇔ 25k + = 25k ( k − 1) ⇔ k = − 25 ( x − 1) + ⇔ x + 25 y − 34 = 25 Đ/s: d : x + 25 y − 34 = Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 17 BÀI TỐN VỀ ELIP – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm điểm M (E) thỏa mãn: a) ( E ) : x2 y + = Tìm M (E) cho MF1 = 2MF2 b) (E): 16x2 + 25y2 – 400 = Tìm M (E) cho M nhìn F1, F2 góc 600, 900, 1200 x2 y c) Tìm M nằm ( E ) : + = nhìn tiêu điểm cuả (E) góc vng 25 d) Viết phương trình tắc (E) biết điểm M có hồnh độ xM = nằm (E) thỏa mãn MF1 = 13 ; MF2 = 3 Lời giải:  a b2  MF + MF2 = 2a =  + =1 a) Ta có:  ⇒ MF1 = F1 ( −2; ) Gọi M ( a; b ) ta có:   MF1 = 2MF2 ( a + )2 + b = 16   a2 b2  15  + =1 a= ⇒b=±   2 ⇔ ⇔   21  ( a + )2 + − a = 16 a = − ⇒ b < ( loai )        3 15  Vậy M  ; ±  2   b) Ta có: ( E ) : x2 y2 + = ⇒ F1 ( −3;0 ) ; F2 ( 3;0 ) 25 16  MF12 + MF22 − MF1MF2 = 36 +) Gọi M ( x; y ) ta có: MF + MF − 2MF1MF2 cos 60 = F1 F2 ⇒   MF1 + MF2 = 2a = 10 2 2 64  ( MF1 + MF2 ) − 3MF1MF2 = 36  MF1MF2 = ⇔ ⇔  MF1 + MF2 = 10  MF1 + MF2 = 10 c c 64 ±5 11 16    64 ⇔ 25 − xM2 = ⇒ xM = ⇒ yM = ± Với MF1.MF2 =  a + xM  a − xM  = a a 25 3 3     ±5 11 ±16  Vậy M  ;  điểm cần tìm (các trường hợp góc 90 120 tương tự cách làm )  3 3 c) Ta có: F1 ( −4; ) ; F2 ( 4;0 ) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95  MF12 + MF22 = 64 Gọi M ( x; y ) ta có: MF + MF = F1 F2 ⇒   MF1 + MF2 = 2a = 10 2 2  MF1MF2 = 18 ( MF1 + MF2 ) − MF1MF2 = 64 ⇔ ⇔  MF1 + MF2 = 10  MF1 + MF2 = 10 c c   Với MF1.MF2 =  a + xM  a − xM a a   16 ±5  ⇒ y M = ±3  = 18 ⇔ 25 − xM = 18 ⇒ xM = 25   ±5  Vậy M  ; ±3  điểm cần tìm   c 2c 13   MF1 = a + a x = a + a = a = d) Ta có  ⇒ ⇒ b2 = c c c =   MF = a − x = a − = M  a a Vậy ( E ) : x2 y + =1 Ví dụ 2: [ĐVH] Cho (E): 4x2 + 9y2 = 36 Tìm M (E) cho: a) M có toạ độ số ngun b) M có tổng toạ độ đạt giá trị nhỏ nhất, lớn Lời giải:  a2  ≤ −3 ≤ a ≤ a2 b2 a) Gọi M ( a; b ) ta có: + =1⇒  ⇔  b ≤  −2 ≤ b ≤  +) Xét b = ±2 ⇒ a = ⇒ M ( 0; ±2 ) +) Xét b = ±1 ⇒ a = 27 ( loai ) +) Xét b = ⇒ a = ±3 ⇒ M ( ±3; ) Vậy có điểm M thỗ mãn u cầu tốn: M ( ±2;0 ) ; M ( ±3; ) 4a + 9b = 36 b) Ta xét:  Lại có: ( 4a + 9b ) ( + ) ≥ ( 6a + 6b ) ( theo BĐT Bunhiascopky) F = a + b ⇒ 36.13 ≥ 36 ( a + b ) ⇔ ( a + b ) ≤ 13 ⇔ − 13 ≤ a + b ≤ 13 2  a=  2a 3b  4a = 9b  = Dấu xảy  ⇔ ⇔ 2  4a + 9b = 36 4a + 9b = 36  a =  ;b = 13 −9 ;b = 13  → Max 13 −4  → 13    −9 −4  ; ; Vậy M  ; M2    13 13   13 13  Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Ví dụ 3: [ĐVH] ( E ) : Facebook: Lyhung95 x2 y + = đường thẳng (d): 2x + 15y – 10 = 25 a) CMR (d) ln cắt (E) điểm phân biệt A, B Tính độ dài AB b) Tìm C (E) cho ∆ABC cân A biết xA > c) Tìm C (E) cho S∆ABC lớn Lời giải:  x = + 15t a) Phương trình tam số d là:  Gọi M (15t + 5; −2t ) ta có:  y = −2t M ∈(E) (15t + 5) ⇒ 25 ( −2t ) + t = ⇒ A ( 5;0 ) 2061  =1⇔   ⇒ AB =  t = − ⇒ B  −4;   5  b) Do A ∈ Ox trục đối xứng (E) để tam giác ABC cân A C đối xứng với B qua Ox 6  C  −4; −  điểm cần tìm 5  c) Gọi C ( a; b ) ta có: S ABC lớn ⇔ d ( C ; AB ) lớn Lại có : d ( C ; AB ) = 2a + 15b − 10 229 Xét ( 4a + 25b ) (1 + ) ≥ ( 2a + 15b ) ⇒ −10 10 ≤ 2a + 15b ≤ 10 10 2a + 15b = −10 10  Vậy d ( C ; AB ) lớn ⇔ 2a + 15b = −10 10 dấu xảy ⇔  2a 5b  = 1  − 10 a =  − 10 −3 10   Vậy C  ⇔ ;  điểm cần tìm − 10   b =  Ví dụ 4: [ĐVH] Cho ( E ) : x2 y + = đường thẳng (d): 3x + 4y + 24 = a) CMR (d) khơng cắt (E) b) Tim điểm M (E) cho khoảng cách từ M đến d nhỏ Lời giải:  x = 4t a) Phương trình tham số d là:  Gọi M ( 4t ; −6 − 3t ) ∈ d để M thuộc (E) ta xét PT:  y = −6 − 3t 16t ( 3t + ) M ∈(E) ⇒ + = ( ) d khơng cắt ( E ) b) Gọi M ( a; b ) ∈ ( E ) ta có: 3a + 4b + 24 t + 24 a b2 + = d ( M ; d ) = = ( với t = 3a + 4b ) 5  16  Lại có : ( 4a + 9b )  +  ≥ ( 3a + 4b ) = t ⇒ − 145 ≤ t ≤ 145 4  Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Do d ( M ; d ) = Facebook: Lyhung95 t + 24 nhỏ ⇔ t = 3a + 4b = − 145  a=  4a 9b b2 = nên Elip cắt điểm phân biệt A,B,C,D điểm thỗ  x2 y = 4 x + y = 36  + ()  mãn hệ PT elip:  ⇔ 2  x + 16 y = 16 ( )  x + y2 = 16 “ Lấy a (1) + b ( ) ⇒ ( 4a + b ) x + ( 9a + 16b ) y = 36a + 16b Cân hệ số ta có: 4a + b = ⇔ 5a + 15b = ⇔ a + 3b = ” ( phần nháp ) 9a + 16b Chọn a = 3; b = −1 Lấy (1) − ( ) ta được: 11x + 11 y = 92 ⇔ x + y = 92 phương trình đường tròn 11 cần tìm qua điểm A,B,C,D Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Ví dụ 7: [ĐVH] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip ( E ) : x2 y + = Viết phương trình đường 25 thẳng song song với Oy cắt (E) hai điểm A, B cho AB = Lời giải: Gọi phương trình đường thẳng song song với Oy (d): x = a (với a ≠ ) Tung độ giao điểm (d) (E) là: a2 y2 25 − a + = ⇔ y = ⇔ y=± 25 − a ( a ≤ ) 25 25     V ậ y A  a; 25 − a  , B  a; − 25 − a  ⇒ AB = 25 − a 5     Do AB = ⇔ 100 5 25 − a = ⇔ 25 − a = ⇔a=± (thỏa mãn đk) Vậy phương trình đường thẳng cần tìm x = 5 5 ,x = − 3 Ví dụ 8: [ĐVH] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxy cho điểm C(2;0) elip (E): x2 y2 + = Tìm tọa độ điểm A, B thuộc (E), biết hai điểm A, B đối xứng với qua trục hồnh tam giác ABC tam giác Lời giải: Bài A, B đối xứng với qua trục hồnh ⇒ A ( a; b ) , B ( a; −b ) ⇒ AB = ( 0; 2b ) ⇒ AB = 2b Khi gọi H giao điểm AB với trục hồnh ⇒ H ( a;0 ) ⇒ CH = ( a − 2;0 ) ⇒ CH = a − a−2 ( a − 2) 3 AB ⇒ a − = ⇒ b2 = Ta có ∆ABC nên CH = 2b ⇒ b = 2 3 2 a = a2 b2 a2 ( a − 2) Do A ∈ ( E ) ⇒ + =1⇒ + = ⇔ a − 16a + = ⇔  a = 4  Với a = ⇒ CH = − = ⇒ Loại Với a = 2 4 ⇒b= −2 = ⇔b=± 7 7 2 3 2 3 2 3 2 3 Đ/s: A  ;  , B  ; −  A  ; − , B ;     7  7  7 7 Ví dụ 9: [ĐVH] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : x2 y + = điểm A(0; 2) Tìm B, C 16 thuộc (E) đối xứng với qua Oy cho tam giác ABC tam giác Lời giải: Bài B, C đối xứng với qua Oy ⇒ B ( a; b ) , C ( − a; b ) ⇒ BC = ( −2a; ) ⇒ BC = −2a = 2a Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Khi gọi H giao điểm BC với Oy ⇒ H ( 0; b ) ⇒ AH = ( 0; b − ) ⇒ AH = b − b−2 (b − 2) 3 Ta có ∆ABC nên AH = BC ⇒ b − = 2a ⇔ a = ⇒ a2 = 2 3 2 b = a2 b2 (b − ) b2 Do B ∈ ( E ) ⇒ + =1⇒ + = ⇔ 13b − 4b − 44 = ⇔  22 b = − 16 16 13  Với b = ⇒ AH = − = ⇒ Loại Với b = − 22 22 16 16 ⇒a = − −2 = ⇔a=± 13 13 13 13  16 −22   16 −22   16 −22   16 −22  Đ/s: B  ; ; ; ;  , C  −  B  −  , C   13  13  13  13      Ví dụ 10: [ĐVH] Cho elip ( E1 ) : x2 y x2 y + = ( E2 ) : + =1 1 a) CMR elip cắt điểm phân biệt A, B, C, D ABCD hình chữ nhật b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp hcn ABCD Lời giải:   x2 y  20 x = ±  + =  x = 23  ⇔ ⇔ a) Bài ta có  2  x + y =  y = 18 y = ±   23  20 23 (1) 18 23 HPT (1) có bốn nghiệm phân biệt nên ( E1 ) cắt ( E2 ) bốn điểm phân biệt A, B, C, D  20 18   20  20  20 18  18  18  Giả sử A  ; ;− ;− ;  , B   , C  −  , D  −  23  23   23 23   23  23  23 23    20  18  ⇒ AB =  0; − ;  ⇒ AB.BC = + = ⇒ AB ⊥ BC  , BC =  − 23 23     Tương tự BC ⊥ CD, CD ⊥ DA ⇒ tứ giác ABCD hình chữ nhật Vậy ( E1 ) cắt ( E2 ) bốn điểm phân biệt A, B, C, D tứ giác ABCD hình chữ nhật b) Gọi (T ) đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD I = AC ∩ CD  20 18  20 18 ⇒ I trung điểm AC ⇒ I ( 0; ) ⇒ IA =  ; + =  ⇒ IA = 23 23 23 23 23   Như (T ) có tâm I ( 0;0 ) bán kính R = IA = Đ/s: (T ) : x + y = 36 ⇒ (T ) : x + y = 23 23 36 23 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Ví dụ 11: [ĐVH] Cho ( E ) : Facebook: Lyhung95 x2 y2 + = 1; d : x − y + = a) CMR: (d) cắt (E) điểm phân biệt A, B Tính độ dài AB b) Tìm điểm C (E) cho diện tích tam giác ABC lớn Lời giải: a) Ta có d : y = x + Hồnh độ giao điểm d ( E ) nghiệm phương trình 2 x 1  +  x +  = ⇔ x2 + ( x + 2) 4   1+  x = −1 + ⇒ y = = ⇔ 2x2 + 4x − = ⇔   1−  x = −1 − ⇒ y =    1+   1−   A  −1 + 3;  , B  −1 − 3;      AB = −2 3; −   ⇒ ⇒ ⇒ AB =  BA = −2 3; −     + −  B −1 + 3;  , A  −1 − 3;     2      ( ( ) ) ( −2 ) + ( − ) 2 = Vậy d cắt ( E ) hai điểm phân biệt A, B AB = ( ) ( ) b) Ta có AB nhận u = −2 3; − làm VTCP nên nhận n = 1; − làm VTPT   1+  1+  Kết hợp với AB qua điểm  −1 + 3;  ⇒ AB :1 x + − −  y −  = 2     ( ) ⇔ x − y + + + − = Gọi C ( a; b ) ta có S ABC = ⇒ S ABC ≤ a − 2b + + + − 1 AB.d ( C ; AB ) = 2 ( a − 2b + + + − ( ) (1) )( ) Dấu " = " xảy ⇔ + + − a − 2b ≥ ⇔ a ≥ b Do C ∈ ( E ) ⇒ a b2 + = Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có  a   b   ( + )  2  +  −   ≥ a − 2b    ( Dấu " = " xảy ⇔ ) ( ⇒ a − 2b ) ≤ 32.1 = 32 ⇒ a − 2b ≤ 32 −b a = ⇔ a = −b 2 2 Kết hợp với (1) ⇒ S ABC ≤ ( ) 32 + + + − Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 a ≥ b 2; a = −b  a = Dấu " = " xảy ⇔  a b ⇔ ⇒ C 2; − b = −  + =1 8 ( ( ) ) Đ/s: C 2; − Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! [...]... pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Bài 8: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm N (1; 2 ) là trung điểm cạnh BC, đường trung tuyến của tam giác AND có phương trình là 5 x − y + 1 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông đã cho Bài 9: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có tâm I (1;... Tìm tọa độ các 2 đỉnh của hình vuông biết điểm D có tung độ âm Bài 14: [ĐVH] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M ( −2;1) , N ( −2;3) lần lượt là trung điểm của AD và CD Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông Bài 15: [ĐVH] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, điểm M ( 5;0 ) thuộc cạnh CD sao cho DM = 2CM , N thuộc cạnh AD sao cho tam giác BMN vuông tại M Tìm tọa. .. Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Bài 2: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao của hai đường thẳng d: x – y – 3 = 0 và d’: x + y – 6 = 0 Trung điểm một cạnh là giao điểm của d với tia Ox Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật Đ/s: Tọa độ. .. (1;3) , C ( 3;1) , D (1; −1) Bài 5: [ĐVH] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho ba điểm I (1;1) , J ( −2; 2 ) , K ( 2; −2 ) Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD sao cho I là tâm hình vuông, J thuộc cạnh AB và K thuộc cạnh CD Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Đ/s:... là 3x + y – 4 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông Đ/s: A ( 0; 0 ) , B (1;1) , C ( 2; 0 ) , D (1; −1) 3 1 Bài 5: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có tâm I  ;  , đường thẳng chứa 2 2 cạnh AB, CD lần lượt đi qua các điểm M ( −4; −1) , N ( −2; −4 ) , Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ âm Đ/s: B ( −1;1) Bài 6: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M (... Cho hình vuông ABCD có I  ;  là tâm, các đỉnh A, B lần lượt thuộc các đường thẳng 2 2 d1 : x + y − 3 = 0; d 2 : x + y − 4 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông Đ/s: A ( 2;1) , B (1;3 ) , C (3; 4), D (4; 2) và một cặp nữa nhé! Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 09 BÀI TOÁN... đỉnh của hình chữ nhật đã cho Đ/s: A ( −3; 2 ) , B ( 2;10 ) , C ( 7; 4 ) , D ( 3;8) Bài 11: [ĐVH] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 2 2 , điểm M ( 0;1) là trung điểm của BC, N là trung điểm CD Biết AN : 2 2 x + y − 4 = 0 Tìm tọa độ điểm A Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 –... trình là x 2 + y 2 − 11 9 x − 3 y + = 0 Tìm tọa độ đỉnh D biết đỉnh A có hoành độ lớn hơn 1 2 2 9  9  Đ/s: D  ;3  , D  ;0  2  2  Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Bài 8: [ĐVH] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD có ( AB / / CD; CD = 2 AB... 2 2 Bài 6: [ĐVH] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD tại A, D, biết CD = 2AB và đỉnh B(1; 2) Hình chiếu vuông góc của D lên AC là điểm H (−1;0) , N là trung điểm của HC Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang biết DN : x − 2 y − 2 = 0 3  7   Đ/s: A  − ;0  , C ( 5;0 ) , D  −1; −  2  8   Bài 7: [ĐVH] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD tại... cạnh BM là x + 5y – 18 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông biết C thuộc d: 2x – y + 3 = 0 và các đỉnh có tọa độ nguyên Đ/s: B(3; 3), C(1; 5); D(–1; 3) Bài 3: [ĐVH] Cho hình vuông ABCD có A(1; 2), điểm M (–2; 3) là trung điểm cạnh CD Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông biết các đỉnh có tọa độ nguyên Đ/s: B(3; 4), C(–1; 4); D(–3; 2) 3 1 Bài 4: [ĐVH] Cho hình vuông ABCD có M  ;  là trung điểm ... Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 20 16! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 20 16 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Bài 8: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình. .. trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 20 16! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 20 16 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Bài 2: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ cho hình chữ... Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 20 16! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 20 16 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Bài [ĐVH]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi