Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2016 cực hay (Phần 4: Hình học tọa độ không gian OXYZ)

1 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 01 VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Tọa độ vectơ điểm: u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk Cho   M = ( x; y; z ) ⇒ OM = u = xi + y j + zk Nếu A = ( xA ; y A ; z A ), B = ( xB ; yB ; z B )  → AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) Vectơ Tọa độ vectơ tổng, vectơ hiệu: Cho u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 ) u ± v = ( x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z2 ) ku = (kx1 ; ky1 ; kz1 ), k ∈ ℝ Khi mu ± nv = (mx1 ± nx2 ; my1 ± ny2 ; mz1 ± nz2 ), m, n ∈ ℝ u = x12 + y12 + z12 ; v = x22 + y22 + z22  → AB = ( xA − xB )2 + ( y A − yB ) + ( z A − z B )2  x1 = x2  u = v ⇔  y1 = y2 z = z  Hai vectơ phương:  x2 = kx1 x y z  Hai vectơ u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 ) phương ⇔ ∃k ∈ ℝ : v = ku ⇔  y2 = ky1 hay = = x1 y1 z1  z = kz  Tích vô hướng hai vectơ: Cho u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 ) ( ) Tích vô hướng hai véc tơ cho u.v = u v cos u , v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ( ) Từ suy cos u , v = u.v u.v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 x + y12 + z12 x22 + y22 + z22  → u ⊥ v ⇔ u.v = ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = Ví dụ 1: [ĐVH] Trong hệ tọa độ Oxy cho: a = (1; −1;0), b = ( −1;1;2), c = i − j − k , d = i a) Xác định k để véctơ u = (2;2k − 1;0) phương với a b) Xác định số thực m, n, p để: d = ma − nb + pc c) Tính a ; b ; a + 2b Hướng dẫn giải: −1 a) Để u phương với a ⇔ = ⇔k =− 2k − b) c = i − j − k ⇒ c(1; −2; −1); d = i ⇒ d (1;0;0) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  m=   ma = (m; −m;0) m + n + p =     → d = ma − nb + pc ⇔  −m − n − p = ⇔  n = Ta có  nb = (−n; n;2n)    −2n − p =  = − − pc ( p ; p ; p )   p = −1    c) a = 12 + (−1)2 = 2; b = (−1)2 + 12 + 22 = a + 2b = (1 − 2.1; −1 + 2.1;0 + 2.2) = (−1;1;4)  → a + 2b = (−1) + 12 + 42 = 18 = Ví dụ 2: [ĐVH] Cho A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(3; 0; 1), E(1; 2; 3) a) Chứng tỏ ABCD hình chữ nhật Tính diện tích hình chữ nhật ABCD b) Tính cosin góc tam giác ABC c) Tìm đường thẳng Oy điểm cách hai điểm AB Hướng dẫn giải: a) Ta có AB = DC = (1; −2;1) nên ABCD hình bình hành → AB.BC ⇔ ABC = 900 Vậy ABCD hình chữ nhật Lại có AB.BC = 1.2 − 2.1 + 0.1 =  S ABCD = AB BC = 12 + 12 + 22 22 + 12 = 30 b) Gọi góc cạnh tam giác ABC φ1; φ2; φ3 Ta có AB = (1; −2;1); BC = (2;1;0); AC = (3; −1;1) Do góc đường thẳng không vượt 900 nên ta có: 1.2 − 2.1 + 1.0 =0 cos φ1 = cos AB; BC = 12 + 22 + 12 12 + 22 1.3 + 2.1 + 1.1 cos φ = cos AB; AC = = 2 2 2 66 + +1 +1 + 2.3 − 1.1 + 0.1 cos φ3 = cos BC ; AC = = 2 2 55 +1 +1 + ( ) ( ) ( ) c) Gọi điểm I thuộc Oy có tọa độ I(0, y, 0)  → IA = (1; −1 − y;1), IB = (2; −3 − y;2) I cách A B IA = IB ⇔ IA2 = IB ⇔ 12 + (1 + y ) + 12 = 22 + (3 + y )2 + 22 ⇔ y = −7  −7   → I  0; ;0    Ví dụ 3: [ĐVH] Cho: a = ( 2; −5; 3) , b = ( 0; 2; −1) , c = (1; 7; ) Tìm toạ độ vectơ u với: a) u = 4a − b + 3c b) u = a − 4b − 2c e) u = a − b − 2c Ví dụ 4: [ĐVH] Cho ba vectơ a = (1; −1;1) , b = ( 4; 0; −1) , c = ( 3; 2; −1) Tìm: d) u = 3a − b + 5c b) a ( b c ) a) ( a.b ) c c) u = −4b + c 3 f) u = a − b − c c) a b + b c + c a Ví dụ 5: [ĐVH] Cho ba vectơ a = ( 2;1;1) , b = ( 0; 3; −4 ) , c = ( m; m + 1; 3) Tìm m để a) a + 2b − 3c = 69 ( (Đ/s: m = 2) ) b) a + 3c b = ( ) 22 (Đ/s: m = 1) 3045 Ví dụ 6: [ĐVH] Cho ba vectơ a = (1; 3; ) , b = ( 2; −1; −1) , c = ( 2m; m;1) Tìm m để c) cos a + b; b − 2c = a) 2a + c = 74 ( )( (Đ/s: m = 1) ) b) b + 2c 2a − c = (Đ/s: m = –2) Ví dụ 7: [ĐVH] Cho hai vectơ a , b Tính X, Y biết Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  a = 4, b = a)   X = a − b  a = (2; −1; −2), b = 6, a − b = b)  Y = a + b Ví dụ 8: [ĐVH] Cho điểm A(1; 1; 2), B(3; 0; –3), C(2; 4; –1) a) Chứng minh ABC tam giác Tính chu vi diện tích tam giác ABC b) Tìm điểm D để ABCD hình bình hành c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MA + 3MB − 2CM = Ví dụ 9: [ĐVH] Tìm điểm M Oy cách điểm A(3;1;0), B (−2; 4;1)  11  Đ/s: M  0; ;0    BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Tìm tọa độ chân đường vuông góc H tam giác OAB với A(−3; −2;6), B (−2; 4;4), O (0;0;0)  96 80 192  Đ/s: H  − ; ;   41 41 41  Bài 2: [ĐVH] Cho điểm A(2; 1; 0), B(3; 1; –1), C(1; 2; 3) Bài 3: [ĐVH] Tìm điểm C Ox cho tam giác ABC vuông C với A(1;1;2), B (−1;2;5) Đ/s: D(2;2;2;)   Đ/s: M  1; ;0    Đ/s: C ( −2;0;0 ) Bài 4: [ĐVH] Tìm điểm C Oy cho tam giác ABC vuông B với A(2; −1;0), B (1; −1;1) Đ/s: C ( 0;3;0 ) a) Chứng minh ABC tam giác Tính chu vi diện tích tam giác ABC b) Tìm điểm D để ABCD hình bình hành c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MA − MB + MC = MD, với D(4; 3; 2) Đ/s: S = Bài 5: [ĐVH] Tìm điểm M thuộc mặt phẳng xOz cho M cách điểm A(1;1;1), B (−1;1;0), C (3;1; −1) 7 5 Đ/s: M  ;0; −  6 6 Bài 6: [ĐVH] Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 4;2;1) , B ( −1;0;3) , C ( 2; −2;0 ) , D ( −3; 2;1) a) Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng b) Tính thể tích tứ diện ABCD đường cao tứ diện hạ từ đỉnh A c) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng AB cho tam giác MCD có diện tích nhỏ Bài 7: [ĐVH] Trong không gian Oxyz, cho điểm: A ( 2;3;1) , B ( −1;2;0 ) , C (1;1; −2 ) a) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC b) Tìm tọa độ I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c) Giả sử G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh điểm G, H, I thẳng hàng Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02 TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Tích có hướng hai véc tơ:  y Cho hai véc tơ: u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 )  → u; v  =   y2 z1 z1 ; z2 z y1   y2  x1 x1 ; x2 x2 Ví dụ 1: [ĐVH] Tính tích có hướng véc tơ sau: u = (1;1;2) a)   → u; v  = ( −6; −4;5) v = ( − 2;3;0)  u = (−1;3;1) b)   → u; v  = ( −7;0;5) v = (−2;1; −2) u = (2;0; −1) c)   → u; v  = ( 2;4;4 ) v = (−2;2; −1) Ví dụ 2: [ĐVH] Cho u = (1;1;2 ) , v = ( −1; m; m − ) Tìm m để a)  u; v  ⊥ a , với a = ( 3; −1; −2 ) ( ) c)  u; v  ; a = 600 , với a = ( −1;2;0 ) b)  u; v  = Hướng dẫn giải: u = (1;1;2 ) Ta có   → u; v  = ( −m − 2; − m; m + 1) v − 1; m ; m − ( )  a) u; v  ⊥ a ⇔ u; v  a = ⇔ ( −m − 2; − m; m + 1) ( 3; −1; −2 ) = ⇔ −3m − + m − 2m − = ⇔ 4m = −8 ⇔ m = −2 b) u; v  = ⇔ ( ) ( −m − ) ( + ( −m ) + ( m + 1) 2 m = = ⇔ 5m + 6m + = ⇔ 5m + 6m − 11 = ⇔   m = − 11  2 ) m + − 2m c) u; v  ; a = 600 ⇔ cos u; v  ; a = ⇔ = ⇔ ( − m ) = 5m2 + 6m + 2 5m + 6m + 5 m ≤  − m ≥ m ≤ 227 − 23  ⇔ ⇔ ⇔ →m = −23 ± 227  2 − m = 5 m + m + 42 ) ( ) 21m + 46m + = m = 42  (  Các ứng dụng tích có hướng: +) Ứng dụng 1: Xét đồng phẳng ba véc tơ (hoặc tính đồng phẳng bốn điểm phân biệt A, B, C, D) Ba véc tơ a; b; c đồng phẳng  a; b  c = không đồng phẳng  a; b  c ≠ Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng  AB; AC  AD = không đồng phẳng  AB; AC  AD ≠ +) Ứng dụng 2: Tính diện tích tam giác Ta có S∆ABC = 1  AB; AC  =  BC ; BA = CA; CB       2 2 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Từ S∆ABC = Facebook: LyHung95  AB; AC   AB; AC  1      AB; AC  = a.ha  h → = = a   2 a BC +) Ứng dụng 3: Tính thể tích khối chóp tam giác tứ diện Ta có VABCD = 1 3V  AB; AC  AD = S ∆ABC h  →h =   S∆ABC ⇒ thể tích khối hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' V =  AB; AC  AA ' Ví dụ 3: [ĐVH] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0) a) Chứng minh A, B, C, D đỉnh tứ diện b) Tính thể tích tứ diện ABCD c) Tính đường cao tứ diện hạ từ đỉnh A d) Tính góc hai đường thẳng AB CD Hướng dẫn giải: a) AB = (−6;3;3), AC = (−4; 2;4), AD = (−2;3; −3)  3 −6 −6  Ta có  AB, AC  =  ; ;  = (−18; −36;0)  −4 −4 −4 −4  ⇒  AB, AC  AD = −18.(−2) − 36.3 = −72 ≠ nên ba vectơ AB, AC , AD không đồng phẳng Vậy A, B, C, D đỉnh tứ diện b) VABCD = 1  AB, AC  AD = 72 = 12 (đvtt)   6 c) BC = (2; −1; −7), BD = (4;0; −6)  −1 −7 −7 2 −1  1  BC , BD  =  ; ; → S BCD =  BC , BD  = + 162 + 42 = 77  = (6; −16; 4)    − − 4 2   Gọi AH đường cao hạ từ đỉnh A xuống (BCD) ta có V 12 36 VABCD = S BDC AH  → AH = ABCD = = S BDC 77 77 d) AB = (−6;3;3), CD = (2;1;1) Gọi góc đường thẳng AB CD φ ta có: cos φ = −6.2 + 3.1 + 3.1 + + +1+1 Vậy góc hai đường thẳng AB CD φ cho cos φ = 2 = = 324 3 Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Biết A(1; 2; –1), B(–1; 1; 3), C(–1; –1; 2) D’(2; –2; –3) a) Tìm tọa độ đỉnh lại b) Tính thể tích hình hộp c) Tính thể tích tứ diện A.A’BC Tính tỉ số V ABCD A' B 'C ' D ' V A A ' B ' C ' d) Tính thể tích khối đa diện ABCDD’ Hướng dẫn giải: Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a) Đặt D(a; b; c) ta có AD = ( a − 1; b − 2; c + 1) ; BC = (0; −2; −1) a − = a =   AD = BC ⇔ b − = −2 ⇔ b =  → D (1;0; −2) c + = −1 c = −2   Làm tương tự A ' B ' = AB ⇒ B '(0; −1;2); B ' C ' = BC ⇒ C '(0; −3;1); AA ' = DD ' ⇒ A ' = (2;0; −2) , ;  −1 4 −2 −2 −1  b)  AB, AD  =  ; ;  = (9; −2; 4) ⇒  AB, AD  AA ' = 9.1 − 2.(−2) + 4.(−1) =  −2 −1 −1 0 −2  VABCD A ' B ' C ' D ' =  AB, AD  AA ' = (đvtt) 1 V c) VA ' ABC = VA A ' B ' C ' = VABCD A ' B ' C ' D ' = = ⇒ ABCD A ' B ' C ' D ' = 6 VA A ' B ' C ' d) VABCDD ' = VD ACD ' + VB ACD ' = 9 + = (đvtt) 6 Ví dụ 5: [ĐVH] Cho ba vectơ a = (1;1; ) , b = ( 2; −1; ) , c = ( m; m − 3; ) Tìm m để a)  a; c  = (Đ/s: m = 1) b) b; c  = (Đ/s: m = 2) Ví dụ 6: [ĐVH] Cho ba vectơ a = (1; 3; −2 ) , b = ( 2m; m − 1; m ) Tìm m để a) a b = b)  a; b  c = 0, với c = (3;1;1) c)  a; b  = 10 (Đ/s: m = –1) Ví dụ 7: [ĐVH] Cho u = ( −2;1;3) , v = (1; m + 1;2m − 1) Tìm m để a) u; v  ⊥ a, với a = (1;1; −3) b) u; v  = 2 ( ) c) u; v  ; a = 300 , với a = ( −2;1;1) Ví dụ 8: [ĐVH] Cho ba vectơ a = ( −3; 2;1) , b = (0;1; −3), c = ( m + 3; 2m − 1;1) Tìm m để a)  a; c  = (Đ/s: m = 0) b) b; c  = 26 (Đ/s: m = –1) c) ba véc tơ cho đồng phẳng Ví dụ 9: [ĐVH] Cho ba vectơ a = ( 2m + 3; m + 1; 3) , b = (1;1; −2), c = ( 2; 3; −1) Tìm m để a)  a; b  = 110 ( ) b) a + b c = (Đ/s: m = 0) (Đ/s: m = –1) c)  a; b  c = Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ví dụ 10: [ĐVH] Cho ba vectô a , b , c Tìm m, n biết c =  a , b  : a) a = ( 3; −1; −2 ) , b = (1; 2; m ) , c = ( 5;1;7 ) b) a = ( 6; −2; m ) , b = ( 5; n; −3) , c = ( 6;33;10 ) c) a = ( 2;3;1) , b = ( 5;6;4 ) , c = ( m; n;1) Ví dụ 11: [ĐVH] Xét đồng phẳng ba véc tơ a , b , c cho đây: a) a = (1; −1;1) , b = ( 0;1;2 ) , c = ( 4;2;3) b) a = ( 4;3;4 ) , b = ( 2; −1;2 ) , c = (1;2;1) c) a = ( −3;1; −2 ) , b = (1;1;1) , c = ( −2;2;1) d) a = ( 4;2;5) , b = ( 3;1;3) , c = ( 2;0;1) Ví dụ 12: [ĐVH] Tìm m để ba véc tơ a , b , c đồng phẳng: a) a = (1; m; ) , b = ( m + 1; 2;1) , c = ( 0; m − 2; ) b) a = (2m + 1;1; 2m − 1); b = (m + 1;2; m + 2), c = (2m; m + 1; 2) d) a = (1; −3; ) , b = ( m + 1; m − 2;1 − m ) , c = ( 0; m − 2; ) BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(–4; 4; 0), B(2; 0; 4), C(1; 2; –1); D(7; –2; 3) a) Chứng minh A, B, C, D đồng phẳng b) Tính diện tích tứ giác ABDC Bài 2: [ĐVH] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0) a) Chứng minh A, B, C, D đỉnh tứ diện b) Tính thể tích tứ diện ABCD c) Tính đường cao tứ diện hạ từ đỉnh A d) Tính góc hai đường thẳng AB CD Bài 3: [ĐVH] Trong không gian cho điểm A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(1; 2; 3) a) Chứng tỏ A, B, C không thẳng hàng b) Chứng tỏ bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng c) Tính diện tích tam giác ABC d) Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 4: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có A(2; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(1; 2; –1), S(0; 0; 7) a) Tính diện tích tam giác SAB b) Tính diện tích tứ giác ABCD c) Tính thể tích hình chóp S.ABCD Từ tính khoảng cách từ S đến (ABCD) d) Tính khoảng cách từ A đến (SCD) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 03 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN 1) Véc tơ pháp tuyến, phương trình tổng quát mặt phẳng n = ( A; B; C ) , A2 + B + C > có phương vuông góc với (P) gọi véc tơ pháp tuyến (P) (P) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) có phương trình viết dạng (P) có véc tơ pháp tuyến ( P ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = n = ( A; B; C ) có phương trình tổng quát ( P ) : Ax + By + Cz + D = (P) qua ba điểm phân biệt A, B, C có véc tơ pháp tuyến nP =  AB; AC  (P) qua điểm A song song với (Q) ta chọn cho nP = nQ nP ⊥ nα (P) qua điểm A vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt (α), (β)   → nP =  nα ; nβ  n ⊥ n  P β n ⊥ a (P) qua điểm A song song với hai véc tơ a; b  P  → nP =  a; b  nP ⊥ b nP ⊥ AB (P) qua điểm A, B vuông góc với (α)   → nP =  AB; nα  nP ⊥ nα Ví dụ 1: [ĐVH] Viết phương trình mặt phẳng (P) trường hợp sau: a) qua M(1; 1; 2) có véc tơ pháp tuyến n = (1; −2;1) b) qua M(2; 0; 1) song song với (Q): x + 2y + 5z − = c) qua M(3; −1; 0) vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 4x + z − = 0; (R): 2x + 3y − z − = Hướng dẫn giải: a) (P) qua M(1; 1; 2) có véc tơ pháp tuyến n = (1; −2;1) nên có phương trình ( P) : ( x − 1) − 2.( y − 1) + 1.( z − ) = ⇔ x − y + z − = b) (P) // (Q) nên nP // nQ , chọn nP = nQ = (1; 2;5 )  → ( P ) :1 ( x − ) + ( y − ) + ( z − 1) =  → ( P ) : x + y + z − = c) (P) qua vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 4x + z − = 0; (R): 2x + 3y − z − = nên có véc tơ pháp tuyến 4 nP ⊥ nQ  → nP =  nQ ; nR  =  = ( −3;6;12 ) = −3 (1; −2; −4 ) ⇒ nP = (1; −2; −4 )  2 − nP ⊥ nR Khi (P) có phương trình 1.( x − 3) − 2.( y + 1) − z = ⇔ x − y − z − = Ví dụ 2: [ĐVH] Cho A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3), C(4; 5; 6) a) Viết phương trình mặt phẳng qua A nhận vectơ n (1; −1;5 ) làm vectơ pháp tuyến b) Viết phương trình mặt phẳng qua A biết hai véctơ có giá song song hoặt nằm mặt phẳng a (1;2; −1) , b ( 2; −1;3) c) Viết phương trình mặt phẳng qua C vuông góc với đường thẳng AB d) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AC e) Viết phương trình (ABC) Ví dụ 3: [ĐVH] Cho A(–1; 2; 1), B(1; –4; 3), C(–4; –1; –2) a) Viết phương trình mặt phẳng qua I(2; 1; 1) song song với (ABC) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 b) Viết phương trình mặt phẳng qua A song song với (P): 2x – y – 3z – = c) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, B vuông góc với (Q): 2x – y + 2z – = d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, song song với Oy vuông góc với (R): 3x – y – 3z – = e) Viết phương trình mặt phẳng qua C song song với (Oyz) Ví dụ 4: [ĐVH] Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B vuông góc với mặt phẳng (β) cho trước, với:  A(3;1; −1), B(2; −1; 4) a)  ( β ) : x − y + 3z − =  A(−2; −1; 3), B(4; −2;1) b)  ( β ) : x + 3y − z + =  A(2; −1; 3), B(−4; 7; −9) c)  ( β ) : x + y − 8z − =  A(3; −1; −2), B(−3;1; 2) d)  ( β ) : x − y − z + = Ví dụ 5: [ĐVH] Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước, với: a) M (1; 2; −3) , ( P ) : x − 3y + z − = 0, ( Q ) : 3x − y + 5z − = b) M ( 2;1; −1) , ( P ) : x − y + z − = 0, ( Q ) : x − y + z − = c) M ( 3; 4;1) , ( P ) : 19 x − y − 4z + 27 = 0, ( Q ) :42 x − 8y + 3z + 11 = d) M ( 0; 0;1) , ( P ) : x − 3y + z − = 0, ( Q ) : x − y − z − = Ví dụ 6: [ĐVH] Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) ( P ) : y + z − = 0, (Q ) : x + y − z − = 0, ( R ) : x + y + z − = b) ( P ) : x − y + z − = 0, (Q ) : y + z − = 0, ( R ) : x − y + 19 = c) ( P ) : x − y + z − = 0, (Q ) : x + y − = 0, ( R ) : x − z + = Ví dụ 7: [ĐVH] Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) ( P ) : x + y − = 0, (Q ) : y − 3z − = 0, ( R ) : x + y − 3z − = b) ( P ) : y + z − = 0, (Q ) : x + y − z + = 0, ( R ) : x + y + z − = c) ( P ) : x + y − z − = 0, (Q ) : x + y + z + = 0, ( R ) : x − y − 3z + = d) ( P ) : x − y + z − = 0, (Q ) : x + y − = 0, ( R ) : x − z + = 2) Một số dạng phương trình mặt phẳng đặc biệt Mặt phẳng (xOy): véc tơ pháp tuyến Oz qua gốc tạo độ nên có phương trình z = Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxy) có phương trình z − a = Mặt phẳng (yOz): véc tơ pháp tuyến Ox qua gốc tạo độ nên có phương trình x = Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oyz) có phương trình x − a = Mặt phẳng (xOz): véc tơ pháp tuyến Oy qua gốc tạo độ nên có phương trình y = Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxz) có phương trình y − a = Mặt phẳng trung trực: Cho hai điểm A, B Khi mặt phẳng trung trực AB Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Ví dụ 8: [ĐVH] Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d : Facebook: LyHung95 x −1 y −1 z − = = cắt ( S ) : ( x + 1)2 + y + ( z − 2)2 = theo giao tuyến đường tròn có diện tích Đ/s: 5π b b 35 = −1; =− c c BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: [ĐVH] Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d : x −1 y −1 z − = = cắt ( S ) : ( x + 1)2 + y + ( z − 2)2 = theo giao tuyến đường tròn có diện tích Đ/s: 5π b b 35 = −1; =− c c 1 65  Bài 2: [ĐVH] Cho mặt cầu ( S ) : x +  y +  + ( z + 3)2 = hai điểm A(1; 2; 6), B(0; −1; 1) Gọi C 2  điểm thuộc mặt cầu cho tam giác ABC có diện tích đường tròn ngoại tiếp 59π Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Đ/s: ( ABC ) : x + y + z + = Bài 3: [ĐVH] (Khối A – 2011) Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y − z = điểm A(4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB) với B điểm thuộc mặt cầu tam giác OAB (OAB ) : x − y + z = Đ/s:  (OAB ) : x − y − z = Bài 4: [ĐVH] Cho mặt cầu ( S ) : ( x − 2)2 + ( y − 4)2 + z = 26 hai điểm A(1; 1; 4), B(−1; 3; −4) Gọi C điểm thuộc mặt cầu cho tam giác ABC vuông A BC = 60 Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Đ/s: ( ABC ) : x + y + z + =  x + y + z = 14 Bài 5: [ĐVH] Cho đường tròn (C) có phương trình ( C ) :  z = Lập hương trình mặt cầu chứa (C) tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x + 2y – z – = Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 13 MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN – P4 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN IV BÀI TOÁN VỀ VỊ TRÍ CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT CẦU Ví dụ 1: [ĐVH] Chứng minh đường thẳng cắt mặt cầu, tìm giao điểm:  x = −5 + 3t  a) ( S ) : x + ( y − 1) + ( z + 2) = 9; d :  y = + t  z = −2 + 2t  Đ/s: A(1;3; 2), B (−2; 2; 0) x +1 y + z − b) ( S ) : ( x + 2) + ( y − 1) + z = 14; d : = = −6 Đ/s: A(−1; −2;3), B (2; 2; −3) Ví dụ 2: [ĐVH] Chứng minh đường thẳng tiếp xúc mặt cầu, tìm tiếp điểm: x = 1+ t  2 a) ( S ) : ( x − 2) + ( y − 2) + ( z + 4) = 6; d :  y =  z = −6 − t  Đ/s: M (1;1; −6) x + y − z +1 b) ( S ) : ( x − 3) + ( y − 4)2 + ( z + 5) = 6; d : = = −1 −5 Đ/s: M (1;3; −6) x = 1+ t  c) ( S ) : ( x − 2) + ( y − 2) + ( z + 4) = 6; d :  y =  z = −6 − t  2 Đ/s: M (1;1; −6)  x = + 2t  Ví dụ 3: [ĐVH] Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; −1) cắt đường thẳng d :  y = −5 + t A, B với AB   z = −15 − 2t = 16 Đ/s: R = 17  x = 2t  Ví dụ 4: [ĐVH] Lập phương trình mặt cầu tâm I(−3; 1; −1) cắt đường thẳng d :  y = −1 − 4t A, B với  z = −3 − 5t  AB = Đ/s: R = 17 Ví dụ 5: [ĐVH] Cho điểm A(0; 1; 0), B(0; 2; 1) Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (xOy) M(−2; 3; 0) tiếp xúc với đường thẳng AB Đ/s: t = 2; t = -6 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: [ĐVH] Cho ( S ) : x + y + z − x + y + z − = 0, ( P ) : x + y − z + = Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) A(3; −1;1) song song với (P) Đ/s: d : x − y +1 z −1 = = −4 Bài 2: [ĐVH] Cho đường thẳng d : x −1 y − z − x y z +3 = = ;d ': = = −2 3 1 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc d’, tiếp xúc với d bán kính R = 3  21 23  Đ/s: I (0;0; −3), I  − ; ; −   10 10  Bài 3: [ĐVH] Cho đường thẳng d : x − y − z −1 = = , ( P) : x + y + z − = 1 Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) M(0; 1; 1) cắt d A, B cho AB = Đ/s: t = 2; t = − 38 25 x = 1+ t  Bài 4: [ĐVH] Cho đường thẳng d :  y = −2 − t , ( P ) : x + y + z + =  z = −2  Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) M(1; 0; −2) cắt d A, B cho AB = 2 Đ/s: ( S ) : x + ( y + 1)2 + ( z + 3)2 =  x = −1 + 4t  Bài 5: [ĐVH] Cho đường thẳng d :  y = t , ( P) : x + y − z =  z = −3 + 3t  Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) M(1; 1; 2) tiếp xúc với đường thẳng d Đ/s: ( S ) : ( x − 2) + ( y − 2) + ( z − 1)2 = Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 14 CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P1 (Nâng cao) Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN I BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ Dạng 1: Tìm điểm M thuộc (P) cho u = a MA + bMB + c MC có u đạt Phương pháp giải: +) Tìm điểm I thỏa mãn hệ thức aIA + bIB + cIC = ( ) +) Phân tích u = aMA + bMB + cMC = (a + b + c) MI + aIA + bIB + cIC = (a + b + c) MI Khi u = a + b + c MI ⇒ u ⇔ M hình chiếu vuống góc I lên (P)  M ∈ ( P ) Tọa độ điểm M ( x; y; z ) thỏa mãn hệ phương trình   IM = k nP Ví dụ 1: [ĐVH] Cho điểm A(2; 1; −1), B(0; 3; 1) ( P) : x + y − z + = Tìm điểm M thuộc (P) cho a) MA + MB b) MA − MB Đ/s: a) I (1; 2;0), M (−1;0; 2) b) I (4; −1; −3), M (1; −4; 0) Ví dụ 2: [ĐVH] Cho điểm A(1; 0; −1), B(2; −2; 1), C(0; −1; 0) ( P) : x − y + z + = Tìm điểm M thuộc (P) cho a) MA + MB + MC b) MA − MB + 3MC  32 89 10  b) I (−6;5; −6), M  − ; −   9 9 Đ/s: a) M ≡ G (0;1; −2) Ví dụ 3: [ĐVH] Cho điểm A(1; 1; 2), B(−2; 1; −7) ( P) : x + y − z + = Tìm điểm M thuộc (P) cho a) MA + MB b) MA + MB Đ/s: b) I (0;1; −1) Ví dụ 4: [ĐVH] Cho điểm A(0; 1; −1), B(2; 3; −2), C(6; 1; 14) ( P) : x + y − z + = Tìm điểm M thuộc (P) cho MA + 3MB − MC Đ/s: I (2; 2;1), M (1; 0; ) Dạng 2: Tìm điểm M thuộc (P) cho T = aMA2 + bMB + cMC đạt max Phương pháp giải: +) Tìm điểm I thỏa mãn hệ thức aIA + bIB + cIC = Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 +) Phân tích T = (a + b + c) MI + aIA2 + bIB + cIC +) Nếu a + b + c > T đặt min; a + b + c < T đặt max → M hình chiếu vuống góc I lên (P) Khi Tmax ; Tmin ⇔ MI   M ∈ ( P ) Tọa độ điểm M ( x; y; z ) thỏa mãn hệ phương trình   IM = k nP Ví dụ 1: [ĐVH] Cho điểm A(−3; 5; −5), B(5; −3; 7) ( P) : x + y + z = Tìm điểm M thuộc (P) cho a) T = MA2 + MB đạt giá trị nhỏ b) T = MA2 − MB đạt giá trị lớn Đ/s: a) I (1;1;1); M (0; 0; 0) b) I (13; −11;9), M (6; −18;12) Ví dụ 2: [ĐVH] Cho điểm A(1; 4; 5), B(0; 3; 1), C(2; −1; 0) ( P) : 3x − y − z − 15 = Tìm điểm M thuộc (P) cho a) T = MA2 + MB + MC đạt giá trị nhỏ b) T = MA2 + MB − MC đạt giá trị lớn Đ/s: a) M ≡ G (4; −1; 0) trọng tâm tam giác  25 74  b) I (7; −16; −7), M  − ; −   11 11 11  Ví dụ 3: [ĐVH] Cho điểm A(1; 1; -1), B(2; 0; 1), C(1; −1; -1) ( P) : x + y + z + = Tìm điểm M thuộc (P) cho a) T = MA2 + MB đạt giá trị nhỏ b) T = MA2 + MB − MC đạt giá trị lớn Đ/s: b) I (2;1;1), M ( 0; −1; −1) Ví dụ 4: [ĐVH] Cho điểm A(0; 4; -2), B(1; 2; -1) ( P) : x − y + z + = Tìm điểm M thuộc (P) cho biểu thức MA2 − MB đạt giá trị lớn nhất? Đ/s: I (2; 0;0), M (1;1; −1) 5  Ví dụ 5: [ĐVH] Cho điểm A(1; 1; 0), B  ; −1;  , ( P ) : x − y + z = Tìm điểm M thuộc (P) cho 3  biểu thức MA2 − 3MB đạt giá trị lớn nhất? Đ/s: I (2; −2; 0), M (1; 0; −1) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 14 CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P2 (Nâng cao) Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN I BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ Dạng 3: Tìm điểm M thuộc (P) cho ( MA + MB )min MA − MB max Phương pháp giải: +) Kiểm tra vị trí tương đối điểm A B so với mặt phẳng (P) +) Nếu A B phía (P) toán phải lấy đối xứng A qua (P), toán tìm max giao điểm trực tiếp đường thẳng AB (P) +) Nếu A B khác phía (P) toán max phải lấy đối xứng A qua (P), toán tìm giao điểm trực tiếp đường thẳng AB (P) Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hai điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9) (P): x + y + z + = a) Tìm điểm M∈(P) cho MA + MB đạt giá trị nhỏ b) Tìm điểm N∈(P) cho NA2 + NB2 đạt giá trị nhỏ Đ/s: M(0; –3; 0) Ví dụ 2: [ĐVH] Cho ba điểm A(4; –1; 2), B(3; 5; –1),vC(2; 5; –1) (P): x + 2y – z – = a) Tìm điểm M∈(P) cho MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ b) Tìm điểm N∈(P) cho NA2 + NB2 + NC2 đạt giá trị nhỏ Đ/s: M(2; 1; 1) Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hai điểm A(–1; 3; –2), B(–9; 4; 9) (P): 2x – y + z + = a) Chứng tỏ đường thẳng qua A, B cắt mặt phẳng (P) điểm I, tìm toạ độ điểm b) Tìm điểm M thuộc (P) cho AM + BM nhỏ Đ/s: a) I(7; 2; –13) b) M(–1; 2; 3) Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hai điểm A(1; 2; 3), B(4; 4; 5) mặt phẳng (P): x – y + z – = a) Chứng tỏ đường thẳng qua A, B cắt mặt phẳng (P) điểm I, tìm toạ độ điểm b) Tìm điểm M thuộc (P) cho |MA – MB| lớn  7 Đ/s: I  0; ;  , M trùng I  3 Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hai điểm A(1; 0; 2), B(2; 1; 3) (P): x – 2y + z – = Tìm điểm M thuộc (P) cho AM + BM nhỏ Ví dụ 6: [ĐVH] Cho hai điểm A(–4; 1; 2), B(–3; 1; 3) (P): x – y + z + = Tìm điểm M thuộc (P) cho AM + BM nhỏ Ví dụ 7: [ĐVH] Cho mặt phẳng (P): x + y + z – = hai điểm A(1, –3, 0), B(5, –1, –2) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a) Chứng tỏ đường thẳng qua A, B cắt mặt phẳng (P) điểm I, tìm toạ độ điểm b) Tìm toạ độ điểm M mặt phẳng (P) cho |MA – MB| đạt giá trị lớn II BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hai điểm A(1; 1; 2), B(-1; 0; 1) d : x −1 y + z = = Tim điểm M d cho 1 a) diện tích tam giác MAB nhỏ b) MA + MB đạt giá trị nhỏ Đ/s: b) t = Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hai điểm A(0; 1; -1), B(3; 0; 1) d : x y −1 z + Tim điểm M d cho = = 1 −1 MA + MB đạt giá trị nhỏ Đ/s: t = − Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hai điểm A(0; 1; -1), B(2; 0; 1) d : x y +1 z = = Tim điểm M d cho −1 a) MA + MB đạt giá trị nhỏ b) Diện tích tam giác MAB nhỏ ( P ) : x + y + z − = c) Khoảng cách từ M tới (P) hai lần khoảng cách từ M tới (Q) biết  (Q) : x − y − z + = Đ/s: a) t = 42 − 50 26 b) t = − c) t = 11 ; t = −5 Ví dụ 4: [ĐVH] Cho ba điểm A(1; 0; –1), B(0; 2; 3), C(-1; 1; 1) đường thẳng d : x +1 y −1 z = = Tìm −2 điểm M d cho a) MA2 + MB − MC đạt giá trị lớn nhất? b) AM + BC Đ/s: a) t = − b) t = Ví dụ 5: [ĐVH] Cho điểm A(2; 1; –1), B(1; 2; 1), C(0; 0; 3) d : x 1− y z − = = Tìm điểm M thuộc 1 d cho MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ  12 54  Đ/s: M  − ; ;   11 11 11  Ví dụ 6: [ĐVH] Cho ba điểm A(1; –2; 1), B(2; –1; –4), C(3; 0; –2) đường thẳng d : x −1 y − z −1 = = −1 a) Tìm d điểm M cho MA + MB − MC nhỏ b) Tìm điểm M thuộc d cho –MA2 + MB2 –MC2 đạt giá trị lớn x +1 y −1 z + = = −1 Tìm điểm M thuộc d cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Ví dụ 7: [ĐVH] Cho A(1; 1; 0), B(3; –1; 4) d : Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Đ/s: M(1; –1; 2) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 14 CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P3 (Nâng cao) Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN III BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ Phương pháp đại số: +) Gọi véc tơ pháp tuyến véc tơ phương mặt phẳng (hoặc đường thẳng) cần lập (a; b; c) +) Thiết lập phương trình quy ẩn (a theo b, c ngược lại) từ kiện mặt phẳng chứa đường, song song vuông góc Giả sử phương trình thu gọn ẩn a = f(b; c) +) Thiết lập phương trình khoảng cách mà đề yêu cầu, thay a = f(b; c) vào ta phương trình hai ẩn b; c Xét hàm khoảng cách d = g (b; c) +) Nếu c = b ≠  → d = d1 , lưu lại giá trị khoảng cách d1 b b +) Nếu c ≠ ⇒ d = g   = g (t ); t = c c Khảo sát hàm g(t) ta thu kết Chú ý: +) Công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng d ( A;( P ) ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C u∆ ; AM    +) Công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng d ( A; ∆ ) = ; với M thuộc ∆ u∆ u∆1 ; u∆  M 1M   u∆1 ; u∆    Bây xét chất hình học toán khoảng cách thường gặp +) Công thức khoảng cách hai đường thẳng d ( ∆1 ; ∆ ) = Bài toán 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất, với A điểm không thuộc d Phương pháp giải: +) Kẻ AH ⊥ ( P ); AK ⊥ d ⇒ AH = d ( A; ( P )) điểm K cố định Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 +) Ta có AH ≤ AK ⇒ d ( A;( P) )max = AK ⇔ H ≡ K Khi mặt phẳng (P) cần lập chứa đường thẳng d nhận véc tơ AK véc tơ pháp tuyến Ví dụ 1: [ĐVH] (Khối A – 2008) x −1 y z − = = 2 Lập (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) max Đ/s: K (3;1; 4), ( P ) : x − y + z − = Cho điểm A(2; 5; 3) đường thẳng d : x = t  Ví dụ 2: [ĐVH] Cho điểm A(3; 2; –1) đường thẳng d :  y = −1  z = −t  Lập (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) max Đ/s: ( P ) : x + y + z − = Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng (P), qua điểm A cho trước cho khoảng cách từ điểm B đến d lớn nhất? nhỏ nhất? Phương pháp giải: +) Kẻ AB ⊥ d ; BK ⊥ ( P ) ⇒ BH = d ( B; d ) điểm K cố định +) Ta có BH ≤ BA ⇒ d ( B; d )max = BA ⇔ H ≡ A Khi đường thẳng d nằm (P), qua A vuông góc với đường thẳng AB, suy d có véc tơ phương ud =  nP ; AB  +) Mặt khác, lại có BH ≥ BK ⇒ d ( B; d ) = BK ⇔ H ≡ K Khi đường thẳng d nằm (P), qua A qua hình chiếu K B Ta dễ thấy d có véc tơ phương ud =  nP ;  nP ; AB     Ví dụ 1: [ĐVH] Cho điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; –3) ( P) : x + y − z − = Lập phương trình đường d nằm (P); qua A cách B khoảng lớn nhất? nhỏ nhất? x −1 y z   max : −1 = = Đ/s: ≤ d ( B; d ) ≤ 14 ⇒   : x − = y = z  1 Ví dụ 2: [ĐVH] Cho điểm A(1; 2; 4), B(1; 2; –2) ( P) : x + y − z + = Lập phương trình đường d nằm (P); qua A cách B khoảng lớn nhất? nhỏ nhất? Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  max : ud = (1; −1; 0) Đ/s:   : ud = (1;1;1) Còn phần 4!!! Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 14 CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P4 (Nâng cao) Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN III BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ (tiếp theo) Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng (P), qua điểm A cho trước cho khoảng cách d d’ lớn nhất, với d’ đường thẳng cho trước cắt (P) Phương pháp giải: +) Gọi I = d '∩ ( P ) , qua A dựng đường thẳng d '' // d ' ⇒ d '' // (Q), với (Q) mặt phẳng chứa d d '' Khi d ( d ; d ') = d ( d ';(Q) ) = d ( I ;(Q) ) +) Kẻ IH ⊥ (Q); IK ⊥ d '' ⇒ IH = d ( I ;(Q) ) điểm K cố định +) Ta có IH ≤ IK ⇒ d ( I ; (Q) )max = IK ⇔ H ≡ K Khi đường thẳng d nằm (P), qua A vuông góc với đường thẳng IK, suy d có véc tơ phương ud =  nP ; IK  Gọi A ' hình chiếu vuông góc A lên d’, suy AA ' // IK, ud =  nP ; AA ' Vậy đường thẳng d cần lập qua điểm A có véc tơ phương ud =  nP ; AA ' Ví dụ 1: [ĐVH] Cho điểm A(1; 0; 1), đường thẳng d ' : x − y −1 z = = ( P ) : x − y + z − = −1 −1 Lập phương trình đường d qua A; nằm (P) cho khoảng cách d d’ lớn nhất? Đ/s: ud = (1; −1; −2) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Ví dụ 2: [ĐVH] Cho điểm A(1; 1; –3), B(2; 1; 0), đường thẳng d : Facebook: LyHung95 x y +1 z − = = −1 ( P) : x − y + z + = Lập phương trình đường ∆ qua A; nằm (P) cho a) khoảng cách từ B đến d lớn nhất? nhỏ nhất? b) khoảng cách ∆ d lớn nhất? Ví dụ 3: [ĐVH] Cho điểm O(0; 0; 0) đường thẳng d : x −1 y +1 z x y + z −1 = = ; d ': = = −2 −2 −1 Lập phương trình đường ∆ qua O; vuông góc với d cách d’ khoảng lớn nhất? Đ/s: t = 13 x y z ⇒ ∆: = = 12 13 12 11 Hướng dẫn: Gọi (P) mặt phẳng qua O vuông góc với d, suy ∆ phải nằm (P) Khi ta lại quy toán xét trên! Ví dụ 4: [ĐVH] Cho điểm A(0; 1; –1), đường thẳng d : x −1 y z = = ( P ) : x − y + z − = −1 −1 Lập phương trình đường ∆ qua A; song song với (P) cho khoảng cách ∆ d lớn nhất? Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước, d cắt d1 khoảng cách d d2 lớn Phương pháp giải: Gọi (P) mặt phẳng qua A chứa d1, suy d nằm (P) Khi quy toán 3! Ví dụ 1: [ĐVH] Cho điểm A(0; -1; 2) đường thẳng d : x +1 y z − = = 1 −1 Lập phương trình đường ∆ qua A cắt d cho a) khoảng cách từ B(2; 1; 1) đến đường thẳng ∆ lớn x−5 y z b) khoảng cách ∆ d ' : = = lớn −2 x y +1 z −  max : = =  −1 −1 Đ/s: a) ≤ d ( B; ∆ ) ≤ ⇒  11  : x = y + = z − 3 −2  Ví dụ 2: [ĐVH] Cho điểm A(1; 1; 2), đường thẳng d : x +1 y z −1 = = (P): x + y + 2z – = −1 Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A cho a) ∆ // (P) khoảng cách ∆ d lớn  x = −1 + t  b) ∆ ⊥ d ' :  y = + t khoảng cách từ điểm B(−1; 1; −1) lớn nhất? nhỏ nhất?  z = −1 + t  Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 14 CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P5 (Nâng cao) Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN IV BÀI TOÁN VỀ GÓC CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ Phương pháp giải: +) Gọi véc tơ pháp tuyến véc tơ phương mặt phẳng (hoặc đường thẳng) cân lập (a; b; c) +) Thiết lập phương trình quy ẩn (a theo b, c ngược lại) từ kiện mặt phẳng chứa đường, song song vuông góc Giả sử phương trình thu gọn ẩn a = f(b; c) +) Thiết lập phương trình góc, thay a = f(b; c) vào ta phương trình hai ẩn b; c Chú ý: ( ) +) Góc hai đường thẳng cos(d1 ; d ) = cos u1 ; u2 = ( ) +) Góc hai mặt phẳng cos( P1 ; P2 ) = cos n1 ; n2 = u1.u2 u1 u2 n1.n2 n1 n2 ( ) +) Góc đường thẳng mặt phẳng sin(d ; P) = cos nP ; ud = nP ud nP ud +) Ta biết hàm sinφ đồng biến < φ < 900, ngược lại hàm cosφ nghịch biến Vậy hàm xét max, hàm sin góc lớn ứng với hàm max, góc nhỏ ứng với hàm nhỏ Còn hàm xét max, hàm cosin ngược lại, đề yêu cầu tìm góc lớn hàm phải đạt min, góc nhỏ hàm đạt max Ví dụ 1: [ĐVH] Cho d : x −1 y + z x + y −1 z = = ;d ': = = ; (Q) : x + y + z − = −1 −1 Lập (P) chứa d cho a) góc (P) (Q) nhỏ b) góc (P) d’ lớn Đ/s: a) ( P ) : x + y + z + = b) ( P ) : x − y + z − = Ví dụ 2: [ĐVH] Cho điểm A(1; −1; 2) mặt phẳng (Q) : x − y − z + = Lập phương trình đường d qua A; song song với (P) đồng thời tạo với đường ∆ : x + y −1 z = = m ột −2 góc lớn nhất? nhỏ x −1 y +1 z −   max : = −5 = (5t − 4) Đ/s: cos φ = ⇒ ≤ cos φ ≤ ⇒ 5t − 4t + 3  : x − = y = z  1 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Ví dụ 3: [ĐVH] Cho điểm A(−1; 0; −1) hai đường d : Facebook: LyHung95 x −1 y − z + x−3 y −2 z +3 = = ; d ': = = −1 −1 2 Lập phương trình đường ∆ qua A đồng thời cắt đường d cho góc ∆ d’ lớn nhất? nhỏ nhất? x +1 y z +1  max : = =  t 2 −1 Đ/s: cos φ = ⇒ ≤ cos φ ≤ ⇒  x +1 y z +1 6t + 14t +  : = =  −4 2 Ví dụ 4: [ĐVH] Cho điểm A(1; 4; 2), B(−1; 2; 4) đường thẳng d : x −1 y + z = = −1 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d a) khoảng cách từ A đến (P) max b) góc (P) mặt phẳng (xOy) c) góc (P) trục Oy max Ví dụ 5: [ĐVH] Cho điểm A(1; 4; 2), đường thẳng d : x +1 y z − = = (P): x + y + z – = −3 Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A cho a) ∆ // (P) khoảng cách ∆ d lớn b) ∆ // (P) góc ∆ d lớn nhất? nhỏ nhất?  x = −1 + t  c) ∆ ⊥ d ' :  y = + t khoảng cách từ điểm B(−1; 1; −1) lớn nhất? nhỏ nhất?  z = −1 + t  Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! [...]... ∆ :  y = 13 − t  z = −21 + t  2 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán Ví dụ 10: [ĐVH] Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0;1;−2), vuông góc x+3 y−2 z với đường thẳng d : = = và tạo với... thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x −1 y +1 z và các điểm A(1;2; 2), B (4;3;0) = = 2 −1 −2 Lập (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A tới (P) bằng khoảng cách từ B tới (P) Ví dụ 7: [ĐVH] Cho d : Đ/s: ( P) : 4 x − 2 y + 5 z − 10 = 0;( P ) :12 x − 10 y + 17 z − 22 = 0 Ví dụ 8: [ĐVH] Trong không gian. .. ) ⇔  Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  nP ⊥ u d  n u ≠ 0  Aa + Bb + Cc = 0 ⇔ P d ⇔  Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0  M 0 ∈ ( P )  M 0 ∈ ( P ) ( d ) ⊂ ( P ) ⇔  ( d ) ∩ ( P ) ⇔ nP ud ≠0  x0 =  x − x0 y − y0 z − z0 = =   Khi đó, tọa độ giao điểm thỏa mãn hệ phương... z = −1 + 3t a) Chứng minh răng hai đường thẳng đó cắt nhau Xác định toạ độ giao điểm của chúng b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa d1 và d2 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 08 BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn... –4) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x = 1+ t  Ví dụ 4: [ĐVH] Tìm điểm M trên đường thẳng d :  y = 2 − 3t thỏa mãn z = t  a) thuộc mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0 Đ/s: M(2; –1; 1) b) xM2 + 2 yM2 − zM2 = 37 Đ/s: M(2; –4; 2) c) tam giác MAB vuông tại M với A(2; 1; 1),...  y = 3 + 4t  z = 5 − 2t Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG d) A(4; −2; 2), ∆ : x +2 y −5 z−2 = = 4 2 3 Facebook: LyHung95  x = 3 + 4t  e) A(1; −3; 2), ∆ :  y = 2 − 2t  z = 3t − 1 Ví dụ 4: [ĐVH] Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước:... M1(1; 2; 0) ∈ d1, thay vào d2 ta có Lập phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2 Do d1 // d2 nên n = u1 , M 1M 2  = (0; −2; −2) = −2(0;1;1) Phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng là (P) : y + z – 2 = 0 b) Ta có nP u3 = 2 ≠ 0 ⇒ ( P ) ∩ d3 Gọi giao điểm của (P) và d3 là A Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG... 1 −1 ( P) : x + 2 y + 2 z − 3 = 0 Tìm điểm M trên d1 sao cho d ( M ; d 2 ) = 11 d ( M ;( P ) ) Đ/s: t = 1 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 07 BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN... 13 205 a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 08 BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại... trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với (Q) biết rằng d: x −1 y − 2 z = = , 2 1 3 ( Q ) : x + 2 y + z − 5 = 0 Đ/s: (P): 5x – y – 3z – 3 = 0 Ví dụ 6: [ĐVH] Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và // với (∆) biết Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG d: Facebook: LyHung95 ... 3; 2; 4 ) , ∆ ≡ Ox  x = − 3t  c) A(2; −5; 3), ∆ :  y = + 4t  z = − 2t Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 –... c) MA = 14, với A(0; 2; 1) Đ/s: M(–1; –1; 3) d) IM ⊥ d, với I(3; 0; 4) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy... toạ độ giao điểm chúng b) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P) chứa d1 d2 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016