Phương trình là một trong những phân môn quan trọng nhất của Đại số vì có những ứngdụng rất lớn trong các ngành khoa học. Sớm được biết đến từ thời xa xưa do nhu cầu tínhtoán của con người và ngày càng phát triển theo thời gian, đến nay, chỉ xét riêng trong Toánhọc, lĩnh vực phương trình đã có những cải tiến đáng kể, cả về hình thức (phương trình hữu tỉ,phương trình vô tỉ, phương trình mũ logarit) và đối tượng (phương trình hàm, phương trìnhsai phân, phương trình đạo hàm riêng, . . . )Lên đến bậc THPT, với sự hỗ trợ của các công cụ giải tíchvà hình học, những bài toán phương trình hệ phương trình ngày càng được trau chuốt, trởthành nét đẹp của Toán học và một phần không thể thiếu trong các kì thi Học sinh giỏi, thiĐại học.Đã có rất nhiều bài viết về phương trình hệ phương trình, nhưng chưa thể đề cập mộtcách toàn diện về những phương pháp giải và sáng tạo phương trình. Nhận thấy nhu cầu cómột tài liệu đầy đủ về hình thức và nội dung cho cả hệ chuyên và không chuyên, Diễn đànMathScope đã tiến hành biên soạn quyển sách Chuyên đề phương trình hệ phương trình màchúng tôi hân hạnh giới thiệu đến các thầy cô giáo và các bạn học sinh
Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Các thành viên tham gia chuyên đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ 10 Phương trình bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Phương trình bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Phương trình dạng phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Xây dựng phương trình hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Một số phương trình bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ 32 Phương pháp sử dụng đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Phương pháp dùng định lý Lagrange - Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Phương pháp dùng điều kiện cần và đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Phương pháp ứng dụng hình học giải tích và hình học phẳng . . . . . . . . . . . . . 55 Hình học không gian và việc khảo sát hệ phương trình ba ẩn . . . . . . . . . . . . . 76 Một số bài phương trình, hệ phương trình có tham số trong các kì thi Olympic . . . 81 3 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 93 Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Một số cách đặt ẩn phụ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Phương pháp sử dụng hệ số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Phương pháp lượng giác hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Phương pháp biến đổi đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Phương pháp dùng lượng liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Phương pháp dùng đơn điệu hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Phương pháp dùng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Một số bài toán chọn lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3 4 4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT 158 Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Phương pháp dùng đơn điệu hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Phương pháp biến đổi đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 177 Các loại hệ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Hệ phương trình hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Phương pháp biến đổi đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Phương pháp dùng đơn điệu hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Phương pháp hệ số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Kĩ thuật đặt ẩn phụ tổng - hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Phương pháp dùng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Tổng hợp các bài hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Hệ phương trình hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Hệ phương trình vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 6 SÁNG TẠO PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 297 Xây dựng một số phương trình được giải bằng cách đưa về hệ phương trình . . . . 297 Sử dụng công thức lượng giác để sáng tác các phương trình đa thức bậc cao . . . . 307 Sử dụng các hàm lượng giác hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Sáng tác một số phương trình đẳng cấp đối với hai biểu thức . . . . . . . . . . . . . 312 Xây dựng phương trình từ các đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Xây dựng phương trình từ các hệ đối xứng loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào tính đơn điệu của hàm số. . . . . . . . . 324 Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào các phương trình lượng giác. . . . . . . . 328 Sử dụng căn bậc n của số phức để sáng tạo và giải hệ phương trình. . . . . . . 331 Sử dụng bất đẳng thức lượng giác trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . 338 Sử dụng hàm ngược để sáng tác một số phương trình, hệ phương trình. . . . . 345 Sáng tác hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 Kinh nghiệm giải một số bài hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 7 Phụ lục 1: GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 362 8 Phụ lục 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC NHÀ TOÁN HỌC NỔI TIẾNG 366 Lịch sử phát triển của phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Có mấy cách giải phương trình bậc hai? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Cuộc thách đố chấn động thế giới toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 Những vinh quang sau khi đã qua đời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 5 Tỉểu sử một số nhà toán học nổi tiếng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Một cuộc đời trên bia mộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Chỉ vì lề sách quá hẹp! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Hai gương mặt trẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 Sống hay chết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 9 Tài liệu tham khảo 381 Chương I: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA Một số phương pháp giải phương trình bậc ba Phương pháp phân tích nhân tử: Nếu phương trình bậc ba ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 có nghiệm x = r thì có nhân tử (x − r) do đó có thể phân tích ax 3 + bx 2 + cx + d = (x − r)[ax 2 + (b + ar)x + c + br + ar 2 ] Từ đó ta đưa về giải một phương trình bậc hai, có nghiệm là −b − ra ± √ b 2 − 4ac − 2abr − 3a 2 r 2 2a Phương pháp Cardano: Xét phương trình bậc ba x 3 + ax 2 + bx + c = 0 (1). Bằng cách đặt x = y − a 3 , phương trình (1) luôn biến đổi được về dạng chính tắc: y 3 + py + q = 0(2) Trong đó: p = b − a 2 3 , q = c + 2a 3 − 9ab 27 Ta chỉ xét p, q = 0 vì p = 0 hay q = 0 thì đưa về trường hợp đơn giản. Đặt y = u + v thay vào (2), ta được: (u + v) 3 + p(u + v) + q = 0 ⇔ u 3 + v 3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0 (3) Chọn u, v sao cho 3uv + p = 0 (4). Như vậy, để tìm u và v, từ (3) và (4) ta có hệ phương trình: u 3 + v 3 = −q u 3 v 3 = − p 3 27 Theo định lí Viete, u 3 và v 3 là hai nghiệm của phương trình: X 2 + qX − p 3 27 = 0(5) Đặt ∆ = q 2 4 + p 3 27 10 11 Khi ∆ > 0, (5) có nghiệm: u 3 = − q 2 + √ ∆, v 3 = − q 2 − √ ∆ Như vậy, phương trình (2) sẽ có nghiệm thực duy nhất: y = 3 − q 2 + √ ∆ + 3 − q 2 − √ ∆ Khi ∆ = 0, (5) có nghiệm kép: u = v = − 3 q 2 Khi đó, phương trình (2) có hai nghiệm thực, trong đó một nghiệm kép. y 1 = 2 3 − q 2 , y 2 = y 3 = 3 q 2 Khi ∆ < 0, (5) có nghiệm phức. Gọi u 3 0 là một nghiệm phức của (5), v 3 0 là giá trị tương ứng sao cho u 0 v 0 = − p 3 . Khi đó, phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt. y 1 = u 0 + v 0 y 2 = − 1 2 (u 0 + v 0 ) + i √ 3 2 (u 0 − v 0 ) y 3 = − 1 2 (u 0 + v 0 ) − i √ 3 2 (u 0 − v 0 ) Phương pháp lượng giác hoá - hàm hyperbolic: Một phương trình bậc ba, nếu có 3 nghiệm thực, khi biểu diễn dưới dạng căn thức sẽ liên quan đến số phức. Vì vậy ta thường dùng phương pháp lượng giác hoá để tìm một cách biểu diễn khác đơn giản hơn, dựa trên hai hàm số cos và arccos Cụ thể, từ phương trình t 3 + pt + q = 0 (∗) ta đặt t = u cos α và tìm u để có thể đưa (∗) về dạng 4 cos 3 α − 3 cos α − cos 3α = 0 Muốn vậy, ta chọn u = 2 −p 3 và chia 2 vế của (∗) cho u 3 4 để được 4 cos 3 α − 3 cos α − 3q 2p . −3 p = 0 ⇔ cos 3α = 3q 2p . −3 p Vậy 3 nghiệm thực là t i = 2 −p 3 . cos 1 3 arccos 3q 2p . −3 p − 2iπ 3 với i = 0, 1, 2. Lưu ý rằng nếu phương trình có 3 nghiệm thực thì p < 0 (điều ngược lại không đúng) nên công thức trên không có số phức. Khi phương trình chỉ có 1 nghiệm thực và p = 0 ta cũng có thể biểu diễn nghiệm đó bằng công thức hàm arcosh và arsinh: t = −2|q| q . −p 3 cosh 1 3 .arcosh −3|q| 2p . −3 p nếu p < 0 và 4p 3 + 27q 2 > 0. 12 t = −2 p 3 . sinh 1 3 .arsinh 3q 2p . 3 p nếu p > 0 Mỗi phương pháp trên đều có thể giải quyết phương trình bậc ba tổng quát. Nhưng mục đích của chúng ta trong mỗi bài toán luôn là tìm lời giải ngắn nhất, đẹp nhất. Hãy cùng xem qua một số ví dụ: Bài tập ví dụ Bài 1: Giải phương trình x 3 + x 2 + x = − 1 3 Giải Phương trình không có nghiệm hữu tỉ nên không thể phân tích nhân tử. Trước khi nghĩ tới công thức Cardano, ta thử quy đồng phương trình: 3x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = 0 Đại lượng 3x 2 +3x+1 gợi ta đến một hằng đẳng thức rất quen thuộc x 3 +3x 2 +3x+1 = (x+1) 3 . Do đó phương trình tương đương: (x + 1) 3 = −2x 3 hay x + 1 = − 3 √ 2x Từ đó suy ra nghiệm duy nhất x = −1 1 + 3 √ 2 . Nhận xét: Ví dụ trên là một phương trình bậc ba có nghiệm vô tỉ, và được giải nhờ khéo léo biến đổi đẳng thức. Nhưng những bài đơn giản như thế này không có nhiều. Sau đây ta sẽ đi sâu vào công thức Cardano: Bài 2: Giải phuơng trình x 3 − 3x 2 + 4x + 11 = 0 Giải Đặt x = y + 1 . Thế vào phương trình đầu bài, ta được phương trình: y 3 + 1.y + 13 = 0 Tính ∆ = 13 2 + 4 27 .1 3 = 4567 27 0 Áp dụng công thức Cardano suy ra: y = 3 −13 + 4567 27 2 + 3 −13 − 4567 27 2 Suy ra x = 3 −13 + 4567 27 2 + 3 −13 − 4567 27 2 + 1. Nhận xét: Ví dụ trên là một ứng dụng cơ bản của công thức Cardano. Tuy nhiên công thức này không hề dễ nhớ và chỉ được dùng trong các kì thi Học sinh giỏi. Vì thế, có lẽ chúng ta sẽ cố gắng tìm một con đường “hợp thức hóa” các lời giải trên. Đó là phương pháp lượng giác hoá. Đầu tiên xét phương trình dạng x 3 + px + q = 0 với p < 0 và có 1 nghiệm thực: 13 Bài 3: Giải phương trình x 3 + 3x 2 + 2x − 1 = 0 Giải Đầu tiên đặt x = y −1 ta đưa về phương trình y 3 −y −1 = 0 (1). Đến đây ta dùng lượng giác như sau: Nếu |y| < 2 √ 3 suy ra √ 3 2 y < 1. Do đó tồn tại α ∈ [0, π] sao cho √ 3 2 y = cos α. Phương trình tương đương: 8 3 √ 3 cos 3 α − 2 √ 3 cos α − 1 = 0 hay cos 3α = 3 √ 3 2 (vô nghiệm) Do đó |y| 2 √ 3 . Như vậy luôn tồn tại t thoả y = 1 √ 3 (t + 1 t ) (∗). Thế vào (1) ta được phương trình t 3 3 √ 3 + 1 3 √ 3t 3 − 1 = 0 Việc giải phương trình này không khó, xin dành cho bạn đọc. Ta tìm được nghiệm: x = 1 √ 3 3 1 2 3 √ 3 − √ 23 + 1 3 1 2 3 √ 3 − √ 23 − 1 ✷ Nhận xét: Câu hỏi đặt ra là: “Sử dụng phương pháp trên như thế nào?”. Muốn trả lời, ta cần làm sáng tỏ 2 vấn đề: 1) Có luôn tồn tại t thoả mãn cách đặt trên? Đáp án là không. Coi (∗) là phương trình bậc hai theo t ta sẽ tìm được điều kiện |y| 2 √ 3 . Thật ra có thể tìm nhanh bằng cách dùng AM-GM: |y| = 1 √ 3 t + 1 t = 1 √ 3 |t| + 1 |t| 2 √ 3 Vậy trước hết ta phải chứng minh (1) không có nghiệm |y| < 2 √ 3 . 2) Vì sao có số 2 √ 3 ? Ý tưởng của ta là từ phương trình x 3 + px + q = 0 đưa về một phương trình trùng phương theo t 3 qua cách đặt x = k t + 1 t . Khai triển và đồng nhất hệ số ta được k = −p 3 Sau đây là phương trình dạng x 3 + px + q = 0 với p < 0 và có 3 nghiệm thực: Bài 4: Giải phương trình x 3 − x 2 − 2x + 1 = 0 Giải Đặt y = x − 1 3 . Phương trình tương đương: y 3 − 7 3 y + 7 27 = 0(∗) 14 Với |y| < 2 √ 7 3 thì 3y 2 √ 7 < 1. Do đó tồn tại α ∈ [0, π] sao cho cos α = 3y 2 √ 7 hay y = 2 √ 7 cos α 3 . Thế vào (∗), ta được: cos 3α = − √ 7 14 Đây là phương trình lượng giác cơ bản. Dễ dàng tìm được ba nghiệm của phương trình ban đầu: x 1 = 2 √ 7 3 cos arccos − √ 7 14 3 + 1 3 x 2,3 = 2 √ 7 3 cos ±arccos − √ 7 14 3 + 2π 3 + 1 3 Do phương trình bậc ba có tối đa ba nghiệm phân biệt nên ta không cần xét trường hợp |y| 2 √ 7 3 . Bài toán được giải quyết. Nhận xét: Ta cũng có thể chứng minh phương trình vô nghiệm khi |y| 2 √ 7 3 bằng cách đặt y = √ 7 3 (t + 1 t ) giống như bài 3, từ đó dẫn tới một phương trình trùng phương vô nghiệm. Tổng kết lại, ta dùng phép đặt ẩn phụ y = −p 3 t + 1 t (∗) như sau: Nếu phương trình có 1 nghiệm thực, chứng minh phương trình vô nghiệm khi |y| < 2 −p 3 , trường hợp còn lại dùng (∗) để đưa về phương trình trùng phương theo t. Nếu phương trình có 3 nghiệm thực, chứng minh phương trình vô nghiệm khi |y| 2 −p 3 bằng phép đặt (∗) (đưa về phương trình trùng phương vô nghiệm theo t). Khi |y| 2 −p 3 thì đặt |y| 2 −p 3 = cos α, từ đó tìm α, suy ra 3 nghiệm y. Còn khi p > 0 không khó chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất: Bài 5: Giải phương trình x 3 + 6x + 4 = 0 Giải Ý tưởng: Ta sẽ dùng phép đặt x = k t − 1 t để đưa về phương trình trùng phương. Để ý phép đặt này không cần điều kiện của x, vì nó tương đương k(t 2 − 1) − xt = 0. Phương trình trên luôn có nghiệm theo t. Như vậy từ phương trình đầu ta được k 3 t 3 − 1 t 3 − 3k 3 t − 1 t + 6k t − 1 t + 4 = 0 15 Cần chọn k thoả 3k 3 = 6k ⇒ k = √ 2 Vậy ta có lời giải bài toán như sau: Lời giải: Đặt x = √ 2 t − 1 t ta có phương trình 2 √ 2 t 3 − 1 t 3 + 4 = 0 ⇔ t 6 − 1 + √ 2t 3 = 0 ⇔ t 1,2 = 3 −1 ± √ 3 √ 2 Lưu ý rằng t 1 .t 2 = −1 theo định lý Viete nên ta chỉ nhận được một giá trị của x là x = t 1 + t 2 = √ 2 3 −1 + √ 3 √ 2 + 3 −1 − √ 3 √ 2 . ✷ Bài 6: Giải phương trình 4x 3 − 3x = m với |m| > 1 Giải Nhận xét rằng khi |x| 1 thì |V T | 1 < |m| (sai) nên |x| 1. Vì vậy ta có thể đặt x = 1 2 t + 1 t . Ta có phương trình tương đương: 1 2 t 3 + 1 t 3 = m Từ đó: t = 3 m ± √ m 2 − 1 ⇒ x = 1 2 3 m + √ m 2 − 1 + 3 m − √ m 2 − 1 . Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất. Giả sử phương trình có nghiệm x 0 thì x 0 ∈ [−1, 1] vì |x 0 | > 1. Khi đó: 4x 3 − 3x = 4x 3 0 − 3x 0 hay (x − x 0 )(4x 2 + 4xx 0 + 4x 2 0 − 3) = 0 Xét phương trình: 4x 2 + 4xx 0 + 4x 2 0 − 3 = 0 có ∆ = 12 − 12x 2 0 < 0 nên phương trình bậc hai này vô nghiệm. Vậy phương trình đầu bài có nghiệm duy nhất là x = 1 2 3 m + √ m 2 − 1 + 3 m − √ m 2 − 1 . Bài tập tự luyện Bài 1: Giải các phương trình sau: a) x 3 + 2x 2 + 3x + 1 = 0 b) 2x 3 + 5x 2 + 4x + 2 = 0 c) x 3 − 5x 2 + 4x + 1 = 0 16 d) 8x 3 + 24x 2 + 6x − 10 − 3 √ 6 = 0 Bài 2: Giải và biện luận phương trình: 4x 3 + 3x = m với m ∈ R Bài 3: Giải và biện luận phương trình: x 3 + ax 2 + bx + c = 0 PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN [1] Phương trình dạng ax 4 + bx 3 + cx 2 + bkx + ak 2 = 0 (1) Ta có (1) ⇔ a(x 4 + 2x 2 .k + k 2 ) + bx(x 2 + k) + (c − 2ak)x 2 = 0 ⇔ a(x 2 + k) 2 + bx(x 2 + k) + (c − 2ak)x 2 = 0 Đến đây có hai hướng để giải quyết: Cách 1: Đưa phương trình về dạng A 2 = B 2 : Thêm bớt, biến đổi vế trái thành dạng hằng đẳng thức dạng bình phương của một tổng, chuyển các hạng tử chứa x 2 sang bên phải. Cách 2: Đặt y = x 2 + k ⇒ y k Phương trình (1) trở thành ay 2 + bxy + (c − 2ak)x 2 = 0 Tính x theo y hoặc y theo x để đưa về phương trình bậc hai theo ẩn x. Ví dụ: Giải phương trình: x 4 − 8x 3 + 21x 2 − 24x + 9 = 0 (1.1) Cách 1: (1.1) ⇔ (x 4 + 9 + 6x 2 ) − 8(x 2 + 3) + 16x 2 = 16x 2 − 21x 2 + 6x 2 ⇔ (x 2 − 4x + 3) 2 = x 2 ⇔ x 2 − 4x + 3 = x x 2 − 4x + 3 = −x ⇔ x 2 − 5x + 3 = 0 x 2 − 3x + 3 = 0 ⇔ x = 5 − √ 13 2 x = 5 + √ 13 2 Cách 2: (1.1) ⇔ (x 4 + 6x 2 + 9) − 8x(x 2 + 3) + 15x 2 = 0 ⇔ (x 2 + 3) 2 − 8x(x 2 + 3) + 15x 2 = 0 Đặt y = x 2 + 3. (1.1) trở thành: y 2 − 8xy + 15x 2 = 0 ⇔ (y − 3x)(y − 5x) = 0 ⇔ y = 3x y = 5x Với y = 3x: Ta có x 2 + 3 = 3x: Phương trình vô nghiệm Với y = 5x: Ta có x 2 + 3 = 5x ⇔ x 2 − 5x + 3 = 0 ⇔ x = 5 − √ 13 2 x = 5 + √ 13 2 Vậy phương trình (1.1) có tập nghiệm: S = 5 + √ 13 2 ; 5 − √ 13 2 Nhận xét: Mỗi phương pháp giải có lợi thế riêng. Với cách giải 1, ta sẽ tính được trực tiếp mà [...]... 19 Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi m ∈ [8; 19] 2 Nhận xét: Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết phương trình này trước Từ phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên Bài 6: Tìm m để hệ sau... (x2 − x − 3)7 6 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Nhà toán học Abel đã chứng minh rằng không có công thức nghiệm tổng quát cho phương trình bậc cao (> 4) Đây cũng không phải là dạng toán quen thuộc ở phổ thông Vì thế bài viết này chỉ đề cập đến một số phương trình bậc cao đặc biệt, có thể giải bằng biến đổi sơ cấp Bài 1: Giải phương trình x5 − x4 − x3 − 11x2 + 25x − 14 = 0 Giải Phương trình đã cho tương đương... về phương trình tích [2.] Đặt ẩn phụ hoàn toàn [3.] Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình [4.] Đưa về lũy thừa đồng bậc (thường là dạng A2 = B 2 ) [5.] Chia tử và mẫu cho cùng một số [6.] Thêm bớt để tạo thành bình phương đúng Tuy nhiên, có một số dạng phương trình có những phương pháp giải đặc trưng Những phương trình này sẽ được trình bày cụ thể hơn ở những phần khác Bài tập tổng hợp phần phương trình. .. x+3 x+4 x+6 27 XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ Bên cạnh việc xây dựng phương trình từ hệ phương trình, việc xây dựng phương trình từ những đẳng thức đại số có điều kiện là một trong những phương pháp giúp ta tạo ra những dạng phương trình hay và lạ Dưới đây là một số đẳng thức đơn giản 4.1 Từ đẳng thức “(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) (1) ”: Ví dụ: Giải phương trình: (x − 2)3 + (2x... + 3x + 6) + 1 = 0 (vô nghiệm) Vậy phương trình có tập nghiệm S = {2} 2 Bài 2: Giải phương trình x6 − 7x2 + √ 6 = 0 (∗) Giải Rõ ràng ta không thể đoán nghiệm của phương trình này vì bậc cao và hệ số xấu Một cách tự √ nhiên ta đặt 6 = a Lưu ý rằng ta hi vọng có thể đưa (*) về phương trình bậc hai theo a, do đó ta phân tích 7 = a2 + 1 Công việc còn lại là giải phương trình này: √ Đặt 6 = a, khi đó (∗)... 4 3−5 3+ 4 3−5 Phương trình (5.1) có tập nghiệm: S = ; 2 2 Bài tập tự luyện Giải các phương trình sau: 1 x4 − 19x2 − 10x + 8 = 0 2 x4 = 4x + 1 3 x4 = 8x + 7 4 2x4 + 3x2 − 10x + 3 = 0 5 (x2 − 16)2 = 16x + 1 6 3x4 − 2x2 − 16x − 5 = 0 Nhận xét: Phương trình dạng x4 = ax + b được giải theo cách tương tự Phương trình ∆ = 0 là phương trình bậc ba với cách giải đã được trình bày trước Phương trình này có thể... = x2 + 2x −1 Đặt: ta có hệ phương trình b=x+y a+b=m ab = −2m − 3 ⇔ a2 − 3 = (a + 2) m (1) b=m−a a2 − 3 = m (2) a+2 Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm a −1 x2 − 3 Xét hàm số: f (x) = với x −1 x+2 Đến đây ta chỉ cần lập bảng bíến thi n Công việc tiếp theo xin dành cho bạn đọc Từ phương trình (1) trong hệ ta có: Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm m để phương trình tan2 x + cot2 x +... = x2 Giải phương trình bậc hai theo y để tìm x x+a Ví dụ: Giải phương trình: x2 + 9x2 = 7 (2.1) (x + 3)2 Điều kiện: x = −3 (2.1) ⇔ ⇔ x− 3x x+3 x2 x+3 2 2 + 6 + 6 x2 =7 x+3 x2 =7 x+3 x2 Đặt y = Ta có phương trình x+3 y 2 + 6y − 7 = 0 ⇔ y=1 y = −7 √ 13 Nếu y = 1: Ta có phương trình x = x + 3 ⇔ x = 2 Nếu y = −7: Ta có phương trình x2 + 7x + 21 = 0 (vô nghiệm) √ √ 1 + 13 1 − 13 Vậy phương trình (2.1)... 0 có phải là nghiệm phương trình không 25 Trường hợp x = 0: a +n x+ x (2) ⇔ + a x+ +m x+ x x+ a Đặt y = x + Điều kiện: |y| x a +q x =b a +p x 2 |a| ta có phương trình y+n y+q + =b y+m y+p Giải phương trình ẩn y sau đó tìm x Ví dụ: Giải phương trình: x2 − 3x + 5 x2 − 5x + 5 1 − 2 = − (3.1) 2 − 4x + 5 x x − 6x + 5 4 Điều kiện: x = 1, x = 5 x = 0 không phải là nghiệm của phương trình Xét x = 0 : 5 −3... ab + cd 2 Đặt y = x + px + 2 [4] Phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c a+b Đặt x = y − (4) trở thành: 2 a−b y+ 2 4 (c > 0) (4) a−b + y− 2 4 =c 20 Sử dụng khai triển nhị thức bậc 4, ta thu được phương trình: 4 2 2 2y + 3(a − b) y + 2 a−b 2 4 =c Giải phương trình trùng phương ẩn y để tìm x Ví dụ: Giải phương trình: (x + 2)4 + (x + 4)4 = 82 (4.1) Đặt y = x + 3 Phương trình (4.1) trở thành: (y + 1)4