Chuyên đề bất phương trình ôn thi THPT quốc gia (có lời giải chi tiết) Chuyên đề bất phương trình ôn thi THPT quốc gia (có lời giải chi tiết) Chuyên đề bất phương trình ôn thi THPT quốc gia (có lời giải chi tiết) Chuyên đề bất phương trình ôn thi THPT quốc gia (có lời giải chi tiết) Chuyên đề bất phương trình ôn thi THPT quốc gia (có lời giải chi tiết)
Trang 2Bài 1: Giải bất phương trình x+ 1 −x2 ≥ 2 3 − x− 4 x2
x x
x
Hướng dẫn: Điều kiện: x≥ 1
- Bất phương trình đã cho tương đương với
0410249
42321
≥++
−+
−
−+
6 1
1
1 ) 2 (
0 3 ) 1 3 ( ) 2 ( 2 2 3
) 6 3 ( 2 1 1 2
0 ) 2 6 9 )(
2 )(
2 2 3 ( 2 ) 1 1 (
2 2 2
−
+ +
−
− +
−
−
⇔
x x
x x
x x
x
x x
x
x x x
x x
- Dễ thấy (3 1) 3 ( 3 1 1 ) 3 1 0 , 1
2 2 3
6 1
−
+ +
x
- Hơn nữa (1) ⇔ x− 2 ≥ 0 ⇔x≥ 2 Kết hợp điều kiện thu được x≥ 2
Bài 3: Giải bất phương trình sau: 1 log+ 2x+log2(x+2)>log 2(6− x)
So sánh với điều kiện KL: Nghiệm BPT là 2 <x< 6
Bài 4: Giải bất phương trình 1 , ( )
4 2 2
7 1 19
22 9
2 3
2 3
R x x
x x
x x x x
∈
>
− + +
−
− + +
≥
0422
1
2 3
x x x x
≥
− +
- Bất phương trình đã cho tương đương với
0 2 17 24 8
1 1 4
2 2 7
1 19
22
>
− +
− +
−
−
⇔
− + +
>
−
−
− +
x
Trang 3) 1 ( 0 1 ) 1 2 ( 2 1 1
1 ) 2 ( 0 ) 1 8 8 )(
2 ( 1 1
−
−
x x
x x x
x
x
- Rõ ràng 2 ( 2 1 ) 1 2 ( 2 1 ) 1 1 0 , 1
1 1
Bài 5: Giải bất phương trình: 5( ) 5( ) 1( )
5 log 4x+ 1 − log 7 2 − x ≤ + 1 log 3x+ 2
x x
x
Hướng dẫn: Điều kiện: x∈R. Khi đó :
0 ) 5 2 1
2 ( 2 ) 5 2 2
)(
1
≤ +
−
− + +
+
− + +
05
21
2
547)52)(
1(2522
14
)1(
0)521
2
)13(25
22
)(
1(
0521
2
)13)(
1(2)
522
)(
1(
0521
2
)524
4(2)522
)(
1(
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
+
−++
−+
++
−+
++
⇔
≤+
−++
−+
+
−++
⇔
≤+
−++
−+
++
−++
⇔
≤+
−++
−+
−++
+
−++
⇔
x x x
x x x
x x
x x x
x
x x x
x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
- Do 7 2 − 4 + 5 = ( − 2 ) 2 + 6 2 + 1 >
x x
x 2 4
15x 40x 20 0
− + + > + > ⇔ + > + ⇔ + − >
− + +
Trang 4Bài 8: Giải bất phương trình: x2 +5x<4 1( + x x( 2+2x−4)) (x∈ R)
Hướng dẫn: x2+5x<4 1( + x x( 2+2x−4)) (*)
- ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥ 0 ⇔ 1 5 0
x x
2 2
Trang 5- Ta có với
2
2 2
2 2
) 2 (
R x x
x x
x
∈ + +
≥ + + + + +
Hướng dẫn: Điều kiện:
2
1)
1(0)3)(
1(265
2
1
0)32(265
2762
4215
−
⇔
≥+
−++++
−
≥
−+++
−+
⇔++
≥+++
−+
⇔
x x
x x
x x x
x
x
x x x
x x
x x x
Chú ý rằng
2
5 ,
0 ) 3 ( 2 5 5
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x≥ 1
Bài 12: Giải bất phương trình 2 1 2 2x 8 x
Hướng dẫn: Điều kiện của bất phương trình:
2 2
- Với − ≤2 x< ⇒0 bất phương trình đã cho luôn đúng
- Với x≥ ⇒2 bất phương trình đã cho ⇔ 2 x− 2 + 2(x− 2)(x+ 2) ≥x x
Trang 6Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là [− 2;0)∪{1 + 5}
Bài 13: Giải bất phương trình sau : 2
x x
- Nhận xét x = 1 không thỏa mãn bài toán, do đó 2x−1 ≠ x
- Bất phương trình đã cho tương đương với
2
133,2
1330
131
22
12
22133)
12(3)
12(
)1(3
2 2
2 2
2 2
2 2
≥
−
⇔+
x x x
x x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm
2 2
x
x x
x
Trang 7+) Ta có bất phương trình đã cho tương đương với
)12
(
02)
52)(
12()252)(
12
(
02)
5124(2912
4
2 2
2 3
2 2
2 3
−
−
−+
−
x f x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
x x x
x x
x x
2 0
) (
t
x t x
f
Do vậy ta có phân tích
1 2 2
)(
2 2
( 2 )
5 2 ( 2 5 2 )
+
− +
−
x f
Khi đó (1) (2 1)( 2 2 2)(2 2 2 1) 0
≤+
−+
)(
1 2
≤ +
1
2x− = ⇔x= (không thỏa mãn)
442
22
x x
2 2
2
0 1 2
2 2
x x
x x
2
0 1 2
x x
x
Kết hợp với đk ta được x≤ 0
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là x=2;x≤ 0
Bài 17: Giải bất phương trình: 5( ) 5( ) 1( )
5 log 4x+ 1 − log 7 2 − x ≤ + 1 log 3x+ 2
4 x 2
− < <
+ BPT ⇔log 45( x+1)+log 35( x+2)≤ +1 log 7 25( − x)
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
Trang 8Giao với điều kiện, ta được: 1 1
Bài 19: Giải bất phương trình 8x3−2x≥(4+ x−1)(x+14 8+ x−1)
Hướng dẫn: Điều kiện : x≥ 1
Bài 20: Giải bất phương trình: (x +2)( 2x + −3 2 x +1)+ 2x2 +5x +3 ≥1
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ − 1
Trang 9TH1:
11
5
0252
035010
x x
x x
5 3 2 5 2
47 14 2 5
3 2 5 2
2
2 2
>
− + +
−
x x
x
x x x
x x
- Bất phương trình đã cho tương đương với
0 2 5 11 2 3 ) 2 ( 5 ) 5 11 2
(
2
0 2 ) 5 )(
1 2 ( 3 20 27 4
) 5 )(
2 )(
1 2 ( 6 45 9 2 5 2 3 50 10
2 2
2
2 2
≥
− +
− +
−
− +
x x
x x
x x
x x
x
x x x x
x x x
2
22 6
; 2
22 6 0
7 12 2 2 5
11 2
0 ) 5 2 )(
( 0 3 5 2
2 2
2 2
−
⇔
−
≥ +
−
⇔
≥ +
−
x x
x x x
x x
b a b
a b a ab
b a
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm
S
Bài 22: Giải bất phương trình 3x2 12x 5 x3 1 x2 2x
−+
−
≤+
−
0 ) 2 ( 1
0 5 12
−
x x
x x
x x
Bất phương trình đã cho tương đương với
) 1 ( ) 1 )(
1 ( 2 1 2 5
12
− +
+
− +
−
− +
≤ +
x
0
232
)23(3)(
0)1(
.2)(
1(26102
2 3 2
2 2
3
2 2
3
≥+++
−+
+
−
−++
⇔
≥++
−
−+
−+
−
⇔
x x x x
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
Trang 10) 1 ( 0 2 3 2
2 3 3
2 2
3
2
≥ + +
+
− +
+ +
x x x x x
x x
Đặt 3 32 2 ( 0 )
2
≥
= + +
+
−
t t x x
x
x
) 2 ( 0 2 4 2
3 1
3
1 0 2 3
≥ + +
⇔ + +
≤ +
−
Nhận thấy (2) nghiệm đúng với x≥ 2 Kết luận nghiệm S =[2;+∞)
Bài 23: Giải bất phương trình: 3 2 4 2 2 3
11
x x
++
x x
+
Suy ra mọi giá trị x > -1 đều thỏa mãn bất phương trình
Vậy kết hợp với điều kiện, bât phương trình có tập nghiệm là S= − +∞( 1; )
Bài 24:Giải bất phương trình sau:
2 2
Trang 11−+
x
Hướng dẫn: Điều kiện: x≥ 1
Bất phương trình đã cho tương đương với
)2(22
.3
4)
2)(
(3822)2)(
(6
101211)2)(
1(6)2(
9
2 2
2 2
2 2
2 2
++
<
+
−
⇔++
<
−
−+
−++
x x x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
x x x
x x x
x x
b
x x
57 5 2
57 5 0
8 5
0 2 2 8
x
x x
x x x
x x
x x x b a
0 2 2 8
x x
x x x
x x
x x x b a
Trang 12Bài 27: Giải bất phương trình 2.14x 3.49x 4x 0
3 3
t
t t
−
= log 3 ;
2 7
S
Bài 28: Giải bất phương trình 4 2 1 45 3 75 2 30 4 ( )
R x x x
x x
4 ) 1 (
0 1 ) 1 3 ( 5 ) 1 ( 1 1 2
) 2 2 ( 4
0 ) 4 30 45
)(
1 ( ) 1 1 2 ( 4
0 4 34 75
45 4 1 2 4
2 2 2
2 3
− +
−
−
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x x
x
- Nhận xét
2
1 , 0 1 ) 1 2
1 3 ( 5 1 ) 1 3 ( 5 1 1 2
; 2 1
Bài 29: Giải bất phương trình: log (2 x−2) log+ 0,5x< 1
Hướng dẫn: Điều kiện: x> 2
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bpt là x> −2
Bài 30: Giải bất phương trình: 3 2 3 2
Trang 13x−
Trang 14Từ (1) và (2) suy ra ( ) 0 g x > ∀ > x 0
+ f x( ) 0> ⇔x− >4 0⇔x> Kết hợp ĐK suy ra đáp số: 4 x> 4
Bài 31: Giải bất phương trình 3 8 3 2 2 9 1 ( )
R x x x
x
0)3)(
3(
20
1
092
08
2 2
3 3
x x x x
x x x
Bất phương trình đã cho tương đương với
2 3
3 2
3 3
2 0
) 3 3
2 (
0 3 3
3 2 2
3 2
3
) 1 )(
3 ( 2 2
) 1 )(
3 )(
3 ( 2 1 9 2 8
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
3 3
−
=
⇔ + +
− +
− +
x x
x
x x x
x x
x x
x
x x x x x x x
x
x x x
x x
x
x x x x x
x x x
Đối chiếu điều kiện, kết luận bất phương trình đã cho vô nghiệm
Bài 32: Giải bất phương trình : 2
1 22
Trang 1565
1)(
2(
03117
22
65
2)
2(
2
0)3(117)2(65422
2
2 2
2 2
>
−+++
++++
++
−++++
++
−+
−++
−
−
x x
x x
x x
x x
x x x
x
x x x
x
x x
x x
x x
+ Nhận xét
5
6 ,
2 5
13 5
6 3
1 5
6 2
1 3 11 7
1 2
6 5
+ + +
x x x x
Hướng dẫn: Điều kiện x≥ − 2
+ Nhận xét x = -2 thỏa mãn bất phương trình đã cho
+ Xét trường hợp x >-2 thì bất phương trình đã cho tương đương
0 6 3 ) 1 ( 2 2
2
2
≥ + +
− + + + +
− +
x
Trang 16) 1 ( 0 6 3 2
1 2
2
1 )
2 )(
1 (
0 6 3 2
) 2 )(
1 ( 2 2 2
6 3 2 )(
1 ( 2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
+ +
+ + + +
−
⇔
≥ + + +
− + +
+ + + +
− +
⇔
+
− + + +
− + +
⇔
x x
x x
x x
x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x
632
12
2
1)
++
+++
x x
x x
x
x x
x t
Trang 17Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 2 1; 2 2 5;1
213(
)213)(
213()213)(
13(
134)213)(
13(
)13(2152)213)(
13(
2 2
<
−
−+
−+
⇔
++
−+
>
−++
⇔
++
−
>
−++
⇔
+
−++
>
−++
x x x x
x x
x x
x x
x
x x x
x x
x x x
x x x
x
+ Ta có
3
1 ,
0 1 1
3x+ +x+ > ∀x≥ − nên
1 1 3
) 1 ( ) 2 1 3 (
>
−
− +
⇔
>
+ + +
−
− +
x x
x x x x
Xét hai trường hợp xảy ra
) 1 (
x
x x
1 0
0 0
1 3 4 0
0 2
1 3
x x x
x x x
x x
x
0134
10
21
) 3 4 5 3 ( 2
R x x x
x x
x
∈ +
<
+ +
+
− +
53343
7
333
501029346
7
333
5)
733()152912
(
4
7
333
5
733152912
225152912
28
7
534532
.5)3453
(
2
)392)(
392(5)345
3
(
2
2 2
2
2 2
−
⇔
<
−+
−
⇔
<
−+
−
⇔
−++
+
<
−+
−
x x
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
x x
x x
Trang 18x 2 4
15x 40x 20 0
− + + > + > ⇔ + > + ⇔ + − >
− + +
Bài 43: Giải bất phương trình: log0,2 x + log (x 1)0,2 + < log (x0,2 + 2)
Hướng dẫn: Điều kiện: x > 0 (*)
⇔ x2 + x > x +2 ⇔ x > 2 (vì x > 0)
Vậy bất phương trình có nghiệm x > 2
Bài 44: Giải bất phương trình: x2+20x+4+ x ≤2x+ 4
Hướng dẫn: Điều kiện: x 0 (*)
Bất phương trình thành: t2+16 2t 1≤ −
1 t
t 3 2
x + ≥ ⇔ ≥ < ≤Kết hợp với điều kiện (*) và nghiệm x = 0 ta được tập nghiệm bpt là S = [0; [ ;1]∪4 +∞]
Bài 45:Giải bất phương trình: 300 2 40 2 10 1 3 10 0
Trang 19Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là: 1 3
5≤x≤10
Bài 46:Giải bất phương trình: (x +2)( 2x + −3 2 x +1)+ 2x2 +5x +3 ≥1
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ − 1
Trang 2011
2 2
x x
Trang 21Bài 49: Giải bất phương trình sau 3 1 1 2