Chuyên đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ôn thi THPT quốc gia (có lời giải chi tiết)

Chuyên đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ôn thi THPT quốc gia (có lời giải chi tiết) Chuyên đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ôn thi THPT quốc gia (có lời giải chi tiết) Chuyên đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ôn thi THPT quốc gia (có lời giải chi tiết) Chuyên đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ôn thi THPT quốc gia (có lời giải chi tiết)

TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH

MIN - MAX

(ÔN THI THPT QUỐC GIA)

Bài 1: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: x+y+z= 1

Bài 2: Cho x, y, z là ba số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 3

Chứng minh rằng với ∀ ≥a 1 ta luôn có : 1x 1y 1z x x y y z z.

a +a ≤a +a (2) z z x x x z z x

a +a ≤ a +a (3) Cộng vế với vế (1) ,(2) và (3) ta được 2( x x y y z z) y x z z y x x z y

Suy ra 1x 1y 1z x x y y z z.

a +a +a ≥ a +a +a ( do x + y + z = 3 )

Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x = y = z = 1 (đpcm)

Bài 3: Cho a b c, , là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ab bc+ +ca= 3.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc= 1,ab bc+ +ca= ⇒ 3 a=b= =c 1, ( , ,a b c> 0).

Bài 4: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn −1−2 2<x<−1+2 2,y>0,z>0 và

1)

(

1)

(

1

z y z

x y

++

Hướng dẫn

) 1 ( 8

1 )

1 (

1 )

1 (

1 )

1 ( 8

1 )

1 (

1 )

1 (

1

x z

y x

y z

P

+

−

+ +

+ +

1 )

1 (

1 )

1 (

1

2 2

1 (

1 )

1

(

1

y z y

z yz yz

z

2 2

2 2 2

2

)()1)(

(2

)

1

(

)1(2))(

1()1(2)1

)(

(

2

y z zy y

z zy

yz zy z

y zy yz

zy y

z

+++++

+

≥

++

−+

+++++

⇔

0 4 ) ( ) 1 ( 2

4 2 ) )(

1

0 ) 1 ( )

) 1 ( 2

2 2

2

x x

z y

Do đó 2 2 2 2

)1(444

)1(1

11

1)

1(

1)

1

(

1

x x

yz z

+

≥+

≥+

++

2

2 8 ( 1 )

1 )

≥

⇒

x x

≥

8

1 4

4

Xét

t t t

f

−

+ +

=

8

1 4

4 )

)8()4(

240723)

8(

1)

4(

4)

('

t t

t t t

t t

f

−+

−+

−

=

−

++

−

=

20

; 4 0

240 72 3 0

∞+

4 3

Do đó

4

3 ) ( ≥

=

=

= +

1

3 1

1

4 ) 1

z y x z

y x

z y x

Vậy

4

3 min =P khi x= − 3 ,y=z= 1

Bài 5: Cho x,y ∈ R và x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của ( 3 3) ( 2 2)

− ≥ − nên ta có 2

3 2

2 2

(3 2) 4

2 1

4

t t

t t

t P

Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương

* Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được

≤ + = Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =1/3

Bài 8: Cho a b c, , là các số thực dương và a b c+ + =3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

6, đạt được khi và và chi khi : a= = =b c 1

Bài 9: Cho a b c, , là các số dương và a+ + =b c 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 10: Cho a, b, c là các số dương và a+ + =b c 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 11: Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a2009 + b2009 + c2009 = 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a4 + b4 + c4

Hướng dẫn

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2005 số 1 và 4 số a2009 ta có:

2009

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4 2005

1 1 1  + + + +c +c +c +c ≥ 2009. c .c .c .c = 2009 (3)c

Từ (1), (2), (3) ta được: 6015 4( + a2009 +b2009 +c2009 ) 2009( ≥ a4 +b4 +c4 )

⇔ 6027 2009( ≥ a4 +b4 +c4 ) Từ đó suy ra P=a4 +b4 +c4 ≤ 3

Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3

Bài 12: Cho x, y, z ≥ 0thoả mãn x + y + z > 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 16

Giải BĐT (*) giao với điều kiện 0 < x < 4 ta đươc: 3 − 5 ≤x≤ 2

+ Khảo sát hàm số t theo biến x với 3 − 5 ≤x≤ 2ta tìm được: 5 5 5 1

P = đạt được chẳng hạn khi x = 2, y = z = 1

Bài 14: Cho các số thực x y; thay đổi

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:P= x2+y2+2x+ +1 x2+y2−2x+ +1 y−2

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1

Vậy MinP 3= khi a = b = c = 1

Bài 16: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz

12 6

Xét hàm số g t( ) ln = t+ 3t trên (0; +∞ ), ta có g t'( ) 1 3 0

t

= + > với ∀ >t 0, suy ra g t( )đồng biến trên (0; +∞ ), từ đó g x( +y+ 1) =g(3 )xy ⇔ x+y+ = 1 3xy (*)

x+y ≤ xy ≤ (4) Từ (2), (3), (4) ta có 5 1 12

t M

4 4

) 1 )(

1 ( ).

1 ).(

).(

1 ).(

) 1 )(

1 ( ) (x+y x+ y+

y x

Áp dụng BĐT Côsi cho các số dương x, y ta có :

27 4 27 4 1

3 3 3

1

3 4 4 4 3 4

=

27 4 27 4 1

3 3 3

1

3 4 4 4 3 4

=

) 1 )(

1 ( )

9 6

3 3

3

4 3

4

y x

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 20: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện (x+y) 3 + 4xy≥ 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức 3 ( 2 2 ) 2 2 ( ) 2 ( 3 4 ) 2015

+

−

− +

− +

P (x y ) 2(x y ) 2015 4

Đặt x 2 + y 2 = t thì t 1

2

≥ (do x y 1) + ≥ Xét hàm số 9 2

f (t) t 2t 2015 4

1 32233 min f (t) f

Bài 21: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

Bài 22 : Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: xyz = 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = log23x+ +1 log23y+ +1 log23z+1

Hướng dẫn

NX: những dạng bài có dạng a2+b2 + m2+n2 rất có thể sẽ áp dụng được phương pháp BĐT vec - tơ

- Trong mp(Oxy), gọi a=(log ;1),3x b=(log ;1),3y c=(log ;1)3z

Vậy minP = 10 khi x = y = z = 33

Bài 23: Cho ba số thực a, b, c thỏa: a∈[0;1 ,] b∈[0;2 ,] c∈[0;3]

bc+ +b+ + +b cb+b bc+ + = (điều phải chứng minh)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Bài 26: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + + = b c 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

11

3 1

abc

abc abc

++

2

, t 0;11

3 1

t Q

t t

++

P = , đạt được khi và chỉ khi: a=b=c=1

Bài 27: Cho 3 số thực x y z, , khác 0 thỏa mãn: x + y+z = 5 và x y z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 1 1 1

= + +

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 4 2+

Dấu “=” khi : x= y = + 1 2,z= 3 2 2 − hay x= z= + 1 2, y 3 2 2 = −

hoặc x= y = 3 2 2, − z= + 1 2 hay x= z= 3 2 2, − y= + 1 2

Bài 28: Cho x, y, z là các số thực dương

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 29: Cho a, b, c không âm và a2 +b2 +c2 = 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=ab bc+ +ca+ 5a 5 + b+ 5c+ 4

Hướng dẫn

2

c a c b b

) 1 ( 4

) ( ) )(

)(

(

3

c a c a c b

5 2 5

0 ) ( 3 )

5

(

4

) ( 2 ) ( ) (

4

2

2 2

2 2

2

x c

a va

x

c a x

c a c

a ca bc ab c b

3 2

4

)

(

x x

x c

) ( '

; ) 2

5 5 ( 5

f x x

x

f

Ta có: f( 0 ) = 0 ; f( 2 ) = 6 3 ; f( 5 ) = 0

1

2

52

2

2 2 2 2

2

b a

c b a

a c

a b

ca bc ab

c b a

c a

c b b a x

Bài 31:Cho các số thực dương x, y, z

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z

Vậy Max P = 1 khi x = y = z

Bài 32: Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4

b c2 c d2 d a2 a b2 2

1 + +1 + +1 + +1 + ≥

Hướng dẫn

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1

Bài 33: Cho a,b là hai số thực dương thỏa 2 5

4

a+ =b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1

2

(1 ) (1)

2 4 4 4 2

+

= − ≥ − = − ≥ − = − − +

 + + +  + + + = + + ≤   =

  Dấu "=" xảy ra ⇔ a+c = b+d

• abc bcd cda dab ab c d( ) cd b a( ) a b (c d) c d (b a)

 +   +  + + + = + + + ≤   + +   +

   

⇔ abc bcd cda dab (a b c d)( ) a b c d (a b c d)( )

4 4

 + +  + + + ≤ + +  +  = + +

a b c d abc bcd cda dab

2

4 2

Suy ra F ≥5 MinF =5 đạt khi

28

11

4

15

4

a a

a b

− ≥ − nên ta có 2

3 2

2 2

(3 2) 4

2 1

4

t t

t t

t P

Bài 35: Cho các số thực dương a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn 2a c≤ và ab bc+ = 2c2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a b c

Bài 36: Cho a b c, , là các số dương và a+ + =b c 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Theo giả thiết x = y = 4 nên

2 3



x x

Bài 38: Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x (y z)2 y (z x) z (x y)2 2

P ≥ 2(x + y + z) = 2 ∀x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 1

Hay giá trị nhỏ nhất của P bằng 71

/

(2 6) 8 24.2

Khi x=y=z=1 thì P= Do đó giá trị lớn nhất của P là

Bài 42: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

Vậy min ( ) 2f x = khi x= 2 và m ax ( ) 12 2 4 7f x = + khi x= 8

Bài 43: Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x2 +y2 + (3x− 2)(y− 1) 0 =

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=x2+y2+ + +x y 8 4− −x y

x y

Bài 44: Cho a,b,c là các số thực không âm và thỏa mãn a+ + =b c 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= − 2(ab bc+ +ca) 3 + 27a b c2 2 2 − 3(a2 +b2 +c2 ) 6( + ab bc+ +ca)

Bài 45: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a+ + =b c 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b 9 c

+ Theo cô – si có 22+ 2b + 2c≥ 3 23 a b c+ + = 6 Tương tự …

+ Vậy M ≥3 29. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c= 1.

Bài 46: Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn x+y+ =z 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

Bài 47: Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 2x + 3y + z = 40

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = 2 x2 + + 1 3 y2 + 16 + z2 + 36

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 20 5đạt được khi : x= 2,y= 8,z= 12

Bài 48: Giả sử x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x2 +y2 +z2 = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 3 3 3 33 3.

xy yz x y y z P

Suy ra bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có 5 ,

12

P ≤ dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t =2 hay 1

3

x= y= z= Vậy giá trị lớn nhất của P là 5 ,

12 đạt được khi 1 .

3

x= y= z=

Bài 49: Cho a b c, , là các số thực dương thoả mãn ab bc+ +ca= 7abc

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S 8a42 1 108b25 1 16c62 1

Giả thiết tương đương với 1 1 1 7

Do a,b,c dương và a+b+c =1 nên a, b, c ∈( )0;1 ⇒ − 1 a;1 b;1 c − − dương

Áp dụng bđt Cô si cho 3 số dương ta được