Chuyên đề khoảng cách và thể tích khối đa diện hoàng văn phiên file word có lời giải chi tiết image marked

CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ÔN TẬP KIẾN THỨC LỚP 8-9-10 A MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Cho tam giác ABC, BC = a: cạnh huyền, AB, AC cạnh góc vng, AB = c, AC = b Đường cao AH = h, BH = c’, CH = b’ Trung tuyến AM Định lí Py-ta-go: BC2 = AB2 + AC2 AB2 = BH.BC = c',AC2 = CH.BC = b'.a AB.AC = AH.BC 1 = + 2 AH AB AC2 BC = 2.AM sinB = AC AB AC AB ,cosB = ,tanB = ,cot B = BC BC AB AC b = a.sin B, c = a.sin C, sin B = cos C B MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG Định lý hàm số sin: a b c = = = 2R sinA sinB sinC Định lý hàm số cosin: a2 = b2 + c2 − 2bc.cosA C CÁC CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH 2 Tam giác thường S = a.h = ab.sinC = Tam giác vuông A: S = abc a+ b + c = p.r = p(p − a)(p − b)(p − c),p = 4R a2 AB.AC , tam giác cạnh a: S = Hình vng ABCD: S = AB.AD Hình chữ nhật ABCD: S = AB.AD Hình thoi ABCD: S= AC.BD/2 Hình thang ABCD(AB//CD): S= h(AB+CD)/2, h chiều cao hình thang Hình bình hành: Đáy x chiều cao Tứ giác thường ABCD: S = AC.BD.sin(AC,BD) Hình tròn: S = .R2 D CHÚ Ý http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Đường cao tam giác, đường trung tuyến tam giác, đường phân giác, đường trung trực Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội ngoại tiếp tam giác LỚP 11: A QUAN HỆ SONG SONG Đường thẳng song song với mặt phẳng: a // (P) a  (P)=  d  (P)  a d / /a  d / /(P) a  (P)  a / /(P)  b a  (Q)  d / /a (P)  (Q) = d  (P)  (Q) = d  c a / /(P)  a / /d a / /(Q)  Hai mặt phẳng song song: (P) // (Q)  (P)  (Q) =  a,b  (P)   (Q) / /(P) a a  b = I a / /(P),b / /(Q)  P / /(Q)  a / /(Q) a  (P) b  (P) / /(Q)  c (R)  (P) = a  a / /b (R)  (Q) = b  B QUAN HỆ VUÔNG GĨC Đường thẳng vng góc mặt phẳng: a ⊥ (P)  a ⊥ c, c  (P) a,b  (P)   d ⊥ (P) a a  b = I d ⊥ a,d ⊥ b   d ⊥ (P)  d ⊥ a  d' ⊥ a , (ĐL đường vng góc - d’ hình chiếu d a  (P)   b  (P)) Hai mặt phẳng vng góc: (P) ⊥ (Q)   (P, Q) =900 a  (P)  (P) ⊥ (Q) a ⊥ (Q) a  (P) ⊥ (Q) A  (P)   a  (P) c  A  a  a ⊥ (Q) (P) ⊥ (Q)  b (P)  (Q) = d  a ⊥ (Q) a  (P),a ⊥ d  (P)  (Q) = a  a ⊥ (R) (P),(Q) ⊥ (R)  d  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN C KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng khoảng cách từ điểm đến hình chiếu đường thẳng, mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng Khoảng cách hai đường chéo đoạn vng góc chung D GĨC Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm, a’//a, b’//b Góc đường thẳng a mặt phẳng (P), a khơng vng góc với (P) góc a hình chiếu a’ a (P) Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng góc hai đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc giao tuyến điểm Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích hình (H) mp(P), S’ diện tích hình chiếu (H’) hình (H) mp (P’) đó: S ' = S.cos ,  = (P, P') LỚP 12: A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Thể tích khối lăng trụ: V=B.h Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc Thể tích khối lập phương cạnh a: V = a3 Thể tích khối chóp: V = B.h Tỉ số thể tích: Tứ diện SABC, A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC SA SB SC = VA ' B' C' SA ' SB' SC' B CHÚ Ý: Đường chéo hình vng cạnh a a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Đường chéo hình lập phương cạnh a a 3 Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c a2 + b2 + c2 Trong tam giác cạnh a đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác có độ dài a , đường xuất phát từ đỉnh trùng Nên trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội ngoại tiếp tam giác trùng nhau, (chú ý đường trung trực) CÁC LOẠI BÀI TẬP A - HÌNH VẼ TRONG KHƠNG GIAN Quan trọng bậc việc vẽ hình khơng gian xác định đường cao (hay chân đường cao) I Hình chóp Hình chóp có cạnh vng góc đáy cạnh đường cao Hình chóp có mặt bên vng góc đáy đường cao đường kẻ từ đỉnh hình chóp vng góc với giao tuyến mặt bên với mặt đáy Hình chóp có mặt bên kề vng góc đáy đường cao giao tuyến hai mặt Hình chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Trong trường hợp đáy tam giác tâm giao đường trung trực Khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp đáy Trong trường hợp đáy tam giác tâm giao đường phân giác Hình chóp có mặt bên kề tạo với đáy góc chân đường cao nằm đường phân giác góc tạo giao tuyến hai mặt bên với đáy Hình chóp có hai cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao thuộc đường trung trực đoạn thẳng nối giao điểm hai cạnh bên nói với đáy II Hình lăng trụ Nếu lăng trụ đứng đường cao cạnh bên Nếu lăng trụ xiên đường cao đường hạ từ đỉnh mặt đến mặt nên giống đường cao hình chóp http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN III Chú ý Hình chóp hình chóp có cạnh bên đáy đa giác Hiển nhiên chân đường cao trùng tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Hình chóp có đáy đa giác đáy đa giác đều, cạnh bên chưa Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác cạnh bên Lăng trụ có đáy đa giác chưa lăng trụ đứng B - KHOẢNG CÁCH TRONG KHƠNG GIAN Bài tốn Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Các bước xác định khoảng cách từ điểm A đến (P): Bước 1: Xác định mp (Q) chứa A, (Q) ⊥ (P ) , (Q)  (P) = d Bước 2: Kẻ đường cao AH ⊥ d , H d  AH ⊥ (P)  d(A,(P)) = AH Bước 3: Tính AH Ví dụ Cho hình chóp S.ABC, SA vng góc với đáy, SA=3a, AB=a, ABC = 600 Tính d(A,(SBC)) Giải: Trong tam giác ABC ta dựng đường cao AK, nối SK Do AK hình chiếu vng góc SK lên (ABC) AK ⊥ BC  theo định lý đường vng góc SK ⊥ BC BC ⊥ (SAK) Kẻ AH ⊥ SK H (1) Mà BC ⊥ (SAK)  BC ⊥ AH (2) Từ (1) (2) AH ⊥ (SBC)  d(A, SBC) = AH Tính AH? Nhận xét thấy tam giác SAK vuông A, AH đường cao nên ta có: 1 = + 2 AH AS AK http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN SA có nên ta cần tính AK Xét tam giác ABK vng K, sinB = AK a  AK = AB.sinB = a.sin600 = AB 1 13 9a2 13a  = 2+ 2 =  AH =  AH = 2 AH 9a 3a AH 9a 13 13  d(A,SBC) = 13a 13 Bài tương tự Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc đáy, SA=2a, AC=a, ACB = 1200 Tính d( A,(SBC)) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAB tam giác cân S nằm mặt phẳng vuông góc đáy Góc SC mặt đáy 600 Tính d( H,(SCD)) biết H trung điểm AB Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA vng góc đáy, góc SB mặt đáy 300 góc SD mặt đáy 600 biết SA = a Tính d( A,(SBC)) ,d( A,(SDC)) , d( A,(SBD)) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B, AD = 2AB = 2BC = 2a, SA vng góc đáy Tính khoảng cách từ A đến (SCD) biết góc SC đáy 600 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật SA=SC, SB=SD=2a Tính khoảng cách từ O đến (SCD) biết O tâm đáy góc mặt (SAD) đáy 600 KỸ THUẬT DỜI ĐIỂM Dời điểm song song: Yêu cầu cần tính d(M,(P)) = k Ở MA//(P)  d(M,(P)) = d(A,(P)) = k Dời điểm cắt nhau: u cầu cần tính d(M,(P)) = ?Trong A (A,(P)) = k Ở MA  (P) = I  d(M ,(P)) IM (Tự CM) d(A ,(P)) IA http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc đáy, ABCD hình chữ nhật, SA=a, góc SB, SD mặt đáy 300, 600 a Tính khoảng cách từ D đến (SBC) b Tính khoảng cách từ B đến (SCD) Giải Ta có AB, AD hình chiếu SB, SD lên mặt đáy nên (SB,(ABCD)) = (SB,AB) = SBA = 300 (SD,(ABCD)) = (SD,AD) = SDA = 600 a Tính khoảng cách từ D đến (SBC) Có AD//BC  AD//(SBC)  d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) Do AB ⊥ BC  SB ⊥ BC (định lí đường vng góc)  BC ⊥ (SAB) Kẻ AH vng góc SB H (1) Mà BC ⊥ (SAB)  BC ⊥ AH (2) Từ (1) (2) suy AH ⊥ (SBC) Xét tam giác AHS vng H có sinS =  d(D,(SBC)) = d(A ,(SBC)) = AH A AS a b Tính khoảng cách từ B đến (SCD) Có AB//DC  AB//(SDC) d(B,(DSC)) = d(A,(SDC)) Do AD ⊥ DC  SD ⊥ DC (định lí đường vng góc)  DC ⊥ (SAD) Kẻ AK vng góc SD K (3) Mà DC ⊥ (SAD)  DC ⊥ AK (4) Từ (3) (4) suy AK ⊥ (SDC ) Xét tam giác AKS vng K có sinS = AK a a  AK = AS.sinS = asin300 =  d(B,(DSC)) = d(A,(SDC)) = AS 2 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, E trung điểm BC Góc SC mặt đáy 600 Tính khoảng cách từ E đến (SCD) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Giải Do AC hình chiếu SC mặt đáy nên (SC,( ABCD)) = (SC, AC) = SCA = 600 Ta biết cách tính khoảng cách từ chân đường vng góc A đến mặt (SCD) Vậy ta rời điểm E A sau Có AE  CD = I  AE  (SCD) = I  d(E,(SCD)) d(A ,(SCD)) = EI AI Dễ dàng tính EI = AI Vấn đề lại quen thuộc, tính khoảng cách từ A đến (SCD) Có AH ⊥ CD  SD ⊥ CD (định lí đường vng góc)  CD ⊥ ( SAD) Kẻ AH ⊥ SD H (1) Mà CD ⊥ (SAD)  CD ⊥ AH (2) Từ (1), (2) suy AH ⊥ (SCD)  d(A,(SCD)) = AH Tính AH= ? Xét tam giác SAD vng A có 1 = + (* ) 2 AH AS AD Xét tam giác SAC vng A có tanC = SA  SA = AC.tanC = a tan600 = a AC 1 6a2 a 42  = + =  AH =  AH = AH 6a a 6a 7  d(A ,(SCD)) = a 42 a 42  d(E,(SCD)) = d(A ,(SCD)) = 14 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Ví dụ D-2011 Cho hình chóp S.ABC đáy tam giác vng B, AB=3a, BC=4a, (SBC) vng góc mặt đáy Biết SB = 2a ,  SAC = 300, d(B,(SAC)) = ? Giải: Nhận xét: Ta thấy (SBC) ⊥ (ABC) có giao tuyến BC nên ta kẻ SH vng góc BC  SH ⊥ (ABC) Nếu ycbt tính khoảng cách từ H đến (SAC) ta dễ dàng thực tương tự phần trước Vì ta sử dụng kĩ thuật rời điểm mà ta nói Rõ ràng BH cắt (SAC) C nên ta sử dụng kĩ thuật rời điểm cắt Vậy ta có d(B,(SAC)) d(H(SAC)) = BC HC Trong tam giác vng SHB ta có: cosB =  CH = BC − BH = 4a − 3a = a  BH  BH = SB.cosB = 2a 3.cos300 = 3a SB CB =4 CH Ta tính khoảng cách từ H đến (SAC) Kẻ HM ⊥ AC  SM ⊥ AC (Định lí đường vng góc)  AC ⊥ (SHM) Kẻ HK ⊥ SM K (1) Do AC ⊥ (SHM) nên AC ⊥ HK (2) Từ (1) (2) suy HK ⊥ (SAC) d(H, SAC) = HK Lại có: SH = SB2 − BH2 = 12a2 − 9a2 = a 3,AC = BA + BC2 = 16a2 + 9a2 = 5a CMH CBA  CH MH AB.CH 3a.a 3a =  MH = = = CA BA AC 5a 1 1 25 28 3a = +  = + =  HK = 2 2 HK HS HM HK 3a 9a 9a 14  d(H,SAC) = 3a 3a 6a  d(B,SAC) = = 14 14 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, SA vng góc đáy, AB=BC=a, AD=2a góc SC với mặt đáy 600 Tính a Khoảng cách từ A đến (SCD) b Khoảng cách từ B đến (SCD) Giải Có AC hình chiếu SC mặt đáy nên (SC,(ABCD)) = (SC,AC) = SCA = 600 a Khoảng cách từ A đến (SCD) Gọi I trung điểm AD nên ta có IA=ID=IC=a Vậy tam giác ACD nội tiếp đường tròn tâm I đường kính AD Vậy AC CD ⊥  SC ⊥ CD (định lí …)  CD ⊥ (SAC) Kẻ AH vng góc SC H (1) Mà CD ⊥ (SAC)  CD ⊥ AH (2) Từ (1) (2) suy AH ⊥ (SCD)  d( A ,(SCD)) = a Xét tam giác AHC vng H có sinC = AH  AH = AC.sin600 = a = a  d(A ,(SCD)) = a AC b Tính khoảng cách từ B đến (SCD) Có BA  CD = E  BA  (SCD) = E  Ta có EBC EAD  d(B,(SCD)) d(A ,(SCD)) = BE AE EB BC BE a = =  d(B,(SCD)) = d(B,(SCD)) = EA AD AE Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA đường cao, tam giác ABC vuông A, AB=a, AC = a , góc SC đáy 45 độ G trọng tâm tam giác SAB Tính khoảng cách từ G đến (SBC) Giải Do AC hình chiếu SC (ABC) nên ta có (SC,(ABC)) = (SC,AC) = SCA = 45 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Vậy tam giác SAC vuông cân A Gọi N trung điểm SB AG  SBC = N  d(G,(SBC)) d(A ,(SBC)) = GN = AN Ta tính khoảng cách từ A đến (SBC) Kẻ AK vng góc BC K suy SK vng góc BC (Định lý )  BC ⊥ (SAK ) Kẻ AH vng góc SK H (1) Mà BC ⊥ ( SAK )  BC ⊥ AH (2) Từ (1) (2) suy AH ⊥ (SBC)  d(A,(SBC)) = AH Lại có tam giác SAK vuông A, tam giác ABC vuông A nên 1 1 1 1 a2 a 2 = 2+ = 2+ + = + + =  AH =  AH = 2 2 AH AS AK AS AB AC 2a a 2a a 2 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, SA đường cao, SA = a ACD = 300 , AC = a Tính khoảng cách từ trọng tâm G tam giác SAB đến (SCD) Giải Cách Rời điểm lần Ta có AG  (SAB), (SAB) (SCD) = d, d / /AB Gọi I = AG  d  AG  (SCD) = I  Có GAN  d(G,(SCD)) d(A ,(SCD)) = GI AI GIS (g.g), N trung điểm AB GI GS GI = =  GI = 2GA  = GA GN GA Còn lại ta tính khoảng cách từ A đến (SCD) Kẻ AK vng góc CD K suy SK vng góc CD (Định lý )  CD ⊥ ( SAK) Kẻ AH vng góc SK H (1) Mà CD ⊥ (SAK )  CD ⊥ AH (2) Từ (1) (2) suy AH ⊥ (SCD)  d(A,(CSD)) = AH Lại có tam giác SAK vng A suy ta có: 1 = + 2 AH AS AK http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Xét tam giác AKC vuông k  sinC = AK a 1 1 a 21  AK = AC.sin300 =  = 2+ = + =  AH = 2 AC AH AS AK 3a a 3a 2a 21  d(G,(SCD)) = d(A ,(SCD)) = 21 Cách Rời điểm lần Gọi N trung điểm AB, có NS  (SCD) = S  d(G,(SCD)) d(N,(SCD)) Lại có AN//(SCD)  d(N,(SCD)) = d(N,(SCD)) = AH = = GS 2 =  d(G,(SCD)) = d(N,(SCD)) NS 3 a 21 (Tương tự cách 1) 2a 21  d(G,(SCD)) = d(A ,(SCD)) = 21 Bài toán khoảng cách hai đường thẳng chéo Đoạn vng góc chung: Cho hai đường thẳng a, b chéo M thuộc a, N thuộc b, MN vng góc với a b nên MN gọi đoạn vng góc chung a b Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vng góc chung Cách xác định khoảng cách hai đương thẳng chéo a b: Bước 1: Xác định (P) chứa b (P)//a Bước 2: Lấy A thuộc a cho dễ tính khoảng cách từ A đến (P)  d(a,b) = d(a,(P)) = d(A,(P)) Loại Khoảng cách hai đường thẳng chéo vng góc KTCB Cho hai đường thẳng chéo a b, a vuông góc b ta xác định kc sau Bước Chứng minh a vng góc mp (P) chứa b H http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Bước Từ H kẻ HK vng góc b K Suy HK đoạn vng góc chung Thật vậy, ta có HK vng góc b mà HK nằm (P) Nên HK vng góc a Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a, SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc đáy Tính khoảng cách a SH CD với H trung điểm AB b AD SB Giải Do tam giác ABC nên SH ⊥ AB Lại có (SAB) vng góc đáy nên SH ⊥ ( BCD) a.Có SH ⊥ (ABCD) H mà (ABCD) chứa CD nên từ H ta kẻ đường thẳng vng góc CD I suy I trung điểm CD (Do ABCD hình vng) HI ⊥ DC  d(SH,CD) = HI = a HI ⊥ SH(vi SH ⊥ (ABCD)  Vậy ta có  AD ⊥ AB  AD ⊥ (SAB) A AD ⊥ SH(vi SH ⊥ (ABCD) b Ta có  Mà (SAB) chứa SB nên từ A ta kẻ AK vng góc SB K suy K Là trung điểm SB (Do SAB tam giác đều) AK ⊥ SB a  d(AD,SB) = AK = AK ⊥ AD(vi AD ⊥ (SAB) Vậy ta có  Ví dụ A-2010 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, M, N trung điểm AB, AD H giao điểm MD NC, biết SH vng góc đáy, SH = a 3.d(MD,SC) = ? Giải: Trước tiên ta chứng minh MD ⊥ CN Thật vậy, DAM = CDN nên C1 = D2 mà D1 + D2 = 900  D1 + C1 = 900  CHD = 900  MD ⊥ CN MD ⊥ SH   MD ⊥ (SCN) H MD ⊥ CN http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Mà (SCN) chứa SC nên từ H kẻ HK vuông góc SC K HK ⊥ SC   d(MD,SC) = HK HK ⊥ MD(vi MD ⊥ (SCN)) Lại có tam giác SHC vuông H(gt)  1 = + (1) 2 HK HS HC2 Trong tam giác vng CDN có 5a2 a  a CN = CD + DN = a +   = =  2 Mà CHD (1)  CDN  CH CD CD2 2a2 2a =  CH = = = CD CN CN a 5 1 19 2a 57 = 2+ 2=  HK = 2 HK 3a 4a 12a 19 Loại Khoảng cách hai đường thẳng chéo khơng vng góc KTCB Tìm mặt phẳng (P) chứa b (P)//a  d(a,b) = d(a,(P)) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AD=2AB=2a Hình chiếu vng góc H S nằm AB cho HA=3HB, góc SC mặt đáy 60 độ Tính khoảng cách AB SC Giải Do HC hình chiếu SC nên ta có (SC,(ABCD)) = ((SC,HC) = SCH = 600 Dễ thấy SC  (SCD) / /AB  d(AB,SC) = d(AB,(SCD)) = d(H,(SCD)) Lấy K thuộc cạnh CD cho KD=3KC HK ⊥ CD  SK ⊥ CD (Định lý…)  CD ⊥ (SHK) Kẻ HI vng góc SK I (1) Mà CD ⊥ (SHK)  CD ⊥ HI (2) Từ (1) (2) suy HI ⊥ (SCD)  d(H,(SCD)) = HI http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Xét tam giác SHK vng H có 1 = + 2 HI HS HK Xét tam giác SHC vuông H, HC = HB2 + +BC2 = Vậy (*)  (*) a 65 SH a 195  tanC =  SH = HC.tan600 = HC 4 211 780 = + 2=  HI = a 2 HI 195a 4a 780a 211  d(AB,SC) = d(AB,(SCD)) = d(H,(SCD)) = HI = a 780 211 Ví dụ A-2011 Cho hình chóp S.ABC, đáy tam giác vuông B, AB=BC=2a (SAB), (SAC) vng góc với đáy, M trung điểm AB Mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC N, (SBC, ABC) = 600 d(SN,AB) = ? Giải: Do (SAB), (SAC) vng góc với mặt đáy nên SA ⊥ (ABC), mặt phẳng qua SM, //BC cắt AC N mà M trung điểm AB nên N trung điểm AC.Qua N dựng đường thẳng Nx//AB AB//(SNx)  d(AB, SN) = d(A, SNx) Qua A kẻ AK ⊥ Nx (K thuộc Nx), tam giác SAK kẻ đường cao AH Ta có Nx ⊥ AK, Nx ⊥ SA Nx ⊥ (SAK) Nx ⊥ AH  AH ⊥ SK, AH ⊥ Nx AH ⊥ (SNx)  AH = d (A,SNx) Ta có tam giác SAK vng A nên: AK = MN = (1)  1 = + (1) 2 AH AS AK BC SA = a ,  SAB vuông A nên ta có: tanB =  SA = tanB.AB = 2a.tan600 = 2a AB 1 13 2a 39 2a 39 = + 2=  AH =  d(AB,SN) = 2 AH 12a a 12a 13 13 Ví dụ 3: A-2012 Cho hình chóp S.ABC, đáy tam giác cạnh a H thuộc AB cho HA=2HB, hình chiếu S lên (ABC) trùng với H, (SC, ABC) = 600 d(SA,BC) = ? http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Giải: Qua A dựng đường thẳng Ax//BC, ta có mặt phẳng (SAx)  d(SA, BC) = d(BC, Sax) = d(B, Sax) Mà ta thấy H chân đường cao hình chóp nên tính khoảng cách đến mặt dễ hơn, ta sử dụng quy tắc rời điểm từ B sang H BH  (SAx) = A  d(B,SAx) AB = = (*) d(H,SAx) AH Ta tính d(H, SAx) =? Kẻ HF ⊥ Ax, tam giác SHF kẻ đường cao HJ Ta có AF ⊥ HF, AF ⊥ SH (gt)  AF ⊥ (SHF)  AF ⊥ HJ  HJ ⊥ AF, HJ ⊥ SF HJ ⊥ (SAx) d(H, SAx) =HJ Do SH ⊥ (ABC) nên tam giác SHF vuông H  1 = + 2 HJ HF HS2 (1) Ta tính HF HS Trong tam giác AHF có AF//BC nên A1 = B1 = 600 AH = 2a FH 2a a  sinA =  FH = AH.sinA = sin600 = AH 3 Trong tam giác AHC có: HC2 = AH2 + AC2 − 2.AH.AC.cosA = (  HC = tanC = 2a 2 2a 7a2 ) + a − .a.cos600 = 3 a mà tam giác SHC vng H nên ta có: SH a 21 3 24 a 42  SH = HC.tan600 = (1)  = + =  HC HJ a 7a 7a 12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN (* )  d(B,SAx) = a 42 a 42  d(BC,SA) = 8 Bài tổng hợp Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a, góc SC mặt đáy 60 độ, SAB tam giác cân S nằm mp vng góc đáy a Chứng minh SB vng góc AD, DK vng góc SC biết K trung điểm BC b ác định góc SD mặt đáy, góc SB (SHC), góc SD (SHC) c Tính khoảng cách từ H đến (SCD) d Tính khoảng cách từ A đến (SCD) e Tính khoảng cách từ H đến (SDK) f Tính khoảng cách từ A đến (SDK) g Tính khoảng cách SH CD, CD SB, DA SB h Tính khoảng cách DK SH i Tính khoảng cách SA BD Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thoi tâm O cạnh a, SA vng góc đáy, Góc ABC 60 độ, góc hai mặt phẳng (SCD) mặt đáy 60 độ Tính khoảng cách a Từ điểm A đến mặt (SBD), (SCD) b Từ O đến (SCD) c Trọng tâm G tam giác SAB đến (SCD) d Giữa SA CD, SB CD, SC AD C - BÀI TỐN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ài tốn Đường cao khối đa diện http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Đường cao khối chóp a Khối chóp S.ABC => SA=SB=SC=b, ABC tam giác cạnh a - SH ⊥ (ABC H )  tâm đáy  a  - SH = h = SA − AH = b −    3 - Chú ý: - AH = 2 2 2a a AM = = 3 - AH = R = BC a a = = 2sinA 2sin60 - If a = b  SABC tứ diện a2 a a2 h= a − = ,SABC = AB.AC.sinA = 3 b Khối chóp S.ABCD =>SA=SB=SC=SD=b, ABCD hình vng cạnh a - SI ⊥ (ABCD I )  tâm đáy, I = AC  BD a 2 - SI = h = b −      2 Đường cao khối chóp khơng a Nếu khối chóp S.ABC… có cạnh bên SA=SB=SC=b SH ⊥ (ABC )HA = HB = HC = R, R bán kính đường tròn (ABC) Hệ quả: Nếu đường xiên hình chóp hình chiếu chúng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BC AB2 + AC2 + −BC2 R= ,cosA = 2sinA 2.AB.AC  sinA = 1− cos2 A sinA > h = SH = SA − HA = b2 − R2 b Nếu khối chóp S.ABC… có mặt bên vng góc với đáy, giả sử (SAB)⊥(ABC…) - SH ⊥ AB  SH ⊥ (ABC ) AS2 + AB2 − SB2 - Sh = h = SA.sinA.cosA = 2.AS.AB  sinA = 1− cos2 A c Nếu khối chóp S.ABC… có hai mặt bên cắt vng góc đáy, giả sử (SAB), (SAC)⊥(ABC) =>SA ⊥(ABC…) => SA=h Đường cao khối lăng trụ, khối hộp a Nếu hình lăng trụ đứng, hình hộp đứng, hình lăng trụ => đường cao độ dài cạnh bên b Nếu hình lăng trụ, hình hộp khơng đứng ta tìm đường cao giống hình chóp khơng (các TH tương tự) Đó là, ta tính chiều cao từ đỉnh mặt đáy đến mặt (chú ý chọn đỉnh cho tính dễ nhất) => Vậy, tính chiều cao hình chóp để ta tính chiều cao hình lăng trụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thoi cạnh a SA=a, SAB = SAD = BAD = 600 VS.ABCD = ? Giải: Do SAB = SAD = 600  SA = SB = SD Vậy nên chân đường cao hạ từ đỉnh S nằm tâm tam giác BAD Mà BAD cạnh a, nên tâm BAD trọng tâm H tam giác http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Ta có: BD = a,AC = 2.AO =  SABCD a =a a2 = AC.BD = 2 Xét BAD có AH = a AO = 3 Xét giác tam SHA có a 3 a SH = SA − AH = a −   =    VS.ABCD 2 1 a a2 3a2 = SH.SABCD = = 3 2 Ví dụ 2: D-2008 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thang vng A, B AB=BC=a, AD=2a, (SAD) vng góc với mặt đáy, tam giác SAD vng S, SA=a Tính VS.ABCD = ? Giải: Do ABCD hình thang vng nên: SABCD = 3a2 (AD + BC).AB = 2 Tam giác SAD vuông S màTam giác SAD vuông S mà SA = AD suy SAD = 300 Ta có: SD = AD2 − SA = 4a2 − a2 = a Trong tam giác SAD kẻ đường cao Sh a  SH = SD = 2 1 a 3a2 a3  VS.ABCD = SH.SABCD = = 3 2 Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, đáy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN hình vng cạnh a Các mặt bên hình thoi, biết AA 'B' = AA 'D = 600 Tính VABCD.A ' B' C' D ' Giải: Do mặt bên hình thoi nên A' A = A' B ' = A' D’ Mà AA' B ' = AA' D = 600  A' AB ', A ' AD ' tam giác cạnh a Vậy AA’=AB’=AD’=a suy chân đường cao hạ từ đỉnh A hình lăng trụ tâm tam giác A’B’D’ Mà tam giác A’B’D’ vuông A’ nên tâm tam giác A’B’D’ trung điểm H B’D’ Có: a 2 a a A 'H =  AH = AA '2 − A 'H = a2 −  ,SA ' B' C' D ' = a2  = 2    VABCD.A ' B" C' D ' = AH.SA ' B' C' D ' = a 2 a3 a = 2 Bài toán Tỉ số thể tích Định lý Simson: Cho tứ diện SABC, A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC SA SB SC = VSA ' B' C' SA ' SB' SC' Ví dụ Cho hình chóp S.ABC, SA=a, SB=b, SC=c, BSA = BSC = CSA = 600 Tính VSABC = ? Giải: Giả sử a < b < c Trên SB, SC lấy điểm B’, C’ cho: SB’=SC’=SA=a, lại có BSA = BSC =  CSA = 600 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN S.AB’C’ hình chóp cạnh a Gọi H trọng tâm tam giác AB’C’ nên SH đường cao hình chóp a 3 a S.AB'C'  SH = SA − AH = a −   =   2 1 a a2 a3  VS.AB' C' = SH.SAB' C' = = 3 12 VS.AB' C' SA.SB'.SC' a2 bc abc = =  VS.ABC = Lại có: VS.ABC SA.SB.SC bc a 12 Bài tốn Phân chia khối đa diện (Trình bày sau) Ví dụ áp dụng Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AD=2AB=2a, SA vng góc đáy, Góc SB mặt đáy 60 độ Trên cạnh SA lấy M AM = a Mặt phẳng (BMC) cắt SD N Tính thể tích khối chóp S.BCNM http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word ... C - BÀI TỐN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ài toán Đường cao khối đa diện http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Đường cao khối. .. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHUYÊN ĐÈ: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN C KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng khoảng cách từ điểm đến hình chi u đường... mp(P), S’ diện tích hình chi u (H’) hình (H) mp (P’) đó: S ' = S.cos ,  = (P, P') LỚP 12: A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Thể tích khối lăng trụ: V=B.h Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc Thể tích khối