Chuyên đề khoảng cách và thể tích khối đa diện

Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện ÔN TẬP KIẾN THỨC LỚP 8-9-10 A MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Cho tam giác ABC, BC=a: cạnh huyền, AB, AC cạnh góc vuông, AB=c, AC=b Đường cao AH=h, BH=c’, CH=b’ Trung tuyến AM 2 Định lí Py-ta-go: AB  BH BC  c '.a , AC  CH BC  b '.a AB AC  AH BC BC  AB  AC 2 AH  AB  AC BC=2AM sin B  b  a.sin B, c  a.sin C , sin B  cos C AC , cos B  BC AB , tan B  BC AC , cot B  AB AB AC B MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG a b c Định lý hàm số sin: Định lý hàm số cosin: a  b  c  2bc cos A  sin A  sin B 2  2R sin C C CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH 1 abc Tam giác thường: S  Tam giác vuông A: S  Hình vuông ABCD: S= AB.AD Hình chữ nhật ABCD: S= AB.AD Hình thoi ABCD: S= AC.BD/2 Hình thang ABCD(AB//CD): S= h(AB+CD)/2, h chiều cao hình thang Hình bình hành: Đáy x chiều cao Tứ giác thường ABCD: S  a.h  ab.sin C  2  p.r  p ( p  a )( p  b )( p  c ), p  4R AB AC , tam giác cạnh a: S  abc AC.BD.sin( AC , BD ) Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN a Hình tròn: S   R Gmail: ppk43a@gmail.com Trang Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện D CHÚ Ý Đường cao tam giác, đường trung tuyến tam giác, đường phân giác, đường trung trực Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội ngoại tiếp tam giác LỚP 11: A QUAN HỆ SONG SONG Đường thẳng song song với mặt phẳng: a / /( P)  a  ( P)   d  ( P)  a d / / a  d / /( P ) , a  ( P ) a / /( P ) ( P )  ( Q )  d   b a  (Q )  d / / a , c a / /( P )  a / /d ( P)  (Q )  d a / /(Q ) Hai mặt phẳng song song: ( P ) / /(Q)  ( P )  (Q)   a, b  ( P ) ( P) / /(Q )  a a  b  I  (Q ) / /( P ) , b   a / /(Q ) , c a (  P )  a / /(Q ), b / /(Q ) ( P ) / /(Q )  ( R )  ( P )  a  a / / b ( R )  (Q )  b B QUAN HỆ VUÔNG GÓC Đường thẳng vuông góc mặt phẳng: a  ( P )  a  c, c  ( P )  a, b  ( P )  a a  b  I  d  ( P) , d  a, d  b  d ( P ) b   d  a  d '  a ,(ĐL đường vuông góc- d’ hình chiếu d (P)) a  ( P ) Hai mặt phẳng vuông góc: ( P )  (Q )  ( P, Q )  90  a  ( P ) a   ( P )  (Q ) ,  a  (Q ) ( P )  ( Q )  b ( P )  (Q )  d  a  (Q ) , a  ( P ), a  d ( P )  ( Q )  A  ( P) c   a  ( P) , A  a a  (Q ) ( P )  (Q )  a d   a  ( R) ( P ), (Q )  ( R) Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện C KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng khoảng cách từ điểm đến hình chiếu đường thẳng, mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng Khoảng cách hai đường chéo đoạn vuông góc chung D GÓC Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm, a’//a, b’//b Góc đường thẳng a mặt phẳng (P), a không vuông góc với (P) góc a hình chiếu a’ a (P) Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng góc hai đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc giao tuyến điểm Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích hình (H) mp(P), S’ diện tích hình chiếu (H’) hình (H) mp(P’) đó: S '  S cos ,   ( P, P ') LỚP 12: A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Thể tích khối lăng trụ: V=B.h Thể tích khối hộp chữ nhật: V  abc Thể tích khối lập phương cạnh a: V  a Thể tích khối chóp: V  B.h Tỉ số thể tích: Tứ diện SABC, A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC SA SB SC  VSA' B 'C ' SA ' SB ' SC ' B CHÚ Ý: Đường chéo hình vuông cạnh a a 2 Đường chéo hình lập phương cạnh a a 3 Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN 2 a b c Gmail: ppk43a@gmail.com Trang Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện Trong tam giác cạnh a đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác có độ dài a , đường xuất phát từ đỉnh trùng Nên trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội ngoại tiếp tam giác trùng nhau, (chú ý đường trung trực) Hình chóp hình chóp có đáy đa giác đều, cạnh bên Hình chiếu đỉnh hình chóp tâm đáy, đáy tam giác tâm trọng tâm, đáy tứ giác tâm giao đường chéo Lăng trụ lăng trụ đứng, đáy đa giác CÁC LOẠI BÀI TẬP A- HÌNH VẼ TRONG KHÔNG GIAN Quan trọng bậc việc vẽ hình không gian xác định đường cao (hay chân đường cao) I Hình chóp Hình chóp có cạnh vuông góc đáy cạnh đường cao Hình chóp có mặt bên vuông góc đáy đường cao đường kẻ từ đỉnh hình chóp vuông góc với giao tuyến mặt bên với mặt đáy Hình chóp có mặt bên kề vuông góc đáy đường cao giao tuyến hai mặt Hình chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Trong trường hợp đáy tam giác tâm giao đường trung trực Khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp đáy Trong trường hợp đáy tam giác tâm giao đường phân giác Hình chóp có mặt bên kề tạo với đáy góc chân đường cao nằm đường phân giác góc tạo giao tuyến hai mặt bên với đáy Hình chóp có hai cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao thuộc đường trung trực đoạn thẳng nối giao điểm hai cạnh bên nói với đáy II Hình lăng trụ Nếu lăng trụ đứng đường cao cạnh bên Nếu lăng trụ xiên đường cao đường hạ từ đỉnh mặt đến mặt nên giống đường cao hình chóp Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện III Chú ý Hình chóp hình chóp có cạnh bên đáy đa giác Hiển nhiên chân đường cao trùng tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Hình chóp có đáy đa giác đáy đa giác đều, cạnh bên chưa Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác cạnh bên Lăng trụ có đáy đa giác chưa lăng trụ đứng B- KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Bài toán Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Các bước xác định khoảng cách từ điểm A đến (P): Bước 1: Xác định mp(Q) chứa A, (Q )  ( P) , (Q )  ( P )  d Bước 2: Kẻ đường cao AH  d , H  d  AH  ( P )  d ( A,( P ))  AH Bước 3: Tính AH  Ví dụ Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc với đáy, SA=3a, AB=a, ABC  60 Tính d A, SBC   Giải: Trong tam giác ABC ta dựng đường cao AK, nối SK Do AK hình chiếu vuông góc SK lên (ABC) AK  BC  theo định lý đường vuông góc SK  BC  BC  (SAK) Kẻ AH  SK H (1) Mà BC  (SAK)  BC  AH (2) Từ (1) (2)  AH  (SBC)  d ( A, SBC)  AH Tính AH? Nhận xét thấy tam giác SAK vuông A, AH đường cao nên ta có: AH  AS  AK SA có nên ta cần tính AK Xét tam giác ABK vuông K, sin B   a  AK  AB.sin B  a.sin 60  AB AK Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện  AH  9a  d ( A, SBC )   3a  AH 13  9a 2  AH  9a  AH  13 13a 13 13a 13 Bài tương tự Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc đáy, SA=2a, AC=a, ACB  120 Tính d  A, SBC   Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SAB tam giác cân S nằm mặt phẳng vuông góc đáy Góc SC mặt đáy 60 Tính d H, SCD  biết H trung điểm AB   Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA vuông góc đáy, góc SB mặt đáy 30 góc SD mặt đáy 60 biết SA  a Tính d A, SBC   , d A, SDC   , d A, SBD  Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A B, AD  2AB  2BC  2a , SA vuông góc đáy Tính khoảng cách từ A đến (SCD) biết góc SC đáy 60 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật SA=SC, SB=SD=2a Tính khoảng cách từ O đến (SCD) biết O tâm đáy góc mặt (SAD) đáy 60 KỸ THUẬT DỜI ĐIỂM Dời điểm song song: Yêu cầu cần tính d( M ,( P ))  ? Trong d A,( P )   k Ở MA//(P)  d ( M ,( P ))  d ( A,( P ))  k Dời điểm cắt nhau: Yêu cầu cần tính d ( M ,( P ))  ? Trong d  A,( P )   k Ở MA   P   I  d ( M ,( P)) d ( A,( P))  IM IA (Tự CM) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc đáy, ABCD hình chữ nhật, SA=a, góc SB, SD mặt đáy 30 , 60 a Tính khoảng cách từ D đến (SBC) b Tính khoảng cách từ B đến (SCD) Giải Ta có AB, AD hình chiếu SB, SD lên mặt đáy nên   SB,  ABCD      SB, AB   SBA  30   SD,  ABCD      SD, AD   SDA  60 a Tính khoảng cách từ D đến (SBC) Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện Có AD / / BC  AD / /  SBC   d  D, SBC    d A, SBC   Do AB  BC  SB  BC (định lí đường vuông góc)  BC   SAB  Kẻ AH vuông góc SB H (1) Mà BC   SAB   BC  AH (2) Từ (1) (2) suy AH   SBC  Xét tam giác AHS vuông H có sinS  AH a  AH  AS sinS  a sin 60  AS a  d D, SBC    d A, SBC    b Tính khoảng cách từ B đến (SCD) Có AB / / D C  AB / /  SDC   d B, SDC    d A, SDC   Do AD  DC  SD  DC (định lí đường vuông góc)  DC   SAD  Kẻ AK vuông góc SD K (3) Mà DC   SAD   DC  AK (4) Từ (3) (4) suy AK   SDC  Xét tam giác AKS vuông K có sinS  AK a  AK  AS sinS  a sin 30  AS a  d  B, SDC    d A, SDC   Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, E trung điểm BC Góc SC mặt đáy 60 Tính khoảng cách từ E đến (SCD) Giải Do AC hình chiếu SC mặt đáy nên   SC,  ABCD      SC, AC   SCA  60 Ta biết cách tính khoảng cách từ chân đường vuông góc A đến mặt (SCD) Vậy ta rời điểm E A sau d E , SCD   EI  Có AE  CD  I  AE   SCD   I  d A, SCD   AI EI  AI Vấn đề lại quen thuộc, tính khoảng cách từ A đến (SCD) Có AH  CD  SD  CD (định lí đường vuông góc)  CD   SAD  Dễ dàng tính Kẻ AH  SD H (1) Mà CD   SAD   CD  AH (2) Từ (1), (2) suy AH   SCD   d A, SCD    AH Tính AH= ? Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện Xét tam giác SAD vuông A có 1 (*) AD AS SA Xét tam giác SAC vuông A có tan C   SA  AC.tan C  a tan 60  a AC  AH  6a   a2 a 42  d  A, SCD     d  E , SCD    6a AH  AH    a 42 6a  AH  7 a 42  d  A, SCD   14 Ví dụ D-2011 Cho hình chóp S.ABC đáy tam giác vuông B, AB=3a, BC=4a, (SBC) vuông góc mặt đáy  Biết SB= 2a , SBC  30 , d ?  B, SAC   Giải: Nhận xét: Ta thấy (SBC)  (ABC) có giao tuyến BC nên ta kẻ SH vuông góc BC  SH  (ABC) Nếu ycbt tính khoảng cách từ H đến (SAC) ta dễ dàng thực tương tự phần trước Vì ta sử dụng kĩ thuật rời điểm mà ta nói Rõ ràng BH cắt (SAC) C nên ta sử dụng kĩ thuật rời điểm cắt d  B, SAC   BC Vậy ta có:  d HC  H , SAC  Trong tam giác vuông SHB ta có: cos B  BH   BH  SB.cos B  2a 3.cos30  3a SB CB 4 CH Ta tính khoảng cách từ H đến (SAC) Kẻ HM  AC  SM  AC (Định lí đường vuông góc)  AC  (SHM) Kẻ HK  SM K (1) Do AC  (SHM) nên AC  HK (2) Từ (1) (2) suy HK  (SAC)  d (H , SAC)  HK  CH  BC  BH  4a  3a  a  2 2 2 2 Lại có: SH  SB  BH  12a  a  a 3, AC= BA  BC  16a  9a  5a CH CMH ~ CBA  CA HK  HS   d ( H , SAC )  HM 3a 14   MH  MH  BA HK AB.CH  AC  3a.a  5a 3a 25 28 3a    HK  2 14 3a 9a 9a  d ( B, SAC )  3a 14  6a 7 Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B, SA vuông góc đáy, AB=BC=a, AD=2a góc SC với mặt đáy 60 Tính a Khoảng cách từ A đến (SCD) b Khoảng cách từ B đến (SCD) Giải Có AC hình chiếu SC mặt đáy nên   SC ,  ABCD      SC , AC   SCA  60 a Khoảng cách từ A đến (SCD) Gọi I trung điểm AD nên ta có IA=ID=IC=a Vậy tam giác ACD nội tiếp đường tròn tâm I đường kính AD Vậy AC  CD  SC  CD (định lí …)  CD   SAC  Kẻ AH vuông góc SC H (1) Mà CD   SAC   CD  AH (2) Từ (1) (2) suy AH   SCD   d A, SCD   AH   Xét tam giác AHC vuông H có AH  AH  AC.sin 60  a  a  d A, SCD    a sin C  AC b Tính khoảng cách từ B đến (SCD) d B , SCD  BE  Có BA  CD  E  BA   SCD   E  d A, SCD  AE Ta có EBC ~ EAD  BE a EB BC d A, SCD     d  B , SCD     AE EA AD Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA đường cao, tam giác ABC vuông A, AB=a, AC  a , góc SC đáy 45 độ G trọng tâm tam giác SAB Tính khoảng cách từ G đến (SBC) Giải Do AC hình chiếu SC (ABC) nên ta có   SC ,  ABC      SC , AC   SCA  45 Vậy tam giác SAC vuông cân A Gọi N trung điểm SB  AG   SBC   N  d G ,( SBC )  d  A, SBC    GN  AN Ta tính khoảng cách từ A đến (SBC) Kẻ AK vuông góc BC K suy SK vuông góc BC (Định lý )  BC   SAK  Kẻ AH vuông góc SK H Mà BC   SAK   BC  AH (1) (2) Từ (1) (2) suy AH  ( SBC )  d A, SBC   AH   Lại có tam giác SAK vuông A, tam giác ABC vuông A nên AH  AS  AK  AS  AB  AC  2a  a2  2a Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN  a2  AH  a2 a  AH  2 Gmail: ppk43a@gmail.com Trang Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, SA đường cao, SA  a ACD  30 , AC  a Tính khoảng cách từ trọng tâm G tam giác SAB đến (SCD) Giải Cách Rời điểm lần Ta có AG   SAB  ,  SAB    SCD   d, d / / AB Gọi I  AG  d  AG   SCD   I  Có GAN ~ GIS d G , SCD   d  A, SCD    GI AI  g.g  , N trung điểm AB GI GS GI     GI  2GA  GA GN AI Còn lại ta tính khoảng cách từ A đến (SCD) Kẻ AK vuông góc CD K suy SK vuông góc CD (Định lý )  CD   SAK   Kẻ AH vuông góc SK H Mà CD   SAK   CD  AH (1) (2) Từ (1) (2) suy AH  ( SCD)  d A, SCD    AH Lại có tam giác SAK vuông A suy ta có: AH  AS  AK Xét tam giác AKC vuông AK a 1 a 21     AK  AC.sin 30      AH  2 AC AH AS 3a 3a AK a 2a 21  d G , SCD    d  A, SCD    21 Cách Rời điểm lần d G , SCD   GS 2 Gọi N trung điểm AB, có NG   SCD   S     d G , SCD    d N , SCD   d N , SCD  NS K  sin C  Lại có AN//(SCD)  d  d G , SCD     N , SCD   d A, SCD   AH  a 21 , (Tương tự cách 1) 2a 21 d  A, SCD    21 Bài toán khoảng cách hai đường thẳng chéo Đoạn vuông góc chung: Cho hai đường thẳng a, b chéo M thuộc a, N thuộc b, MN vuông góc với a b nên MN gọi đoạn vuông góc chung a b Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vuông góc chung Cách xác định khoảng cách hai đương thẳng chéo a b: Bước 1: Xác định (P) chứa b (P)//a Bước 2: Lấy A thuộc a cho dễ tính khoảng cách từ A đến (P)  d ( a ,b )  d ( a ,( P ))  d ( A,( P )) Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 10 Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện Loại Khoảng cách hai đường thẳng chéo vuông góc KTCB Cho hai đường thẳng chéo a b, a vuông góc b ta xác định kc sau Bước Chứng minh a vuông góc mp (P) chứa b H Bước Từ H kẻ HK vuông góc b K Suy HK đoạn vuông góc chung Thật vậy, ta có HK vuông góc b mà HK nằm (P) Nên HK vuông góc a Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a, SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc đáy Tính khoảng cách a SH CD với H trung điểm AB b AD SB Giải Do tam giác ABC nên SH  AB Lại có (SAB) vuông góc đáy nên SH   ABCD  a Có SH   ABCD  H mà (ABCD) chứa CD nên từ H ta kẻ đường thẳng vuông góc CD I suy I trung điểm CD (Do ABCD hình vuông)  HI  CD Vậy ta có   d  SH ,CD   HI  a  HI  SH  vi SH   ABCD    AD  AB b Ta có   AD   SAB  A  AD  SH  vi SH   ABCD   Mà (SAB) chứa SB nên từ A ta kẻ AK vuông góc SB K suy K Là trung điểm SB (Do SAB tam giác đều)  AK  SB a Vậy ta có   d AD, SB   AK   AK  AD  vi AD   SAB   Ví dụ A-2010 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vuông cạnh a, M, N trung điểm AB, AD H giao điểm cuả MD NC, biết SH vuông góc đáy, SH= a d(MD,SC)  ? Giải: Trước tiên ta chứng minh MD  CN Thật vậy, DAM  CDN   nên C1  D2 mà D1  D2  90  D1  C1  90   CHD  90  MD  CN  MD  SH   MD   SCN  H  MD  CN Mà (SCN) chứa SC nên từ H kẻ HK vuông góc SC K  HK  SC   d MD,SC   HK  HK  MD  vi MD   SCN   Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 11 Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện Lại có tam giác SHC vuông H(gt)  HK  HS  HC (1) Trong tam giác vuông CDN có 2 5a a a CN  CD  DN  a      2 2 Mà CHD ~ CDN  (1)   CH CD    CD  CH  CN 19  HK  CD CN  2a  a 2a 5 a 57 3a 4a 12 a 19 HK Loại Khoảng cách hai đường thẳng chéo không vuông góc KTCB Tìm mặt phẳng (P) chứa b (P)//a  d  a ,b   d a, P   Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AD=2AB=2a Hình chiếu vuông góc H S nằm AB cho HA=3HB, góc SC mặt đáy 60 độ Tính khoảng cách AB SC Giải Do HC hình chiếu SC nên ta có   SC ,  ABCD      SC , HC   SCH  60 Dễ thấy SC   SCD  / / AB  d  AB,SC   d AB, SCD   d H , SCD      Lấy K thuộc cạnh CD cho KD=3KC  HK  CD  SK  CD (Định lý…)  CD  (SHK ) Kẻ HI vuông góc SK I (1) Mà CD  (SHK )  CD  HI (2) Từ (1) (2) suy HI  (SCD)  d H , SCD    HI Xét tam giác SHK vuông H có HI  HS  Xét tam giác SHC vuông H, HC  HB  BC  Vậy (*)  HI  195a  4a  211 780a  HI  (*) HK a 65 SH a 195  tan C   SH  HC.tan 60  HC 780a 780  HI  a 211 211 780  d AB,SC  d AB, SCD    d H , SCD    HI  a 211 Ví dụ A-2011 Cho hình chóp S.ABC, đáy tam giác vuông B, AB=BC=2a (SAB), (SAC) vuông góc với đáy, M  trung điểm AB Mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC N, (SBC, ABC)  60 d (SN,AB)  ? Giải: Do (SAB), (SAC) vuông góc với mặt đáy nên SA  (ABC), mặt phẳng qua SM, //BC cắt AC N mà M trung điểm AB nên N trung điểm AC.Qua N dựng đường thẳng Nx//AB  AB//(SNx)  d ( AB, SN )  d ( A, SNx) Qua A kẻ AK  Nx (K thuộc Nx), tam giác SAK kẻ đường cao AH Ta có Nx  AK, Nx  SA  Nx  (SAK)  Nx  AH Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 12 Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện  AH  SK, AH  Nx  AH  (SNx)  AH  d ( A, SNx) Ta có tam giác SAK vuông A nên: BC AK  MN  AH  12a AH  AS  a 13  12a  AH  2a 39  AK  SAB vuông A nên ta có:  a, (1)  (1) tan B  SA   SA  AB tan B  2a tan 60  2a AB  d ( AB, SN )  2a 39 13 13 Ví dụ 3: A-2012 Cho hình chóp S.ABC, đáy tam giác cạnh a H thuộc AB cho HA=2HB, hình chiếu S lên  (ABC) trùng với H, ( SC , ABC )  60 d ( SA, BC )  ? Giải: Qua A dựng đường thẳng Ax//BC, ta có mặt phẳng (SAx)  d ( SA, BC )  d ( BC, SAx)  d ( B, SAx) Mà ta thấy H chân đường cao hình chóp nên tính khoảng cách đến mặt dễ hơn, ta sử dụng quy tắc rời điểm từ B sang H AB d ( B, SAx ) (*)   BH  ( SAx )  A  d ( H , SAx ) AH Ta tính d (H , SAx) =? Kẻ HF  Ax, tam giác SHF kẻ đường cao HJ Ta có AF  HF, AF  SH (gt)  AF  (SHF)  AF  HJ  HJ  AF, HJ  SF  HJ  (SAx) d (H , SAx) =HJ Do SH  (ABC) nên tam giác SHF vuông H  HJ  HF  HS (1) Ta tính HF HS  Trong tam giác AHF có AF//BC nên A1  B1  60 , AH  2a FH  sin A1  AH  FH  AH sin A1   a sin 60  3 2a 2a 2a  7a 2 2 Trong tam giác AHC có: HC  AH  AC  AH AC cos A  ( )  a  .a.cos60 = 3  HC  a (1)  HJ  mà tam giác SHC vuông H nên ta có: tan C  a  (*)  d ( B, SAx )  7a  a 42 24 7a  HJ   a 21  SH  HC tan 60  HC SH a 42  d ( BC , SA)  12 a 42 Bài tổng hợp Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 13 Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a, góc SC mặt đáy 60 độ, SAB tam giác cân S nằm mp vuông góc đáy a Chứng minh SB vuông góc AD, DK vuông góc SC biết K trung điểm BC b ác định góc SD mặt đáy, góc SB (SHC), góc SD (SHC) c Tính khoảng cách từ H đến (SCD) d Tính khoảng cách từ A đến (SCD) e nh khoảng cách từ H đến (SDK) f Tính khoảng cách từ A đến (SDK) g ính khoảng cách SH CD, CD SB, DA SB h nh khoảng cách DK SH i Tính khoảng cách SA BD Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thoi tâm O cạnh a, SA vuông góc đáy, Góc ABC 60 độ, góc hai mặt phẳng (SCD) mặt đáy 60 độ Tính khoảng cách a Từ điểm A đến mặt (SBD), (SCD) b Từ O đến (SCD) c Trọng tâm G tam giác SAB đến (SCD) d Giữa SA CD, SB CD, SC AD C -BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Bài toán Đường cao khối đa diện Đường cao khối chóp a Khối chóp S.ABC => SA=SB=SC=b, ABC tam giác cạnh a - SH  ( ABC )  H tâm đáy  a  - SH  h  SA  AH  b     3 - Chú ý:  AH  2 2 AM  2a  a 3 , a   sin A sin 60  If a  b  SABC tứ diện  AH  R  BC a a S ABC  AB AC sin A  b Khối chóp S.ABCD =>SA=SB=SC=SD=b, ABCD hình vuông cạnh a h a  - a  a  , SI  ( ABCD )  I tâm đáy, I  AC  BD a 2 - SI  h  b      2 Đường cao khối chóp không Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 14 Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện a Nếu khối chóp S.ABC… có cạnh bên SA=SB=SC=b SH  ( ABC )  HA  HB  HC  R, R bán kính đường tròn (ABC) Hệ quả: Nếu đường xiên hình chóp hình chiếu chúng R BC 2 AB  AC  BC , cos A  sin A 2 AB AC  sin A   cos A sin A  2 h  SH  SA  HA  b  R b Nếu khối chóp S.ABC… có mặt bên vuông góc với đáy, giả sử (SAB)  (ABC…)  SH  AB  SH  ( ABC ) 2 AS  AB  SB  SH  h  SA.sin A, cos A  2 AS AB  sin A   cos A c Nếu khối chóp S.ABC… có hai mặt bên cắt vuông góc đáy, giả sử (SAB), (SAC)  (ABC…) =>SA  (ABC…) => SA=h Đường cao khối lăng trụ, khối hộp a Nếu hình lăng trụ đứng, hình hộp đứng, hình lăng trụ => đường cao độ dài cạnh bên b Nếu hình lăng trụ, hình hộp không đứng ta tìm đường cao giống hình chóp không (các TH tương tự) Đó là, ta tính chiều cao từ đỉnh mặt đáy đến mặt (chú ý chọn đỉnh cho tính dễ nhất) => Vậy, tính chiều cao hình chóp để ta tính chiều cao hình lăng trụ.☺ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thoi cạnh a SA=a,  SAB  SAD  BAD  60 VS ABCD  ? Giải:  Do SAB  SAD  60  SA  SB  SD Vậy nên chân đường cao hạ từ đỉnh S nằm tâm tam giác BAD Mà BAD cạnh a, nên tâm BAD trọng tâm H tam giác Ta có: BD  a , AC  AO   S ABCD  AC.BD  a 2 Xét BAD có AH  a a 3 2 AO  a 3 2 2 a a 3     Xét tam giác SHA có SH  SA  AH  a   Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 15 Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện  VS ABCD  3 SH S ABCD  a a a  3 Ví dụ 2: D-2008 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thang vuông A, B AB=BC=a, AD=2a, (SAD) vuông góc với mặt đáy, tam giác SAD vuông S, SA=a Tính VS ABCD  ? Giải: 3a Do ABCD hình thang vuông nên: S ABCD   AD  BC  AB  2 Tam giác SAD vuông S mà SA  AD ,  suy SAD  30 Ta có: SD  AD  SA2  4a  a  a Trong tam giác SAD kẻ đường cao SH  SH  SD  a 3 a 3a a  VS ABCD  SH S ABCD   2 Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' , đáy hình vuông cạnh a Các mặt bên hình thoi, biết  AA ' B '  AA ' D  60 Tính V ABCD.A'B'C'D'  ? Giải: Do mặt bên hình thoi nên A ' A  A ' B '  A ' D '  Mà AA ' B '  AA ' D  60  A ' AB ', A ' AD ' tam giác cạnh a Vậy AA’=AB’=AD’=a suy chân đường cao hạ từ đỉnh A hình lăng trụ tâm tam giác A’B’D’ Mà tam giác A’B’D’ vuông A’ nên tâm tam giác A’B’D’ trung điểm H B’D’ Có: A'H  a 2 2 2 a a 2 , S A ' B 'C ' D '  a      AH  AA '  A ' H  a    VABCD A' B 'C ' D '  AH S A' B 'C ' D '  a 2 a  a 2 Bài toán Tỉ số thể tích Địa chỉ: Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, TPTN Gmail: ppk43a@gmail.com Trang 16 Chuyên đề: Khoảng cách thể tích khối đa diện Định lý Simson: Cho tứ diện SABC, A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC SA SB SC  VSA' B 'C ' SA ' SB ' SC '  Ví dụ Cho hình chóp S.ABC, SA=a, SB=b, SC=c, BSA  BSC  CSA  60 Tính VS ABC =? Giải: Giả sử a