RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHO HỌC SINH THPT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Xây dựng một giải pháp rèn luyện kĩ năng giải bài tập về khoảng cách, thể tích khối đa diện trên cơ sở xác định những kĩ năng giải toán, lựa chọn xây dựng một hệ thốn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

- -MÃ TRUNG DŨNG

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN

VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

CHO HỌC SINH THPT

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Anh Tuấn

Hà Nội, Năm 2015

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, PGS TS Nguyễn Anh Tuấn,

người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ bộ môn Phương pháp dạy học - Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của Ban giám hiệu, các thầy

cô giáo trong tổ Toán - Tin trường THPT số 1 Bảo Thắng, Tỉnh Lào Cai đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt công việc học tập của mình

Tác giả luận văn

Mã Trung Dũng

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Môn Toán trong trường phổ thông trang bị cho học sinh những kiến thức toán học phổ thông, cơ bản, hiện đại, rèn luyện các kĩ năng tính toán và phát triển tư duy Toán học, góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và các năng lực trí tuệ chung, đặc biệt là khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa Do

đó rèn luyện kĩ năng giải toán là một trong những mục tiêu dạy học môn Toán Thông qua đó học sinh nắm vững và hiểu sâu kiến thức hơn, đồng thời học sinh được tập dượt vận dụng những tri thức đã được trang bị vào các môn học

Các bài toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện là một nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán trung học phổ thông, và cũng là dạng toán có mặt hầu hết trong các kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông và thi tuyển sinh Đại học Việc trang bị kiến thức và rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện cho học sinh như thế nào để học sinh có kiến thức một cách hệ thống và kĩ năng tốt là vấn đề được nhiều giáo viên chú ý và quan tâm

Thực tế hiện nay, ở một số trường trung học phổ thông, kết quả của việc dạy

và học các bài toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện đạt được chưa cao Vì không có thời gian nên giáo viên không thể hướng dẫn tỉ mỉ học sinh trong giải toán, còn học sinh cũng đã biết áp dụng công thức, biết các bước thực hiện để giải bài toán, song vẫn còn nhiều lúng túng, hạn chế Vì vậy, để rèn luyện cho học sinh

kĩ năng giải toán, nâng cao chất lượng dạy học, giáo viên cần đề xuất những biện pháp thích hợp

Vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “RÈN LUYỆN KĨ

NĂNG GIẢI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG”.

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Xây dựng một giải pháp rèn luyện kĩ năng giải bài tập về khoảng cách, thể tích khối đa diện trên cơ sở xác định những kĩ năng giải toán, lựa chọn xây dựng một hệ thống bài tập và đề xuất biện pháp thực hiện trong dạy học giải toán thuộc chủ đề nội dung trên ở trường THPT

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu những lí luận về dạy học giải toán, kĩ năng giải toán

- Tìm hiểu nội dung và tình hình dạy học hình học cuối lớp 11 và đầu lớp 12 THPT từ góc độ rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.

- Làm rõ những kĩ năng giải một số bài tập về khoảng cách, thể tích khối đa diện

- Xác định định hướng để rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách, thể tích khối đa diện

- Xây dựng hệ thống câu hỏi, bài tập và đề xuất những biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng về khoảng cách, thể tích khối đa diện

- Thực nghiệm sư phạm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của giải pháp

4 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Quá trình dạy học giải toán về khoảng cách, thể tích khối đa diện

- Nội dung và biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách, thể tích khối đa diện cho học sinh THPT

- Nghiên cứu quá trình dạy học giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện cho học sinh ở trường THPT số 1 Bảo Thắng

5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

- Nếu xây dựng được nội dung và biện pháp phù hợp trong dạy học giải toán

về khoảng cách và thể tích khối đa diện thì học sinh sẽ rèn luyện được kĩ năng giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện, góp phần nâng cao chất lượng dạy học nội dung này ở trường THPT

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

7 CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn bao gồm ba chương

Chương 1 - Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 - Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh thông qua nội dung khoảng cách và thể tích khối đa diện ở trường THPT

Chương 3 - Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 - CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 BÀI TẬP TOÁN VÀ DẠY HỌC BÀI TẬP TOÁN

1.1.1 Bài tập toán

Hiện nay có nhiều quan niệm khác nhau về hai khái niệm Bài toán và Bài tập Tham khảo tài liệu [20], có thể thấy những quan niệm về các khái niệm này: bài toán là tất cả những câu hỏi cần giải đáp về một kết quả chưa biết cần tìm bắt đầu từ

một số dữ kiện, hoặc về phương pháp cần khám phá, mà theo phương pháp này sẽ đạt được kết quả đã biết Tuy nhiên, cũng cần phân biệt giữa bài tập và bài toán Để giải bài tập, chỉ cần yêu cầu áp dụng theo khuôn mẫu các kiến thức, quy tắc hay thuật toán đã học Nhưng đối với bài toán, để giải được phải tìm tòi giữa các kiến thức có thể sử dụng và việc áp dụng để xử lí tình huống còn có một khoảng cách, vì các kiến thức đó không dẫn trực tiếp đến phương tiện xử lí thích hợp Muốn sử dụng được những điều đã biết, cần kết hợp, biến đổi chúng, làm cho chúng thích hợp với tình huống Như vậy, trong phạm vi dạy học toán, ta đồng nhất hai khái niệm bài toán và bài tập.

1.1.2 Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học

Trong thực tiễn dạy học môn toán, bài tập được sử dụng với các dụng ý khác nhau về chức năng dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ làm việc với nội dung mới, củng cố kiến thức, ôn tập hay kiểm tra đánh giá kiến thức của học sinh, giúp giáo viên nắm bắt được thông tin hai chiều trong quá trình dạy học Trong cuốn “Phương pháp dạy học môn Toán” ([5]), tác giả Nguyễn Bá Kim viết: Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của HS Vai trò của bài tập toán thể hiện trên 3 bình diện:

• Thứ nhất: Là giá mang HĐ để đạt được mục đích dạy học Toán

Trên bình diện mục đích dạy học, bài tập ở trường phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu Bài tập góp phần: hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn; phát triển năng lực trí tuệ (rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ); Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

Ví dụ 1.1

Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a

Hình 1.1

Bài tập này góp phần củng cố tri thức về phân chia khối đa diện, khối bát diện đều, khối tứ diện đều, công thức thể tích khối chóp, giúp HS hình thành kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán và vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán

• Thứ hai: Là phương tiện để truyền tải nội dung:

Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập là giá mang những hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, làm cho bài tập đó trở thành một phương tiện

để đặt nội dung dưới dạng những tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho

những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lí thuyết

Hình 1.2

Ví dụ 1.2 Cho điểm O và mặt phẳng ( )α Chứng minh rằng khoảng cách từ

điểm O đến mặt phẳng ( )α là bé nhất so với khoảng cách từ điểm O tới một điểm bất kì của mặt phẳng ( )α

Bài tập này là phương tiện chứa đựng tri thức về khoảng cách từ điểm đến một mặt phẳng Qua bài tập GV bổ sung cho học sinh khía cạnh cực trị của khoảng cách

từ một điểm đến một mặt phẳng

• Thứ ba: Là phương tiện để thực hiện PPDH:

Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập là giá mang những hoạt động

để người học kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó, thực hiện các mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy, sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo, được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Ví dụ 1.3 Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết diện tích đáy ABC bằng B và

chiều cao bằng h

Hình 1.3a) Chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành ba khối tứ diện bởi các mặt phẳng (A’BC’) và (A’BC), hãy kể tên ba khối tứ diện đó

b) Chứng tỏ rằng ba khối tứ diện kể tên ở trên có thể tích bằng nhau

c) Từ đó suy ra công thức V=B.h. Hãy phát biểu thành lời công thức đó

Với bài tập này, GV có điều kiện tổ chức hoạt động nhận dạng định lí về công thức thể tích khối chóp, chứng minh hai khối chóp có thể tích bằng nhau, phân tích, tổng hợp và hoạt động ngôn ngữ cho HS

1.1.3 Những yêu cầu của một lời giải toán

Lời giải của một bài toán được hiểu là một tập hợp đã xếp thứ tự các thao tác

để phát huy tác dụng của bài tập toán, trước hết cần nắm vững các yêu cầu của lời giải Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt Để thuận tiện cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, cần thiết phải cụ thể hóa yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận nhưng yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết:

- Lời giải phải cho kết quả đúng, kể cả các bước trung gian Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ,…thỏa mãn các yêu cầu đề ra Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, hình vẽ, biến đổi biểu thức

- Lập luận giải toán phải chặt chẽ Một chứng minh bao gồm ba bộ phận: Luận

đề, luận chứng và luận cứ Luận đề là một mệnh đề cần chứng minh, yêu cầu phải nhất quán, nghĩa là không được đánh tráo Luận cứ là những tiên đề, những định nghĩa và những định lí đã biết, yêu cầu phải đúng Luận chứng là những phép suy luận được sử dụng trong chứng minh, yêu cầu phải hợp logic

- Lời giải nên được chọn lựa từ nhiều cách giải khả dĩ khác nhau Bài giải toán được chọn để trình bày là lời giải ngắn gọn và hợp lí nhất

Xét bài toán trong trường hợp đặc biệt a = b = c

ta được tứ diện đều cạnh a và

3

a 2V

12

=

Trên tia OB lấy điểm B’, trên tia OC lấy điểm C’, sao cho

OB' OC ' a = =

Ta được

OABC 3

Lấy ∆OAB làm đáy, tính khoảng cách CH từ C đến mặt phẳng (OAB) dựa vào khoảng cách CE, CF từ C đến OA, OB

Như vậy kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định Nếu ta tách riêng tri thức và kĩ năng để xem xét thì tri thức thuộc về phạm vi nhận thức , thuộc về khả năng “biết” còn kĩ năng thuộc về phạm vi hành động, thuộc khả năng “biết làm”.

Kĩ năng có những đặc điểm sau:

Kĩ năng nào cũng phải dự trên cơ sở lí thuyết - đó là kiến thức Bởi vì cấu trúc của kĩ năng bao gồm: hiểu mục đích - biết cách đi đến kết quả - hiểu những điều kiện để triển khai các cách thức đó Kiến thức là cơ sở của kĩ năng Như vậy kĩ năng giải toán cũng phải dựa trên cơ sở tri thức toán học (bao gồm tri thức sự vật, tri thức phương pháp) Do vậy nói đến kĩ năng giải toán không thể tách rời với phương pháp toán học nhằm hình thành và rèn luyện những kĩ năng đó

Kĩ năng chỉ có thể hình thành trong hoạt động và bằng hoạt động Kĩ năng và tri thức thống nhất trong hoạt động Tri thức là cần thiết để tiến hành các thao tác,

độ thành thạo của các thao tác được hiểu như là kĩ năng, các thao tác này được thực hiện dưới sự kiểm tra của tri thức Con đường đi từ chỗ có tri thức đến chỗ có kĩ năng tương ứng đó là con đường tập luyện Nội dung của sự luyện tập này rất phong phú Nói như vậy là để khẳng định vai trò quan trọng của việc tổ chức các hoạt động học tập trong quá trình hình thành và phát triển kĩ năng cho học sinh Nhưng cũng đồng thời phải chú ý rằng các hoạt động phải được thực hiện nhiều lần, mang tính liên tục và đến một mức độ nhất định nào đó, kĩ năng mới được hình thành

Theo những cơ sở lí luận trên, chúng tôi hiểu: kĩ năng là khả năng thực hiện được một việc nào đó Kĩ năng chỉ được hình thành qua hoạt động và được biểu hiện ra bởi hoạt động Do đó, đánh giá kĩ năng phải thông qua phân tích, đánh giá hoạt động Kĩ năng thì gắn liền với kiến thức; không có kiến thức thì không có hiểu biết để thực hiện hoạt động đó và do đó không có kĩ năng Tri thức là điều kiện cần

để có kĩ năng, nhưng chưa đủ Điều kiện đủ là học sinh phải tiến hành hoạt động ứng với một kĩ năng nào đó nhiều lần, qua đó kĩ năng mới dần được hình thành và phát triển

1.2.2 Kĩ năng giải toán

1.2.2.1 Về kĩ năng giải toán

Theo G.Polya [13], trong Toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức Toán học để giải các bài tập toán học Kĩ năng giải toán dựa trên cơ sở tri thức Toán học bao gồm: Kiến thức, kĩ năng và phương pháp Học sinh sau khi nắm vững lí thuyết, trong quá trình tập luyện, củng cố, đào sâu kiến thức thì kĩ năng được hình thành, phát triển, đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức Toán học.

Do sự trừu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên nhiều cấp độ nên cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng trên những bình diện khác nhau: Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán; kĩ năng vận dụng tri thức Toán học vào các môn học khác nhau; và kĩ năng vận dụng Toán học vào thực tiễn đời sống

Kĩ năng trên bình diện thứ nhất là một sự thể hiện mức độ thông hiểu tri thức

Toán học Không thể hình dung một người hiểu tri thức Toán học mà lại không biết vận dụng chúng để làm toán

Kĩ năng trên bình diện thứ hai thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với

những môn học khác, điều này cũng thể hiện mối liên hệ liên môn giữa các môn học trong nhà trường và đòi hỏi người giáo viên dạy toán cần có quan điểm tích hợp trong việc dạy học bộ môn

Kĩ năng trên bình diện thứ ba là mục tiêu quan trọng của môn Toán Nó cũng

cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống

Ví dụ 1.5 Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập (h.1.6) được xây dựng vào khoảng

2500 năm trước Công nguyên Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147m, cạnh đáy dài 230m Hãy tính thể tích của nó

Hình 1.6

Để giải quyết được bài tập này, HS cần có kĩ năng vận dụng Toán học vào

thực tiễn cuộc sống Để có được kĩ năng này học sinh cần phải hiểu công thức thể

tích khối chóp, hiểu thế nào là chóp tứ giác đều và công thức tính diện tích hình vuông Từ việc giải quyết bài tập này HS thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học với

cuộc sống, ở đây thể hiện công cụ Toán học là nhờ phương pháp và công thức Toán

học người ta có thể tính được thể tích của Kim tự tháp Đồng thời, nhờ học công

thức thể tích và vận dụng vào giải bài toán thực tế, thì HS có được kỹ năng tính toán

- là một trong những mục đích học Toán

1.2.2.2 Nhóm kĩ năng cơ bản

• Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán:

Đó là kĩ năng phân tích bài toán để làm rõ dữ kiện đặt ra Nếu bài toán có tính chất là một vấn đề thì tìm khâu nào chưa biết một quy tắc tổng quát hoặc một phương pháp có yếu tố thuật toán để giải bài toán và cần xác định đó là trọng tâm suy nghĩ tìm hướng giải Đây là kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, một trong những kĩ năng quan trọng nhất khi gặp các bài toán có tính chất tìm tòi giải quyết vấn đề Học sinh cần làm rõ các thành phần, mối liên hệ (tường minh hoặc không tường minh) qua các yếu tố (cho trước hoặc không cho trước) của bài toán

Ví dụ 1.6 Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại có độ dài bằng a

Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a và x

Để phân tích, làm rõ dữ kiện đặt ra của bài toán:

+ HS cần viết giả thiết, kết luận của bài toán

+ HS cần vẽ hình chính xác

Hình 1.7

• Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược, hướng giải bài toán

Học sinh cần huy động tri thức, kinh nghiệm của bản thân có liên quan để giải bài toán, bao gồm hai dạng: Dạng 1 là hướng giải của học sinh tìm ra một cách tích cực bằng các thao tác tư duy, bằng lao động trí óc và thực hành Dạng 2 là hướng giải được học sinh nhận ra xuất phát từ những ý tưởng “lóe sáng” tự phát, được hiểu theo nghĩa “bừng sáng” của quá trình tư duy sáng tạo, chuyển dịch về những vấn đề quen thuộc đã có thuật giải: quy nạp, tìm kiếm, dự báo, bổ sung vào thuật giải đã có hoặc tìm kiếm thuật giải mới

Ví dụ 1.7 Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại có độ dài bằng a

Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a và x

Để tìm ra hướng giải bài toán, GV có thể hướng dẫn HS thông qua hệ thống câu hỏi:

+ Muốn tính thể tích khối chóp em sử dụng công thức nào?

+ Trong công thức ấy, Muốn tính V em phải tính đại lượng nào?

+ Trong bài toán đã cho, đâu là đáy B? đâu là chiều cao h?

+ Tính diện tích tam giác ABC

+ Tính chiều cao DH dựa vào tam giác nào?

+ Tính CH như thế nào?

+ Suy ra DH như thế nào?

Từ đó tính thể tích khối tứ diện ABCD

Qua việc hoạt động trên lớp, HS hình thành kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược, hướng giải bài toán.

• Kĩ năng kiểm tra đánh giá tiến trình và kết quả, tránh sai lầm khi giải toán

Trong hoạt động giải toán, việc phát hiện và sửa chữa được sai lầm là một thành công của người học toán Khi mắc sai lầm trong giải toán, nếu học sinh tự mình hoặc có học sinh khác, hoặc giáo viên giúp để học sinh nhận ra và sữa chữa được sai lầm thì lần sau, khi gặp lại bài toán đó hoặc một bài toán tương tự, học sinh sẽ nhận ra chỗ dễ mắc sai lầm, nhanh chóng vượt qua, tiến đến kết quả đúng

Ví dụ 1.8.

Hình 1.8Cho tứ giác có độ dài 4 cạnh là a, b, c, d và diện tích S Chứng minh rằng

• Kĩ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của học sinh.

Ví dụ 1.9 Cho hình chóp S.ABC Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt

lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S Chứng minh rằng

S.A'B'C' S.A BC

Sau khi giải xong bài toán này, HS sẽ thu được phương pháp mới để tính thể tích khối đa diện cũng như tỉ số thể tích của hai khối đa diện Khi gặp bài toán thể tích HS sẽ có nhiều phương án hơn, lời giải ngắn gọn hơn (ví dụ 4)

1.2.2.3 Nhóm kĩ năng chuyên biệt

a) Nhóm kĩ năng thực hành

• Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán

Kĩ năng này được rèn luyện trong quá trình tìm tòi lời giải của bài toán Cần chú ý, kĩ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch để nắm vững và vận dụng kiến thức (một thành phần của tư duy Toán học), kĩ năng biến đổi xuôi chiều và biến đổi ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với nhau giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận

Ví dụ 1.10 Trong mặt phẳng Oxy, Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn

Ví dụ 1.11 Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a

Trong quá trình giải bài toán, HS cần tính diện tích một mặt của khối tứ diện đều (chọn là mặt đáy), tính chiều cao tương ứng với mặt đáy đó và cuối cùng là tính thể tích của khối tứ diện.

• Kĩ năng trình bày lời giải khoa học; sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị; đọc và vẽ

đồ thị chính xác, rõ ràng.

• Kĩ năng ước lượng, đo đạc có ý nghĩa giáo dục và ý nghĩa thực tiễn.

• Kĩ năng Toán học hóa các tình huống thực tiễn.

b) Nhóm kĩ năng về tư duy

• Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức trong giải toán

Đó là sắp xếp kiến thức theo trình tự giải, nhớ lại và huy động kiến thức, kinh nghiệm hữu ích để giải toán Là phân loại bài toán để lựa chọn kế hoạch và phương pháp giải; tập hợp các dữ kiện, xác định ẩn, biểu thị qua các mối liên hệ; xác định rõ giả thiết, kết luận phản ánh rõ các kí hiệu trong bài toán và biết sử dụng các phương pháp suy luận, các phương pháp tư duy khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa trong tiến trình giải toán; biết giải quyết từng cái riêng, bộ phận trong bài toán Từ đó, đi đến giải quyết cái chung, tổng thể của bài toán (và ngược lại)

• Kĩ năng tổng hợp

Đó là kĩ năng liên kết các dữ kiện trong bài toán; khái quát các dấu hiệu, tóm tắt nội dung bài toán; xác định rõ giả thiết, kết luận; kết cấu lại đề toán, định hướng tiến trình bài giải toán

• Kĩ năng phân tích

Có kĩ năng này, học sinh biết phân tích các quan hệ và cấu trúc của bài toán; nhận dạng các ý trọng tâm; dự đoán, phân tích và khắc phục các sai lầm trong quá trình giải toán; phân loại các khả năng có lời giải hoặc cách đi đến lời giải và xác định trọng tâm cần giải quyết trong bài toán

• Kĩ năng mô hình hóa

Hành động mô hình hóa bài toán là hành động chuyển bài toán thành mô hình và phân tích quan hệ Toán học cũng như các phương pháp Toán học sử dụng trên mô hình đó Đây là một kĩ năng cần thiết để giải toán có ứng dụng thực tiễn và các bài toán liên môn khác

• Kĩ năng sử dụng thông tin

Đó là kĩ năng cần thiết, thu nhập và ghi nhận thông tin từ nội dung bài toán; phân loại, sắp xếp và thể hiện qua các kênh thông tin trong hoạt động giải toán để

tạo cơ sở huy động kiến thức, vốn kinh nghiệm có liên quan hữu ích đến việc giải bài toán

1.2.3 Vai trò của dạy học giải toán với việc rèn luyện kĩ năng giải toán

Như chúng ta đã biết, cơ sở của kĩ năng là kiến thức Người có kĩ năng thực hiện một hành động nào đó phải biết vận dụng những khái niệm và những kiến thức

đã lĩnh hội được vào giải quyết những nhiệm vụ cụ thể; phải biết lựa chọn tri thức một cách đúng đắn và phù hợp với mục tiêu của hành động

Con đường đi từ kiến thức đến kĩ năng rất phong phú và nó phụ thuộc vào nhiều “tham số” như kiến thức (xác định kĩ năng), yêu cầu rèn luyện kĩ năng, mức

độ chủ động, tích cực của học sinh Kĩ năng Toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các hoạt động Toán học và các hoạt động học tập khác trong môn Toán Vì thế, con đường tốt nhất và đảm bảo tính sư phạm cho sự hình thành kĩ năng là: học sinh - chủ thể hoạt động và thu nhận kĩ năng - tham gia các quá trình dạy học giải toán bằng những hoạt động học tập, chủ động và tích cực

Ví dụ 1.12 Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại có độ dài bằng a

Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a và x

GV tổ chức HS tham gia 4 bước của quy trình G.Polya

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán: HS phân tích, làm rõ dữ kiện đặt ra của bài toán

+ HS viết giả thiết, kết

luận của bài toán:

+ HS vẽ hình chính xác

Bước 2: Tìm cách giải

Kĩ năng tìm kiếm, đề ra hướng giải bài

toán: HS xác định được công thức tính thể tích

khối tứ diện, xác định đáy của khối chóp, công

thức tính diện tích đáy và hướng tính độ dài

đường cao DH qua độ dài đoạn thẳng CH

Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán: HS vận dụng tri thức về thể tích khối chóp, công thức diện tích tam giác, định lí Pythagore.

Kĩ năng tính toán: Tính độ dài đoạn thẳng, tính diện tích tam giác, tính thể tích khối tứ diện

Bước 3: Trình bày lời giải

Kĩ năng trình bày lời giải khoa học

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá tiến trình và kết quả của bài toán

+ Có thể tính diện tích đáy ABC theo công thức Hê-rông hoặc công thức

Kĩ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của HS

+ Nếu cho x = a, ta có ABCD là khối tứ diện đều

+ Nếu coi a là hằng số thì thể tích ABCD là một hàm số theo biến x Khi đó

ta có thể tìm x để thể tích ABCD là lớn nhất

1.3 NỘI DUNG VÀ TÌNH HÌNH DẠY HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Ở TRƯỜNG THPT

1.3.1 Nội dung dạy học khoảng cách và thể tích khối đa diện

Trong chương trình THPT, vấn đề khoảng cách được trình bày trong bài trong bài 5, bài cuối chương 3 hình học lớp 11 Với thời lượng 3 tiết, bài “§5 Khoảng cách” trình bày khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng; Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau; Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng; Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

Trong các loại khoảng cách thì vấn đề xét khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau có phần rắc rối hơn cả Để đơn giản, SGK chỉ đưa ra định nghĩa đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và sau đó đưa ra định nghĩa

khoảng cách giũa hai đường thẳng này và trình bày cách tìm đường vuông góc chung đó mà không chứng minh định lí về sự tồn tại và duy nhất của đường vuông góc chung.

Trong khi làm toán, chúng ta thường thấy bài toán xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thường khó hơn bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng đó Khi nói về đường vuông góc chung của hai đường thằng chéo nhau cần lưu ý cho học sinh chú ý tới hai tính chất quan trọng của đường thẳng này là:

+ Vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước

+ Cắt cả hai đường thẳng này

Do tính chất của đoạn vuông góc chung so với các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì khác lần lượt nằm trên hai đường thẳng chéo nhau cho trước, người ta mới đưa ra định nghĩa khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Còn vấn đề thể tích khối đa diện được trình bày trong 3 tiết ở bài 3, cuối chương 1 hình học lớp 12 Bài “§3 Khái niệm thể tích khối đa diện” trình bày về khái niệm thể tích khối đa diện, thể tích khối hộp chữ nhật, công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ Như vậy, nội dung bài học giúp cho học sinh biết khái niệm về thể tích khối đa diện, biết công thức tính thể tích khối lăng trụ và khối chóp

và tính được thể tích khối lăng trụ, khối chóp

Lí thuyết về thể tích của các khối đa diện khá phức tạp, không thể trình bày một cách chặt chẽ và đầy đủ cho học sinh phổ thông Chúng ta thừa nhận các tính chất hiển nhiên sau của thể tích:

+ Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

+ Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích các khối đa diện nhỏ đó.

Thể tích của khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông bằng Bh, trong đó

B là diện tích đáy của lăng trụ và h là chiều cao của lăng trụ (Bằng cách ghép hình lăng trụ đứng như thế với một khối lăng trụ bằng nó sao cho ta được một khối hộp chữ nhật, ta suy ra điều phải chứng minh)

Thể tích của khối lăng trụ đứng bất kì bằng Bh, trong đó B là diện tích đáy và h

là chiều cao của lăng trụ (Chứng minh bằng cách chia hình lăng trụ đứng đã cho thành các hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông Muốn vậy ta chia đáy hình lăng trụ đã cho thành các tam giác, và mỗi tam giác chia thành hai tam giác vuông)

Thể tích của khối chóp tam giác bằng

1 Bh 3

với B là diện tích đáy, h là chiều cao (Dùng phương pháp giới hạn)

Từ những công thức tính thể tích trên, ta suy ra rằng nếu hàm thể tích tồn tại thì nó là duy nhất SGK trình bày phần này đúng theo trình tự trên, tuy nhiên bỏ qua những chứng minh phải dùng giới hạn

1.3.2 Thực tế rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện ở một số trường THPT tỉnh Lào Cai

Để đề ra được các giải pháp tốt cho việc rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện thì một nhiệm vụ quan trọng của đề tài là phải điều tra và đưa ra nhận xét cụ thể về việc: Trong thực tế ở trường THPT, giáo viên

và học sinh đã tiến hành “Giải bài toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện” như thế nào? Những mặt nào tốt và những mặt nào còn chưa tốt? Những khó khăn, tồn tại nào mà học sinh đang gặp khi giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện? Vì thế, chúng tôi đã phát phiếu thăm dò và nói chuyện với 11 thầy cô trong tổ Toán, trường THPT số 1 Bảo Thắng về thực tế dạy và học giải toán về khoảng cách

và thể tích khối đa diện hiện nay

Câu hỏi 3: Thầy cô thường xuyên gặp khó khăn gì khi rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện cho HS?

Chúng tôi đã nhận, tổng hợp và phân tích một số kết quả như sau:

- Trả lời câu hỏi 1: Đa số các thầy cô coi việc rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện cho HS là thật sự quan trọng Vì:

+ Việc rèn luyện kĩ năng này giúp HS nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau; có thói quen, động lực tìm lời giải tối ưu cho các bài toán

+ Trong đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi tuyển sinh cao đẳng, đại học tần số xuất hiện của bài toán khoảng cách, thể tích khối đa diện là rất lớn Có kĩ năng giải toán về khoảng cách, thể tích khối đa diện HS có công cụ tốt để giải nhiều bài tập

có liên quan

- Trả lời câu hỏi 2: Việc rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách, thể tích khối đa diện hiện nay ở trường chưa được chú trọng đúng mức Hơn nửa số thầy cô được hỏi đã không chú trọng rèn luyện kĩ năng này cho HS trong vài năm gần đây Một số thầy cô có giới thiệu các dạng toán và các bước thực hiện cho HS song không thành hệ thống hoặc không có kế hoạch cụ thể, mà thường rải rác trong các tiết ôn tập chương, ôn tập cuối năm Đa số các thầy cô cho rằng: có quá ít thời gian trong phân phối chương trình để rèn luyện kĩ năng cho HS vì hoạt động rèn luyện kĩ năng cho HS luôn đòi hỏi nhiều thời gian Ngoài ra, tuy tài liệu về bài toán khoảng cách, thể tích khối đa diện rất phong phú, song việc chọn lựa hệ thống bài tập như thế nào cho phù hợp với điều kiện về thời gian, trình độ của HS là vấn đề tương đối khó khăn đặc biệt với GV trẻ, ít kinh nghiệm

- Trả lời câu hỏi 3: Theo các thầy cô có chú ý đến việc rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách, thể tích khối đa diện cho HS, nội dung này còn một số khó khăn tồn tại Về mặt nội dung, kiến thức cần thiết để giải bài tập nằm rải rác ở toàn bộ chương trình Ví dụ như kiến thức về diện tích tam giác ở lớp 10, kiến thức về quan

hệ vuông góc ở lớp 11 và kiến thức về phân chia khối đa diện ở lớp 12 Đây đều là những nội dung kiến thức khó, không phải HS nào cũng ghi nhớ được Về mặt phương pháp, hoạt động dạy học thường thấy ở tiết luyện tập (GV giao bài tập, HS suy nghĩ, em nào làm được sẽ trình bày lên bảng, GV chữa bài, nhận xét rồi chuyển

sang bài tập khác) tỏ ra không có hiệu quả tốt Mặt khác, HS thường gặp một số khó khăn, sai lầm trong giải toán về khoảng cách, thể tích khối đa diện như sau:

+ HS vẽ hình chưa đạt, hình còn rối, gây cảm trở việc nhìn hình vẽ để tư duy giải toán

+ HS chưa xác định được hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng (hoặc đường thẳng), chưa xác định được đường cao của khối đa diện

+ HS không xác định được hoặc xác định sai các yếu tố như góc giữa hai đường thăng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng…

+ HS tính toán chiều cao, diện tích đáy và thể tích khối chóp còn nhầm lẫn.+ HS trình bày lời giải chưa rõ ràng

Trước tình hình thực tế như vậy, chúng tôi nhận thấy rằng: Việc lựa chọn, phân tích và phân loại các bài tập đa dạng, hợp lí theo từng chủ đề kiến thức hoặc từng phương pháp giải toán và việc đề xuất những biện pháp sư phạm hợp lí sử dụng hệ thống bài tập này là cần thiết đối với hoạt động rèn luyện kĩ năng giải toán khoảng cách và thể tích khối đa diện

1.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong chương 1, chúng tôi đã nghiên cứu những vấn đề lí luận cơ bản liên quan đến bài tập toán vai trò của bài tập toán đối với việc hình thành và phát triển kĩ năng của HS, những yêu cầu của một lời giải toán; cũng như khái niệm kĩ năng nói chung Các hoạt động thành phần tương ứng với các kĩ năng cần được rèn luyện của quá trình giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện đã được trình bày và được coi là cơ sở để chúng tôi xác định những biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện

kĩ năng giải toán cho HS, được làm rõ ở chương 2

Mặt khác, thông qua phương pháp nghiên cứu tài liệu (chương trình, SGK, sách chuyên ngành, bài báo, luận văn) và điều tra thực tế (phiếu điều tra, phỏng vấn), ở chương 1, chúng tôi đã tìm hiểu thực trạng tình hình dạy và học nội dung khoảng cách và thể tích khối đa diện ở trường THPT, xem xét từ góc nhìn “rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện cho HS”

Dựa trên việc phân tích, đánh giá cơ sở lí luận và thực tiễn kể trên, chúng tôi nhận thấy sự cần thiết, cũng như cơ sở định hướng cho giải pháp sư phạm giúp hình thành và phát triển kĩ năng giải toán về khoảng cách, thể tích khối đa diện Từ đó,

lựa chọn, phân loại để xây dựng một hệ thống bài tập; đồng thời đề xuất một số biện pháp sư phạm cụ thể trong dạy học, nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS Những vấn đề chi tiết đó sẽ được trình bày ở chương tiếp theo.

CHƯƠNG 2 - RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN VỀ KHOẢNG

CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN2.1 ĐỊNH HƯỚNG SƯ PHẠM

2.1.1 Tổ chức dạy học bám sát con đường hình thành và phát triển kĩ năng giải toán

Quá trình dạy học diễn ra nhờ sự kết hợp giữa hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò Do đó, các tác động sư phạm hướng tới hoạt động học của học sinh phải thông qua biện pháp sư phạm dành cho hoạt động dạy của giáo viên Các biện pháp sư phạm cần tập trung phát triển các dạng hoạt động của học sinh để qua đó rèn luyện các kĩ năng của học sinh như kĩ năng nhận thức, kĩ năng thực hành, kĩ năng tổ chức hoạt động, kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá Hoạt động dạy học Toán ở trường THPT nói riêng cũng phải gắn việc truyền thụ tri thức Toán học với việc rèn luyện các kĩ năng tư duy và phát triển năng lực trí tuệ của học sinh Các biện pháp rèn luyện kĩ năng thực hành nói chung và kĩ năng giải toán cho học sinh nói riêng phải nhằm vào việc biến các kiến thức và kĩ năng cơ bản trong từng chương, từng mục kiến thức và kĩ năng thực tế của học sinh thông qua các bài tập toán Để thực hiện quá trình chuyển hóa này, giáo viên cần căn cứ theo con đường hình thành và phát triển kĩ năng trong mối quan hệ với hoạt động dạy học giải toán được trình bày trong chương 1 của luận văn

Như vậy, một trong những định hướng sư phạm chủ đạo đảm bảo sự rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện đạt hiệu quả tốt đó là: Tổ chức dạy học giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện bám sát con đường hình thành và rèn luyện kĩ năng giải toán của học sinh, qua các giai đoạn sau:

- Giai đoạn 1: Giáo viên tổ chức hoạt động học tập (học mới hoặc là củng cố) tri thức (khái niệm, định nghĩa, quy tắc, định lí, hệ quả…) được trình bày trong SGK

- Giai đoạn 2: Giáo viên đưa ra những bài tập cơ bản (hoặc là ví dụ mẫu) và gợi động cơ, gây hứng thú để học sinh tích cực tham gia vào việc giải

- Giai đoạn 3: Giáo viên tổ chức HS nhận dạng và thể hiện phương pháp giải các dạng bài tập cơ bản

- Giai đoạn 4: Học sinh thực hành, luyện tập (áp dụng phương pháp) giải các bài tập tương tự (mang tính áp dụng) và nâng cao.

- Giai đoạn 5: Giáo viên tổ chức hoạt động khái quát hóa một số dạng bài tập, lựa chọn phương pháp thích hợp cho mỗi dạng toán

2.1.2 Tổ chức hoạt động học tập, tích cực trong quá trình học lí thuyết làm cơ sở cho hoạt động giải toán

Mục tiêu quan trọng đầu tiên của việc tổ chức các hoạt động học tập là đảm bảo cho học sinh nắm vững một cách vững chắc và có hệ thống các kiến thức chuẩn được quy định trong SGK Mục tiêu này được thực hiện trong quá trình học lí thuyết, là quá trình giáo viên tổ chức hoạt động cho học sinh tiếp nhận kiến thức chuẩn (khái niệm, định nghĩa, quy tắc, định lí, hệ quả…) và gợi động cơ, hướng học sinh vào hoạt động giải các bài tập cơ bản mang tính chất minh họa cho kiến thức chuẩn và dần định hướng phương pháp giải các dạng bài tập cơ bản Đảm bảo hiệu quả học tập trong quá trình học lí thuyết sẽ là cơ sở cho hoạt động giải toán nói chung và sự hình thành kĩ năng giải toán của học sinh nói riêng diễn ra thuận lợi

Dựa trên quan điểm hoạt động định hướng đổi mới phương pháp dạy học, trong quá trình dạy học lí thuyết, giáo viên cần tổ chức những hoạt động học tập đáp ứng được yêu cầu cụ thể như sau:

- Tạo ra được những tình huống hấp dẫn, gợi ra những hoạt động tương thích với nội dung và mục tiêu dạy học

- Đảm bảo học sinh hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo, có sự trao đổi giữa học sinh với học sinh và giữa học sinh với giáo viên Với các bài tập đã có phương pháp giải được trình bày trong SGK, học sinh cần phải tự xác định cách làm Cụ thể là khi giải, học sinh làm việc độc lập, khi gặp khó khăn, có thể trao đổi với giáo viên để từng bước tìm được lời giải thỏa đáng

- Giáo viên chủ động trong việc điều tiết hoạt động học tập, giúp đỡ học sinh vượt qua những khó khăn bằng cách phân tách hoạt động giải thành những hoạt động thành phần đơn giản hơn, hoặc cung cấp chọ học sinh một số tri thức phương pháp

- Giáo viên cần giúp học sinh xác nhận những tri thức đã đạt được trong quá trình hoạt động; đưa ra những bình luận cần thiết để học sinh hiểu tri thức đó một cách sâu sắc, đầy đủ hơn

2.1.3 Tăng cường thực hành luyện tập tính khoảng cách, thể tích khối đa diện thông qua hệ thống bài tập chọn lọc

Việc thực hành luyện tập, củng cố tri thức, kĩ năng một cách có định hướng

và hệ thống có một ý nghĩa to lớn trong dạy học Toán nói chung và trong việc rèn luyện kĩ năng giải toán nói riêng Điều đó, trước hết là do cấu trúc của SGK Toán THPT theo cách là: mỗi lĩnh vực nội dung mới đều dựa vào những lĩnh vực nội dung đã được học trước kia Việc luyện tập, củng cố cần được thực hiện đối với tất

cả các thành phần của nhân cách đã được phát biểu thành mục tiêu trong chương trình, tức là không chỉ đối với tri thức mà còn đối với các kĩ năng, kĩ xảo, thói quen

và thái độ Tuy nhiên, việc luyện tập, củng cố chỉ có thể được thực hiện dựa trên những nội dung và phương tiện cụ thể Vì vậy, dưới đây chúng tôi xét trọng tâm là việc luyện tập, củng cố tri thức và kĩ năng giải toán thông qua các bài tập được lựa chọn một cách hợp lí, dưới hình thức khác nhau như luyện tập, đào sâu, ứng dụng,

hệ thống hóa và ôn tập Đó là cơ sở để tăng cường hoạt động thực hành luyện tập giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện thông qua hệ thống bài tập được lựa chọn, một trong những định hướng sư phạm cho việc rèn luyện kĩ năng giải toán

về khoảng cách và thể tích khối đa diện của học sinh

2.1.4 Chú trọng rèn luyện và củng cố kĩ năng giải toán về khoảng cách, thể tích khối đa diện thông qua các tình huống có chứa sai lầm.

Khái niệm “sai lầm” trong luận văn được hiểu là sai lầm “phổ biến” chứ không phải là sai lầm ngẫu nhiên, mang tính cá nhân, chủ quan của một số ít HS Chúng tôi sử dụng định nghĩa của Lê Thống Nhất [7]: Sai lầm (phổ biến) của HS khi giải toán là điều trái với yêu cầu khách quan (yêu cầu bài toán) hoặc lẽ phải (khái niệm, định nghĩa, tiên đề, định lí, quy luật, phương pháp suy luận…), dẫn tới không đạt được yêu cầu của giải toán mà những điều này xuất hiện với tần số cao trong lời giải của nhiều HS “Sai lầm” khi giải toán không chỉ lưu ý quan trọng trong dạy học giải toán mà còn là “chiến lược” giúp HS rèn luyện, củng cố kĩ năng

và bản lĩnh giải toán

Chỉ ra những sai lầm trong lời giải của HS là điều cần thiết song điều quan trọng hơn đối với GV là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm đó

Theo tác giả Lê Thống Nhất [7], có bốn nguyên nhân cơ bản về mặt kiến thức dẫn đến những sai lầm của HS, đó là:

- HS hiểu không đầy đủ và chính xác các thuộc tính của khái niệm toán học Việc không nắm vững nội hàm, ngoại diên của một khái niệm sẽ dẫn HS tới sự hiểu không trọn ven, thậm chí sai lệch bản chất khái niệm Ví dụ, HS không hiểu sự khác nhau giữa khái niệm vuông góc trong mặt phẳng và vuông góc trong không gian, nhiều em HS coi hai đường thẳng vuông góc trong không gian thì nhất thiết là chúng phải cắt nhau dẫn đến sai lầm trong giải toán

- HS không nắm vững cấu trúc logic của định lí Định lí là mệnh đề đã được

khẳng định đúng, có cấu trúc dạng A→B Trong đó, A là giả thiết của định lí và cho chúng ta biết phạm vi sử dụng được định lí Người ta còn nói A là điều kiện đủ

để có B Nhưng khá nhiều HS lại không nắm vững hoặc coi thường giả thiết A nên dẫn tới sai lầm khi giải toán Chẳng hạn học định lí về điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, HS phải tìm ra hai đường thẳng cắt nhau nhưng nhiều em tìm ra một đường thẳng hoặc hai đường thẳng song song đã vội vàng kết luận dẫn đến sai lầm

- HS thiếu các kiến thức cần thiết về logic, Nhiều HS chưa nắm vững các phép toán của đại số mệnh đề: phủ định, kéo theo, tuyển, hội, tương đương Ngay việc sử dụng từ nối “và”, “hoặc” vẫn là điều khó khăn của rất nhiều HS Lẽ

ra cần khẳng định là: “tam giác cân hoặc vuông” thì lại khẳng định “tam giác là vuông cân”

- HS không nắm vững phương pháp giải các bài toán cơ bản Do đó, HS không nghĩ được đủ các khả năng cần xét, dẫn đến đặt điều kiện sai HS có thể không áp dụng đúng phạm vi và dẫn đến bế tắc, không đi đến lời giải Quên mất phương pháp giải, HS có thể bỏ qua các bước quan trọng, đi ngay đến kết luận Lời giải của HS sẽ không có trình tự logic và sẽ không biết khi nào kết thức lời giải

Nắm vững tri thức là cơ sở của việc rèn luyện kĩ năng và phát triển tư duy cho học sinh Khi học sinh nắm được các công thức, các định lí, các quy tắc, các phương pháp được trình bày trong sách giáo khoa thì họ mới có thể vận dụng tốt trong giải toán.

Trong dạy học nói chung, GV cần quan tâm cả những tri thức cần thiết lẫn những tri thức đạt được trong quá trình hoạt động, đặc biệt là tri thức phương pháp,

bởi nó định hướng trực tiếp cho hoạt động và ảnh hưởng quan trọng đến việc rèn luyện kĩ năng Tri thức phương pháp thể hiện ở hai loại phương pháp khác nhau về bản chất, song đều có ý nghĩa to lớn, đó là những phương pháp có tính chất tìm đoán (ví dụ quy trình giải bài tập toán của Polya) và những phương pháp có tính chất thuật toán, tựa thuật toán (ví dụ phương pháp tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau)

- Để đảm bảo quá trình hình thành và phát triển kĩ năng giải bài tập toán, GV cần giáo viên cần giới thiệu và rèn luyện cho HS thực hành giải bài tập toán theo quy trình 4 bước của Polya [12] - được coi là tri thức cơ bản về phương pháp giải toán:

+ Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

+ Bước 2: Tìm cách giải

+ Bước 3: Trình bày lời giải

+ Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Khi đã nắm vững quy trình giải toán chung nhất như trên, cộng với những tri thức phương pháp về nội dung Toán học cụ thể, HS có thể tự tìm tòi, khám phá tìm đến lời giải của nhiều bài toán mới

- Bên cạnh phương pháp chung mang tính chất tìm đoán đã trình bày trên, để

HS giải được những bài toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện, GV cần dạy mới, hoặc là củng cố lại những tri thức:

1 Những khái niệm, tính chất cần thiết có liên quan tới giả thiết, kết luận của bài toán (tri thức sự vật).

2 Phương pháp giải có thể có của loại bài toán đó Đó chính là những

phương pháp mang tính chất tựa thuật giải để giải từng dạng bài toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện khác nhau (tri thức phương pháp)

Chẳng hạn, tri thức phương pháp tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Giả sử a và b là hai đường thẳng

tại A

+ Bước 4: Từ A dựng AB//MM ' cắt b tại B, đoạn AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a

.+ Bước 3: Trong mặt phẳng ( )α

, vẽ

OH ⊥ b ', H ∈ b '.

+ Bước 4: Từ H dựng đường thẳng a’

song song với a cắt b tại B

+ Bước 5: Từ B dựng đường thẳng

song song với OH cắt a tại A Đoạn AB là

đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b

2.2.1.2 Nội dung và cách thức thực hiện:

GV cần củng cố vững chắc tri thức sự vật để làm nền tảng cho HS đồng thời

GV sưu tầm, lựa chọn hệ thống tri thức phương pháp tựa thuật giải các dạng bài toán về khoảng cách, thể tích khối đa diện thường gặp ở cấp THPT, song không phải để dạy tất cả các tri thức phương pháp cho HS một cách tường minh, mà còn phải căn cứ vào mục tiêu và điều kiện cụ thể để chủ động lựa chọn cách thức; cấp

độ truyền thụ một cách hợp lí: hoặc dạy một các tường minh; hoặc thông báo trong quá trình tiến hành hoạt động; hoặc chỉ thực hành ăn khớp với một tri thức phương pháp nào đó; hay là một hình thức trung gian giữa những hình thức này

a) Củng cố tri thức sự vật để làm nền tảng cho HS giải toán

HS cần nắm được khái niệm thế nào là khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa

hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau HS cần hiểu và vận dụng được định lí về điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, định lí ba đường vuông góc…

HS cần nhớ các công thức tính thể tích khối chóp:

1

V B.h 3

+ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

+ Định lí sin, cosin trong tam giác

+ Công thức diện tích tam giác:

=

, bán kính

đường tròn ngoại tiếp

a 3R

4

=

Ngoài ra, HS còn cần nhớ các cách xác định góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng…; các tính chất về quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong chương trình Hình học 11

b) Chủ động dạy tri thức phương pháp để làm phương tiện cho HS giải toán

(i) Dạy tường minh tri thức phương pháp được phát biểu một cách tổng quát

Theo cách này, GV rèn luyện cho HS qua những hoạt động, dựa trên tri thức phương pháp được phát biểu một cách tổng quát Thông qua từng bước hoạt động,

GV cần làm cho HS hiểu được ngôn ngữ

diễn tả trước đó và tập cho HS biết hành

động dựa trên phương tiện ngôn ngữ này Ví

dụ như khi dạy công thức thể tích khối chóp,

GV thông báo công thức tổng quát, rồi tổ

chức HS hình thành các bước giải tổng quát:

(Hình 2.4)

+ Bước 1: Xác định và tính chiều cao

của khối chóp

+ Bước 2: Tính diện tích đáy của khối chóp

+ Bước 3: Áp dụng công thức, tính thể tích khối chóp

Sau đó, GV yêu cầu HS giải bài tập:

Trong tình huống này, HS nhận dạng được đường cao là đoạn thẳng SO, rồi tiến hành xét tam giác SOA để tính SO, tính diện tích tam giác đều ABC dẫn đến kết quả cuối cùng

Như vậy, tri thức phương pháp tựa thuật giải này là công cụ để học sinh giải, trình bày lời giải các bài tập thể tích khối chóp, khối lăng trụ có thể xác định được đường cao

Và thông qua giải các bài tập tương tự HS sẽ nắm vững tri thức phương pháp, cũng như rèn luyện kĩ năng trình bày lời giải khoa học

(ii) Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động

Đối với những tri thức phương pháp chưa quy định trong chương trình, GV vẫn còn có thể suy nghĩ khả năng thông báo chúng trong quá trình HS hoạt động giải bài toán cụ thể có liên quan đến tri thức phương pháp đó, nếu những tiêu chuẩn sau đây được thỏa mãn:

- Những tri thức phương pháp này giúp HS dễ dàng thực hiện một số hoạt động quan trọng nào đó được quy định trong chương trình.

- Việc thông báo những tri thức này tốn ít thời gian và HS dễ hiểu

Ví dụ 2.2

GV tổ chức hoạt động giải bài toán thể tích bằng cách áp dụng các công thức thể tích khối đa diện Hướng xác định đường cao của các bài tập này như sau:

+ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA

vuông góc với đáy và SA h= Tính thể tích khối chóp S.ABCD

HS có thể xác định được ngay chiều cao của khối chóp là SA.

+ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên

(SAB) vuông góc với đáy, SA SB b= = Tính thể tích khối chóp S.ABCD

HS có thể xác định được chiều cao SH với H là trung điểm của AB.

+ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a= , BC b= ;

SA SB SC SD l = = = =

Tính thể tích khối chóp S.ABCD

HS có thể xác định được chiều cao là SO với O là tâm đường tròn ngoại tiếp

đa giác đáy.

Sau đó, GV yêu cầu HS rút ta một số dấu hiệu chung để nhận biết từng loại khối chóp có thể xác định được chiều cao HS phân tích từng dạng toán và thảo luận Dưới sự hướng dẫn của GV, HS có thể rút ra phương pháp xác định đường cao như sau:

+ Nếu khối chóp có 1 cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó là đường cao.+ Nếu khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường thẳng vuông góc với giao tuyến của mặt bên đó và mặt đáy là đường cao

+ Nếu các cạnh bên của khối chóp đều bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

c) Tập luyện thông qua những hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp.

Trong một số tình huống, GV không nhất thiết phải chỉ ra tường minh tri thức phương pháp mà chỉ tập luyện những hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp đó cho HS Những tri thức như thế cần được GV vận dụng một cách có ý thức trong việc ra bài tập, trong việc hướng dẫn và bình luận hoạt động của HS Nhờ đó

HS làm quen được với những phương pháp này Ví dụ khi hướng dẫn HS giải bài

đi lặp lại nhiều lần, sẽ dần lĩnh hội và vận dụng chúng như một chiến lược giải toán khoảng cách và thể tích khối đa diện

2.2.2 Biện pháp 2: Lựa chọn hệ thống bài tập tập trung vào những hoạt động gắn với kỹ năng giải toán có sự phân bậc hoạt động.

2.2.2.1 Mục đích và nguyên tắc lựa chọn bài tập

Theo định hướng “Tăng cường thực hành luyện tập tính khoảng cách, thể tích khối đa diện thông qua hệ thống bài tập chọn lọc”, chúng tôi xác định một nhiệm vụ nghiên cứu trọng tâm và cũng là một giải pháp quan trọng nhằm rèn luyện

kĩ năng giải Toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện là xây dựng hệ thống bài tập ở THPT, với các chỉ dẫn phương pháp giải, các bài tập minh họa tương ứng, và các bài tập đề nghị thích hợp để làm phương tiện cho hoạt động rèn luyện kĩ năng giải Toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện

Qua hoạt động giải toán theo ý đồ sư phạm của GV, HS không những được củng cố, nắm vững kiến thức cơ bản về khoảng cách, thể tích khối đa diện mà còn

có kĩ năng giải các bài tập hình học không gian, từ đó phát triển kĩ năng giải toán nói riêng và kĩ năng ứng dụng tri thức Toán học vào việc thực hiện các nhiệm vụ toán cụ thể - giải bài tập toán nói chung Nguyên tắc của việc lựa chọn bài tập cho hoạt động thực hành luyện tập của HS là:

- Bám sát nội dung chương trình hiện hành; khai thác, lựa chọn các bài toán trong SGK, SBT, sách tham khảo và các đề thi tốt nghiệp, thi đại học, cao đẳng môn Toán

- Các bài toán được lựa chọn cẩn thận, có lời giải chi tiết, đáp ứng những yêu cầu với một bài tập toán (được trình bày ở mục 1.1.3) cũng như đối với việc rèn luyện kĩ năng giải toán

- Đảm bảo được tính hệ thống từ cơ bản đến nâng cao; đảm bảo tính cân đối,

Bước 1: Tìm mặt phẳng ( )β

chứa M và vuông góc với mặt phẳng ( )α

theo giao tuyến d

Bước 2: Kẻ MH vuông góc với d (H d∈ )

Suy ra MH⊥ α( )

hay d M;( ( )α =) MH

.Bước 3: Tính MH

Ví dụ 2.3

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’)

- Kĩ năng tìm hiểu nội dung đề bài

HS cần phân tích bài toán để làm rõ dữ kiện đặt ra Nên cho HS viết giả thiết, kết luận và vẽ hình một cách chính xác HS cần hiểu hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ có tính chất như thế nào?

- Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược, hướng giải bài toán

HS cần huy động tri thức về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, bằng kinh nghiệm có được từ những ví dụ đã thực hiện Từ đó các em tìm được cách xác định được hình chiếu của B trên mặt phẳng (ACC’A’)

- Kĩ năng kiểm tra đánh giá tiến trình và kết quả tránh sai lầm khi giải toán

Khi thực hiện tìm hình chiếu của B trên mặt phẳng (ACC’A’), HS dễ mắc sai lầm do xác định sai đường thẳng đi qua B và vuông góc với mặt phẳng (ACC’A’)

HS kiểm tra được đường thẳng BH vuông góc với mặt phẳng (ACC’A’) là chính xác vì BH⊥AC và BH⊥AA '

- Kĩ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của HS.

Từ việc tìm ra đường thẳng BH học sinh rút ra được rằng muốn xác định hình chiếu của điểm B thì đường thẳng phải dựng là đường thẳng qua B vuông góc

và cắt giao tuyến của hai mặt phẳng

(ACC’A’), (ABCD)

Lời giải

Dạng 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến

mặt phẳng ( )α

dựa vào tỉ lệ khoảng cách

Quy trình giải 2:

Bước 1: Tìm đường thẳng d qua M và

chứa một điểm A có thể tính được

khoảng cách đến mặt phẳng ( )α

.Bước 2: Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( )α

.Bước 3:

.Xét tam giác vuông SBH có: