BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TỈNH LẠNG SƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thay cho lối truyền thụ một chiều, thuyết trình, giảng giải, người giáoviên cần phải tổ chức cho học sinh được học tập trong hoạt động và bằng hoạtđộng, tự giác, tích cực, chủ động,

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Toán –Tin, đặc biệt là các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Phương pháp dạy học mônToán Trường Đại học sư phạm Hà Nội, đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt thờigian tôi học tập và hoàn thành khoá luận

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Duy Hưng

người thầy luôn nhiệt tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi thực hiện và hoàn thành khoáluận tốt nghiệp

Tôi cũng xin cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lạng Sơn, các thầy

cô giáo trong tổ Toán – Lý – Tin và các em học sinh của trường THPT NaDương – Lộc Bình – Lạng Sơn tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong thời giantham gia khóa học và trong đợt thực nghiệm sư phạm

Cuối cùng cho tôi gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè – những người

đã luôn quan tâm, cổ vũ, động viên khích lệ tôi trong quá trình học tập

Dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên luận văn không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót cần được góp ý, sữa chữa Tôi rất mong nhận được những ý kiến,nhận xét của các thầy cô giáo và bạn đọc

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Vi Văn Hiếu

QUY ƯỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT

SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt Viết đầy đủ

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Giả thuyết khoa học 3

5 Phương pháp nghiên cứu 4

6 Đóng góp luận văn 4

7 Cấu trúc luận văn 4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 NĂNG LỰC VÀ NĂNG LỰC GIẢI TOÁN 5

1.1.1 Năng lực 5

1.1.2 Năng lực toán học 6

1.1.3 Năng lực giải toán 7

1.2 DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN HỌC 14

1.2.1 Vị trí vai trò của bài tập Toán học 14

1.2.2 Dạy học phương pháp chung tìm lời giải bài toán 16

1.2.3 Bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS thông qua dạy học giải các phương trình lượng giác 17

1.3 THỰC TIỄN DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TỈNH LẠNG SƠN 19

1.3.1 Nội dung, mục tiêu dạy học chương trình PTLG 19

1.3.2 Phương pháp nghiên cứu điều tra 20

1.3.3 Đánh giá về thực tiễn dạy học PTLG 21

1.3.4 Đánh giá về việc bồi dưỡng năng lực giải PTLG cho HS 22

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 23 CHƯƠNG 2 CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI PTLG

2.1 ĐỊNH HƯỚNG XÂY DỰNG CÁC BIỆN PHÁP 24

2.2 CÁC BIỆN PHÁT BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11 THPT 24

2.2.1 Trang bị những kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản 24

2.2.2 Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải một số PTLG đơn giản 31

2.2.3 Trang bị và tập luyện cho HS phương pháp chung giải PTLG 39

2.2.4 Bồi dưỡng cho học sinh khả năng biến đổi tương đương các PTLG một cách linh hoạt sáng tạo và giải PT bằng nhiều cách 43

2.2.5 Phân tích các sai lầm khi giải PTLG 52

2.3 THIẾT KẾ MỘT SỐ TÌNH HUỐNG DẠY HỌC NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI PTLG 56

Tình huống 1: Rèn luyện kĩ năng biểu diễn nghiệm, loại nghiệm của PTLG trên đường tròn lượng giác 56

Tình huống 2: Rèn luyện cho HS năng lực tìm hướng giải cho bài toán 61

Tình huống 3: Giải phương trình lượng giác không mẫu mực 62

Tình huống 4: Luyện tập giải PTLG bằng phương pháp đặt ẩn phụ 64

Tình huống 5: Rèn luyện năng lực giải PTLG sử dụng biến đổi tương đương 65

Tình huống 6: Luyện tập giải PTLG sử dụng công thức hạ bậc 66

Tình huống 7: Tìm nghiệm phương trình lượng giác thuộc khoảng (a, b) 68

Tình huống 8: Vận dụng tính linh hoạt sáng tạo 70

Tình huống 9: Sáng tạo bài toán mới từ bài toán ban đầu 72

2.4 MỘT SỐ BÀI LUYỆN TẬP GIẢI PTLG 73

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 78

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 79

3.1 MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM 79

3.1.1 Mục đích 79

3.1.2 Nhiệm vụ 79

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 79

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 80

3.3 GIÁO ÁN DẠY HỌC THỰC NGHIỆM 82

3.4 KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 95

3.4.1.Khả năng lĩnh hội sử dụng kiến thức về dạy học giải toán và các mức độ khả thi của từng biện pháp rèn luyện năng lực giải toán trong thực nghiệm sư phạm 95

3.4.2.Về nội dung thực nghiệm sư phạm 96

3.4.3.Về học sinh thực nghiệm 96

3.4.4 Kết quả kiểm tra 97

3.4.5 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm 98

3.5 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN QUAN TÂM 98

KẾT LUẬN 100

TÀI LIỆU THAM KHẢO 101

PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Sự phát triển của xã hội và công cuộc đổi mới đất nước trong bối cảnhtoàn cầu hoá đang đặt ra yêu cầu cấp bách cần phải nâng cao chất lượng độingũ nguồn nhân lực Giáo dục cần đào tạo ra đội ngũ lao động có đủ năng lựcđáp ứng được những đòi hỏi mới của xã hội và thị trường lao động

Trong Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa

XI với nội dung Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêucầu công nghiệp hóa – hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường địnhhướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế Đảng và Nhà nước xác định mục

tiêu của đổi mới lần này là: “Tạo chuyển biến căn bản, mạnh mẽ về chất lượng, hiệu quả giáo dục, đào tạo; đáp ứng ngày càng tốt hơn công cuộc xây dựng, bảo vệ Tổ quốc và nhu cầu học tập của nhân dân Giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn diện và phát huy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân; yêu gia đình, yêu Tổ quốc, yêu đồng bào; sống tốt và làm việc hiệu quả”.

Về phương pháp giáo dục phổ thông, luật giáo dục Việt Nam, năm

2005, ở Điều 24 Khoản 2 đã viết: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải pháthuy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặcđiểm của từng lớp học, môn học, cần phải bồi dưỡng phương pháp tự học, rènluyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; cần phải đem lại niềm vui,hứng thú học tập cho học sinh”

Vì vậy, phương hướng đổi mới phương pháp dạy học là làm cho họcsinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Phảilàm sao trong mỗi tiết học học sinh được suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiềuhơn, hoạt động nhiều hơn Đây chính là tiêu chí, là thước đo đánh giá sự đổi mới

Thay cho lối truyền thụ một chiều, thuyết trình, giảng giải, người giáoviên cần phải tổ chức cho học sinh được học tập trong hoạt động và bằng hoạtđộng, tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo.

Bồi dưỡng năng lực giải toán có vai trò quan trọng trong việc phát triểnkhả năng tư duy của học sinh, vì để giải bài toán học sinh phải suy luận phải

tư duy, phải liên hệ với các bài toán khác để tìm ra lời giải; phải biết huy độngkiến thức, biết chuyển đổi ngôn ngữ, biến đổi đối tượng Mối liên hệ, dấu hiệutrong bài toán chỉ có thể được phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổnghợp, khái quát hoá, so sánh thông qua các thao tác tư duy đó học sinh tựmình phát hiện vấn đề, tự mình xác định được phương hướng, tìm ra cách giảiquyết và cũng tự mình kiểm tra, hoàn thiện kết quả đạt được của bản thâncũng như những ý nghĩ và tư tưởng của người khác Một mặt các em cũngphát hiện ra được những vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới

Mỗi địa phương đều có những nét đặc trưng nhất định về văn hoá,phong tục tập quán, cơ cấu phát triển kinh tế của mình Tỉnh Lạng sơn có đặcthù dân cư với đại đa số là người dân tộc thiểu số, trình độ dân trí và kinh tếcó nhiều chênh lệch.Trong các trường THPT ở tỉnh Lạng Sơn, bên cạnh rènluyện những kĩ năng giải toán cơ bản thì việc nâng cao bồi dưỡng năng lựccũng cần phải quan tâm, có phương pháp phù hợp nhằm khắc phục những hạnchế của học sinh về: phương pháp nhận thức, khả năng sử dụng ngôn ngữ,khả năng tư duy sáng tạo Thực tiễn dạy học ở trường THPT ở đây cho thấykết quả môn Toán còn chưa cao, kĩ năng học tập và kĩ năng giải bài tập toáncủa học sinh còn yếu

Nội dung PTLG nằm trong chương trình Đại số và giải tích lớp 11THPT, đây là một nội dung khó, và trừu tượng đối với học sinh THPT Phânphối thời gian giảng dạy và học tập chiếm thời gian rất ít Mặt khác ngoài

dạng PTLG khác ở đó đòi hỏi kĩ năng biến đổi, khả năng nhìn bài toán ở cáckhía cạnh khác nhau, kĩ năng giải toán thành thạo và sự sáng tạo nhất định Vìvậy, việc bồi dưỡng năng lực giải PTLG như nào vẫn còn là một vấn đề đặt racho giáo viên Do đó cần tìm ra các biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực giảiPTLG phù hợp với học sinh của nhà trường góp phần nâng cao hiệu quả trongdạy học chủ đề này.

Vì những lý do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:

“Bồi dưỡng năng lực giải phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 THPT tỉnh Lạng Sơn”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề xuất các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải PTLG chohọc sinh lớp 11 THPT tỉnh Lạng Sơn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Làm sáng tỏ khái niệm năng lực và năng lực giải toán của học sinh.

3.2 Điều tra thực tiễn dạy học PTLG lớp 11 ở một số trường THPT tỉnhLạng Sơn

3.3 Đề xuất các biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực năng lực giảiphương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 THPT

3.4 Tổ chức thực nghiệm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quảcủa các biện pháp đã đề xuất

4 Giả thuyết khoa học

Dựa vào sách giáo khoa hiện hành, nếu trong quá trình dạy học giảiToán, các giáo viên ở trường THPT, trên cơ sở hiểu biết những vấn đề cơ bảncủa năng lực giải Toán, chú ý bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh trongquá trình dạy nội dung PTLG đồng thời được cung cấp các biện pháp sưphạm thích hợp sẽ góp phần nâng cao năng lực giải PTLG cho học sinh, cũng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về tâm lýhọc, giáo dục học, các sách, tạp chí, các luận văn cao học có liên quan đến đềtài

- Phương pháp điều tra quan sát: Thực trạng dạy học môn Toán ở một

số trường THPT trong tỉnh Lạng Sơn

- Thực nghiệm sư phạm: Nhằm kiểm định tính khả thi và hiệu quả củacác biện pháp đã đề xuất trong luận văn

6 Đóng góp luận văn

- Giúp giáo viên và học sinh hiểu rõ thêm về NLGT, cung cấp một sốbiện pháp bồi dưỡng năng lực giải phương trình lượng giác cho học sinh trongdạy học toán

- Có thể sử dụng luận văn để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toánnhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy học môn Toán ở trường THPT

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận văngồm 3 chương

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải PTLG cho học sinhlớp 11 THPT

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.

1.1 NĂNG LỰC VÀ NĂNG LỰC GIẢI TOÁN

1.1.1 Năng lực

Kết quả nghiên cứu của các công trình tâm lý học và giáo dục học chothấy, từ nền tảng là các khả năng ban đầu, trẻ em bước vào hoạt động Quaquá trình hoạt động mà dần hình thành cho mình những tri thức, kỹ năng, kỹxảo cần thiết và ngày càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mớivới mức độ mới cao hơn Đến một lúc nào đó, trẻ em đủ khả năng bên trong

để giải quyết những hoạt động ở những yêu cầu khác xuất hiện trong học tập

và cuộc sống thì lúc đó học sinh sẽ có được một năng lực nhất định Dưới đây

là một số cách hiểu về năng lực:

+) Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người

khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao [22]

+) Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của

con người, đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiệncần thiết để hoàn thành có kết quả một số hoạt động nào đó [15]

+) Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người

đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết đểhoàn thành xuất sắc một số loại hoạt động nào đó (Dẫn theo[3])

Như vậy, cả ba định nghĩa đó đều có điểm chung là: năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẽ, và

do đó nó gắn liền với tính sáng tạo, tuy nó có khác nhau về mức độ (địnhnghĩa 3 gắn với mức độ hoàn thành xuất sắc)

Mọi năng lực của con người được biểu lộ ở những tiêu chí cơ bản nhưtính dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sángtạo và độc đáo trong giải quyết nhiệm vụ

Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đềuthừa nhận rằng con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chấtriêng, tức là sự thừa nhận sự tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhânthuận lợi cho sự hình thành và phát triển của những năng lực khác nhau.

1.1.2 Năng lực toán học

Theo V A Cruchetxki [10, tr 13] năng lực toán học được hiểu theo 2 ýnghĩa, 2 mức độ:

Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với

việc học Toán, đối với việc nắm giáo trình Toán học ở trường phổ thông, nắmmột cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt

động sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớnđối với xã hội loài người

Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cáchtuyệt đối Nói đến năng lực học tập Toán không phải là không đề cập tới nănglực sáng tạo Có nhiều em học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình Toán họcmột cách độc lập và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạplắm; đã tự tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minhcác định lý, độc lập suy ra các công thức, tự tìm ra các phương pháp giải độcđáo những bài toán không mẫu mực

Với mức độ học sinh trung bình, Luận văn chỉ chủ yếu tiếp cận NLTH theogóc độ thứ nhất (năng lực học toán) Sau đây là một số quan niệm về NLTH:

Quan niệm 1: Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân

(trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toánhọc và giúp cho việc nắm giáo trình Toán một cách sáng tạo, giúp cho việcnắm một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ

Quan niệm 2: Những năng lực học toán được hiểu là những đặc điểm

tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêucầu của hoạt động toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì

là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạoToán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễdàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học [5,tr 126]

Nói đến HS có năng lực toán học là nói đến học sinh có trí thông minhtrong việc học Toán Tất cả mọi học sinh đều có khả năng và phải nắm đượcchương trình trung học, nhưng các khả năng đó khác nhau từ học sinh này quahọc sinh khác Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi: Cácnăng lực này không phải nhất thành bất biến mà hình thành và phát triển trongquá trình học tập, luyện tập để nắm được hoạt động tương ứng; vì vậy, cầnnghiên cứu để nắm được bản chất của năng lực và các con đường hình thành,phát triển, hoàn thiện năng lực

Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ năng lực toánhọc Do vậy, trong dạy học toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung vàphương pháp thích hợp để sao cho mọi đối tượng học sinh đều được nâng caodần về mặt năng lực toán học

1.1.3 Năng lực giải toán

1.1.3.1 Năng lực giải toán

Năng lực giải toán là một phần của năng lực toán học Vậy năng lựcgiải toán là gì và thể hiện như thế nào?

Năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giảiquyết một bài toán cụ thể có tính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng

tư duy tích cực và sáng tạo, nhằm đạt kết quả cao sau một số bước thực hiện

Như vậy, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đó

cao so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành hoạtđộng giải toán đó trong các điều kiện tương đương.

Từ đặc điểm hoạt động trí tuệ của những học sinh có năng lực toán học

và khái niệm về năng lực giải toán ta có thể rút ra một số đặc điểm và cấu trúccủa năng lực giải toán như sau:

Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và các yêucầu của một lời giải rõ ràng, đẹp đẽ

Sự phát triển mạnh của tư duy logic, tư duy sáng tạo thể hiện ở khảnăng lập luận chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán

Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với các kí hiệu,ngôn ngữ toán học Khả năng chuyển đổi từ điều kiện của bài toán sang ngônngữ: kí hiệu, quan hệ, phép toán giữa các đại lượng đã biết, chưa biết vàngược lại

Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển củanăng lực giải quyết vấn đề

Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động trí óc caotrong lao động giải toán

Khả năng tìm tòi nhiều lời giải, huy động nhiều kiến thức một lúc vàoviệc giải bài tập, từ đó lựa chọn lời giải tối ưu

Có khả năng kiểm tra các kết quả đã đạt được và hình thành một sốkiến thức mới thông qua hoạt động giải toán, tránh được những nhầm lẫntrong quá trình giải toán

Có khả năng nêu ra được một số bài tập tương tự cùng với cách giải (cóthể là định hướng giải, hoặc quy trình có tính thuật toán, hoặc thuật toán đểgiải bài toán đó)

Có khả năng khái quát hóa từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát, từ

nhờ các thao tác trí tuệ: phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, trừu tượng, hệthống hóa, đặc biệt hóa.

Khi bàn về năng lực, cũng có nhiều ý kiến cho rằng: năng lực là dothượng đế ban cho Song nhiều ý kiến cho rằng đó chỉ là một phần nhỏ, cònphần nhiều là do sự tích lũy, sự bồi đắp, sự học hỏi, rèn luyện mà có Quátrình học tập học sinh sẽ được bổ sung các kiến thức, được trang bị cácphương pháp, từ đó năng lực giải toán được nâng lên Một phần do học sinh

tự nâng thêm năng lực của mình, một phần do các thầy cô giáo hướng dẫn,rèn luyện, bồi dưỡng

1.1.3.2 Một số thành tố của năng lực giải toán cần bồi dưỡng cho học sinh THPT 1.1.2.2.1 Năng lực dự đoán vấn đề

Theo Đào Văn Trung mô tả: “Dự đoán là một phương pháp tư tưởngđược ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học Đó là căn cứ vào cácnguyên lý và sự thật đã biết để nêu lên những hiện tượng và quy luật chưabiết Hay, dự đoán là sự nhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận” [31]

Dự đoán có vai trò quan trọng như thế trong khoa học, trong cuộc sống,vậy liệu có cách nào học được dự đoán hay không? Theo G.Polia thì “ trừnhững người được trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phảihọc tập để có được năng khiếu dự đoán đó Quá trình dự đoán có kết quả khiphán đoán mà chúng ta đưa ra gần với chân lý nhất, cần nghiên cứu dự đoáncủa mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổi dạng chúng đi nếu cần, và nhưvậy sẽ có kinh nghiệm phong phú (và sâu sắc) về các dự đoán sai và các dựđoán đúng Những dự đoán có thể rất táo bạo nhưng phải có căn cứ dựa trênnhững qui tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đoán mò, càng khôngphải là nghĩ liều” [28]

Để có năng lực dự đoán, phát hiện vấn đề thì điều kiện tiên quyết là HS

được rèn luyện các năng lực thành tố như: Năng lực xem xét các đối tượngToán học, năng lực tư duy biện chứng; năng lực so sánh, phân tích, tổng hợp,đặc biệt hoá, tổng quát hoá; năng lực liên tưởng các đối tượng, quan hệ đãbiết với các đối tượng tương tự, quan hệ tương tự.

1.1.2.2.2 Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ

Đứng trước một vấn đề, học sinh có thể gặp khó khăn khi tìm cách giảiquyết hoặc là muốn có nhiều cách giải quyết khác nhau Một trong nhữngphương án có thể đáp ứng được nhu cầu đó là năng lực chuyển đổi ngôn ngữcủa bài toán

Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ là một trong những năng lực quan trọng

để huy động kiến thức đối với việc giải toán Nó được thể hiện qua các hoạtđộng như:

- Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ nhìn nhận một nội dung toán họctheo mối liên hệ liên môn: đại số hoá, hình học hoá, lượng giác hoá,

- Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ trong nội tại hình học: từ phươngpháp tổng hợp sang phương pháp giải tích (gồm có phương pháp véc tơ vàphương pháp toạ độ), hoặc phương pháp biến hình

Việc chuyển đổi ngôn ngữ có thực hiện được hay không còn phụ thuộcvào kỹ năng phân tích bài toán tức là bài toán đó có thể chuyển sang đượcngôn ngữ nào, nếu là bài toán hình học thì làm sao để chuyển sang được ngônngữ véc tơ hoặc toạ độ Tuy nhiên không phải bài toán nào cũng chuyển đổiđược ngôn ngữ

Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ giúp học sinh có thêm những định hướng,những đường lối cho việc tìm tòi nhiều phương pháp, cách giải khác nhau

1.1.2.2.3 Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự

Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó, trong toán học hai bài toánđược gọi là tương tự nhau nếu hoặc chúng có cùng phương pháp giải; hoặc

cùng giả thiết, hoặc cùng kết luận; hoặc được đề cập đến những vấn đề giốngnhau, những đối tượng có tính chất giống nhau.

Biến đổi về dạng tương tự là một hoạt động biến đổi đối tượng, hoạtđộng này thể hiện trong tiến trình người giải toán phải làm bộc lộ đối tượngcủa hoạt động (các khái niệm toán học, các qui luật về mối liên hệ giữa cácđối tượng toán học, các quan hệ giữa chúng)

Nhờ quá trình biến đổi vấn đề, biến đổi các bài toán học sinh có thể quycác vấn đề trong tình huống mới, các bài toán lạ về các vấn đề quen thuộc, vềcác bài toán tương tự đã giải

Ví dụ 1.1: PT 2sin 2x 5sinx  3 0, nếu ta đặt t  sin ,x t  1 thì PTtrên trở thành PT bậc hai ẩn t quen thuộc

1.1.2.2.4 Năng lực nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau

Một bài toán có thể ta phải chuyển đổi ngôn ngữ bằng cách: đại số hoá,lượng giác hoá, hình học hoá; hoặc chuyển đổi trong nội tại của một ngôn ngữnhư: chuyển đổi ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véc tơ, toạ độ,biến hình Hoặc có thể nhìn nhận nó dưới nhiều “cái riêng” khác nhau, chẳnghạn nhìn tam giác là một tứ giác có một cạnh bằng không, một tứ giác có mộtgóc bằng 1800, cái tương tự như tứ diện trong không gian, hoặc xem xét, đặtnó trong môi trường không gian khác, chẳng hạn có thể nghiên cứu hình chóptrong hình hộp, đường tròn trong một mặt cầu,

Nếu đứng trước một vấn đề mỗi người làm toán có thói quen nhìn nhậntheo nhiều góc độ khác nhau dựa trên những tri thức, những kinh nghiệm đãcó thì sẽ hình thành dần nên trong họ một tư duy nhạy bén, sắc sảo một niềmtin sẽ giải quyết được vấn đề bởi lẻ bài toán đang giải đó nó còn ẩn tàngnhững cách giải ở những góc độ nào đó mà chúng ta phải khám phá ra

1.1.2.2.5 Năng lực phân chia trường hợp

Trong việc trình bày lý thuyết, hệ thống hoá các kiến thức, cũng như

Trong lôgic học, người ta quan niệm: “Phân chia khái niệm là thao táclôgic, chia các đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm cần phải phân chia thànhcác nhóm theo những tiêu chuẩn nhất định” [29, tr 72].

Nói cách khác, phân chia một khái niệm tức là đem ngoại diên của kháiniệm ấy chia thành nhiều bộ phận [9, tr 141]

Phân loại là phân chia một tập hợp đối tượng cho trước thành nhữngtập hợp con, dựa trên cơ sở một dấu hiệu chung

Giữa phân chia khái niệm và phân loại thường không có sự phân biệt rõràng, người ta thường dùng phân loại theo nghĩa phân chia khái niệm

Việc phân chia, phân loại phải tuân theo một số quy tắc nhất định:+ Sự phân chia (phân loại) phải triệt để, không bỏ sót;

+ Sự phân chia (phân loại) không trùng lặp;

+ Cùng một lúc không được đưa vào nhiều dấu hiệu khác nhau để phânchia (phân loại);

+ Phân chia phải liên tục [8, tr 141]

1.1.2.2.6 Năng lực suy luận logic

Trong lôgic học người ta quan niệm rằng: “Suy luận là quá trình suy nghĩ

để rút ra một mệnh đề từ một hoặc nhiều mệnh đề đã có trước” [30, tr 140]

Ta phải phân biệt hai hình thức suy luận: suy luận diễn dịch (suy diễn)

và suy luận quy nạp

a) Suy luận diễn dịch (hay phép suy diễn) là suy luận theo những quytắc (quy tắc suy diễn) xác định rằng nếu tiền đề (các tiền đề) là đúng thì kếtluận rút ra cũng đúng [9, tr 59]

b) Suy luận quy nạp: chúng ta gọi các kết luận được rút ra trên cơ sởcác quan sát và thực nghiệm, tức là những kết quả nhận được bằng con đườngxem xét các trường hợp riêng và sau đó khái quát lên thành những quy luật

Theo GS Nguyễn Cảnh Toàn: “Để đi đến cái mới trong Toán học phảibiết được tư duy lôgic và tư duy biện chứng Trong việc phát hiện vấn đề vàđịnh hướng giải quyết vấn đề thì tư duy biện chứng giữ vai trò chủ đạo, cònhướng giải quyết vấn đề đã rõ thì tư duy lôgic giữ vai trò chính” [30, tr 5].

1.1.2.2.7 Năng lực khái quát hóa

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợpđối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bậtmột số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [17, tr 55]

Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đếnphương pháp tư duy khái quát Đúng như Đại văn hào Nga - Lep Tônxtôi đãnói: “Chỉ khi trí tuệ của con người tự khái quát hoặc đã kiểm tra sự khái quátthì con người mới có thể hiểu được nó” Không có khái quát thì không cókhoa học; không biết khái quát là không biết cách học Khả năng khái quát làkhả năng học tập vô cùng quan trọng, khả năng khái quát Toán học là một khảnăng đặc biệt” [32, tr.170]

Để giúp học sinh phát triển năng lực khái quát hoá cần tập luyện cho họhoạt động khái quát hoá và điều cốt yếu nhất là nắm vững phương pháp kháiquát hoá Trên tinh thần đó, để phát triển năng lực khái quát hoá cho học sinhcó thể thực hiện theo các cách sau:

a) Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá trên cơ sở so sánhcác trường hợp riêng có sự tham gia của hoạt động phân tích - tổng hợp

b) Tập luyện cho HS hoạt động khái quát hoá trên cơ sở trừu tượng hoácùng với hoạt động phân tích và tổng hợp

c) Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá trên cơ sở hoạt độngtương tự hoá và đặc biệt hoá

Ví dụ 1.2: Sau khi chứng minh 0 0 0 3

sin 20 sin 40 sin80

8

 bằng khái quát

hoá ta tìm ra kết quả tổng quát:  0   0  1

3

Hoặc sau khi cho HS giải được PT 4 4

sin x cos x a ta có thể đưa rabài tập yêu cầu các em giải với dạng mũ chẵn cao hơn

1.1.2.2.8 Năng lực diễn đạt bài toán theo những cách khác nhau

Bài tập toán: Theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sự cần thiết phảitìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt đến mục đích trôngthấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay Giải toán tức là tìm phương tiệnđó (dẫn theo [19])

Như vậy, bài tập là một tình huống kích thích đòi hỏi người giải một lờigiải đáp, mà lời giải đáp này về toàn bộ hoặc từng phần không ở trạng thái cósẵn ở người giải tại thời điểm bài tập được đưa ra

Trong tự nhiên và xã hội, các sự vật có mối quan hệ với nhau và trongnhững điều kiện nào đó chúng có thể chuyển hoá qua nhau Trong lĩnh vựcToán học cũng vậy, có nhiều loại toán có liên quan với nhau Mối quan hệgiữa chúng trong những điều kiện nào đó cho phép ta có thể chuyển từ việcgiải bài toán này qua việc giải bài toán khác (có nội dung khác nhau)

Ta biết rằng, hiểu sâu vấn đề cần giải quyết là then chốt để giải quyếtvấn đề Độ sâu của sự hiểu biết này chủ yếu thể hiện ở việc nắm vững bản chấtvấn đề và biểu đạt nó dưới những dạng khác nhau Học cách biến hoá, thay đổi

sự diễn đạt vấn đề không những có lợi để nối thông các kiến thức liên quan vớinhau mà còn có lợi cho việc vận dụng linh hoạt các kiến thức đó

1.2 DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN HỌC

1.2.1 Vị trí vai trò của bài tập Toán học

Tham khảo tài liệu có thể thấy:

- Theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm

thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngày Giải toán tức là tìm raphương tiện đó.

- Tuy nhiên cũng cần có sự phân biệt giữa bài tập và bài toán Để giảibài tập, chỉ yêu cầu áp dụng máy móc các kiến thức, quy tắc hay thuật toán đãhọc Nhưng đối với bài toán, để giải được phải tìm tòi, giữa các kiến thức thể

sử dụng và việc áp dụng để xử lý tình huống con có khoảng cách, vì các kiếnthức đó không dẫn trực tiếp đến phương tiện xử lý thích hợp Muốn sử dụngđược những điều đã biết, cần phải kết hợp, biến đổi chúng, làm cho chúngthích hợp với tình huống

- Vị trí của bài tập toán: Giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt độngtoán học, giúp cho HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹnăng kỹ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn

- Chức năng của bài tập toán là: Dạy học, giáo dục, phát triển và kiểm tra

- Bài tập toán học có vai trò đặc biệt trong môn Toán Thông qua giảibài tập, học sinh phải thực hiện các hoạt động nhất định bao gồm cả nhậndạng định nghĩa, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phứchợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệchung, những hoạt động ngôn ngữ thể hiện qua ba bình diện

Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học: những bài tập cũng thể hiệnnhững chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy họcmôn Toán, cụ thể là:

+) Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các khâu khác nhaucủa quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn

+) Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hìnhthành những phẩm chất trí tuệ

+) Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những

Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giámang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện càiđặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho các tri thức nào đó đã được trìnhbày trong lý thuyết.

Thứ ba, trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giámang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định trên cơ sở đóthực hiện các mục tiêu dạy học khác

Trong thực tiễn dạy học, giải bài tập được sử dụng với các dụng ý khácnhau về phương pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làmviệc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,… đặc biệt là về mặt kiểm tra,bài tập là phương tiện đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làmviệc độc lập và trình độ phát triển của học sinh,…[17, tr.389]

1.2.2 Dạy học phương pháp chung tìm lời giải bài toán

Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú Việc giải bài tập là một yêucầu quan trọng đối với học sinh Có thể chia bài tập toán ra làm hai loại:

a Loại có sẵn thuật toán

Để giải loại này học sinh phải nắm vững các quy tắc giải đã học và rènluyện kỹ năng, kỹ xảo Đây là cơ sở quan trọng để giải các bài toán phức tạphơn Yêu cầu cho học sinh là:

- Nắm vững quy tắc giải đã học

- Nhận dạng đúng bài toán

- Giải theo quy tắc đã học một cách thành thạo

b Loại chưa có sẵn thuật toán

Loại bài tập này chiếm số lượng khá lớn trong sách giáo khoa và gâycho học sinh không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khảnăng của mình Đây là một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ vươn lên trong học

cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là: Dạy cho học sinh biết cách suy nghĩtìm ra con đường hợp lý để giải bài toán.

Theo Pôlia để giải một bài toán có thể tiến hành theo các bước sau:Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

- Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dungbài toán, phân biệt rõ giả thiết và kết luận, có thể dùng công thức, hình vẽ đểminh hoạ

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiên cứu bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

1.2.3 Bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS thông qua dạy học giải các phương trình lượng giác

Bồi dưỡng năng lực giải toán có vai trò quan trọng trong việc phát triểnkhả năng tư duy của học sinh, để từ đó có khả năng thích ứng khi đứng trướcmột vấn đề cần giải quyết, học sinh cũng thấy được mỗi lời giải bài toán nhưmột quá trình suy luận, tư duy của học sinh không chỉ phụ thuộc vào đặc điểmcủa bài toán mà còn phụ thuộc vào tố chất tâm lý của bản thân người giải, mốiliên hệ, dấu hiệu trong bài toán

Đối với học sinh THPT, năng lực giải PTLG được hình thành và phát

- Xác định hướng giải bài toán một cách nhanh chóng

- Thực hiện các bước biến đổi thành thạo, ngắn gọn, chính xác và hiệu quả

- Biết đặt điều kiện, kiểm tra điều kiện khi giải PT

- Có khả năng tư duy linh hoạt, sáng tạo cao khi giải PTLG

Ta đi xét ví dụ sau

Ví dụ 1.3:Giải phương trình: sinx sin 2x sin 3x 0 (1)

Thực hiện giải phương trình ta có:

(1)  sin 2x sin 3x sinx sin 2 1 2cosx  x  0

sin 2 0

1 cos

2

x x

k x

sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

 (sinx + sin4x) +(sin3x + sin2x) = 0

 2sin5 cos3 2sin5 cos 0

2

2 cos 0

2

k x x

Giải phương trình: sinx + sin2x + … + sinnx = 0

Vấn đề mới nảy sinh ở một góc độ khác là học sinh xác định hướng giảicác bài toán tương tự:

1) cosx + cos2x + cos3x = 0

2) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0

3) cosx + cos2x + … + cosnx = 0

4) cosx + cos2x + … + cosnx = a

Đến đây học sinh sẽ có ý tưởng sáng tạo giải bài toán dạng phối hợpbằng cách chuyển hóa cả nội dung và hình thức của bài toán đã cho:

cosx + cos2x + cos3x = sinx + sin2x + sin3x

1.3 THỰC TIỄN DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TỈNH LẠNG SƠN

1.3.1 Nội dung, mục tiêu dạy học chương trình PTLG

§ 2 Phương trình lượng giác cơ bản (3 tiết)

Bài đọc thêm: Dùng máy tính bỏ túi để tìm một góc khi biết một giá trịlượng giác của nó

Luyện tập (2 tiết)

§ 3 Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản (4 tiết)

Bài đọc thêm: Bất phương trình lượng giác

khác của chương Vì vậy để học tốt nội dung này giáo viên cần đạt đượcnhững mục tiêu sau:

- Nắm được sự biến thiên và hình dạng của đồ thị của các hàm số nêu trên

- Hiểu cách tìm nghiệm của các PTLG cơ bản và phương pháp giải một

y x, ycotx và một số hàm số đơn giản khác

- Giải thành thạo các phương trình lượng giác cơ bản

- Biết giải một số dạng PTLG không quá phức tạp có thể quy về đượcphương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác

1.3.2 Phương pháp nghiên cứu điều tra

Mục đích điều tra: Kết quả của điều tra là cơ sở để đề ra các cách thức,biện pháp phù hợp nhằm trang bị cho GV khả năng dạy học PTLG theo địnhhướng PTNL và rèn luyện cho HS có năng lực giải PTLG trong chương trình

Đại số và giải tích lớp 11 THPT.

Phương pháp điều tra:

- Tìm hiểu qua hiệu trưởng nhà trường về tình hình cơ sở vật chất, trangthiết bị phục vụ cho quá trình dạy học, tham khảo chất lượng HS các nămtrước qua sổ điểm và các bài kiểm tra về nội dung PTLG

- Tìm hiểu và đàm thoại với các giáo viên dạy toán để nắm được thực

- Cho HS làm một số đề kiểm tra để đánh giá năng lực giải PTLG

- Tham khảo giáo án và dự giờ thăm lớp một số tiết của GV khi dạyhọc nội dung PTLG ở các trường để biết thực trạng việc BDNL giải PTLGcho HS

1.3.3 Đánh giá về thực tiễn dạy học PTLG

*)Về phía HS

- Trình độ nhận thức của học sinh trong một lớp chưa đồng đều, các kĩnăng tính toán, biến đổi, vận dụng công thức vào giải toán còn yếu, chưa linhhoạt Một số trường hợp khi giải PTLG còn sảy ra tình trạng nhầm nghiệm,chưa biết biểu diễn, kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác dẫn đến thiếunghiệm, hoặc kết luận sai về nghiệm của phương trình

- Một số học sinh tư duy còn chậm, kĩ năng biến đổi phương trình yếu,chưa phân biệt được dạng của phương trình cũng như áp dụng cách giải còndập khuôn chưa linh hoạt

- Một số học sinh đã nắm được cách giải tuy nhiên chỉ dừng lại ở mức

áp dụng máy móc cách làm, đến khi gặp những PTLG yêu cầu biến đổi, haycó dạng khác thì đa số chưa thực hiện giải được, hoặc biến đổi còn chậm, haynhầm lẫn

- Kết quả giảng dạy nội dung PTLG lớp 11 qua bài kiểm tra một tiếttrong những năm vừa qua còn thấp

*) Về phía GV:

- Nhìn chung các giáo viên giảng dạy đều nắm vững nội dung kiếnthức, có kinh nghiệm và phương pháp dạy học, truyền tải đầy đủ nội dungkiến thức cho học sinh

- Trong quá trình giảng dạy GV chủ yếu chú ý đến trang bị kiến thứcđầy đủ, tập dượt cho HS bắt trước và thực hành theo các thuật toán giải hay

1.3.4 Đánh giá về việc bồi dưỡng năng lực giải PTLG cho HS

- Đa số HS chỉ giải được các PTLG tương tự ví dụ mà GV đã giải mẫu

khi gặp các PTLG dạng hơi khác, hay đòi hỏi kĩ năng biến đổi cao hơn mộtchút thì HS đã lúng túng, lười suy nghĩ, liên hệ nên kết quả là rất ít HS có thểlàm được dạng bài này

- Nhiều GV chỉ chú ý trang bị kiến thức đầy đủ cho HS, chưa thực sựchú ý đến việc gợi mở, liên hệ, sáng tạo hay BDNL cho HS khi dạy học nộidung PTLG Nguyên nhân là: Một số GV chưa được trang bị cho bản thân líluận về dạy học phát triển năng lực; một số GV chất lượng chuyên môn cònhạn chế, lười đổi mới phương pháp dạy học; HS chưa có động cơ, phấn đấutrong học tập, còn mải chơi; Nhiều em bị hổng kiến thức từ các lớp dưới nêngặp nhiều khó khăn khi tiếp thu kiến thức mới

Từ thực trạng nêu trên cho thấy người giáo viên cần đưa ra những biệnpháp bồi dưỡng năng lực thích hợp để giải PTLG cho học sinh lớp 11 THPTtỉnh lạng sơn như sau:

- Trang bị cho học sinh đầy đủ các kiến thức cơ bản, đảm bảo cho họcsinh nắm chắc, có hệ thống các kiến thức được quy định trong chương trình

- Cho học sinh được va chạm để từ đó nhận thấy những lỗi hay mắcphải trong giải toán PTLG để các em khắc ghi và củng cố phương pháp giải

- Chú trọng trang bị phương pháp giải toán lượng giác cho học sinh với

sự hướng dẫn, dạy học sinh cách phân tích, các thao tác tư duy khi đứng trướcmột bài toán thông qua hệ thống các bài tập theo từng chủ đề đảm bảo sự pháttriển bền vững trong tiếp thu kiến thức giải PTLG cho học sinh

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong chương 1, luận văn đã trình bày một số cách hiểu biết về nănglực, năng lực toán học, năng lực giải bài tập toán qua đó làm cơ sở lí luận choviệc nghiên cứu đề tài đồng thời làm tài liệu tham khảo cung cấp cho ngườiđọc kiến thức về nội dung liên quan

Chúng tôi cũng đã tiến hành điều tra thực tiễn việc dạy học PTLG, việcBDNL giải PTLG ở một số trường THPT tỉnh Lạng Sơn Qua đó chúng tôinhận thấy việc BDNL giải PTLG cho HS là cần thiết, giúp các em học tậptích cực, kích thích tính sáng tạo trong học tập và trong cuộc sống

CHƯƠNG 2 CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI PTLG CHO HỌC SINH LỚP 11 THPT

2.1 ĐỊNH HƯỚNG XÂY DỰNG CÁC BIỆN PHÁP

- Các biện pháp được xây dựng trên cơ sở tôn trọng nội dung chươngtrình, SGK Toán THPT và tuân theo các nguyên tắc dạy học

- Các biện pháp xây dựng phải dựa trên định hướng đổi mới phươngpháp dạy học hiện nay

- Các biện pháp phải mang tính khả thi, có thể thực hiện được trongđiều kiện thực tế của quá trình dạy học

- Các biện pháp phải hỗ trợ cho quá trình tự học, tự phát hiện, tự chiếmlĩnh tri thức mới và thực hành theo năng lực của người học

2.2 CÁC BIỆN PHÁT BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11 THPT

2.2.1 Trang bị những kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản

2.2.1.1 Cơ sở biện pháp

PTLG cơ bản là những PTLG đơn giản nhất nhưng có vai trò đặc biệtquan trọng Việc giải các PTLG đều được quy về các PTLG cơ bản này Dođó việc nắm vững dạng phương trình, điều kiện có nghiệm và công thứcnghiệm là yêu cầu bắt buộc đầu tiên đối với HS khi bắt đầu học giải toánPTLG Đồng thời qua đó HS sẽ có công cụ để làm việc với với các dạng toánvề PTLG dạng phức tạp hơn yêu cầu đầu tiên đối với người giải là phải nắmchắc, giải nhanh các PTLG cơ bản

2.2.1.2 Cách thức thực hiện

Do lần đầu HS gặp dạng toán này nên GV cần hướng dẫn HS thực hiện

và ghi nhớ đầy đủ các bước khi giải, cụ thể như sau:

Bước 1: Xác định đúng dạng PTLG cơ bản

Người giải cần nhận ra PTLG cơ bản đã cho là một trong các dạngphương trình nào sau đây: sinx m , cosx m , tanx m , cotx m m ,  

- Bước 2: Xác định điều kiện có nghiệm của phương trình

Học sinh cần chú ý đến giá trị của m để từ đó xét xem:

Phương trình: sinx m ; cosx m có nghiệm khi và chi khi m 1, nếu1

m  vô nghiệm

Phương trình tan x m có nghiệm   m , với điều kiện 2  

2

Phương trình cot x m có nghiệm   m , với điều kiện x k 2  k 

- Bước 3: Xác định đơn vị đo của nghiệm là độ hay rađian

- Bước 4: Viết đúng công thức nghiệm ứng với PTLG cơ bản đó

Điều kiện có nghiệm và công thức nghiệm của PTLG cơ bản được thểhiện ở bảng sau:

TT Loại PT Điều kiện có nghiệm Công thức nghiệm

3 tan x m m  

2

sinxsin ; cosxcos ; tanxtan ; cotxcot (với  là góc đãcho)

Từ đó GV cho HS vận dụng công thức nghiệm đã biết để kết luận nghiệm

sin x m

(?) Em hãy nhận xét về giá trị m = 1/2, PT có nghiệm không, chú ý đây

là PT của sin vậy 1/2 ta nên biểu diễn dưới giá trị lương giác của hàm số nào,đơn vị đo là gì?

(!) HS nhận ra 1 1

2 nên phương trình đã cho có nghiệm, chọn đơn vị làrađian

(?) Từ đó GV cho HS lên bảng trình bày lời giải

Lời giải: Phương trình có dạng sin x m

(?): Em hãy nêu cách giải PT?

Có một số học sinh không chú ý đến giá trị của m = 2 > 1 mà chỉ nhậnthấy nó không là giá trị lượng giác của một cung đặc biệt và rồi kết luận

(!): Nếu học sinh thực hiện đúng các bước giải sẽ nhận ra ngay tại bước

2, m = 2 > 1 nên phương trình đã cho vô nghiệm

e) Giải PT: tan tan

Giáo viên cho học sinh nhận xét về giá trị của hệ số m từ đó nhận ra1

3 là giá trị đặc biệt nên ta có:

Nhận xét: Đối với HS việc giải PTLG sinx = m là hoạt động đầu tiên để

các em tiếp cận với loại toán về PTLG, do đó GV cần quan tâm, hướng dẫn

để các em thực hiện đúng các thao tác cơ bản trong cách viết và sửa những lỗi

GV có thể tiến hành như sau:

(?): Em hãy nhận dạng PT, PT đã cho có nghiệm hay không ?

(!): PTLG cơ bản cos x m , do 3 3 1

m     nên PT có nghiệm(?): Do m  3 / 2 các em hãy biểu diễn trên đường tròn lượng giáccác cung có cos của nó là  3 / 2

Khi này thông qua thực hành, thảo luận và

hình vẽ HS sẽ nhận ra đó là cung bù với cung có

giá trị lượng giác bằng 3 / 2từ đó

(!): HS dễ dàng nhận ra PT dạng sinx = m, và m 1/ 2 1  nên pt cónghiệm (?): Hãy biểu diễn trên đường tròn lượng

giác cung có sin bang ½ Và nêu mối liên hệ với

cung có sin bằng -1/2

(!): Hs biểu diễn cung có sin = ½ sau đó lấy

đối xứng qua trục Ox sẽ được cung cần

Nhận xét: GV cho HS nêu lại và ghi nhớ công thức giá trị lượng giác

thường sử dụng khi giải PTLG để hs tránh mắc sai lầm với trường hợp m

mang giá trị âm

- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

- Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

- Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

2.2.2.2 Cách thức thực hiện

Dạng 1: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trìnhcó dạng at b  0,a 0 trong đó a, b là các hằng số, t là một trong các hàm sốlượng giác

Dạng 2: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình códạng at2 bt c  0,a 0 trong đó a, b, c là các hằng số, t là một trong các hàm

số lượng giác

Cách giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ t sin x t cos ,x t tan ,x t cotxvà đặt điều kiệncho ẩn phụ nếu có

Ta đưa phương trình đã cho về phương trình at2 bt c  0,a 0

Bước 2 Giải phương trình at2 bt c  0 tìm t

Kiểm tra điều kiện ẩn t và loại những giá trị t không thoả mãn điều kiện Bước 3: Giải PTLG cơ bản với t thoả mãn điều kiện ban đầu.

Giáo viên có thể tổng kết cho học sinh ghi nhớ các cách đặt như sau:

Dạng 3: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

- Phương trình có dạng: asinx b cosx c

- Điều kiện có nghiệm của phương trình 2 2 2

- Phương pháp giải

Cách 1: Chia 2 vế của PT cho a2 b2 ta được:

đã cho về phương trình bậc hai ẩn t

Dạng 4: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx

Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình códạng asin 2 x b sin cosx x c cos 2 x d trong đó a, b, c, d là các hằng số

Đặt t tanxta có phương trình a d t  2bt c d   0

Giải phương trình tìm được t tanx

2.2.2.3 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 2.3: Giải các bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

a)3cotx  5 3 0  b) 7sinx – 2sin2x = 0

c) 2 tan 2x 3tanx  1 0 d)4cos 2 2 x 4sin 2x 1 0 

Hướng dẫn giải:

a) GV cho HS: - Nhận xét và tìm điều kiện của phương trình

- Yêu cầu biến đổi về PTLG đơn giản

- Áp dụng quy tắc giải PT

b) Giải PT: 7sinx – 2sin2x = 0

(?): PT đã cho có là PT bậc nhất đối với một HSLG không ? nếu khônghãy biến đổi đưa về dạng đó?

(?): Nhận xét về các góc lượng giác có trong phương trình để có hướngbiến đổi đưa về cùng một cung

(!) PT chưa cung 2x và cung x ta có thể sử dụng công thức nhân đôibiến đổi về cung x

(?): Vậy em hãy trình bày lời giải bài toán

(!): Áp dụng công thức nhân đôi ta có

7sinx – 2sin2x = 0 7sinx – 4sinxcosx = 0

 sinx(7 - 4cosx) = 0 sin 0  