Bồi dưỡng năng lực giải bài toán giới hạn cho học sinh thông qua việc phân tích các sai lầm

Bồi dưỡng năng lực giải bài toán giới hạn cho học sinh thông qua việc phân tích các sai lầm

lời cảm ơn ! Trc tiên cho em gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu nhà trng, Thầy Cô giáo tổ toán em häc sinh líp 11 trường THPT LÝ THƯỜNG KIỆT đà giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành tốt tập vừa qua Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giáo viên hng dẫn môn, cô giáo NGễ TH NGC MAI - ngi đà tận tình giúp đỡ, tạo điều kiện hng dẫn em hoàn thành tốt đợt thực tập vừa qua đề tài nghiên cứu khoa học Em xin chân thành cảm ơn ! H ni, tháng năm 2009 Giáo sinh thực tập on Qunh Giang Mục lục Trang Phần mở đầu 1.Lý chọn đề tài 2.Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 3.Đối tng phạm vi nghiên cøu 4.Phương ph¸p nghiªn cøu chÝnh 5.Cấu trúc đề tài nghiên cứu khoa học PhÇn néi dung Chương I: C¬ së lý luËn Chng II: Những sai lầm mà học sinh hay mắc phải .7 Chng III: Giải pháp ….17 PhÇn kÕt luËn … 20 Tài liệu tham khảo 21 phần mở đầu lý chọn đề tài Môn toán môn quan trọng trờng phổ thông, có tiềm to lớn việc phát triển lực cho học sinh Đồng thời rèn luyện trí thông minh, sáng tạo, đức tính cần cù kiên nhẫn, cẩn thận ngời lao động Trong chơng trình đại số giải tích lớp 11 ( sách ) phần giới hạn cần chơng kiến thức đà dợc giảm tải nhiều, nhng để hiểu chất làm đợc toán giới hạn điều đơn giản Hơn phần giới hạn phần trìu tng tng đối khó với học sinh Để giúp học sinh học tốt môn Toán nói chung phần giới hạn nói riêng việc hiểu chất toán làm thành thạo tập điều cần thiết bổ ích Trong đợt thực tập vừa qua em đợc trực tiếp giảng dạy lớp 11B7 kiến tập số lớp khác, em thÊy vÉn cßn mét sè em häc sinh vÉn cha hiểu yêu cầu, mục đích đề nh chất định nghĩa, định lý dẫn tới nhiều sai lầm đáng tiếc hạn chế tìm tòi cách giải khác nhau, cách giải hay toán Chính em mạnh dạn trình bày đề tài nghiên cứu khoa häc: “BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI BÀI TOÁN GIỚI HẠN CHO HỌC SINH THƠNG QUA VIỆC PHÂN TÍCH CÁC SAI LẦM ” Víi néi dung ®a mét sè sai lầm học sinh, phân tích sai lầm đa lời giải đúng, đồng thời đa số phng pháp giảng dạy giáo viên để học sinh tránh mắc phải sai lầm Mục đích, nhiệm vụ NGhiên cứu - Giúp học sinh tránh trờng hợp sai lầm đáng tiếc xảy nh không hiểu đề hiểu sai chất - Giúp giáo viên đa phơng pháp giảng dạy phù hợp để học sinh tránh mắc phải sai lầm đáng tiếc Đối tợng phạm vi nghiên cứu - Đối tợng : Học sinh lớp 11 - Phạm vi nghiên cứu: + Giới hạn dÃy số + Giới hạn hàm số + Hàm số liên tục Phơng pháp - Gián tiếp - Trực tiếp - Những kinh nghiệm giảng dạy Cấu trúc đề tài nghiên cứu khoa học Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, tài liệu tham khảo, đề tài nghiên cứu khoa häc bao gåm chương: Chương I : Cơ Sở lý lun Chng II : Những sai lầm mà học sinh thờng mắc phải Chng III : Giải pháp Phần néi dung CHƯƠNG I: c¬ së lý ln VỊ hình thức Ngi ta thng xem việc đa khái niệm giới hạn đánh dấu bắt đầu môn giải tích Tuy nhiên nói yếu tố giải tích đà xuất sớm chơng trình toán phổ thông Đặc biệt, t tng chuyển qua giới hạn kiểu t vô hạn liên tục đà đc vận dụng định nghĩa nh: tính độ dài đng tròn, giới hạn chu vi đa giác nội tiếp, Một cách tổng quát, việc vận dụng phép toán quy tắc đại số, việc nghiên cứu cách khoa học đầy đủ vấn đề liên quan tới vô hạn đòi hỏi phải sử dụng tới công cụ Đó khái niệm giới hạn liên tục giải tÝch VỊ giíi h¹n cđa d·y sè Chương trình yêu cầu: - Không dùng ngôn ngữ , để tính định nghĩa giới hạn dÃy số - Thông qua ví dụ cụ thể để hình thành khái niệm giới hạn 0, từ dẫn tới giới hạn khác - Sách giáo khoa không dùng kí hiệu chung chung, mà phân biệt cách rõ ràng + -, đồng thời xem nh giới hạn dÃy số - Sách giáo khoa đa vào số giới hạn đặc biệt, định lý phép toán giới hạn hữu hạn, định lí giới hạn vô cực để học sinh áp dụng tính giới hạn dÃy số Đòi hỏi học sinh phải nắm vững điều kiện để áp dụng định lý Về giới hạn hàm số : - Chng trình đòi hỏi định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn dÃy số Điều kiện cho phép tránh đợc khó khăn học sinh sử dụng định nghĩa theo ngôn ngữ , - Cũng nh phần giới hạn dÃy số, sách giáo khoa vào hai khái niệm phân biệt cách rõ ràng + - - Sách giáo khoa đa vào định lí giới hạn hữu hạn, định lí giới hạn bên, để học sinh tìm giới hạn hµm sè Häc sinh cha hiĨu râ sÏ vËn dơng tuỳ tiện định lí giới hạn hàm số - Chng trình yêu cầu không vào mục chuyên biệt giới hạn dạng vô định nh SGK trc haySGK nâng cao, mà đa vào vài giới hạn đặc biệt vài quy tắc tính giới hạn vô cực (quy tắc tìm giới hạn tích, quy tắc tìm giới hạn thơng) dới dạng bảng Đối với hàm số liên tục - Sách giáo khoa đa vào định nghĩa hàm số liên tục điểm thông qua hoạt động Sau đa định nghĩa hàm số liên tục khoảng, đoạn Đặc biệt đa vào đồ thị hàm số liên tục khoảng, đoạn - Chng trình SGK đa vào định lí định lí đc thừa nhận, chứng minh + Định lí 1, định lí để xét tính liên tục hàm số TXĐ + Định lí để chứng minh phơng trình f(x) = có k nghiệm k nghiệm khoảng (a;b) CHNG II: sai lầm mà học sinh hay mắc phải Giới hạn dÃy số Ví dụ 1: TÝnh giíi h¹n   1   + + +   2 n +2 n +n L =  n +1 - Sai lầm : Có học sinh làm nh sau : Ta cã :  1    + + +   2 n +2 n +n L = lim  n + 1 = lim n + 1 + lim n2 + + + lim n2 + n = + + = - Ph©n tích sai lầm : Định lý phép toán phát biểu cho hữu hạn số hạng Lời giải đà áp dụng cho giới hạn tổng số vô hạn số hạng nên dẫn tới sai lầm - Lời giải đúng: Ta có : n + n n Do ®ã : n + n ≤ n +k n ≤∑ k =1 n n2 + n Mµ : lim ≤ n2 n +k = lim , k = 1, n ≤ 1 1+ n Theo nguyªn lý kĐp gi÷a ta cã : n n =1 = n =1 n n 1 ≤ lim ∑ n +k k =1 n ⇒ lim ∑ k =1 ≤1 n2 + k =1 VÝ dô 2:TÝnh giíi h¹n : + + + n n2 lim - Sai lầm : Có học sinh làm nh sau : + + + n n + lim + + lim 2 n n = + + + = n lim =lim n - Ph©n tích sai lầm: Học sinh đà sử dụng định lý giới hạn tổng hữu hạn tổng giới hạn, mà n + tổng đà cho vô hạn số hạng - Lời giải : Theo công thức tính tổng cấp số céng ta cã : n(n + 1) + + + n = Khi ®ã : n + n2  1 1 + + + n = lim +  =  2n  n2 lim =lim 2n VÝ dô 3: TÝnh giíi h¹n : lim ( n + n + n ) - Sai lÇm : Cã häc sinh lµm nh sau : Ta cã : lim n = +∞ lim n = +∞ lim n =+ ∞ ( ) 3 VËy lim n + n + n = lim n + lim n + lim n = +∞ - Ph©n tÝch sai lầm : Học sinh đà áp dụng định lý 1về phép toán giới hạn dÃy số mà không để ý định lý áp dụng giới hạn dÃy số hữu hạn - Lời giải : Ta có : lim (n )  1  + n + n = lim n 1 + +  = +∞  n n   1  1 + +  = > V× lim n = +∞ vµ =lim  n n  Giới hạn hàm số : Ví dụ 1: Tính giới hạn hàm số sau: lim x →0 2+ x +5 x - Sai lÇm : Cã häc sinh lµm nh sau : 2+ lim x →0 x  V× 1 lim  + x  =   x →0 3 ; x +5  x →0 3 lim  x +  =   x →0  lim  x +    x →0  1 lim  + x   = - Phân tích sai lầm : c Học sinh đà biết đến công thức lim x x →+∞ n = lim x →0 c x k =0 nên áp dụng công thức x - Lời giải : lim 2x + 2x + 1 lim +x5x = lim + 5x = 3 x →0 x →0 +5 x x = 2+ x →0 x Ví dụ 2: Tính giới hạn hàm số sau: 3x − lim ( x − 2) x→ 2 - Sai lầm : Có học sinh làm nh sau : 3x − lim ( x − 2) x→ = ( − 2) 2 = = + - Phân tích sai lầm: Học sinh đà mắc sai lầm nghiêm trọng tự ý thay vào giới hạn mẫu mẫu số 0; cách viết tối kị toán học - Lời giải đúng: 3x − lim ( x − 2) x→ V× =+ ∞ lim ( 3x − 5) = > x→ lim ( x − 2) =0 x→2 vµ ( x − 2) > víi mäi x ≠ VÝ dơ 3: TÝnh giíi hạn hàm số sau: lim x 2x x - Sai lầm: Có học sinh làm sau: 2x − lim x − = x →1− lim ( x − ) 2.( − 1) − = = −1−1 lim ( x − 1) x →1− x →1− - Ph©n tích sai lầm : Học sinh không hiểu rõ chất giới hạn bên trái, giới hạn bên phải Mặc dù sai lầm học sinh mắc phải nhng thực tế có học sinh mắc phải - Lời giải đúng: lim x Vì 2x − = +∞ x −1 lim ( x − 7) = −5 < x →1− lim ( x − 1) = x →1− vµ x - < víi mäi x < VÝ dơ 4: TÝnh giíi h¹n sau: lim x →−∞ x2 + x +1 - Sai lầm: Có học sinh làm nh sau: lim x → −∞ x +1 = lim x +1 x → −∞ Ta cã : x2 =1 1+ x 1+ - Ph©n tÝch sai lầm : Lời giải đà chia tử mÉu cđa ph©n thøc x2 +1 x + cho x để khử dạng Nhng sai làm chỗ cho x vào dấu không ®Ĩ ý x → −∞ - Lêi gi¶i ®óng: lim x → −∞   x 1 +  | x| x   = lim x +1 x → −∞ x +1 x + = lim x → −∞   −x 1 +  x   = lim x +1 x → −∞   1 +  x   x +1   − 1 +  x   = −1 lim x → −∞ 1+ x = lim ( x VÝ dơ 5: TÝnh giíi h¹n sau: −x x → ) - Sai lầm: Có học sinh làm nh sau: lim ( x −x x → −∞ V× ) lim x − lim x == x → −∞ lim x =- ∞ vµ x → −∞ x → −∞ lim x = −∞ x → −∞ - Phân tích sai lầm : Học sinh không ý định lý phép toán tính giới hạn hàm số đợc áp dụng giới hạn hàm số hữu hạn - Lời giải đúng: lim ( x x Vì lim x x → −∞ )   − x = lim x 1 +  = −∞ x   x → −∞  = −∞ vµ x → −∞ VÝ dơ 6: TÝnh giíi h¹n sau : x3 + 2x − lim 3x + x →1 - Sai lÇm:  =1>   lim 1 + x  Cã häc sinh lµm nh sau: lim x →1 x2 + x − = 3x + 13 + 2.1 − lim 3.1 + = = x →1 - Ph©n tÝch sai lầm: Học sinh sai chỗ thay x = vào biểu thức mà viết giới hạn x → VÒ kiÕn thøc häc sinh viÕt nh không sai , lim c = c x → x0 , c¸ch viÕt vËy thĨ học sinh đà không hiểu rõ chất việc tính giới hạn Đây lỗi nhỏ hình thức nhng nhiều học sinh đà mắc phải sai lầm - Lời giải đúng: x3 + x − 13 + 2.1 − = = = lim 3x + 3.1 + x Hàm số liên tục Ví dơ 1: Cho hµm sè g ( x) = x2 x Xét tính liên tục hàm số x = - Sai lầm: Có học sinh lµm sau: Ta cã: lim g ( x ) x Mà Do x g ( x) = lim g ( x ) x →1 = lim x2 −1 = lim ( x + 1) x →1 x −1 x2 − = x + ⇒ g ( 1) = x −1 = g ( 1) Vậy hàm số liên tục x = - Phân tích sai lầm: = học sinh đà mắc sai lầm sau đây: +) x = TXĐ g(x) nên kết luận đựơc g(x) gián đoạn x = +) Giá trị hàm số đợc tính giá trị hàm số đà cho hàm số đà rút gọn - Lời giải : Vì g(x) hàm phân thức hữu tỷ, có TXĐ (-∞; 1) ∪ (1; +∞) Nªn nã liªn tơc trªn khoảng (- ; 1) (1; +) x2 g ( x) = x gián đoạn x = VËy hµm sè VÝ dơ 2: Cho hµm sè ax x ≤ f ( x) =  x>2 3 (a lµ tham sè) XÐt tÝnh liên tục hàm số x = - Sai lÇm: lim f ( x ) = lim− f ( x ) Cã häc sinh lµm nh sau: = x → 2+ x→2 lim− ( ax ) x →2 = 4a ⇒ lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) x→ 2− Do ®ã không tồn x 2+ lim f ( x ) x2 Vậy hàm số gián đoạn x = - Phân tích sai lầm: Học sinh không để ý a tham số nên mặc định 4a - Lời giải đúng: Ta có: lim f ( x ) = lim ax x→ 2− x→2 − = 4a lim f ( x ) = x →2 + ⇒ lim f ( x ) = x → 2− lim f ( x ) ⇔ 4a = ⇔ a = + x→2 Do ®ã + Víi a = ta cã ⇒ lim f ( x ) x→2 ⇒ 4a = vµ f ( 2) = 2 = = f(2) hàm số liên tục x = + Víi a ≠ : Không tồn lim f ( x ) x hàm số gián đoạn x = Ví dụ 3: Xét tính liên tục R hàm sè: 5 − x  g ( x ) =  x2 − x −   x−2 x > x ≤ - Sai lÇm: Cã häc sinh lµm sau: + Víi x > ta cã x2 − x − ( x) = x2 g hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục khoảng TXĐ g(x) liên tục khoảng ( 2;+ ) + Với x ta có: g(x) = - x, hàm đa thức nên liên tục R g(x) liên tục ( ;2] Do hàm số liên tục R - Phân tích sai lầm: Học sinh lầm tng hàm số liên tục ( ; a ] ( a;+ ) hàm số liên tục R Điều không f(x) liên tục ( ; a ] tồn lim x a + f(x) = f(a), cha chc đà tồn lim x a f(x) = f(a) Vì ch- a đủ điều kiện để hàm số liên tục x = a - Lời giải đúng: + Với x > ta cã x2 − x − x − lµ hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục khoảng g ( x) = TXĐ g(x) liên tục khoảng (2; + ) + Với x < ta cã: g(x)= – x , hàm đa thức nên liên tục R g(x) liên tục ( ;2) + Tại x = ta cã: lim g ( x ) = lim x →2 + x →2 + x2 + x − ( x + 1)( x − 2) = lim = lim ( x + 1) = x−2 x−2 x →2 + x →2+ lim g ( x ) = lim (5 − x) = x →2 + VËy x →2− lim g ( x ) = lim g ( x) ⇒ ∃ lim g ( x) = x →2 + x →2− x →2 Ta l¹i cã g(2) = - = Do ®ã lim g ( x) = g (2) x Hàm số liên tục x = Kết luận: Hàm số liên tục R Ví dụ 4: Chøng minh r»ng phương tr×nh x3 + x – = có nghiệm dng - Sai lầm Cã häc sinh lµm sau: Ta cã: f(0) = -1 < f(1) = > ⇒ f(0) f(1) < Mà f(x) hàm đa thức nên liên tục R, f(x) liên tục [0;1] Theo định lí 3, phơng trình có Ýt nhÊt mét nghiƯm thc [0;1] VËy phương tr×nh x3 + x – = lu«n cã nghiƯm dương - Phân tích sai lầm: Theo định lí 3, để chứng minh tồn nghiệm phơng trình f(x) = ta chứng minh hàm số liên tục đoạn [a; b] , nhng lại kết luận phng trình có nghiệm khoảng (a; b) Nên nhiều học sinh kÕt ln phương tr×nh f(x) = cã nghiƯm [a; b] Lời giải ví dụ - Lời giải đúng: Ta có: f(0) = -1 < vµ f(1) = > ⇒ f(0).f(1) < Mà f(x) hàm đa thức nên liên tục R Do f(x) liên tục [0; 1] Theo định lí 3, phơng trình có 1nghiệm thuộc (0; 1) Vậy phơng trình x3 + x = có nghiệm dơng Ví dụ 5: Chøng minh r»ng phương tr×nh x5 - 3x4 + 5x – = cã Ýt nhÊt 3nghiÖm n»m khoảng (-2; 5) - Sai lầm: Có học sinh làm nh sau: Đặt f(x) = x5 - 3x4 + 5x –  f (−1) = −11  f (0) f (1) = −2 <  f (0) = −2   ⇒  f (1) f (2) = −8 <   f (1) =   f (−1) f (1) = −11 < f (2) = Khi Mà f(x) hàm đa thức nên liên tục R f(x) liên tục đoạn [0;1] , [1;2] , [-1;1] VËy phương tr×nh f(x) = cã Ýt nghiệm khoảng: (0;1) , (1;2) , (-1;1) khoảng nằm (-2; 5) Do phng trình x5 - 3x4 + 5x = cã Ýt nhÊt ba nghiÖm n»m khoảng (-2; 5) - Phân tích sai lầm: Học sinh mắc sai lầm chỗ (0; 1) (-1; 1) nên cha thể suy điều phải chứng minh - Lời giải đúng: Đặt f(x) = x5 - 3x4 + 5x – Khi ®ã:  f (0) = −2  f (0) f (1) = −2 <  f (1) =   ⇒  f (1) f (2) = −8 <   f ( = −8  f (2) f (3) <   f (3) = 13  Mµ f(x) hàm đa thức nên liên tục R f(x) liên tục đoạn [0;1] , [1;2] , [2;3] VËy phương tr×nh f(x) = cã Ýt nghiệm khoảng: (0; 1) , (1; 2), (2; 3) khoảng nằm (-2; 5) Do phng trình x5 - 3x4 + 5x – = cã Ýt nhÊt ba nghiÖm nằm khoảng (-2; 5) CHƯƠNG III: GIảI PHáP Để tránh mắc phải sai lầm học sinh phải hiểu đc chất định nghĩa, định lí, hiểu rõ yêu cầu đề toán Vì trình giảng dạy giáo viên cần nhấn mạnh ý trọng tâm định nghĩa, khái niệm, nhấn mạnh điều kiện áp dụng định lí GIớI HạN CủA DÃY Số Khi dạy định lí phép toán giới hạn hữu hạn, giáo viên cần nhấn mạnh điều kiện áp dụng định lí: - Giới hạn dÃy số phải hữu hạn - Để áp dụng giới hạn thơng cần thêm điều kiện giới hạn dÃy số mẫu phải khác - PhÐp tÝnh giíi h¹n cđa mét tỉng hai d·y sè cã thĨ më réng cho nhiỊu d·y sè, nhng áp dụng cho hữu hạn dÃy số Giới hạn hàm số a) Khi dạy định lí phép toán giới hạn hữu hạn, giáo viên cần nhấn mạnh điều kiện áp dụng định lí: - Giới hạn hàm số phải hữu hạn - Để áp dụng giới hạn thng cần thêm điều kiện giới hạn hàm số mẫu phải khác b) Khi dạy định nghĩa giới hạn bên: - Giải thích cho học sinh c¸c kÝ hiƯu: lim x → x0+ f ( x)  x → x0  x > x0 nghÜa lµ   x < x0  x → x0 nghÜa lµ  lim f ( x ) x → x0− - Để tính giới hạn hàm số cho hai biểu thức điểm ta cần tính giới hạn thái, giới hạn phải c) Khi dạy giới hạn hàm số vô cực: - Nhấn mạnh số giới hạn đặc biệt: c lim x x →±∞ lim x k k =0 ; = +∞ x →+∞ + ∞ lim x k =  x → −∞ − ∞ k = n, n ∈ Z k = 2n + 1, n Z - Đặc biệt giới hạn áp dụng x Tuyệt nhiên không áp dụng tính giới hạn hàm số x x0 ®ã - Lu ý häc sinh ®a biÕn sè vào dấu thức bậc hai phải để ý xem x + hay x d) Khi dạy giới hạn vô cực hàm số Lu ý học sinh quy tắc để tính giới hạn vô cực có quy tắc tìm giới hạn tích, tìm giới hạn thơng Học sinh tuyệt đối không áp dụng công thức tính giới hạn tổng, hiệu giới hạn hữu hạn vào tính giới hạn vô cực hàm số hàm số liên tục a) Xét tính liên tục - Khi dạy định nghĩa hàm số liên tục điểm giáo viên cần nhấn mạnh: x Hàm số y = f ( x ) liên tục thoả mÃn điều kiện: 1, x0 TXĐ 2, 3, ∃ lim f ( x ) x → x0 lim f ( x ) = f ( x0 ) x x0 Nếu hàm số không thoả mÃn điều kiện kết luận hàm số gián đoạn x0 - Chú ý học sinh ghi nhớ định nghĩa hàm số liên tục khoảng, đoạn, định lý 1, định lý 2, để xét tính liên tục hàm số TXĐ - Để xét tính liên tục hàm số TXĐ hàm cho hai, ba biểu thức ta phải xét tính liên tục điểm mang dấu b) Chứng minh tồn nghiệm phng trình khoảng Khi dạy định lý 3,về tồn nghiện phơng trình f ( x ) = cÇn lưu ý häc sinh: - Ta chứng minh hàm số liên tục ®o¹n [ a; b ] , nhng l¹i kÕt luËn phng trình có nghiệm khoảng ( a; b ) , nên hs phải để ý để tránh nhầm lẫn khoảng đoạn - Nếu f ( a ) f ( b ) > th× cã khả xảy ra: + phng trình f ( x ) = nghiệm (a ;b) + phng trình f(x) = có nghiệm (a; b) , trng hợp ta phải dựa vào Định lí 3, để chứng minh phơng trình có nghiệm ( c; d ) ⊂ ( a; b ) Để học sinh không bị lúng túng gặp toán chứng minh phng trình có nghiệm (a; b) mà f ( a ) f ( b ) > - Khi chøng minh phương tr×nh f ( x ) = cã Ýt k nghiệm (hoặc k nghiệm khoảng (a; b) ) ta ph¶i chØ cã Ýt nhÊt k kho¶ng không giao (nằm khoảng (a; b) ) khoảng phng trình có nghiệm Bên cạnh đó, để học sinh tránh mắc phải sai lầm, giảng dạy phần giáo viên phải đa sai lầm, phân tích sai lầm đa lời giải Phần kết luận Với kết nghiên cứu, học tập thời gian qua tự nhận thấy thân đà hình thành đợc số kỹ năng: nghiên cứu áp dụng thành , khả truyền thụ kiến thức điều kiện thực tiễn giảng dạy Tuy thân đà cố gắng nghiên cứu, học tập với hng dẫn, bảo tận tình Thầy Cô, giúp đỡ bạn bè, nhng lần đầu tiếp cận với công tác nghiên cứu, giảng dạy điều kiện kinh nghiệm hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót tồn đa số sai lầm nhiều sai lầm mà học sinh mắc phải học chơng IV: Giới hạn (Đại số giải tích 11), nh đa đc số phơng pháp giảng dạy Nhng hy vọng góp phần giúp học sinh tránh c sai sót giải toán Cụ thĨ gióp häc sinh hiĨu râ mơc ®Ých cđa ®Ị bài, hiểu rõ đợc chất định nghĩa, định lý, để vận dụng hợp lý trng hợp, toán cụ thể phát triển sáng tạo, thông minh, cần cù để tìm lời giải toán Đồng thời giúp thầy cô giáo lựa chọn đợc phơng pháp giảng dạy phù hợp để học sinh hiểu rõ chất định nghĩa, định lý, tránh mắc phải sai lầm đáng tiếc Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa Đại số giải tích 11- Nhà xuất giáo dục Sách giáo viên Đại số giải tích 11 - Nhà xuất giáo dục Những sai lầm giải toán - Trần Phng Sai lầm phổ biến giải toán Nguyễn Vĩnh Cận Lê Thống Nhất Phan Thanh Quan NXBGD 1997 5.Giải toán nh G polya Hồ Thuần Phỏng Bïi Têng dÞch NXBGD 1997 ... nghiên cứu khoa học: “BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI BÀI TOÁN GIỚI HẠN CHO HỌC SINH THƠNG QUA VIỆC PHÂN TÍCH CÁC SAI LẦM Với nội dung đa số sai lầm học sinh, phân tích sai lầm đa lời giải đúng, đồng... ý học sinh quy tắc để tính giới hạn vô cực có quy tắc tìm giới hạn tích, tìm giới hạn thơng Học sinh tuyệt đối không áp dụng công thức tính giới hạn tổng, hiệu giới hạn hữu hạn vào tính giới hạn. .. xem nh giới hạn dÃy số - Sách giáo khoa đa vào số giới hạn đặc biệt, định lý phép toán giới hạn hữu hạn, định lí giới hạn vô cực để học sinh áp dụng tính giới hạn dÃy số Đòi hỏi học sinh phải