Bài toán tính thể tích khối đa diện là một bài toán cơ bản trong chương trình hình học lớp 12, theo cấu trúc có trong đề thi THPT QG và chiếm 01 điểm. Đây là phần kiến thức rất hay và khó đối với học sinh trong quá trình làm bài tập, đây cũng là phần kiến thức xuất hiện từ nhu cầu thực tế và được ứng dụng rất nhiều trong thực tế. Đứng trước một bài toán hình học không gian, yêu cầu đối với người học về “kiến thức nền” là kỹ năng vẽ hình, kiến thức về đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc, cách xác định góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông, công thức tính diện tích tam giác, tứ giác, công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ…..
Trang 1CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌCPHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Tác giả: ………
TTCM tổ Toán – Tin - TD Giáo viên trường THPT ………
Đối tượng học sinh: Lớp 12, Ôn thi THPT QG
Số tiết dự kiến:10T trên lớp + 10T tự học
I-LỜI NÓI ĐẦU
Bài toán tính thể tích khối đa diện là một bài toán cơ bản trong chương trìnhhình học lớp 12, theo cấu trúc có trong đề thi THPT QG và chiếm 01 điểm Đây làphần kiến thức rất hay và khó đối với học sinh trong quá trình làm bài tập, đây cũng làphần kiến thức xuất hiện từ nhu cầu thực tế và được ứng dụng rất nhiều trong thực tế Đứng trước một bài toán hình học không gian, yêu cầu đối với người học về
“kiến thức nền” là kỹ năng vẽ hình, kiến thức về đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ
song song, quan hệ vuông góc, cách xác định góc giữa hai đường thẳng, giữa đườngthẳng và mặt phẳng, kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông, công thức tínhdiện tích tam giác, tứ giác, công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ…
Ngoài ra học sinh cần nắm được hai phương pháp giải cơ bản để giải bài toán
về tính thể tích khối đa diện là phương pháp tính trực tiếp và phương pháp tính giántiếp Phương pháp tính trực tiếp là dựa vào việc tính chiều cao và diện tích đáy từ đósuy ra thể tích khối đa diện; phương pháp tính gián tiếp tức là ta chia khối đa diệnthành nhiều khối nhỏ để xác định thể tích
Chính vì lượng “kiến thức nền” tương đối nhiều và trừu tượng nên với hầu hết
học sinh, kể cả những học sinh khá giỏi cũng gặp rất nhiều khó khăn khi giải bài tập,các em thường ngại và lúng túng khi bắt đầu giải quyết Chuyên đề này nhằm ôn tậpcho các em học sinh các kiến thức cơ bản của hình học không gian và các dạng toán cơbản về bài toán tính thể tích khối đa diện
II- NỘI DUNG ÔN TẬP CƠ BẢN
1 Kỹ năng vẽ hình.
Hình chóp.
+ Vẽ mặt đáy (chú ý đường nét đứt)
+ Xác định chân đường cao dựa vào giả thiết
+ Nối đỉnh hình chóp với các đỉnh của mặt đáy (chú ý đường nét đứt)
Vẽ hình lăng trụ:
+ Vẽ một mặt đáy từ đầu bài (chú ý đường nét đứt)
+ Từ đỉnh của đáy, vẽ các đoạn thẳng song song và bằng nhau (nếu lăng trụđứng thì vẽ các đoạn thẳng phải vuông góc với mặt đáy)
+ Nối các đỉnh của mặt đáy còn lại từ các đoạn thẳng vừa vẽ
Lưu ý khi vẽ hình:
+ Phần đường thẳng bị các mặt phẳng che khuất vẽ bằng nét đứt
+ Các đường thẳng song song, trung điểm của một đoạn thẳng phải vẽ đúng
Trang 2+ Các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau, các góc vuông không nhấtthiết phải vẽ đúng
+ Các hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi đều vẽ theo dạng hình bình hành.+ Hình thang nên vẽ nghiêng về một bên
+ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng phải vẽ đúng (vẽ theo hướng vuônggóc với biên hình bình hành tượng trưng mặt phẳng)
Một số mẫu hình:
* Các loại đáy:
* Cạnh bên vuông góc với đáy (VD: SA vuông góc với đáy)
* Hình chóp với mặt bên vuông góc với đáy (VD: SAB vuông góc với đáy) + Cách xử lý: Từ S kẻ SH vuông góc với AB
Chú ý: Thường thì người ta sẽ cho tam giác SAB khá đặc biệt
VD: SAB là tam giác đều => H là trung điểm AB
Hoặc cho chúng ta tỷ lệ của điểm H để giúp chúng ta xác định một cách chính xác điểm H
+ Mặt phẳng vuông góc với đáy :
Nếu đáy là tam giác thì khép góc ở A lại, và mặt phẳng vuông góc ở phía đằng sau
VD:
+Nếu đáy là tứ giác thì mở góc ở A như bình thường và mặt phẳng vuông góc nằm phía bên tay trái:
Trang 3* Một số kiểu hình khác như lăng trụ đứng , hình hộp chữ nhật đứng
* Hình chóp có cách cạnh bên bằng nhau:
+Tính chất ( không cần chứng mình) : Khi có các cạnh bên bằng nhau, hình
chiếu vuông góc của đỉnh xuống đáy chính là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy
- Tam giác thường, tam giác cân: giao 3 đường trung trực
- Tam giác vuông: Trung điểm cạnh huyền
- Tam giác đều: Giao 3 trung tuyến
- Hình chữ nhật, hình vuông: giao 2 đường chéo
Trang 4Vẽ hình yêu cầu mở rộng góc BAD còn áp dụng cho những bài toán có chân đườngcao rơi vào bên trong mặt phẳng đáy
VD Cho SABCD, ABCD là hình vuông O là giao của AC và BD, I là trung điểm của
OA SI vuông với đáy
2 Các hệ thức trong tam giác
2.1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho ABCvuông ở A ta có :
Trang 5b Công thức về đường trung tuyến
2 2 2 2
a
c Các tam giác đặc biệt
* Tam giác vuông :
+ Diện tích tam giác vuông: 1
2
ABC
S AB AC
* Tam giác cân:
+ Đường cao AH cũng là đường trung tuyến
+ Tính đường cao và diện tích :
* Tam giác đều cạnh a
+ Đường cao của tam giác đều : 3
+ Diện tích hình vuông :S ABCD AB AD ( Diện tích bằng dài nhân rộng)
+ Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau và OA = OB = OC = OD
* Diên tích hình thoi : S = 1
2(chéo dài x chéo ngắn)
* Diện tích hình thang : 1
2
S (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
3 Các tính chất hình học không gian quan trọng.
c
a
b
C B
Trang 6h
a b c
a
1 Nếu A, B, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt thì A, B, C thẳnghàng
2 Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao
tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó song song hoặc
đồng quy
3 Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì
mọi mặt phẳng (Q) qua d nếu cắt mp(P) thì sẽ cắt
theo giao tuyến song song với d
4 Hai đường thẳng chéo nhau có duy nhất cặp mặt
phẳng chứa hai đường thẳng đó và song song với
nhau
5 Nếu đường thẳng d vuông góc với mp(P) thì d
vuông góc với mọi đường thẳng trên mp(P)
6 Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau nằm trong mp(P) thì d vuông
góc với mp(P)
Hệ quả : Một đường thẳng vuông gócvới hai cạnh của tam giác thì vuông gócvới cạnh còn lại �
7 Định lý ba đường vuông góc : Cho mặt
phẳng (P) chứa đường thẳng a Khi đó
đường thằng d vuông góc với a khi và chỉ
khi d vuông góc với hình chiếu của a trên
(P)
8 Nếu đường thẳng d vuông góc với mp(P) thì mọi mặt
phẳng chứa d đều vuông góc với mp(P)
9 Nếu mp(P) vuông góc với (Q) và A nằm trên (P) Khi
đó đường thẳng qua A vuông góc với giao tuyến của (P)
và (Q) sẽ vuông góc với mp(Q)
10 Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ
ba thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng vuông góc
với mặt phẳng đó
III- PHƯƠNG PHÁP GIẢI
A Phương pháp tính trực tiếp
Ở phương pháp này ta thường áp dụng các công thức trực tiếp tính thể tích các khối
đa diện cơ bản Cụ thể ta có :
1 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h
với B là diện tích đáy và h là độ dài
đường cao lăng trụ
d' d
P
Trang 7B h
với a,b,c là ba kích thước
h: chie� u cao
�
�
�
Việc áp dụng phương pháp này thường dẫn đến bài toán tính khoảng cách hoặc góc
1. Bài toán tính khoảng cách
Một số khoảng cách từ một số đối tượng trong không gian
1 Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường
thẳng , đến 1 mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a
(hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách
giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình
chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc
P
2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt
phẳng song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P)
song song với a là khoảng cách từ một điểm
4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung
của hai đường thẳng đó
d(a;b) = ABNgoài ra a, b chéo nhau nên có mp(P) chứa
H
O
Q P
Trang 8Khi tính khoảng cách giữa các dối tượng ta thường quy về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng hay đường thẳng Do đó để thuận tiện ta sẽ sử dụng kết quả của hai bài toán sau:
Bài toán 1: Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A,B, C
Chứng minh Gọi A’, B’ là hình chiếu vuông góc
của A và B lên (P) Khi đó
Bài toán 2: Cho hình chóp OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc Gọi H là trực
tâm tam giác ABC Chứng minh rằng:
Ví dụ 1 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh a SA vuông góc với
đáy và SA=a Gọi M là trung điểm BC và G là
trọng tâm tam giác SCD Tính khoảng cách từ M
tới mp(SBD); từ G tới mp(ABCD) và mp(SAC)
Trang 9Tương_tự 2 2 1 1 2 2
Ví dụ 2 Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a và chiều cao
5
a
Gọi E là điểmđối xứng với D qua trung điểm SA M, N lần lượt là trung điểm AE và BC Tínhkhoảng cách từ M tới mp(SAD) và khoảng
cáchd giữa MN và AC
Giải
Dễ thấy d(M,(SAD))=2d(O,(SAD)), với O là
tâm của ABCD Đặt d(O,(SAD))=h thì
1 1 1 1 5 2 2 9
.3
a h
Các khái niệm về góc giữa các đối tượng trong không gian
i Góc giữa hai đường thẳng a và b
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi
qua một điểm và lần lượt cùng phương với a
a' a
ii Góc giữa đường thẳng a không vuông
góc với mặt phẳng (P)
là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên
mp(P)
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng
(P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a
a' a
iii Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông
góc với hai mặt phẳng đó
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm
trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao
tuyến tại 1 điểm
b a Q P
a b
Trang 10Chú ý: Khi xác định góc giữa các đối tượng thì học sinh thường lúng túng trong việc
xác định góc giữa hai mặt phẳng Để xác định góc gữa hai mặt phẳng ta có thể làm
theo hai cách:
Cách 1: Trên (P) hoặc (Q) có sẵn (hoặc dễ
dàng tìm được) một điểm mà có thể xác định
được hình chiếu trên mặt phẳng còn lại
B1: Xác định giao tuyến d của (P) và
Cách 2: Từ một điểm nào đó trên giao tuyến của
hai mặt phẳng ta kẻ hai đường thẳng cùng vuông
góc với giao tuyến và nằm trên hai mặt phẳng.
Góc giữa hai đường thẳng đó là góc giữa hai mặt
phẳng
3 Thể tích khối chóp
a Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy.
Đây là khối chóp cơ bản và thường dễ dàng nhất khi tính thể tích Ở khối chóp này cạnh bên chính là đường cao Các giả thiết của bài toán sẽ đủ để chúng ta
có thể tính được độ dài đường cao.
Ví dụ 1 (THPT QG 2015)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc vớimặt phẳn (ABCD) góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 Tínhtheo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC
Lời giải
*Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Vẽ hình vuông đáy, vẽ đường cao SA (ABCD) và vẽ thẳng đứng
Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC với hình chiếu của nólên (ABCD)
- Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC
* Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a SA(ABCD)�AC là hình chiếu của SC lên mp(ABCD) �( ,(�SC ABCD)) ( ,�SC AC)SCA� 45o ,
Gọi M là hình chiếu vuông góc của A lên d
H là hình chiếu vuông góc của A lên SM
Trang 11 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) và vẽ thẳng đứng
Xác định góc giữa SB và (ABC) là góc giữa SB với hình chiếu của nólên (ABC)
Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với
mp(ABCD); (P) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với AC cắt SB, SC, SD lần lượt tạiB’, C’, D’ Tính thể tích khối chóp S.ABCD và SA’B’C’D’, biết SC hợp với mặtphẳng ABCD một góc 450
Lời giải
- SC hợp với (ABCD) một góc 450 nên SA=AC=
3 2
Trang 12 Sai lầm của học sinh:
Gọi M là trung điểm BC
AB BC ( vì ABC vuông tại B)
SB BC ( vì AB hc (ABC SB) ) � �((SBC ABC),( )) ( ,�SB AB)SBA� 60o
* ABC vuông tại B có AB = a 3 ,BC =a
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = a,
AD = 2a; góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và
B
C A
60
S
B
C A
Trang 13Bài tập tự giải
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o
Tính thể tích hình chóp Đs: V = a 23
6
Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng
tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o Tính thể tích khốichóp SABC Đs: V h 33
3
Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC
biết SB = a,SC hợp với (SAB) một góc 30o và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60o.Chứng minh rằng SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích hình chóp.Đs: V a 33
b Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy.
Khối chóp loại này có đường cao chính là đường cao của mặt bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a Mặt bên
SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, Tính thể tíchkhối chóp SABCD
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB
SAB
Vậy H là chân đường cao của khối chóp
Ta có tam giác SAB đều nên SA =a 3
2
suy ra V 1 SABCD.SH a 33
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều , BCD là tam giác vuông cân tại
D , (ABC)(BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o Tính thể tích tứ diện ABCD
a H
D
C B
A S
Trang 14Lời giải:
Gọi H là trung điểm của BC
Ta có tam giác ABC đều nên AH(BCD) , mà (ABC)
(BCD) � AH (BCD)
Ta có AHHD�AH = AD.tan60o =a 3
& HD = AD.cot60o =a 3
3 BCD�
3 suy ra
V = 1 SBCD.AH 1 1 BC.HD.AH a 33
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a.
Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc
450 Tính thể tích khối chóp SABC.
Lời giải:
+ Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC), vì mp(SAC)
mp(ABC) nên SHmp(ABC)
Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC SI
AB, SJBC, theo giả thiết �SIH SJH 45 � o
Ta có: SHI SHJ HI HJnên BH là
đường phân giác của V ABCừ đó suy ra H là trung
điểm của AC
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC)
1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC
2) Tính thể tích khối chóp SABC Đs: V a 33
24
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam
giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc 45o Tính thể tích của SABC
Đs: V a3
12
Bài 3: Cho hình chóp SABC có �BAC 90 ;ABC 30 o � o; SBC là tam giác đều cạnh
a và (SAB) (ABC) Tính thể tích khối chóp SABC Đs: V a 22
24
o 60
a
C
B A
45
I
J
H A
C
B S
Trang 15Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao
SH = h và (SBC) (ABC) Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o Tính thể tíchhình chóp SABC Đs: V 4h 33
9
Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt
phẳng vuông góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện
Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Chứng
minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tínhthể tích chóp đều SABC
Lời giải:
Dựng SO(ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA =
OB = OC
Vậy O là tâm của tam giác đều ABC
Ta có tam giác ABC đều nên
Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a
1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều
a
2a
H O
C
B A
S
A
C
D M O
O
C D
B A
S
Trang 16Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang với đáy lớn CD = 2a, AB =
BC = a Tính thể tích của khối chóp S.ABCD biết hình chóp có các cạnh bên bằngnhau và SA hợp với (ABCD) một góc 600
B A
S
Trang 17Bài 4 : Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o Tính thể tích hình chóp Đs: V h 33
B Phương pháp gián tiếp tính thể tích khối đa diện.
Phương pháp gián tiếp nghĩa là chúng ta tính thể tích khối đa diện thông qua
Phép phân chia khối đa diện thành những khối cơ bản
Bổ sung khối đa diện thành khối đa diện cơ bản
So sánh về thể tích khối đa diện với khối đa diện đã biết
Các kết quả sau đây được sử dụng nhiều:
1 Cho lăng trụ tam giác Mọi tứ diện có bốn đỉnh lấy ra từ các đỉnh của lăng trụ đều có thể tích bằng 1
đường cao Nếu hai hình chóp (lăng trụ)
có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích
của chúng bằng tỉ số diện tích hai đáy.
5 Cho hình chóp tam giác SABC A’, B’, C’
lần lượt nằm trên SA, SB, SC Thế thì ta có
' ' '
.
' ' '
S A B C
S ABC
V SA SB SC .