MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Trong quá trình giảng dạy hình học không gian khối 12, tôi thấy đa phần học sinh rất lúng túng, kỹ năng giải toán hình không gian còn yếu. Bên cạnh đó bài tập sách giáo khoa của chương Khối đa diện trong chương trình hình học khối 12 đưa ra chưa được cân đối, rất ít bài tập cơ bản, đa phần là bài tập khó, đặc biệt quá khó đối với học sinh yếu dẫn đến học sinh có tư tưởng nản và không học. Đặc biệt, với học sinh trường THPT Văn Quán có xuất phát điểm rất thấp nên hầu hết các em rất yếu các môn tự nhiên. Riêng môn Toán, các em có tâm lý “sợ” câu hình học không gian trong các đề thi. Tôi viết chuyên đề này với mục đích giúp các em học sinh lớp 12 hệ thống lại các kiến thức cơ bản và hình thành các phương pháp, kỹ năng giải quyết các bài toán về khối đa diện.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ………………… CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Người thực hiện: ……………… Đơn vị: ………………………… A ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Trong trình giảng dạy hình học khơng gian khối 12, tơi thấy đa phần học sinh lúng túng, kỹ giải tốn hình khơng gian yếu Bên cạnh tập sách giáo khoa chương Khối đa diện chương trình hình học khối 12 đưa chưa cân đối, tập bản, đa phần tập khó, đặc biệt khó học sinh yếu dẫn đến học sinh có tư tưởng nản không học Đặc biệt, với học sinh trường THPT Văn Quán có xuất phát điểm thấp nên hầu hết em yếu môn tự nhiên Riêng môn Tốn, em có tâm lý “sợ” câu hình học không gian đề thi Tôi viết chuyên đề với mục đích giúp em học sinh lớp 12 hệ thống lại kiến thức hình thành phương pháp, kỹ giải toán khối đa diện Đối tượng áp dụng: Học sinh lớp 12 chuẩn bị thi THPT Quốc gia Thời gian dự kiến: 04 tiết dạy chuyên đề + 04 tiết tự học B NỘI DUNG I Kiến thức bản: 1) Cho ABC vuông A ta có : 2 a) Định lý Pitago : BC  AB  AC b) c) AB AC = BC AH d) sin B  AC CB AC , cosB  , tan B  AB AB CB A C H B e) 2) Cơng thức tính diện tích tam giác : Đặc biệt : ABC vng A : S a2 S AB AC , ABC cạnh a: 3) Các tính chất tam giác vng, tam giác đều, hình thoi, hình vng 4) Định lý đường trung bình, định lý Talet 5) Cách chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng dựa theo định lý: �d  a; d  b � ; a b �a, b �ǹ� �d  �d   �d a � a �  � 6) Cách chứng minh hai đường thẳng vng góc dựa theo định lý: 7) Cách xác định góc đường thẳng a mặt phẳng  : +, Xác định hình chiếu d a mặt phẳng  S + , Góc đường thẳng mặt phẳng góc d a 8) Lưu ý cơng thức tỉ số thể tích A' B' Cho hình chóp S.ABC, A ' �SA, B ' �SB , C ' �SC , ta có: VSA' B ' C ' SA ' SB ' SC '  VSABC SA SB SC A C' B (*) 9) Kết tốn tam diện vng C Cho hình chóp OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (ABC) +, H trực tâm tam giác ABC 1 1    2 OA OB OC + , OH II Nội dung chính: Bài tập đưa tiết dạy phân theo dạng, lựa chọn cho học sinh làm từ dễ đến khó dạng, giải theo nhiều cách khác 1) Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện cách tìm chiều cao diện tích đáy khối đa diện Phương pháp: + Xác định đáy hợp lý dựng chiều cao khối đa diện + Tính chiều cao, diện tích đáy, thay vào cơng thức Để xác định đường cao ta lưu ý Hình chóp có chân đường cao trùng với tâm đáy Hình chóp có cạnh bên chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy Hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy chân đường cao nằm giao tuyến mặt phẳng đáy Hình chóp có hai mặt bên vng góc với đáy đường cao nằm giao tuyến hai mặt phẳng Để tính độ dài đường cao diện tích mặt đáy cần lưu ý Các hệ thức lượng tam giác đặc biệt hệ thức lượng tam giác vng Các khái niệm góc, khoảng cách cách xác định Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh 2a, SA vng góc đáy Góc  SC đáy 60 M trung điểm SB a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp MBCD Lời giải: V  S ABCD SA a)Ta có S M 2 + S ABCD  (2a )  4a B A + SAC có : SA  AC tan C  2a H 8a � V  4a 2a  3 D C Yêu cầu: + Học sinh xác định góc + Xác định cơng thức thể tích khối, tính độ dài đường cao SA +Xác định đường cao trường hợp chân đường cao khơng thuộc mặt đáy khối b) Kẻ MH / / SA � MH  ( DBC ) +Sử dụng hệ thức tam giác 1 MH  SA S BCD  S ABCD vng 2 Ta có: , � VMBCD 2a  V Nhận xét: + Học sinh gặp khó khăn xác định góc đường thẳng mặt phẳng + Học sinh gặp khó khăn tính SA khơng biết sử dụng hệ thức tam giác vuông Bài 2: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC) Lời giải: a) Gọi O tâm ABC � DO  ( ABC ) V  S ABC DO 3 + D S ABC  a2 a OC  CI  , 3 2 + DOC vng có : DO  DC  OC M A H  C O I B Yêu cầu: a a a a3 �V   12 b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) MH MH  a DO  + Học sinh cần nắm cách vẽ khối tứ diện tính chất đặc biệt khối +Xác định đường cao thể tích khối +Sử dụng thành thạo định lý Pitago Nhận xét: + Học sinh đa phần quên tứ diện tính chất mặt, cạnh + Còn yếu tính tốn độ dài yếu tố có hình vẽ + Bài tập 1/25 sgk lớp 12 bổ sung thêm câu b Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  a , AD = a, AA’=a, O giao điểm AC BD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’ c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Lời giải: B A a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật V O M D Ta có : V  AB AD.AA ' c  a 3.a  a 3 A' D' B' C' ABD có : DB  AB  AD  2a * Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy đường cao giống khối hộp nên: a3 � VOA ' B ' C ' D '  V  3 b) M trung điểm BC � OM  ( BB ' C ') Yêu cầu: 1 a a a3 � VO BB 'C '  S BB 'C ' OM   3 2 12 +Học sinh xác định công thức thể c) Gọi C’H đường cao đỉnh C’ tứ diện tích khối hộp khối chóp 3V C'H  OBB ' C ' SOBB ' +Biết khai thác tính chất hình hộp OBB’C’ Ta có : đứng để làm bài: Chọn đáy khối ABD có : DB  AB  AD  2a OBB’C’ (BB’C’) (thuộc mặt bên hình hộp) +Giải câu b) tương tự 1b � SOBB '  a � C ' H  2a + Bài tập rèn kỹ làm toán khối lăng trụ đứng, khối hộp chữ nhật + Học sinh khắc sâu cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng dựa theo thể tích 2) Bài tập dạng: Phân chia lắp ghép khối đa diện để tính thể tích khối đa diện Phương pháp: Phân chia lắp ghép khối đa diện theo nhiều khối dễ tính thể tích (Trên sở phát khối dễ xác định đường cao diện tích đáy) Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’ A B Hình lập phương chia thành: khối ACB’D’ bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ D C A' D' Lời giải: B' C' + Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích chiều cao nên có thể tích 1 V1  a a  a 3 Khối CB’D’C’ có + Khối lập phương tích: V2  a u cầu: + Học sinh biết chọn đáy chiều cao khối nhỏ tính 1 VACB ' D '  a  a  a � Nhận xét: + Học sinh gặp nhiều khó khăn phân chia khối + Học sinh khơng biết chọn đáy để thuận lợi cho việc tính toán + Bài toán lấy từ tập 3/25 sách giáo khoa thay đổi giả thiết “hình hộp” thành “hình lập phương cạnh a” có số liệu cụ thể để học sinh dễ tiếp thu Sau đó, yêu cầu học sinh tự giải 3/25 sách giáo khoa nhà Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC b) E trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC F Tính thể tích khối CA’B’FE Lời giải: E A C Gọi I trung điểm AB, Ta có: F I a) Khối A’B’ BC: VA ' B ' BC  S A ' B ' B CI B a a a3   2 12 C' A' J B' Yêu cầu: + Học sinh biết cách tính khối A’B’ BC +Biết phân khối chóp CA’B’FE thành hai khối chóp tam giác b) Khối CA’B’FE: phân hai khối CEFA’ CFA’B’ + Khối A’CEFcó đáy CEF, đường cao A’A VA 'CEF  SCEF A ' A nên SCEF a2  S ABC  16 � VA ' CEF  a3 48 + Biết đường thẳng vng góc với mp(CEF), ghi công thức thể + Gọi J trung điểm B’C’ Ta có khối tích cho khối CEFA’ A’B’CF có đáy CFB’, đường cao JA’ nên + Tương tự cho khối CFA’B’ VA ' B 'CF  SCFB' A ' J SCFB'  a2 SCBB '  � VA ' B ' CF  + Vậy : a a a3  24 VCA'B'FE a3  16 Nhận xét + Bài tập lấy từ 10/27 SGK 12 thay đổi số giả thiết E trung điểm thay cho trọng tâm G để toán dễ hơn, phù hợp với khả học sinh (Sau học sinh làm với trung điểm có sở để làm với trọng tâm tam giác) + Sau gợi ý giúp học sinh tính thể tích khối A’CEF, học sinh tính thể tích khối A’B’CF 3) Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện cách lập tỉ số thể tích hai khối đa diện Phương pháp: + Tìm tỉ số thể tích khối đa diện cho với khối đa diện dễ tìm thể tích + Rút thể tích khối đa diện cho + Lưu ý công thức tỉ số thể tích dùng cho khối tứ diện Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân B, AC  a , SA vng góc với đáy, SA  a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Gọi G trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng  qua AG song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN Lời giải: S VS ABC  S ABC SA a)Ta có: + SA  a N G A C M + ABC cân có : AC  a � AB  a I � S ABC  B Vậy: VSABC a 1 a3  a a  b) Gọi I trung điểm BC Yêu cầu: +Học sinh ghi thể tích khối SABC tính +Biết dùng định lý Talet tìm tỉ lệ đoạn thẳng để lập tỉ số thể tích hai khối + Nắm cơng thức (*) để lập tỉ số thể tích khối chóp SG  G trọng tâm, ta có : SI    // BC � MN// BC � SM SN SG    SB SC SI � VSAMN SM SN   VSABC SB SC Vậy: VSAMN 2a  VSABC  27 Nhận xét: + Một số học sinh khơng nhớ tính chất trọng tâm tam giác, chưa thành thạo định lý Talet + Qua toán đơn giản học sinh tiếp cận cách tính thể tích khối thơng qua khối khác để chuyển qua tốn khó Bài 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F a) Hãy xác định mp(AEMF) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF Lời giải: a) Gọi I  SO �AM S Ta có (AEMF) //BD � EF // BD M VS ABCD  S ABCD SO b) E B I C F + O A S ABCD  a D + SOC có : Vậy : c) Yêu cầu: + Học sinh dựng E, F phát vấn giáo viên +Tính thể tích khối S.ABCD sau làm qua nhiều tập + Giáo viên gợi ý tính thể tích khối SO  AO.tan 60  VS ABCD VS AEMF a a3  : Xét khối chóp S.AMF S.ACD Ta có : � SM  SC SAC có trọng tâm I, EF // BD nên: � SI SF   SO SD S.AMF Từ học sinh biết cách tính thể tích khối S.AMF cách lập tỉ số ( tương tự 5) � VSAMF SM SF   VSACD SC SD 1 a3 � VSAMF  VSACD  VSABCD  36 � VS AEMF a3 a3 2  36 18 Nhận xét: + Học sinh gặp khó khăn xác định E,F khơng nhớ kiến thức quan hệ song song + Học sinh biết cách sử dụng định lý Talet + Sau làm 6, học sinh tiếp thu số dễ dàng Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân A AB  a Trên đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD  a Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD F cắt AD E a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Chứng minh CE  ( ABD) c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF Lời giải: D a)Tính F C VABCD 1 VABCD  S ABC AD  a 3 Ta có: E B b) Ta có: AB  AC , AB  CD � AB  EC A Ta có: c) Tính u cầu: DB  EC � EC  ( ABD) VDCEF : VDCEF DE DF  (*) V DA DB DABC Ta có: 10 + Học sinh chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng 2 Mà DE.DA  DC , chia cho DA DE DC a2    2 DA DA 2a � + Nắm nhu cầu tính tỉ số DE DF DA , DB Tương tự: DF DC a2    2 DB DB DC  CB +Biết dụng hệ thức tam giác DE vuông để suy DA Từ (*) � VDCEF  VDABC VDCEF Vậy a3  VABCD  36 Nhận xét: + Kỹ chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng chưa tốt DE DC  2 + Giáo viên giúp học sinh rút tỉ số DA DA từ hệ thức DE.DA  DC tam giác vuông khắc sâu để sử dụng Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SA  a Gọi B’, D’ hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh SC  ( AB ' D ') c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Lời giải: S a) Ta có: VS ABCD a3  S ABCD SA  3 b) Ta có BC  ( SAB) � BC  AB ' D' Suy ra: I B A c) Tính O D Ta có B' C' SB  AB ' AB '  ( SBC ) VS A B 'C ' D ' C 11 +Tính VS AB 'C ' VSA ' B ' C ' SB ' SC '  (*) V SB SC Ta có: SABC SC '  SAC vuông cân nên SC Yêu cầu: +Học sinh biết chứng SB ' SA2 2a 2a 2     2 Ta có: SB SB SA  AB 3a minh AB '  ( SBC ) + Biết phân thành hai khối chóp nhau: S AB ' C ', S AC ' D ' Từ (*) � + Sử dụng tỉ số để giải VSA ' B 'C '  VSABC � VSA ' B 'C ' + a3 a3   3 VS A B 'C ' D '  2VS A B 'C ' 2a  Nhận xét: + Bài toán lấy từ tập 8/26 sách giáo khoa Tuy nhiên, thay đổi số giả thiết để phù hợp với khả học sinh: “Hình chữ nhật” thay hình vng cạnh a, “Cạnh SA=c” thay " SA  a " Nếu giữ nguyên kích thước việc tính tốn q nặng + Sau làm 8, học sinh tiếp thu toán dễ dàng nhẹ nhàng Nhận xét chung: + Một tốn tính thể tích tính cách khác + Việc chứng minh quan hệ vuông góc dựa vào tính tốn (thường học sinh quen chứng minh quan hệ vng góc nhờ vào “định tính”, chưa quan tâm nhiều đến số liệu toán cho) + Sau trang bị cho học sinh kiến thức học sinh huy động kiến thức để giải toán tổng hợp ( Việc tính thể tích khối đa diện có nhiều phương pháp, dùng phương pháp tọa độ không gian Tuy nhiên, phương pháp HS biết học sang phần “Phương pháp tọa độ không gian” phạm vi ứng dụng hẹp nên tơi khơng đề cập đây) 4) Bài tập rèn luyện: Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với đáy  góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC giác cạnh a, SA vng góc đáy, 12 SA= a Gọi H trực tâm tam giác ABC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính độ dài đường cao đỉnh A SABC Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có AB=a, BC= a , góc AC’  mp(A’B’C’D’) 30 M trung điểm AD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật b) Tính thể tích khối MACB’ Bài 4: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC ABC cạnh a Góc mp(SBC)  mp(ABC) 60 Tính thể tích khối chóp SABC Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có SA  ( ABC ) , tam giác ABC vuông cân A, BC = a , SA=2a E trung điểm SB, F hình chiếu A lên SC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính thể tích khối SAEF c) Tính khoảng cách từ H đến mp(SAE) Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a, M trung điểm SB a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp S.DCM c) Mặt phẳng(MCD) cắt SA N Tính thể tích khối chóp S.MNDC Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy, ABCD hình chữ nhật, AB = 2BC=a, SA= a a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) AH, AK đường cao tam giác SAB SAD Tính thể tích khối S.AHK Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  2a, BC  a Các cạnh bên a a) Tính VS.ABCD theo a a b) Gọi M, N trung điểm AB CD, K điểm cạnh AD cho AK = Tính khoảng cách hai đường thẳng MN SK theo a 13 Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a SA = a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M N trung điểm AD SC; I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) H thuộc AB cho HA  HB Góc SC với (ABC) 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Bài 12: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a a) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ b) Gọi M, N trung điểm BC BB’ Tính thể tích khối tứ diện B’AMN theo a C KẾT LUẬN Trong giảng dạy nói chung việc phân loại tập việc chọn trình tự tập vô cần thiết, Hơn nữa, việc xác định kiến thức trọng tâm, lựa chọn tập phong phú, dạy sát đối tượng yếu tố đảm bảo thành công Để dạy học sinh học tốt phần tính thể tích khối đa diện yếu tố ta cần lựa tập thật đơn giản gắn liền khái niệm góc, khoảng cách, hình chóp đều…một cách nhẹ nhàng, bên cạnh yếu tố mà chúng phải ln nhắc nhở học sinh tính tốn thiết phải đưa mặt phẳng, xác định kỹ khái niệm liên quan đến giả thiết, mối quan hệ giả thiêt,c ách dự đoán, cách nhìn góc độ khác nhau… Chun đề tơi biên soạn xuất phát từ tình hình thực tế trường THPT Văn Quán Mặc dù đề tài đạt số kết định song không tránh khỏi thiếu xót hạn chế Rất mong nhận đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp để đề tài phong phú có hiệu 14 15 ... tính thể tích khối A’CEF, học sinh tính thể tích khối A’B’CF 3) Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện cách lập tỉ số thể tích hai khối đa diện Phương pháp: + Tìm tỉ số thể tích khối đa diện cho... 1) Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện cách tìm chiều cao diện tích đáy khối đa diện Phương pháp: + Xác định đáy hợp lý dựng chiều cao khối đa diện + Tính chiều cao, diện tích đáy, thay vào... thể tích khối đa diện Phương pháp: Phân chia lắp ghép khối đa diện theo nhiều khối dễ tính thể tích (Trên sở phát khối dễ xác định đường cao diện tích đáy) Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có