SKKN_Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao chất lượng dạy_học hình học lớp 12

LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình ôn thi tốt nghiệp THTP và Đại học – Cao đẳng hiện nay, bài toán về tính thể tích của một khối đa diện xuất hiện khá phổ biến.. Bài toán hình học không gian

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I LỜI MỞ ĐẦU

Trong chương trình ôn thi tốt nghiệp THTP và Đại học – Cao đẳng hiện nay, bài toán về tính thể tích của một khối đa diện xuất hiện khá phổ biến Bài toán hình học không gian nói chung và bài toán về tính thể tích khối đa diện nói riêng là một phần kiến thức khó đối với học sinh THPT

Đa số học sinh bây giờ đang còn học theo kiểu “làm nhiều rồi quen dạng, làm nhiều rồi nhớ”, nếu học như thế sẽ không phát triển được tư duy sáng tạo,

sẽ không linh hoạt khi đứng trước một tình huống mới lạ hay một bài toán tổng hợp

Vì lí do đó, để giúp học sinh tháo gỡ những vướng mắc trên, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục và giúp học sinh

có thêm phương pháp trong giải toán, tôi đã quyết định chọn đề tài:

“Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao chất lượng dạy – học hình học lớp 12 ”.

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm là nghiên cứu phương pháp tính thể tích khối đa diện một cách hệ thống và sáng tạo để giúp giáo viên trang bị kiến thức cơ bản nhất về phương pháp tích thể tích khối đa diện cho học sinh, từ đó phát triển tư duy sáng tạo giải quyết các bài toán khó

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1 Thực trạng

Trong chương trình phổ thông, phần kiến thức về tính thể tích khối đa diện được đưa vào giảng dạy ở lớp 12 Đây là phần kiến thức rất hay và khó đối với học sinh trong quá trình làm bài tập; đây cũng là phần kiến thức xuất hiện từ nhu cầu thực tế và được ứng dụng rất nhiều trong thực tế

Để giải bài toán về tính thể tích khối đa diện có hai phương pháp cơ bản

là phương pháp tính trực tiếp và phương pháp tính gián tiếp Phương pháp tính trực tiếp là dựa vào việc tính chiều cao và diện tích đáy từ đó suy ra thể tích khối

đa diện; phương pháp tính gián tiếp tức là ta chia khối đa diện thành nhiều khối nhỏ để xác định thể tích

Đứng trước một bài toán học sinh thường lúng túng và đặt ra câu hỏi:

“Phải định hướng lời giải bài toán từ đâu?” Một số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vội làm ngay, có khi thử nghiệm đó sẽ dẫn đến kết quả, tuy nhiên hiệu suất giải toán như thế là không cao Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xét bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu tố đặc trưng của bài toán để tìm lời giải Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo các phương pháp giải là một điều cần thiết Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán

Đặc biệt đối với bài toán về hình học không gian nói chung và bài toán tính thể tích khối đa diện nói riêng thì đối với hầu hết học sinh, kể cả những học sinh khá giỏi cũng gặp rất nhiều khó khăn khi giải bài tập Nguyên nhân của thực trạng trên là học sinh chưa trang bị cho mình một kiến thức về phương pháp tính đầy đủ và hệ thống nên rất lúng túng khi đứng trước một bài toán

2 Kết quả của thực trạng

Trước khi áp dụng nghiên cứu này vào giảng dạy tôi đã tiến hành khảo sát chất lượng học tập của học sinh hai lớp 12A3, 12A4 trường THPT Hậu Lộc 4 (về vấn đề tính thể tích khối đa diện) và thu được kết quả như sau:

Lớp Sĩ

số

Giỏi Khá TB Yếu Kém

Như vậy số lượng học sinh nắm bắt các dạng này không nhiều do chưa nắm vững được nguồn kiến thức và kĩ năng cần thiết

Để thực hiện để tài vào giảng dạy, trước hết tôi nhắc lại công thức tính thể tích các khối đa diện, tiếp đó đưa ra các phương pháp tính và ví dụ cụ thể để hướng dẫn học sinh thực hiện, cuối cùng tôi đưa ra bài tập tổng hợp để học sinh rèn luyện phương pháp tính

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN

Thực hiện nghiên cứu và ứng dụng vào thực tiễn giảng dạy tôi chia nội dung thành 3 phần dạy cho học sinh vào 3 buổi, mỗi buổi 3 tiết; trong mỗi buổi

có các thí dụ minh họa và bài tập cho học sinh tự rèn luyện về phương pháp tính

Sau đây là nội dung cụ thể:

Phần I

Để tính thể tích khối đa diện, phương pháp quan trọng nhất và được ứng dụng rộng rãi nhất trong quá trình tính toán là tính trực tiếp, tức là dựa vào chiều cao của các khối và diện tích đáy Như vậy mấu chốt của phương pháp này là phải xác định được chiều cao và diện tích đáy, ta xét một số ví dụ minh họa như

sau: Các thí dụ minh họa

Thí dụ 1 Cho khối chóp S ABC. có BC 2a, BAC 90 , 0 ACB  Mặt phẳng

(SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác SAB cân tại S và tam giác

SBC vuông Tính thể tích của khối chóp S ABC.

Lời giải (h.1)

Tam giác ABC có AB 2 sin ,a  AC 2 cosa 

sin 2

ABC

Vì (SAB) (  ABC) và SA SB nên SH  (ABC)

với H là trung điểm cạnh AB

Bây giờ ta xác định tam giác SBC vuông tại

đỉnh nào

Nếu SBC vuông tại đỉnh B thì CBBA (theo định lí ba đường vuông góc), điều này vô lý vì ABC vuông ở A

Tương tự, nếu SBC vuông ở C thì  0

90

s

Hình 1

A

B

C

Từ đó suy ra SBC vuông tại S.

Gọi K là trung điểm cạnh BC thì

sin sin







Từ đó:

.

2

3

1 3 1 sin 2 sin 3

1

= sin 2 sin 3

S ABC ABC

a

 





Nhận xét: Ở ví dụ trên dễ dàng nhận thấy SH là chiều cao của khối chóp từ giả

thiết (SAB) (  ABC) và SA SB và việc còn lại là xác định SH

Thí dụ 2 Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1 có cạnh bằng a Gọi M N, theo

thứ tự là trung điểm của các cạnh

,

AB BC và O O1 , 2 thứ tự là tâm các mặt

1 1 1 1 , 1 1

A B C D ADD A Tính thể tích khối tứ

diện MNO O1 2

Lời giải (h.2)

Ta có mp NO O( 1 2 ) mp ABCD( ) và chúng

cắt nhau theo giao tuyến NE (E là trung

điểm cạnh AD)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD thì MONE

Suy ra MO là đường cao của hình chóp M N O O 1 2

Ta có:

A

C

Hình 2

O1 O2

D

B

E

N

N1 E1

M O

1 2 1 1 1 1 1 1 2 2

O O EE

2

2

1

2 2 4 2

3

.

8

a

a



1 2 1 2

O O O O

2

3

1

3

1 3

.

3 8 2

.

16

a a a







Nhận xét: Khi gặp bài toán này nhiều học sinh nghĩ đến phương pháp tính gián

tiếp, tuy nhiên các khối “bù” với khối MNO O1 2 là quá nhiều và phức tạp Nếu để

ý mặt phẳng (NO O1 2 ) nằm trong mặt phẳng (NEE N1 1 ) thì việc xác định chiều cao

và diện tích đáy của hình chóp M N O O 1 2 trở nên đơn giản

Thí dụ 3 Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Giả sử

H là trung điểm cạnh AB và hai mặt phẳng (SHC),(SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp nếu hình chóp có ba mặt bên là tam giác vuông

Lời giải (h.3)

Vì (SHC) và (SHD) cùng vuông góc

với đáy (ABCD) nên SH là đường

cao của khối chóp

Hai tam giác SAD và SBC lần lượt

vuông tại A và B(theo định lí ba

đường vuông góc)

Tam giác SCD có SC SD (vì

HCHD) nên nó không thể vuông

tại C hoặc D

S

Hình 3

A

D H

Nếu SCD vuông tại S thì SC CD a  Nhưng do SBC vuông tại B nên

Từ giả thiết suy ra SAB phải là tam giác vuông

a

.

S ABCD ABCD

Thí dụ 4 Xét các khối chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành với

5 ,

2

a

AB a SA SB SC SD     Khối chóp nào có thể tích lớn nhất và tính giá trị

lớn nhất đó

Lời giải (h.4)

Vì khối chóp S ABCD. có các

cạnh bên bằng nhau nên đáy

phải nội tiếp

Suy ra ABCD là hình chữ nhật

Gọi H là giao của ACvàBD thì

( ).

Đặt BCx x(  0) thì

2 2

4

ABCD

2 2

2 2 2

1 4

(4 ).

S ABCD

Vì x2  (4a2  x2 ) 4  a2 nên theo BĐT Cauchy V S ABCD. đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x2  4a2  x2  x a 2

Lúc đó ax . 3

3

S ABCD

a

x a

S

H

Hình 4

B

C

A

D

Bài tập tự luyện

Bài 1 (Đề thi ĐH khối A năm 2012) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA2HB Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng

(ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S ABC và tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng SA và BC theo a

Bài 2 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy là hình thoi cạnh a và BAD  60 0 Hai mặt chéo (ACC A' ') và ( DD' ')B B cùng vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M N,

lần lượt là trung điểm của CD B C, ' ' và MN BD' Tính thể tích của hình hộp

1, 2, 3, AS 60 , AS 90 , 120

SA SB SC B C BSC Tính thể tích khối chóp đó

Bài 4 Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và

 60 0

BAD  Các mặt phẳng (SAB SBD SAD),( ),( ) nghiêng đều với đáy (ABCD) một góc  Tính thể tích khối chóp đó

Bài 5 Cho khối chóp S ABCD. có đáy là hình thang cân, đáy lớn AB bằng 4 lần đáy nhỏ CD, chiều cao của đáy bằng a Bốn đường cao của bốn mặt bên ứng với đỉnh S có độ dài bằng nhau và bằng b Tính thể tích của hình chóp

Bài 6 Cho khối chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a Tam giác SAB cân tại đỉnh S và mặt phẳng (SAB) (  ABC) Giả sử E là trung điểm SC và hai mặt phẳng (ABE),(SCD) vuông góc với nhau Tính thể tích của khố chóp đó

Bài 7 Hình chóp S ABC. có SA a , SA tạo với đáy một góc  ,

 90 ,o 

ABC ACB  G là trọng tâm ABC Hai mặt phẳng (SGB SGC),( ) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính thể tích của khối chóp S ABC.

Bài 8 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a Các cạnh

' , ' , '

A A A B A C nghiêng đều trên đáy một góc  Tính diện tích xung quanh và thể tích của lăng trụ

Bài 9 Cho hình chóp S.A A ( 1 2 A n  n 3) có diện tích đáy bằng D, chu vi đáy bằng

P Các mặt bên nghiêng đều trên đáy một góc  Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy nằm trong đa giác A A 1 2 A n Tính thể tích hình chóp đó

Phần 2

Trong các bài toán tính thể tích khối đa diện đôi khi việc xác định chiều cao và diện tích đáy gặp rất nhiều khó khăn, khi đó chúng ta có thể tính một cách gián tiếp bằng cách chia khối cần tính thành nhiều khối nhỏ hoặc tính thể tích các khối “bù” với khối cần tính Từ đó bằng công thức cộng thể tích ta có thể suy ra thể tích khối cần tính Sau đây là một số thí dụ minh họa cho phương pháp thứ 2

Thí dụ minh họa

Thí dụ 1 Cho khối chóp S ABC.

với tam giác ABC vuông cân tại B,

2

AC a, SA (ABC) và SA a Giả

sử I là điểm thuộc cạnh SB sao

cho 1

3

SI SB Tính thể tích khối tứ

diện SAIC

Lời giải (h.5)

Tam giác ABC vuông cân tại B có AC 2a nên AB BC a  2

2

ABC

Vì SA (ABC) nên SA là chiều cao của hình chóp S ABC.

1

a

Mặt khác .

.

1

3

S AIC

S ABC

A

Hình 5

C

B S

I

Vậy . 3 3

.

S AIC S ABC

Nhận xét: Trong bài toán trên ta hoàn toàn có thể tính trực tiếp, tuy nhiên việc

tính gián tiếp dựa vào tỉ lệ thể tích thì tính toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều

Thí dụ 2 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật,

AB a BC a SA SB SC SD a     Giả sử E là điểm thuộc cạnh SC sao cho

2

SE SC, F là điểm thuộc cạnh SD sao

cho 1

3

SF FD Tính thể tích khối đa diện

Lời giải (h.6)

Ta có S ABCD AB BC  2a2

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ABD ta có

Gọi OACBD thì 1 5

a

Xét tam giác SBD cân tại S có SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao của tam giác SBD Suy ra SOBD

Chứng minh tương tự SOAC Suy ra SO (ABCD) hay SO là đường cao của hình chóp S ABCD.

( 2) ( )

3 2

.

.2

S ABCD ABCD

Mặt khác .

.

2

3

S ABE

S ABC

3

S ABE S ABC S ABCD

a

S

Hình 6 O

A

D

B

C E F

C'

Hình 7

D'

B'

B

C

N

K M

.

.

2 1 1

3 4 6

S AEE

S ACD

3

S A S ACD S ABCD

a

Từ (1) và (2) ta có:

5 3 36

3 3 12 3

SABEF S ABE S AEF

Nhận xét: Khối đa diện cần tính thể tích không thuộc các khối quen thuộc

(không có công thức tính trực tiếp), nên ta phải tìm cách chia thành các khối nhỏ quen thuộc, và ta có thể tính gián tiếp một cách dễ dàng dựa vào tỷ lệ thể tích

Thí dụ 3 Chi hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Gọi M là trung điểm của cạnh BB' Mặt phẳng ( 'A MD)

chia hình lập phương thành hai khối

đa diện Tính tỉ số thể tích của hai

khối đa diện trên

Lời giải (h.7)

Gọi N là giao điểm của A M' và

AB, K là giao điểm của DN và BC

Mặt phẳng ( 'A MD) chia hình lập

phương ABCD A B C D ' ' ' ' thành hai khối đa diện A MKDAB' và khối diện

' ' ' '

Do A B' '/ /BN nên A B' ' MB' 1 BN A B' ' a

2

BK CK

1

B MNK

a

3 '

1 AA' .

A A ND

a

3 3 3

7

3 24 24

A MKDAB A A ND B MNK

Thể tích khối lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' bằng 3

a

Từ V ABCD A B C D ' ' ' ' V A MKDAB' V A B C D MKCD' ' ' '

' ' ' ' ' ' ' ' '

3 7 17

24 24

A B C D MKCD ABCD A B C D A MKDAB

a

Suy ra '

' ' ' '

7 17

A MKDAB

A B C D MKCD

V

Nhận xét: Trong hai thí dụ đầu, ta chủ yếu dựa vào tỷ lệ thể tích thì ở thí dụ này

ta dựa vào việc tính thể tích các khối “bù” với khối cần tính

Thí dụ 4 Chi hình chóp O ABC. có

, ,

OA OB OC đôi một vuông góc với

nhau, OA a OB b OC c ,  ,  ; OA OB OC', ' '

lần lượt là đường cao của các tam giác

, ,

OBC OAC OAB Tính thể tích khối

chóp O A B C ' ' '

Lời giải (h.8)

Ta có .

1

O ABC

abc

Do OA OB OA OC OB OC ,  ,  , nên các tam giác OAB OBC OAC, , vuông tại O

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

Xét tam giác OBC vuông tại O có OA' là đường cao nên:

2 2

2 2 2

' '

b c

OB OC OA

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OA C' ta có

2

2 2



Chứng minh tương tự ta có:

Hình 8

G

A

B

C

C'

A' B'

2 2 2 2 2

Mặt khác

4 ' ' ' '

2 2 2 2

' '

O CA B C OA B

O ABC C OBA

Suy ra

4 ' ' 2 2 2 2

c



Chứng minh tương tự, ta được:

4 ' ' 2 2 2 2 .

4 ' ' 2 2 2 2

;

.

a

b





Do đó

' ' ' ' ' ' ' ' '

O A B C O ABC O CA B O AB C O BA C

Nhận xét: Trong thí dụ 3 ta đã áp dụng việc tính thể tích các khối “bù” với khối

cần tính thì trong thí dụ 4 ta thấy phương pháp này rất hiệu quả

Bài tập tự luyện

Bài 1 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật, đường thẳng SA

vuông góc với mặt phẳng (ABCD), G là trọng tâm của tam giác SBD, mặt phẳng

(SBG) cắt SC tại M , mặt phẳng (ABG) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp

.

S ABMN; biết rằng SA AB a  , góc giữa đường thẳng AM và mặt phẳng

(ABCD) bằng 30 0

Bài 2 Cho hình chóp O ABC. có OA OB OC, , đôi một vuông góc với nhau;

, , ; ', ', '

OA a OB b OC c OA OB OC   lần lượt là các đường phân giác trong của các tam giác OBC OCA OAB, , Tính thể tích của khối chóp O A B C ' ' '

Bài 3 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA a 3,

SA ABCD Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các

cạnh SB SD, Mặt phẳng (AHK) cắt SC tại I Tính thể tích của khối chóp

.

Bài 4 Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông tâm O SA vuông góc

với đáy và SA = a 2 Cho AB a Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên

SB, SD CM: SA  (AHK) Tính thể tích hình chóp OAHK

Bài 5 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có hình chóp A1ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a, AA1 = b Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC)

và (A1BC) Tính tan và thể tích hình chóp A1BB1C1C

Phần 3

Trong các buổi trước, chúng ta đã được rèn luyện 2 phương pháp tính thể tích là tính trực tiếp và tính gián tiếp Để tính thể tích khối đa diện, trong các bài toán thi đại học và học sinh giỏi còn sử dụng một phương pháp rất hiệu quả đó

là phương pháp tọa độ hóa, nội dung phương pháp này gồm 4 bước:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ

Bước 2: Xác định tọa độ các điểm liên quan, chuyển bài toán hình học không gian thông thường thành bài toán hình học tọa độ

Bước 3: Tính toán dựa vào các công thức hình học tọa độ trong không gian

Bước 4: Kết luận

Sau đây là một số thí dụ minh họa và các bài tập rèn luyện:

Thí dụ minh họa

Thí dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, đáy

ABCD là hình chữ nhật, SA=AB=a, AD=a 2 , gọi M, N lần lượt là trung

điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC

a) CMR: ( SAC ) (  SMB )

b) Tính thể tích tứ diện ANIB