Sáng kiến kinh nghiệm SKKN một số phương pháp tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao chất lượng dạy học hình học lớp 12

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƢỢNG DẠY - HỌC HÌNH HỌC LỚP 12" A ĐẶT VẤN ĐỀ I LỜI MỞ ĐẦU Trong chƣơng trình ôn thi tốt nghiệp THTP Đại học – Cao đẳng nay, toán tính thể tích khối đa diện xuất phổ biến Bài toán hình học không gian nói chung toán tính thể tích khối đa diện nói riêng phần kiến thức khó học sinh THPT Đa số học sinh học theo kiểu “làm nhiều quen dạng, làm nhiều nhớ”, học nhƣ không phát triển đƣợc tƣ sáng tạo, không linh hoạt đứng trƣớc tình lạ hay toán tổng hợp Vì lí đó, để giúp học sinh tháo gỡ vƣớng mắc trên, nhằm nâng cao chất lƣợng dạy học, đáp ứng nhu cầu đổi giáo dục giúp học sinh có thêm phƣơng pháp giải toán, định chọn đề tài: “Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao chất lượng dạy – học hình học lớp 12 ” Mục tiêu sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu phƣơng pháp tính thể tích khối đa diện cách hệ thống sáng tạo để giúp giáo viên trang bị kiến thức phƣơng pháp tích thể tích khối đa diện cho học sinh, từ phát triển tƣ sáng tạo giải toán khó II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thực trạng Trong chƣơng trình phổ thông, phần kiến thức tính thể tích khối đa diện đƣợc đƣa vào giảng dạy lớp 12 Đây phần kiến thức hay khó học sinh trình làm tập; phần kiến thức xuất từ nhu cầu thực tế đƣợc ứng dụng nhiều thực tế Để giải toán tính thể tích khối đa diện có hai phƣơng pháp phƣơng pháp tính trực tiếp phƣơng pháp tính gián tiếp Phƣơng pháp tính trực tiếp dựa vào việc tính chiều cao diện tích đáy từ suy thể tích khối đa diện; phƣơng pháp tính gián tiếp tức ta chia khối đa diện thành nhiều khối nhỏ để xác định thể tích Đứng trƣớc toán học sinh thƣờng lúng túng đặt câu hỏi: “Phải định hƣớng lời giải toán từ đâu?” Một số học sinh có thói quen không tốt đọc đề chƣa kỹ vội làm ngay, có thử nghiệm dẫn đến kết quả, nhiên hiệu suất giải toán nhƣ không cao Với tình hình để giúp học sinh định hƣớng tốt trình giải toán, ngƣời giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xét toán dƣới nhiều góc độ, khai thác yếu tố đặc trƣng toán để tìm lời giải Trong việc hình thành cho học sinh khả tƣ theo phƣơng pháp giải điều cần thiết Việc trải nghiệm qua trình giải toán giúp học sinh hoàn thiện kỹ định hƣớng giải toán Đặc biệt toán hình học không gian nói chung toán tính thể tích khối đa diện nói riêng hầu hết học sinh, kể học sinh giỏi gặp nhiều khó khăn giải tập Nguyên nhân thực trạng học sinh chƣa trang bị cho kiến thức phƣơng pháp tính đầy đủ hệ thống nên lúng túng đứng trƣớc toán Kết thực trạng Trƣớc áp dụng nghiên cứu vào giảng dạy tiến hành khảo sát chất lƣợng học tập học sinh hai lớp 12A3, 12A4 trƣờng THPT Hậu Lộc (về vấn đề tính thể tích khối đa diện) thu đƣợc kết nhƣ sau: Lớp Sĩ số Giỏi Khá Yếu TB Kém SL % SL % SL % SL % SL % 12A3 45 18 24 53 10 22 12A4 45 0 21 47 16 36 10 Nhƣ số lƣợng học sinh nắm bắt dạng không nhiều chƣa nắm vững đƣợc nguồn kiến thức kĩ cần thiết Để thực để tài vào giảng dạy, trƣớc hết nhắc lại công thức tính thể tích khối đa diện, tiếp đƣa phƣơng pháp tính ví dụ cụ thể để hƣớng dẫn học sinh thực hiện, cuối đƣa tập tổng hợp để học sinh rèn luyện phƣơng pháp tính B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN I Thực nghiên cứu ứng dụng vào thực tiễn giảng dạy chia nội dung thành phần dạy cho học sinh vào buổi, buổi tiết; buổi có thí dụ minh họa tập cho học sinh tự rèn luyện phƣơng pháp tính Sau nội dung cụ thể: Phần I Để tính thể tích khối đa diện, phƣơng pháp quan trọng đƣợc ứng dụng rộng rãi trình tính toán tính trực tiếp, tức dựa vào chiều cao khối diện tích đáy Nhƣ mấu chốt phƣơng pháp phải xác định đƣợc chiều cao diện tích đáy, ta xét số ví dụ minh họa nhƣ sau: Các thí dụ minh họa Thí dụ Cho khối chóp S.ABC có BC  2a , BAC  900 , ACB   Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , tam giác SAB cân S tam giác SBC vuông Tính thể tích khối chóp S.ABC Lời giải (h.1) s Tam giác ABC có AB  2a sin  , AC  2a cos  S ABC  a sin 2 Vì (SAB)  ( ABC ) SA  SB nên SH  ( ABC ) trung điểm cạnh AB Bây ta xác định tam giác SBC vuông đỉnh nên với A C H Nếu SBC vuông đỉnh B CB  BA định lí ba đƣờng vuông góc), điều vô ABC vuông A Tƣơng tự, SBC vuông C HCB  900 H K B Hình (theo lý (Vô lí) Từ suy SBC vuông S Gọi K trung điểm cạnh BC 1 BC  a, HK / / AC HK  AC  a cos  2 2 2  SH  SK  HK  a sin  SK   SH  asin Từ đó: VS ABC  S ABC SH  a sin 2 asin = a sin 2 sin Nhận xét: Ở ví dụ dễ dàng nhận thấy SH chiều cao khối chóp từ giả thiết (SAB)  ( ABC ) SA  SB việc lại xác định SH Thí dụ Cho hình lập phƣơng ABCD A1B1C1D1 có cạnh trung điểm cạnh AB, BC tâm mặt A1B1C1D1 , ADD1 A1 Tính tứ diện MNO1O2 A a Gọi M,N D M E theo thứ tự O1 , O2 thứ tự thể tích khối O N B C Lời giải (h.2) O2 Ta có mp( NO1O2 )  mp( ABCD) chúng theo giao tuyến NE ( E trung điểm Gọi O tâm hình vuông ABCD MO  NE Suy MO đƣờng cao hình M NO1O A1 D1 E1 N1 O1 B1 cắt cạnh AD ) C1 Hình chóp Ta có: S NO1O2  S NEE1N1  ( S NN1O1  S E1O1O2  S ENO2 ) a2 a2 a2  a2  (   ) 2 2 3a  Nên VM NO1O2  S NO1O2 MO 3a a  a3  16 Nhận xét: Khi gặp toán nhiều học sinh nghĩ đến phƣơng pháp tính gián tiếp, nhiên khối “bù” với khối MNO1O2 nhiều phức tạp Nếu để ý mặt phẳng ( NO1O2 ) nằm mặt phẳng ( NEE1 N1 ) việc xác định chiều cao diện tích đáy hình chóp M NO1O2 trở nên đơn giản Thí dụ Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Giả sử H trung điểm cạnh AB hai mặt phẳng (SHC),(SHD) vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp hình chóp có ba mặt bên tam giác vuông Lời giải (h.3) Vì (SHC) (SHD) vuông góc đáy ( ABCD) nên SH đƣờng cao khối chóp với S Hai tam giác SAD SBC lần lƣợt vuông A B (theo định lí ba đƣờng vuông góc) Tam giác SCD có SC  SD (vì HC  HD ) nên vuông D Nếu SCD vuông S SC  CD  a Nhƣng SBC vuông B nên SC  SB  a Từ SCD không tam giác vuông C B C H A D Hình Từ giả thiết suy SAB phải tam giác vuông Do SA  SB , (vì HA  HB ) nên SAB vuông S, suy Vậy SH  a AB  2 1 a a3 VS ABCD  S ABCD SH  a  3 Thí dụ Xét khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành với AB  a, SA  SB  SC  SD  a Khối S tích lớn lớn chóp tính giá trị Lời giải (h.4) Vì khối chóp S.ABCD có nên đáy phải nội cạnh tiếp B x bên C a H A D Hình Suy ABCD hình chữ nhật Gọi H giao AC BD Đặt BC  x ( x  0) thì SH  ( ABCD) S ABCD  ax, SH  SA2  AH  4a  x ( x  2a ) 4a  x a  VS ABCD  ax  x (4a  x ) Vì x  (4a  x )  4a nên theo BĐT Cauchy VS ABCD đạt giá trị lớn x  4a  x  x  a Lúc MaxVS ABCD  a3 Bài tập tự luyện Bài (Đề thi ĐH khối A năm 2012) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S mặt phẳng ( ABC ) điểm H thuộc cạnh AB cho HA  2HB Góc đƣờng thẳng SC mặt phẳng ( ABC ) 600 Tính thể tích khối chóp S ABC tính khoảng cách hai đƣờng thẳng SA BC theo a Bài Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy hình thoi cạnh a BAD  600 Hai mặt chéo ( ACC ' A ') ( BDD'B ') vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N lần lƣợt trung điểm CD, B ' C ' MN  BD ' Tính thể tích hình hộp Bài Cho khối chóp S.ABC có tích khối chóp SA  1, SB  2, SC  3, ASB  600 , ASC  900 , BSC  1200 Tính thể Bài Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD  600 Các mặt phẳng (SAB),(SBD),(SAD) nghiêng với đáy ( ABCD) góc  Tính thể tích khối chóp Bài Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình thang cân, đáy lớn AB lần đáy nhỏ CD , chiều cao đáy a Bốn đƣờng cao bốn mặt bên ứng với đỉnh S có độ dài b Tính thể tích hình chóp Bài Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Tam giác SAB cân đỉnh S mặt phẳng (SAB)  ( ABC ) Giả sử E trung điểm SC hai mặt phẳng ( ABE ), (SCD) vuông góc với Tính thể tích khố chóp Bài Hình chóp S.ABC có SA  a , SA tạo với đáy góc  , ABC  90o , ACB   G trọng tâm ABC Hai mặt phẳng (SGB), (SGC ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a Các cạnh A ' A, A ' B, A ' C nghiêng đáy góc  Tính diện tích xung quanh thể tích lăng trụ Bài Cho hình chóp S.A1A2 An (n  3) có diện tích đáy D , chu vi đáy P Các mặt bên nghiêng đáy góc  Hình chiếu S lên mặt phẳng đáy nằm đa giác A1A An Tính thể tích hình chóp Phần Trong toán tính thể tích khối đa diện việc xác định chiều cao diện tích đáy gặp nhiều khó khăn, tính cách gián tiếp cách chia khối cần tính thành nhiều khối nhỏ tính thể tích khối “bù” với khối cần tính Từ công thức cộng thể tích ta suy thể tích khối cần tính Sau số thí dụ minh họa cho phƣơng pháp thứ Thí dụ minh họa Thí dụ Cho khối chóp S.ABC với tam giác ABC vuông cân SA  a Giả sử I điểm thuộc cho SI  SB Tính thể tích B , AC  2a , SA  ( ABC ) S cạnh SB khối tứ diện SAIC Lời giải (h.5) I Tam giác ABC vuông cân nên AB  BC  a Do S ABC  có AC  2a B AB.BC  a Vì SA  ( ABC ) nên SA chiều hình chóp S.ABC A C cao Hình B Suy VS ABC a3  SA.S ABC  3 Mặt khác Vậy VS AIC SA SI SC   VS ABC SA SB SC 1 a3 a3 VS AIC  VS ABC   3 Nhận xét: Trong toán ta hoàn toàn tính trực tiếp, nhiên việc tính gián tiếp dựa vào tỉ lệ thể tích tính toán trở nên đơn giản nhiều Thí dụ chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  2a, BC  a; SA  SB  SC  SD  a Giả sử E điểm thuộc cạnh SC cho SE  2SC , F Cho hình điểm thuộc cạnh SD cho SF  FD Tính thể tích khối đa diện SABEF Lời giải (h.6) S F Ta có S ABCD  AB.BC  2a2 Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ta có vuông E A D BD  AB  AD  a Gọi O  AC  BD BO  ABD O B a BD  2 C Hình Xét tam giác SBD cân S có SO trung tuyến nên SO đồng thời đƣờng cao tam giác SBD Suy SO  BD Chứng minh tƣơng tự SO  AC Suy S ABCD SO  ( ABCD) hay SO đƣờng cao hình chóp Ta có SO  SB  BO2  (a 2)2  ( a )2  a 2 1 a a3 VS ABCD  S ABCD SO  2a  3 Mặt khác  VS ABE VS ABE SA SB SE   VS ABC SA SB SC a3  VS ABC  VS ABCD  3 3 (1) VS AEE SA SE SF 1    VS ACD SA SC SD  VS AEF 1 a3  VS ACD  VS ABCD  12 12 (2) Từ (1) (2) ta có: VSABEF  VS ABE  VS AEF  a3 a3 5a 3   36 3 12 Nhận xét: Khối đa diện cần tính thể tích không thuộc khối quen thuộc (không có công thức tính trực tiếp), nên ta phải tìm cách chia thành khối nhỏ quen thuộc, ta tính gián tiếp cách dễ dàng dựa vào tỷ lệ thể tích Thí dụ Chi hình lập phƣơng ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh BB ' Mặt phẳng ( A ' MD) chia hình thành hai khối đa diện Tính tỉ số hai khối đa diện a A' Gọi M trung điểm cạnh lập phƣơng thể tích D' B' C' Lời giải (h.7) M Gọi N giao điểm A ' M giao điểm DN BC Mặt phẳng chia hình lập ABCD.A ' B ' C ' D ' thành hai khối đa A ' MKDAB khối diện A ' B ' C ' D ' MKCD Do BN / /CD nên Ta có VB.MNK  VA A ' ND  K B ( A ' MD) Do A ' B '/ / BN nên D A C Hình AB , K phƣơng diện N A ' B ' MB '    BN  A ' B '  a BN MB BK BN AB a     BK  CK  CK CD CD a3 BM BN BK  ; 24 a3 AA' AN AD  VA ' MKDAB  VA A ' ND  VB.MNK  a a 7a   24 24 10 Thể tích khối lập phƣơng ABCD.A ' B ' C ' D ' a Từ VABCD A' B 'C ' D '  VA' MKDAB  VA' B 'C ' D ' MKCD  VA ' B 'C ' D ' MKCD  VABCD A ' B 'C ' D '  VA ' MKDAB  a3  Suy VA ' MKDAB VA ' B 'C ' D ' MKCD 7a 17a  24 24  17 Nhận xét: Trong hai thí dụ đầu, ta chủ yếu dựa vào tỷ lệ thể tích thí dụ ta dựa vào việc tính thể tích khối “bù” với khối cần tính Thí dụ Chi hình chóp O.ABC có đôi vuông góc với nhau, OA  a, OB  b, OC  c ; OA ', OB ' OC ' lần đƣờng cao tam giác OBC, OAC, OAB Tính thể tích khối O A ' B ' C ' OA, OB, OC G lƣợt chóp A B' Lời giải (h.8) C C' A' Ta có Do VO ABC Hình abc  OA.OB.OC  6 OA  OB, OA  OC, OB  OC , B nên tam giác OAB, OBC, OAC vuông O Áp dụng định lý Pythagore ta có: AC  a  c2 , AB  a  b2 , BC  b2  c Xét tam giác OBC vuông O có OA ' đƣờng cao nên: 1 b c OB OC 2    OA '   OA '2 OB OC OB  OC b  c Áp dụng định lý Pythagore tam giác vuông OA ' C ta có OC  OA '2  CA '2  CA '  OC  OA '2  c2 b2  c Chứng minh tƣơng tự ta có: CB '  c2 a2  c2 ; AB '  a2 a2  c2 ; AC '  a2 a  b2 ; BC '  b2 a  b2 ; BA '  b2 b2  c2 11 Mặt khác VO.CA ' B ' VC OA ' B ' CO CA ' CB ' c4    VO ABC VC OBA CO CB CA (b  c )(a  c ) VO.CA ' B '  Suy c4 VO ABC (b  c )(a  c ) Chứng minh tƣơng tự, ta đƣợc: VO AB 'C '  a4 VO ABC ; (a  b )(a  c ) VO.BA 'C '  b4 VO ABC (a  b )(b  c ) Do VO A ' B 'C '  VO ABC  (VO.CA ' B '  VO AB 'C '  VO.BA 'C ' )  [1  ( a4 b4 c4 abc   )] 2 2 2 2 2 2 (a  b )(a  c ) (a  b )(b  c ) (b  c )(a  c ) Nhận xét: Trong thí dụ ta áp dụng việc tính thể tích khối “bù” với khối cần tính thí dụ ta thấy phƣơng pháp hiệu Bài tập tự luyện Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, đƣờng thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) , G trọng tâm tam giác SBD , mặt phẳng ( SBG) cắt SC M , mặt phẳng ( ABG) cắt SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN ; biết SA  AB  a , góc đƣờng thẳng AM mặt phẳng ( ABCD) 300 Bài Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với nhau; OA  a, OB  b, OC  c; OA ', OB ', OC ' lần lƣợt đƣờng phân giác tam giác OBC, OCA, OAB Tính thể tích khối chóp O A ' B ' C ' Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , SA  a , SA  ( ABCD) Gọi H , K lần lƣợt hình chiếu vuông góc điểm A cạnh SB, SD Mặt phẳng ( AHK ) cắt SC I Tính thể tích khối chóp S AHIK Bài Cho hình chóp SABCD đáy ABCD hình vuông tâm O SA vuông góc với đáy SA = a Cho AB  a Gọi H, K lần lƣợt hình chiếu A SB, SD CM: SA  (AHK) Tính thể tích hình chóp OAHK 12 Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có hình chóp A1ABC hình chóp tam giác cạnh đáy AB = a, AA1 = b Gọi  góc hai mặt phẳng (ABC) (A1BC) Tính tan thể tích hình chóp A1BB1C1C Phần Trong buổi trƣớc, đƣợc rèn luyện phƣơng pháp tính thể tích tính trực tiếp tính gián tiếp Để tính thể tích khối đa diện, toán thi đại học học sinh giỏi sử dụng phƣơng pháp hiệu phƣơng pháp tọa độ hóa, nội dung phƣơng pháp gồm bƣớc: Bƣớc 1: Chọn hệ trục tọa độ Bƣớc 2: Xác định tọa độ điểm liên quan, chuyển toán hình học không gian thông thƣờng thành toán hình học tọa độ Bƣớc 3: Tính toán dựa vào công thức hình học tọa độ không gian Bƣớc 4: Kết luận Sau số thí dụ minh họa tập rèn luyện: Thí dụ minh họa Thí dụ Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, đáy ABCD hình chữ nhật, SA=AB=a, AD= a , gọi M, N lần lƣợt trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC a) CMR: ( SAC )  ( SMB) b) Tính thể tích tứ diện ANIB Lời giải (Hình 9) Chọn hệ tọa độ với Axyz với D  Ax, B  Ay, S  Az Khi đó: 13 A(0;0;0), B(0; a;0), C(a 2; a;0), S (0;0; a), M ( a a a a ; ;  ;0;0), N  2 2  a) Ta có:mp(SAC) có vtpt n1  (1;  2;0) Hình mp(SMB) có vtpt n2  ( 2;1;1)  n1 n2   n1  n2 Hay ( SAC )  ( SMB) x  t  b) Ta có mp(SAC) có phƣơng trình: x  y  , BM có phƣơng trình:  y  a  2t z   a a a ; ;0)  VANIB   AN, AI  AB  Vì I  BM  ( SAC )  I ( 36 3 Thí dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC, đáy có cạnh a Gọi M, N lần lƣợt trung điểm SB, SC Biết ( AMN )  ( SBC ) Tính thể tích hình chóp Lời giải (Hình 10) Chọn hệ tọa độ Oxyz nhƣ hình vẽ (h.10) Đặt SO = h Khi ta có: C( a a a ;0;0), A( ; ;0), 3 B( a a ; ;0), S(0;0; h) , M( a ; a ; h ), N( a ;0; h ) 4 2 Hình 10 Ta có AM  ( 3a h a a h ; ), AN  ( ; ; ) 4 2 a ; 14  AM, AN   ( ah ; 3ah ; 5a )  mp( AMN) cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ: n1(h ; h 3; 5a )   8 3 mp(SBC) cắt Oy K (0; a a ;0) , Ox C( ;0;0) , Oz S(0;0;h) 3 nên có phƣơng trình theo đoạn chắn là: x y z 3 3   1 x  y  z   mp( SBC)cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ: n ( ; ; ) a a h a a h a a h 3 Ta có ( AMN )  ( SBC)  n1 n2   (h) Vậy VS ABC 3 5a  h 3.( )  0ha a a 12 h 1 a a3  SO.SABC  a  3 12 24 Thí dụ (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2013) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân C, cạnh đáy AB 2a ABC 300 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ', biết khoảng cách hai đƣờng thẳng AB CB ' a Lời giải (H.11) z Gọi M, N lần lƣợt trung điểm AB Ta có MN đƣờng cao lăng trụ Giả MN  h C' N Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O M, điểm A, C, N lần lƣợt thuộc Oy, Oz (Hình 11) Khi đó: A(a;0;0), B(a;0;0), B'(a;0; h) A’B’ sử A' B' x trùng với tia Ox, y A C M B Dễ có: CM  a nên C (0; Hình 11 a ;0) 15 a2 SABC  CM AB  Ta có 2a 2a 2h [ AB,CB ']  (0; 2ah;  ), [ AB,CB '].BB '  3 Suy ra: d(AB, CB') = [ AB,CB '].BB ' [ AB,CB ']  ah a  3h2 Từ giả thiết khoảng cách hai đƣờng thẳng AB CB’ a Ta suy h  a Vậy: VABC A' B 'C '  MN S ABC a3  Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy việc gắn hệ trục tọa độ để đƣa toán hình học không gian thông thƣờng thành toán hình học tọa độ giúp việc giải toán trở nên đơn giản nhiều, nhƣ ví dụ không dùng tọa độ việc tính chiều cao h khó khăn Điều quan trọng cần xác định đƣợc yếu tố vuông góc hình để lựa chọn hệ trục tọa độ hợp lý Bài tập tự luyện Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA vuông góc với đáy SA = a () mặt phẳng qua A vuông góc với SC, () cắt SB, SC, SD lần lƣợt H, I, K CM: AH  SB, AK  SD Tính thể tích khối chóp AHIKBCD Bài Cho hình lập phƣơng ABCDA ' B ' C ' D ' cạnh a , M , N lần lƣợt trung điểm AA ' BC ; P, Q lần lƣợt trọng tâm tam giác A ' AD C ' BD Tính thể tích khối tứ diện MNPQ theo a Bài (Đề khối A năm 2011) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB  BC  2a , hai mặt phẳng (SAB) (SAC ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC ) ( ABC ) 600 Tính thể tích khối chóp S BMCN khoảng cách hai đƣờng thẳng AB SN theo a 16 II KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ KIẾN NGHỊ ĐỂ XUẤT Kết nghiên cứu Trong năm học 2012 – 2013, đƣợc nhà trƣờng phân công dạy môn toán lớp 12A3, 12A4 Đứng trƣớc thực trạng học sinh ngại đối mặt với toán hình học không gian, mạnh dạn đƣa vào chƣơng trình bồi dƣỡng phƣơng pháp tính thể tích đa diện Và thực tế sau đƣợc học cách có hệ thống đầy đủ phƣơng pháp tính thể tích học sinh hứng thú học hình học không gian, học sinh giải tốt toán tính thể tích nói riêng toán hình học không gian nói chung Qua học sinh rèn luyện đƣợc cách trình bày giải cách khoa học, chặt chẽ, đầy đủ; đặc biệt rèn luyện cho học sinh tƣ logic, tƣ sáng tạo, củng cố đƣợc kiến thức Kết cụ thể Lớp Sĩ số Giỏi Khá Yếu TB Kém SL % SL % SL % SL % SL % 12A3 45 10 22 18 40 17 38 0 0 12A4 45 11 17 38 22 49 0 Kiến nghị, đề xuất - Tổ chuyên môn cần tổ chức diễn đàn trao đổi chuyên môn để giáo viên học hỏi kinh nghiệm phổ biến sáng kiến kinh nghiệm cá nhân - Nhà trƣờng cần tăng cƣờng trang thiết bị hỗ trợ cho giảng dạy - Sở Giáo dục Đào tạo cần mở lớp chuyên đề hƣớng dẫn giáo viên sử dụng phần mềm công tác giảng dạy C KẾT LUẬN Trong trình thực áp dụng sáng kiến trên, thu đƣợc kết định, học sinh hứng thú toán hình học không gian, kết học tập môn toán đƣợc nâng lên rõ rệt; nhiên để sáng kiến đƣợc sử dụng hiệu rộng cần ý kiến đóng góp đồng nghiệp để khắc phục thiếu sót, hoàn thiện đề tài nghiên cứu 17 Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2013 TRƢỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung ngƣời khác Nguyễn Sỹ Tam 18 [...]... thể tích đa diện Và thực tế sau khi đƣợc học một cách có hệ thống và đầy đủ các phƣơng pháp tính thể tích thì học sinh đã hứng thú hơn trong các giờ học hình học không gian, học sinh giải tốt các bài toán về tính thể tích nói riêng và bài toán hình học không gian nói chung Qua đó học sinh còn rèn luyện đƣợc cách trình bày bài giải một cách khoa học, chặt chẽ, đầy đủ; đặc biệt còn rèn luyện cho học. .. hai mặt phẳng (ABC) và (A1BC) Tính tan và thể tích hình chóp A1BB1C1C Phần 3 Trong các buổi trƣớc, chúng ta đã đƣợc rèn luyện 2 phƣơng pháp tính thể tích là tính trực tiếp và tính gián tiếp Để tính thể tích khối đa diện, trong các bài toán thi đại học và học sinh giỏi còn sử dụng một phƣơng pháp rất hiệu quả đó là phƣơng pháp tọa độ hóa, nội dung phƣơng pháp này gồm 4 bƣớc: Bƣớc 1: Chọn hệ trục tọa... Tính thể tích khối chóp S BMCN và khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng AB và SN theo a 16 II KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ KIẾN NGHỊ ĐỂ XUẤT 1 Kết quả nghiên cứu Trong năm học 2 012 – 2013, tôi đƣợc nhà trƣờng phân công dạy môn toán tại các lớp 12A3, 12A4 Đứng trƣớc thực trạng học sinh rất ngại khi đối mặt với những bài toán hình học không gian, tôi đã mạnh dạn đƣa vào chƣơng trình bồi dƣỡng phƣơng pháp tính thể. .. học sinh về tƣ duy logic, tƣ duy sáng tạo, củng cố đƣợc những kiến thức cơ bản Kết quả cụ thể Lớp Sĩ số Giỏi Khá Yếu TB Kém SL % SL % SL % SL % SL % 12A3 45 10 22 18 40 17 38 0 0 0 0 12A4 45 5 11 17 38 22 49 1 2 0 0 2 Kiến nghị, đề xuất - Tổ chuyên môn cần tổ chức những diễn đàn trao đổi về chuyên môn để giáo viên có thể học hỏi kinh nghiệm và phổ biến các sáng kiến kinh nghiệm của cá nhân - Nhà trƣờng... tại I Tính thể tích của khối chóp S AHIK Bài 4 Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông tâm O SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Cho AB  a Gọi H, K lần lƣợt là hình chiếu của A trên SB, SD CM: SA  (AHK) Tính thể tích hình chóp OAHK 12 Bài 5 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có hình chóp A1ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a, AA1 = b Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A1BC) Tính. .. Trong thí dụ 3 ta đã áp dụng việc tính thể tích các khối “bù” với khối cần tính thì trong thí dụ 4 ta thấy phƣơng pháp này rất hiệu quả Bài tập tự luyện Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, đƣờng thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) , G là trọng tâm của tam giác SBD , mặt phẳng ( SBG) cắt SC tại M , mặt phẳng ( ABG) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN ; biết rằng SA ... với SC, () cắt SB, SC, SD lần lƣợt tại H, I, K CM: AH  SB, AK  SD Tính thể tích khối chóp AHIKBCD Bài 2 Cho hình lập phƣơng ABCDA ' B ' C ' D ' cạnh a , M , N lần lƣợt là trung điểm của AA ' và BC ; P, Q lần lƣợt là trọng tâm của tam giác A ' AD và C ' BD Tính thể tích khối tứ diện MNPQ theo a Bài 3 (Đề khối A năm 2011) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB  BC  2a... bị hỗ trợ cho giảng dạy - Sở Giáo dục và Đào tạo cần mở những lớp chuyên đề hƣớng dẫn giáo viên sử dụng những phần mềm trong công tác giảng dạy C KẾT LUẬN Trong quá trình thực hiện và áp dụng sáng kiến trên, mặc dù đã thu đƣợc những kết quả nhất định, học sinh đã hứng thú hơn đối với các bài toán hình học không gian, kết quả học tập môn toán đƣợc nâng lên rõ rệt; tuy nhiên để sáng kiến đƣợc sử dụng hiệu... định tọa độ các điểm liên quan, chuyển bài toán hình học không gian thông thƣờng thành bài toán hình học tọa độ Bƣớc 3: Tính toán dựa vào các công thức hình học tọa độ trong không gian Bƣớc 4: Kết luận Sau đây là một số thí dụ minh họa và các bài tập rèn luyện: Thí dụ minh họa Thí dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, đáy ABCD là hình chữ nhật, SA=AB=a, AD= a 2 , gọi M, N lần.. .Thể tích khối lập phƣơng ABCD.A ' B ' C ' D ' bằng a 3 Từ VABCD A' B 'C ' D '  VA' MKDAB  VA' B 'C ' D ' MKCD  VA ' B 'C ' D ' MKCD  VABCD A ' B 'C ' D '  VA ' MKDAB  a3  Suy ra VA ' MKDAB VA ' B 'C ' D ' MKCD 7a 3 17a 3  24 24  7 17 Nhận xét: Trong hai thí dụ đầu, ta chủ yếu dựa vào tỷ lệ thể tích thì ở thí dụ này ta dựa vào việc tính thể tích các khối “bù” với khối cần tính Thí ... trên, nhằm nâng cao chất lƣợng dạy học, đáp ứng nhu cầu đổi giáo dục giúp học sinh có thêm phƣơng pháp giải toán, định chọn đề tài: Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao chất. .. chất lượng dạy – học hình học lớp 12 ” Mục tiêu sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu phƣơng pháp tính thể tích khối đa diện cách hệ thống sáng tạo để giúp giáo viên trang bị kiến thức phƣơng pháp tích. .. Đại học – Cao đẳng nay, toán tính thể tích khối đa diện xuất phổ biến Bài toán hình học không gian nói chung toán tính thể tích khối đa diện nói riêng phần kiến thức khó học sinh THPT Đa số học