skkn-tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp gián tiếp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG Trường THPT Lạng Giang số 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP Giáo viên thực hiện: THÂN VĂN DỰ Tổ: Toán Năm học: 2013 - 2014 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1 TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP Giáo viên: THÂN VĂN DỰ Tổ: Toán Năm học: 2013 - 2014 1 A. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong những năm gần đây trong các kỳ thi Đại học – Cao đẳng, Tính thể tích khối đa diện là một câu hỏi thường xuyên xuất hiện trong các đề thi. Để tính thể tích khối đa diện ta thường áp dụng hai phương pháp: Phương pháp thứ nhất là tính trực tiếp thông qua việc tính diện tích đáy và chiều cao của khối đa diện. Việc tính thể tích khối đa diện bằng phương trực tiếp đòi hỏi học sinh phải xác định được chiều cao của khối đa diện và tính chiều cao đó. Việc này làm cho một số học sinh gặp khá nhiều khó găn do phải vận dụng các kiến thức về đường thằng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc đã học từ lớp 11. Khi việc xác định và tính chiều cao của khối đa diện gặp khó khăn hoặc khối đa diện cần tính không phải những khối đa diện có công thức tính thể tích đã học thì ta sử dung phương pháp thứ hai là phương pháp gián tiếp. Để tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp gián tiếp thì học sinh chỉ cần nắm được một số kiến thức cơ bản về thể tích khối chóp, khối lăng trụ và tỷ số thể tích trong khối chóp tam giác. Lời giải bài toán tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp thường ngắn gọn, dễ hiểu. 2. Mục đích nghiên cứu - Ngiên cứu, xây dựng phương pháp tính thể tích khối đa diện không thông qua việc áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích - Rèn luyện cho học sinh tư duy mềm dẻo trong việc suy nghĩ giải quyết một vấn đề B. NỘI DUNG I – KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Công thức tính thể tích khối chóp 1 V Bh 3 = (B là diện tích đáy, h là chiều cao) 2) Công thức tính thể tích khối lăng trụ V Bh = (B là diện tích dáy, h là chiều cao) 3) Cho 2 khối đa diện H và H 1 có thể tích tương ứng là V và V 1 biết 1 V k V = và V 1 = a V ka ⇒ = 4) Nếu chia khối đa diện H thành các khối đa diện H 1 , H 2 , …H n khi đó ta có 1 2 n V V V V = + + + ( V là thể tích của khối đa diện H, V i là thể tích của khối đa diện H i i 1, n = 5) Cho hình chóp S.ABC, A’, B’, C’ lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh SA, SB, SC khi đó ta có S.A 'B 'C ' S.ABC V SA ' SB ' SC ' . . V SA SB SC = 2 II – PHƯƠNG PHÁP  Nếu tính thể tích khối đa diên H bằng phương pháp trực tiếp khó găn ta có thể chia khối đa diện H thành các khối đa diện nhỏ H 1 , H 2 , …, H n mà việc tính thể tích của các khối đa diện H i ( ) 1, i n = là đơn giản hơn.  Khi biết tỉ số thể tích của 2 khối đa diện H và H’, nếu việc tính thể tích khối đa diện H gặp khó khăn ta có thể tính thể tích khối đa diện H’ rôi suy ra thể tích khối đa diện H III – CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1 Cho khối chóp S.ABC biết ABC ∆ là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a, ( ) SA ABC ⊥ , SA = a. Gọi I là điểm thuộc cạnh SB sao cho 1 SI SB 3 = . Tính thể tích khối tứ diện SAIC. Giải: ABC ∆ vuông cân tại B có AC = 2a AB BC a 2 ⇒ = = 2 ABC 1 S AB.BC a 2 ∆ ⇒ = = ( ) SA ABC ⊥ ⇒ SA là chiều cao của hình chóp S.ABC 3 S.ABC ABC 1 a V S .SA 3 3 ∆ ⇒ = = S.AIC S.ABC V SA SI SC 1 . . V SA SB SC 3 = = 3 3 S.AIC S.ABC 1 1 a a V V . 3 3 3 9 ⇒ = = = Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho AH = 4 AC . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. Giải: 3 2 4 4 AC a AH = = ( ) SH ABCD SH AC ⊥ ⇒ ⊥ SAH ⇒ △ , SHC △ vuông tại H 2 2 14 4 a SH SA AH⇒ = − = 2 2 2 SC SH HC a ⇒ = + = SC AC SAC ⇒ = ⇒ △ cân tại C mà CM là đường cao tam giác SAC nên M là trung điểm của SA. Ta có . . . . 1 1 2 2 S MBC S MBC S ABC S ABC V SM V V V SA = = ⇒ = mà 2 3 . 1 1 14 14 . . . . 3 3 2 4 24 S ABC ABC a a a V S SH ∆ = = = (đvtt) Suy ra 3 . . 1 14 2 48 S MBC S ABC a V V= = (đvtt) Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a 2 SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD ⇒ O là trung điểm AC. Ta có I là trọng tâm của tam giác ABD, do đó 4 2 1 3 3 AI AI AO AC = ⇒ = nên 1 1 1 . . 3 2 6 AIMN ACDN V AI AM V AC AD = = = (1) Mặt khác 1 2 ACDN ACDS V NC V SC = = (2) Từ (1) và (2) suy ra 1 12 AIMN ACDS V V = Mà 3 1 1 2 2 . . . 3 3 2 6 SACD ACD a a a V SA S a ∆ = = = (đvtt) Vậy 3 1 2 . 12 72 AIMN SACD a V V= = (đvtt). Ví dụ 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ABCD, AB = 2a, BC = a. SA = SB = SC = SD = a 2 . E là điểm thuộc cạnh SC, SE 2EC = , F là điểm thuộc cạnh SD, 1 SF FD 3 = . Tính thể tích khối đa diện SABEF. Giải: 2 ABCD S AB.BC 2a = = Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABD ta có 2 2 BD AB AD a 5 = + = Gọi O AC BD = ∩ ⇒ O là trung điểm của AC và BD 1 a 5 BO AC 2 2 ⇒ = = Xét tam giác SBD cân tại S có SO là trung tuyến ⇒ SO đồng thời là đường cao của SBD ∆ SO BD ⇒ ⊥ 5 Chứng minh tương tự ta có SO AC ⊥ . Suy ra ( ) SO ABCD ⊥ ⇒ SO là đường cao của hình chóp S.ABCD ( ) 2 2 2 2 a 5 a 3 SO SB BO a 2 2 2   = − = − =       3 2 S.ABCD ABCD 1 1 a 3 a V S .SO .2a . 3 3 2 3 = = = 3 S.ABE S.ABE S.ABC S.ABCD S.ABC V SA SB SE 2 2 1 a . . V V V V SA SB SC 3 3 3 3 3 = = ⇒ = = = (1) S.AEF S.ACD V SA SE SF 2 1 1 . . . V SA SC SD 3 4 6 = = = 3 S.AEF S.ACD S.ABCD 1 1 a V V V 6 12 12 3 ⇒ = = = (2) Từ (1) và (2) ta có 3 3 3 SABEF S.ABE S.AEF a a 5a V V V 3 3 12 3 12 3 = + = + = Ví dụ 5 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M là trung điểm của cạnh BB’. Mặt phẳng (A’MD) cắt hình lập phương thành hai khối đa diện. Tính tỷ số thể tích của hai khối đã diện trên. Giải: Gọi N là giao điển của A’M và AB, K là giao điểm của DN và BC. ⇒ Mặt phẳng (A’MD) cắt hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối đa diện A’MKCDAB và khối đa diện A’B’C’D’MKCD M là trung điểm của BB’ a BM 2 ⇒ = BMN B ' MA ' ∆ = ∆ (Vì   o B B ' 90 = = , BM = B’M,   ' ' BMN B MA = ) BN A ' B ' a ⇒ = = BNK CDK ∆ = ∆ (Vì   N D = , BN = CD = a,   90 o B C= = ) 2 a BK CK ⇒ = = 3 . 1 . . 3 12 B MNK a V BM BN BK = = 3 . ' 1 2 AA'. . 3 3 A A ND a V AN AD = = 6 . ' ' . A A ND A MKDAB B MNK V V V= + 3 3 3 ' . ' . 2 7 3 12 12 A MKDAB A A ND B MNK a a a V V V⇒ = − = − = Thể tích khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng a 3 . ' ' ' ' ' ' ' ' ' ABCD A B C D A MKDAB A B C D MKCD V V V= + 3 3 3 ' ' ' ' . ' ' ' ' ' 7 5 12 12 A B C D MKCD ABCD A B C D A MKDDAB a a V V V a⇒ = − = − = ' ' ' ' ' 7 5 A MKCDAB A B C D MKCD V V ⇒ = Ví dụ 6 Cho hình chóp O.ABC có OA, OB,OC đôi một vuông góc với nhau, OA = a, OB = b, OC = c; OA’, OB’, OC’ lần lượt là đường cao của các tam giác OBC, OAC, OAB. Tính thể tích của khối chóp O.A’B’C’. Giải: Thể tích khối chóp O.ABC là . 1 . . 3 3 O ABC abc V OAOB OC= = Ta có , , OA OB OA OC OB OC ⊥ ⊥ ⊥ ⇒ các tam giác , , OAB OAC OBC ∆ ∆ ∆ vuông tại O. Áp dụng định lý Pitago ta có 2 2 AC a c = + , 2 2 AB a b = + , 2 2 BC b c = + Xét OBC ∆ vuông tại O có OA’ là đường cao 2 2 2 1 1 1 ' OA OB OC ⇒ = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . ' OB OC b c OA OB OC b c ⇒ = = + + Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông OA’C (  ' 90 o OA C = ) ta có 2 2 2 ' ' OC OA CA = + 2 2 2 2 2 ' ' c CA OC OA b c ⇒ = − = + Chứng minh tương tự, ta có 2 2 2 ' c CB a c = + 2 2 2 ' a AB a c = + 7 2 2 2 ' a AC a b = + 2 2 2 ' b BC a b = + 2 2 2 ' b BA b c = + ( )( ) 4 . ' ' . ' ' 2 2 2 2 . . ' ' . . O CA B C OA B O ABC C OBA V V CO CA CB c V V CO CB CA b c a c = = = + + ( )( ) 4 . ' ' . 2 2 2 2 O CA B O ABC c V V b c a c ⇒ = + + Chứng minh tương tự ta có : ( )( ) 4 . ' ' . 2 2 2 2 O AB C O ABC a V V a b a c = + + ( )( ) 2 . ' ' . 2 2 2 2 O BA C O ABC b V V a b b c = + + Thể tích khối chóp O.A’B’C’ bằng ( ) . ' ' ' . . ' ' . ' ' . ' ' O A B C O ABC O CA B O AB C O BA C V V V V V= − + + ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 a b c abc a b a c a b b c a c b c         = − + +   + + + + + +       Bài tập tương tự Bài 1 (Đề thi ĐH khối D – 2006 ) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a Bài 2 (Đề thi ĐH khối B – 2008 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,   0 90 BAD ABC = = , , 2 , ( ) AB BC a AD a SA ABCD = = = ⊥ và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a Bài 3 Cho hình nón S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), G là trọng tâm của tam giác SBD, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, mặt phẳng (ABG) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN, biết SA = AB = a, góc giữa đường thẳng AM và mặt phẳng (ABCD) bằng 30 o . Bài 4 Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA = a, OB = b, OC = c, OA’, OB’, OC’ lần lượt là các đường phân giác 8 trong của các tam giác OBC, OAC, OAB. Tính thể tích của khối chóp O.A’B’C’. Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), 3 SA a = . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SD. Mặt phẳng (AHK) cắt SC tại I. Tính thể tích của khối chóp S.AHIK. C. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ Việc tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp gián tiếp thể hiện được ưu điểm là chỉ sử dụng một số kiến thức đơn giản không cần phải vận dụng các kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng để dựng đường cao. Lời giải ngắn gọn, rõ ràng. Qua thực tế giảng dạy lớp 12 một số năm, tôi đã áp dụng dạy cho học sinh phương pháp tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp gián tiếp. Tôi thấy học sinh áp dụng vào giải các bài tập được giao khá tốt. Đặc biệt đối với những học sinh trung bình cũng có thể giải được bài toán tính thể tích bằng phương pháp này. Mặc dù đã hết sức cố găng song do kinh nghiệm còn hạn chế sáng kiến kinh nghiệm của tôi chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót. Vì vậy tôi mong nhận được sự đóng góp chân thành từ ban chuyên môn nhà trường và các đồng chí trong tổ toán. Bắc Giang, tháng 12 năm 2013 Giáo viên THÂN VĂN DỰ DUYỆT CỦA HỘI ĐỒNG CHUYÊN MÔN NHÀ TRƯỜNG: . II – PHƯƠNG PHÁP  Nếu tính thể tích khối đa diên H bằng phương pháp trực tiếp khó găn ta có thể chia khối đa diện H thành các khối đa diện nhỏ H 1 , H 2 , …, H n mà việc tính thể tích của. các khối đa diện H i ( ) 1, i n = là đơn giản hơn.  Khi biết tỉ số thể tích của 2 khối đa diện H và H’, nếu việc tính thể tích khối đa diện H gặp khó khăn ta có thể tính thể tích khối đa diện. của khối đa diện gặp khó khăn hoặc khối đa diện cần tính không phải những khối đa diện có công thức tính thể tích đã học thì ta sử dung phương pháp thứ hai là phương pháp gián tiếp. Để tính thể